Uneigentliche Integrale -E Ma Lubov Vassilevskaya
Integrierbarkeit ccvon Funktionen Folgende Gründe können die Integrierbarkeit verhindern: Die Funktion f (x) ist im endlichen Integrationsintervall [a, b] nicht beschränkt, d.h. sie hat dort mindestens eine Unendlichkeitsstelle. Das Integrationsintervall ist unendlich, z.b. a f x dx Wie können wir solche Unendlichkeiten behandeln? - Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche cc Integrale Falls das Integrationsintervall unendlich ist, berechnet man das Integral durch zusätzlichen Grenzübergang a f x dx = lim a f x dx Der Grenzwert ist vorhanden konvergentes uneigentliches Integral Der Grenzwert ist nicht vorhanden divergentes uneigentliches Integral Integraltypen: a f ( x) dx, a f ( x) dx, f ( x) dx -2 Ma Lubov Vassilevskaya
Abb. : Zur Berechnung der Arbeit im Gravitationsfeld der Erde 2- Eine Masse m wird im Gravitationsfeld der Erde aus der Entfernung R ins Unendliche gebracht. Wir bestimmen die Arbeit W, die man benötigt, um eine Masse m im Gravitationsfeld der Erde unendlich weit weg zu bringen. Ma Lubov Vassilevskaya
Zur Berechnung des Arbeitsintegrals: cc Beispiel Gravitationskraft: F grav = G M m r 2 r r G Gravitationskonstante, M Erdmasse, m von dem Erdzentrum r Abstand der Masse F ext = F grav Die Berechnung der Arbeit, die verrichtet wird, um die Masse m von R bis ins Unendliche zu bringen, führt zu dem uneigentlichen Integral: W = R F ext dr = R G M m r 2 dr = G M m R dr r 2 2-2 Ma Lubov Vassilevskaya
Zur Berechnung des cc Arbeitsintegrals 2-3 Abb. -2: Graphische Darstellung der Funktion f (x) = /x² Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Beispiel f x = x 2, dx x 2 = dx x 2 dx x 2 Die Funktion f (x) ist im endlichen Integrationsintervall [, ] nicht beschränkt, sie hat dort eine Unendlichkeitsstelle. Das Integrationsintervall [, ] ist unendlich Um das uneigentliche Integral wir zuerst ein bestimmtes Integral den Grenzwert λ : x 2 x 2 zu bestimmen, berechnen und danach bilden wir. x 2 = x = 2. lim x 2 = lim = 2-4 Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Beispiel Dieses uneigentliche Integral konvergiert gegen : x 2 = = : x 2 = x = =.9 = : x 2 = x = =.99 = : x 2 = x = =.999 2-5 Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Beispiel Abb. B: Zur Berechnung des uneigentlichen Integrals der Funktion f (x) = /x² im Intervall [, ]: die Funktion f (x) = /x² im Definitionsbereich (, ) und die Fläche unter der Kurve im Bereich [, ) 2-6 Die Fläche unter dem Graphen der Funktion f (x) = /x² von bis ins Unendliche hat den Flächeninhalt : x 2 = lim [ x 2 = lim ] x = lim = Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Beispiel http://www.youtube.com/watch?v=frcq2cu3bse W = G M m lim R dr r 2 = G M m lim [ r ] R [ = G M m lim R ] = G M m R W = G M m R 2-7 Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Aufgaben -3 Berechnen Sie folgende Integrale Aufgabe : I a = x, I b = x Aufgabe 2: I a = x 3, I b = x 4 Aufgabe 3: I = x p p Die Integrale sind uneigentlich an der oberen Grenze. Die Bestimmung der Werte erfolgt nach der Formel a f x dx = lim a f x dx 3-A Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung a Abb. 2-a: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = / x im Intervall [, ) I a = x = lim x = 2 lim [ x ] = 2 lim [ ] = Der Grenzwert existiert nicht, da λ (λ ) beliebig groß wird. Dieses uneigentliche Integral ist divergent. 3-a Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung b Abb. 2-b: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = /x im Intervall [, ) I b = x = lim x = lim [ ln x ] = lim [ ln ln ] = Der Grenzwert existiert nicht, da ln λ (λ ) beliebig groß wird. Dieses uneigentliche Integral ist divergent. 3-b Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 2a Abb. 2-2a: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = /x³ im Intervall [, ) I a = x 3 = lim x 3 = [ lim ] 2 x 2 = = lim 2 2 2 = 2 = 2 3-2a Dieses uneigentliche Integral ist konvergent. Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 2 Abb. 2-2b: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = /x⁴ im Intervall [, ) I b = x 4 = lim x 4 = [ lim ] 3 x 3 = = lim 3 3 3 = 3 = 3 Dieses uneigentliche Integral ist konvergent. 3-2b Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 3 I = x p = lim x p = [ x p ] lim p = = p lim [ p ] = p p Zusammenfassung: Das Integral I = x p divergiert, falls p und konvergiert, falls p > 3-3 Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Aufgaben 4-7 Berechnen Sie folgende Integrale Aufgabe 4: I a = I b = e x e k x, k Aufgabe 5: Aufgabe 6: I = x I = cos x Aufgabe 7: I = 2 x 3 4-A Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 4a Abb. L4: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = exp(x) im Intervall [, ) I a = e x = lim e x = lim [ e x ] = lim [ e ] = Dieses uneigentliche Integral ist divergent. 4-a Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 4b I b = e k x dx, k e k x dx = k e k x = k e k lim e k x dx = k lim e k = k = k 4-b Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 4 Falls man versteht, wie man Unendlichkeit in den Integrationsgrenzen behandelt, kann man die Schreibweise vereinfachen I b = e k x dx = k e k x = k e k = k 4-c Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 5 Abb. L5: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = x im Intervall [, ) I = x = x / 2 = [ 2 3 x3/2 ] = Dieses uneigentliche Integral ist divergent. 4-2 Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 6 Abb. L6: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = cos (x) I = cos x = [sin x ] Der Grenzwert existiert nicht. Die Sinusfunktion oszilliert für sehr große Argumente und nähert sich keinem festen Wert. Deswegen existiert auch das uneigentliche Integral nicht. 4-3 Ma Lubov Vassilevskaya
Uneigentliche Integrale: cc Lösung 7 Abb. L7: Zur Berechnung des Integrals der Funktion y = f (x) I = 2 x 3 = 2 x 3/2 = [2 2 x /2 ] = = 2 lim x 2 x = 2 4-4 Ma Lubov Vassilevskaya