Protokoll zum Versuch W4: Linearer Ausdehnungskoeffizient. Abgabedatum: 24. April 2007

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1 Protokoll zum Versuch W4: Linearer Ausdehnungskoeffizient Sven E Tobias F Abgabedatum: 24. April 2007

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Physikalischer Zusammenhang Metallbindung Gitterenergie und thermische Ausdehnung Potenzialkurve Linearer und kubischer Ausdehnungskoeffizient Zusammenhang zwischen linearem und kubischem Koeffizienten Technische Bedeutung Versuchsbeschreibung 7 4 Versuchsdurchführung 9 5 Auswertung Messdaten Berechnung der Geradensteigung und des Fehlers Fazit und Vergleich mit Literaturwerten 11 7 Anhang Diagramm in Din A

3 1 Einleitung Der durchgeführte Versuch und die dazugehörige Ausarbeitung dienen zur Klärung des Phänomens der thermischen Ausdehnung. Um die physikalischen Hintergründe besser erfassen zu können werden erst die Zusammenhänge der metallischen Gitterbindung bzw. deren Gitterenergie und der Ausdehnung bei Energiezufuhr dargestellt. In Folge dessen wird nun noch auf die Anwendung bzw. technische Bedeutung der thermischen Ausdehnung eingegangen. 2 Physikalischer Zusammenhang 2.1 Metallbindung Die Besonderheit bei Metallen ist, dass sich nicht nur zwei Nachbaratome, sondern alle Atome die Valenzelektronen teilen. Diese bilden dann das so genannte Elektronengas, welches sich frei durch die Kristallstruktur bewegen kann. 2.2 Gitterenergie und thermische Ausdehnung Als Gitterenergie W 0 wird die Energie bezeichnet, die gebraucht wird um zwei Atome aus einer Bindung heraus bis ins Unendliche auseinander zu bringen. In einem Festkörper herrscht nur deshalb eine bestimmte Dichte, weil dessen Teilchen einen spezifischen Gleichgewichtsabstand r 0 voneinander einhalten, um welchen diese schwingen. Dieser Abstand wird bestimmt durch das Wechselspiel zwischen Anziehung und Abstoßung der jeweiligen Teilchen, allerdings hängt die Abstoßung wesentlich stärker vom Abstand ab als die Anziehung. Daher auch der asymmetrische Verlauf der Potentialverteilung. r 0 kann auch als mittlerer Abstand der beiden Atome zueinander aufgefasst werden. Führt man dem Stoff nun Wärme zu, dehnt dieser sich aus. Dies ist damit zu erklären, dass durch die Wärme den Atomen Energie zugeführt wird und diese dadurch beginnen, stärker zu schwingen. Da sie nicht durch andere Atome hindurch schwingen können, sind sie gezwungen, ihren mittleren Abstand r 0 zu vergrößern. In der Folge dehnt sich der Stoff aus Potenzialkurve Atome in einem Festkörper stehen nie still. Sie schwingen ständig in einem gewissen Maß um ihren mittleren Abstand voneinander. Das Ausmaß der Schwingung beschreibt die Potenzialkurve (siehe Abb. 1 auf der nächsten Seite). Diese wird bestimmt durch das Wechselspiel zwischen Anziehung und Abstoßung der einzelnen Atome. Allerdings muss die Abstoßung wesentlich steiler beschrieben werden als die Anziehung, daher auch der asymmetrische Verlauf der Kurve. Die Anziehung kann beschrieben werden als: W anz = α k e2 r k ist die Boltzmann-Konstante und α die Madelung-Konstante, eine stoffspezifische Konstante, welche die Bindungsverhältnisse in einem Festkörper beschreibt, (1) 3

4 Abb. 1: Die Potenzialkurve gibt die Potenzielle Energie zwischen zwei Atomen abhängig von ihrem Abstand an. [UW06] und r der Abstand zwischen den Atomen. Ebenso kann die Abstoßung beschrieben werden: W abst = A r n (2) A und n sind Konstanten und A muss noch bestimmt werden. Somit erhält man für das Gesamtpotential W = α k e2 + A r r n (3) Nun gilt es, A zu bestimmen. Da F = dw dr gilt und an der Stelle r = r 0 F = 0 ist, erhält man A = α k e2 r0 n 1 (4) n Für das gesamte Potential gilt also: W = α k e2 r 0 [ r0 r 1 n ( r0 ) ] n r (5) An der Stelle r = r 0 erhält man so W (r 0 ) = α k e2 r 0 ( 1 1 ) n (6) Dies ist genau die Gitterenergie, jene Energie, die benötigt wird, um zwei Atome auf einen unendlichen Abstand zu trennen bzw. den Stoff in den gasförmigen Aggregatzustand zu überführen. Um die Form der Potenzialkurve besser beschreiben zu können, entwickelt man eine Taylor-Reihe um das Potenzialminimum und erhält so W = W W 0 x W 0 x3, wobei x = r r 0 ist. Aus diesem Polynom kann nun der Verlauf der Kurve erklärt werden. So enthält sie keinen linearen Teil, da W (r 0 ) = 0, einen quadratischen Teil 4

5 um das Kurvenminimum, welcher die Krümmung um r 0 verursacht, und einen kubischen Teil für die Asymmetrie bei größeren r. Physikalisch gesehen, gibt W die wirkende Kraft zwischen den Atomen, W direkt den Elastizitätsmodul und W die thermische Ausdehnung des Kristalls an. 2.3 Linearer und kubischer Ausdehnungskoeffizient Durch Experimente erkennt man, dass die Ausdehnung eines Stoffes l proportional zur Temperaturänderung T ist. Für den linearen Ausdehnungskoeffizienten α ergibt sich: l l 0 = α T α = l l 0 T (7) Da der Ausdehnungskoeffizient für genügend kleine Bereiche temperaturunabhängig ist, bildet man nun den Grenzwert lim : T 0 α = lim T 0 l l 0 T α = 1 dl l 0 dt (8) Für den kubischen Ausdehnungskoeffizienten β und die Volumenänderung V analog: V = β T β = V (9) V 0 V 0 T β = lim T 0 V V 0 T β = 1 V 0 dv dt Zusammenhang zwischen linearem und kubischem Koeffizienten (10) Für ein beliebiges Material gilt β = 3 α, solange α klein gegen 1 ist. Dies folgt aus der Betrachtung eines Quaders mit der Ausdehnung V = L 1 L 2 L 3 bei der Temperatur T. Die Änderung des Volumens abhängig von der Temperatur beträgt dv dt = L 1 L 2 dl 3 dt + L 1 L 3 dl 2 dt + L 2 L 3 dl 1 (11) dt Teilen wir beide Seiten durch das Volumen, ergibt sich β = 1 V dv dt = 1 dl 3 L 3 dt + 1 dl 2 L 2 dt + 1 dl 1 L 1 dt (12) Jeder Term auf der rechten Seite der Gleichung entspricht α, also ergibt sich β = 3 α. Die Herleitung erfolgte nun für differentielle Änderungen. Wichtig ist allerdings, dass α = 3 β auch für makroskopische Änderungen gilt. Dies kann man ebenfalls aus Gleichung 7 schließen. Es gilt: l(t ) = l 0 (1 + α T ) (13) V (T ) = l 3 (T ) = V 0 (1 + α T ) 3 (14) 5

6 Da α sehr klein gegen 1 ist, fallen die quadratischen und kubischen Glieder gering genug aus, damit sie weggelassen werden können. Damit ergibt sich vereinfacht V (T ) = V 0 (1 + 3α T ) (15) Ähnlich erfolgt die Herleitung für die Flächenausdehnung. 2.4 Technische Bedeutung Abb. 2: Bei der Köhlbrand-Brücke in Hamburg muss die thermische Ausdehnung bei großen Temperaturschwankungen berücksichtigt werden. [HGT06] Die thermische Ausdehnung spielt überall dort eine Rolle, wo große Temperaturschwankungen herrschen. Ein Beispiel ist der Brückenbau. Wenn die Brücke im Sommer großer Hitze ausgesetzt wird, dehnt diese sich aus. Damit diese aber nun sich nicht wellt oder sogar reißt, werden Dehnungsfugen zwischen den einzelnen Elementen verlegt. Ein anderes Beispiel ist die Luft- und Raumfahrttechnik. Bei ihr finden Klebstoffe sehr häufig Anwendung. Da diese im Regelfall aber andere Ausdehnungskoeffizienten haben als die geklebten Stoffe, muss da drauf geachtet werden, dass bei großen Temperaturschwankungen die Klebstelle nicht reißt. Dies kann dadurch verhindert werden, dass ein Klebstoff mit ähnlichen Ausdehnungskoeffizienten gewählt und die Klebschicht sehr dünn gehalten wird. Die thermische Ausdehnung ist jedoch nicht nur eine zu berücksichtigende physikalische Schikane, sie wird auch positiv genutzt. Hier ist ein Beispiel der Bimetallschalter. Dies ist ein Streifen aus zwei unterschiedlichen Metallschichten, die aufeinander gebracht worden sind. Wird dieser Streifen nun erwärmt, verbiegt er sich, da die Metalle sich unterschiedlich stark ausdehnen. Dies findet Anwendung in Thermoschaltern oder Thermostaten wie sie zum Beispiel in Wasserkochern vorkommen. Das Wasser wird erhitzt, der Bimetallstreifen verbiegt 6

7 Abb. 3: Auch in der Küche spielt thermische Ausdehnung eine Rolle. So darf das Kochfeld sich bei Erwärmung nicht zu stark ausdehnen, da sonst die restliche Arbeitsplatte reißen kann. [DM06] sich und schließt bei der entsprechenden Temperatur den Kontakt, sodass ein weiteres Erhitzen verhindert wird. (Als Quellen für die gesamte Einleitung dienen uns [Ge93], [TM04], [PPB06] und [W06]) 3 Versuchsbeschreibung Es sollen die linearen Ausdehnungskoeffizienten gegebener Legierungen bestimmt werden. Auf dem Foto (Abb. 4 auf der nächsten Seite) sieht man die drei wärmeisolierten Metallrohre aus Aluminium, Kupfer und Stahl. Sie sind einseitig fest eingespannt. Auf der anderen Seite kann die Ausdehnung an Messuhren abgelesen werden. Eine Auflösung von bis zu 0.01mm ist möglich. Die drei Rohre sind bei 25 C 697.0mm lang. Sie werden von Wasser durchströmt, welches über einen Thermostat temperiert wird. Die eingestellte Temperatur wird nie exakt erreicht, da sich das Wasser auf dem Weg zu den Rohren und an den Rohren selber ein wenig abkühlt. Darum wird die mittlere Temperatur genau in der Mitte des Rohres mittels eines Platin- Widerstandsmessfühlers gemessen (Annahme: Die Temperatur nimmt entlang des Rohres linear ab) und digital angezeigt. Über die Genauigkeit des Ergebnisses lässt sich sagen, dass ein systematischer Fehler auftreten kann, der außerhalb des Vertrauensbereichs liegt. Der Grund dafür ist, dass die Metallstäbe jeweils nicht aus reinem Kupfer oder Aluminium bestehen, auch für den Stahlstab kann man nur approximativ den Literaturwert von Eisen heranziehen. Die Temperaturmessung kann nicht ganz zuverlässig sein, da das digital anzeigende Thermometer immer noch etwas schwankt. Als Fehler nehmen wir T = 0.1K an. Ein gewichtiger Fehler wegen der Ausdehnung 7

8 Abb. 4: Versuchsaufbau: In der Mitte befinden sich, von schwarzem Isoliermaterial gedämmt, drei Metallrohre, welche rechts befestigt sind und links sich frei ausdehnen können. Diese werden mit Wasser durchspült, welches durch das Thermostat rechts temperiert wird. Links kann an den Messuhren dann die Längsausdehnung der Rohre abgelesen werden. Um die reale Temperatur der Metalle erfassen zu können, befindet sich in der Mitte ein Digitalthermometer, welches die mittlere Temperatur der Rohre misst. [PPB06] 8

9 der Messapparatur, insbesondere der Marmorplatte, auf der die Stäbe befestigt sind, ist wegen der Isolierung (auf dem Foto in schwarz) nicht zu erwarten. 4 Versuchsdurchführung Wir beginnen die Messung mit einer Thermostateinstellung von 25 C. Nun warten wir, bis die Rohre sich auf eine zeitlich etwa konstante Temperatur erwärmt haben. Dann werden die Starttemperaturen notiert und die Messuhren genullt. Nun erhöhen wir die Temperatur in 5 C-Schritten, bis am Thermostat 90 C erreicht sind. Dabei werden in jedem Schritt die Temperaturen der Rohre T i und die Längenänderungen l i abgelesen. 5 Auswertung 5.1 Messdaten gegen Temperatur T mit Gleichun- Abb. 5: Gemessene lineare Ausdehnung l l 0 gen der Regressionsgeraden Die Messdaten finden sich in Tab. 1 auf der nächsten Seite und Abb. 5, im Anhang ist das Diagramm in A4 beigefügt (Abb. 6 auf Seite 13). Im Diagramm sind die Abweichungen der Messpunkte von den Regressionsgeraden verschwindend gering, ob dieser Eindruck täuscht, soll im folgenden berechnet werden. 9

10 T Al / C l Al l Al /l 0 T Cu / C l Cu l Cu /l 0 T Stahl / C l Stahl l Stahl /l 0 25,4 0,00 0, ,8 0 0, ,3 0 0, ,1 0,75 0, ,6 0,57 0, ,1 0,4 0, ,8 1,55 0, ,5 1,12 0, ,78 0, ,7 2,40 0, ,4 1,71 0, ,8 1,19 0, ,5 3,18 0, ,2 2,28 0, ,7 1,58 0, ,5 4,00 0, ,2 2,87 0, ,6 2,01 0, ,1 4,80 0, ,44 0, ,5 2,42 0, ,59 0, ,8 4,03 0, ,4 2,84 0, ,7 6,41 0, ,7 4,61 0, ,2 3,24 0, ,5 7,24 0, ,5 5,23 0, ,1 3,71 0, ,3 8,09 0, ,4 5,85 0, ,12 0, ,1 8,95 0, ,3 6,45 0, ,8 4,59 0, ,8 9,70 0, ,1 7,07 0, ,7 4,91 0, ,45 0, ,9 7,6 0, ,6 5,39 0,0077 Tab. 1: Gemessene Temperaturen und Längenänderungen für Aluminium (Al), Kupfer (Cu) und Stahl; l immer in mm (aus Platzgründen weggelassen) 5.2 Berechnung der Geradensteigung und des Fehlers Wir führen eine lineare Regression durch (N = 14, N Anzahl der Stützstellen): [T Al ] = N T Ali = 791.5K i=1 N [TAl 2 ] = TAl 2 i = 49999K 2 i=1 [ l N i=1 ] = l Al i l mm = [T l Al ] = N i=1 ( ) l Ali T Ali = 7.202K 697.0mm D Al = N[T 2 Al ] [T Al] 2 = 73512K 2 Die Geradensteigung a Al (und damit der lineare Ausdehnungskoeffizient α Al ) ergibt sich zu α Al = a Al = N [T l Al] [T Al ] [l Al ] D = K 10

11 S 2 l Al = 1 N 2 S aal = N ( l Ali a Al T Ali ) 2 = i=1 S 2 l Al N D Al = K Der t-faktor steht im Bronstein, für N 2 = 12 ist t = Damit ergibt sich der Vertrauensbereich α Al zu α Al = S aal t = K Für die anderen beiden Messreihen wurde analog gerechnet, es ergeben sich folgende Werte: [T Cu ] = 789.4K, [T Stahl ] = 796.8K [T 2 Cu] = 49882K 2, [T 2 Stahl ] = 50750K2 [l Cu ] = , [l Stahl ] = [T l Cu ] = 5.207K, [T l Stahl ] = 3.697K D Cu = 75195K 2, D Stahl = 75603K 2 α Cu = K, α Stahl = K S 2 l Cu = , S 2 l Stahl = S acu = K, S a Stahl = K α Cu = K, α Stahl = K 6 Fazit und Vergleich mit Literaturwerten Als endgültige Werte ergeben sich α Al = (24.2 ± 2.0) K, Literaturwert: K, α Cu = (17.4 ± 1.4) K, Literaturwert: K, 11

12 α Stahl = (12.3 ± 1.0) K, Literaturwert: K, wobei die Werte hinter dem Näherungszeichen jeweils Tabellenwerte aus [Ge93] übernommen sind. Die Tabellenwerte weichen etwas von den gemessenen Werten ab. Das liegt wahrscheinlich daran, dass die Stäbe nicht aus den Reinmaterialien hergestellt wurden, von denen die Tabelle ausgeht. Vor allem Stahl ist nie reines Eisen, also musste man hier die Abweichung von vornherein erwarten. Im l 0, sofern korrekt angegeben, liegt kein signifikanter Fehler; es geht nur einfach in die Messung ein, die Angabe ist bis auf vier Stellen genau. 7 Anhang Tab. 2: Literaturverzeichnis DM06 Ge93 Gerthsen/Vogel: Physik, Springer Lehrbuch 1993 HGT06 PPB06 TM04 Tipler/Mosca: Physics for Scientists and Engineers, EV, Freeman 2004 UW04 W06 Abbildungsverzeichnis 1 Potenzialkurve Köhlbrand-Brücke in Hamburg Cerankochfeld Versuchsaufbau Gemessene lineare Ausdehnung l l 0 gegen Temperatur T mit Gleichungen der Regressionsgeraden Gemessene lineare Ausdehnung l l 0 gegen Temperatur T mit Gleichungen der Regressionsgeraden; Messung für Aluminium, Kupfer und Stahl Tabellenverzeichnis 1 Gemessene Temperaturen und Längenänderungen für Aluminium (Al), Kupfer (Cu) und Stahl; l immer in mm (aus Platzgründen weggelassen) Literaturverzeichnis Diagramm in Din A4 12

13 13 Abb. 6: Gemessene lineare Ausdehnung l l 0 gegen Temperatur T mit Gleichungen der Regressionsgeraden; Messung für Aluminium, Kupfer und Stahl