7. Ausgewählte Wechselstromanordnungen

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1 7. Ausgewählte Wechselstromanordnungen

2 7. Ausgewählte Wechselstromanordnungen 7. Schaltungen mit requenzselektiven Eigenschaten (t) y(t) Zeitbereich: Bildbereich (komplee Ebene): d y( t) ( ( t),, ( t) dt) dt Y ( j ) H( j ) X ( j ) Übertragungsunktion: H( j ) Y ( j ) X ( j )

3 Y ( j ) H( j ) X ( j ) Y ( ) e H ( ) e X ( ) e j ϕ ( ) j ϕ ( ) j ϕ ( ) y H Amplitudenübertragung: Y ( ) H( ) X ( ) Amplitudenrequenzgang des Systems Phasenübertragung: ϕ ( ) ϕ ( ) + ϕ ( ) y H Phasenrequenzgang des Systems 3

4 Amplitudenübertragung: Phasenübertragung: Y ( ) H( ) X ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) + ϕ ( ) y H ( Yˆ ) ( H ) + ( Xˆ ) lg ( ) lg ( ) lg ( ) ( Yˆ ) ( H ) + ( Xˆ ) lg ( ) lg ( ) lg ( ) in db - übliche graische Darstellung: lg(h()) () Hz Hz Hz 3 Hz Hz Hz Hz 3 Hz 3 lg() Amplitudenrequenzgang 3 lg() Phasenrequenzgang 4

5 und - Schaltungen a) -Tiepass Beispiel: Tiepass H( j ) ( j ) ( j ) j + j /j H( j ) ( j ) ( j ) + j - Glied als Tiepaß Amplitudenrequenzgang: H( ) ( ) ( ) + ( ) Phasenrequenzgang: ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) arctan H u u 5

6 , ineare Darstellung des Amplitudengangs Beispiel: Tiepass /j,8 /,6,4, Frequenz in Hz ogarithmische Darstellung des Amplitudengangs,,8 Amplitudenrequenzgang: H( ) ( ) ( ) - Glied als Tiepaß Werte: 59 Ω µf + ( ) /,6,4, lg in Hz 6

7 ,,77 /,8,6,4, Grenzrequenz: g oder g mit g π g g lg in Hz Deinition: g ist jene Frequenz, bei der H() au den des Maimalwertes abgesunken ist oder der Phasenwinkel ϕ() 45 beträgt oder der ealteil von H(j) Imaginärteil von H(j) ist. - achen Wert H( j ) ( j ) ( j ) + j > g oder g π g τ 7

8 Graische Darstellung des Amplitudengangs mit Hilsgeraden: ( Yˆ ) ( H ) + ( Xˆ ) lg ( ) lg ( ) lg ( ) in db Amplitudenrequenzgang: H( ) ( ) ( ) + ( ) lg [ ] [ H ( ) ] lg + ( ) lg + g g oder lg [ H ( )] lg + g ür << gilt : lg [ H ( )] lg + g g ür g >> gilt : lg [ H ( )] lg lg + lg g g 8

9 g ( ) << lg[ H ] g [ H ( )] lg + lg g >> lg -3dB Grenzrequenz / in db lg in Hz 9

10 ϕ H Graische Darstellung des Phasengangs: ϕ ( ) arctan ( ) arctan g oder ϕ H ( H ) arctan g g g ϕ45 Phasenwinkel in lg in Hz

11 j b) --Hochpass: j j j j j H + ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( j j + ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( + H τ g g Grenzrequenz: Amplitudengang: Phasengang: ) ( ) ( ) ( ϕ ϕ ϕ H + H ϕ arctan ) (

12 Graische Darstellung des Amplitudengangs mit Hilsgeraden: ( Yˆ ) ( H ) + ( Xˆ ) lg ( ) lg ( ) lg ( ) in db H ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) + lg [ H ( ) ] lg + g lg + g oder lg [ H ( )] lg + g ür g << gilt : lg g [ H ( )] lg + ür g >> gilt : lg g [ H ( )] lg + lg lg g

13 g ( ) << : lg[ H ] g [ H ( )] + lg lg g >> : lg lg H() in db Hz Hz 3 Hz 4 Hz 5 Hz 6 Hz 7 Hz 8 Hz -3dB - -4 Grenzrequenz

14 Graische Darstellung des Phasengangs: ϕ ( ) g g ϕh ( ) arctan oder ϕh ( ) arctan H + arctan g H () / 3/8 /4 /8 Grenzrequenz Hz Hz 3 Hz 4 Hz 5 Hz 6 Hz 7 Hz 8 Hz 4

15 c) -Tiepass als Integrierglied Aunahme der B-H-Kennlinie des Eisenkerns, dazu Erassung der Feldstärke H über Strom durch Primärwicklung N: H N l Fe X B hat dierenziellen Zusammenhang: u N dφ dt N A dt Fe db db B N u N ( t) A A Fe Fe dt u ( t) dt 5

16 db B N u N ( t) A A Fe Fe dt u ( t) dt u u + u wenn keine ast angeschlossen, gilt i i i u u u i + u u >> u >> ) i wenn du i dt (also du du u dt dt u u dt 6

17 ,,8,63,6,4, u u dt c,4,,,8,6,4, c τ,,,3,4,5,6 t in s,5,,5,,5 τ 3kΩ 4,7µF, 4s Integrationszeit t i in GET: 5 Hz > T/,s, also T<<τ und u c <<u 7

18 Die esonanzbedingungen u(t) i(t) linearer Zweipol mit und Ein linearer Zweipol beindet sich dann in esonanz, wenn er sich trotz Vorhandensein von mindestens einer Induktivität und mindestens einer Kapazität bei Wechselstrom wie ein Ohmscher Widerstand verhält, wenn also nur die "verbrauchte Wirkleistung von der äußeren Schaltung nachgelieert werden muß. Im{ Z } { } Im Y ϕi ϕ ϕi 8

19 7.. esonanz und Schwingkreise Tacomabrücke 9

20 Die eihen- oder Spannungsresonanz I j /j Bestimmung der esonanzrequenz e j ϕ Z + j + Z + j j ( ) { } Im Z π Thomsonsche Schwingungsormel

21 j /j e j ϕ I Die Abhängigkeit des Stromes von der Frequenz I j + I j + Z j j + + I j + I j +

22 j /j e j ϕ I I j + entsteht I I jq + mit den Abkürzungen normierte Frequenz Q Güte I I I jq + Strom im esonanzall eistung an oder Q eistung an

23 I j /j I I + jq e j ϕ I I + Q Betrag des Stromes ϕ II, arctan Q Phasenlage des Stromes 3

24 j /j e j ϕ I Berechnung der Spannung am Widerstand in Abhängigkeit von der Frequenz ˆ ˆ I I jq + I jq + jq + jq + I I jq + 4

25 j /j e j ϕ I jq + Q +, arctan Q ϕ 5

26 I j /j I + jq e j ϕ Berechnung der Spannung an der Induktivität in Abhängigkeit von der Frequenz ˆ ji ˆ j I ˆ j + jq Q jq + jq jq + jq 6

27 I j /j e j ϕ jq + jq Q + Q ϕ, π arctan Q 7

28 I j /j e j ϕ I + jq Berechnung der Spannung an der Kapazität in Abhängigkeit von der Frequenz I I ˆ ˆ ˆ j j jq + jq j + jq jq + jq 8

29 j /j e j ϕ I jq jq + Q Q +, arctan Q π ϕ 9

30 Die esonanzkurven: Parameter des Schwingkreises: I j /j.h.f.5 Ω 5,9kHz π π Q 4 e j ϕ ˆ ˆ +Q - ˆ Q ˆ +Q - ˆ Q ˆ +Q - 3

31 Besonderheiten im esonanzall: und ˆ ˆ ˆ +Q - ˆ ˆ Q ˆ ˆ +Q - ˆ Q ˆ ˆ +Q - Q ˆ (Spannungsüberhöhung) Q ˆ (Spannungsüberhöhung) 3

32 / Güte Q,5,5 -> <- / / 4,5 4 3,5 3,5,5,5 Güte Q4,5,5 -> <- / c c,4, Güte Q, Güte Q,5 /,8,6,4 /,8,6,4,,,5,5 -> <- /,5,5 -> <- / c c 38

33 - der Zusammenhang zwischen Bandbreite und Güte u o 39

34 .8 + Q.6.4. u o / g oder g : Im ( H() e( H() (auch 45 -Eckrequenz genannt) Q o, u o, u Q o o Q u u o ob u u ob ob Q ob ob ( )( ) + Q ob ob ob Q 4

35 Q.4. ( + )( ) ob ob ob Q u o / o ob u u Q u u bei großer Güte gilt in guter Näherung ob u ( + )( ) u u u Q und ür die Bandbreite b b ob u 4

36 Q.4 ob u ( + )( ) ob. ob ob ( ) ob ob Q ob / Q u o ( ) ob Q b u ob ob + Q + Q b Q + u Q + ( + )( ) u u u ( ) Q u Q b Q 4

37 b) die Parallel- oder Stromresonanz (der ideale Parallelschwingkreis) j e jϕ j Y + j Eingeprägter Strom! Beispiel: 5kΩ H µf ma Bestimmung der esonanzrequenz Im{ Y ( )} esonanzrequenz im Beispielschwingkreis: 5,8 Hz π 43

38 ( ) Y j + ( ) j + ( ) j + j + Y j j + + die Abhängigkeit der Spannung von der Kreisrequenz j j e j ϕ mit der esonanzkreisrequenz olgt: 44

39 + j Mit den Abkürzungen normierte Frequenz, Güte und Spannung bei esonanz Bei esonanz gilt: Q P Q P Q / * oder P / / eistung an oder eistung an Mit den Beispielwerten wird Q P 3,536 j e jϕ Beispiel: 5kΩ H µf ma j Mit den Beispielwerten wird ˆ ma*5kω 5V 45

40 + j Aus obigen Beziehungen olgt: + jqp Q P bzw. + jqp mit Betrags- und Phasenverlau: + QP in V Mit den Beispielwerten ergibt sich ür : ϕ arctan QP Frequenz 46

41 P jq + P jq + P jq + P jq + die Berechnung des Stromes durch den Widerstand in Abhängigkeit von der norm. Frequenz P jq + mit Betrags- und Phasenverlau: P Q +, P arctan I I Q ϕ in V bzw. I in ma Frequenz in Hz I 47

42 + jqp Q P die Berechnung des Stromes durch die Induktivität in Abhängigkeit von der norm. Frequenz j j mit Betrags- und Phasenverlau: Q P + QP π arctan, P ϕi I Q 48

43 + jqp Q P die Berechnung des Stromes durch die Kapazität in Abhängigkeit von der norm. Frequenz j j mit Betrags- und Phasenverlau: Q P + QP π arctan, P ϕi I Q 49

44 j j Beispiel: 5kΩ H µf ma 5,8 Hz Q P 3,536 35,36 ma e jϕ in V bzw. I in ma 3 I Ic I Frequenz in Hz 5

45 4 3 die esonanzkurven,5 j j,5 / Parameter des Schwingkreises:, mh μf,5 Ω 5,9 khz π π QP 4 + QP Q P + QP Q P + QP 5

46 b) der reale Parallelschwingkreis j j Y Y Y Y + + j + j j + + j j + j j ( j + ) ( ) + ( ) + + j ( ) ( ) + j + + ( ) + Bestimmung der esonanzrequenz Im{ Y ( )} Im { Y} ( ) ( ) 5

47 j j ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 53

48 ntersuchungen zum Schwingverhalten > und > ist reell esonanz. Spezialall: oder 8 und schwache Dämpung (Schwingall) < < 7 j j H,,5µF Ω, Ω / I ges ma 6,8Hz * (ohne und 5,8Hz ) in V bzw. I in ma Frequenz in Hz 54 ges I Ic

49 . Spezialall: < oder und > > und < ist imaginär keine esonanz überkritische Dämpung (Kriechall) 5 j j H,,5µF Ω, Ω / I ges ma in V bzw. I in ma 5 5 ges I Ic Keine reelle ösung ür Frequenz in Hz 55

50 3. Spezialall: und Im{ Y} + + ( ) ( ) + Im{ Y} + + ( ) ( ) + Im{ Y} Im{ Y} Imaginärteil verschwindet ür alle ewige esonanz 56

51 j j 6 4 H,,5µF 44Ω, 44Ω / I ges ma in V bzw. I in ma 8 6 ges I Ic Keine reelle ösung ür Frequenz in Hz 57

52 der esonanzwiderstand bei j j Y ( ) Y ( ) Y ( ) Y Y + + j + j j + j + + ( ) Y ( ) bzw. j + + ( ) j Z( ) Y ( ) 58

53 Anwendung: Drahtlose adetechnik Blockschaltbild eines induktiven adegerätes 59

54 Induktive adestation 6

55 7. Wechselstrommessbrückenschaltungen Anwendung Brücken: Sensortechnik (Temperaturmessung mit Pt) Anwendung Brücken: Motorsteuerung (Potentiale ür echtslau) 4, V 5 V V,7 V 6

56 Vertieung und Visualisierung: 6

57 Z Abgleich: Z Z D D D Z 3 Z 4 Z Z4 Z4 Z Z4 Z Z Z + Z Z4 + Z

58 Z Z Z4 Z Z+ Z Z4 Z Z4 + Z 3 4 Z Z Z Z4 Z + Z Z + Z 3 4 Z ( Z + Z ) Z ( Z + Z ) D Z 3 Z 4 ZZ 3 + ZZ 4 ZZ 4 + ZZ 4 ZZ ZZ 3 4 Abgleichbedingung: Z Z Z Z

59 7.. Die Induktivitätsmessbrücke nach Mawell-Wien Abgleichbedingung: Z Z Z Z 3 4 d + j j

60 7.. Die esonanzmessbrücke Abgleichbedingung: Z Z Z Z j + j

61 7..3 Die Gegeninduktivitätsmessbrücke nach Wien Abgleichbedingung: D 3 4 d ( ) + j j ( ) ( ) + j j ( + ) ( + ) j j j

62 ( + ) ( + ) j j j d ( + ) ( + ) j j j ( + j j ) ( + j )