Zwängungsfreie Torsion

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1 Begleitblatt T zur Vorlesung Höhere Festigkeitslehre TFH Berlin, FB VIII, Prof. Dr.-Ing.. Krawietz Zwängungsfreie Torsion Voraussetzungen: Prismatischer Stab Isotrop-elastisches Material Kleine Verformungen Die folgende exakte Behandlung des Problems im Sinne der dreidimensionalen Theorie stammt von de St.-Vénant Ortsvektor der Stabpunkte in der unverformten usgangslage: r = xe x + ye y + ze z = xe x + r p. Es sind xe x und r p der nteil in Richtung der Stabachse =x-chse bzw. der planare d.h. in der Querschnittsebene liegende nteil. Die räumliche bleitung wird zerlegt gemäß = e x x + e y y + e z z = e x x + p. 1 Verschiebungsansatz: Drehung der Querschnitte um eine chse parallel zur Stabachse durch einen Punkt M mit dem planaren Ortsvektor r M. Der Drehwinkel wächst linear mit x, weil die Drillung θ von x unabhängig angenommen wird. Zusätzlich wird eine Querschnittsverwölbung zugelassen. u = θ xe x r r M + φ rp ex. 2 bgeleitet: u = θ e x r r M ex + x e x r + e x p φ. 3 Der unterstrichene Tensor e x r = e x 1 ist antimetrisch, denn für alle Vektoren a gilt a e x 1 a = e x a a = 0. Das Feld des Verzerrungstensors ergibt sich zu mit dem planaren Schubwinkelvektor γ = θ e x r r M + p φ der wie man sieht von der Koordinate x nicht abhängt. Daraus folgt E = sym u = sym e x γ 4 = θ e x r p r M + p φ, 5 div u = tre = 0. 6 Die Spannungen erhalten wir aus dem Hookeschen Gesetz zu T = 2G E + ν 1 2ν tre 1 = e x τ + τ e x 7 mit dem planaren Schubspannungsvektor τ = Gγ.

2 Die Gleichgewichtsbedingung liefert 0 = div T = e x τ p, 8 also τ p = 0. 9 Spannungsfreiheit an der Oberfläche verlangt 0 = T n = e x τ n, 10 also τ n = In der Querschnittsfläche wirken die Spannungen T e x = τ. Ihre resultierende Kraft berechnet sich zu f = τ d = τ 1 p d = τ p r p d = τ n r p ds τ p rp d = 0 12 die unterstrichenen Terme verschwinden wegen 11 und 9 und ihr resultierendes Moment bezüglich eines Bezugspunktes mit dem planaren Ortsvektor r zu rp m = rp r τ d = r τ e x d e x = M t e x. 13 Von den sechs möglichen skalaren Schnittgrößen ist also nur das Torsionsmoment M t von Null verschieden und unabhängig von der Koordinate x. Es gilt aber r τ e x d = r τ d e x = 0 14 für jede Wahl von r denn der unterstrichene Term verschwindet nach 12, so daß bei reiner Torsion der Bezugspunkt bei der Berechnung des Torsionsmoments beliebig gewählt werden kann. Im folgenden benötigen wir die Identität ex r p p = e x r p p = Einsetzen von τ = Gγ mit 5 in 9 liefert mit 15 die Differentialgleichung 0 = 1 Gθ τ p = und Einsetzen in 11 gibt unter Verwendung des Tangentenvektors die Randbedingung e x r p r M + p φ p = p p φ = p φ, 16 t = e x n 17 0 = 1 e Gθ τ n = x r p r M + p φ n = t r φ p r M + n. 18 Das Torsionsmoment erhalten wir aus 13 wir wählen = M zu M t = e x r p r M τ d = Gθ e x r p r M e x r p r M + p φ d = GθI t 19

3 mit dem Torsionsflächenmoment I t = r p r M 2 d + Das letzte Integral läßt sich mit 17, 18 wie folgt umformen: e x r p r M p φ d = e x r p r M n φ ds = e x r p r M p φ d. 20 t r p r M φ ds = φ n φ ds = e x r p p φ d = p φ p φ d p p φ φ d = n p φ φ ds p φ 2 d. 21 Die unterstrichenen Terme sind wegen 15 bzw. 16 entfallen. us 20 und 21 schließt man I t = rp r M 2 d p φ 2 d rp r M 2 d = Ip M. 22 Das Torsionsflächenmoment kann also nicht größer sein als das polare Flächenmoment 2. Grades bezüglich der Drehachse. Gemäß 16 und 18 muß die normierte xialverschiebung φ r p der ebenen Laplace- oder Potentialgleichung p φ = 0 23 und der Randbedingung φ n = t r p r M 24 genügen. Bei Hohlquerschnitten ist die letzte Bedingung auf jedem Teilrand zu fordern. Die normierte xialverschiebung erweist sich also als Lösung eines sog. Neumannschen Problems. Durch die Differentialgleichung nebst Randbedingung ist sie nur bis auf eine additive Konstante festgelegt. Es bleibt zu klären, welchen Einfluß die Wahl der Drehachse besitzt. Eine normierte xialverschiebung zur Wahl r M = 0 soll mit φ 0 bezeichnet werden. Sie genügt der Differentialgleichung und der Randbedingung p p φ 0 = 0 25 n p φ 0 = t r p. 26 Eine zu einer anderen Drehachse gehörige normierte xialverschiebung ist dann gegeben durch φ r p = φ0 rp + ex r M rp 27 mit denn daraus folgt p φ = p φ 0 + e x r M, 28 p p φ = p p φ 0 = 0 29

4 und n p φ = n p φ 0 + n e x rm, 30 also mit 17 gerade die Bedingungen 23 und 24. Während also die xialverschiebung von der Wahl der Drehachse abhängt, ist die Schubspannungverteilung davon unabhängig, denn aus 5 mit 28 folgt 1 Gθ τ = 1 θ γ = e x r p r M + p φ = e x r p + p φ 0, 31 und der letzte usdruck enthält r M nicht mehr. Damit ist natürlich auch das Torsionsmoment M t und folglich nach 19 auch das Torsionsflächenmoment I t = M t /Gθ von der Wahl der Drehachse unabhängig. Es sind zwei rten von Querschnitten zu unterscheiden: a Wölbfreie Querschnitte: Es ist φ 0 eine lineare Funktion von r p, also φ 0 = a r p + K, und damit ist nach 27 auch φ für jede Wahl von r M linear. Die Querschnittsfläche bleibt also eben. Für die Wahl r M = e x a der Drehachse wird insbesondere φ = K = const., und daher stimmt nach 22 das Torsionsflächenmoment mit dem polaren Flächenmoment bezüglich dieser Drehachse überein. b Querschnitte mit Verwölbung: Wenn φ 0 keine lineare Funktion von r p ist, dann ist es nach 27 auch kein φ für irgendeine Wahl von r M. Das Torsionsflächenmoment ist also kleiner als das polare Flächenmoment bezüglich jeder beliebigen chse.

5 Begleitblatt P zur Vorlesung Höhere Festigkeitslehre TFH Berlin, FB VIII, Prof. Dr.-Ing.. Krawietz Der prismatische Stab Herleitung der Differentialgleichungen und Randbedingungen für Längsdehnung, Biegung, Querkraft-Schubverformung und Torsion aus der dreidimensionalen Elastizitätstheorie Voraussetzungen: Isotrop-elastisches Material Kleine Verformungen Die Reduktion des dreidimensionalen Problems auf ein eindimensionales geschieht, indem nnahmen über die Querschnittsverformungen getroffen werden. Ortsvektor der Stabpunkte in der unverformten usgangslage: r = xe x + ye y + ze z = xe x + r p. Verschiebungsannahmen: a Jeder Stabquerschnitt verschiebt sich und dreht sich um eine chse senkrecht zur Stabachse wie ein starrer Körper. b Zusätzlich dreht der Querschnitt sich um eine chse parallel zur Stabachse durch einen Punkt M und erfährt dabei xialverschiebungen, deren Form aus der Theorie der zwängungsfreien Torsion übernommen wird. u x, r p = ūx + ψp x r p + ψ x x e x r r M + ψ x x φ r p ex. 1 Die Balkenverformung wird auf diese Weise festgelegt durch zwei vektorielle also sechs skalare Funktionen der einen unabhängigen Variablen x, nämlich 1 eine später noch genauer zu deutende Verschiebung 2 und die Querschnittsdrehung ūx = ux e x + u p x = ux e x + vx e y + wx e z 2 ψx = ψ x x e x + ψ p x = ψ x x e x + ψ y x e y + ψ z x e z. 3 Die bhängigkeit der Verschiebungen von den beiden anderen unabhängigen Variablen y und z ist durch unsere Verschiebungsannahmen festgelegt. Bemerkung: Diese Idee, nnahmen zu treffen derart, daß an Stelle von Funktionen dreier Variabler nur noch Funktionen von einer oder zwei Variablen zu ermitteln sind, nennt man Verfahren von Kantorowitsch. Wenn die nnahmen so weit gehen, daß keine Funktionen, sondern nur endlich viele Parameter zu ermitteln sind, dann spricht man vom Ritzschen Verfahren. Letzteres ist Grundlage der Methode der Finiten Elemente. bleitung der Verschiebungen: u = u e x x + p = ū x + ψ px r p + ψ xx e x r r M + ψ xx φ r p ex e x + ψ p x r p p }{{} +ψ xx e x r + ψ xx e x p φ. 4

6 Der unterstrichene Tensor ist antimetrisch, während der unterklammerte sich umschreiben läßt gemäß ψ p x r p p = ψ p 1 p = e x e x ψ p 1 p = e x e x ψ p 1 p = e x e x ψ p. 5 Das Feld des Verzerrungstensors ergibt sich zu mit der Längsdehnung und dem planaren Schubwinkelvektor E = sym u = ε e x e x + sym e x γ 6 ε = u x + e x ψ px r p + ψ xx φ r p γ = u px + e x ψ p x + ψ xx 7 e x r p r M + p φ. 8 Nach dem Hookeschen Gesetz gehört zu dem Schubwinkelvektor ein Schubspannungsvektor und eine spezifische Formänderungsenergie Die Dehnung ε denken wir uns durch eine einachsige Spannung τ = G γ τ γ = G 2 γ γ. 10 σ = E ε 11 hervorgerufen, und die zugehörige spezifische Formänderungsenergie ist dann 1 2 σε = E 2 ε2. 12 Bemerkung: Zu dieser einachsigen Spannung σ gehören eigentlich sofern die Querkontraktionszahl ν 0 ist auch Querdehnungen in der Querschnittsebene, die in unseren Verschiebungsannahmen nicht enthalten sind. Um korrekt zu sein, müßte man die Verschiebungsannahmen abändern, doch hätte das keine Konsequenzen für das Folgende. Die Formänderungsenergie des gesamten Balkens berechnet sich zu l E E def = 2 ε2 + G 2 γ γ d dx = l [ E u x 2 + e x ψ 2 px r p r p e x ψ px + ψ xx 2 φ 2 r p +2u x e x ψ px r p + 2u xψ xx φ r p + 2ψ xx e x ψ px r p φ ] r p + G [ u 2 px + e x ψ p x 2 + ψ xx 2 ex r p r M + p φ 2 +2ψ xx u px + e x ψ p x e x r p r M + p φ ] d dx 13 Die Integration über die Querschnittsfläche kann für alle neun Summanden ausgeführt werden und liefert die folgenden acht voneinander verschiedenen Querschnittskennwerte:

7 d =, r p r p d = I, φ r p 2 d = CM, r p d = r S, φ r p d = ˆφ, r p φ r p d = c1, e x r p r M + p φ 2 d = I t, e x r p r M + p φ d = c Weitgehende Vereinfachungen ergeben sich, indem es gelingt, einige dieser Kennwerte zu Null zu machen. Der vierte Wert verschwindet, wenn die Stabachse durch den Flächenschwerpunkt S der Querschnittsfläche gelegt wird, denn dann gilt r S = 0. Den fünften Wert können wir zu Null machen durch geeignete Wahl der Funktion φ, die ja in der Theorie der zwängungsfreien Torsion nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. Der sechste Kennwert läßt sich durch geeignete Festlegung der Drehachse zum Verschwinden bringen. Diese läßt sich in der Tat beliebig wählen, denn eine Änderung von r M und dem zugehörigen φ läßt sich durch gleichzeitige passende Änderung von ū und ψ p kompensieren, so daß das Verschiebungsfeld u in 1 ungeändert bleibt. Beachtet man Formel T.27, so hat man zu fordern 0 = c 1 = r p φ 0 rp + ex r M rp d, 15 und daraus folgt r p φ 0 rp d + I ex r M = 0 16 und weiter für die Lage dieses ausgezeichneten als Schubmittelpunkt bezeichneten Punktes M r M = e x I 1 r p φ 0 rp d. 17 us T.5 mit T.12 folgert man, daß der achte Kennwert c 2 aufgrund der Eigenschaften der Funktion φ stets verschwindet. Ferner erschließt man aus T.21 und T.22, daß der siebente Kennwert gerade das Torsionsflächenmoment I t ist. Es verbleibt für die Formänderungsenergie l [ E E def = u x 2 + e x ψ 2 px I e x ψ px ] + C M ψ xx 2 + G [ u px + e x ψ 2 p x 2 + I t ψ xx ] 2 dx. 18

8 Die einzelnen Grundverformungsarten des Balkens erscheinen entkoppelt. Es bedeutet E die Dehnsteifigkeit, EI den planaren Tensor der Biegesteifigkeit, EC M die Wölbsteifigkeit, G die Schubsteifigkeit und GI t die Torsionssteifigkeit. Der Kennwert C M, der Wölbwiderstand heißt, kommt zum Tragen, wenn die Drillung ψ xx nicht längs des ganzen Stabes konstant ist, wie es die Theorie der zwängungsfreien Torsion vorausgesetzt hat. Man spricht dann von Wölbkrafttorsion, die nach 7 ebenso wie die Längsdehnung und die Biegung Dehnungen und damit Normalspannungen hervorruft. Bei wölbfreien Querschnitten z.b. Kreisring ist φ linear, und daher muß φ = 0 gelten, wenn der fünfte und sechste Kennwert zu Null gefordert werden. Damit wird aber der dritte Kennwert C M ebenfalls zu Null, d.h. solche Querschnitte haben keinen Wölbwiderstand. Unter Benutzung von Koordinaten y, z in der Querschnittsebene schreibt der Tensor der Flächenmomente 2. Grades sich I = r p r p d = y ey + z e z y ey + z e z d = y 2 d e y e y + z 2 d e z e z + yz d e y e z + e z e y = I z e y e y + I y e z e z + I yz ey e z + e z e y. 19 Zweckmäßigerweise legt man die chsen y, z in Richtung der Eigenvektoren des symmetrischen Tensors I sog. Hauptachsen des Querschnitts, so daß I yz = 0 wird. Der Biegeterm schreibt sich dann ex ψ px I e x ψ px = ψ yxe z ψ zxe y Iz e y e y + I y e z e z ψ y xe z ψ zxe y = I y ψ yx 2 + I z ψ zx Der Schubterm läßt sich unter Verwendung von Koordinaten in der Querschnittsebene ausschreiben als u p x+e x ψ p x 2 = v x e y +w x e z +ψ y x e z ψ z x e y 2 = v x ψ z x 2 + w x+ψ y x Nun betrachten wir eine virtuelle gedachte Verschiebung δu der Stabpunkte im Rahmen des nsatzes 1 und notieren die dadurch verursachte Änderung der Formänderungsenergie, also die virtuelle rbeit der inneren Kräfte. Wenn nötig, integrieren wir die entstehenden Terme anschließend ein- oder zweimal partiell. l δe def = E u x δu x + EI y ψ yx δψ yx + EI z ψ zx δψ zx + EC M ψ xx δψ xx +G v x ψ z x δv x δψ z x + G w x + ψ y x δw x + δψ y x + GI t ψ xx δψ xx dx l = E u x δux + G v x ψ zx δvx + G w x + ψ yx δwx + GI t ψ xx EC M ψ x x δψ x x + + EI z ψ z x + G v x ψ z x δψ z x dx EI y ψ y x G w x + ψ y x δψ y x [ + E u x δux + G v x ψ z x δvx + G w x + ψ y x δwx + GI t ψ xx EC M ψ x x ] l δψ x x + EC M ψ xx δψ xx + EI y ψ yx δψ y x + EI z ψ zx δψ z x. 22

9 Der linke Rand des Balkens soll eingespannt sein, d.h. es soll gelten u x = 0, r p = 0. Nach 1 erfordert das ux = 0 = vx = 0 = wx = 0 = ψ x x = 0 = ψ y x = 0 = ψ z x = 0 = 0 23 und bei Querschnitten mit Verwölbung wegen φ r p 0 und CM 0 außerdem noch ψ xx = 0 = Das sind die geometrischen Randbedingungen des Balkens an einem gefesselten Ende. uch die virtuellen Verschiebungen δu sollen der Einspannbedingung genügen. Damit verschwinden in 22 die Randterme an der unteren Grenze x = 0. Im Gleichgewichtsfalle muß die virtuelle rbeit der inneren Kräfte gleich der virtuellen rbeit der äußeren Kräfte sein. Diese besteht aus rbeiten von Linienkräften und -momenten δw Feld = l px x δux+p y x δvx+p z x δwx+m x x δψ x x+m y x δψ y x+m z x δψ z x dx und rbeiten der Belastungen zugleich Schnittgrößen am rechten Rand x = l δw Rand = F N l δul+f Qy δvl+f Qz δwl+m t l δψ x l+m by l δψ y l+m bz l δψ z l+bl δψ xl. 26 Ein Vergleich der Randarbeiten liefert zunächst 25 F N = Eu, 27 F Qy = G v ψ z, 28 F Qz = G w + ψ y, 29 M t = GI t ψ x EC M ψ x, 30 M by = EI y ψ y, 31 M bz = EI z ψ z, 32 B = EC M ψ x. 33 Das sind die natürlichen Randbedingungen des Balkens an einem freien Ende. Sie zeigen zugleich den Zusammenhang der Schnittgrößen mit den Verformungen. Zu den sechs herkömmlichen Schnittgrößen Normalkraft, 2 Querkräfte, Torsionsmoment, 2 Biegemomente ist bei Querschnitten mit Verwölbung neu das Wölbbimoment B hinzugekommen. Ein Vergleich der Feldarbeiten liefert mit den Bezeichnungen nach 27 bis 32 F N = p x, 34 F Qy = p y, 35 F Qz = p z, 36 M t = m x, 37 M by = F Qz m y, 38 M bz = F Qy m z. 39

10 Das sind offenbar die 6 skalaren Gleichgewichtsbedingungen an einem infinitesimalen Balkenelement. Berücksichtigt man in einer Balkentheorie wie hier geschehen die zu den Querkräften gehörigen Schubverformungen, dann spricht man von einem Timoshenko-Balken. Beim Bernoulli-Balken werden diese Schubverformungen da sie meist klein sind vernachlässigt, indem die folgende Bernoullische Hypothese verwendet wird: ψ z = v, ψ y = w. 40 Zu ermitteln sind dann nicht mehr 6 skalare Funktionen von x, sondern nur noch 4, nämlich u, v, w, ψ x. Die Gleichungen 28 und 29 sind nicht mehr anwendbar, doch können die Querkräfte die nunmehr innere Reaktionskräfte darstellen aus 38 und 39 berechnet werden. Es bleibt noch die geometrische Bedeutung von ū zu klären. Komponentenzerlegung von Gleichung 1 liefert: u x x, y, z = ux + ψ y x z ψ z x y + ψ xx φy, z, 41 u y x, y, z = vx ψ x x z z M, 42 u z x, y, z = wx + ψ x x y y M 43 und somit 1 u x x, y, z d = ux, 44 u y x, y, z = z M = vx, 45 u z x, y = y M, z = wx. 46 Somit ist die Längsverschiebung ux, an der die Normalkraft rbeit leistet, gleich dem Mittelwert der Längsverschiebungen über den Querschnitt, während vx und wx sich als Durchsenkungen der Verbindungslinie der Schubmittelpunkte also i.a. nicht der Stabachse erweisen. Da die Querkräfte an v bzw. w rbeit leisten am freien Stabende, sind sie demnach im Schubmittelpunkt angreifend zu denken womit der Grund für die Namensgebung dieses Punktes deutlich wird.