Vorkurs Analysis und lineare Algebra. Teil 1. Steven Köhler. mathe.stevenkoehler.de Steven Köhler

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1 Vorkurs Analysis und lineare Algebra Teil Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de Steven Köhler

2 Inhaltsverzeichnis I Teil Vektoren Matrizen Teil Geraden Ebenen Lineare Gleichungssysteme Steven Köhler Inhaltsverzeichnis II Teil Intervalle Ungleichungen Algebraische Strukturen Das Summenzeichen Teil 4 Abbildungen & Funktionen Potenz, Wurzel, Exponential & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen 4 Steven Köhler

3 Kapitel I Vektoren 5 Steven Köhler Definition I Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die Skalare genannt werden, multipliziert werden kann. (Quelle: Wikipedia) 6 Steven Köhler

4 Definition II In der analytischen Geometrie kann man einen Vektor als ein Objekt au assen, dass eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann als Pfeil aufgefasst werden, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet. 7 Steven Köhler Definition III Jedem Punkt (x; y) R bzw. zugeordnet werden. (x; y; z) R kann ein Vektor Analoges gilt auch fäur alle Punkte (x ;x ;:::;x n ) R n. 8 Steven Köhler

5 Schreibweise I Ein Vektor kann wie folgt dargestellt werden: v x ya : z Anstatt die einzelnen EintrÄage mit x, y oder z zu bezeichnen, ist auch die folgende Notation sehr gebräauchlich: v v v v A : 9 Steven Köhler Schreibweise II Bisher haben wir Vektoren immer als Spaltenvektoren betrachtet: v v A : Alternativ kann man Vektoren aber auch als Zeilenvektoren betrachten: v = v v v : Zur besseren Ä Ubersicht däurfen zwischen den einzelnen EintrÄagen auch Trennzeichen { beispielsweise Kommas oder Semikolons { gesetzt werden: v = v ; v ; v : v v Steven Köhler

6 Nullvektor Als Nullvektor wird der folgende spezielle Vektor bezeichnet, dessen EintrÄage alle Null sind: B v C. A : OftwirdderNullvektormitodero bezeichnet. Steven Köhler Transponierte Vektoren Vektoren käonnen transponiert werden. Das bedeutet nichts anderes, als einen Zeilenvektor als einen Spaltenvektor aufzuschreiben { und andersherum: v v A wird zu v T =(v ;v ;v ); v v u =(u ;u ;u ) wird zu u T u u u A : Steven Köhler

7 Länge eines Vektors Die LÄange eines Vektors läasst sich leicht mit Hilfe des Skalarprodukts oder geometrisch Äuber den Satz des Pythagoras bestimmen. Es gilt q v = v + v + v : Allgemein gilt q v = v + :::+ v n : Steven Köhler Normierte Vektoren Unter einem normierten Vektor v zu einem Vektor v versteht man einen Vektor der LÄange, der dieselbe Richtung wie v besitzt. Man erhäalt den normierten Vektor v zu einem beliebigen Vektor v, indem man v mit dem Reziproken seiner LÄange multipliziert. v = jvj v 4 Steven Köhler

8 Addition von Vektoren Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise: a + b a a A b b A a + b a + b A : a b a + b Graphisch kann man die Vektoraddition als HintereinanderhÄangen der Vektoren betrachten: a a+b b b a 5 Steven Köhler Subtraktion von Vektoren Die Subtraktion von Vektoren erfolgt ebenfalls komponentenweise: a b a a b b A a b a b A : a b a b Man kann die Subtraktion auch als Addition des Vektors b zum Vektor a betrachten. Graphisch sieht dies wie folgt aus: a b b a 6 Steven Köhler

9 Skalare Multiplikation EinVektorkannmiteinemkonstantenFaktor R multipliziert werden. Den Wert nennt man Skalar. a a a A a a A a a Man kann die skalare Multiplikation als Stecken oder Stauchen des Vektors interpretieren: a ½ a a a 7 Steven Köhler Aufgaben I Aufgabe I- a) Berechne die Summe und die Di erenzen der beiden Vektoren a =(5; ; ) und b =(4; ; 7). b) Berechne die Summe und die Di erenzen der beiden Vektoren a =(47; 8; ) und b =(; 4). Aufgabe I- Gegeben seien die Vektoren v =(; ; ), v = (7; 5; ) und v =(; ; ). Berechne die LÄange des Vektors v = v v +v. 8 Steven Köhler

10 Aufgaben II Aufgabe I- Kannst du entscheiden, ob die Vektoren v v =( ; 4; ) orthogonal sind? = (4; ; 5) und 9 Steven Köhler Skalarprodukt I Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine weitere Art der Vektormultiplikation. Dabei werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und diese Produkte aufsummiert: a b a a b b A = a b + a b + a b : a b Man nennt dies auch die Koordinatenform des Skalarprodukts. Steven Köhler

11 Skalarprodukt II Anhand des Skalarprodukts zweier Vektoren a und b kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ziehen. Es gilt a b = () a?b: In Worten: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal) sind. Steven Köhler Skalarprodukt III Eine andere Art, das Skalarprodukt zu de nieren, ist die folgende: a b = jaj jbj cos : ²jaj und jbj sind die LÄangen der Vektoren a und b; ² ist der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. Steven Köhler

12 Skalarprodukt IV Aus der Formel a b = jaj jbj cos kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen den beiden Vektoren a und b ziehen: cos = a b jaj jbj : Hieraus folgt μ a b =arccos : jaj jbj Steven Köhler Skalarprodukt V Abschlie¼end sehen wir uns an, wie die bereits erwäahnte Koordinatenform des Skalarprodukts hergeleitet werden kann. Gegeben seien die beiden Vektoren u = (u ;u ;u ) und v = (v ;v ;v ). ' sei der zwischen u und v eingeschlossene Winkel. Nach dem Kosinussatz gilt Umformen ergibt jv uj = jvj + juj jujjvj cos ': jujjvj cos ' = ³jvj + juj jv uj : 4 Steven Köhler

13 Skalarprodukt VI Einsetzen der De nition des Skalarprodukt ergibt u v = ³jvj + juj jv uj : Mit der bekannten Formel fäur den Betrag eines Vektors erhalten wir: u v = ³ u + u + u + v + v + v (v u ) (v u ) (v u ) = ³u v +u v +u v = u v + u v + u v : 5 Steven Köhler Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt (auch Äau¼eres Produkt, vektorielles Produkt oder Vektorprodukt) ist ebenfalls eine Art, zwei Vektoren a und b zu multiplizieren. Das Resultat ist ein neuer Vektor c, dersowohl senkrecht zu a (d.h. a?c) als auch senkrecht zu b (d.h. b?c)steht: a b a b a b c = a b a b A a b a b A : a b a b a b Wichtig: Das Kreuzprodukt ist nur im R de niert! 6 Steven Köhler

14 Aufgaben Aufgabe I-4 Gegeben sind die folgenden Vektoren a, b und c: a A ; b 5 A und c 6 A a) Bestimme a b, a c sowie b c. Welche der Vektoren a, b und c sind senkrecht zueinander? b) Bestimme einen Vektor, der sowohl senkrecht zu a als auch senkrecht zu b ist. Gib diesen als normierten Vektor an. 7 Steven Köhler Kapitel II Matrizen 8 Steven Köhler

15 Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann. Matrizen sind ein SchlÄusselkonzept der linearen Algebra und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen ZusammenhÄange, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, Äubersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und GedankenvorgÄange. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben. 9 Steven Köhler Definition II Matrizen werden dargestellt durch eine tabellarische Au istung der Werte, die durch ein gro¼es Klammerpaar umgeben ist. Die FormderKlammernistdabeinichtfestvorgegeben,typischsind aber runde oder eckige Klammern. a ::: a m B A = (a ij ) C. A a n ::: a nm a ::: a m 6 A = [a ij ] = a n ::: a nm Steven Köhler

16 Addition von Matrizen Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und subtrahiert. A + B = 4 a a a a a a b b b b b b 5 a a a b b b = 4 a + b a + b a + b a + b a + b a + b 5 a + b a + b a + b Steven Köhler Subtraktion von Matrizen Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und subtrahiert. A B = 4 a a a a a a 5 4 b b b b b b 5 a a a b b b = 4 a b a b a b a b a b a b 5 a b a b a b Steven Köhler

17 Skalare Multiplikation Eine Matrix kann mit einen konstanten Faktor R multipliziert werden. Den Wert nennt man ein Skalar. A = 4 a a a a a a 5 4 a a a = a a a 5 a a a a a a Steven Köhler Multiplikation von Matrizen I Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch eine weitere Multiplikation fäur Matrizen. Dabei werden Matrizen miteinander mutlipliziert. Die folgende Formel zeigt dies exemplarisch fäur zwei -Matrizen: A B = = a a a a a a a a a b b b b b b b b b a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b a b + a b + a b 4 Steven Köhler

18 Multiplikation von Matrizen II Die EintrÄage der Ergebnismatrix C sind o enbar die Skalarprodukte der Zeilenvektoren der Matrix A mit den Spaltenvektoren der Matrix B. Daraus läasst sich leicht eine Aussage Äuber eine essentielle Voraussetzung der Matrizenmultiplikation tre en. Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, mäussen die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix Äubereinstimmen. 5 Steven Köhler Multiplikation von Matrizen III Gegeben seien sei Matrizen A R m n und B = R n p. Das Produkt C der beiden Matrizen A und B ist dann eine m p -Matrix und läasst sich allgemein durch die folgende Formel darstellen: C = A B = a ij bij = c ij mit cij = nx a ik b kj k= 6 Steven Köhler

19 Multiplikation von Matrizen IV Aufgabe Es seien A = und B = 4 Berechne A + B, A B und A B. 5 gegeben. 7 Steven Köhler Multiplikation von Matrizen V LÄosung Es ergeben sich die folgenden Matrizen: 7 A + B = 7 A B = A B = 7 8 Steven Köhler

20 Falksches Schema I Das Falksche Schema (95 von Sigurd Falk vorgeschlagen) ist eine einfache Methode, Matrizenmultiplikation Äubersichtlicher darzustellen. Dazu werden die Matrizen A und B sowie deren Produkt C in eine bestimmte tabellarische Form gebracht, die vor allem eine optische Hilfe bietet. 9 Steven Köhler Falksches Schema II Gegeben seien die Matrizen A R und B R. Darstellung der Matrizenmultiplikation mit dem Falkschen Schema: b b b 4b b b 5 (= B) b b b a a a (A =) 4a a a 5 a a a c c c 4c c c 5 (= C) c c c Die Werte fäur c ij berechnen sich wie zuvor durch c ij = P k= a ik b kj. 4 Steven Köhler

21 Aufgaben Aufgabe II- Gegeben seien die Matrizen A = ;B= ;C= ;D= : Entscheide, ob die folgenden Produkte de niert sind und berechnen diese, falls sie existieren: AB, BA, AC, AD, AA, BB, CD, DC. 4 Steven Köhler Aufgaben Aufgabe II- Gegeben seien die Matrizen A = und B = : Berechne das Element, das in AB in der dritten Zeile und zweiten Spalte steht. Berechne au¼erdem die vierte Spalte von AB. 4 Steven Köhler

22 Aufgaben Aufgabe II- Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. BegrÄunde deine Meinung! a) Die Addition von Matrizen ist nicht assoziativ. b) Die Multiplikation von Matrizen ist fäur alle Matrizen kommutativ. c) Die Multiplikation von Matrizen ist niemals kommutativ. d) FÄur - Matrizen gilt das Distributivgesetz (A + B) C = AC + BC: 4 Steven Köhler Elementare Zeilenumformungen Man darf Matrizen durch elementare Zeilenumformungen in eine andere Matrix ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Zeilen; ² Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese Operationen däurfen beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 44 Steven Köhler

23 Elementare Spaltenumformungen I Ebenso wie durch elementare Zeilenumformungen darf man eine Matrix durch elementare Spaltenumformungen in eine andere Matrix ÄuberfÄuhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Spalten; ² Multiplikation einer Spalte mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte. Diese Operationen däurfen ebenfalls beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden. 45 Steven Köhler Elementare Spaltenumformungen II Generell sollten elementare Zeilen- und Spaltenumformungen nicht vermischt werden, da dies meist mehr Chaos als Nutzen bringt. Wir werden uns im Folgenden ausschlie¼lich mit elementaren Zeilenumformungen beschäaftigen. Sollten einmal Umformungen der Spalten notwendig sein, werden wir die zugehäorige Matrix zunäachst transponieren und anschlie¼end die Zeilen der transponierten Matrix umformen. 46 Steven Köhler

24 Zeilenstufenform I Durch elementare Zeilenumformungen kann man jede Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform bringen. Diese erfäullt die folgenden Eigenschaften (vgl. Gramlich): ² Alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, stehen in der Matrix ganz unten. ² Wenn eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste von Null verschiedene Zahl eine Eins. Sie wird als fäuhrende Eins bezeichnet. ² In zwei aufeinanderfolgenden Zeilen, die von Null verschiedene Elemente besitzen, steht die fäuhrende Eins in der unteren Zeile stets weiter rechts als in der oberen Zeile. 47 Steven Köhler Zeilenstufenform II Besitzt die Matrix Zeilenstufenform und gilt zusäatzlich noch ² Eine Spalte, die eine fäuhrende Eins enthäalt, hat keine weiteren von Null verschiedenen EintrÄage, dann liegt die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vor. 48 Steven Köhler

25 Zeilenstufenform III Beispiel 8 Es sei A =. 5 Bringe die Matrix A in Zeilenstufenform! 49 Steven Köhler Zeilenstufenform IV ZunÄachst wird die. Zeile mit multipliziert: 4 : 5 Anschlie¼end wird das ( )-fache der. Zeile zur. Zeile addiert: 4 : 7 Abschlie¼end wird die. Zeile mit 7 multipliziert: 4 : 5 Steven Köhler

26 Zeilenstufenform V Aufgabe II-4 ÄUberfÄuhre die folgende Matrix in Zeilenstufenform! Steven Köhler Einheitsmatrizen I Als Einheitsmatrix wird die spezielle quadratische Matrix E n R n n bezeichnet, deren Hauptdiagonalenelemente sind; alle anderen EintrÄage sind. ::: ::: E n = ::: 5 ::: 5 Steven Köhler

27 Einheitsmatrizen II Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezäuglich der Matrizenmultiplikation, d.h., fäur alle Matrizen A (passende Dimensionen vorausgesetzt) gilt A E = E A = A: 5 Steven Köhler Diagonalmatrizen Diagonalmatrizen sind spezielle quadratische Matrizen, die lediglich auf der Hauptdiagonalen von verschiedene Elemente besitzen: d ::: d ::: D = : 7 4 ::: d n 5 ::: d n Die Einheitsmatrizen E n sind spezielle Diagonalmatrizen. 54 Steven Köhler

28 Skalarmatrizen I Skalarmatrizen sind spezielle Diagonalmatrizen, besitzen also ebenfalls nur auf der Hauptdiagonalen von verschiedene Elemente; zusäatzlich haben alle Hauptdiagonalenelemente denselben Wert: ::: ::: S = : 7 4 ::: 5 ::: 55 Steven Köhler Skalarmatrizen II Wie man leicht sieht, ist die Skalarmatrix lediglich ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix: ::: ::: S = = E 7 n : 4 ::: 5 ::: 56 Steven Köhler

29 Dreiecksmatrizen I Dreiecksmatrizen sind eine weitere spezielle Art von Matrizen. Sie werden unterschieden in obere und untere Dreiecksmatrizen. unter- Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie Äuber- bzw. halb der Hauptdiagonalen nur Nullen besitzen. 57 Steven Köhler Dreiecksmatrizen II a? :::?? a :::?? O = ::: a n? 5 ::: a n a :::? a ::: U = ?? ::: a n 5?? :::? a n 58 Steven Köhler

30 Transponierte Matrix I Aus einer Matrix A erhäalt man die transponierte Matrix A T dadurch, dass man die Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix A vertauscht. Mit anderen Worten: Die Matrix A wird an der Hauptdiagonalen " gespiegelt\. Gegentlich wird die transponierte Matrix auch gestäurzte Matrix genannt. 59 Steven Köhler Transponierte Matrix II Es sei A R n m gegeben durch: a ::: a m 6 A = : a n ::: a nm Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten erhäalt man die transponierte Matrix A T R m n : a ::: a n A T 6 = : a m ::: a nm 6 Steven Köhler

31 Symmetrische Matrizen Eine quadratische Matrix A R n n hei¼t symmetrisch, wenn fäur alle i; j N ( i n und j n) Folgendes gilt: a ij = a ji : FÄur symmetrische Matrizen gilt au¼erdem A = A T : 6 Steven Köhler Inverse Matrix I Eine quadratische Matrix A hei¼t invertierbar, falls es eine Matrix A gibt, fäur die gilt: A A = A A = E: Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. Falls eine Matrix invertierbar ist, so ist ihr Inverses allerdings eindeutig bestimmt. 6 Steven Köhler

32 Inverse Matrix II Frage: Woher wei¼ man, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist oder nicht? Wenn man wei¼, dass eine Matrix invertierbar ist, wie kann man die inverse Matrix bestimmen? 6 Steven Köhler Inverse Matrix III Antwort: Man wendet den Gau¼-Jordan-Algorithmus an. ² Ist die Matrix invertierbar, liefert dieser garantiert die inverse Matrix. ² Ist die Matrix nicht invertierbar, wird dies durch das Verfahren zweifelsfrei festgestellt. 64 Steven Köhler

33 Gauß Jordan Algorithmus I Der Gau¼-Jordan-Algorithmus besteht aus den folgenden einfachen Schritten, mit deren Hilfe man die inverse Matrix bestimmen kann, falls sie existiert. Vorbereitung Man erstellt die folgende Blockmatrix: h A i E : A ist die zu invertierende Matrix, E ist eine entsprechend dimensionierte Einheitsmatrix. 65 Steven Köhler Gauß Jordan Algorithmus II. Schritt Man wäahlt die erste Spalte, die noch nicht in der richtigen Form vorliegt ( auf der Hauptdiagonalen, sonst nur Nullen).. Schritt Ist das Hauptdiagonalenelement der Spalte eine Null, so vertauscht man die Zeilen der Matrix auf geeignete Art, um ein von Null verschiedenes Element in die Hauptdiagonale zu bekommen.. Schritt Durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor macht man das Hauptdiagonalenelement der Spalte zu einer. 66 Steven Köhler

34 Gauß Jordan Algorithmus III 4. Schritt Durch Addition geeigneter Vielfacher der gerade multiplizierten ZeilebringtmanalleanderenElementeinderaktuellenSpalte auf Null. 5. Schritt Man wiederholt dieses Vorgehen, bis alle Spalten der Matrix A die richtige Form haben oder bis ein weiteres Umformen nicht mehr mäoglich ist. 67 Steven Köhler Gauß Jordan Algorithmus IV Beispiel Gesucht ist das Inverse der Matrix A = LÄosung ZunÄachst stellen wir die entsprechende Blockmatrix auf Steven Köhler

35 Gauß Jordan Algorithmus V Zuerst bringen wir das Hauptdiagonalenelement der ersten Spalte in die richtige Form, indem wir die erste Zeile mit multiplizieren Um den Rest der ersten Spalte in die richtige Form zu bringen, addieren wir das ( 4)-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile Steven Köhler Gauß Jordan Algorithmus VI Weiter mit Spalte. ZunÄachst vertauschen wir die zweite und dritte Zeile Durch Multiplikation mit bringen wir das Hauptdiagonalenelement von Zeile in die richtige Form Steven Köhler

36 Gauß Jordan Algorithmus VII Durch Addition des doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile bringen wir die zweite Spalte in die richtige Form Weiter mit Spalte. Multiplikation der dritten Zeile mit ergibt: Steven Köhler Gauß Jordan Algorithmus VII Addition geeigneter Vielfacher zu den ersten beiden Zeilen bringt schlie¼lich die dritte Spalte in die richtige Form Wir haben also die inverse Matrix zu A gefunden. 8 6 A = Steven Köhler

37 Gauß Jordan Algorithmus VIII Ist die Matrix A nicht invertierbar, so läasst sie sich mit dem Gau¼-Jordan-Algorithmus nicht zur Einheitsmatrix E umformen. Im Gegenzug kann die Matrix A immer genau dann zur Einheitsmatrix E umgeformt werden, wenn sie invertierbar ist. 7 Steven Köhler Aufgaben Aufgabe II-5 a) Es sei A R gegeben durch A = 4 5. Berechne A mit Hilfe des Gau¼-Jordan-Algorithmus. ÄUberprÄufe dein Ergebnis auf Richtigkeit! b) Zeige, dass die folgende Matrix B R nicht invertierbar ist: B = : 74 Steven Köhler

38 Aufgaben Aufgabe II-6 Zeige anhand der Matrix A =, 7 dass die folgende Eigenschaft gilt: A T = A T : 75 Steven Köhler Anwendungen für Matrizen Matrizen haben eine Vielzahl von Anwendungsgebieten: ² Wachstumsmatrizen ² Populationsmatrizen ² Kosten-Preis-Kalkulationen ² LÄosen von linearen Gleichungssystemen ² Darstellung von linearen Abbildungen ² Anwendungen in der Computergra k (Rotation, Translation, etc.) 76 Steven Köhler