Reaktion-Diffusion, Chemotaxis und nichtlokale Mechanismen

Transkript

1 Reaktion-Diffusion, Chemotaxis und nichtlokale Mechanismen Dennis Meisberger J. D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction Kapitel

2 Gliederung 1 - Allgemeines und Grundlagen - Die Ficksche Diffusion - Reaktion-Diffusions-Gleichungen - Modelle tierischer Ausbreitung 2 Chemotaxis 3 Nichtlokale Effekte und langreichweitige Diffusion 4 Zellpotentiale, Energieansatz zur Diffusion und Langstrecken-Effekte 5 Fazit

3 Allgemeines und Grundlagen Abb.1: Rasterelektronenmikroskopaufnahme von Nano-Partikeln (Quelle : Ruhr UniversitätBochum)

4 Einfache Zufallsbewegungen zufällige Bewegung von Teilchen auf mikroskopischer Ebene Verteilung der Teilchen aufgrund dieser zufälligen Bewegung mikroskopische unregelmäßige Bewegung führt zu makroskopischer regelmäßiger Bewegung (Diffusion) Herleitung des makroskopischen Verhaltens aus mikroskopischen Verhalten ist jedoch unmöglich, deshalb kontinuierliche Modellgleichung (Teilchendichte)

5 Elementare Grundlagen Abb.2: Eindimensionale Bewegung eines Teilchens

6 Annahmen x = feste Schrittweite t = dafür benötigte Zeit Nach Zeit N t ist Teilchen irgendwo zwischen N x und N x Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit p(m, n), mit der ein Teilchen einen Punkt nach m Schritten und n Zeitschritten erreicht

7 Um den Punkt x = m x zu erreichen, bewege sich das Teilchen a Schritte nach rechts b Schritte nach links Dann gilt: m = a b, a + b = n a = n + m, b = n a 2 Die Gesamtanzahl an möglichen n-schritt-wegen ist 2 n und damit ist die Wahrscheinlichkeit p(m, n) = 1 2 n n! a!(n a)!, a = n + m 2

8 Mit der Stirling-Formel n! = Γ (n + 1) = 0 e t t n dt ergibt sich nach kurzer Rechnung gerade die Normalverteilung p(m, n) ( ) ( ) m2 2n e πn m, n >> 1

9 Setze u = p 2 x, wobei p = 2u x die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen im Intervall (x, x + x) zu finden Damit ergibt sich p ( x x, ) t { t 2 x t 2πt( x) 2 Mit dem letzen Schritt ergibt sich u(x, t) = } 1 2 e { x2 2t } t ( x) 2 p ( x x lim, ) { } t { } 1 t 1 2 x2 4Dt = e x, t 0 2 x 4πDt

10 D ist dabei der Diffusionskoeffizient oder die Diffusivität Maß für die Beweglichkeit der Teilchen [D] = 1 m2 s Stoff in Blut Hämoglobin Sauerstoff Größenordnung von D 10 7 cm2 s 10 5 cm2 s

11 Die Ficksche Diffusion Die Konzentrationen an Teilchen in einem Medium können sich lokal ändern. Dies bedeutet, dass sich Teilchen von einem Ort an einen anderen begeben, sie müssen diffundieren. 1. Ficksches Gesetz J c x J = D c x c(x, t): Konzentration des Stoffes D: Diffusivität J: Fluss

12 Abb.3: Der Nettofluss in ein Gebiet ist die Differenz des aus einem Gebiet großer Konzentration (links) eintretenden Flusses und des die Region kleiner Konzentration (rechts) austretenden Flusses (Quelle: TU Braunschweig)

13 Die Konzentrationsänderung ist dann dc dt = J(x) J(x + dx) dx Da J(x + dx) = J(x) + ( J x ) dx erhält man c = J x c : zeitliche Konzentrationsänderung J(x) = N Adt : Teilchenstrom-Zufluss J(x + dx) = N Adt : Teilchenstrom-Abfluss

14 Mit dem 1. Fickschen Gesetz erhält man nun das 2. Ficksche Gesetz c = D 2 J x 2 wobei D als konstant angenommen wurde. Eine Lösung der DGL ergibt sich wie folgt: (RB: x = 0 und t = 0: Menge Q an Partikeln vorhanden) Q c(x, t) = e 2 (πdt ) 1 2 ( ) x2 4DT

15 Abb.4: Konzentrationsprofile für die Diffusion von einer Quelle (Quelle: J. D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction)

16 Reaktion-Diffusions-Gleichungen Betrachte nun drei Dimensionen c(x, t)dv = wobei J: Fluss des Materials V S J ds + f dv V f : eine von c, x und t abhängige Funktion (Quelle) Annahme Volumen V beliebig Konzentration c(x, t) kontinuierlich c + J = f (c, x, t)

17 Es gilt für klassische Diffusionsprozesse J = D c Zwei Beispiele: c = f + (D c) Verallgemeinerung: u = f + (D u) wobei u Vektor und D Matrix Fisher-Gleichung: n = rn ( 1 n K ) + D 2 n

18 Modelle tierischer Ausbreitung D nun abhängig von der Populationsgröße J = D(n) n; dd dn > 0 D(n) = D 0 ( n n 0 ) m ; m, D 0, n 0 > 0 n [( ) n m ] n = D 0 x n 0 x

19 DGL hat exakte analytische Lösung der Form [ ( ) ] 1 2 m n 0 n(x, t) = λ(t) 1 x r 0 λ(t) ; x r 0 λ(t) 0 ; x > r 0 λ(t), wobei ( t λ(t) = t 0 ) 1 2+m ; r0 = QΓ ( 1 m [ π 1 2 n 0 Γ ( 1 m + 1)]; t 0 = ) r 2 0 m 2D 0 (m + 2)

20 Abb.5: Schematische Lösung für vorherige Gleichung als Funktion von x zu verschiedenen Zeiten t (Quelle: J. D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction)

21 Beispiel für ein Model geringer Insektenpopulation J = U n D(n) n ; x wobei U : Transportgeschwindigkeit [( n n = U 0 [n sgn(x)] + D 0 x keine triviale Lösung möglich jedoch Idee des Lösungsverhaltens wie folgt lim n(x, t) n(x) = t ( ) n 0 1 mu 1 0 x m D 0 n 0 ) m ] n x ; x D 0 mu 0 0 ; x > D 0 mu 0

22 Abb.6: Schematische Form der stationären Verteilung für kleine Insektenpopulationen, die zur Anhäufung neigen (Quelle: J. D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction)

23 Chemotaxis Allgemeines Beeinflussung der Fortbewegungsrichtung von Lebewesen oder Zellen durch Stoffkonzentrationsgradienten Übermittlung von Informationen über Geruchssinn Bewegung in Richtung höherer Konzentration: positive Chemotaxis (Lockstoff) Bewegung in entgegengesetzte Richtung: negative Chemotaxis (Schreckstoff) Im Folgenden ist a(x, t) Lockstoff und n(x, t) Anzahl an Zellen des Schleimpilzes Dictyostelium discoideum

24 Chemotaxis Chemotaktischer Fluss ist gegeben durch J = nχ(a) a wobei χ(a) eine von der Lockstoffkonzentration abhängige Funktion ist Weiter gilt: J = J Diffusion + J Chemotaxis n = f (n) nχ(a) a + D n. Lockstoff nun Chemikalie, die selbst produziert wird und diffundiert a = g(a, n) + D a a, wobei D a Diffusivität des Lockstoffs g(a, n) Quellterm

25 Chemotaxis Einfaches Modell zur Beschreibung der Ausbreitung eines Schleimpilzes mit f (n) = 0: Rate der Amöbenproduktion vernachlässigbar χ(a) = χ 0 = const. g(a, n) = hn ka, h, k > 0 hn: spontane Lockstoffproduktion ka: Zerfall/Rückgang der Lockstoff-Aktivität n a = D 2 n x 2 χ 0 x = hn ka + D a 2 a x 2 ( n a ) x

26 Nichtlokale Effekte und langreichweitige Diffusion bisher Konzentrationen/Dichten sehr klein durch Ficksche Diffusion makroskopisch gut erklärbar, ausreichend für Vielzahl von Prozessen Annahme bisher: Diffusion ist lokal Betrachte 2 n n(x, t) n(x, t) R 2 für R 0, wobei n die mittlere Dichte in einem Gebiet mit Radius R um x ist: [ ] 3 n av = n(x, t) = 4πR 3 n(x + r, t)dr V

27 Nichtlokale Effekte und langreichweitige Diffusion Nach Taylorentwicklung von n(x + r, t) um x und Integration erhält man n av = ( ) 3 n(x, 4πR 3 t) = n(x, t) R2 2 n(x, t) Proportionalitätsfaktor: 10 3 V dr + 2 n(x, t) V r 2 2 dr 2 n = 10 3 n(x, t) n(x, t) R 2

28 Nichtlokale Effekte und langreichweitige Diffusion Jetzt: Beschreibung nicht-lokaler und langreichweitiger Diffusion Statt J n jetzt: wobei J = N(x): Umgebung von x G [ n(x + r, t)] r N(x) G: funktionaler Zusammenhang des Gradienten resultierender Fluss ) J = D 1 n + D 2 ( 2 n D 1 > 0 und D 2 : Konstanten

29 Nichtlokale Effekte und langreichweitige Diffusion Mit n = J ergibt sich: n = J = D 1 n }{{} 1 1: Durchschnitt nächster Nachbarn ( ) D 2 2 n } {{ } 2 2: biharmonischer Term, Beitrag aus dem Durchschnitt der nächstgelegenen Durchschnittswerte, stabil für D 2 > 0 Lösung ergibt: k: Wellenzahl Für große k, k 2 > D 1 D 2 gilt: n(x, t) e [ (D 1k 2 +D 2 k 4 )t+ik x] n(x, t) t 0 für D 2 > 0 n(x, t) t für D 2 < 0

30 Nichtlokale Effekte und langreichweitige Diffusion Andere wichtige Formulierung n = f (n) + ω(x x )n(x, t)dx, wobei ω(x x ): Kernfunktion, beschreibt Wirkung von n(x, t) auf n(x, t) Gedächtnis f (n): Quellterm Beispiel: neurale Zellen (n Feuerrate, f (n) Impulsfrequenz) Abb.7: Quelle: J. D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction

31 Nichtlokale Effekte und langreichweitige Diffusion Umformungen (Taylorentwicklung um x) ergeben: n 2 n = f (n) + ω 0 n + ω 2 x 2 + ω 4 n 4 x , wobei ω 2m : Kernmomente Abb.8: Quelle: J. D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction

32 Zellpotentiale, Energieansatz zur Diffusion und Langstrecken-Effekte Beschreibung der langreichweitigen Diffusion über Energieansatz E[n] = e(n)dx mit V e(n): Energiedichte, innere Energie pro Volumen eines sich entwickelnden räumlichen Musters µ(n): Potential µ(n) = δe δn = e (n) Weiterhin gilt wie bisher n = J = [D µ(n)] = [De (n) n ]

33 Zellpotentiale, Energieansatz zur Diffusion und Langstrecken-Effekte Bei simpler klassischer Diffusion mit konstanter Diffusion gilt: e(n) = n 2 /2 und µ(n) = n, somit Nun Annahme: n = D 2 n Zellen reagieren empfindlich auf Umwelt d.h. Energie zur Aufrechterhaltung der Heterogenität hängt von benachbarten Gradienten ab E[n] = e(n) + k 1 2 n + k 2 ( n) dx n V = D k 4 n + D a 2 n + D b 2 n 3

34 Fazit Gute Beschreibung der meisten Prozesse durch Ficksche Diffusion (lokal) Tierausbreitung (Amöben o.ä.) durch Konzentrationsgefälle gut erklärbar und voraussagbar Chemotaxis findet Anwendung bei Infektionsbekämpfung Beschreibung langreichweitiger Diffusion durch Kernansatz (Nachbarzellen)