Lösungsskizzen zur Präsenzübung 02

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Adolph Hofmann
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1 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 02 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 20/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 09. November 20 von: Mirko Getzin Homepage: Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 20/2016. Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen) zu skizzieren. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-ausdruck von verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-format auf der unten angegebenen Homepage zu finden. 1

2 Lösungsskizzen Lösung zur Aufgabe 1. In dem Beweis wird die definierende Eigenschaft eines Streumaßes für das Beispiel der Varianz nachgerechnet, so dass man schließlich folgern kann, dass die Varianz ein Streumaß ist. Beim ersten Gleichheitszeichen und beim letzten Gleichheitszeichen geht jeweils die Definition der Varianz ein, jeweils angewandt auf die verschiedenen Stichproben. Das verbindende Gleichheitszeichen gilt, weil das arithmetische Mittel ein Lagemaß ist und deshalb die Eigenschaft (*) erfüllt. Es gilt folglich x a = x + a, (0.1) da die zweite Stichprobe aus der bekannten Transformation (+a zu allen Stichprobenwerten) der ersten Stichprobe hervorgeht. Einsetzen dieser Gleichung liefert die Behauptung. Da wir a R beliebig betrachten, gilt die Aussage s 2 = s 2 a letztlich für alle reellen Zahlen a und damit ist die Definition erfüllt. Lösung zur Aufgabe 2. Sei x 1,..., x n die Urliste und x 1,..., x n die transformierte Urliste, so dass x i = x i + a für ein festes a R gilt. Da der Median und das arithmetische Mittel Lagemaße sind, erfüllen sie die Eigenschaft (*), das heißt x = x + a und x 0,5 = x 0,5 + a. Mit diesen Eigenschaften erhalten wir für i = 1,..., n in den Definitionen der Streumaße x i x = x i + a x a = x i x und x i x 0,5 = x i + a x 0,5 a = x i x 0,5 (0.2) Durch Einsetzen der Gleichungen 0.2 erhält man analog zu Aufgabe 1 den Beweis für jede Kennzahl der Streuung, die in der Vorlesung thematisiert wurden. Lösung zur Aufgabe 3. Achtung, in der Aufgabe befindet sich ein Tippfehler. Der Punkt in der gegebenen Urliste sollte ein Komma sein. Richtig lautet es also 1, 6, 2, 0, 0, 5, 2, 1, 8, 4, 0, 12, 1, 0, 3. Wir berechnen nun alle bekannten Streumaße (vergleiche A2) für diese Stichprobe. Hierzu sortieren wir die Urliste aufsteigend und erhalten 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 6, 8, 12. 2

3 Dann ist der Stichprobenumfang n =. Weiter ist x min = 5 und x max = 12 und der Median x 0,5 = x 9 = 0 und das arithmetische Mittel x = 1. Daraus bestimmen wir die Streumaße. Spannweite: x max x min = 12 ( 5) = 17 p-quantilsabstand: Wir berechnen exemplarisch den Quartilsabstand, das heißt für p = 1/4 den p-quantilsabstand. x 1/4 = 2, x 3/4 = 2. Dann erhalten wir 2 ( 2) = 4 als Quartilsabstand. Medianabweichung: Da der Median hier x 0,5 = 0 ist, ist die Medianabweichung gleich dem Median der Absolutbeträge aller Elemente der Urliste, also 2. Mittlere absolute Abweichung vom Median: s = 1 x i 0 = 3. Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel: x = 1 x i x = 48 = 3, 2. Varianz: s 2 = 1 (x i 1) 2 = , 33. Standardabweichung: s = s 2 4, 40. 3

4 Relevante Sachzusammenhänge Bei der Bearbeitung dieses Aufgabenblattes sind folgende Definitionen, Sätze und Formeln relevant. Einige der folgenden Inhalte müssen nicht bei der Bearbeitung der Aufgaben verwendet werden, jedoch erleichtern sie das Bearbeiten unter Umständen. Definition 0.1 (Streumaß). Vergleiche 1c) im Leitfaden zur Vorlesung. Beispiel 0.2 (Streumaße). 4

5 Universität Bielefeld Wintersemester 20/16 G. Elsner Präsenzübungen zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik Blatt 2 Aufgabe 1 Die Varianz ist ein Streumaß. Betrachten Sie den folgenden Beweis dieser Aussage, arbeiten Sie ihn Schritt für Schritt durch und diskutieren Sie jeden einzelnen Schritt in Zweier- oder Dreiergruppen. Sei s 2 die Varianz und x das arithmetische Mittel der Stichprobe x 1,..., x n und s 2 a die Varianz und x a das arithmetische Mittel der Stichprobe x 1 + a, x 2 + a,..., x n + a für eine beliebige reelle Zahl a. Dann gilt: s 2 a = n ( ) 2 n (xi + a) x a = (x i x) 2 = s 2 Aufgabe 2 Beweisen Sie, dass die in der Vorlesung eingeführten Kennzahlen für die Streuung einer Stichprobe Streumaße im Sinne der Definition in der Vorlesung sind (vgl. Aufgabe 1). Aufgabe 3 Bestimmen Sie zu der nachfolgenden Stichprobe alle in der Vorlesung eingeführten Streumaße! 1, 6, 2, 0, 0, 5, 2, 1, 8, 4.0, 12, 1, 0, 3 5

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