Intensiv-Kurs Betriebswirtschaftslehre und betriebliches Management. Vertiefungsstudium. Kurs X. Modellgestütztes Entscheidungsmanagement

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1 Intensiv-Kurs Betriebswirtschaftslehre und betriebliches Management Vertiefungsstudium Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement von Univ.-Prof. Dr. Wilhelm Rödder

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3 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 1 I. Gliederung 1. Fallstudien Produktionsplanung einer Tischlerei Schätzung von Lagerhaltungskosten Phasenoptimierung einer Ampelschaltung Vergabe von Konsumentenkrediten 6 2. Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre und Modellanalyse Entscheidungslehre Präliminarien zur Entscheidungslehre Bestimmungsgrößen der Entscheidungssituation Entscheidungsrationalität und Zielfunktion Das Entscheidungsmodell Rationalitätsmaximen Bernoulli-Nutzen und Bernoulli-Prinzip Aktionsabhängigkeit und Zeitabhängigkeit Modellanalyse Vom realen System zum Modell Von der Modellanalyse zur Realität Ein aktions- und zeitabhängiges Investitionsmodell Entscheidungsmethoden Lineare Planungsrechnung Mathematische Charakterisierung der Produktion Hauptmodelle der Linearen Planungsrechnung Die einstufige Produktionsplanung Lösung des Tischlereimodells Substitution linear limitationaler Produktionsprozesse Maximierung der Ausbringung bei Faktorbeschränkungen Substitution linear limitationaler Produktionsprozesse Kostenminimierung bei gewünschter Ausbringungsmenge Lösung eines Raffineriemodells mittels LP-Software Nichtlineare Planungsrechnung Nichtlinearität Das Markowitz-Modell effizienter Portefeuilles als quadratische Aufgabe Rentabilitätsmaximierung als Quotientenaufgabe Monte-Carlo-Simulation Grundlagen der Monte-Carlo-Simulation Bestimmungsgrößen von Warteschlangensystemen Simulation eines Einkanal- und eines Zweikanalsystems 72

4 2 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 3.4 Intelligente Simulation Grundlagen Nachbarschaftssuchverfahren Simulated Annealing SA - ein stochastisches Nachbarschafts-Suchverfahren Der genetische Algorithmus GA - ein stochastisches Rekombinationsverfahren Die Grundidee des GA Bandabgleich mit GA Einsatz von Expertensystemen Die Historie der Expertensysteme Kundenmerkmalsbezogene Kreditvergabe Vorüberlegungen Prognosen mit SPIRIT Die Entscheidungen 102 Lösungen zu den Übungsaufgaben 105 Anhang A Tabellen 129 Anhang B Softwarehinweise 131 Literaturverzeichnis 132 Namen- und Sachverzeichnis 135

5 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 3 II. Vorbemerkungen und Lehrziele In den vier Fallstudien dieses Kapitels wird jeweils ein kleiner Ausschnitt einer Planungssituation verbal und dann mittels mathematischer Symbolik beschrieben. Gelöst werden die Planungsaufgaben noch nicht. Kapitel 1 Nach Studium des Kapitels 1 sollten Sie in der Lage sein, die jeweilige Planungssituation verbal zu beschreiben die Übertragung der Situation auf ein Modell mit Parametern und Variablen durchzuführen. Kapitel 2 berichtet über das Grundmodell betriebswirtschaftlicher Entscheidungslehre (2.1) und die Modellanalyse (2.2). Kapitel 2 Im ersten Teil erfahren Sie, wie man aus der Menge möglicher Aktionen die betriebswirtschaftlich vernünftigste anhand erwarteter, meßbarer Ergebnisse ausgewählt. Damit das gelingt, muß das wirtschaftliche Umfeld bekannt sein. Je nach Güte des entsprechenden Informationsstandes werden dann vernünftige = rationale Handlungsmaximen abgeleitet. Entscheidend für rationale Handlungen ist neben der Güte des Informationsstandes auch der Nutzen, den der Entscheidende möglichen ökonomischen Ergebnissen beimißt. Hier werden Sie also für die Wichtigkeit des Nutzenbegriffs sensibilisiert. Im zweiten Teil wird Ihnen die Begriffswelt System / Model / Modellanalyse / Entscheidungsvorbereitung nähergebracht. Wie gut ein Modell eines realen Systems sein muß, damit Erkenntnisse aus Modelluntersuchungen gefahrlos auf die Realität übertragen werden können ist der Tenor dieses Abschnitts. Nach Studium des Kapitels 2 sollten Sie in der Lage sein, die verschiedenen Skalenniveaus, mit denen ökonomische Größen gemessen werden können, zu benennen und zu charakterisieren die Bestimmungsgrößen einer Entscheidungssituation zu beschreiben die verschiedenen Informationsstände über die Umwelt zu benennen und zu charakterisieren die Rationalitätsmaximen zu benennen und nach ihnen zu entscheiden den Bernoulli- vom Wert-Nutzen abzugrenzen den erwarteten Wert der sicheren Information für ein kleines Beispiel auszurechnen die Stufen der Modellanalyse aufzuzählen einen fünfminütigen Vortrag über den wert von Information zu halten.

6 4 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement Kapitel 3 Kapitel 3 ist überschrieben mit Entscheidungsmethoden. Hier werden die Modelle zur Lösung der Fallbeispiele in einen größeren ökonomisch/technischen Zusammenhang gestellt und Lösungsmethoden vorbereitet. Die Lineare Planungsrechnung gestattet die Berechnung deckungsbeitragsmaximaler Produktionsprogramme und die Optimierung von einstufigen oder mehrstufigen Produktionsprozessen (Abschnitt 3.1). Die Nichtlineare Planungsrechnung erweitert den Kalkül auf nichtlineare Abhängigkeiten. Beispielhaft werden hier effiziente Wertepapierportefeuilles und maximale Rentabilitäten errechnet (Abschnitt 3.2). Der Monte-Carlo-Simulation als Methode des Durchspielens alternativer Entscheidungen ist Abschnitt 3.3 gewidmet. Wie man den Zufall nachzeichnet und etwa zufällige Lagerbewegungen simuliert, wie man Warteschlangen an Kassen modelliert und die Simulation zur Dimensionierung der Kassensysteme verwendet, lernen Sie in diesem Abschnitt. Abschnitt 3.4 behandelt die sogenannte Intelligente Simulation. Intelligent heißt sie aus zwei Gründen: Erstens, weil sie dem Gebiet der Künstlichen Intelligenz zugerechnet wird, und zweitens wegen ihrer intelligenten Ausnutzung von Kenntnissen über die Struktur des Lösungsraums. Da wird zum einen das stochastische Nachbarschaftssuchverfahren Simulated Annealing (SA) vorgestellt und auf das Problem der Optimierung einer Ampelschaltung angewandt, zum anderen wird ein Fließband mittels des Genetischen Algorithmus (GA) abgetaktet. SA und GA beziehen ihre Intelligenz aus physikalischen und biologischen Vorbildern. Abschnitt 3.5 schließlich beschäftigt sich mit dem Einsatz von Expertensystemen zur Entscheidungsunterstützung. Nachdem über die Historie von solchen Systemen berichtet wurde, steht dann der Einsatz der Expertensystem-Shell SPIRIT zu Prognosezwecken im Vordergrund. Prognostiziert werden soll die Kreditwürdigkeit von Bankkunden aufgrund ihrer Merkmalsprofile und der Schufa-Auskunft oder der Einschätzung eines Beraters. Dazu bedarf es der Shell SPIRIT und der Roll-Back-Analyse in einem stochastischen Entscheidungsbaum. Nach Studium des Kapitels 3 sollten Sie in der Lage sein, die Hauptmodelle der Linearen Planungsrechnung zu benennen und niederzuschreiben eine Standardaufgabe der Linearen Optimierung (LO) per Hand durchzurechnen eine LO-Aufgabe mittels der Software LINGO zu lösen die Nobelpreis-würdige Idee von Markowitz zur Risikostreuung durch Diversifizierung zu beschreiben die multiplikative Kongruenzmethode zur Erzeugung von Zufallszahlen niederzuschreiben die Idee des Inversionsverfahrens zu beschreiben

7 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 5 die Bestimmungsgrößen von Warteschlangensystemen aufzuzählen zu folgenden Begriffen den Inhalt zu benennen: Ankunftsrate, Gesamtmodellzeit, Gesamtbedienzeit, Gesamte Wartezeit, Auslastungsgrad, mittlere Schlangenlänge, mittlere Wartezeit, Abgangsrate zu erklären, was ein Eröffnungsverfahren, ein Verbesserungsverfahren, ein Nachbarschafts-Suchverfahren, das Verfahren SA ist das Problem des Bandabgleichs zu beschreiben einen 10-minütigen Vortrag über den Bandabgleich mittels GA zu halten einen 5-minütigen Vortrag über Expertensysteme zu halten die beiden Wissensbasen zum einstufigen und zum zweistufigen Kreditwürdigkeitsbeispiel in SPIRIT aufzubauen anhand eines stochastischen Entscheidungsbaums z.b. den aus diesem Kurs minutiös die Grundidee der Roll-Back-Analyse zu erläutern.

8 6 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement III. Leseprobe 3. Entscheidungsmethoden 3.3 Monte-Carlo-Simulation Bestimmungsgrößen von Warteschlangensystemen Kunde Element Kanal Bedienungsstation Schlange Warteschlangensysteme bestehen aus einem Ankunftsprozeß von Kunden oder allgemein von Elementen, einer Anzahl von Kanälen oder Bedienungsstationen, in denen die Kunden abgefertigt werden, einer Menge von sich vor den Bedienungsstationen bildenden Schlangen aus wartenden Kunden. Das Ziel der Betrachtung von Warteschlangensystemen ist stets die Voraussage bzw. Interpretation der zeitlichen Entwicklung von Kenngrößen derselben im Zeitablauf. Damit das gelingen kann, unterscheidet man die Systeme nach Inputcharakteristika Ankunftsverhalten Schlangenstruktur Schlangendisziplin Kanalstruktur Inputcharakteristika. Stichwortartig führen wir auf: Input endlich / unendlich, Einzelankunft / Gruppenankunft, Zwischenankunftszeiten deterministisch / stochastisch. Ankunftsverhalten. 'Geduldige' / 'ungeduldige' Ankünfte. Geduldige Kunden können sich an die kürzeste / die nächste / eine spezielle / eine zufällige Schlange anschließen. Ungeduldige Kunden können den Anschluß an eine bestimmte Schlange verweigern, ja sie sogar wieder verlassen. Sie können von Schlange zu Schlange springen. Schlangenstruktur. Darunter versteht man die Zuordnung der Schlangen zu den Stationen. Denken Sie selbst einige Beispiele durch. Schlangendisziplin. Die anstehenden Kunden können nach Zufallszugriff, FirstIn / FirstOut, LastIn / FirstOut, nach Prioritätsregeln wie KOZ oder LOZ bedient werden. Kanalstruktur. Darunter versteht man die Organisation der Kanäle in Reihe / parallel / gemischt.

9 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 7 Bedienzeiten. Hier unterscheidet man nach deterministischen und stochastischen Bedienzeiten und diese wieder nach ihren Verteilungen. Outputcharakteristika. Nennen Sie selbst einige Spezialfälle! Für jeden Warteschlangentyp kann man dann die oben genannte Entwicklung der Kenngrößen über die Zeit oder im stationären Zustand studieren. Zumindest einige stationäre Kenngrößen nennen wir: die Ankunftsrate λ, die Abfertigungsoder Bedienrate μ, die Verkehrsdichte λ μ, die mittlere Kundenzahl in der Schlange / im System, die mittlere Wartezeit in der Schlange / im System. Zur sauberen Kennzeichnung von Warteschlangensystemen hat sich ein Klassifizierungscode (K1, K2, K3, K4, K5) etabliert, wobei die Kürzel spezifiziert werden nach der K1: Art des Ankunftsprozesses K2: Art des Bedienprozesses K3: Anzahl der Kanäle K4: Beschränkung des Warteraums K5: Schlangendisziplin. So steht das Fünftupel (M, M, 1,, FIFO) für einen Poisson-Ankunftsprozeß, exponentialverteilte Bedienzeiten, ein 1-Kanalsystem, eine unendliche Warteraumkapazität mit FirstIn/FirstOut-Bedienung. Für dieses und zahlreiche andere Modelle können interessierende Kenngrößen analytisch berechnet werden. Das Thema ist Gegenstand des Kurses [WATE 843] der FernUniversität. In unserem Kontext jedoch werden wir die Idee der Simulation weiterverfolgen. Bedienzeiten Ankunftsrate Abfertigungsrate Verkehrsdichte mittlere Kundenzahl mittlere Wartezeit Klassifikationscode Das Ablaufschema in Abbildung 3.8 'schleust' alle i = 1,...,I Kunden durch das System. Hierbei bedeutet z i die Zwischenankunftszeit von (i-1)-ten zum i-ten Kunden, b i die Bedienzeit des i-ten Kunden. Abgeleitete Größen sind der An- Outputcharakteristika Poisson- Ankunftsprozeß Simulation eines Einkanal- und eines Zweikanalsystems In diesem Abschnitt studieren wir nunmehr das sogenannte Erlangsche Schlangenmodell (M, M, 1,, FIFO) genauer. Seine Charakteristika sind: Der Ankunftsprozeß ist ein sogenannter Poissonprozeß; die pro Zeiteinheit erwartete Zahl von Kunden ist λ, die sogenannte Ankunftsrate. Die Zwischenankunftszeiten sind dementsprechend exponential verteilt mit Erwartungswert 1/λ. Die Bedienzeiten sind ebenfalls exponentialverteilt mit Erwartungswert 1/μ. Etwas unsauber sagt man auch: Die Bedienrate ist μ. Es liegt ein Einkanalsystem vor. Den Kunden steht also nur eine Kasse zur Verfügung. Der Warteraum ist unbeschränkt. Die Schlangendisziplin ist FIFO. Erlangsches Schlangenmodell Ankunftsrate Zwischenankunftszeiten Bedienzeiten Einkanalsystem

10 8 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement kunftszeitpunkt t i des Kunden i, e i sein jeweiliges Bedienende und w i seine Wartezeit in der Schlange. b und w sind die Gesamtbedienzeit bzw. die Gesamtwartezeit im System. Alle Größen in Minuten. Übungsaufgabe 3.25 Begründen Sie mit ihren eigenen Worten, warum a) i 1 i = j + i j= 1 t z z b) ei = max ( e i 1,ti) + bi c) w = max ( 0,e t ) i i 1 i d) e I = Modellzeit i = 1, w = b = e 0 = t 0 = 0 Generieren z i, b i b = b + b i t i = t i-1 + z i e i-1 > t i nein w i = 0 e i = t i + b i ja w i = e i-1 - t i e i = e i-1 + b i i = i + 1 w = w + w i ja i < I nein Ende Abb. 3.8: Flußdiagramm Simulationsablauf Einkanalsystem Mit einem am Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insbes. Operations Research entwickelten Programm wurden die in Tabelle 3.11 auszugsweise dargestellten Ergebnisse für eine Ankunftsrate λ = 1 und einer Bedienrate μ = 2 ermittelt.

11 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 9 Tab Teilergebnisse eines Simulationslaufs Einkanalsystem (M, M, 1,, FIF0) mit λ = 1 und μ = 2 i z i t i b i i i Σ jbj e i w i Σ jwj 1 0,46 0,46 0,16 0,16 0,62 0,00 0,00 2 0,16 0,62 0,53 0,69 1,15 0,00 0,00 3 0,03 0,65 0,15 0,84 1,30 0,50 0,50 4 0,14 0,79 0,02 0,86 1,32 0,51 1,01 5 0,53 1,31 0,20 1,06 1,52 0,00 1,01 6 0,23 1,55 0,24 1,30 1,79 0,00 1,01 7 1,41 2,97 0,72 2,02 3,69 0,00 1,01 8 1,02 3,99 1,49 3,51 5,47 0,00 1,01 9 0,39 4,38 0,76 4,27 6,23 1,09 2, ,07 5,45 2,06 6,33 8,30 0,79 2, ,89 193,70 0,15 100,13 194,46 0,60 98, ,00 194,70 0,07 100,20 194,78 0,00 98, ,01 194,72 0,87 101,07 195,65 0,06 98,81 Übungsaufgabe 3.26 Bitte entnehmen Sie die entsprechenden Zahlen aus Tabelle 3.11 und tragen Sie Sie die Kennzahlen und ihre Dimensionen in die folgenden Platzhalter ein. Gesamtmodellzeit = Gesamtbedienzeit = Gesamte Wartezeit = Auslastungsgrad = Gesamtbedienzeit Gesamtmodellzeit Mittlere Schlangenlänge = Gesamtwartezeit Gesamtmodellzeit Mittlere Wartezeit = Gesamtwartezeit Anzahl Kunden Abgangsrate = Anzahl Kunden Gesamtmodellzeit = = = =

12 10 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 3.4. Intelligente Simulation Der genetische Algorithmus GA - ein stochastisches Rekombinationsverfahren Genetischer Algorithmus (GA) Die Grundidee des GA Anders als alle übrigen im vorigen Abschnitt vorgestellten Strategien erzeugt der Genetische Algorithmus (GA) nicht eine Folge von Lösungen, sondern eine Folge von Populationen von Lösungscodes. Hiermit ist zweierlei gesagt: die Lösungen werden kodiert, d.h. in einen String eines Alphabets abgebildet; jede Position des Strings kann einen Buchstaben des Alphabets annehmen. A B D F, , sind Beispiele verschiedener Kodierungen einer Tour durch die Städte Aachen, Berlin, Düsseldorf, Frankfurt. Solch ein String ist der Genotyp einer Lösung, ein Individuum. Mengen von Individuen heißen Populationen; sie sind Gegenstand der genetischen Manipulation von GA und entsprechen im biologischen Vorbild den Generationen. Eine Populationenfolge ist eine Verallgemeinerung einer Folge einzelner Lösungen wie bisher betrachtet. Jede Population entsteht aus der vorigen Generation durch die folgenden genetischen Operatoren: Selektion Reproduktion Rekombination Crossover Mutation Fitneß Selektion (Auswahl) von Individuen. Sie erfolgt zwecks Reproduktion oder Rekombination. Reproduktion ist die Schaffung einer Kopie eines Individuums. Rekombination ist die Erzeugung neuer Individuen. Rekombination kann durch Crossover oder durch Mutation erfolgen. Crossover ist ein Vorgang, der die genetischen Informationen zweier (Eltern-) Individuen zu der eines Nachkommen verschmelzt. Mutation verändert die genetische Information eines Individuums. Die Chance für ein Individuum, zur Reproduktion oder Rekombination selektiert zu werden, ist eine Funktion seiner Tauglichkeit (engl. = fitness). In der Natur ist die Tauglichkeit ein Bündel von Überlebensfähigkeiten wie Intelligenz, Kraft, Durchsetzungsvermögen, Resistenz und von äußeren Reizen etc. Wird GA jedoch zur Lösung des Optimierungsproblems min f(x) u.d.n. x Z

13 Kurs X Modellgestütztes Entscheidungsmanagement 11 verwendet, orientiert sich die Fitneß eines Individuums an der Güte des Zielfunktionswertes und dem Zulässigkeitsgrad der zugehörigen Lösung x. Zur Berechnung der Fitneß sind die Individuen also zu dekodieren! Im einfachsten Fall wächst die Fitneß eines Individuums mit fallendem Zielfunktionswert. Selektiert wird es dann z.b. mit einer Wahrscheinlichkeit, die seiner relativen Fitneß im Vergleich zu allen Individuen der Population proportional ist. Im folgenden Abschnitt wird der Vorgang beim Bandabgleich dargestellt, wir verzichten daher hier auf ein Beispiel. Es bleibt noch, die zur Rekombination gehörigen genetischen Operatoren Crossover und Mutation zu erläutern. Crossover Bei der Verschmelzung genetischer Informationen beider Eltern-Individuen werden Bereiche des Stringmusters von Elter 1 und solche von Elter 2 auf den Nachkommen übertragen. Hierbei kann beispielsweise links von einer Crossposition der Teilstring von Elter 1 und rechts der von Elter 2 stammen: 1-Punkt-Crossover Zwei oder mehr Crosspositionen sind denkbar, die Tauschschemata können von den Genmustern abhängig sein etc.; der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt. Mutation Die Veränderung des genetischen Materials eines Individuums geschieht in der Regel durch Veränderung einzelner oder Tausch zweier Buchstaben im String. Mutation Bei so großzügiger Verwendung von Crossover und Mutation muß ein dekodierter Nachkomme natürlich nicht stets eine zulässige Lösung sein. In der GA-Literatur wird viel Energie darauf verwendet, Zulässigkeit zu erhalten oder zu erzwingen. Ein eleganter Weg ist z.b. die Übertragung der Zulässigkeit von den Eltern auf die Nachkommen durch Wahl geeigneter genetischer Operatoren. Wir verweisen hier wieder auf das Bandabgleichproblem im nächsten Abschnitt. GA ist ein Prinzip, noch kein Algorithmus. Erst durch Spezifizierung vieler bisher noch nicht festgelegter Parameter, durch die sogenannte Kalibrierung, wird GA zum Algorithmus. Die Kalibrierung erfolgt durch Festlegung aller Parameter, die Anteile und Auswahlkriterien bei Selektion, Reproduktion und Rekombination sowie Populationsgröße und Generationenzahl betreffen. Damit sind wir in der Lage, GA in seinem Grundablaufschema darzustellen. Kallibrierung