Bestimmung der Brechzahlen von Flüssigkeiten, Feststoffen und Gasen

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1 Bestimmung der Brechzahlen von Flüssigkeiten, Feststoffen und Gasen Projektarbeit im Rahmen des Physikalischen Grundpraktikums Katja Schnitter Michael Grützmann Oliver Müller Sebastian Bange Seite 1 von 36 Wintersemester 2001/2002

2 sverzeichnis 1 Refraktometrische Messungen Grundlagen Abbe-Refraktometer Allgemeines Funktionsprinzip Versuchsdurchführung Pulfrich-Refraktometer Allgemeines Funktionsprinzip Versuchsdurchführung Lichtgeschwindigkeitsmessungen Phasenverschiebung an amplitudenmoduliertem Licht Versuchsaufbau Messungen Fehlereinflüsse bei der Messung Zusammenfassung Lichtgeschwindigkeit nach Foucault Versuchsaufbau Messungen Fehlereinflüsse bei der Messung Zusammenfassung Seite 2 von 36

3 1. Refraktometrische Messungen 1.1. Grundlagen Verläuft ein Lichtstrahl von einem optisch dünneren Medium in ein optisch dichteres, so wird er zum Einfallslot hingebrochen, verläuft er anders herum, so wird der Strahl vom Lot weggebrochen. Die unterschiedliche Brechung ist begründet in der unterschiedlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichts in den einzelnen Medien. Beim Übergang von optisch dichteren zu dünneren Medien ist der Einfallswinkel also kleiner als der Brechungswinkel. Es existiert ein maximaler Einfallswinkel, ab dem es zur Totalreflektion kommt. Der Brechungswinkel ist dann 90 und das gebrochene Licht verläuft parallel zur Oberfläche. Diesen Winkel (der abhängig vom Brechungsindex der verwendeten Materialien ist) nennt man Grenzwinkel der Totalreflektion. Diesen Grenzwinkel kann man nun mit einem Refraktometer messen und daraus den Brechungsindex bestimmen. Dazu haben wir drei verschiedene Geräte benutzt: Abbe-Refraktometer Lebensmittelrefraktometer Pulfrich-Refraktometer Im Folgenden möchten wir näher auf die einzelnen Geräte eingehen Abbe-Refraktometer Allgemeines Das Abbe-Refraktometer ist seit vielen Jahren in Industrie und Forschung das Gerät erster Wahl zur schnellen, unkomplizierten Brechzahlbestimmung. Es hat einen Messbe- Seite 3 von 36

4 reich von etwa n = 1.2 bis n = 1.8 bei einer Meßunsicherheit von 0.2% und eignet sich für Flüssigkeiten und Gläser. Eine weitere Anwendung ist z.b. die Bestimmung des prozentualen Trockensubstanzanteils in Flüssigkeiten. Das Lebensmittelrefraktometer ist vom Prinzip her ähnlich aufgebaut wie das Abbe- Refraktometer, es eignet sich jedoch nur für Flüssigkeiten. Der Meßbereich ist etwas kleiner (n = 1.3 bis n = 1.6), zum Ablesen hat man an diesem Gerät im Gegensatz zum Abbe-Refraktometer nur ein Monokular statt einem Binokular zur Verfügung. Beide Geräte eignen sich aber gleichermaßen dazu, die Brechzahlen in Abhängigkeit von der Temperatur zu messen, in dem Sie mit einem wasserumspülten Prismensystem ausgerüstet sind, das mittels elektronischem Thermostat eine bequeme Temperaturwahl zulässt Funktionsprinzip Das Licht der diffusen monochromatischen Lichtquelle Q trifft zuerst auf den Hauptspiegel S und durchsetzt nach Reflektion als parallele Strahlen das aufklappbare Doppelprisma P, das Fernrohrobjektives entwirft dann ein Bild der Lichtquelle in seiner Brennebene F 2. Auf die Hypotenusenflächen der rechtwinkligen Teilprismen P 1, P 2 bringt man nun einige Tropfen der zu untersuchenden Flüssigkeit auf, wobei die Brechzahl n der Flüssigkeit kleiner sein muß als diejenige der Prismen n P. Die Flüssigkeit bildet nunmehr eine dünne planparallele Schicht Pl, der Strahlengang ist aus Abbildung 1.2 ersichtlich. Die Lichtbündel, die von den Punkten auf Q ausgehen, werden entweder seitlich verschoben transmittiert (B) oder totalreflektiert (A). Das von F 1 ausgehende Lichtbündel trifft auf Pl genau unter dem Grenzwinkel der Totalreflektion α grenz und verläuft nach Brechung parallel zur Oberfläche. Ohne Pl wäre die Brennebene F 2 total ausgeleuchtet, mit Pl ist die Beleuchtungsstärke in F 2 links des Brennpunktes maximal und rechts davon nahezu Null, solange das Lot auf Pl im Winkel α grenz zur optischen Achse steht. Seite 4 von 36

5 hell dunkel F 2 Brennebene y hell dunkel F y 2 B Brennebene Objektiv Fernrohr H 2 Hauptebene Objektiv Objektiv H 2 Pl P2 P 1 P α grenz H 1 Hauptebene Spiegel Seite 5 von 36 Q A Spiegel F 1 B F 1 Brennebene Spiegel A F1 B Abbildung 1.1: Strahlenverlauf beim Abbe-Refraktometer, Grundlegender Aufbau nach [Wal94] Abbildung 1.2: Strahlenverlauf beim Abbe-Refraktometer, Betrachtung der Hauptebenen nach [Wal94]

6 Durch Drehen des Doppelprismas P kann die Hell-Dunkel-Grenze also in Übereinstimmung mit einem sich im Brennpunkt befindenden Fadenkreuz gebracht werden (siehe Abbildung 1.1). Das Fernrohr mit dem Okular ist dabei zusammen mit einem Teilkreis starr mit dem Gerätefuß verbunden während das Prisma in einem gewissen Winkelbereich frei drehen lässt. Der Teilkreis gewährleistet dabei die direkte Ablesung der Brechzahl n der Flüssigkeit, allerdings nur für monochromatisches Licht der Natriumwellenlänge λ = 589 nm. Für nicht monochromatisches Licht befinden sich im Strahlengang hinter dem Prisma zwei gegeneinnder drehbare Amici-Prismen (siehe Abbildung 1.3), eine Kombination mit deren Hilfe die Dispersionsunterschiede bei verschiedenen Wellenlängen kompensiert werden können. Aus der für eine Kompensation erforderlichen Prismenstellungen kann mit Hilfe von gerätezugehörigen Tabellen direkt die mittlere Dispersion der Flüssigkeit n λ = n F n C λ F λ C bestimmt werden. Die Symbole F und C beziehen sich hierbei auf die Wellenlängen der Fraunhofer F- und C-Linien. Mit dem Abbe-Refraktometer kann auch die Brechzahl optisch durchsichtiger Festkörper, z.b. Gläser, bestimmt werden. Dazu werden die Prismen auseinandergeklappt und vorsichtig eine ebene Fläche des Glases mit Immersionsöl auf P 2 aufgebracht (das Immersionsöl muß dabei stärker brechend sein als das Glas). Das Licht muss jetzt streifend auf den Probekörper einfallen Versuchsdurchführung Im ersten Schritt haben wir zunächst ein Immersionsöl mit bekannter Brechzahl gemessen um uns von der Genauigkeit des Abbe-Refraktometer zu überzeugen. Mit Hilfe der oben beschriebenen drehbaren Amici-Prismen und der zum Gerät gehörenden Kor- Seite 6 von 36

7 Kronglas Kronglas rot gelb Flintglas blau Abbildung 1.3: Prinzipskizze eines Amici-Prismas rekturtabellen ist es auch bei Verwendung von weissem Licht möglich, relativ genaue Aussagen über den Brechungsindex zu erhalten. Für eine (mit Hilfe des Thermostaten vorgewählte) Temperatur von 20 Celsius konnte der Brechungsindex von n = im Rahmen der oben beschriebenen Messunsicherheit bestätigt werden. Der zweite Schritt war das Aufnehmen von Messreihen unterschiedlicher Flüssigkeiten bei variabler Temperatur (Die angegebenen Werte sind Mittelwerte aus je 5 Messungen). Es zeigte sich, das der Brechungsindex bei steigender Temperatur abnimmt. Bei dem Versuch Coca-Cola zu untersuchen stellte sich mit steigender Temperatur auch eine stärkere Unschärfe ein, die wir auf das Ausgasen von CO 2 zurückführen. Diese Messungen haben wir zunächst mit dem Abbe-Refraktometer, später mit dem Lebensmitteltrefraktometer durchgeführt. Da sich die Werte nicht unterschieden, haben wir nur noch das Abbe-Refraktometer benutzt, da es angenehmer in der Bedienung ist (2 Okulare). Im Folgenden haben wir mit dem Abbe-Refraktometer auch Feststoffe (Gläser) untersucht. Hierzu muss das Messprisma geöffnet werden, das Probestück aufgelegt und mit streifend einfallendem Licht gemessen, nicht wie zuvor mit einem Beleuchtungspris- Seite 7 von 36

8 1.35 Brechzahl Aqua dest. Brechzahl Coca-Cola Brechzahl n Seite 8 von Temperatur T/K Abbildung 1.4: Zusammenhang der Brechzahl von Wasser und Coca-Cola in Abhängigkeit von der Temperatur

9 ma. Dadurch wird die genaue Einstellung der schwarzen Trennlinie erheblich schwieriger. Desweiteren ist darauf zu achten, das sich zwischen Probekörper und Messprisma keine Luft befindet, also verwendet man einen Tropfen Immersionsöl. Für einen ersten Probekörper dessen Brechzahl bekannt ist (n = ) ermittelten wir einen Wert von für einen zweiten den Wert n = statt n = , dies entspricht also Abweichungen von weniger als 0.1%. Die Abweichung vom Soll ist bei der Untersuchung von Festkörpern grösser als bei der Untersuchung von Fluiden. Wir testeten ein Glasplättchen aus einem Objektträger und bekamen n = Die in der Literatur gefundenen Gläser Kronglas und BK7 liegen mit Brechzahlen von bzw am nächsten. Wie o.a. haben wir die Brechzahl von Cola bestimmt. Desweiteren haben wir versucht, den Brechungsindex von Rotwein 1 zu bestimmen. Es ergab sich ein Wert von n = Neben dem Brechungsindex ist es mit dem Abbe-Refraktometer möglich, den Feststoffanteil in Flüssigkeiten zu bestimmen. Hierbei ergab sich für Cola ergab etwa 10.3%, der o.g. Rotwein liegt bei etwa 7.5%. Dies ist ein Indikator für den Zuckergehalt einer Flüssigkeit, jedoch beeinflussen auch andere gelöste Feststoffe das Brechverhalten einer Flüssigkeit Pulfrich-Refraktometer Allgemeines Das Pulfrich-Refraktometer erlaubt die Bestimmung des Brechungsindex unter Variation der Wellenlänge des Lichts. Es ist jedoch im Gegensatz zum Abbe-Refraktometer umständlicher in der Handhabung und hat mehr Verschleißteile. Es wird keine grössere Genauigkeit gegenüber dem Abbe-Refraktometer erreicht, es eignet sich aufgrund der 1 99er Merlot Veneto, halbtrocken, Bezugsquelle: Cafeteria Seite 9 von 36

10 austauschbaren Prismenkörper sowohl für Festkörper (Gläser u.a.) als auch für Flüssigkeiten (auch für ätzende) Funktionsprinzip Das Pulfrich-Refraktometer benutzt anstelle einer Prismenkombination einen Glaswürfel, um den Brechungsindex bestimmbar zu machen (Abbildung 1.6). Die Oberseite des Glaswürfels ist mit einer zumindest teilweise aus Glas bestehenden Umrandung zur Aufnahme der Messflüssigkeiten ausgestattet. Es sind hier je nach Problemstellung verschiedene Bauformen verwendbar, das Messprinzip ist jedoch immer dasselbe. Das Refraktometer beinhaltet in seinem kompakten Gehäuse gleich mehrere Lichtquellen im Wellenlängenbereich von 400 nm 650 nm, sodass auf externe Lichtquellen ganz verzichtet werden kann. Um das Funktionsprinzip genauer zu verstehen, betrachten wir einen monochromatischen Lichtstrahl, der streifend auf die Grenzfläche zwischen Flüssigkeit und Glas trifft. Für die in Abbildung 1.6 eingezeichneten Winkel ergibt sich dann mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz der Zusammenhang sin δ g = n 1 n Luft sin γ g n 1 sin γ g, woraus sich unter Berücksichtigung des Zusammenhanges γ g = 90 β g die Beziehung sin δ g = n 1 cos β g = 1 sin 2 β g ableitet. Mit n 1 sin β g = n 2 folgt dann für den Brechungsindex n 2 der Flüssigkeit die Bestimmungsformel n 2 = n 2 1 sin2 δ g. Seite 10 von 36

11 Mit dem Pulfrich-Refraktometer ist es ebenso möglich, die Molrefraktion einer Substanz zu ermitteln Versuchsdurchführung Von uns wurde destilliertes Wasser in 6 verschiedenen, vorgegebenen Wellenlängen im Bereich von 400 nm 650 nm untersuchten. Wir haben ein V-Prisma benutzt, das zur Ablenkungsmessung an Grenzflächen von Flüssigkeiten dient. Desweiteren gibt es für das Pulfrich-Refraktometer auch Prismen zur Grenzwinkelmessung. Bei der Ablenkungsmessung muss vorsichtig zu Werke gegangen werden, denn neben dem eigentlich gesuchten Messpunkt gibt es einen weiteren hellen Punkt, der nicht verwechselt werden darf. Hierbei handelt es sich um nicht abgelenktes Licht, man könnte es auch als Eingangs- oder Durchgangslicht bezeichnen. Für den Einsatz des Pulfrich-Refraktometer muss deutlich mehr Vorarbeit in Form von Justierungen geleistet werden als beispielsweise beim Abbe-Refraktometer. Leider konnten wir trotz umfangreicher Bemühungen nicht die Ergebnisqualität (Messgenauigkeit) des Abbe-Refraktometers erreichen. So sollte mit steigender Wellenlänge der Ablenkungswinkel kleiner werden, und damit auch der Brechungsindex. Im Ergebnis reissen jedoch einige Werte aus. Wir konnten trotz zahlreicher Versuche die Ausreisser nicht eliminieren. Seite 11 von 36

12 Brechzahl Immersionsoel (n=1.515) 1.51 Brechzahl n Seite 12 von Temperatur T/K Abbildung 1.5: Die Brechzahl von Immersionsöl in Abhängigkeit von der Temperatur

13 Grenzstrahl Meßprobe n 2 n 1 β g γ g δ g Glaswürfel Abbildung 1.6: Funktionsprinzip der Pulfrich-Refraktometers am Beispiel des Messprismas für flüssige Substanzen Seite 13 von 36

14 Brechzahl (aus Winkel via Tabelle) abgelesener Winkel Ausgleichskurve Winkelmessung Brechzahl (Literatur) Brechzahl n Ablenkungswinkel α in Grad Seite 14 von Wellenlaenge λ in nm Abbildung 1.7: Darstellung der mit dem Pulfrich-Refraktometer gemessenen Dispersionskurve von destilliertem Wasser im Vergleich mit Literaturdaten aus [BS93]

15 2. Lichtgeschwindigkeitsmessungen 2.1. Phasenverschiebung an amplitudenmoduliertem Licht In diesem Versuch untersuchten wir, inwieweit es möglich ist, über eine direkte Lichtgeschwindigkeitsmessung den Brechungsindex von Flüssigkeiten wie Wasser oder Ethanol experimentell zu ermitteln. Wir nutzten hier das von Phywe unter der Nummer vertriebene Gerät, welches die Abstrahlung und den Empfang von amplitudenmoduliertem Licht ermöglicht und auch bereits die erforderliche Steuerelektronik fest eingebaut hat. Im Folgenden möchten wir zuerst einmal den Versuchsaufbau skizzieren, um danach dann mit einer Diskussion der Methodik anschließen zu können Versuchsaufbau Das Licht einer Leuchtdiode wird mit einer quarzstabilisierten Modulationsfrequenz von 50.1 MHz abgestrahlt und erreicht nach Reflexion an zwei Umlenkspiegeln die Photodiode mit einer Phasenverschiebung φ gegenüber dem abgestrahlten Signal, bedingt durch die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtwelle gemäß der Formel c = (ɛ r µ r ) 1/2. Es wird nun das Spiegelpaar genau so weit auf der optischen Bank verschoben, daß die Phasenverschiebung sich um den Winkel π ändert, praktischerweise von φ = 0 auf φ = π, da dies am angeschlossenen Oszilloskop am besten abzulesen ist (die Lissajous- Figur ändert sich dann von einer steigenden Geraden zu einer fallenden Geraden, wenn die x-ablenkung das Sendesignal und die y-ablenkung das Emfangssignal darstellen). Das Gerät stellt zu diesem Zweck an den Ausgängen für Sende- und Empfangssignal ein auf 50 khz transformiertes Signal zur Verfügung, indem intern dem 50.1 MHz Signal ein MHz Signal überlagert wird. Dies ändert an unserer unteren Auswertung jedoch Seite 15 von 36

16 x Seite 16 von 36 Abbildung 2.1: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft mit Darstellung der durch die Phasenverschiebung entstehenden Lissajous-Figuren

17 nichts, da dies nur auf Seiten des Signalausgangs geschieht, um ein einfacheres Oszilloskop verwenden zu können. Das Aussehen der oszillographischen Darstellung lässt sich auch der Abbildung 2.1 entnehmen. Messen wir dann die Verschiebung x des Spiegels, so erhalten wir als Weglängendifferenz l = 2 x. Das Licht hat zum legen der Strecke die Zeit t = 1 2 T benötigt, so daß wir für die Lichtgeschwindigkeit c L im Medium Luft nun schließen können c L = l = 4f x. (2.1) t Zur Messung der Lichtgeschwindigkeit in flüssigen Medien, zum Beispiel Wasser, wenden wir das folgende abgewandelte Verfahren an. Das Medium wird in eine Rohrküvette gebracht, welche in unserem Versuchsaufbau eine Länge von l M = (1.014 ± 0.001)m hat. Die Küvette wird an beiden Enden von planen Kunststoffgläsern (Brechungsindex n F nach [Koh96]) der Gesamtdicke (beide Gläser) von l M = (0.006 ± )m abgeschlossen. Wir messen nun einmal mit Medium in einem der beiden Strahlengänge und folgern für die benögtigte Zeit t 1 von Sender zu Empfänger und den zurückgelegten Gesamtweg l 1 t1 = l M c M + l F c F + l 1 l M l F c L, l 1 = 2x 1, hierbei ist c M die Lichtgeschwindigkeit im Medium. Die Küvette wird nun entfernt und die Spiegel um die Entfernung x gerade so weit verschoben, das sich wieder die gleiche Phasenlage am Oszilloskop ergibt. Dann gilt gerade t 2 = t 1 + kt für eine natürliche Zahl k, außerdem lesen wir aus der Geometrie des Aufbaus in Abbildung 2.2 noch die Beziehungen t 2 = l x c L, l 2 = l x Seite 17 von 36

18 ab. Wir erhalten also einen Zusammenhang zwischen t 2 und t 1 in der Form t 2 = l x c L = t 1 + kf 1 t 1 = l x c L kf 1. Kombinieren wir dies nun mit t 1 aus der Messung mit Küvette ergibt sich die Beziehung l M + l F + l 1 l M l F = l x kf 1 c M c F c L c L und damit auch die Bestimmungsgleichung für den relativen Brechungsindex n M (für die Wellenlänge des verwendeten Lichtes von λ = 650 nm) der Flüssigkeit in der Küvette: n M = c vac c M = n L c L c M = n L ( 2 x + kc L + 1 l F (1 c L )) l M fl M l M c F = n L ( 2 x l F (1 c L )) l M l M c F 2 x l M l F l M (1 n F ) } {{ } Korrekturterm (2.2) Fehlt nur noch eine Abschätzung, um an den Wert von k zu kommen, denn diesen benötigen wir für die Rechnung in ( ). In unserem Aufbau ist c L f 1 = λ L 6 m die Modulationswellenlänge des Lichtes, für l M = 1 m haben wir dann also kc L f 1 l 1 M 6k. Da aber der erwartete Brechungsindex weitaus kleiner als 7 ist, folgt k = 0 und damit ( ). Der Korrekturterm (linear von l F abhängig) stellt den Einfluß der Küvettenfenster auf den errechneten Wert dar. Für die bei uns verwendeten Größen ergibt sich hierbei eine Korrektur von auf den unkorrigierten Wert. Seite 18 von 36

19 Medium l x m x1 x 2 Seite 19 von 36 Abbildung 2.2: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Lichtgeschindigkeit in Medien mit Darstellung der durch die Phasenverschiebung entstehenden Lissajous-Figuren

20 Messungen Die erste Messreihe umfasste 3 Messungen in Luft und weitere 6 Messungen für das Medium Wasser. Die sich nach den Gleichungen (2.1) und (2.2) ergebenden Werte sind mit den Messergebnissen in Tabelle 2.1 zusammengefasst. Eine genaue Messung der Sendefrequenz ergab den Wert f = MHz anstatt der erwarteten 50.1 MHz. Allerdings wurde am f/1000 Ausgang des Gerätes gemessen, der eine um den Faktor 1000 untersetzte Sendefrequenz darstellt, evtl. gibt es hier auch noch Ungenauigkeiten. Unsere Ergebnisse rechneten wir also zunächst mit obigem neuen Wert für f aus. Wie auch aus Tabelle 2.1 ersichtlich liegen die Ergebnisse für die Lichtgeschwindigkeit für diese Messreihe 1 zu niedrig im Vergleich mit dem Literaturwert, eine Erklärung lässt sich hierfür in der durch das Störsignal (siehe dazu Abschnitt 2.1.3) beeinflussten Phasenverschiebung finden, die bei weitem Lichtweg und folglich schwachem Empfangssignal nicht mehr vernachlässigbar war. Nach dem die im Abschnitt erwähnte stärkere Leuchtdiode eingebaut wurde, führten wir weitere Versuchreihen zur Gerätecharakterisierung und Messung der Lichtgeschwindigkeit durch. Wir nahmen Meßreihe 2 für Luft auf, die Ergebnisse (siehe Tabelle 2.1) zeigen die deutliche Verringerung der (in Form von Störstrahlungen etc.) nicht erfassten systematischen Fehler Fehlereinflüsse bei der Messung Nach Durchführung der ersten Versuchsreihe zeigten sich eine ganze Reihe von Problemen. Im Folgenden möchten wir auf diese genauer eingehen, und soweit möglich auch gleich Lösungsmöglichkeiten aufzeigen. Das Licht durchläuft den Messweg Linse Spiegel Linse nicht als gut angenäherte parallele Strahlen, so daß ein Verschieben des Spiegelaufbaus eine Lichtinten- Seite 20 von 36

21 Messungen Wegdiff. x Lichtgeschw. Brechungsindex Literaturwert n d (Reihe,Anzahl) in 10 2 m in 10 8 m/s für λ = 650 nm für λ = nm Luft (1,3) 141.4± ± ± Wasser (1,6) 21±2 2.11± ± Luft (2,3) 149.8± ± ±0.01 Luft (3,8) 149.3± ± ±0.01 Wasser (3,8) 17.7± ± ±0.02 Ethanol (3,8) 19.3± ± ± Tabelle 2.1: Messergebnisse Lichtgeschwindigkeit: Messreihe 1 zeigt deutlich das Vorhandensein nicht erfasster systematischer Fehlereinflüsse, bei den späteren Messreihen 2 und 3 sind diese beseitigt Seite 21 von 36

22 sitätsänderung an der Photodiode bewirkt. Es wäre hier also ein Zusammenhang zwischen Phasenverschiebung Lichtintensität Signalstärke an Photodioden zu untersuchen, oder andere optische Bauelemente zu verwenden, so dass der Strahlengang parallel wird. Eine andere Möglichkeit ist das Rejustieren nach dem Verschieben der Spiegel, so daß das Empfangssignal wieder die ursprüngliche Stärke annimmt. Das verwendete kombinierte Sende- und Empfangsgerät zeichnet sich durch ein Übersprechen der 50.1 MHz Frequenzen in die empfängerseitige Elektronik aus, die im Ausgangssignal deutlich messbare Schwingung ist phasenverschoben gegenüber dem Sendesignal. Bei geringer Lichtintensität auf der Photodiode und folglich kleiner Signalstärke überwiegt dieser störende Anteil auf dem Oszilloskopbildschirm deutlich, es ist dann absolut keine Messung der Phasenverschiebung mehr möglich, weil diese ja durch den Störanteil bereits verändert wird. Eine direkte Lösung dieses Problems ist es, durch geeignete Maßnahmen die Phasenverschiebung der Störung genau auf diejenige des Empfängersignals zu justieren, wodurch dann eine fehlerfreie Messung möglich wäre. Dies wäre zwar am Gerät möglich, aber nur unter der Vorraussetzung, daß man den Strahlweg durch Bewegen der Spiegel um eine ganze Wellenlänge verändern kann (also mindestens 3m optische Bank). Dies hängt mit der geräteinternen Darstellung des Empfängerund Sendesignals durch Überlagern mit einer MHz Welle zusammen (und daraus resultierender Messfrequenz an den beiden Signalausgängen von 50 khz), worauf wir aber hier nicht näher eingehen wollen, da uns ohnehin der dann benötigte Platz auf dem Experimentiertisch fehlen würde. Die ursprünglich senderseitig eingebaute Leuchtdiode hatte eine geringe Lichtleistung, was zu einem sehr schwachen Empfangssignal und damit zu den oben geschilderten Problemen führt. Die Einbaumöglichkeit einer stärkeren Lichtquelle Seite 22 von 36

23 wurde freundlicherweise vom Elektroniker geprüft und dann in Form einer starken Leuchtdiode neuerer Bauart verwirklicht. Die Einsatzmöglichkeit von handelsüblichen Laserdioden wurde ebenfalls geprüft, es erwies sich jedoch, daß diese nicht problemlos mit der erforderlichen Frequenz von 50 MHz modulierbar sind. Die Signalstärke an der Empfangsdiode liegt nunmehr Größenordnungen über der internen (Stör-)Signaleinkoppelung, die in der Werkstatt sogar noch vermindert werden konnte. Genaue Messungen mit Digitalzählern ergab, daß die an den Oszilloskop-Ausgängen (um den Faktor 1000 heruntergesetzten) Frequenzen bei ( ± 0.002) khz liegen, im Gegensatz zu dem f/1000 Ausgang, wo immer noch eine Frequenz von khz meßbar ist. Der Elektroniker bestätigte uns hingegen, daß die Sendefrequenz nach wie vor bei 50.1 MHz liegt. In diese Richtung sind noch genauere Untersuchungen am Gerät nötig, die wir nicht mehr durchführen konnten. Das parallele Strahlenbündel hat einen zu großen Durchmesser, so dass durch Lichtreflektionen am Rand der Rohrküvette bei Messungen mit flüssigen Medien Lichtverluste auftreten. Diese Lichtverluste sind ebenfalls variabel unter Spiegelverschiebung, was vor allem auf schlechte Strahljustage zurückzuführen ist. Die variierende Lichtstärke verursacht dann einen variierenden Anteil des oben beschriebenen Störanteils, der nicht mehr kalkulierbar ist. Es wurden in diese Richtung noch keine Verbesserungsmöglichkeiten untersucht, dies könnte von zukünftigen Projekten behandelt werden. Seite 23 von Zusammenfassung Es gelang uns eine substantielle Verbesserung des Versuchsergebnisses nach Einbau einer leistungsstärkeren Leuchtdiode und damit Verringerung des internen Störsignalanteiles.

24 Der prozentuale Fehler gegenüber dem Literaturwert bei der Messung der Lichtgeschwindigkeit für Luft ließ sich von 6 Prozent auf ca. 0.3 Prozent verringern, das entspricht einer Unsicherheit von ms 1. Für die Messung 2 der Lichtgeschwindigkeit in Medien erreichten wir einen Fehler von 5 Prozent gegenüber dem Literaturwert, unsere Messwerte lagen jedoch um ca ms 1 zu niedrig, weitere systematische Fehler 3 müssen erst noch untersucht werden. Auf den Brechungsindex n M des Mediums übertragen bedeutet dies einen (konstanten) systematischen Fehleranteil von ca , dies führt zu einem relativen Fehler von ca. 1.32% gegenüber dem Literaturwert. Ein Einfluß 4 der Position der Rohrküvette im Strahlengang konnte mit der neuen Leuchtdiode nicht mehr nachgewiesen werden, solange der Strahlengang so eingestellt wurde, daß Lichtverluste an der Küvette minimiert werden. Eine weitere Verbesserung des Versuches wäre möglich über aufwendigere Linsensysteme vor Sender und Empfänger, um einen schmaleren, paralleleren Strahl zu erhalten Lichtgeschwindigkeit nach Foucault Versuchsaufbau Die von uns benutzte Drehspiegelmehtode wurde 1862 von Foucault entwickelt und stellt eine Perfektionierung der Methode von Fizeau dar, die statt des von uns verwendeten Drehspiegels ein Zahnrad benutzt, wobei die Drehspiegelmessung den Vorteil hat, kürzere Lichtlaufstrecken im Vergleich zu anderen Modellen zu verwenden. Als Lichtquelle wurde in diesem Aufbau ein He-Ne-Laser verwendet, der bei einer Leistung von 0.5 mw eine Wellenlänge von nm emittiert. 2 Genaueres zu den Messergebnissen siehe Tabelle Einfluß der Küvettenfenster ist in Bestimmungsgleichung (2.2) bereits berücksichtigt worden 4 M. Mucke/R. Ziese, Projekt im Wintersemester 00/01 Seite 24 von 36

25 M F3 M F2 M F1 M R L 2 s L 1 Polarisator/Analysator Strahlteiler Abbildung 2.3: Foucaultscher Versuchsaufbau, der Stahlengang wurde mit Hilfe von zwei planen Laserspiegeln verlängert, um bei kompaktem Aufbau einen möglichst großen Lichtweg zu erzielen. Die Polarisator/Analysator-Kombination erlaubt eine stufenlose Helligkeitsregelung der Laserstrahlung s Laser Seite 25 von 36

26 Der Aufbau des Experimentes soll zuerst am statischen Strahlenverlauf besprochen werden, wie er in Abbildung 2.3 skizziert ist. Das aus dem Laser kommende Licht wird durch die Linse L 1 auf den Punkt s fokussiert, Linse L 2 bildet s auf den Hohlspiegel M F3 ab. Dabei verläuft der Strahl zuerst über den Drehspiegel M R und wird von dort über die planen Laserspiegel M F1 und M F2 zu M F3 geleitet. Der Hohlspiegel wird so eingestellt, daß sein Krümmungsmittelpunkt mit dem virtuellen Bild von s übereinstimmt, das von M F2 erzeugt wird. Dann läuft der Strahl auf genau dem gleichen Weg wieder zurück, sodass der rückläufige Strahl wieder in s fokussiert wird. Bringt man zwischen s und Linse L 2 einen Strahlteiler, so kann wird s ausseraxial in den Punkt s abgebildet, dies gilt sowohl für den vom Laser kommenden Strahl, als auch für den vom Hohlspiegel reflektierten Strahl. Bringt man hinter den Strahlteiler ein Mikroskop, so kann s bequem beobachtet und vermessen werden. Der mechanische Aufbau des Versuchs ist unkritisch. Der Weg zwischen rotierendem Spiegel und Hohlspiegel sollte möglichst exakt die tatsächliche Brennweite des Hohlspiegels (12.5 m) erreichen. Dazu lassen sich die planen Laserspiegel einsetzen, jeder Laserspiegel reduziert jedoch die effektive Helligkeit des beobachteten Punktes s, da er nur einen kleinen Lichtkegel reflektieren kann. Optimal ist die Helligkeit, wenn alle Planspiegel weggelassen werden und das Licht geradlinig von M R nach M F3 gelangt. Bei Verwendung von Laserspiegeln ist einen recht genaue Ausrichtung des gesamten Strahlengangs nötig, welche folgendermassen erreicht werden kann: Nach vollständiger Justage des Strahlengangs auf der Laserseite des rotierenden Spiegels wie beschrieben in der Originalanleitung und auch durch die geometrische Optik leicht ersichtlich, erfolgt eine sukzessive Justage des Strahls auf Seite der weiteren Spiegel. Dazu wird der rotierende Spiegel so justiert und fixiert, daß der Laserstrahl den ersten Planspiegel mittig trifft (Es ist im Folgenden unter Umständen sinnvoll, die Polarisator/Analysator- Kombination aus dem Strahlengang zu entfernen, um die Lichtstärke zu erhöhen). Nach Wahl eines Standortes für den zweiten Planspiegel erfolgt die Positionierung des ersten Seite 26 von 36

27 Spiegels, so daß der Laserstrahl den zweiten wieder exakt mittig trifft. Nun wird dieses Verfahren für den Hohlspiegel wiederholt. Der Laser trifft den Hohlspiegel nun (über Umwege) genau mittig. Jetzt muß der Hohlspiegel justiert werden. Dazu richtet man in zunächst so aus, daß er den letzten Planspiegel trifft. Dann erfolgt eine sukzessive Feinkorrektur seiner Ausrichtung, in dem man den rückläufigen Strahlengang verfolgt und so einstellt, daß er immer mit dem Lichtfleck des hinlaufenden Strahles übereinstimmt. Zum Schluss sollte man den Lichtfleck auf dem rotierenden Spiegel auffinden und mittig zentrieren können. Dies sollte genügen, um den Leuchtpunkt im Messmikroskop darstellen zu können. Feinkorrekturen an den Linsen zur optimalen Fokussierung im Messmikroskop haben sich als nützlich erwiesen, auch ein leichtes Verkippen einzelner Bauelemente kann sich positiv auf entstehende Interferenzmuster auswirken. Sollte einmal der Punkt s im Messmikroskop verloren gehen, so kann man mit obiger Justage deutlich schneller als mit anderen Methoden die Ausgangssituation wiederherstellen. Kommen wir nun aber zur Herleitung der Bestimmungsformel für die Lichtgeschwindigkeit aus dem gemessenen Abstand zwischen s und s. Wir nehmen M R jetzt als rotierend an. Bei dieser Rotation ändert sich zwar der Reflexionspunkt auf M F3, der Strahl wird aber weiterhin auf den rotierenden Spiegel zurückgeworfen. Da der Drehspiegel sich in der Zeit, in der das Licht den Weg M R M F3 M R zurücklegt, schon um den Winkel ϕ weiterbewegt hat, wird das zurückkommende Licht nicht mehr im Punkt s fokussiert. Dies verhilft uns zu einer Bestimmung der Durchlaufungszeit der Strecke Drehspiegel Hohlspiegel und zurück und somit zum Wert der Lichtgeschwindigkeit. Zuerst stellen wir uns die Frage, wie der Reflexionspunkt auf dem Spiegel M F3 von der Winkelgeschwindigkeit des Drehspiegels abhängt. Dazu betrachten wir einen Strahl, der gerade die Linse L 2 verlässt und auf den um den Winkel ϕ gedrehten Spiegel M R trifft. Nach dem Reflexionsgesetz muß der Reflexionswinkel gleich dem Einfallswinkel sein. Also ist der Winkel zwischen ankommenden und reflektiertem Strahl bezüglich M R gerade 2ϕ, und der reflektierte Strahl trifft auf M F3 im Punkt S (siehe Abbildung 2.4a). Seite 27 von 36

28 Nach einem kurzen Zeitintervall hat sich der Drehspiegel um den Winkel ϕ gedreht und das Licht trifft im Punkt S 1 auf M F3. Damit beträgt der Gesamtwinkel nunmehr 2(ϕ + ϕ) (siehe Abbildung 2.4b). Sei weiterhin D die Strecke, die das Licht zwischen M R und M F3 zurücklegt, dann beträgt der Abstand zwischen S und S 1 S = D(2(ϕ + ϕ) 2ϕ) = 2D ϕ. Als nächsten Schritt betrachten wir die virtuellen Bilder in Abbildung 2.5. M R sei um den Winkel ϕ + ϕ gedreht, der Punkt S 1 liege auf der optischen Achse von Linse L 2, der Punkt S ist jedoch um S von der optischen Achse entfernt. Linse L 2 wird als dünne Linse behandelt, so daß S in der Ebene von s fokussiert wird, und zwar mit einem Abstand von bg 1 S zu s. Hierbei stellt b die Bildweite und g die Gegenstandsweite dar. Für die Verschiebung des Bildpunktes erhalten wir also s = b g S = A D + B S. Hierbei ist A der um die Brennweite von L 1 verminderte Abstand zwischen L 1 und L 2 und B der Abstand zwischen L 2 und M R. Kombinieren wir nun unsere beiden Ergebnisse, so erhalten wir die Gleichung s = 2DA ϕ D + A, die wir nach Einsetzen der Winkelgeschwindigkeit und Durchlaufungszeit in der Form ϕ = ωc 1 2D mit ω = 2πf und der Rotationsfrequenz f umformen können zu s = 8πD2 Af c(d + B) c = 8πD2 Af s(d + B). (2.3) Seite 28 von 36

29 ϕ a) M F3 2ϕ M R Laser ϕ+ ϕ b) M F3 2(ϕ+ ϕ) Laser Seite 29 von 36 M R Abbildung 2.4: Winkelbeziehungen des Strahlenganges beim Versuch von Foucault

30 S 1 S M F2 (virtuelles Bild von M F2 ) S 1 S S M R L 2 s s 1 s D B Abbildung 2.5: Betrachtung von virtuellen Bildern beim Versuch von Foucault Damit haben wir die Formel zur Berechnung der Lichtgeschwindigkeit gefunden. Sie geht allerdings davon aus, daß der Krümmungsradius des Hohlspiegels genau übereinstimmt mit der Entfernung (D + B). Da dies wegen Platzmangels nicht der Fall ist, gelten obige Gleichungen nur angenähert, tatsächlich verbreitert sich die Lage des Bildpunktes zu einer Linie, dies kann theoretisch hergeleitet werden unter Annahme eines planen Spiegels M F3, was hier jedoch nicht probiert werden soll. Beim Ausmessen der Verschiebung s kommt es deshalb darauf an, die Mitte dieser Linie auszumessen, da dieser Bildpunkt gerade der Reflexion (im statischen Fall) des Strahles von M R nach M F3 in sich selbst zurück entspricht. A s Seite 30 von 36

31 Messungen Mit den für unseren Versuchsaufbau charakteristischen Größen A = (26.8 ± 0.2)10 2 m, B = (48.1 ± 0.2)10 2 m und D = (670 ± 1)10 2 m stellen sich unsere Messergebnisse wie in Tabelle 2.2 dar Messung Richtung f in Hz s in mm c in 10 8 ms 1 1 cw ± ±0.3 2 ccw ± ±0.3 3 cw ± ±0.3 4 ccw ± ±0.3 5 cw ± ±0.3 6 ccw ± ±0.3 7 cw ± ±0.3 Tabelle 2.2: Messergebnisse am Versuchsaufbau nach Foucault: Im Rahmen der Messunsicherheit kann kein Fehlereinfluss der Drehrichtung (clockwise oder counterclockwise) auf das Messergebniss festgestellt werden Seite 31 von Fehlereinflüsse bei der Messung Wir möchten die wichtigsten Schwierigkeiten bei diesem Versuch angeben: Der oben beschriebene Versuchsaufbau geht immer davon aus, daß die Entfernung D genau mit der Brennweite des Hohlspiegels übereinstimmt. Dies kann jedoch auf einem kleinen Experimentiertisch mit wenigen Laserspiegeln nicht realisiert

32 werden. Direkte Folge ist dann das Aufweiten des normalerweise im Mikroskop zu beobachtenden Laserpunktes zu einem Strich mit noch sichtbarem Helligkeitsmaximum an der Stelle des zu erwarteten Punktes. Man kann dann zwar noch Messungen machen, doch ist die genaue Ablesung deutlich erschwert. Der Drehspiegel M R lässt sich bisher nicht in seiner vertikalen Achse gegenüber der optischen Achse verkippen. Dies wäre durch nachträglich eingebaute Schrauben an der Montageplatte leicht möglich und würde dann die Justage deutlich erleichtern. Erste Versuche mit Küvetten zur Aufnahme von Gasen/Flüssigkeiten im Strahlengang zeigten noch andere Probleme. Es erfolgt eine starke Reflexion von Laserstrahlung am Glas der Küvette, die eine sinnvolle Messung behindert. Es wurde außerdem bisher keine sinnvolle Position der Küvette im Strahlengang gefunden, da der Laserstrahl ja schließlich möglichst lange durch die Küvette laufen muß, er dabei aber zwangsläufig keine feste Achse hat, sondern einen Winkelbereich überstreicht, da nur eine Platzierung der Küvette zwischen rotierendem Spiegel und Hohlspiegel sinnvoll ist. Eine weitere Verkleinerung des genutzten Winkelbereichs (entspricht einer Verkleinerung der wirksamen Hohlspiegelfläche zusätzlich zur Einengung durch die Laserspiegel) ist nur möglich durch Verwendung einer noch stärkeren Lichtquelle. Seite 32 von Zusammenfassung Es gelang uns die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft mit einem relativen Fehler von 10%, die Hauptschwierigkeiten bestanden in der korrekten Montage des gesamten Versuchsaufbaus und Ausrichtung der Einzelkomponenten. Die Ungenauigkeit ließe sich zunächst auf etwa 7% 8% senken durch genauere Ausmessung der geometrischen

33 Größen A, B, D. Weitere Verbesserungen sind dann noch möglich durch großzügigere Dimensionierung des Versuchsaufbaus, siehe dazu Abschnitt Eine Messung der Lichtgeschwindigkeit in Medien ist uns noch nicht gelungen, hier muß noch ein sinnvoller Versuchsaufbau erdacht werden. Seite 33 von 36

34 Literatur [BS93] [HN93] Bergmann, Ludwig und Claus Schaefer: Optik, Band 3 der Reihe Lehrbuch der Experimentalphysik. de Gruyter, Berlin, New York, 9. Auflage, Hänsel, Horst und Werner Neumann: Elektrizität, Optik, Raum und Zeit. Spektrum Akademischer Verlag, [Koh96] Kohlrausch, Friedrich: Praktische Physik, Band 3. Teubner-Verlag, Stuttgart, 24. Auflage, [Stö00] Stöcker, Horst (Herausgeber): Taschenbuch der Physik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main, 4. Auflage, [Wal94] Walcher, W.: Praktikum der Physik. Teubner Verlag, Stuttgart, 7. Auflage, Seite 34 von 36

35 Abbildungsverzeichnis 1.1 Abbe-Refraktometer: Grundlegender Aufbau Abbe-Refraktometer: Hauptebenen Prinzipskizze eines Amici-Prismas Brechzahl von Wasser und Coca-Cola über Temperatur Brechzahl von Immersionsöl über Temperatur Funktionsprinzip der Pulfrich-Refraktometers am Beispiel des Messprismas für flüssige Substanzen Dispersion von destilliertem Wasser Lichtgeschwindigkeitsmessung mit amplitudenmoduliertem Licht Lichtgeschwindigkeitsmessung in Medien mit amplitudenmoduliertem Licht Lichtgeschwindigkeitsmessung nach Foucault Winkelbeziehungen des Strahlenganges beim Versuch von Foucault Betrachtung von virtuellen Bildern beim Versuch von Foucault Seite 35 von 36

36 Tabellenverzeichnis 2.1 Messergebnisse Lichtgeschwindigkeit Messergebnisse am Versuchsaufbau nach Foucault Seite 36 von 36