MP 2. Einführung in elektrische Messungen. Version vom 8. März 2016

Transkript

1 Einführung in elektrische Messungen Version vom 8. März 2016

2 Inhaltsverzeichnis Ohm sches Gesetz und elektrische Leistung Die Kirchhoff schen Regeln Messung von Gleichstromwiderständen Wechselspannung und Wechselstrom Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom Wechselstromwiderstände Fehlerabschätzung bei elektrischen Messungen Aufgaben Versuchsaufbau und Durchführung Hinweise für das Protokoll Messungen mit dem Oszilloskop Grundlagen - Bau und Funktion des Oszilloskopes Aufgaben Versuchsaufbau und Durchführung Koaxialkabel Bedienung des verwendeten Oszilloskopes Messungen im Einkanalbetrieb Messungen im Zweikanalbetrieb - Spannungsteiler mit Impedanz Hinweise für das Protokoll

3 Inhaltsverzeichnis Lehr/Lernziele Digitale Strom- und Spannungsmessgeräte kennen- und bedienen lernen. Einfache Schaltungen für Strom- und Spannungsmessung aufbauen lernen. Grundlagen der Fehlerrechnung festigen. Anwendungen der Fehlerrechnung im Umgang mit Messgrößen der Elektrizitätslehre kennenlernen. Grundlegende experimentelle Arbeitsmethoden der Elektrizitätslehre kennenlernen. Unterschiede von Gleich- und Wechselstrom im praktischen Umgang erfahren. Wechselstromgrößen (Scheitelspannung, Amplitude, Frequenz,...) messen und darstellen können. Die Auswirkungen von komplexen Widerständen (Impedanzen) in Wechselstromkreisen besser verstehen lernen. Die mathematischen Werkzeuge der Wechselstromtechnik besser verstehen und anwenden lernen. Grundlegende Kenntnisse zu Funktionsweise und Anwendungmöglichkeiten von Oszilloskopen erwerben. Oszilloskope für einfache Messungen im Wechselstromkreis einsetzen können. Richtiges Protokollieren üben. Meteorologischer Bezug Moderne Messtechnik in den Naturwissenschaten bedient sich fast immer der Erfassung elektrischer Signale. Spezielle Sensoren wandeln eine Messgröße in eine messbare Spannung oder einen messbaren Strom um. So können in kurzer Zeit mehr Datenpunkte (automatisch) aufgenommen werden. Auch in der digitalen Messtechnik sind oft analoge elektrische Messsignale Ausgangspunkt der Messung (diese müssen dannin einem analog/digital- Wandler umgewandelt werden). Eine für die Meteorologie bedeutende Messung ist die Temperaturmessung. Umsie zu automatisieren, wie es z.b. in Wetterstationen der Fall sein muss, bedient man sich der elektronischen Erfassung. Im Laufe des Praktikums werden Sie mehrere (elektrische) Methoden zur Temperaturmessung kennenlernen, hier soll jedoch an

4 Inhaltsverzeichnis hand eines Beispiels verdeutlicht werden, wie essentiell die elektrische Messtechnik dafür ist. Das Widerstandsthermometer: Widerstandsthermometer basieren auf der Tatsache, dass sich der Widerstand von Metallen (annähernd) proportional zur Temperatur ändert. R(T ) = R T 0 [1 + α (T T 0 )] R T 0 ist dabei der Nennwiderstand, gemessen bei einer beliebigen Referenztemperatur T 0 (meist 0 C oder 20 C). Der Widerstandskoeffizient α hängt vom Material ab und ist ein Maß dafür, wie stark der Widerstand mit der Temperatur steigt. Für Kupfer liegt α zum Beispiel bei 4, K 1. Das heißt, ein Kupferwiderstand von 100 Ω ändert sich pro 1 C um 100 4, = 0, 427Ω. Der Messbereich liegt hier allerdings nur zwischen -50 C und +150 C. Gängige Widerstandsthermometer werden daher aus Platin gefertigt, das schon einen Messbereich von -220 C bis +250 C abdeckt. Sein Widerstandskoeffizient beträgt 3, K 1 und ist damit etwas kleiner, als der von Kupfer. Die Messwerte für Platin sind allerdings besser reproduzierbar, weswegen sich dieses Metall für Widerstandsthermometer besser eignet. Platinwiderstände zur Temperaturmessung mit einem Nennwiderstand von 100 Ω bei 0 C nennt man PT100. Um die Temperatur genau zu bestimmen, muss also eine möglichst genaue Widerstandsmessung durchgeführt werden. Will man zum Beispiel die Temperatur auf Zehntelgrad genau messen, muss der Widerstand auf rund 0,4 Ω genau bestimmt werden! Um einen unbekannten Widerstand zu bestimmen müssen im Allgemeinen Strom und Spannung am Widerstand gemessen werden. Ausnahmen hiervon sind Kompensationsschaltungen wie z.b. die Wheatstonebrücke, die Sie im Grundpraktikum 2 für Meteorologie zur Messung von Thermowiderständen verwenden werden. Das heißt, bei einer Messung muss immer auch Strom durch den Widerstand fließen. Bei einem Thermowiderstand sollte dieser Strom sehr klein bleiben, da er sich sonst durch innere Reibung erwärmt und die Messung verfälscht. Im folgenden Praktikumsbeispiel lernen Sie Methoden kennen, wie Widerstände gemessen werden und wie der Messfehler dieser Messungen bestimmt wird. Wechselstromwiderstände in der Datenübertragung Messdaten müssen in der meteorologischen Datenerfassung oft vom Ort der Messung an ein weiter entferntes Gerät - etwa einen Rechner - zur Auswertung übertragen werden. Bei längeren Strecken geschieht dies über Funk. Wo es möglich ist, werden aber auch Kabel verwendet. Bei der Datenübertragung über ein Kabel muss darauf geachtet werden, dass das Signal möglichst wenig gestört wird. Wie im Kapitel über Wechselstromwiderstände erklärt wird, verändern nichtohmsche Widerstände (Kapazitäten und Induktivitäten) eine elektrische Schwingung. Da die Übertragung von Messsignalen nichts anderes ist, als das Leiten zeit

5 Inhaltsverzeichnis lich veränderlicher Spannungsimpulse (im Allgemeinen Rechtecksignale), wirken Wechselstromwiderstände in manchen Fällen störend auf das Signal. Abbildung 1: Ersatzschaltbild für Leitungskabel Man kann sich nun ein Leitungskabel als eine Aneinanderreihung von Kondensatoren und Spulen (also kapazitiven und induktiven Widerständen) vorstellen (vgl. Abb. 1). Zusätzlich kommt natürlich auch noch der ohmsche Widerstand der Leitung ins Spiel, der das Signal nur abschwächt, aber nicht verändert. Die Vorstellung der Induktivitäten kommt daher, dass ein Leiterkabel durch das Strom fließt wie eine (ausgewickelte) Spule wirkt. Durch die bewegten Ladungen wird ein Magnetfeld erzeugt, das wieder auf den Leiter zurückwirkt und so einen induktiven Widerstand erzeugt. Die Vorstellung der Kapazitäten kommt daher, dass zur Signalübertragung ein geschlossener Stromkreis notwendig ist. Das heißt, es braucht eine Hin- und eine Rückleitung (die z.b. im Koaxialkabel durch Innenund Außenleiter verwirklicht ist). Diese beiden Stränge können als eine Parallelschaltung von Kondensatoren angesehen werden, da sich zwischen ihnen immer ein elektrisches Feld aufbaut. Die Koppelung von Induktivitäten, Kapazitäten und ohmschen Widerständen bewirkt in der Leitung eine Verzerrung des Signals. Bei der Übertragung von Messdaten ist dies natürlich nicht erwünscht. Daher muss bei der Wahl und der Länge des Leiters immer darauf geachtet werden, dass Signale möglichst störungsfrei übertragen werden. Getestet werden kann dies zum Beispiel mit einem Funktionsgenerator, der eine Rechteckfunktion erzeugt und einem Oszilloskop, das die übertragenen Impulse anzeigt. Je nach Art der Daten muss die Leitung Rechtecksignale im khz- bis MHz-Bereich störungsfrei übertragen können. Im folgenden Praktikumsbeispiel lernen Sie den Einfluss von Induktivitäten und Kapazitäten im Wechselstromkreis kennen. Um diese Messungen durchzuführen benötigen Sie ein spezielles Messgerät, mit dessen Umgang Sie sich auch vertraut machen sollten: Das Oszilloskop. Konkrete Anwendungen des Oszilloskops werden Sie im Grundpraktikum II kennenlernen, wo Sie dieses Messgerät eigenständig bedienen können sollen

6 Begriffe: Spannungsquelle, Ohm scher Widerstand, Ohm sches Gesetz, Kirchhoff sche Regeln, Parallel- und Serienschaltung, Wechselstrom, Wechselspannung, Phasenverschiebung, komplexe Impedanzen, Kapazität, Induktivität, Schwingung, Periodendauer, Frequenz. 1.1 Ohm sches Gesetz und elektrische Leistung Der einfachste elektrische Stromkreis besteht aus einer Spannungs- oder Stromquelle, einem Verbraucher und den Verbindungsleitungen (Abb. 2). Bei Gleichstrom - auf den wir uns vorerst beschränken - bleibt die Stromstärke I zeitlich konstant. Der Verbraucher ist dann durch eine einzige Kenngröße bestimmt, durch seinen elektrischen Widerstand R 1. In den Schaltbildern werden Verbraucher meist durch ein Rechteck bezeichnet, besondere Verbraucher haben aber eigene Symbole. Abbildung 2: Einfacher Gleichstromkreis mit einem Verbraucher. In homogen aufgebauten Widerständen gilt (i.a.) das Ohmsche Gesetz: Spannung U und Stromstärke I sind proportional zueinander. U = R I. (1) U wird in Volt (V) angegeben, I in Ampere (A). Für R ergibt sich aus Gleichung 1 die Einheit V/A = Ω (Ohm). Die eigentliche Aussage des Ohm schen Gesetzes lautet: R ist unabhängig von U und I. Das gilt aber nur, solange der Strom I die Temperatur des Widerstandes nicht merklich ändert, denn Widerstände sind im Allgemeinen temperaturabhängig 2. Die elektrische Leistung P, die im Stromkreis verbraucht wird, ist P = U I, mit [P ] = VA = W (Watt). 1 Physisch kann es sich dabei z.b. um ein Glühlämpchen, eine Heizwicklung oder einen Bauteil namens Widerstand handeln, wie er im Elektronikhandel erhältlich ist. 2 Außerdem findet man insbesondere bei Halbleitern Abweichungen vom Ohm schen Gesetz im Fall hoher Spannungen bzw. elektrischer Feldstärken

7 1.2 Die Kirchhoff schen Regeln Die beiden Kirchhoff schen Regeln (Gesetze), Knotenregel und Maschenregel, sind die Basis der Analyse elektronischer Schaltungen. Ausdrücke wie Knoten und Maschen gehören zur Terminologie elektrischer Netzwerke. Knoten sind Verbindungspunkte von mindestens 2 Zuführungsleitungen. Zwischen 2 Knoten befindet sich ein Zweig der Schaltung. Maschen nennt man geschlossene Ketten von Zweigen. Diese Begriffe sind in Abb. 3 veranschaulicht. Abbildung 3: Bezeichnungen in elektrischen Netzwerken. 1. Kirchhoffsche Regel Knotenregel: An jedem Knoten ist die Summe aus zufließenden und abfließenden Strömen gleich Null: n I i = 0, (2) i=1 wobei zufließende Ströme positiv und abfließende negativ zu rechnen sind (was aber nur eine Konvention ist). Abbildung 4 gibt ein Beispiel. Abbildung 4: Ströme in einem Knoten. Es gilt: I 1 + I 3 I 2 I 4 I 5 = 0 Die Knotenregel kann z.b. benützt werden, um den Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung von n Widerständen zu berechnen. Mit den Bezeichungen in Abb. 5 gilt: I = I 1 + I I n (3) - 5 -

8 Abbildung 5: Parallelschaltung von n Widerständen mit Batterie als Spannungsquelle (der Pluspol entspricht dem langen Strich) und Ersatzschaltbild mit R ges. Die Spannung an jedem der Widerstände ist gleich U. Das Ohm sche Gesetz, angewendet auf Gl. 3, ergibt sofort: U/R ges = U/R 1 + U/R U/R n bzw. 1 R ges = 1 R R R n = n i=1 1 R i. (4) 2. Kirchhoffsche Regel Maschenregel: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich Null: n U i = 0, (5) i=1 Hier gilt folgende Vorzeichenkonvention: geht man einen geschlossenen Weg um die Masche herum, dann sind Spannungen in der Stromrichtung (von Plus nach Minus) positiv und Spannungen entgegen der Stromrichtung negativ zu nehmen. Aus der Maschenregel folgt auf einfache Weise der Gesamtwiderstand einer Serienschaltung von n Widerständen, wie in Abb. 6 skizziert. Abbildung 6: Serienschaltung von n Widerständen und Ersatzschaltbild mit R ges

9 Beginnen Sie beispielsweise in der linken unteren Ecke des Schaltbildes mit dem Umlauf in Stromrichtung, dann werden alle Teilspannungen U i von Plus nach Minus durchlaufen, sind also positiv. Die Quelle wird jedoch von Minus nach Plus durchlaufen, daher ist ihre Spannung in Gl. 5 negativ. Daraus folgt: U 1 + U U n U = 0. (6) In einer Serienschaltung fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom I. Daher lässt sich obige Gleichung auch so schreiben (Anwendung des Ohmschen Gesetzes): R 1 I +R 2 I R n I R ges I = 0, woraus folgt: R ges = R 1 + R R n = n R i. (7) Ein wichtiger Spezialfall ist die Serienschaltung aus 2 Widerständen (Spannungsteiler). Die Gesamtspannung U ges wird in 2 Teilspannungen U 1, U 2 geteilt: U ges = U 1 + U 2 = R 1 I + R 2 I und I = U 1 R 1 = U 2 R 2. (8) Der rechte Teil der Gleichung kann z.b. benutzt werden, um aus den gemessenen Teilspannungen einen unbekannten Widerstand zu bestimmen (technisch wichtig und Teil der Aufgaben in diesem Beispiel!). Die Elimination von I aus obigen Gleichungen ergibt: i=1 U 1 = U ges R 1 R 1 + R 2 und U 2 = U ges R 2 R 1 + R 2 (9) Das bedeutet: die Teilspannungen verhalten sich zur Gesamtspannung genauso wie die Teilwiderstände zum Gesamtwiderstand. 1.3 Messung von Gleichstromwiderständen Gemäß dem Ohm schen Gesetz (Gleichung 1) bedeutet das Messen von Widerständen das Messen des Stromes durch den Widerstand und der Spannung am Widerstand. Zu diesem Zweck gibt es Voltmeter und Amperemeter, die meist in einem Gehäuse zusammengefasst sind (Multimeter). Zwischen den beiden Betriebsarten kann umgeschaltet werden. Hinweise zur Funktion, Schaltung und Eigenschaften von elektrischen Messgeräten sind im Zusatztext Messgeräte auf der elearning-seite zu MP 2 enthalten! Das Amperemeter muss in Serie zum Widerstand geschaltet werden, das Voltmeter parallel zum Widerstand. Auch Messgeräte haben einen Ohmschen Widerstand, der zur Unterscheidung von den Verbaucherwiderständen als Innenwiderstand R i bezeichnet wird

10 Vorsicht! Wird ein Amperemeter versehentlich parallel zum Widerstand geschaltet, so fließt wegen des kleinen Innenwiderstandes ein großer Strom durch das Gerät und kann zu seiner Zerstörung führen! Auch die Spannungsquelle kann beschädigt werden. Zur Messung von Strom und Spannung sind prinzipiell zwei Schaltungen möglich ( stromrichtig und spannungsrichtig ), wie Abb. 7 zeigt. Abbildung 7: Stromrichtige Schaltung(links) und spannungsrichtige Schaltung (rechts) zur Messung des Widerstandes R. In beiden Schaltungen tritt ein systematischer Fehler auf: Stromrichtige Schaltung: I ist im Amperemeter der selbe wie im Widerstand ( stromrichtig). U wird aber geteilt und das Voltmeter misst die Summe der Spannungen, nicht bloß die Spannung am Widerstand R. Abhilfe: der Innenwiderstand des Amperemeters muss wesentlich kleiner sein als der zu messende Widerstand R (warum?). Spannungsrichtige Schaltung: U ist am Voltmeter die selbe wie am Widerstand ( spannungsrichtig), I teilt sich jedoch. Das Amperemeter misst den Gesamtstrom, nicht den Teilstrom durch den Widerstand. Abhilfe: der Innenwiderstand des Voltmeters muss wesentlich größer sein als der zu messende Widerstand R (warum?). Innenwiderstandskorrektur Dieser systematische Fehler durch die Art der Schaltung ist zu erwarten und kann daher rechnerisch korrigiert werden (Innenwiderstandskorrektur) (R i -Korrektur). Am einfachsten ist es, die falsch gemessene Größe mittels des bekannten R i des Messgerätes zu korrigieren und den Widerstand mit der korrigierten Größe zu berechnen. Die R i -Korrektur ist unnötig, wenn der systematische Fehler um mindestens eine Größenordnung kleiner ist als der statistische Fehler (siehe Abschnitt Fehlerabschätzung bei elektrischen Messungen)

11 Wie groß der Fehler ist, wenn man die R i -Korrektur nicht macht, kann aus dem Verhältnis der beiden Widerstände grob abgeschätzt werden: z.b heißt R i /R = 10 3 bei einem Amperemeter, dass R ohne die Korrektur um ca. 0,1 % falsch ist. 1.4 Wechselspannung und Wechselstrom Die öffentliche Elektrizitätsversorgung liefert an Haushalte und Industrie Wechselstrom mit einem periodischen sinusförmigen zeitlichen Verlauf. Als Wechselspannungsquellen dienen dabei die Generatoren der Elektrizitätswerke. Bei einem solchen Wechselstrom hängen die Momentanwerte der Spannung und der Stromstärke von der Zeit ab: U(t) = U 0 sin ω t I(t) = I 0 sin(ωt + ϕ I ) (10) Die Argumente der Sinusfunktionen heißen Phase. Die Phasen des Stromes und der Spannung sind i.a. verschieden (daher die Phasenkonstante ϕ I ). In den Gln. 10 wurde der Zeitnullpunkt so gewählt, dass U(0) = 0 gilt. Als Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung wird (definitionsgemäß) Phase der Spannung minus Phase des Stromes bezeichnet. In der obigen Schreibweise ist ϕ = ϕ I. Beachten Sie bitte: wenn ϕ I positiv ist, dann eilt der Strom der Spannung voraus, die Phasenverschiebung ist aber negativ! Die Bedeutung der anderen Symbole in den Gln. 10 ist der Tabelle 1 und der Abbildung 8 zu entnehmen. Jede Schwingung benötigt eine Zeit T (Periodendauer). Der Kehrwert von T, also die Anzahl der Schwingungen pro Zeit, heißt Frequenz f (in der Physik oft auch ν). Die Einheit von f ist s 1 (Hz). T und f hängen mit der Kreisfrequenz ω folgendermaßen zusammen: eine Periodendauer entspricht einer Winkeländerung im Argument der Sinusfunktion um 360 bzw. 2π, also gilt: ω T = 2π und ω = 2π/T bzw. auch ω = 2 π f. Die Frequenz des öffentlichen Netzes beträgt f = 50 Hz, entsprechend einer Kreisfrequenz von ω = 2 π f = 314 s 1 und einer Periodendauer T = 20 ms. Tabelle 1: Bedeutung der Formelzeichen in den Gln. 10 Formelzeichen Einheit Bezeichnung U V Spannung U 0 V Spannungsamplitude oder Scheitelspannung I A Stromstärke I 0 A Stromamplitude oder Scheitelstrom ω s 1 Kreisfrequenz ϕ (rad) Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung Rad wurde in Klammern gesetzt, weil der Winkel im Bogenmaß dimensionslos ist. 3 3 Rad und Grad ( ) dienen nur dazu, im Zweifelsfall zwischen Bogen- und Gradmaß zu unterscheiden - 9 -

12 Abbildung 8: Sinusförmige Wechselspannung Scheitelwert (Amplitude), 2... Spitze- Spitze-Wert, 3... Effektivwert, 4... Periodendauer. Wechselströme sind in zweifacher Hinsicht von praktischer Bedeutung: Die Amplitude von Wechselspannungen kann ohne große Verluste mit Transformatoren in weiten Bereichen verändert und so den technischen Anforderungen leicht angepasst werden. Diese Transformierbarkeit ist auch der Grund dafür, dass der Transport elektrischer Energie mittels Wechselspannungen (Hochspannungen) einfacher und verlustärmer durchzuführen ist als mit Gleichspannungen. Außerdem ist die Erzeugung von Wechselspannung (mittels Drehstromgeneratoren) technisch einfacher und effizienter. Jede beliebige andere, periodisch veränderliche Spannung kann in eine Fourierreihe von Sinus- bzw. Cosinus-Spannungen zerlegt werden Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom Eine Wechselspannung U(t) = U 0 sin ω t, die an einem Ohm schen Widerstand liegt, erzeugt einen Wechselstrom I(t) = I 0 sin ω t mit I 0 = U 0 /R, es tritt also keine Phasenverschiebung ϕ auf. Damit ist die elektrische Leistung P (t) = U(t) I(t) = U 0 I 0 sin 2 ω t ebenfalls eine zeitlich periodische Funktion. Für das zeitliche Mittel der elektrischen Leistung (Arbeit pro Zeiteinheit) erhält man damit: P = 1 T T 0 U 0 I 0 sin 2 ω t dt = 1 2 I 0 U 0 = U eff I eff (11) Die hier eingeführten Größen U eff = U 0 / 2 und I eff = I 0 / 2 heißen Effektivwerte von Spannung und Strom. Sie geben die Werte einer Gleichspannung bzw. eines Gleichstroms und können für Dimensionsbetrachtungen einfach = 1 gesetzt werden

13 an, die an einem ohmschen Widerstand R die gleiche Leistung erbringen wie die betrachtete Wechselspannung U(t). Die obige Herleitung gilt nur für Sinusspannungen. Für periodische Wechselspannungen beliebiger Form definiert man den Effektivwert wie folgt: U eff = 1 T T 0 (U(t) + U DC ) 2 dt = 1 nt nt 0 (U(t) + U DC ) 2 dt (n = 1, 2, 3,...). U DC ist ein etwaiger Gleichspannungsanteil. Es werden also die momentanen Spannungswerte quadriert, diese Quadrate über die Periodendauer (bzw. einem ganzzahligen Vielfachen davon) gemittelt und hinterher die Wurzel aus diesem Mittelwert der Quadrate gezogen 4. Das Ergebnis dieser Operation heißt im Englischen root mean square (RMS) und ein Messgerät, das nach diesem Prinzip arbeitet heißt folglich RMS-Meter. Weil aber ein solches Messgerät im allgemeinen keine Information über die Periodendauer hat, wird in der Regel eine fest eingestellte Zeit T I für die Mittelwertbildung verwendet. Der so erhaltene Wert wird dann als True-RMS-Wert U RMS bezeichnet. Multimeter für Wechselspannung und -strom zeigen die Effektivwerte an. Frequenzen und Phasenverschiebungen ϕ können mit Oszilloskopen gemessen werden (siehe den zweiten Teil dieses Beispieles). In den technischen Daten elektrischer Geräte (Verbraucher) werden ebenfalls die Effektivwerte angegeben. In unserem einphasigen Wechselstromnetz liegt zwischen den Polen der Steckdose eine Effektivspannung U eff = 230 V, das entspricht einer Scheitelspannung U 0 = V 325 V Wechselstromwiderstände In einem Wechselstromkreis treten außer den Ohm schen Widerständen meist auch kapazitive und induktive Widerstände auf. Diese werden z.b. von den elektrischen Feldern in einem Kondensator oder den magnetischen Feldern in einer Spule verursacht. Sie unterscheiden sich von den Ohm schen Widerständen hauptsächlich durch folgende zwei Eigenschaften: Kapazitive und induktive Widerstände sind frequenzabhängig - im Gegensatz zu Ohm schen Widerständen. Kapazitive und induktive Widerstände verursachen eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung(siehe Abb. 9). 4 Für Sinusspannungen erhält man auch nach der allgemeinen Formel den gleichen Wert wie mit der speziellen

14 Abbildung 9: Zeitlicher Verlauf von Strom und Spannung am Ohm schen Widerstand (links), am Kondensator(Mitte) und an der Spule (rechts). Am Ohmschen Widerstand entsteht keine Phasenverschiebung. Am Kondensator eilt der Strom um 90 voraus, an der Spule hinkt er um 90 hinterher. Die Berechnung von Wechselstromgrößen ist deswegen schwieriger als die von Gleichstromschaltungen. Eine Vereinfachung kann erzielt werden, wenn sämtliche Wechselstromgrößen mittels komplexer Zahlen beschieben werden. Spannung, Strom, Widerstand etc. werden durch komplexe Zahlen Û, Î, Z dargestellt. Der Vorteil dieser Methode: die bekannten Gesetze und Regeln für Gleichstromschaltungen (Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln) gelten vollkommen analog für diese komplexen Größen. Dazu zwei Beispiele: Das Ohmsche Gesetz für einen beliebigen Wechselstromwiderstand Z (auch Gesamtwiderstand einer Schaltung ) lautet in komplexer Schreibweise: Û(t) = Z Î(t). (12) Zwei komplexe Widerstände Z 1, Z 2 haben in Serie den Gesamtwiderstand Z ges : Z ges = Z 1 + Z 2. Komplexe Wechselstromwiderstände werden auch als komplexe Impedanzen bezeichnet. Die drei Grundtypen (Ohmscher Widerstand R, Kondensator mit Kapazität C und Spule mit Induktivität L) haben folgende Impedanzen: Z R = R, Z C = i ωc, Z L = iωl. (13) Das entgegengesetzte Vorzeichen von Z C und Z L beschreibt die entgegengesetze Phasenverschiebung an diesen Elementen. i = 1 ist die imaginäre Einheit 5. Für einen Ohmschen Widerstand ist also der komplexe Widerstand identisch mit dem reellen - weil an ihm keine Phasenverschiebung auftritt. Wie hängen diese komplexen Größen mit den (reellen!) Messgrößen zusammen? 5 In der Technik wird statt i gerne j geschrieben, um Verwechslungen mit dem Strom, dort oft mit i bezeichnet, zu vermeiden. Wir bleiben lieber bei der mathematischen Notation, weil in der Physik eher eine Verwechslung mit der Stromdichte j zu befürchten ist

15 Der Quotient aus gemessener Spannung und gemessenem Strom ist gleich dem Betrag des komplexen Wechselstromwiderstandes. Beispiel: an einem Kondensator wurden mit Multimetern die Spannung U C und der Strom I C gemessen (Effektivwerte! Wir ersparen uns in der Folge einfach den Index eff, wenn es sich um gemessene Größen handelt.), dann ergibt der Quotient U C /I C den Betrag der Impedanz des Kondensators: U C = Z C = 1 I C ωc X C. Die hier eingeführte Größe X C hat die Dimension eines Widerstandes und kann daher als reeller Wechselstromwiderstand des Kondensators bezeichnet werden. Analog ist die Größe X L = ωl der reellen Wechselstromwiderstand der Spule. Beträge von komplexen Widerständen werden auch als Scheinwiderstände bezeichnet. Die Serienschaltung eines Ohm schen Widerstandes und eines Kondensators (Abb. 10) ist für das dieses Beispiel MP 2 besonders wichtig. Die Gesamt-Impedanz Z ges dieser Schaltung ist (Kirschhoffsche Summenregel für die komplexen Impedanzen): Z ges = Z R + Z C = R i ωc = R ix C. (14) Misst man die Gesamtspannung U ges und den Gesamtstrom I, so ist der Quotient nach obigen Ausführungen gleich dem Absolutbetrag der Gesamtimpedanz Z ges : U ges I = Z ges = R 2 + X 2 C I fließt durch R und durch C. Für die Teilspannungen an den beiden Elementen gilt daher: U R = I R und U C = I X C. Aus diesen Gleichungen folgt sofort X C, falls U C, U R gemessen wurden und R bekannt ist! Der Strom I muss dazu nicht gemessen werden! Abbildung 10: Serienschaltung eines Kondensators und eines Ohmschen Widerstandes

16 Hinweis: Diese Gleichungen gelten nicht nur für die Effektivwerte, sondern auch für die Scheitelwerte (Amplituden) oder die Spitze-Spitze-Werte, welche man mit dem Oszilloskop misst (wie in Teil 2 dieses Praktikumsbeispieles) - siehe die Definition der Effektivwerte! Beachten Sie: die Spannung an R hat keine Phasenverschiebung gegenüber dem Strom, die Spannung an C jedoch schon! Also sind die beiden Spannungen gegeneinander phasenverschoben. Konsequenz: die Teilspannungen können nicht einfach zur Gesamtspannung addiert werden: U R + U C U ges. Warum das so ist, zeigt am einfachsten eine grafische Auftragung der komplexen Impedanzen in der Gauß schen Zahlenebene. Für die Gesamtimpedanz Z ges (Gleichung 14) ist dies in Abb. 11 schematisch gezeigt, wo jeder Vektor mit seiner Länge beschriftet ist. Die Längen = Beträge der komplexen Widerstände entsprechen also den gemessenen Widerständen. Z ges ist die Vektorsumme von Z R und Z C und Z ges = R 2 + XC 2 folgt aus dem Pythagoräischen Lehrsatz. Die messbaren Teilwiderstände addieren sich also nicht linear, sondern quadratisch zum gemessenen Gesamtwiderstand. Das ist eine Folge der Phasenverschiebung der beiden Teilspannungen an diesen Widerständen. Abbildung 11: Die Gesamtimpedanz Z ges der Schaltung in Abb. 10 in der Gaußschen Zahlenebene. Denken Sie sich jetzt jeden Vektor in Abb. 11 mit der gemessenen Stromstärke I multipliziert und Sie erhalten ein völlig analoges Bild für die Spannungen U ges, U C, U R. Folglich gilt die quadratische Addition auch für die Gesamt- und Teilspannungen: U ges = U 2 R + X2 C. Aus Abb. 11 ist auch die Phasenverschiebung ϕ abzulesen: tan ϕ = X C R ϕ = arctan X C R (15) Das negative Vorzeichen vor X C kommt daher, dass Z C negativ ist. Der Strom eilt am Kondensator der Spannung voraus, nach den Überlegungen zu Gleichung 10 ist damit die Phasenverschiebung negativ. Bei einer Spule ist sie positiv

17 Ebenso kann aus Abb. 11 leicht abgeleitet werden, wie sich eine Serienschaltung aus 2 Ohmschen Widerständen R 1, R 2 verhält (versuchen Sie es!). 1.5 Fehlerabschätzung bei elektrischen Messungen Außer systematischen Fehlern (wie dem Innenwiderstandsfehler, siehe Kap. 1.3) gibt es auch bei elektrischen Messungen zufällige Fehler (Unsicherheiten). Hier verwendet man zur Fehlerabschätzung nicht statistische Methoden, denn eine elektrische Messung n-mal durchführen bedeutet, die Schaltung n-mal zerlegen und wieder aufbauen, sonst sind die einzelnen Messungen nicht voneinander unabhängig. Das ist in der Praxis zu umständlich. Die Fehler elektrischer Messungen werden aus den Gerätegenauigkeiten berechnet. Angaben dazu sind in den Betriebsanleitungen der Messgeräte zu finden. Für die Geräte, die im Praktikum verwendet werden, sind Kopien der relevanten Tabellen aus den Betriebsanleitungen im Leitfaden (Anhang) zu finden. Bei analogen und digitalen Geräten sehen diese Angaben unterschiedlich aus 6. Bei digitalen Messgeräten wie dem Fluke 183 setzt sich der Fehler aus 2 Bestandteilen zusammen, die in der Betriebsanleitung folgendermaßen angegeben sind: ±m% + n Zählimpulse. m % sind direkt vom Messwert zu nehmen und Zählimpulse bezeichnen einen zusätzlichen Fehler, der aus dem digitalen Messprinzip folgt. n Zählimpulse besagt, dass die letzte Ziffer in der Anzeige um einen Wert n falsch (fehlerhaft, unsicher) sein kann. Ein Beispiel: Gleichstrom, gemessen mit Fluke 183: I = 7, 52 ma, Messbereich: 50 ma. Gerätegenauikeit lt. Betriebsanleitung: ± 0,2 % + 4 Zählimpulse. Messfehler I = (0,2 % von 7,52 ma) + 0,04 ma = 0,01504 ma + 0,04 ma = = 0,05504 ma 0,06 ma I = (7, 52 ± 0, 06) ma. Erklärung zum Digitalisierungsfehler: Die letzte Ziffer in der Anzeige, 2, hat den Stellenwert 1/100. Sie kann um 4 falsch sein, d.h. es muss mit einem zusätzlichen Fehler von 0,04 ma gerechnet werden. Bei analogen Messgeräten 7 wird die Genauigkeit in % vom Skalen-Endwert des gewählten Messbereiches angegeben. Angenommen mit einem analogen Amperemeter wird I = 7, 5 ma gemessen und zwar im 12 ma Messbereich. Die Gerätegenauigkeit lt. Betriebsanleitung sei 1 % der Skalenlänge (Zitat), dann ist der Fehler 0,12 ma (1% von 12 ma) und das Endresultat lautet I = (7, 5 ± 0, 2) ma. Hier wurde der Fehler auf nur 1 Stelle gerundet, weil der Messwert nur 1 Nachkommastelle hat (mehr über Fehlerrundung im Leitfaden). 6 Der Grund dafür wird im Zusatztext Messgeräte erklärt 7 Sie arbeiten in MP 2 nur mit digitalen Geräten, aber später werden Sie sicher auch analoge kennenlernen

18 Werden aus den gemessenen Spannungen und Strömen der Widerstand (R = U/I) oder die Leistung (P = U I) errechnet, so wird die Unsicherheit dieser Größen mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet. Die Gerätegenauigkeiten werden dabei genauso behandelt wie Standardabweichungen. Wie im Leitfaden erklärt, verwendet man für Produkte und Quotienten von 2 fehlerbehafteten Größen zweckmäßiger Weise die relativen Fehler: R R = P P = ( U ) 2 ( ) 2 I + (16) U I 1.6 Aufgaben Bei elektrischen Messungen gilt: Lassen Sie die Betreuerin/den Betreuer die Schaltung kontrollieren, bevor Sie den Stromkreis schließen! Messungen mit Gleichstrom Vorbemerkung: Schalten Sie die Messgeräte auf Gleichstrombetrieb! 1. Bestimmen Sie den Ohm schen Widerstand eines Metallfilmwiderstandes R x in spannungsrichtiger Schaltung. Führen Sie eine Fehlerbestimmung durch. Überlegen Sie anhand der Daten der Messgeräte, ob eine R i -Korrektur notwendig ist nicht und begründen Sie das im Protokoll (Werte explizit hinschreiben)! 2. Bauen Sie eine Parallelschaltung aus R x und einem bekannten Widerstand R auf und messen Sie in spannungsrichtiger Schaltung den Gesamtwiderstand der Schaltung. Überlegen Sie wieder, ob eine R i -Korrektur notwendig ist. Geben Sie den Fehler des Gesamtwiderstandes an. 3. Bauen Sie eine Serienschaltung aus R und R x auf und bestimmen Sie durch Messung von Strom und Spannung den Gesamtwiderstand der Schaltung. Ist eine R i -Korrektur vernachlässigbar? Geben Sie den Fehler des Gesamtwiderstandes an. 4. Messen Sie in der Serienschaltung (= Spannungsteiler) die Teilspannungen an R und R x und bestimmen Sie R x aus diesen Teilspannungen (nicht aus Strom und Spannung!). Bei der Fehlerabschätzung ist R als fehlerfrei zu betrachten. 5. Berechnen Sie mit Hilfe der Formeln im Abschnitt Die Kirchhoff schen Regeln die Gesamtwiderstände der Serien- und der Parallelschaltung und vergleichen Sie die gerechneten Werte mit den gemessenen. Übereinstimmung besteht dann, wenn die berechneten Werte (keine Fehlerschätzung notwendig!) innerhalb der Fehlergrenzen der gemessenen Werte liegen

19 Messungen mit Wechselstrom Vorbemerkung: Schalten Sie die Messgeräte auf Wechselstrombetrieb! 1. Im schon aufgebauten Spannungsteiler aus R und R x ersetzen Sie die Spannungsquelle durch eine Wechselspannungsquelle (Funktionsgenerator). Messen Sie die Gesamtspannung und die beiden Teilspannungen und berechnen Sie wie oben den Wert von R x aus den Teilspannungen. Zeigen Sie die Gültigkeit des linearen Additionsgesetzes bei Ohm schen Widerständen. 2. Ersetzen Sie in der Schaltung den Widerstand R x durch einen Kondensator und messen Sie wieder alle 3 Spannungen. Zeigen Sie, dass sich die Teilspannungen jetzt nicht linear, sondern quadratisch zur Gesamtspannung addieren. 1.7 Versuchsaufbau und Durchführung Versuchsaufbau Abbildung 12: Geräte und Material zum Aufbau der Schaltungen. Als Multimeter können auch andere Geräte verwendet werden, z.b. das Fluke 179 in Abb. 13. Abb. 12 zeigt die wichtigsten Bestandteile der Versuchsanordnungen: zwei Digitalmultimeter (z.b. Fluke 183 oder ähnliches Gerät), die zu messenden Widerstände auf einem kleinen Steckbrett aus Plexiglas, sowie einige Kabel. Als Spannungsquelle für die Gleichstrommessungen dient das Netzgerät der Firma HA- MEG (siehe Abbildung 13, rechter Teil des Gerätes) 8. Für die Wechselspannungsmessungen verwenden Sie den Funktionsgenerator der Firma HAMEG (siehe Abbildung 13, linker Teil des Gerätes), den Sie auf sinusförmige Wechselspannung mit einer Frequenz von 50 Hz einstellen. 8 Bei Ihrem Gerät können die beiden Module auch umgekehrt montiert sein!

20 Die Bedienung des HAMEG-Netzgerätes Der rote Einschaltknopf liegt in der Mitte zwischen den Modulen. Die Drehknöpfe VOLTAGE (rechtes Modul) regeln die Spannungen der 2 unabhängigen Spannungsquellen. Ihr momentaner Wert wird in der Digitalanzeige angezeigt; letztere ist nicht sehr genau dient daher nur der Grobregelung der Spannung. Stellen Sie auf ca. U = 20 V (den exakten Wert messen Sie später mit dem Multimeter). Der Druckknopf V/mA/FUSE-OnOff hat mehrere Funktionen: Kurzes Drücken des Schalters neben der Anzeige wechselt die angezeigte Größe (entweder Spannung - V leuchtet grün auf - oder Strom - ma leuchtet grün auf). Für Sie ist nur die Spannung relevant ( V sollte grün leuchten). Langes Drücken (etwa 2 s) aktiviert die interne Sicherung (Fuse). Das ist als Absicherung von Vorteil, daher aktivieren Sie diese. Es wird links neben der Anzeige ein oranges F aufleuchten, wenn die Sicherung aktiv ist. Der Drehknopf CURRENT regelt eine Strombegrenzung (0-500 ma), der mit der Sicherung (Fuse) interagiert. Sie werden mit so kleinen Strömen arbeiten, dass es nur darauf ankommt, im Fall eines Kurzschlusses einen Sicherungsdefekt im Multimeter zu verhinden. Wählen Sie vom möglichen Drehbereich daher ca. die Hälfte. Nun können Sie die Spannungsquelle aktivieren. Dazu drücken Sie den Druckknopf OUTPUT in der Mitte des Moduls, sodass ON grün leuchtet. Abbildung 13: Funktionsgenerator (links) und Gleichspannungs-Netzgerät (rechts) der Firma HAMEG. Die Bedienungselemente mit den Nummern werden im Text beschrieben. Das gezeigte Multimeter ist als Voltmeter für Wechselspannungen (AC) geschaltet

21 Bedienung des Funktionsgenerators (Wechselspannungsquelle) Die für Sie wichtigen Bedienungselemente sind in Abbildung 13 mit Nummern versehen. Drehschalter 1 regelt die Amplitude der Wechselspannung. Sie wird auf dem Gerät nicht angezeigt, sondern muss gemessen werden (in Abbildung 13 gezeigt). Die Buchse 2 gibt die Wechselspannung an die Schaltung ab. Hier ist ein Koaxialkabel, mit einem BNC-Stecker an einem Ende und zwei 4-mm-Steckern am anderen Ende, anzustecken. Mehr über solche Kabel erfahren Sie im zweiten Teil dieses Beispieles (Messungen mit dem Oszilloskop). Die Schalter 3 und 4 dienen zur Einstellung der Frequenz der Wechselspannung. 4 ist eine Grobverstellung, 3 eine Feinverstellung. Mit dem Schalter 5 wird die Form der Wechselspannung eingestellt. Es stehen Sinus-, Dreiecks-, Rechtecks- und Impulsspannung zur Verfügung. Für die Messungen wählen Sie die Sinusspannung, durch mehrmaliges Drücken des Schalters (bis der Sinus aufleuchtet). Die anderen Schalter des Gerätes werden Sie nicht benötigen. Achten Sie lediglich darauf, dass keiner dieser Schalter gedrückt ist! Praktische Tipps zum Aufbau der Schaltungen +++ Bauen Sie die Schaltung so einfach und übersichtlich wie möglich! Oft sind weniger Kabel notwendig, als es zunächst scheint Orientieren Sie sich an den Schaltbildern und gehen Sie Schritt für Schritt vor. +++ Beginnen Sie mit dem (eigentlichen) Stromkreis: das Amperemeter und die Widerstände. Erst zum Schluss bauen Sie das Voltmeter ein. Diese Vorgangsweise ist meistens übersichtlicher als ein gemischter Aufbau. Am fertigen Stromkreis ist in der Regel sofort erkennbar, wo das Voltmeter angeschlossen werden muss. +++ Für die Messung der Teilspannungen im Spannungsteiler stecken Sie lediglich die Anschlusskabel des Voltmeters um! +++ Sparen Sie Zeit und Arbeit, indem Sie die Messungen in der günstigsten Reihenfolge durchführen (wie es die Aufgabenstellung ohnehin suggeriert). Erst die Messungen am Metallfilmwiderstand, dann die Parallelschaltung und dann die Serienschaltung. Für die nachfolgenden Messungen mit Wechselstrom müssen Sie dann nur mehr - bei sonst unveränderter Schaltung - die Spannungsquelle wechseln und zuletzt den Ohm schen Widerstand durch den Kondensator ersetzen. Auf der elearning-seite zu MP 2 finden Sie die Zusatzinformationen Aufbau einer einfachen Schaltung und Denkaufgabe: Welche Schaltung?, mit denen Sie den Aufbau von Schaltungen schon zu Hause üben können!

22 Auf der elearning-seite zu MP2 finden Sie ein vertontes Lehrvideo zu den Grundgesetzen der elektrischen Schaltungstechnik und zum Aufbau von einfachen Messschaltungen. 1.8 Hinweise für das Protokoll Fertigen Sie zu jeder Schaltung eine Schaltskizze an! Eine sauber gezeichnete Zeichnung per Hand genügt. Geben Sie in der Skizze jeder Größe einen eindeutigen Namen, den sie auch im Text verwenden (wichtig!). Nur so behalten Sie und der/die Betreuer/in die Übersicht. Welche Bezeichnung Sie wählen, bleibt Ihnen überlassen, aber eindeutig und sinnvoll soll sie sein. Beispiele: Gesamtwiderstände der Serien- und der Parallelschaltung: R s bzw. R p (damit diese von den Einzelwiderständen R, R x klar zu unterscheiden sind.). Gesamtwiderstand der Serienschaltung bei Wechselstrom: Z s (Betrag der Impedanz der Serienschaltung!). Das Endergebnis jeder Messaufgabe (mit Fehlerangabe!) verdient eine entsprechende Hervorhebung im Text, in etwa so wie die Gleichungen in dieser Anleitung gedruckt sind! Es ist für den Leser eine Zumutung, wenn er/sie sich das Ergebnis erst mühsam aus einem unstrukturierten Textblock heraussuchen muss

23 2 Messungen mit dem Oszilloskop 2 Messungen mit dem Oszilloskop 2.1 Grundlagen - Bau und Funktion des Oszilloskopes Begriffe: Oszilloskop, komplexe Widerstände, Phasenverschiebung, Amplitude, Frequenz Mit einem Oszilloskop kann man nicht nur den zeitlichen Verlauf einer Spannung U(t) sichtbar machen und registrieren, sondern auch eine Messspannung U 1 als Funktion einer zweiten Spannung U 2 also U 1 = f(u 2 ) darstellen. Aufgrund seiner nahezu trägheitslosen Wirkungsweise kann man es als universellen Kurvenschreiber betrachten, mit dem auch nicht-elektrische Größen dargestellt werden können (z.b. mechanische Schwingung, Schallschwingungen, Kräfte, usw.), sofern sie mit entsprechenden Wandlern in proportionale elektrische Spannungen umgesetzt werden. Analoge Oszilloskope Analoge Oszilloskope (AO) werden immer seltener verwendet. Auch Sie werden zwar in MP 2 mit einem Digitaloszilloskop arbeiten, später vielleicht aber mit einem analogen Gerät zu tun haben. Wir erklären daher das Prinzip des AO ohne technische Details. Das Herzstück eines AO ist eine Elektronenstrahlröhre, durch die dünner Elektronenstrahl geschossen wird. Er trifft auf einen Bildschirm und erzeugt dort einen Lichtpunkt. Um den Strahl herum sind 2 Paare von Ablenkplatten angeordnet, mit denen man den Strahl bewegen kann. Die zu messende Wechselspannung wird an ein Paar dieser Platten gelegt und bewegt den Strahl in ihrer Frequenz periodisch auf und ab. An das andere Platten-Paar wird die Zeitablenkung gelegt, eine Sägezahnspannung, die linear mit der Zeit anwächst; sie bewegt den Strahl gleichmäßig in der Zeit in der horizontalen Richtung. Die Überlagerung dieser beiden Bewegungen ergibt auf dem Bildschirm ein Bild der Wechselspannung. Für die Messung von Periodendauern und Amplituden einer Wechselspannung ist der Bildschirm mit einem kalibrierten Raster versehen, dessen Skalierung in Stufen verändert werden kann (Schalter VOLT/DIV bzw. s/div; DIV bedeutet hier Unterteilung, also Skalenteil). Oszilloskope mit zwei Eingängen haben auch einen X-Y-Betrieb: die beiden Spannungen werden nicht über der Zeit, sondern gegeneinander aufgetragen (z.b. Kennlinien-Schreiber). Digitale Oszilloskope Digitale Oszilloskope (DSO) arbeiten ohne Elektronenstrahlröhre. Sie tasten das eingehende Signal mit hoher Frequenz ab und stellen es auf einem Bildschirm dar ( sampling ). Die Abtastrate bestimmt die Messgenauigkeit und den Frequenzbereich des DSO. Moderne DSO haben Abtastraten von einigen Gs/s, also Giga-Samples pro Sekunde, d.h. das Signal wird einige 10 9 mal pro Sekunde abgetastet. Der sogenannte Trigger startet die Datenaufnahme. Er ist so einzustellen, dass das Sampling immer bei dem selben Wert

24 2 Messungen mit dem Oszilloskop der zu messenden Spannung beginnt, damit man ein stabiles Bild bekommt. Die Schalter VOLTS/DIV und s/div sind analog zum analogen Oszilloskop. Grundsätzlich ist der Umgang mit einem DSO nicht wesentlich verschieden von dem mit einem analogen Gerät: Signal triggern, Bereiche VOLTS/DIV bzw. s/div so wählen, dass man ein möglichst charakteristisches Bild der Wechselspannung erhält und dann messen. Das DSO stellt aber zusätzliche Bearbeitungs-Methoden zur Verfügung. Es kann z.b. das Signal glätten (Mittelwertbildung); Anstiegszeiten, Frequenzen, Periodendauern, Spannungen direkt ausrechnen; Mathematische Operationen ausführen, z.b. Differenz zwischen den Eingängen; sogenannte single-shot Messungen durchführen - das sind Messungen, bei der die Datenaufnahme nur ein einziges Mal (also nicht wiederholt) erfolgt, wodurch nicht nur periodische Signale, sondern auch Einzelereignisse dargestellt werden können; Frequenzspektren, Histogramme und Statistiken ausrechnen lassen. Diese Vielfalt der Funktionen wird durch eine kompliziertere Bedienung erkauft. Die Funktionen werden durch ein Menü-System ausgewählt und hier hat jedes Gerät seine Eigenarten. Im Abschnitt Versuchsaufbau und Durchführung werden von dem Gerät, das Sie verwenden, nur die notwendigen Bedienungselemente beschrieben. 2.2 Aufgaben 1. Spannungsmessung mit dem Oszilloskop. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen den Spannungen, die mit dem Oszilloskop und mit einem Digital-Voltmeter gemessen wurden, grafisch dar. Legen Sie dazu an einen Ohm schen Widerstand eine Sinus-Spannung und messen Sie für 5 verschiedene Werte der Amplitude. Überlegen Sie: welchen Wert der Spannung misst das Voltmeter und welchen das Oszilloskop (siehe Grundlagen)? Beschriften Sie die Achsen passend. 2. Frequenzmessung mit dem Oszilloskop. Bestimmen Sie die Frequenzen von 3 verschiedenen Wechselspannungen durch Messen der Periodendauer mit dem DSO. 3. Spannungsteiler mit Impedanz - Oszilloskop im Zweikanalbetrieb. Messen Sie in einem Spannungsteiler mit einer unbekannten Kondensator oder Spule die Teilspannung U 2 (t) an einem bekannten Ohm schen Widerstand (auf Kanal 2, CH 2) und die Gesamtspannung U 1 (t) (auf Kanal 1, CH 1), sowie die zeitliche Verschiebung t. Bestimmen Sie C bzw. L. Betrachten Sie auch den Zusammenhang zwischen U 2 (t) und U 1 (t) im XY-Betrieb. Tauschen Sie die Impedanz gegen einen ohmschen Widerstand und beschreiben Sie den Unterschied zu den vorigen Messungen qualitativ

25 2 Messungen mit dem Oszilloskop 2.3 Versuchsaufbau und Durchführung Koaxialkabel Die zu messende Spannung wird über abgeschirmte Koaxial-Kabel mit BNC-Steckern dem DSO zugeführt und liegt dabei zwischen dem Innenleiter und dem Außenleiter, der über das Gerät mit Masse verbunden ist (Abb. 14). Abbildung 14: Koaxialkabel und BNC-Stecker Abbildung 15: Adapter und Übergangskabel zwischen BNC und Bananen -Anschlüssen. Die roten Pfeile zeigen auf die Nase, die den Außenleiter kennzeichnet. Auf dem Steckbrett, auf dem die Bauteile montiert werden, befinden sich Steckbuchsen (4 mm) für sog. Bananenstecker. Sie benötigen daher Übergangskabel oder -stecker (Beispiele in Abb. 15). Beachten Sie: die roten Stecker an den Kabeln sind mit dem Innenleiter der BNC-Buchse verbunden sind, die schwarzen mit dem Außenleiter (sind auf Erde ). Bei den Adaptern kennzeichnet eine Nase am Gehäuse den Außenleiter

26 2 Messungen mit dem Oszilloskop Bedienung des verwendeten Oszilloskopes Das Tektronix TDS 1002B ist ein digitales Speicheroszilloskop (DSO) mit 2 Eingangskanälen und einer Bandbreite von 60 MHz. Die Vorderseite des Geräts ist in Abb. 16 dargestellt. Die Ziffern in Abb. 16 weisen auf Bedienungselemente und die Buchstaben auf Elemente der Anzeige hin, die im Folgenden besprochen werden. Dabei werden die entsprechenden Buchstaben oder Ziffern in Klammern gesetzt, z.b. (a). Um diese Erklärungen nicht ausufern zu lassen, werden sie oft in der Art eines Kochrezeptes formuliert sein. Lassen Sie in eigenem Interesse alle anderen Schalter unberührt, denn durch wahllose Tastendrücke kann das Oszilloskop in einen schwer durchschaubaren Zustand versetzt werden, den auch erfahrene Benutzer nur durch Ein- und Ausschalten wieder rückgängig machen können! Abbildung 16: Frontansicht des verwendeten Oszilloskops Tektronix TDS 1002B. Der Netzschalter zum Einschalten des Geräts befindet sich auf der Oberseite des Geräts. Das Gerät wird über eine Menüführung bedient. Bei Druck auf eine der Tasten im rechten Teil der Gerätefront, mit den Ziffern (2), (5), (9) und (10), erscheinen mehrere Optionen des Menus auf dem rechten Bildschirmrand. Die unmittelbar daneben angeordnete Tastenreihe (1) dient zur Auswahl einer Menufunktion. Wiederholtes Drücken einer dieser Tasten schaltet zwischen den verschiedenen Optionen hin- und her. Eingangskanal konfigurieren Beide Eingangskanäle werden auf die gleiche Weise konfiguriert, es genügt also, die Einstellungen für Kanal 1 (CH1) zu erläutern. Drücken Sie zunächst Taste (2). Das Menü zeigt

27 2 Messungen mit dem Oszilloskop Ihnen jetzt die verschiedene Optionen für den Eingangskanal an. Für die Versuchsdurchführung von Bedeutung sind die Kopplung (COUPLING) und die Einstellung für PROBE. COUPLING sollte auf AC stehen (nur Wechselspannungen werden gemessen) und PROBE auf 1x aufscheint (diese Option dient dazu, sog. Tastköpfe mit dem Oszilloskop verwenden zu können, die einen Verstärkungsfaktor haben, z.b. 10x oder 100x; Sie verwenden aber keinen Tastkopf). Der eingestellte Messbereich wird bei (d) angezeigt und kann mit dem Drehschalter (3) verändert werden. Die Angabe erfolgt in VOLT/DIV, also Volt pro Skalenteil der Skala im Anzeigefenster. In Abb. 16 ist 2.00 V eingestellt, d.h. ein Skalenteil ( Kästchen ) im Anzeigefenster einspricht 2 V. Der Drehknopf POSITION (4) verschiebt die Kurve in vertikaler Richtung. Das Symbol (b) zeigt, wo sich ihr Nullpunkt (Erdpotential) auf dem Bildschirm befindet. Trigger einstellen Das Menü für die Triggerfunktionen rufen Sie mit TRIG MENU (5) auf. Legen Sie den Trigger jedenfalls auf Flanke (EDGE) fest. Ob steigende oder fallende Flanke (rising/falling SLOPE) verwendet wird, ist in Ihrem Fall nicht so wichtig. Wichtig hingegen ist die Einstellung der Quelle (SOURCE). Zur Wahl stehen: EXT, wenn Sie mit dem externen Triggersignal des Funktionsgenerators arbeiten oder CH1 wenn Sie das Signal an Kanal 1 zur internen Triggerung nehmen. Letzteres sollten Sie als erstes versuchen. MODE stellen Sie auf NORMAL ein. Für die Kopplung des Triggersignals (COUPLING) wählen Sie bevorzugt DC. Bei kleinen Signalen könnte man die Kopplung Noise reject (Rauschsperre) versuchen (bei Ihnen vermutlich nicht notwendig). Solange Sie sich im Triggermenu befinden, wird die der Spannungswert, der den Trigger auslöst, rechts unten angezeigt und ein Pfeilsymbol am rechten Rand des Diagramms zeigt das aktuelle Spannungsniveau an. In Abb. 16 ist dies der Wert 2.08 V. Verändern können Sie den Triggerpegel mittels Drehknopfes (6). Auf dem oberen Bildschirmrand weist die Anzeige T Trig d (a) darauf hin, dass das Oszilloskop ein Triggerereignis gefunden hat. Stünde hier die Angabe R Ready, dann bedeutet das bereit für ein Triggerereignis - bisher wurde allerdings keines erkannt. Zeitbasis festlegen Die Skalierung der Zeitachse ( x-achse ) bestimmen Sie mit dem Drehknopf SEC/DIV, den Zeitnullpunkt mit dem Drehknopf POSITION, das Symbol (c) am oberen Bildschirmrand zeigt den Nullpunkt. In der unteren Informationszeile (d) sehen Sie die Angabe des Zeitbereichs, beginnend mit M (z.b. M250µs in Abb. 16, also 1 Skalenteil auf der horizontalen Zeitachse entspricht 250 µs). Auswertefunktionen Die digitalisierten Spannungswerte werden als Zahlenfolge in einem Speicherblock abgelegt und von dort zur Anzeige auf den Bildschirm gebracht. Wie mit einem mathematischen Programm auf dem PC können diese Datensätze numerisch aufbereitet werden. Derartige Funktionen werden über ERFASSUNG (9) eingestellt. Die einfachste Form ist SAMPLE (Abtastung), bei der die aktuellen Werte direkt in den Speicher übertragen werden und

28 2 Messungen mit dem Oszilloskop dabei die alten Werte überschreiben (wie bei einem analogen Oszilloskop). Änderungen in der Messkurve werden fast unmittelbar erfasst und angezeigt. Diese Betriebsart eignet sich daher am besten, um das Oszilloskop für die eigentliche Messung vorzubereiten. Die Betriebsarten PEAK DETECT (Spitzenwerterfassung) und AVERAGING (Mittelwert) führen Manipulationen zwischen gespeicherten und aktuell eingelesenen Datensätzen durch. PEAK DETECT ist für Sie ungeeignet (es werden Ausreißer detektiert). AVERA- GING könnte für Sie interessant sein, wenn die Kurve stark verrauscht ist. Dabei enthält der Datenspeicher anstelle des aktuellen Datensatzes einen Mittelwert über die vorausgegangenen Datensätze. Die Anzahl der gemittelten Datensätze wird durch die Menueoption AVERAGES (Mittelwerte) zwischen 4 und 128 festgelegt. Bedenken Sie, dass diese Operationen Zeit benötigen und daher sind Kurvenänderungen erst mit zeitlicher Verzögerung vom Speicher abrufbar. Diese beiden Betriebsarten eignen sich weniger für das Einstellen des Oszilloskops, da die bewirkten Änderungen erst spät am Bildschirm sichtbar sind. Alle weiter gehenden Auswertefunktionen werdne mit der Taste MESSUNG (10) aufgerufen. Diese Funktionen verwenden den Speicherinhalt in der aktuellen Betriebsart, um numerische Rechen- bzw. Auswerte-Operationen durchzuführen. Es können z.b. der zeitliche Mittelwert der Spannung, der Spitze-Spitze-Wert (PK-PK) und die Periodendauer (Period) ausgerechnet werden. Auf die Spannungswerte hat eine zuvor eingestelltes AVERAGING einen erheblichen Einfluss, auf Periodendauer und Frequenz eher weniger. Abb. 17 zeigt ein Beispiel, in dem die für Sie wichtigsten Größen ausgerechnet werden. Abbildung 17: Einige Optionen des Menüs MESSUNG. Auf einen Druck auf MESSUNG (9) erscheint dieses Menü. Sie haben 5 Plätze für berechnete Werte zur Verfügung. Die Optionen werden - wie schon bekannt - durch wiederholtes Drücken der Tasten im Tastenfeld (1) ausgewählt. In Abb. 17 wurden der Spitze-Spitze- Wert U SS, die Frequenz und die Periodendauer gewählt, jeweils für den Kanal 1 (CH1). Es wurde eine Wechselspannung von U SS = 9.60 V (entspricht einer Amplitude von 4.8 V) mit einer Frequenz von ca. 390 Hz und einer Periodendauer von ca. 2.6 ms gemessen

29 2 Messungen mit dem Oszilloskop WICHTIG: die MESSUNG-Funktion arbeitet nur zuverlässig, wenn mindestens 3 Perioden auf dem Schirm sichtbar sind! Abb. 17 ist in dieser Hinsicht KEIN Vorbild. Eine weitere nützliche Einrichtung des Digital-Oszilloskopes sind die CURSOR, mit denen Messungen an zwei Spannungen durchgeführt werden können, welche auf CH1 und CH2 gleichzeitig angezeigt werden. Die CURSOR werden erst dort erklärt, wo sie gebraucht werden, nämlich im Abschnitt Messungen im Zweikanalbetrieb Messungen im Einkanalbetrieb Legen Sie eine sinusförmige Wechselspannung an den bekannten Widerstand und messen Sie diese mit einem Multimeter und mit dem DSO. Die Wechselspannung entnehmen Sie dem HAMEG-Funktionsgenerator. Stellen Sie für diese Messungen eine Frequenz von etwa 500 Hz ein (der genaue Wert ist hier nicht wichtig, sollte aber im Protokoll angegeben werden). Verwenden Sie Übergangskabel (Bananenstecker/BNC). Achten Sie darauf, dass die Erdungen (schwarze Stecker) am gleichen Punkt der Schaltung liegen! Stellen Sie am HAMEG zunächst eine kleine Spannung ein (unteres Drittel der Skala des Drehknopfes). Stellen Sie - folgend der Anleitung im Abschnitt Bedienung des verwendeten Oszilloskops - ein stabiles Bild der Wechselspannung her. Sie kennen die Frequenz und können daher schätzen, welche Skalierung der Zeitachse (SEC/DIV) Sie benötigen: 1000 Hz entspricht 1 ms. Wählen Sie die Skalierung der Spannungsachse (VOLT/DIV) so, dass das Bild der Wechselspannung den Bildschirm vertikal möglichst ausfüllt und Sie mindestens 3 vollständige Perioden sehen können. Messen Sie die Spannung mit dem Multimeter und mit dem Oszilloskop. Verwenden Sie die MESSUNG-Funktion des Oszlloskopes, um die Scheitelspannung (= die Hälfte der angezeigten Spitze-Spitze-Spannung) zu bestimmen. Erhöhen Sie den Spannung schrittweise am HAMEG viermal und führen Sie die obigen Messungen durch. Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Scheitel- und Effektivspannung grafisch und überprüfen Sie ihre Ergebnisse rechnerisch (siehe Abschnitt Effektivwerte... in den Grundlagen). Wählen Sie die Spannungs-Amplituden so, dass Sie dabei ein paar Mal auch die Einstellung von VOLT/DIV ändern müssen. Bestimmen Sie die Periodendauer T = 1/f der Spannung und die Frequenz f mit der MESSUNG-Funktion und berechnen Sie die Kreisfrequenz ω = 2πf. Führen Sie das für mehrere 3 unterschiedliche Frequenzen durch. Manuelles Messen mit dem DSO Amplitude und Periodendauer können am DSO auch durch Ablesen bzw. Ausmessen am Raster bestimmt werden, wie bei einem analogen Oszilloskop. Das geht so: lesen Sie vom Raster die Anzahl der Kästchen ab und multiplizieren Sie diese mit dem Wert von VOLT/DIV bzw. s/div. Das Achsenkreuz in der Mitte besitzt eine Feinunterteilung in 0.2-Schritten. Für die Spannungsmessung verschieben Sie die Kurve mit dem Drehknopf

30 2 Messungen mit dem Oszilloskop (4) in Abb. 16 so, dass einmal das Maximum und einmal das Minimum der Kurve auf dem mittleren Achsenkreuz liegt. Die Differenz der Ablesungen ist gleich der Spitze-Spitze- Spannung. Angenommen Sie zählen auf diese Weise 7,5 Kästchen und die Skalierung beträgt 2 VOLT/DIV, dann beträgt diese Spitze-Spitze-Spannung 15 V. Für die Messung der Periodendauer verschieben Sie die Kurve horizontal mit (8), bis ein Nulldurchgang am Beginn der Skala liegt. Der Abstand zum nächsten gleichsinnigen Nulldurchgang ist dann die Periodendauer: Kästchen zählen und mit Skalierungsfaktor multiplizieren. Führen Sie die manuelle Messung übungshalber zumindest an einer der gewählten Spannungen durch und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem der MESSUNG-Funktion Messungen im Zweikanalbetrieb - Spannungsteiler mit Impedanz Bauen Sie die Spannungsteilerschaltung in Abb. 18 auf. Für X nehmen Sie zuerst den Kondensator, messen die Spannungen U 1 und U 2, sowie die zeitliche Verschiebung t zwischen den Kurven, wie unten erklärt wird, und werten Sie die Messungen aus. Dann setzen Sie die Spule für X ein und wiederholen das Ganze. Wählen Sie am Funktionsgenerator eine geeignete Frequenz: beim Kondensator 150 Hz und bei der Spule 30 khz. In beiden Fällen sollte U 1 10 V sein (Drehknopf 1 in Abb. 13). Stellen Sie das Oszilloskop so ein, dass beide Kurven gleichzeitig auf dem Schirm zu sehen sind: auf CH 1 die Gesamtspannung U 1 und auf CH 2 die Teilspannung U 2 an R 0. Messen Sie (MESSUNG-Funktion) die Spitze-Spitze-Spannungen auf beiden Kanälen. Aus U 1 U 2 = Z ges R 0 lässt sich X C bzw. X L berechnen, denn aus den Grundlagen ist bekannt: Z ges = R 2 + X 2, wobei X für X C oder X L stehen kann. Sie erhalten also zunächst X C und X L (unbedingt notieren, Sie brauchen diese Werte noch!) und daraus C bzw. L. Die jeweilige Frequenz messen Sie mit dem Oszilloskop und bestimmen daraus die Kreisfrequenz ω. Hinweis: hinter der obigen Gleichung steckt folgende Überlegung, die im Abschnitt vorgestellt wurde: der Quotient der beiden Spannungen ist gleich dem Quotienten der Widerstände, an denen die Spannungen gemessen wurden. Kondensator und Spule verursachen eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung und daher auch eine Phasenverschiebung ϕ zwischen der Gesamt-Spannung U 1 und der Teilspannung U 1. Die beiden Kurven sind also zeitlich um einen Betrag t verschoben, entsprechend einer Winkeldifferenz ϕ. Im Fall der Schaltung in Abb. 18 ist diese Winkeldifferenz gleich der gesuchten Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, weil U 2 als Spannung am Ohm schen Widerstand in Phase mit dem Strom ist. t muss also nur noch in die Winkeldifferenz ϕ umgerechnet werden (siehe unten). Für diese Messungen sind die CURSOR des DSO gedacht, die mit der Taste CURSOR unterhalb der MESSUNG-Taste aufgerufen werden. Es erscheint das in Abb. 19 gezeigte Menü. Im obersten Feld legen Sie mit TYPE fest, ob Sie Spannungen (VOLTAGE)

31 2 Messungen mit dem Oszilloskop Abbildung 18: Spannungsteiler mit Impedanz. X kann entweder eine Spule X L oder ein Kondensator X C sein. Beachten Sie die Lage des Erdpotentials! oder Zeiten (TIME) bestimmen wollen. Außerdem legen Sie einen Eingangskanal fest. Für Spannungsmessungen werden 2 horizontale Striche an den Cursorpositionen angezeigt, für Zeitmessungen zwei senkrechte (Abb. 19). Für die Messung von t brauchen Sie die Einstellung TIME, wie in der Abbildung gezeigt. Mit dem Drehknopf (11) in Abb.16 werden die Cursoren bewegt. Bestimmen Sie durch Drücken einer der Auswahltasten neben den unteren beiden Feldern den zu bewegenden Cursor; er wird optisch hervorgehoben. Abbildung 19: Das Menü der Taste CURSOR. Abb. 19 veranschaulicht die Vorgangsweise. Wählen Sie den Maßstab der Zeitskala so, dass Sie die zeitliche Verschiebung deutlich sehen können - mindestens so gut wie in Abb. 19. Achtung: Die Spannungs-Nullpunkte beider Kanäle (kleine Pfeile am linken Rand des Diagramm-Fensters!) MÜSSEN mit dem Nullpunkt der Skala übereinstimmen!