Die Abbildung von Abhängigkeiten zwischen PD, LGD und EAD

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1 Die Abbildung von Abhängigkeiten zwischen PD, LGD und EAD Florian Kaposty, Matthias Löderbusch, Jakob Maciag & Andreas Pfingsten Institut für Kreditwesen Finance Center Münster 06. März 2015

2 Gliederung 1 Einleitung 2 Literaturüberblick 3 Modellbeschreibung 4 Simulationsergebnisse 5 Fazit 1

3 Einleitung Motivation Wesentlich Elemente des Kreditrisikos: Ausfallwahrscheinlichkeit (PD). Ausstehender Forderungsbetrag bei Ausfall (EAD). Verlustquote bei Ausfall (LGD). Abhängigkeiten innerhalb sowie zwischen diesen Elementen. Viele Kreditportfoliomodelle unterstellen eine stochastische Unabhängigkeit zwischen PD, LGD und EAD. Empirische Evidenz Positive Abhängigkeit zwischen PD, LGD und EAD. 2

4 Einleitung Ziele Im Rahmen dieses Forschungsprojektes werden... ein firmenwertbasiertes Faktormodell zur Abbildung stochastisch abhängiger PDs, LGDs und EADs entwickelt, das Kreditportfoliomodell auf Basis empirischer Resultate kalibriert, der Einfluss der einzelnen Modellelemente und -parameter auf den gemessenen Risikogehalt eines Kreditportfolios analysiert, die Ergebnisse auf ihre regulatorischen Implikationen hin untersucht. 3

5 Einleitung Regulatorische Behandlung Regulator fordert (im IRB-Ansatz) zur Bestimmung des Kreditrisikos die Verwendung des ASRF-Modells. Kreditportfolio unendlich granular. LGD und EAD deterministisch. Konservative Schätzung des LGDs ( Downturn-LGD) und EADs gefordert. 4

6 Literaturüberblick Gliederung 1 Einleitung 2 Literaturüberblick 3 Modellbeschreibung 4 Simulationsergebnisse 5 Fazit 5

7 Literaturüberblick Empirische Evidenz: LGD Abhängigkeiten zwischen PD und LGD Allen, L. und Saunders, A. (2003, WP): In Krisensituationen steigt die Tendenz der Kreditnehmer, die Instandhaltung von Sicherheiten zu vernachlässigen. Ggf. Liquidation der Sicherheiten in einer Krisensituation unter Wert erforderlich ( Fire-Sales-Effekt ). Altman, E. I. et al. (2005, JB): Positive Korrelation zwischen Ausfallwahrscheinlichkeit und Verlustquote. Gemeinsame, gleichgerichtete Abhängigkeit von einem makroökonomischem Faktor. Bade, B. et al. (2011, EFM): Ausfallwahrscheinlichkeit und Verlustquote werden von gleichen idiosynkratischen Größen beeinflusst. 6

8 Literaturüberblick Empirische Evidenz: EAD Abhängigkeiten zwischen PD und EAD Jimenez, G. et al. (2009, RFS): Ausfallbedrohte Unternehmen ziehen unmittelbar vor Ausfall signifikant mehr von ihrer Kreditlinie. Im gesamtökonomischen Abschwung ist eine vermehrte Kreditlinienausreizung zu beobachten. Sufi, A. (2009, RFS): Unternehmen mit hohem Cash Flow und mit erhöhter Wahrscheinlichkeit einer finanziellen Schieflage nutzen vermehrt Kreditlinien (u. a. als Liquiditätsversicherung). Norden, L. und Weber, M. (2010, RFS): Kreditlinien werden vor Ausfall signifikant stärker gezogen. 7

9 Literaturüberblick Kreditportfoliomodelle Firmenwertbasierte Faktormodelle Pykthin, M. (2003, JOR): Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen PD und LGD mittels eines gemeinsamen systematischen Faktors. Kupiec, P. (2008, JOD): Berücksichtigung stochsatischer Abhängigkeiten zwischen PD und EAD mittels eines gemeinsamen systematischen Faktors. Stochastische Abhängigkeit verstärkt die Schiefe der Verlustverteilung signifikant. Miu, P. und Ozdemir, B. (2006, JOCR): Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen PD und LGD mittels eines gemeinsamen systematisches Faktors sowie individueller idiosynkratischer Faktoren. Analyse der zusätzlichen Abhängigkeiten zeigt, dass der regulatorisch geforderte Downturn-LGD signifikant unterschätzt wird. 8

10 Modellbeschreibung Gliederung 1 Einleitung 2 Literaturüberblick 3 Modellbeschreibung 4 Simulationsergebnisse 5 Fazit 9

11 Modellbeschreibung Worauf bauen wir auf? Ausgangspunkte: Modell von Miu/Ozdemir (2006) für die Struktur des Faktormodells. Einbezug von einem systematischen Faktor abhängiger EADs gemäß Kupiec (2008). Gleicher Grundgedanke wie bei den Ausfallabhängigkeiten: LGD und EAD eines Kreditnehmers werden von einem (oder mehreren) systematischen Faktor(en) sowie kreditnehmerspezifischen (idiosynkratischen) Faktoren beeinflusst. Rutscht die Ökonomie in eine Rezession, dann steigen zum einen die Ausfallraten der Kreditnehmer, zum anderen erhöhen sich die LGDs und EADs (bei Kreditlinien). 10

12 Modellbeschreibung Faktorstruktur ASRF Systematischer Risikofaktor β Systematischer PD- Risikofaktor Systematischer LGD- Risikofaktor Systematisches EAD- Risikofaktor ϱ KN i KN j KN i KN j KN i KN j PD-Risiko LGD-Risiko EAD-Risiko θ Kreditnehmerspezifischer Risikofaktor i Kreditnehmerspezifischer Risikofaktor j Abbildung: Darstellung der im Modell gewählten Faktorstruktur 11

13 Modellbeschreibung Faktorgleichung PD Faktorgleichung für die PD ( ) X i,pd := ϱ i,pd β PD Ỹ + 1 βpd 2 χ PD ( ) + 1 ϱ 2 i,pd θ i,pd Ĩ i + 1 θi,pd 2 ɛ i,pd. Die kreditnehmerspezifische Ausfallwahrscheinlichkeit PD i wird als gegeben vorausgesetzt. Definition der kreditnehmerspezifische Ausfallwahrscheinlichkeit im Modell: PD i := P[ X i,pd K i ], so dass für die individuelle Ausfallgrenze folgt K i = Φ 1 (PD i ). 12

14 Modellbeschreibung Faktorgleichung LGD Faktorgleichung für den LGD ( ) X i,lgd := ϱ i,lgd β LGD Ỹ + 1 βlgd 2 χ LGD ( ) + 1 ϱ 2 i,lgd θ i,lgd Ĩ i + 1 θi,lgd 2 ɛ i,lgd. Die Verlustquote von Kreditnehmer i ist gegeben durch ) LGD i := B 1 i (1 Φ( X i,lgd ); a i,lgd, b i,lgd [0, 1], wobei B 1 i ( ) die Inverse der Betaverteilung mit Parametern a i,lgd und b i,lgd bezeichnet. 13

15 Modellbeschreibung Faktorgleichung EAD (1/2) Die Abbildung stochastischer EADs erfolgt mittels der maximal eingeräumten Kreditlinie M i, des anfänglichen Grades der Inanspruchnahme G i [0, 1] und der zufälligen Ziehungsrate ( Loan Equivalent Factor ) LEQ i. Es gilt somit in Übereinstimmung mit dem Baseler Regelwerk ẼAD i := M i ( G i + (1 G i ) LEQ i ). 14

16 Modellbeschreibung Faktorgleichung EAD (2/2) Faktorgleichung für das EAD ( ) X i,ead := ϱ i,ead β EAD Ỹ + 1 βead 2 χ EAD ( ) + 1 ϱ 2 i,ead θ i,ead Ĩ i + 1 θi,ead 2 ɛ i,ead. Die zufällige Ziehungsrate von Kreditnehmer i ist gegeben durch ) LEQ i := B 1 i (1 Φ( X i,ead ); a i,leq, b i,leq [0, 1], wobei B 1 i ( ) die Inverse der Betaverteilung mit Parametern a i,leq und b i,leq bezeichnet. 15

17 Modellbeschreibung Kalibrierung LGD und LEQ Kalibrierung der Parameter der Beta-Verteilungen Die beiden Parameter der Beta-Verteilung ] werden jeweils ] so gewählt, dass gilt E [ LGD i = µ i,lgd und V [ LGD i = σi,lgd 2 [ ] [ ] bzw. E LEQi = µ i,leq und V LEQi = σi,leq 2. X i,lgd und X i,leq werden für alle Kreditnehmer berechnet, wirklich relevant werden sie allerdings nur bei Ausfall (d.h.: Bedingt auf X i,pd K i ). Problem: Für diese auf den Ausfall bedingten Zufallsvariablen gelten die obigen Gleichungen nicht mehr zwingend. Lösung: Adjustierung von X i,lgd und X i,leq um ihre bedingten Erwartungswerte. 16

18 Simulationsergebnisse Gliederung 1 Einleitung 2 Literaturüberblick 3 Modellbeschreibung 4 Simulationsergebnisse 5 Fazit 17

19 Simulationsergebnisse Simulationsparameter Basissetup Parameter Wert Quelle Anzahl der Simulationsdurchläufe Kreditnehmer (KN) M 1.00 G 0.50 PD 0.01 Miu/Ozdemir (2006) β PD = β LGD = β EAD := β 0.73 Miu/Ozdemir (2006) ϱ PD 0.50 Miu/Ozdemir (2006) ϱ LGD 0.24 Miu/Ozdemir (2006) ϱ EAD 0.24 θ PD = θ LGD = θ EAD := θ 0.40 µ LGD Miu/Ozdemir (2006) µ LEQ Jacobs Jr. (2010) σ LGD Miu/Ozdemir (2006) σ LEQ Jacobs Jr. (2010) Tabelle: Übersicht über die Simulationsparameter im Basissetup 18

20 Simulationsergebnisse Ergebnisse VaR 99,9% G = 0.5 G = 0.0 ASRF 503,87 292,06 Sim flgd,fleq 505,23 292,22 (0,27%) (0,05%) Sim ilgd,ileq 508,71 292,28 (0,96%) (0,08%) Sim fleq 545,12 319,17 (8,19%) (9,28%) Sim ileq 548,71 316,34 (8,90%) (8,31%) Sim flgd 514,29 329,71 (2,07%) (12,89%) Sim ilgd 525,75 326,06 (4,34%) (11,64%) Sim 585,58 390,89 (16,22%) (33,84%) Sim oadj 902,53 728,04 (79,12%) (149,27%) Tabelle: Simulationsergebnisse für das Basissetup 19

21 Simulationsergebnisse Sensitivitätsanalyse Für KN, PD sowie die Verteilungen von LGD & LEQ ergeben sich keine signifikanten Änderungen. G 1 0,75 0,5 0,25 0 VaR 99,9% 9,40% 11,78% 15,16% 20,73% 32,76% VaR 99,9%, oadj 48,78% 62,59% 78,10% 102,83% 152,86% β 0 0,25 0,5 0,75 1 VaR 99,9% -6,48% -2,99% 2,68% 15,61% 36,09% VaR 99,9%, oadj 31,61% 38,38% 51,48% 79,75% 115,78% σ PD 0 0,125 0,25 0,375 0,5 VaR 99,9% 99,94% 50,47% 33,47% 23,67% 14,37% VaR 99,9%, oadj 159,93% 104,40% 91,92% 83,70% 80,00% σ LGD 0 0,125 0,25 0,375 0,5 VaR 99,9% -5,12% 3,64% 15,26% 27,63% 47,51% VaR 99,9%, oadj 39,64% 58,84% 79,61% 98,81% 117,51% σ LEQ 0 0,125 0,25 0,375 0,5 VaR 99,9% 8,90% 10,25% 16,72% 21,85% 26,44% VaR 99,9%, oadj 64,89% 68,40% 79,18% 87,77% 95,36% θ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 VaR 99,9% 29,04% 24,32% 15,78% -0,75% -21,78% VaR 99,9%, oadj 47,66% 54,46% 78,82% 116,15% 175,76% Tabelle: VaR 99,9% in Abhängigkeit von der Variation unterschiedlicher Parameter (ceteris paribus) 20

22 Simulationsergebnisse Downturn-LGD & -EAD (1/2) VaR im IRB Kontext ( ) VaRASRF IRB Φ α = Φ 1 (PD)+ϱ PD Φ 1 (α) KN DLGD DEAD 1 ϱ 2 PD Idee: Welcher (Downturn-)LGD/EAD ist im ASRF-Modell anzusetzen, um den gleichen VaR 99,9% wie bei Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen PD, LGD und EAD zu erhalten? Methode 1: Separat DLGD auf Basis von Sim fleq und DEAD auf Basis von Sim flgd berechnen. Methode 2: Einzig DLGD auf Basis von Sim berechnen. 21

23 Simulationsergebnisse Downturn-LGD & -EAD (2/2) DLGD DEAD VaR Sim 99,9% ASRF IRB VaR99,9% Methode 1 Methode 2 G = 0.5 G = 0.0 G = 0.5 G = 0.0 0,4219 0,4262 0,4532 0,5220 (8,19%) (9,28%) (16,22%) (33,84%) 0,7186 0,4607 0,7041 0,4081 (2,07%) (12,89%) (0,00%) (0,00%) 585,58 390,89 585,58 390,89 (16,22%) (33,84%) (16,22%) (33,84%) 556,40 360,31 585,58 390,89 (10,43%) (23,37%) (16,22%) (33,84%) Tabelle: Werte für Downturn-LGD & -EAD 22

24 Fazit Gliederung 1 Einleitung 2 Literaturüberblick 3 Modellbeschreibung 4 Simulationsergebnisse 5 Fazit 23

25 Fazit Zusammenfassung Empirische Evidenz Positive Abhängigkeit zwischen PD, LGD und EAD. Simulationsanalyse eines Modells, welches stochastisch abhängige LGDs und EADs berücksichtigt, ergab: Signifikante Erhöhung des Value at Risk um 16,22%. Nicht-Berücksichtigung der bedingten Momente von LGD & LEQ führt zu deutlicher Überschätzung des Risikos. Erhöhung besonders hoch bei Portfolios mit geringem systematischen (PD-)Risiko. Effekt nicht-unendlicher Granularität relativ gering. Berücksichtigung des Effekts im ASRF Modell durch einen Downturn-Aufschlag i.h.v. 16,22% auf den LGD. 24

26 Fazit Ausblick Die nächsten Schritte: Kalibrierung auf Basis eines realen Datensatzes. Identifikation von systematischen und idiosynkratischen Einflussfaktoren auf LGD und EAD. Messung der Abhängigkeiten. Erweiterungen des Modells. Mehr-Faktoren-Modell. Migrationsrisiken. Copulas. 25

27 Backup Anhang 26

28 Backup Behandlung von Verlustquoten in Basel III Kreditrisikostandardansatz (KSA) Kreditnehmer wird entsprechend seiner Schuldnerkategorie ein Risikogewicht zugewiesen. Implizite Erfassung der Verlustquote. Auf internen Ratings basierender Ansatz (IRBA) Anwendung des asymptotischen Ein-Faktor-Kreditrisikomodells ( IRBA-Formel) zur Berechnung der Eigenmittelunterlegung. Einfacher IRBA: Verlustquote vom Regulator vorgegeben und von der Art der Forderung abhängig. Fortgeschrittener IRBA: Institutsinterne Schätzung einer konservativen Verlustquote ( Downturn-LGD ). Explizite Erfassung eines konservativen, aber deterministischen LGD. 27

29 Backup Behandlung von Forderungsbeträgen in Basel III Forderungsbetrag für Bilanzaktiva KSA: Buchwert nach Einzel- und Pauschalwertberichtigungen. Einfacher & fortgeschrittener IRBA: Bruttoforderung vor Wertberichtigungen; anschließend Wertberichtigungsvergleich. Forderungsbetrag für außerbilanzielle Risikoaktiva, insb. Kreditzusagen EAD := Bruttoforderung CCF. KSA und einfacher IRBA: CCF vom Regulator vorgegeben und von der Art der außerbilanziellen Forderung abhängig. Fortgeschrittener IRBA: Institutsinterne Schätzung eines konservativen CCF anhand hinreichend langer Datenreihen. Explizite Erfassung eines konservativen, aber deterministischen EAD. 28

30 Backup Korrelationsstruktur des Modells am Beispiel PD & LGD Corr( X i,pd, X j,pd ) = ϱ i,pd ϱ j,pd Corr( X i,pd, X j,lgd ) = ϱ i,pd ϱ j,lgd β PD β LGD Corr( X i,pd, X i,lgd ) = ϱ i,pd ϱ i,lgd β PD β LGD + θ i,pd θ i,lgd 1 ϱ 2 i,pd 1 ϱ 2 i,lgd 29

31 Backup Adjustierung LGD & LEQ Für die adjustierten Werte gilt: mit LGD a ( i := B 1 i LEQ a i := B 1 i ( [ ])) 1 Φ Xi,LGD E Xi,LGD D i = 1, ( ( [ ])) 1 Φ X i,ead E X i,ead D i = 1, [ ] E X i,lgd D i = 1 = Corr( X i,pd, X i,lgd ) [ ] E X i,ead D i = 1 = Corr( X i,pd, X i,ead ) φ(pd i ) 1 Φ(PD i ), φ(pd i ) 1 Φ(PD i ). 30

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