5. Addition und Subtraktion

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1 5. Addition und Subtraktion Addition und Subtraktion Lesen Sie zuerst in der Studieneinheit E2 die fachwissenschaftlichen Kapitel zu den Mengenverknüpfungen sowie in der Studieneinheit E3 das Kapitel 4 zur Addition und das Kapitel 5 zur Subtraktion von Kardinalzahlen. 5.1 Darstellungsformen der Addition und Subtraktion In Abschnitt 3.1 wurden die verschiedenen Zahlaspekte systematisch behandelt: kardinaler und ordinaler Aspekt, Maßzahl- und Operatoraspekt, Rechen- und Codierungsaspekt. Bei der Behandlung der Addition und Subtraktion wird zu deren Darstellung auf" einige dieser Aspekte zurückgegriffen. Darstellung durch Mengen In der Studieneinheit E3 erfolgt die Einführung der Zahlen über die Betrachtung und den Vergleich von Mengen, wodurch der Schwerpunkt auf dem kardinalen Aspekt liegt. Demzufolge wird die Addition von Kardinalzahlen als Vereinigung disjunkter Mengen und die Subtraktion von Kardinalzahlen über die Restmengenbildung eingeführt. Die damals häufig benutzten Mengensymbole (Vereinigung und Restmenge) sind inzwischen (zu Recht) in keinem Schulbuch mehr zu finden (vgl. E3, erster Weg S. 47 und S. 58). Auch die als zweiter Weg bezeichnete Einführung (S. 48 und S. 59) wird man heute nicht mehr benutzen. Nach wie vor schildert der dritte Weg ein empfehlenswertes Vorgehen (E3, S. 48 und S. 59), wie die folgenden Schulbuchbeispiele demonstrieren. Bei der folgenden Abb. 39 sollten beim Nacherleben (Nacherzählen und Nachspielen) der durch die Bilder geschilderten Situationen folgende Stufen beachtet werden: - Wie viele Pferde waren zuerst in der Manege? - Wie viele Pferde kommen jetzt hinzu? - Wie viele Pferde sind nachher in der Manege? Die Rechengeschichte verdichtet sich zur Zahlengleichung = 6. Das Bild ist eine Veranschaulichung der Summe Eine Abstraktion der Additionsaufgabe wird durch Darstellung und Durchführung derselben mit Steckwürfeln und Wendeplättchen erreicht.

2 5. Addition und Subtraktion 79 Abb.39 aus Mathebaum 1 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.29 Die Bilder in Abb. 40a) regen zum Erleben von Sachsituationen an, die zu verschiedenen Subtraktionsaufgaben führen. Abb. 40a) aus Die Welt der Zahl 1, Schroedel 1994, S.41

3 5. Addition und Subtraktion 80 Bei den Punktebildern (Abb. 40b)) ist zu beachten, dass zur leichteren Zahlerfassung die ungeordneten Mengen bald durch geordnete Mengen ersetzt werden. In diesem Schulbuchwerk werden für diesen Zweck beispielsweise Wendeplättchen verwendet. Abb. 40b) aus Die Welt der Zahl 1, Schroedel 1994, S.42 Abb. 40b) aus Die Welt der Zahl 1, Schroedel 1994, S.43 Auch das Addieren zweistelliger Zahlen wird anhand von Mengen veranschaulicht, wenn wie in Abb. 35 aus Kapitel 4 die Zahldarstellung durch Legen von entsprechenden Anzahlen von Steckstangen und -würfeln in der Hunderterplatte erfolgt. Abb. 41aus Mathebaum 2 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.40

4 5. Addition und Subtraktion 80 Weitere Beispiele zur Darstellung von Additions- und Subtraktionsaufgaben durch Mengen finden sich in Kapitel 2, Abb. 5 und 6. Darstellung durch Längen Bei den Darstellungsformen der Addition und Subtraktion bildet die Verwendung der Steckwürfel ein Bindeglied zwischen der Mengen- und Längendarstellung, da die Steckwürfel einerseits in Form von Mengen verwendet werden können, andererseits auch in Form von Stäben. Bei diesen interessiert dann die Maßzahl der Länge, wiedergegeben durch die Anzahl der verwendeten Würfelchen. Die Farbstäbe von Cuisenaire bilden ein weiteres beliebtes Längenmaterial zur Einführung der Addition und Subtraktion im Erstrechenunterricht (vgl. 2.6). Die Strukturen der Operationen, das Hinzufügen, Aneinanderlegen und Verlängern bzw. das Wegnehmen, teilweise Abdecken und Verkürzen, lassen sich mit diesem Material spielerisch erarbeiten. Durch die fehlende Untergliederung des Materials in Einheiten wird ein ganzheitliches Erfassen begünstigt und ein zählendes Rechnen verhindert. Abb 42a) aus multi 1 / Mathematik für die Grundschule in Baden-Württemberg, Konkordia 1994, S.33 Abb. 42a) zeigt ein Beispiel zur Visualisierung der Addition. Bei der Addition zweier Summanden erhält man die Summe durch direkten Längenvergleich der beiden hintereinander gelegten Stäbe mit einem (gesuchten) dritten Stab, der parallel dazu angeordnet ist und die gleiche Länge besitzt wie die beiden anderen Stäbe zusammen. Es werden somit beide Seiten der Gleichung dargestellt. Abb. 42b) aus multi 1 / Mathematik für die Grundschule in Baden-Württemberg, Konkordia 1994, S.54 Abb. 42b) gibt ein Beispiel zur Visualisierung der Subtraktion. Bei der Subtraktion werden die den Minuenden und Subtrahenden repräsentierenden Stäbe so nebeneinander oder auch übereinander gelegt, dass ihre Längen voneinander abgezogen werden können.

5 5. Addition und Subtraktion 82 Darstellung durch den Zahlenstrahl Addition und Subtraktion können als Sprünge auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden, die durch Pfeile veranschaulicht werden. Die Lösung der jeweiligen Aufgabe erhält man durch einfaches Ablesen der Zahl, auf die die Pfeilspitze zeigt. Abb. 43 aus Nußknacker Unser Rechenbuch, Ausgabe B Neu, Baden-Württemberg, 1. Schuljahr, Klett 1994, S.69 Beim Rechnen am Zahlenstrahl sind bei einigen Schülerinnen und Schülern Schwierigkeiten mit der Rechts-Links-Orientierung zu beobachten. Für sie ist insbesondere die Bewegungsrichtung bei der jeweiligen Operation nicht selbstverständlich. Dieses Problem lässt sich weitgehend vermeiden, wenn vorgefertigte Rechenpfeile verwendet werden, die auf den Zahlenstrahl gelegt werden. Die Länge der Pfeile entspricht den auf ihnen abgebildeten Zahlenwerten. Abb. 44 aus Mathematik 1 / Keller-Pfaff, Ausgabe A, Regionalausgabe 2, Mildenberger 1994, S.92 Alternativ kann der Zahlenstrahl in vertikaler Lage verwendet werden, da die Oben- Unten-Beziehung bei Kindern schon früh entwickelt ist (vgl. 2.6).

6 5. Addition und Subtraktion 83 Darstellung durch Maschinen und Operatoren Das operative Verständnis der Addition und Subtraktion erfährt durch das Operatormodell eine wichtige begriffliche Erweiterung. Eine Veranschaulichung erfolgt mit Hilfe von Maschinen mit den Merkmalen Eingabe - Handlung der Maschine -Ausgabe. Die Operatorschreibweise ist charakterisiert durch einen Pfeil mit Angabe der Operation und des Zahlenwerts (z. B. +3 bzw. -2). Übliche Formen der Schreibweise finden sich in Abb. 45. Eine Verbindung zur Pfeildarstellung beim Rechnen am Zahlenstrahl bietet sich an. Abb. 45 aus Mathebaum 1 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.70 Der Kreis um den Operator kann auch weggelassen werden, ebenso die Kästchen um die gegebenen Zahlen; sinnvoll ist ein Kästchen jedoch für die gesuchte Zahl. Besondere Vorteile der Pfeildarstellung bestehen darin, dass man Pfeilketten bilden und Umkehrpfeile verwenden kann. Die Pfeile können auch gebogen sein. 5.2 Erarbeitung des Zahlenraums durch Addition und Subtraktion Durch die Behandlung der Addition und Subtraktion lernen die Schülerinnen und Schüler den jeweiligen Zahlenraum differenzierter wahrzunehmen und können sich damit in ihm immer vertrauter bewegen. Wenn dabei das Zählen im Vordergrund steht, kann dies für einige Kinder Nachteile mit sich bringen. Im Kapitel 3 wurde auf die frühe Entwicklung der Zählstrategien beim Addieren und Subtrahieren in der Vorschulzeit und im 1. Schuljahr eingegangen. Die Unterrichtpraxis zeigt jedoch, dass Zählstrategien im Rechenunterricht spätestens ab dem 2. Schuljahr für das Kind zu einer Barriere werden und seine Leistungsfähigkeit im Kopfrechnen und halbschriftlichen Rechnen beeinträchtigen können. Zu beobachten ist, dass leistungsstarke Rechner im Laufe des 1. Schuljahres ihre Zählstrategien zugunsten ge-

7 5. Addition und Subtraktion 84 lernter Grundaufgaben und weiterführender Strategien im allgemeinen von selbst aufgeben, während die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler an den ihnen vertrauten und somit als sicher" betrachteten Zählstrategien festhalten und sich nicht flexibel eine neue Strategie aneignen. Obwohl Kinder mit ausgeprägten Zähl Strategie n im 1. Schuljahr durch schnelles Rechnen Vorteile besitzen, ändert sich die Situation bei größeren Zahlen ab dem 2. Schuljahr zugunsten der Schülerinnen und Schüler, die weiterführende Strategien verwenden. Die Herausbildung solcher Strategien wird unterstützt durch den aktiven Umgang mit verschiedenen Darstellungsformen (vgl. 5.1). Aber das kleine Einspluseins muss auch unmittelbar verfügbar werden, wobei bei dessen Erarbeitung wiederum geeignete Rechenstrategien nützlich sind Additions- und Subtraktionsstrategien Lesen Sie zuerst in der Studieneinheit E3 die Kapitel 4.4.D und 5.3.D. Schülerinnen und Schüler verwenden heuristische Rechenstrategien beim Addieren und Subtrahieren, um schwierige Aufgaben mit unbekannten Lösungen auf leichtere Aufgaben mit bekannten Lösungen zurückzuführen. Voraussetzung ist hierbei die Kenntnis der wichtigsten Grundaufgaben sowie Einsichten in grundlegende Eigenschaften der Rechenoperationen und dezimale Analogien des Zahlsystems. Im folgenden werden einige häufig beobachtbare Rechenstrategien jeweils an einem Beispiel erläutert. Zur Vereinfachung der Übersicht werden vorwiegend Beispiele zur Addition gezeigt, wobei die entsprechenden Subtraktionsaufgaben in den meisten Fällen leicht formuliert werden können. Es ist zu beachten, dass die gewählten Strategien von den Schülerinnen und Schülern im Kopf durchgeführt werden, recht unterschiedlich sein können und intuitiv ablaufen. Die hier verwendete Schreibweise der Beispiele soll mögliche Rechenschritte verdeutlichen und ist nicht als empfehlenswerte oder sogar verbindliche Schreibweise für die Tafelarbeit gedacht. Die Rechenstrategien werden nach dem jeweils verwendeten Aufgabentyp benannt. Zur Übung möge der Leser oder die Leserin in jedem Fall die zugrundeliegende Idee in Worten beschreiben und sich zusätzlich zurechtlegen, wie die Strategie für das Kind durch den Umgang mit dem Material veranschaulicht werden kann. Tauschaufgaben: Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: = = 8 Begründung: = und = 8 Die Kinder werden gefragt, wie sie die Aufgabe gerechnet haben. Eine Schülerin antwortet: Ich habe einfach gerechnet." Ein Schüler sagt: Ich weiß, ist das gleiche wie 5 + 3, und gibt 8." Die Tauschaufgaben beruhen auf dem Kommutativgesetz der Addition. Die Anzahl der zu lernenden Grundaufgaben wird damit fast auf die Hälfte reduziert. Das Kommutativgesetz sollte auch durch Material und Bilder veranschaulicht werden (vgl. 5.3).

8 5. Addition und Subtraktion 85 Zerlegen einer Aufgabe in leichtere Teilaufgaben: Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: = 10, = 15 Begründung: = 10 (Ergänzen zum vollen Zehner) und 7 = Ergänzen zum vollen Zehner: Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: = 10; 10-1 = 9 Begründung: = 10 und 7 = 8-1 Verdoppeln: Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: = 12, = 13 Begründung: = 12 und 7 = Oder: Mögliche Vorgehensweise: = 14, 14 1 = 13 Begründung: = 14 und 6 = 7-1 Halbieren: Aufgabe: 20-9 = Mögliche Vorgehensweise: = 10, = 11 Begründung: = 10 und 9 = 10-1 Nachbaraufgaben: Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: = 16, 16-1 = 15 Begründung: = 16 und 9 = 10-1 Dezimale Analogieaufgaben: Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: = 8, = 18 Begründung: = 8 und 15 = Umkehraufgaben: Aufgabe: 5-3 = Mögliche Vorgehensweise: = 5, also 5-3 = 2 Begründung: = 5 Konstanz der Summe: Die Summe zweier Summanden bleibt unverändert, wenn der eine Summand um eine Zahl verkleinert und der andere Summand um die gleiche Zahl vergrößert wird.

9 5. Addition und Subtraktion 86 Konstanz der Differenz: Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: = = 14 Begründung: = 7 und 8-1 = 7 und =14 (Verdoppeln) Die Differenz bleibt konstant, wenn Minuend und Subtrahend um dieselbe Zahl verkleinert oder vergrößert werden. Aufgabe: 23-8= Mögliche Vorgehensweise: 23-8 = 20-5 = 15 Begründung: 23-3 = 20 und 8-3 = 5 oder: Mögliche Vorgehensweise: 23-8 = = 15 Begründung: = 25 und = Zehnerübergang Beim Addieren und Subtrahieren im Dezimalsystem stellen alle Aufgaben mit Zehnerübergang einen besonderen Aufgabentyp dar. Das Überschreiten des Zehners kann durch drei methodisch unterschiedliche Strategien dargestellt werden, wobei das Rechnen in zwei Schritten am häufigsten verwendet wird. Gleitender Übergang Ausgehend von einer einstelligen Zahl, wie z. B. 6, wird eine Überschreitung des Zehners erreicht, indem man nacheinander die natürlichen Zahlen 0, 1,2,... addiert, was zu Ergebnissen mit aufsteigenden Zahlenwerten führt. Ergebnisse mit absteienden Zahlenwerten erhält man, wenn man von einer zweistelligen Zahl, wie z. B. 14, nacheinander die natürlichen Zahlen 0, l, 2,... subtrahiert (s. folgende Tabelle, linke Hälfte). Oder man geht von einer Folge natürlicher Zahlen aus und addiert bzw. subtrahiert fortlaufend dieselbe Zahl (s. folgende Tabelle, rechte Hälfte) = = 14 oder: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

10 5. Addition und Subtraktion 87 Rechnen in zwei Schritten mit 10 als Zwischenstufe Bei der Addition wird der zweite Summand, bei der Subtraktion der Subtrahend in zwei Summanden so zerlegt, dass eine Ergänzung bzw. Subtraktion zum vollen Zehner möglich ist und die Rechnung in zwei leichteren Teiloperationen durchgeführt werden kann. Dies wird durch Handlung und Anschauung einsichtig gemacht. Beispielsweise wird für die Aufgabe von den möglichen Zerlegungen der Zahl 7 aus diesem Grund die folgende ausgewählt: 7 = Die Zehnerüberschreitung für die Addition erfolgt also in zwei Schritten, erst durch Ergänzen zum vollen Zehner, hier mit 2, und anschließend durch Addieren von 5: Entsprechend wird bei der Subtraktionsaufgabe 15-7 die Zerlegung 7 = gewählt und zuerst mit 5 zum nächst kleineren Zehner subtrahiert und dann eine weitere Subtraktion mit 2 durchgeführt: Verwendung der Strategien des Verdoppelns und Halbierens Diese Strategien verlangen größere Flexibilität im Umgang mit Zahlen und Rechenoperationen. Die Anwendung ist besonders dann sinnvoll, wenn bei der Addition der zweite Summand fast so groß ist wie der erste Summand. Bei der Subtraktion sollte der Minuend eine gerade Zahl und der Subtrahend etwa halb so groß wie der Minuend sein (vgl. auch die Strategien unter Verwendung des Verdoppeln und Halbierens in 5.2.1). Aufgabe: = Mögliche Vorgehensweise: 6 + 6= 12, 12-1 = 11 Begründung: = 12 und 5 = 6-1 Aufgabe: 14-8 = Mögliche Vorgehensweise: 14-7 = 7, 7-1 = 6 Begründung: 14-7 = 7 und 8 = 7 + 1

11 5. Addition und Subtraktion Erarbeitung des kleinen Einspluseins und Aufgabennetze Unter dem kleinen Einspluseins verstehen wir hier alle Additionsaufgaben im Zahlenraum bis einschließlich 20, bei denen jeder der beiden Summanden eine natürliche Zahl zwischen 0 und 10 ist, z. B , 0 + 1, 0 + 2,..., ; 1 + 1, 1 + 2, 1 + 3,..., ; 2 + 2, 2 + 3,..., ; bis 9 + 9, und sowie Tauschaufgaben der Art 1 + 0, 2 + 1,...Im Laufe der ersten beiden Schuljahre werden diese Zahlensätze im Rechenunterricht anschaulich erarbeitet und verinnerlicht und sollten schließlich bei allen Schülern als rasch abrufbares Wissen verfügbar sein. Regelmäßiges und gezieltes Üben, zum Beispiel im Fünf- bis Zehn- Minuten-Kopfrechnen zu Beginn einer Unterrichtsstunde, sollte sowohl das Einprägen unterstützen als auch ein sinnbezogenes, operatives Lernen fördern (vgl. 5.3). Die Anwendung der Umkehr- oder Probeaufgaben der Addition dient zur Festigung des kleinen Einsminuseins und verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion (vgl ). Den Schülerinnen und Schülern bleibt dadurch ein vollständiges Lernen des kleinen Einsminuseins erspart. Sinnvoll ist die Behandlung der Addition und Subtraktion in Aufgabennetzen unter Einbezug der Nachbar-, Umkehr- und Tauschaufgaben. Je nach Unterrichtsthema lassen sich in der Klasse Auszüge aus folgender Zusammenstellung besprechen Rechnen im Hunderter- und Tausenderraum Die im Zahlenraum bis 20 gewonnenen ersten Erfahrungen mit dem dezimalen Zahlensystem, die Beherrschung der Zahlensätze des kleinen Einspluseins sowie die Kenntnis einer genügenden Anzahl heuristischer Verfahren werden beim Addieren und Subtrahieren im Zahlenraum bis 100 und später im Zahlenraum bis 1000 erweitert.

12 5. Addition und Subtraktion 89 Wichtige Darstellungsformen sind die Hundertertafel mit aufgelegter Winkelschablone aus Karton, die Mehr-System-Blöcke von Dienes sowie deren ikonische Darstellung als Feld-Balken-Punkt-Darstellung, der Zahlenstrahl bis 100 bzw. 1000, das Rechengeld sowie das Längenmodell in Form von Zollstock und Maßbändern bis 100 cm und 1000 cm. Dezimale Analogieaufgaben Eine Erkundung mit den genannten Veranschaulichungsmitteln verhilft zu einem Verständnis der Gesetzmäßigkeiten und verhindert, dass die Analogieaufgaben nur unter dem Gesichtspunkt des Anhängens von Nullen" gesehen werden. Aufgaben mit vollen Zehnern oder vollen Hundertern lassen sich durch Verwendung von Bündelmaterial, der Stellentafel oder durch Angabe der auftretenden Anzahlen von Zehnern (Z) oder Hundertern (H) auf das Rechnen mit Einern zurückführen. Das im folgenden für die Addition formulierte Beispiel lässt sich leicht auf die Subtraktion übertragen. Entsprechend: = 800, gesprochen: 5H + 3H = 8H Halbschriftliches Rechnen Die Verwendung des halbschriftlichen Rechnens, bei dem die Teilschritte einer im Kopf ausgeführten Rechnung schriftlich notiert werden, stellt eine wichtige Verbindung zwischen dem Kopfrechnen und den schriftlichen Rechenverfahren dar. Das halbschriftliche Rechnen trägt somit zur einer Entlastung des Kurzzeitgedächtnisses bei und macht der Schülerin und dem Schüler vor allem die verwendete Lösungsstrategie bewusst. Da es weder im Rechenweg noch in der Schreibweise ein einheitliches und für alle Aufgaben optimales Verfahren gibt, bietet sich für die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, verschiedene Rechenstrategien zu erkunden und auf ihre Effektivität zu überprüfen. Die folgenden Beispiele zeigen für die Aufgabe und der zugehörigen Ergänzungs- und Subtraktionsaufgabe verschiedene Zerlegungen des zweiten Summanden bzw. des Subtrahenden: (a) Zum ersten Summanden werden zuerst die Zehner und dann die Einer addiert. (b) Zum ersten Summanden werden zuerst die Einer und dann die Zehner addiert. (c) Der erste Summand wird auf den nächsten Zehner ergänzt, dann wird der verbleibende Rest addiert. (d) Bei beiden Summanden werden zuerst die Zehner und dann die Einer addiert.

13 5. Addition und Subtraktion 90 (e) Der erste Summand wird auf den nächsten Hunderter ergänzt, dann wird der verbleibende Rest addiert. (f) Vom Minuenden werden zuerst die Zehner, dann die Einer subtrahiert. (a) (b) (c) = = = = = = = = = = = = 319 (d) (e) (f) = = = = = = = = = = = = 284 Strukturierung der Aufgaben nach dem Schwierigkeitsgrad Bei der Erarbeitung des Zahlenraums mit Hilfe der nichtschriftlichen Addition und Subtraktion ist eine Strukturierung der Aufgabentypen nach ihrem Schwierigkeitsgrad unerlässlich. Die folgende Grobgliederung bezieht sich auf den Zahlenraum bis 100 und lässt sich leicht auf den Tausenderraum übertragen. 1. Aufgaben mit vollen Zehnerzahlen: = = Aufgaben mit gemischten und vollen Zehnerzahlen: = = Aufgaben mit gemischten Zehnerzahlen und einstelligen Zahlen ohne und mit Zehnerüberschreitung: = = = = Aufgaben mit gemischten Zehnerzahlen ohne und mit Zehnerüberschreitung: = = = = Typische Fehler beim nichtschriftlichen Addieren und Subtrahieren Bei der Ausführung der Rechenoperationen werden bei den Schülerinnen und Schülern häufig Fehler beobachtet, die sich nicht auf Flüchtigkeit und mangelnde Konzentration zurückführen lassen, sondern in vielen Fällen Hinweise auf grundlegende Schwierigkeiten sind. Sie geben Aufschluss über falsch angewandte oder falsch verstandene Rechenstrategien. Kommen sie bei einem Kind gehäuft vor, so kann dies ein Indiz einer Rechenschwäche oder auch Leseschwäche (z. B. bei der häufigen Vertauschung von Ziffern) sein. Andererseits darf nicht übersehen werden,

14 5. Addition und Subtraktion 91 dass allgemeine Mißverständnisse in einer Klasse ihre Ursache auch in einer unangemessenen und inadäquaten Unterrichtsmethodik haben können. Je nach Art und Häufigkeit des Auftretens der Fehler sollten diese im Unterricht thematisiert oder im Förderunterricht mit kleineren Schülergruppen besprochen werden. Beim nichtschriftlichen und beim halbschriftlichen Addieren und Subtrahieren werden häufig folgende Fehlerarten beobachtet: Falsche Zählstrategie: bei Additionsaufgaben Verrechnen um -l, bei Subtraktionsaufgaben Verrechnen um+1: = 74 gezählt: 68, 69, 70, 71, 72, 73, = 48 gezählt: 54, 53, 52, 51, 50, 49, 48 Falsche Zählstrategie: bei Additionsaufgaben Verrechnen um +1, bei Subtraktionsaufgaben Verrechnen um-1: = 76 gezählt: 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, Ergebnis: = 46 gezählt: 53, 52, 51, 50, 49, 48, 47, Ergebnis: 46 Falsche Richtung einer Teiloperation: = 65 gerechnet: = 70, 70-5 = = 53 gerechnet: 54-4 = 50, = 53 Verwechseln der Operationen Addition und Subtraktion: = 61 gerechnet: 68-7 = = 61 gerechnet: = 61 Perseverationsfehler, d. h., dominierende Ziffern wirken nach: = = 44 Störung der Leserichtung: = 93 gerechnet: = = 38 gerechnet: 45-7 = 38 Fehlerhaftes Operieren mit der Null: = 707 gerechnet: = = 30 gerechnet: 0-2 = 0

15 5. Addition und Subtraktion 92 Zehnerüberschreitung wird nicht berücksichtigt: = 65 Falsche Rechenrichtung bei Bestimmen der Differenz zwischen den Ziffern gleichen Stellenwertes: = 37 gerechnet: 9-2 = 7, 7-4 = 3 Falsche Stellenzuordnung beim halbschriftlichen Rechnen: = 649 gerechnet: = 641, = 649 Unvollständige Subtraktion beim halbschriftlichen Rechnen: = Methodisch-didaktische Anregungen und Schulbuchbeispiele zur Addition und Subtraktion Bei der Erarbeitung des Zahlenraums werden verschiedene Übungsformen verwendet, mit denen unterschiedliche Intentionen und Ziele verbunden sind. Beim automatisierenden Üben steht das Einüben bestimmter Fertigkeiten im Vordergrund, wie zum Beispiel das Auswendiglernen der Grund auf gaben sowie das Erlernen eines bestimmten Algorithmus beim schriftlichen Rechnen. Ziel des operativen Übens ist auf der anderen Seite der Erwerb von Fähigkeiten und der Aufbau einer Vernetzung des vorhandenen Wissens. Diese Übungsform gibt insbesondere auch Anregungen zum flexiblen Denken und zur Entwicklung verschiedener Lösungsstrategien. Beide Übungsformen ergänzen sich und sollten im Unterricht zusammen oder auch als Mischformen auftreten. Bei beiden steht die Motivation der Schülerinnen und Schüler, ihr Interesse am Inhalt und ihr Spaß an der Form der Übung im Vordergrund. Dementsprechend haben in den letzten Jahren Lernspiele, mathematische Rätsel und Problemlöseaufgaben im Mathematikunterricht eine große Blütezeit erlebt. Am Ende dieses Abschnitts werden hierzu einige Schulbuchbeispiele vorgestellt Lernspiele, mathematische Rätsel und Problemlöseaufgaben 1. Das Känguruh-Spiel (für 2-4 Spieler ab 1. Schuljahr) Mit diesem Spiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 9/1985 und 4/1985) für das erste Schuljahr können die Relationen größer, kleiner, gleich im Zahlenraum bis 12 vertieft und gefestigt werden. Bei jedem Wurf werden die Punktzahlen der beiden Spielwürfel addiert und mit der Höhe des nächsten Berges verglichen. Die Höhe ist sowohl in ikonischer Form durch einen Steckwürfelturm als auch in symbolischer Repräsentation durch Angabe der Anzahl der Steckwürfel dargestellt.

16 5. Addition und Subtraktion 93 Abb. 46

17 5. Addition und Subtraktion 94 Material: Ein Spielplan, zwei Spielwürfel und für jeden Spieler ein Setzer als Känguruh. Ziel: Die Känguruhs laufen um die Wette und müssen dabei über Berge springen. Gewinner ist, wer nach einer Runde zuerst am Ziel ist. Spielregeln: 1) Vom Start aus darf man in beiden Richtungen vorrücken. 2) Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt. Bei jedem Wurf werden die Augenzahlen zusammengezählt. 3) Die geworfene Summe muss mit der Zahl des nächsten Berges verglichen werden. Man darf über den Berg springen, wenn die Summe größer ist als die Zahl des Berges; ist die Summe kleiner, muss man warten. 4) Ist die geworfene Summe gleich der Zahl des Berges, darf man auf den Berggipfel springen, aber nicht darüber. Ist beim nächsten Wurf die Summe größer als die Zahl des nächsten Berges, darf man vom Berggipfel gleich über den nächsten Berg springen, sonst nur in das nächste Tal. 5) Bei jedem Pasch, d. h., wenn die Augenzahlen auf beiden Würfeln gleich sind, darf man nochmals würfeln. 2. Zwei gegen Zwei (für 4 oder 2 Spieler ab 1. Schuljahr) Bei diesem Spiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 12/1987 und 6/1987) wird das Addieren und Ergänzen im Zahlenraum bis 20 geübt. Variante 1 für 4 Spieler: Material: Ein Spielplan, ein Spielwürfel. Je zwei Schüler bilden eine Mannschaft und erhalten zwei Setzer gleicher Farbe. Ziel: Als Erster das Zielfeld genau erreichen. Spielregeln: 1) Zu Beginn des Spiels werden alle vier Setzer in das Startfeld gelegt. 2) Es wird reihum gewürfelt und ein beliebiger Setzer der eigenen Farbe um die entsprechende Augenzahl weitergesetzt. 3) Fremde Setzer werden hinausgeworfen und kommen zurück in das Startfeld. 4) Wenn kein Setzer der eigenen Farbe nach der Augenzahl gesetzt werden kann, ist der nächste Spieler an der Reihe. 5) Gewonnen hat die Mannschaft, die als erste einen ihrer Setzer genau in das Zielfeld gesetzt hat. Variante 2 für 2 Spieler: Jeder Spieler erhält nun einen Setzer mit einer eigenen Farbe und spielt für sich.

18 5. Addition und Subtraktion 95 Abb. 47

19 5. Addition und Subtraktion Rechen-BINGO (Gruppen- oder Klassenspiel ab 2. Schuljahr) Das als BINGO bekannte Glücksspiel kann leicht zu einem spannenden Kopfrechenspiel umfunktioniert werden, bei dem Rechenaufgaben aus verschiedenen Bereichen gestellt werden können. Im folgenden wird eine Anleitung gegeben, wie das Spiel mit Aufgaben zum Ergänzen zu 100 für das 2. oder 3. Schuljahr durchgeführt werden kann. Als Vorbereitung erstellt sich die Lehrerin oder der Lehrer eine Reihe von 12 bis 15 Aufgaben, deren Lösungen jedes Kind der Klasse in einer Ergebnisliste auf einem Spielbogen erhält. Bei der Auswahl der Aufgaben wird die Schwierigkeit auf die Klassenstufe und die Leistungsfähigkeit der Kinder abgestimmt. Beispiel: Liste der Lehrerin mit 12 bis 15 Aufgaben, z. B.: 60 + = 100, 15 + = 100, 75 + = 100, 33 + = 100, 82 + = 100,... Spielbogen des Schülers mit Ergebnisliste und Spielplan (3x3-Tabelle): 18, 25, 40, 67, 85,... Ziel: Jeder Mitspieler versucht, möglichst schnell durch Ankreuzen der Felder im Spielplan eine geradlinige Reihe zu erreichen. Spielregeln: 1) Jeder Mitspieler wählt aus der Ergebnisliste neun Werte aus, die er in beliebiger Folge in die neun Felder seines Spielplans einträgt. 2) Die Lehrerin stellt eine Aufgabe und schreibt sie an die Tafel. Bei den obigen Aufgaben zum Ergänzen genügt es, nur die Ausgangszahl, z. B. 60, anzugeben und die weiteren Anweisungen mündlich zu erteilen. 3) Jeder Schüler löst die Aufgabe im Kopf. Hat der Schüler das Ergebnis in seinem Spielplan eingetragen, so kann er das betreffende Feld ankreuzen.

20 5. Addition und Subtraktion 97 4) Wer zuerst eine Reihe mit Kreuzen in einer Zeile, einer Spalte oder einer Diagonalen erreicht, ruft BINGO" und ist Sieger der Runde. Die Lehrerin überprüft bei diesem Spieler, ob die Ergebnisse im Spielplan korrekt angekreuzt wurden. Die bereits gelösten Aufgaben werden an der Tafel besprochen. 5) Es werden drei Runden gespielt. Hierzu können andere Aufgaben verwendet werden. Die Schüler erhalten zwei weitere Spielbögen mit Ergebnisliste und Spielplan. 4. Fußballspiel (für 2 Spieler ab 3. Schuljahr) Dieses Partnerspiel (aus Grevsmühl, U.; Homann, G. 6/1987 und 3/1987) eignet sich vorzüglich, um die Subtraktion im Kopf zu üben, kann aber auch als Übungsform für das schriftliche Subtrahieren eingesetzt werden. Darüber hinaus enthält das Spiel ein starkes taktisches Element. Insbesondere die fähigeren Schülerinnen und Schüler werden nach einigen Spielerfahrungen ihre eigenen psychologischen Taktiken entwickeln und diese in den einzelnen Runden immer mehr verfeinern und ausbauen. Der Reiz und die Spannung des Spiels liegen vor allem beim gegenseitigen Ausprobieren der Taktiken und beim Messen des Geschicks und der Kräfte. Zur Erklärung der Spielregeln ist es sinnvoll, wenn unter Anleitung der Lehrerin oder des Lehrers an der Tafel eine Proberunde" durchgeführt wird. Abb. 48 Material: Ein Spielplan, eine Spielmarke als Ball und für jeden Spieler Bleistift und Papier. Ziel: Sieger ist, wer bei Spielende die meisten Tore geschossen hat.

21 5. Addition und Subtraktion 98 Spielregeln: 1) Zu Beginn einer Runde wird der Ball in die Mitte des Spielfeldes gelegt. Jeder Spieler erhält 50 Punkte als Guthaben, um eine Reihe Angriffe" durchzuführen. 2) Vor jedem Angriff notiert sich jeder Spieler verdeckt die Anzahl der Punkte, die er für diesen Angriff ausgeben möchte. Danach werden die Angaben der beiden Spieler verglichen. Der Spieler mit der größten Zahl darf den Angriff ausführen und rückt den Ball entlang der gestrichelten Linie um ein Feld auf das gegnerische Tor vor. Sind beide Zahlen gleich, bleibt der Ball stehen. 3) Vor dem nächsten Angriff zieht jeder Spieler seine ausgegebenen Punkte von seinem Guthaben ab und kann dann das verbleibende Guthaben so lange für weitere Angriffe verwenden, bis alle Punkte aufgebraucht sind. Es ist vorteilhaft, wenn sich jeder Spieler außer dem augenblicklichen Stand seines Guthabens auch den seines Gegners notiert. 4) Landet der Ball im gegnerischen Tor, so hat der Spieler ein Tor geschossen. Danach wird der Ball zur nächsten Runde wieder in die Mitte des Spielfeldes gelegt. Als Spielzeit werden drei oder fünf Runden vereinbart. Sieger ist, wer bei Spielende die meisten Tore geschossen hat. Beispiel einer Spielrunde: Spieler A: Spieler B: = = 40 A spielt ins gegnerische Feld (13 > 10) = = 30 B spielt zurück zur Mitte (10 > 1) = = 20 A spielt ins gegnerische Feld (11 > 10) = = 8 A spielt in den gegnerischen Strafraum (15 > 12) = = 3 A schießt ein Tor (10 > 5). 5. Ein Rechentrick: Blitzaddition (ab 3. Schuljahr) Dieser bekannte Rechentrick eignet sich auch zur Unterhaltung als Zaubertrick bei Kinderpartys. Seine Durchführung im Unterricht ist dann sinnvoll, nachdem die schriftliche Addition eingeführt wurde und von allen Schülerinnen und Schülern gut beherrscht wird. Der Trick beruht auf dem Rechenvorteil, Zahlen, die nur mit der Ziffer 9 gebildet sind, - wie 9, 99, schnell zu addieren. Während man sich im 3. Schuljahr auf dreistellige Zahlen beschränken wird, wird man ab dem 4. Schuljahr vier- und fünfstellige Zahlen verwenden.

22 5. Addition und Subtraktion 99 Durchführung: Der Zauberer oder Rechenkünstler fordert sein Publikum auf, ihm drei fünfstellige Zahlen A, B und C zu nennen, die er für alle sichtbar untereinander an die Tafel schreibt. Er selbst fügt dann noch zwei weitere, willkürlich gewählte fünfstellige Zahlen D und E hinzu und kann sofort die Summe aller fünf Zahlen angeben. Beispiel: (A) Erklärung: (B) (C) (D) (E) Die vom Zauberer gewählten Zahlen D und E sind keineswegs willkürlich, sondern werden so bestimmt, dass die Summe der Zahlen B und D sowie C und E jeweils ergeben. Da um eins kleiner ist als , erhält der Zauberer das Ergebnis, indem er zur Zahl A die Zahl addiert und gleichzeitig 2 subtrahiert, also 2 vor die Ziffern von A schreibt und die Einerziffer um 2 vermindert. Die Blitzaddition wirkt für das Publikum besonders überzeugend, wenn der Zauberer vorgibt, in gewohnter Weise schriftlich zu addieren, und das Anschreiben der Summe mit der Einerstelle beginnt. Während ein Zaubertrick demselben Publikum nur einmal vorgeführt werden sollte, wird man ihn in der Klasse mehrmals zeigen und den Schülerinnen und Schülern Gelegenheit geben, den Rechentrick oder -vorteil zu entdecken. Dabei können auch schwierigere Fälle - z. B. die Einerziffer der Zahl A ist kleiner als 2, und die Zahl B oder C ist gleich besprochen werden. 6. Magische Dreiecke (ab 3. Schuljahr) In einem Dreieck wurden die Zahlen l, 2, 3, 4, 5, 6 so eingetragen, dass man immer 10 erhält, wenn man die Zahlen an einer Seite zusammenzählt: Abb. 49

23 5. Addition und Subtraktion 100 Die Zahlen l bis 6 können im Dreieck auf drei weitere Weisen so angeordnet werden, dass man beim Zusammenzählen der Zahlen auf jeder der drei Seiten das gleiche Ergebnis erhält, und zwar beim ersten Dreieck 9, beim zweiten 11 und beim dritten 12. Wie sehen die drei Anordnungen aus? Siehe dazu Abb. 50. Abb. 50 Zu beachten ist, dass bei den vier Lösungen die Anordnungen mit den Summen 10 und 11 sowie mit 9 und 12 zusammenhängen und durch Vertauschen der Eck- und gegenüberliegenden Seitenzahlen ineinander übergehen. 7. Der Milchmann Felix (ab 3. Schuljahr) Diese Aufgabe stammt aus der guten alten Zeit". Der Milchmann Felix fährt mit Pferd und Wagen durch die Stadt und verkauft offene Milch an seine Kunden. Dazu füllt er aus einer großen Kanne Milch mit einigen kleineren Gefäßen ab. An diesem Tag hat der Milchmann zum Abfüllen nur ein 5-1-Gefäß und ein 3-1- Gefäß mitgenommen. Eine Kundin möchte einen Liter Milch kaufen. Wie kann er ihr genau einen Liter Milch abfüllen, ohne Milch zu verschwenden? Antwort: Der Milchmann füllt zunächst das 3-1-Gefäß und entleert es in das 5-1- Gefäß. Dann füllt er erneut das 3-1-Gefäß und leert so viel in das 5-1-Gefäß, bis dies gefüllt ist. Auf diese Weise bleibt genau l l im 3-1-Gefäß zurück. 8. Händeschütteln (ab 3. Schuljahr) Gabi hat zu ihrer Geburtstagsfeier fünf Freundinnen eingeladen. Zur Begrüßung geben alle Gabi die Hand, und sie schütteln sich gegenseitig jeweils einmal die Hände. Wie viele Handschläge gibt es insgesamt? Antwort: Nachdem Gabi ihren 5 Freundinnen die Hände geschüttelt hat, kann die erste der Freundinnen nur noch den anderen 4 Freundinnen die Hand geben. Die zweite Freundin kann danach nur 3 weiteren, die dritte nur 2 weiteren und die vierte schließlich nur noch einer die Hand geben. Insgesamt gibt es also 15 Handschläge.

24 5. Addition und Subtraktion Schulbuchbeispiele Tauschaufgaben Tauschaufgaben für die Addition können im Mengen- und Längenmodell durch einen Wechsel der Blickrichtung gut veranschaulicht werden. Abb. 51 aus Nußknacker Unser Rechenbuch, Ausgabe B Neu, Baden-Württemberg, 1. Schuljahr, Klett 1994, S.42 Umkehraufgaben Umkehraufgaben werden durch umkehrbare Vorgänge veranschaulicht. Die Darstellungen in Abb. 52 und Abb. 53 regen wiederum zum Nacherzählen an. Die Vorgänge werden hier im Längenmodell zuerst durch Hinzulegen einer bestimmten Anzahl von Steckwürfeln und später durch Wegnehmen derselben Anzahl veranschaulicht. Abb. 52 aus Nußknacker Unser Rechenbuch, Ausgabe B Neu, Baden-Württemberg, 1. Schuljahr, Klett 1994, S.64

25 5. Addition und Subtraktion 102 Dieser Vorgang entspricht einer Umkehrung der Rechenrichtung im Operatormodell. In der folgenden Abb. 53 regt der unbekannte Ausgangszustand die Umkehrung der Rechenrichtung an. Abb. 53 aus Die Welt der Zahl 1, Schroedel 1994, S.62 Halbieren und Verdoppeln Sachsituationen aus dem Erfahrungsbereich der Kinder, bei denen eine Anzahl von Dingen gerecht auf zwei Personen aufgeteilt wird, dienen zur Einführung des Halbierens. Zur Veranschaulichung des Rechenvorgangs werden Plättchen oder Steckwürfelstäbe verwendet. Hierbei kommt es auf die richtige Verbalisierung an: Die Hälfte davon ist (sind)..." Abb. 54 aus Mathebaum 1 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.66 Zur Vorbereitung des Verdoppelns eignen sich einerseits das Zeichnen bzw. Vervollständigen spiegelsymmetrischer Figuren im Gitternetz. Zum ändern stellt der Taschenspiegel ein Medium dar, mit dem Verdoppelungen erzeugt werden können. Das folgende Bild zeigt einen natürlichen Anlass, das Doppelte von Zahlen auszurechnen. Abb. 55 aus Die Welt der Zahl 1, Schroedel 1994, S.108

26 5. Addition und Subtraktion 103 Nachbaraufgaben Aufgaben können häufig über den Umweg der Nachbaraufgaben geschickt gerechnet werden. Hier werden dazu die Verdopplungsaufgaben (l + l, 2 + 2, 3 + 3,...) verwendet. Die Aufgaben und zugehörigen Nachbaraufgaben können z. B. durch Steckwürfelstäbe veranschaulicht werden. Abb. 56 aus Mathebaum 1 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.68 Zehnerübergang Wie in Abschnitt ausgeführt wurde, kann der Zehnerübergang durch Ergänzungen zum vollen Zehner vorbereitet werden. Die Abbildung zeigt weiterhin die Zehnerüberschreitung für die Addition, veranschaulicht durch eine entsprechende Sachsituation sowie Darstellungen im Längenmodell (Wendeplättchen mit Fünferund Zehnereinteilung) und im Operatormodell. Die Notation erfolgt in halbschriftlicher Form. Entsprechende Darstellungen finden sich für die Subtraktion. Abb. 57 aus Die Welt der Zahl 1, Schroedel 1994, S.84

27 5. Addition und Subtraktion 104 Analogieaufgaben Analoge Beziehungen beim Rechnen im 1. und 2. Zehner können im Längenmodell mit Zehner-Gruppierung (Bündelmaterial) oder wie in Abb. 59 am Zahlenstrahl dargestellt werden. Abb. 58 aus Die Welt der Zahl 1, Schroedel 1994, S.78 Abb. 59 aus Nußknacker Unser Rechenbuch, Ausgabe B Neu, Baden-Württemberg, 1. Schuljahr, Klett 1994, S.87 Aufgabennetz Die Darstellung der Ergebnisse aller Aufgaben des kleinen Einspluseins in Form eines Aufgabennetzes eignet sich, um Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten zwischen den Aufgaben festzustellen.

28 5. Addition und Subtraktion 105 Abb. 60 aus Mathebaum 1 / Mathematik für Grundschulen, Schroedel 1994, S.108 Rechnen im Hunderterraum mit und ohne Zehnerübergang Gestützt durch die Veranschaulichung mittels Bündelmaterial erwerben die Schüler und Schülerinnen Schritt für Schritt (gestuft nach aufsteigender Schwierigkeit) die Fähigkeit, zwei zweistellige Zahlen zu addieren, zu subtrahieren, zu verdoppeln oder gegebenenfalls zu halbieren. Dabei werden die o. g. Übungshinweise insbesondere bzgl. der Analogie und des Zehnerübergangs berücksichtigt. Die folgenden Schulbuchbeispiele (Abb. 61 und 62) verwenden hierbei Bündel-material; als symbolische Repräsentation für das halbschriftliche Rechnen wird die Gleichungsschreibweise bzw. die Operatorschreibweise benutzt.

29 5. Addition und Subtraktion 106 Abb. 61 (aus Nußknacker - Unser Rechenbuch, Ausgabe B - Neu, Baden-Württemberg, 2. Schuljahr, Klett 1994) Abb. 62 (aus Nußknacker - Unser Rechenbuch, Ausgabe B - Neu, Baden-Württemberg, 2. Schuljahr, Klett 1994) Übungen zum Rechnen im Zahlenraum bis 1000 Auch hier werden wieder gestuft nach steigender Schwierigkeit die einzelnen Aufgaben nacheinander eingeübt. Regelhaftigkeiten dürfen nie rein formal begründet werden (Nullen anhängen bzw. wegstreichen), sondern es soll eingesehen werden, was an konkreten sowie bildlichen Materialien geschieht. Alle bereits weiter o. g. Hilfen werden für den Verinnerlichungsprozess eingesetzt: Bündelmaterial wie Geld und Mehrsystemblöcke, Tausenderstreifen als Abwandlung der Hundertertafel, Zahlenstrahl und schriftliche Formen wie Gleichungsdarstellung und Operatorschreibweise.

30 5. Addition und Subtraktion 107 Als Beispiel soll hier das Messen mit abgebrochenem Zollstock und abgeschnittenen Teilen eines Maßbandes vorgestellt werden. Abgebrochene Teile eines 2 m langen Zollstocks und abgeschnittene Teile eines 10 m langen Maßbandes können zur Formulierung von Plus- und Minusaufgaben und zur Bestimmung von Längen verwendet werden. Beispiel: Zur Bestimmung der Breite des Arbeitsblattes (21 cm) wird ein Teil eines Zollstocks mit Messbereich 36cm bis 68cm verwendet. Eine Schülerin legt den Zollstock an, liest 36cm und 57cm ab und gibt nach Aufforderung der Lehrerin die Plusaufgabe dazu an: 36cm+ = 57cm. Abb. 63 Eine andere Schülerin legt das Zollstockstück versetzt an und liest 40cm und 61cm ab und formuliert eine Minusaufgabe: 61cm- 40cm =. Die Aufgaben können je nach Ziel der Unterrichtsstunde halbschriftlich, schriftlich oder im Kopf gelöst werden. Bei Bedarf kann hierbei auch die Kommaschreibweise verwendet werden. Durch geeignete Wahl der Teilstücke und damit der Messbereiche (z. B. 79cm bis 112cm, 287cm bis 351cm und 874cm bis 939cm) sowie der zu messenden Längen (z. B. Breite der Tischplatte, Länge des Mathematikbuches, Fingerspanne, Kopfumfang) können Aufgaben mit Hunderterüberschreitung und in höheren Hunderterräumen formuliert und durchgeführt werden, z. B.: 287cm + = 317cm, 317cm - 287cm =