Grundlagen der Algebra. (Klasse 7 bis 10) Die wichtigsten Methoden per Hand trainieren und mit TI Nspire CAS berechnen. Datei-Nr.

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1 Algebra-Training mit TI Nspire CAS Grundlagen der Algebra (Klasse 7 bis 10) Die wichtigsten Methoden per Hand trainieren und mit TI Nspire CAS berechnen Datei-Nr Friedrich W. Buckel Stand 30. August 007

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3 Vorwort Dieses Trainingsheft dient einem doppelten Zweck. Schüler, die mit einem CAS-Rechner arbeiten, müssen dennoch die grundlegenden Verfahren beherrschen. Daher ist es doch naheliegend, Nspire auch als Kontrolle für ausführliche Berechnungen zu verwenden. Daher sind einerseits die wichtigsten Rechenmethoden und Grundaufgaben zur Wiederholung aufgelistet. Andererseits wird sind die Texte ein Nspire-Algebra-Lehrbuch, so dass man die Aufgaben mit diesem CAS-Rechner überprüfen kann. Zusätzliche Trainingsaufgaben ergänzen dieses Angebot. Bei der Behandlung mancher Aufgaben sind oftmals Lösungswege gefordert, die mehrere Schritte erfordern. Diese kann uns ein CAS-Rechner nicht abnehmen. Hier dient er dann nur als Rechenhilfe mit der Konsequenz, dass man sich genau überlegen muss, welche Berechnungen oder Umformungen Nspire leisten soll. Entsprechend muss man auch die Ergebnisse interpretieren und kann nicht alles unkontrolliert übernehmen. Wer hier erwartet, dass nun plötzlich CAS-Rechner alles tun und leisten sollen, der hat eine falsche Erwartungshaltung. Dieser vermeintliche Nachteil aller CAS-Rechner wird dabei immer wieder zum Vorteil. Die Fähigkeiten dieser Geräte beruhen auf einer Software, die in der Lage sein soll, alle unsere mathematischen Bedürfnisse zu befriedigen. Dass dies keine Software leisten kann, ist naheliegend. Daher werden auch immer wieder Ergebnisse angezeigt, die den strengen Mathematiklehrer nicht zufrieden stellen. An einigen Stellen des Heftes wird darauf hingewiesen. Dies soll uns daran erinnern, dass CAS-Rechner nur Hilfsmittel sein können, und dass die Verantwortung für die logisch und sachlich korrekte Lösung immer noch bei der Person liegt, die den Rechner bedient, und diese auch in der Lage sein muss, die angezeigten Ergebnisse zu bewerten. Sicher wird die Software weiter entwickelt und wird auch dann und wann manches Ergebnis anders darstellen können. Die eigene Denkleistung muss also nicht nur bei der Bedienung sondern auch bei der Auswertung erbracht werden. Dieser Text kann und will nicht das Handbuch des TI Nspire ersetzen. Dennoch wird an vielen Stellen ausführlich auf die Bedienung dieses vielseitigen Gerätes hingewiesen. Dazu gibt es am Ende des Textes einen Index. Noch ein Hinweis zu den Begriffen Befehl und Funktion. Wenn wir Nspire eine Gleichung lösen lassen wollen, geben wir den Befehl solve() ein. Ruft man ihn über das Menü auf, erscheint solve() auf dem Display, man kann ihn aber auch manuell über die Tastatur eingeben. Die Klammern deuten an, dass es sich im Sinne der Informatik eigentlich um eine Funktion handelt. Der in die Klammer einzutragenden Gleichung wird eine Lösungsmenge zugeordnet. Dennoch verwende ich dafür und für andere Funktionen des Nspire meistens den Begriff Befehl. Im Sinne des schulischen Alltags erteilen wir Nspire auch einen Befehl: Rechne bitte und nimm uns die Arbeit ab, soweit dies eben möglich ist.

4 INHALT 1 TI Nspire als Taschenrechner Eingaberegeln 1.1 Dezimalpunkt statt Dezimalkomma 1 1. Zahlenfaktor vor Klammern Multiplikationspunkt erforderlich? Die Grundrechenarten 1.5 Markieren, Kopieren und Einfügen 1.6 Rechnen mit negativen Zahlen Gemischte Zahlen (Brüche) 4 Teilbarkeit.1 Primzahluntersuchungen 5. Primfaktorzerlegung 5.3 Größter gemeinsamer Teiler (ggt) 6.4 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 6.5 Divisionsrest 7.6 Ganzzahliger Anteil 7.7 Aufgaben 8 3 Bruchrechnen 3.1 Eingabe von Brüchen Eingabe und Rechnen mit gemischten Zahlen (Brüchen) Verwandlung unechter Brüche in gemischte Zahlen 1 Die Systemvariable ans Aufgaben zu Brüchen 13 4 Arbeit mit Tabellen 4.1 Proportionale Größen 17 Lineare Regression 1 4. Proportionale Zuwächse Linearität Antiproportionale Größen 8 5 Potenzrechnen 5.1 Grundlagen Potenzgesetze Umformungsaufgaben 37 6 Wurzelrechnungen 6.1 Grundlagen zur Quadratwurzel Regeln des Wurzelrechnens Grundaufgabe: Den Nenner rational machen Was passiert bei negativem Radikand? Grundlagen zu n-ten Wurzeln Geschachtelte Wurzeln Trainingsaufgaben 43

5 7 Termumformungen 7.1 Mit Termen Werte berechnen Die Funktionsschreibweise von Nspire verwenden Gleichwertige (äquivalente Terme) Trainingsaufgaben Binomische Formeln Polynomische Formeln Trainingsaufgaben Faktorisieren Trainingsaufgaben Faktorisierung mittels quadratischer Gleichungen Rechnen mit Bruchtermen 59 Polynomdivision Terme mit Wurzeln und Potenzen 6 Signum-Funktion 63 8 Lineare Gleichungen 8.1 Grundbegriffe Lineare Gleichungen mit einem Parameter Trainingsaufgaben 67 9 Bruchgleichungen 9.1 Grundlagen Gleichungen, die nicht auf quadratische Gleichungen führen Gleichungen, die auf ein quadratische Gleichung führen Trainingsaufgaben Quadratische Gleichungen 10.1 Die allgemeine quadratische Gleichung Besondere Gleichungsformen Trainingsaufgaben Biquadratische Gleichungen Andere Gleichungen mit Substitution lösen Wurzelgleichungen 11.1 Theoretisches Beispiele 76 1 Besonderheiten bei Gleichungen 1.1 Gleichungen mit Parameter Die Probe machen Die Punktprobe machen Allgemeingültige Gleichungen Formeln umstellen Gleichungen höheren Grades 8 14 Verwendung komplexer Zahlen 84

6 15 Geradengleichungen Lineare Funktionen 15.1 Eine Gleichung mit zwei Unbekannten Eine lineare Funktion definieren Berechnen von Listen von Funktionswerten Trainingsaufgaben Lösungsmenge einer linearen Gleichung als Gerade darstellen Analyse der Geradengleichung Gleichungssysteme 16.1 lineare Gleichungen mit Unbekannten (,)-Systeme mit Parameter Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten Drei Gleichungen mit drei Unbekannten Geometrische Deutung einer Gleichung mit 3 Unbekannten Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten Logarithmen 17.1 Grundlagen Trainingsaufgaben zur Algebra der Logarithmen Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen 118 Stichwortverzeichnis 11

7 17100 Algebratraining 1 mit Nspire 7 Beispiel Überprüfe, ob die folgende Tabelle eine Proportionalität darstellt: Im Physikunterricht misst man die Dehnbarkeit einer Feder. Durch angehängte Massestücke erzeugt man eine Dehnungskraft F und misst die zugehörige Verlängerung s der Feder. Die Abbildung zeigt links die lose herabhängende Feder. Dann im Zustand, in dem 100 g mit der Gewichtskraft 1 N nach unten ziehen. Die Feder wird dadurch um 5 cm gedehnt. (N = Newton, Maßeinheit für die Kraft) Hängen insgesamt 00 g an der Feder, ziehen also N nach unten, dann beobachtet man eine Dehnung um 10 cm. Eine Dehnung durch 3 N ergibt eine Verlängerung um 15 cm. Dies kann man übrigens nicht beliebig lange durchführen. Irgendwann ist die Feder überdehnt, dann erhält man abweichende Verlängerungen und die Feder kehrt dann nach Abnehmen der Massen auch nicht mehr in den Ausgangszustand zurück. Sie ist dann unbrauchbar geworden. Zusammenstellung der Messergebnisse in einer Tabelle: F = Kraft in N 1 3 s = Verlängerung in m 0,05 0,10 0,15 Man erkennt eindeutig eine Proportionalität zwischen der Kraft F und der Verlängerung s. Dafür schreiben wir künftig F s. Das ist die Abkürzung für ist proportional zu. F 1N N 3 N N Schauen wir uns die quotientengleichen Brüche an: = = = = 0 s 0,05 m 0,10 m 0,15 m N Alle drei Wertepaare haben den Quotienten 0. Seine Bedeutung ist unmittelbar verständlich: m Man benötigt die Kraft 0 Newton pro Meter (Dehnung) Diesen Quotienten nennt man die Federkonstante oder auch Federstarre. Man verwendet dafür den Buchstaben D. Damit kann man das Ergebnis des Dehnungsexperimentes so formulieren: Die dehnende Kraft ist proportional der Dehnungsstrecke (Verlängerung) der Feder. 1N Dies ist ein Naturgesetz. Man es kurz so schreiben: F s N 3N oder als Gleichung: F D s = oder auch umgeformt so: F= D s

8 17100 Algebratraining 1 mit Nspire 8 Das eigentliche Naturgesetz ist die Proportionalität, die beiden Gleichungen dienen nur der Berechnung weiterer Ergebnisse. Nun stellen wir uns vor, ein Schüler experimentiert alleine mit der Feder und will sehen, wie weit das möglich ist (die Feder ist ihm also egal ). Er ergänzt die obige Tabelle so: F = Kraft in N Verlängerung s in m 0,05 0,10 0,15. 0,30 0,33 0,35 0,37 Dann fällt schon an der Tabelle auf, dass die s-werte bei 7N, 8N und 10 N nicht mehr Schritt halten : Sie sind kleiner als man erwarten würde. Das zeigen auch die Werte der Quotienten: F 7 N N F 8 N N = 1,, =,9, s 0,33 cm cm s 0,35 cm cm Jetzt liegen keine quotientengleiche Brüche mehr vor! F 10 N N = 7,0. s 0,37 cm cm Übertragen wir die Tabelle in ein Koordinatensystem, dann wissen wir, dass man bei proportionalen Größen erwarten kann, dass die zu den Wertepaaren gehörenden Punkte auf einer Ursprungsgerade liegen. Hier die Tabelle mit s in cm statt m, was für die Zeichnung günstiger ist. F = Kraft in N Verlängerung s in cm Das Diagramm zeigt den Elastizitätsbereich an, in dem die Proportionalität gilt, und den Überdehnungsbereich, in dem man die Feder zerstört. Dort liegen die Punkte nicht mehr auf der Ursprungsgeraden. Überdehnungsbereich Elastizitätsbereich

9 17100 Algebratraining 1 mit Nspire 9 Nun zur Bearbeitung dieser Aufgabe mit Nspires Tabellenkalkulation Nebenstehende Abbildung zeigt, wie man in die 1. Spalte die Werte der Verlängerung s überträgt und in die. Spalte die Werte der Dehnungskraft F. Zur Überprüfung, ob eine Proportionalität vorliegt, lässt man Nspire die Quotienten aus F und s berechnen. Dazu schreibt man in die. Zeile die Formel = f/s und beantwortet die Fragen, ob es sich um Spalten- oder Variablenverweise handelt mit Variablenverweise. Daraufhin füllt Nspire die 3. Spalte mit den Quotienten. Man sieht, dass die Paare bis s = 30 cm quotientengleich sind. Darüber hinaus endet der Proportionalitätsbereich. Die Übertragung in ein Koordinatensystem gelingt wie oben beschrieben. Da man jedoch nur vier Punkte sehen kann, müssen wir das Schaubild Zoomen: Wir müssen wieder mit der Tab-Taste den Pfeilcursor im Schaubild aktivieren und dann über /b51 das Diaglogfeld Achseneinstellungen aufrufen. Hier trägt man die Werte ein, die zur Tabelle passen und erhält dann die Darstellung aller Punkte. Schließlich tragen wir noch die Gerade ein, die zur Proportionalitätsgleichung F s = 0, bzw. F = 0, s ein. Dazu stellen wir den anderen Grafiktyp ein: b31 ( Funktion) und können dann in der Eingabe zeile die Funktion f1(x) =. x eingeben, die nach auch dargestellt wird. Man erkennt jetzt sehr schön, dass die ersten 5 Punkte auf dieser Geraden liegen und somit zum Proportionalitätsgehören. Darüber hinaus wird die Feder überdehnt und damit zerstört.

10 17100 Algebratraining 1 mit Nspire 10 Beispiel 3 Messung des Benzinverbrauchs Klaus hat zu vier Fahren die zurückgelegten Kilometerzahlen und die dazu verbrauchten Benzinmengen aufgeschrieben. Nebenstehende Tabelle zeigt die Einträge. In der 3. Spalte wurden die Quotienten Weg pro Liter berechnet. Man erkennt, dass die Werte nicht konstant sind. Es liegt also keine Proportionalität vor. Das ist auch klar, denn alle Fahrten waren ganz unterschiedlich. Verbrauch Wir können nun hergehen und den Mittelwert dieser vier 11,7 + 11, + 1,3 + 10,6 = 11,45 km Quotienten ermitteln: ( ) 4 Liter Dazu zeichnen wir die Verbrauchsgerade ein: Ohne Einheiten gilt: 4 s = 11,45 s = 11,45 V. V Berechnung der optimalen Geraden durch das Verfahren der linearen Regression Diese Methode wird hier nicht erklärt, sondern nur beschrieben. 1. Schritt: Man öffne die Tabelle mit den Daten (siehe oben).. Schritt: Mit folgender Menüeingabe öffnen wir ein Dialogfeld: ( Stastistik) ( Stat. Berechn. ) 3( Lineare Regr. mx+b) b4 1 Die x-liste steht unter li (Liter), die y-liste in der Spalte km. Die Geradengleichung (RegEqn) speichert Nspire (hier) als f6 ab. Weiter unten folgt noch die Eingabe der Ergebnisse in Spalte d. Mit dem Cursorpad kann man immer die Liste der möglichen Eingaben anzeigen lassen. Nach (OK) zeigt Nspire die ergänzte Tabelle an: 3. Schritt: In der Darstellung der vier Punkte löschen wir die dort noch vorhandene Gerade: Mit dem Zeiger markieren, /x, dann /b4( Löschen). Jetzt aktivieren wir mit e die Eingabezeile und suchen mit dem Cursorpad f6, also die Gleichung der Regressionsgeraden: f6 ( x) = 11,5117 x 1,0557. Ihr Schaubild ist keine Ursprungsgerade mehr, aber sie näher sich am besten den Punkten an. Liter

11 17100 Algebratraining 1 mit Nspire Mit Termen Werte berechnen 7 Termumformungen Jeder Term stellt eine Berechnungsvorschrift dar, der Zahlen und Variable (Unbekannte) enthält. Terme mit einer Variablen sind beispielsweise 5x 8, Terme mit zwei Variablen sind etwa a x 4x 6 b, u v u+ 3 v, 3a 1 5 +, ( ) y x, z 5 ( ) z +, 3 Ersetzt man die Variable durch eine Zahl, dann liefert der Term ein Ergebnis, einen Wert. Beispiele: Terme mit einer Variablen a) Ersetzt man x in 5x - 8 durch die Zahl 3, erhält man die Berechnung mit dem Ergebnis 7. Man sagt dann, der Zahl 3 wird der Wert 7 zugeordnet. Diese Zuordnung kann man dann auch so schreiben: T( x) = 5x 8 und T( 3) = = 7. Diese Schreibweise zeigt den Term T(x) und die Berechnung des Wertes der Zahl 3 durch T(x). b) Der Term ( ) f x = x 4x 6 ist ein quadratischer Term, weil die Variable x sogar im Quadrat vorkommt. Der Zahl x = - ordnet dieser Term den folgenden Wert zu: f = 4 6 = = 6. ( ) ( ) ( ) c) Der Term g( a) = ( 3a 1) 5 ordnet der Zahl a = 15 den Wert ( ) ( ) d) Und der Bruchterm h( z z 5 ) ( ) Werte einsetzen mit Nspire z + 3 = ordnet z = 0 den Wert ( ) ( ) h 0 g 15 = = 0 zu = = zu. Nspire verwendet dazu den Mit-Operator, der ein senkrechter Strich ist. Man findet ihn auf der Tastatur links neben der Taste A. Dahinter schreibt man die Variable die ersetzt werden soll, ein Gleichheitszeichen und die einzusetzende Zahl. Die Abbildung zeigt die Berechnung der Werte, wie sie oben manuell ermittelt worden sind. Nspire rechnet auch mit Listen Nspire besitzt die Möglichkeit, die Werte mehrerer Terme in einer Rechenzeile zu berechnen. Dazu schreibe man die einzusetzenden Zahlen in eine geschweifte Klammer (Mengenklammer) { 1,,3, 4,5 } und erhält dann eben falls in einer solchen Klammer die zugehörigen Werte. Man nennt hier eine solche Menge eine Liste. Die Abbildung zeigt zwei Beispiele für eine Listenberechnung.

12 17100 Algebratraining 1 mit Nspire 1 Beispiele: Terme mit zwei Variablen In Termen mit Variablen benötigt man zwei Zahlen zum Einsetzen, also ein Zahlenpaar. e) Den Term a b kann man durch f1 ( a,b ) bezeichnen. Man liest das f1 von a Komma b. Setzen wir für a die Zahl 6 und für b die Zahl 4 ein, dann liefert der Term dazu den Wert 0. Die Berechnung kann man so aufschreiben: ( ) f) f ( u,v) = u v u+ 3 v ordnet dem Zahlenpaar ( ) f ( 5,1) = = = g) y Der Term p( x,y) = x ordnet dem Zahlenpaar ( 3 ) p( 3 ) = ( 3) = 9 = 18 Werte einsetzen mit Nspire Werden zwei Zahlen in zwei Variable eingesetzt, verwendet man dazu and. Dieses Wort entnimmt man entweder dem Katalog k eingeben. Man gibt den Anfangsbuchstaben a ein und steuert dann den Balkencursor zum gewünschten Befehlswort. Oder man gibt and mit der Tastatur ein, muss aber davor bzw. dahinter ein Leerzeichen _ einfügen. Rechts sehen wir die Berechnungen, die oben manuell erstellt worden sind. 1 f 6,4 = 6 4 = = den Wert - zu: den Wert 18 zu: Man achte auf die zweite und dritte Zeile: In der zweiten Zeile wurde das Produkt u v ohne den Multiplikationspunkt geschrieben, was nicht erlaubt ist. Nspire versteht uv als eine Variable, bestehend aus zwei Schriftzeichen. Daher wird uv auch nicht ersetzt und bleibt im Ergebnis stehen. Die dritte Zeile zeigt die korrekte Schreibweise! 7. Die Funktionsschreibweise von Nspire verwenden Man kann einen Term auch mit dem Befehl define() in Nspire eingeben. Dies hat den Vorteil, dass der Term (man sagt meistens dazu auch die Funktion ) gespeichert ist und immer wieder aufgerufen werden kann. Den Befehl define() ruft man über das Menü so auf: b1 1 ( Extras) ( Definiere) Die Abbildung zeigt die Definition der Funktion T( x) = 5x 8. Dann wurden die Werte zu x = 3, x = -5 und berechnet, x = 3 Die vierte Zeile zeigt eine Listenberechnung für 5 Zahlen. Und wenn man nicht mehr weiß, welcher Term sich hinter t(x) verbirgt, kann man sich das zeigen lassen.

13 17100 Algebratraining 1 mit Nspire Faktorisierung mit quadratischen Gleichungen (Klasse 9) WISSEN: Die Faktoren eines Terms werden aus den Lösungen der Gleichung gebildet, die man erhält, wenn man den Term = 0 setzt. Beispiel 1 Wir erzeugen aus dem Term x + 5x + 4 die quadratische Gleichung: x + 5x + 4 = 0. Wissen: Eine quadratische Gleichung der Form ax + bx + c = 0 b± b 4ac hat diese Lösungen: x1, = a 5± ± 9 5± 3 1 Also folgt hier x1, = = = = als Lösung. 4 x = -1 ist gleichwertig zu x + 1= 0 und x = - 4 zu x + 4 = 0. Daraus erstellt man das Produkt ( x + 1)( x + 4) = 0. Und tatsächlich ist ( )( ) =! x + 1 x + 4 x + 5x + 4 Man erhält also die Faktoren, indem man die Lösungen der quadratischen Gleichung also von x subtrahiert. Merke: Hat die Gleichung ax bx c = die Lösungen x 1 und x a x x x x = 0 dann kann man die Gleichung so faktorisieren: ( )( ) 1 Beispiel 5± ± 11 Die Gleichung x + 5x + 9 = 0 führt zu x1, = = R Aus einem negativen Radikanden kann man keine Wurzel ziehen, solange man nur die reellen Zahlen zur Verfügung hat. Daher hat die Gleichung keine reellen Zahlen als Lösungen und der Term x + 5x + 9 kann nicht faktorisiert werden. Beispiel 3 5± 5 0 5± Aus x + 5x + 5 = 0 folgt: x1, = = = ± 5 Die Faktorisierung sieht daher so aus: 1 1 ( x )( x ) 5 5 x + 5x + 5 = Nspire benötigt dazu den zweiten Parameter x. und liefert ein etwas anders aussehendes Ergebnis. Zur Kontrolle noch die Gleichungslösung mit dem Nspire-Befehl solve() und die Produktprobe mit expand().