Begriffe und Formulierungen (Entwurf)

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1 Begriffe und Formulierungen (Entwurf) Modul 1: Faltwinkel Sequenz 1: Kante, Gerade, Strecke, Strahl Wir nutzen ein Stück Papier und falten eine Kante. An dieser Kante kann man gerade Linien zeichnen. Man nennt solche Linien in der Geometrie Geraden. Es gibt auch gekrümmte Linien. Geraden zeichnet man mit dem Lineal. Sie können einen Namen bekommen: Oft nutzt man g (wie Gerade) oder h. Man sagt zum Beispiel, ich zeichne eine Gerade g. Geraden kann man nach beiden Seiten immer wieder verlängern (bis zum Blattrand und darüber hinaus). Sie sind unendlich lang. Man kann einen Abschnitt auf einer Geraden mit Punkten eingrenzen. Punkte setzt man als Punkt, Strich oder Kreuzchen auf die Gerade. Durch die Punkte auf den Geraden findet man Strecken. Eine Strecke reicht immer von einem Punkt bis zu einem anderen. Die Länge von Strecken, immer von einem Punkt bis zu einem anderen, kann man mit dem Lineal messen. Punkte beschriftet man mit großen Druckbuchstaben, z. B. A, B, C oder D. Eine Strecke mit den Punkten A und B heißt dann Strecke AB. Setzt man auf eine Gerade nur einen Punkt findet man eine Halbgerade oder einen Strahl. Es gibt nur einen Anfangs- aber keinen Endpunkt, wie bei der Sonne die Sonnenstrahlen oder der Lichtstrahl. Sequenz 2: sich schneidende Geraden, Ecken, Winkel, rechte Winkel, Rechtecke, rechteckige Körper Wenn Geraden sich begegnen oder sich schneiden, entstehen Ecken. Solche Ecken nennt man in der Geometrie Winkel. Das Wort kennt ihr schon, z. B., wenn man sagt, etwas ist verwinkelt oder eine winklige Gasse. Geraden können sich aufrecht begegnen wie bei einem Kreuz. Dann entstehen rechte Winkel. Man kennzeichnet sie mit einem Viertel Kreisbogen und einem Punkt in der Ecke. Rechte Winkel findet man überall in unserer Umwelt. Sie sorgen z. B. dafür, dass Gebäude und Möbel gerade (aufrecht) stehen. Ecken, in die der rechte Winkel passt, sind rechtwinklig. Figuren, in denen jede Ecke rechtwinklig ist, sind die Vierecke Rechteck und Quadrat sowie die Körper, die aus diesen Flächen bestehen, der Würfel und der Quader. Man sagt auch, es sind rechteckige Flächen und Körper. Rechtecke haben daher ihren Namen. Sequenz 3: senkrechte Linien, parallele Linien, Parallelogramm Wenn man den Faltwinkel aufklappt, sieht man ein Kreuz. In der Mitte des Kreuzes entdeckt man vier rechte Winkel. Wenn sich Faltlinien oder Geraden so begegnen, sagt man, sie sind senkrecht zueinander oder sie schneiden sich senkrecht oder stehen senkrecht aufeinander. Das kann man auch an den rechteckigen Flächen und Körpern entdecken: Benachbarte Seiten oder Kanten sind senkrecht zueinander. 1

2 Wenn man den Faltwinkel noch einmal auf einer Kante faltet und das Faltprodukt aufklappt, entdeckt man wiederum besondere Faltlinien. Man findet Linien oder Geraden, die sich genau gegenüberliegen. Sie schneiden sich niemals. Solche Linien oder Geraden sind parallel zueinander. Ein Viereck mit diesen Eigenschaften heißt deshalb auch Parallelogramm. Immer ein paar Seiten des Vierecks liegen sich genau gegenüber. Sie haben überall den gleichen Abstand. So ist es beim Rechteck und beim Quadrat auch. Diese Vierecke sind also auch Parallelogramme. Auch bei Würfel und Quader entdeckt man Kanten, die parallel zueinander sind. Modul 2: Kreuz (Achsenkreuz) Sequenz 1: Kreuz, Kreis, Quadrat Wir falten ein Kreuz und kennzeichnen die vier rechten Winkel. Wir entdecken vier Strahlen von der Mitte aus (evtl. verschiedenfarbig nachzeichnen). Die Strahlen markieren den Viertelkreis (ein rechter Winkel), den Halbkreis (zwei rechte Winkel), den Dreiviertelkreis (drei rechte Winkel) und den ganzen Kreis (vier rechte Winkel). Wir schlagen im Kreuz einen Viertelkreis, einen Halbkreis, einen Dreiviertelkreis, einen Kreis (evtl. die Radien jeweils etwas vergrößern bzw. verkleinern). Wir falten ein Kreuz und zeichnen die vier Strahlen von der Mitte M aus verschiedenfarbig nach. Um den Punkt M schlagen wir einen Kreisbogen. Auf jeden Strahl hinterlässt die Kreislinie einen Punkt (Punkt hervorheben). Verbinden wir die vier Punkte, entsteht ein besonderes Viereck, ein Quadrat. Auf die Strahlen im Kreuz kann man also ein Quadrat setzen. Dieses Viereck passt genau in einen Kreis. Evtl. das Viereck untersuchen: vier gleichlange Seiten, rechte Winkel in den Ecken. Sequenz 2: Raute, Drachenviereck Wir falten ein Kreuz und zeichnen die vier Strahlen von der Mitte M aus verschiedenfarbig nach. Mit Hilfe des Zirkels lassen sich zwei weitere Vierecke auf dem Kreuz entdecken. Wir stechen mit der Zirkelspitze in M ein und markieren links und rechts auf den Strahlen je einen Punkt im gleichen Abstand. Wir verändern die Einstellung am Zirkel und setzen jetzt oben und unten den veränderten Abstand. Verbindet man die vier Punkte zu einem Viereck, entsteht eine Raute (sieht wie ein Karo aus). Evtl. das Viereck untersuchen: vier gleichlange Seiten. Gegenüberliegende Ecken (Winkel) sind gleich groß. Die Faltlinien des Kreuzes ergeben die Mittellinien der Raute (später Symmetrieachsen oder Spiegelachsen). Wir falten ein Kreuz und zeichnen die vier Strahlen von der Mitte M aus verschiedenfarbig nach. Für das dritte Viereck auf dem Kreuz stechen wir wieder mit der Zirkelspitze in M ein und setzen links und rechts auf den Strahlen je einen Punkt im gleichen Abstand. Für den Punkt oben wählen wir einen kleineren und unten einen größeren Abstand. Wenn wir die vier Punkte zu einem Viereck verbinden, entsteht ein Drachenviereck. Evtl. das Viereck untersuchen: zwei Dreiecke übereinander, oben ein flacheres, unten ein spitzeres. Das Drachenviereck kann zusätzlich aus dem Quadrat gefaltet werden: Eine Mittellinie falten, die zwei Ecken verbindet Das Quadrat mit der Ecke nach unten auf den Tisch legen und die linke und rechte Quadratseite aus dieser Sicht zur Mittellinie falten. 2

3 Modul 3: Dreiecke Sequenz 1: Dreiecke mit spitzen, flachen (stumpfen), rechtwinkligen Ecken (Winkeln) Ein Dreieck erkennen wir an den drei Ecken oder den drei Seiten. Man kann auch sagen, wenn sich drei Geraden in drei Punkten schneiden, entsteht ein Dreieck. Es gibt unterschiedliche Dreiecke. Wenn wir Dreiecke zeichnen wollen, können wir zunächst eine Dreieckseite zeichnen, eine Gerade mit den Punkten A und B. Den dritten Punkt C könnten wir ganz dicht über oder unter der Strecke anordnen oder weiter von A und B entfernt. Wenn wir den Punkt C mit A und B verbinden, können flache (stumpfe) oder spitze Dreiecke entstehen. Man sagt auch spitzwinklige Dreiecke und stumpfwinklige Dreiecke. Sequenz 2: Dreiecke mit einer Mittellinie zwei gleichlange Seiten (Schenkel), unter dem Halbkreis rechtwinklig Dreiecke können auch eine Mittellinie haben. Wenn wir die Seite AB auf das Achsenkreuz setzen mit dem gleichen Abstand links und rechts, kann der Punkt C (die Spitze des Dreiecks) auf der Mittellinie angeordnet werden. Alle Punkte C sind dann gleichweit von A und B entfernt. Wenn verschiedene Punkte C mit A und B zu Dreiecken verbunden werden, können wieder spitze und flache Dreiecke entstehen. Weil die Spitze in der Mitte ist, haben diese Dreiecke zwei gleichlange Seiten. Man sagt auch gleiche Schenkel. Diese Dreiecke heißen deshalb auch gleichschenklige Dreiecke. Setzt man den Halbkreis über A und B, wird die Spitze C rechtwinklig. Sequenz 3: Dreiecke mit drei gleichlangen Seiten gleichseitige Dreiecke, drei Mittellinien, Parkettieren Wie gelingt es nun Dreiecke zu zeichnen oder zu falten, bei denen alle drei Seiten gleichlang sind? Mit dem Zirkel kann man gleiche Längen erzeugen, deshalb lassen sich gleichseitige Dreiecke gut mit dem Zirkel zeichnen. Eine Dreieckseite zeichnen wir mit dem Lineal und nehmen die Länge in die Zirkelspanne (nehmen die Länge mit dem Zirkel auf). Mit dem Zirkel kann man jetzt die Länge in Richtung Spitze vom Punkt A und B aus dransetzen. Dort, wo sich die kleinen Kreisbogenstücke schneiden, finden wir die Spitze des Dreiecks, den Punkt C. Für das Falten stellen wir uns ein Dreieck mit einer Mittellinie vor. Dann haben wir schon zwei gleichlange Schenkel. Diese müssen dann aber auch so lang sein wie die Grundseite. Wir klappen deshalb durch den Punkt A oder B die Grundseite zur Mittellinie und finden so den Punkt C auf der Mittellinie. Wenn wir C mit A und B verbinden, erhalten wir ein gleichseitiges Dreieck. Wir scheiden es aus und suchen nach weiteren Mittellinien (Symmetrieachsen). Gleiche Dreiecke kann man so aneinander legen, dass man eine Fläche damit zudecken kann, ohne dass Lücken bleiben - wie bei einem Parkett. Man nennt dieses Auslegen mit gleichen (deckungsgleichen) Figuren Parkettieren. 3

4 Modul 4: Vierecke Sequenz 1: 4 Punkte, 4 Ecken, Vierecke, mit rechtwinkligen Ecken und geraden (senkrechten) Seiten Rechtecke (Quadrat) Wenn man vier Punkte auf das Zeichenpapier setzt (die Punkte A, B, C, D) und diese der Reihe nach miteinander verbindet, erhält man eine viereckige Figur, ein Viereck. Ein Viereck kann besondere Eigenschaften haben. Zum Beispiel können alle vier Ecken rechtwinklig sein. Ein solches rechtwinkliges Viereck heißt deshalb Rechteck. Hat das Rechteck gleichlange Seiten, ist es ein Quadrat. In die Ecken dieser rechteckigen Figuren passt der Faltwinkel. Sequenz 2: 4 Strecken, 4 Seiten, Vierecke, mit gleichlangen Seiten, Quadrat Ein Viereck entsteht auch, wenn sich vier Geraden in vier Punkten schneiden (in den Punkten A, B, C und D). Die vier entstandenen Strecken sind die Seiten des Vierecks (Seiten a, b, c, d). Bei einem einfachen Viereck sind die Seiten unterschiedlich lang. Es gibt aber auch Vierecke, bei denen alle Seiten gleichlang sind. So ist es z. B. bei dem Quadrat. Auch die Raute hat vier gleichlange Seiten. Beide Vierecke lassen sich gut auf das (Achsen-)Kreuz setzen. Zeichnet man das Kreuz auf Kästchenpapier, entsteht ein Quadrat, wenn man in alle vier Richtungen des Kreuzes (auf allen vier Strahlen) vom Mittelpunkt aus die gleiche Kästchenanzahl abzählt, die Eckpunkte markiert und verbindet. Ohne Kästchenpapier kann man mit dem Zirkel vom Mittelpunkt des Kreuzes aus gleiche Abstände für die Eckpunkte des Quadrates setzen. Möchte man eine Raute auf das Kreuz setzen, zählt man jeweils auf den Strahlen, die sich gegenüberliegen, die gleiche Kästchenanzahl ab. Diese Abstände kann man natürlich auch mit dem Zirkel setzen. Es gibt auch Vierecke, bei denen sind immer nur zwei Seiten gleichlang, wie beim Rechteck zum Beispiel. Auch das Drachenviereck hat jeweils zwei gleichlange Seiten. Man kann es auch auf das Kreuz setzen: Wenn das Kreuz senkrecht vor uns liegt, setzt man links und rechts von der Mitte den gleichen Abstand und markiert die beiden Eckpunkte. Nach oben nimmt man für den dritten Eckpunkt einen kürzeren Abstand von der Mitte als nach unten, wo man den vierten Eckpunkt markiert. Man kann sich dabei die Drachenform vorstellen. Auch das gleichschenklige Trapez hat zwei gleichlange Seiten. Wie der Name des Vierecks schon sagt, sind es die Schenkel, die gleichlang sind. Ausgehend von einem gleichschenkligen Dreieck, bei dem man die Spitze auf der Mittellinie zur Grundseite (nach unten) faltet, kann man es leicht herstellen. Sequenz 3: Vierecke mit parallelen Seiten, Parallelogramme (Raute, Trapez, Rechteck, Quadrat) Erinnern wir uns an das Herstellen des Faltwinkels in Modul 1. Wenn man eine Kante des Faltwinkels genau aufeinander faltet und dann das Papier aufklappt, findet man Faltlinien, die sich genau gegenüber liegen (die überall den gleichen Abstand haben). Diese Linien nannten wir parallele Linien. Ergänzt man die Faltlinien mit Bleistift und Lineal zu Vierecken, erhält man Vierecke mit parallelen Seiten. Ist ein Paar Seiten parallel, sind es Trapeze. Ist 4

5 auch das andere Seitenpaar parallel, heißen die Vierecke Parallelogramme. Kommen weitere Eigenschaften hinzu (z. B. die Ecken sind rechtwinklig oder die Seiten sind gleichlang), entstehen Rechtecke, Quadrate oder Rauten. Es sind alles Vierecke mit parallelen Seiten. Nur das Drachenviereck macht eine Ausnahme. Sequenz 4: Mittellinien in Vierecken (Symmetrieachsen, Spiegelachsen) Vierecke können keine, eine oder mehrere Mittellinien haben. Man muss immer gleiche Hälften aufeinander falten können. Wenn man gleiche Hälften aufeinander falten kann, sagt man auch, das Viereck ist symmetrisch. Die Mittellinien heißen auch Symmetrieachsen. Bei manchen Figuren kann man sich gut vorstellen, dass sie eine Symmetrieachse haben, z. B. beim Drachenviereck und beim gleichschenkligen Trapez. Beim Rechteck und bei der Raute findet man sogar zwei Mittellinien. Beim Rechteck kann man einmal längs und einmal quer falten. Bei der Raute einmal so, dass die großen Winkel (die großen Ecken) aufeinander liegen und einmal so, dass die kleinen Winkel (die kleinen Ecken) aufeinander liegen. Das Quadrat ist das Viereck mit den meisten Mittellinien: viermal kann man Hälften aufeinander falten, zweimal durch die Seitenmitten und zweimal durch die Ecken. Das einfache Viereck und das einfache Trapez haben keine Mittellinie. Sequenz 5: Haus der Vierecke Man kann Vierecke nach ihren Eigenschaften wie in einem Haus anordnen. Ganz oben (im Dach) bekommt das einfache (allgemeine) Viereck seinen Platz. Es hat vier Ecken, vier Seiten und keine Mittellinie. Unter dem Dach (auf der nächsten Ebene) wohnen das gleichschenklige Trapez (links), das Parallelogramm (in der Mitte) und das Drachenviereck (rechts). Diese drei Vierecke haben schon viele besondere Merkmale, zum Beispiel findet man in allen drei Vierecken gleichlange Seiten und gleichgroße Ecken (Winkel). Zum Teil haben sie auch parallele Seiten (Trapez, Parallelogramm). Das gleichschenklige Trapez und das Drachenviereck haben eine Mittellinie (Symmetrieachse, Spiegelachse). In der Etage darunter wohnen zwei Vierecke, das Rechteck (links) und die Raute (rechts). Es kommen noch mehr Eigenschaften dazu. Beim Rechteck sind alle Winkel gleichgroß und bei der Raute alle Seiten. Die Vierecke werden nach unten hin immer regelmäßiger. Dadurch nimmt die Anzahl der Symmetrieachsen zu. Rechteck und Raute haben schon zwei Symmetrieachsen und das Quadrat, das ganz unten in der Mitte wohnt, hat sogar vier Symmetrieachsen. Das Quadrat ist das regelmäßigste Viereck durch seine gleichlangen Seiten und gleichgroßen Winkel. Modul 5: Streifengeometrie Sequenz 1: Streifen, parallele Kanten, parallele Seiten, Trapez, rechtwinkliges Trapez, gleichschenkliges (symmetrisches) Trapez; Raute; rechteckige Figuren mit parallelen Seiten: Rechteck, Quadrat; Zylinder aus einem Streifen gerollt An einem Streifen (Papierstreifen, ca. 2,5 cm breit) finden wir parallele Kanten, Kanten, die sich genau gegenüberliegen (die überall den gleichen Abstand haben). Zerschneidet man den Streifen so, dass Vierecke entstehen (demonstrieren), nehmen die Vierecke die Eigenschaft (einmal parallele 5

6 Seiten) vom Streifen mit. Vierecke mit parallelen Seiten heißen Trapeze (griech. trapèzion: Tischchen). Schneidet man Trapeze aus einem rechteckigen Streifen, dann sieht man, dass auch rechtwinklige Trapeze möglich sind (entstehen an den Enden des Streifens, Trapeze mit zwei rechten Winkeln). Faltet man den Streifen einmal und schneidet vom doppelt liegenden Streifen rechts bzw. links von der Faltkante ein Viereck ab und klappt dieses auseinander, entsteht ein gleichschenkliges oder symmetrisches Trapez (mit einer Mittellinie bzw. Symmetrieachse). Faltet man den Streifen nur ein Stück aufeinander, so, dass ein V entsteht und hält man das V gegen das Licht, entdeckt man dort, wo zwei Streifenstücke übereinander liegen (in der Spitze des V ) ein (gleichschenkliges) Dreieck. Schneidet man das doppelt liegende Dreieck aus, erhält man ein besonderes Trapez, ein Viereck mit zweimal parallelen Seiten, ein Parallelogramm. Dieses Parallelogramm hat sogar gleichlange Seiten und wird deshalb auch Raute (oder Rhombus) genannt. Faltet man den Streifen so aufeinander, dass Kanten genau aufeinanderliegen, entstehen rechtwinklige Figuren, Rechtecke. Rechtecke sind also auch ganz besondere Trapeze. Faltet man am Ende des rechtwinkligen Streifens eine Ecke so nach unten oder oben auf eine Kante, dass Kanten genau aufeinanderliegen, entsteht ein doppelt liegendes (gleichschenkliges) Dreieck. Schneidet man das Dreieck ab und klappt es auf, erhält man eine gleichseitige rechtwinklige Figur, ein Quadrat. Rollt man einen rechtwinkligen Streifen zusammen, erhält man einen Zylinder (genauer: den Mantel eines Zylinders). Man kann auch sehen, dass die Flächen oben und unten (Grund- und Deckfläche) Kreisflächen sind. (Das Netz eines Zylinders besteht also aus einem Rechteck und zwei gleichgroßen Kreisflächen.) Sequenz 2: Streifen mit gleicher und unterschiedlicher Breite übereinander: Quadrat-Raute, Rechteck-Parallelogramm Legt man zwei Streifen gleicher Breite rechtwinklig aufeinander (Geodreieck in eine Ecke halten) und hält diese gegen das Licht, sieht man dort, wo die gleichbreiten Streifen aufeinander liegen, ein besonderes Viereck ein Quadrat. Legt man den oberen Streifen schräg auf den unteren und macht wieder die Lichtprobe, sieht man, dass die Ecken des Vierecks nicht mehr rechtwinklig sind. Die gleiche Seitenlänge bleibt jedoch erhalten, da die Streifen gleich breit sind. Man erhält eine Raute. Legt man zwei Streifen unterschiedlicher Breite rechtwinklig aufeinander und hält diese gegen das Licht, sieht man, dass jetzt ein Rechteck entstanden ist. Legt man den oberen Streifen schräg auf den unteren und macht die Lichtprobe, entsteht ein Parallelogramm. Sequenz 3 Experimente: Fünfeck (Stern); Möbiusband (eine Fläche mit nur einer Seite,) Legt man einen Streifen wie zu einem Kragen und zieht das eine Ende durch den Kragen durch (so, wie man einen Knoten bindet), kann man ein (regelmäßiges) Fünfeck knoten. Die überstehenden Streifenenden kann man nach hinten falten oder auch abschneiden. Verbindet man im Fünfeck jede zweite Ecke miteinander, erhält man einen Stern mit fünf Zacken (Pentagramm). Schaut man sich einen Papierstreifen an, kann man eine Fläche oben und eine Fläche unten sehen. Dreht man einen Papierstreifen einmal und klebt ihn dann zusammen, verschwindet eine Fläche, es 6

7 entsteht ein sogenanntes Möbiusband eine Fläche mit nur einer Seite. Überprüfen kann man das Verschwinden einer Fläche indem man von der Klebstelle aus mit dem Finger auf dem Band entlangläuft. Man kommt an der Ausgangsposition wieder an. Im Zusammenhang mit dem Möbiusband sind noch weitere Experimente möglich. So lässt sich ein Streifen beispielsweise auch zweimal drehen und zusammenkleben. Man könnte noch einen Streifen hinzunehmen, der zu einem einfachen Ring zusammengeklebt wird. Die Aufgabe, die gestellt werden könnte: Was geschieht jeweils, wenn man den einfachen Ring, das Möbiusband (einmal gedreht) und das zweimal gedrehte Band der Länge nach durchschneidet? Es entstehen zwei Ringe, ein großer Ring (beim Möbiusband) und zwei ineinander hängende Ringe (beim doppelt gedrehten Band). Modul 6: Geometrie im Kreis Sequenz 1: Kreis, Geraden im Kreis (Radius, Durchmesser, Sehne); Symmetrie im Kreis; der Kreis und seine Teile Wie entsteht ein Kreis? Man braucht einen (festen) Punkt. An diesen Punkt lege einen kleinen Bleistift oder ein Stäbchen (z. B. Streichholz) an. Der Bleistift oder das Stäbchen wird ganz langsam um den festen Punkt gedreht und bei jeder kleinen Drehung ans Ende des Stäbchens ein kleiner Punkt gesetzt, so, dass zahlreiche Punkte, die um den festen Punkt immer mit dem gleiche Abstand geführt wurden, entstehen. Man kann schon sehen, dass dabei eine Kreislinie entsteht. Man kann die entstandenen Punkte vorsichtig miteinander verbinden. Es entsteht ein Kreis. Der Kreis ist also eine Linie, die von einem festen Punkt überall den gleichen Abstand hat. Den festen Punkt nennt man meistens M (Mittelpunkt) und das Stäbchen, das wir um diesen Punkt geführt haben, ist (entspricht dem) Radius (wie bei einem Rad, die Speiche eines Rades). Wenn wir mit dem Zirkel Kreise zeichnen, übernimmt der Abstand von Zirkelspitze zur Bleistiftspitze die Rolle des Stäbchens. Mit der Zirkelspanne kann man also einstellen, wie groß der Kreis werden soll. Man kann von einem Punkt der Kreislinie zu einem anderen Punkt Geraden zeichnen. Solche Geraden im Kreis heißen Sehnen. Die längsten Sehnen kann man durch den Mittelpunkt des Kreises zeichnen. Diese Sehnen heißen auch Durchmesser (den Kreis durchmessen). Man kann unendlich viele Durchmesser durch den Mittelpunkt eines Kreises zeichnen. Nimmt man einen Papierkreis hinzu, lassen sich die Durchmesser falten. Faltet man einen Durchmesser, entstehen zwei Halbkreise. Faltet man auf dieser Faltkante noch einmal so, dass diese halbiert wird und Kreisteile genau aufeinander liegen, entsteht ein Viertelkreis (Faltwinkel/rechter Winkel) nach dem Aufklappen sieht man vier Viertelkreise. Man könnte auch zwei Durchmesser in einen Kreis zeichnen, die ein Kreuz bilden (sich senkrecht schneiden/sich rechtwinklig schneiden). Schneidet man ein Viertel heraus, erhält man einen Dreiviertelkreis. Führt man die beiden offenen Kanten zusammen, entsteht ein Kegel. Halbiert man die Viertelkreise noch einmal, entstehen acht gleich große Teile im Kreis Achtel. Faltet man Durchmesser in Papierkreise, entstehen immer Halbkreise. Die Durchmesser sind sozusagen die Mittellinien des Kreises zwei Hälften liegen genau aufeinander. Wenn man einen Spiegel auf den Durchmesser stellt, würde man die andere Hälfte im Spiegel sehen. Die Durchmesser sind also auch Spiegelachsen oder Symmetrieachsen des Kreises. Man kann im Kreis unzählig viele Symmetrieachsen falten immer wieder fallen zwei gleiche Hälften genau aufeinander. 7

8 Sequenz 2: Figuren im Kreis (Quadrate, halbes Quadrat/rechtwinkliges Dreieck, Sechseck, gleichseitiges Dreieck) Ein Kreuz im Kreis bzw. ein geviertelter Kreis (gezeichnet oder gefaltet) hinterlässt vier Punkte auf der Kreislinie. Damit diese als solche wahrgenommen werden, kann man sie mit Bleistift noch einmal markieren ( nachpunkten ). Verbindet man die vier Punkte entlang der Kreislinie miteinander, entsteht ein besonderes Viereck, ein Quadrat. Faltet man den Kreis mit dem Quadrat so, dass zwei Halbkreise aufeinander liegen, kann man entdecken, dass ein halbes Quadrat (im Kreis) ein besonderes Dreieck, ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei gleichlangen Seiten sein muss (weil es die Eigenschaften vom Quadrat mitnimmt ). Faltet man die Kreislinie eines Papierkreises oben und unten sowie links und rechts zum Mittelpunkt des Kreises entsteht ein Quadrat. Faltet man das Quadratpaket wieder auf, entdeckt man 12 Punkte auf der Kreislinie. Punktet man diese nach, könnte man ein Zwölfeck in den Kreis zeichnen. Gleichzeitig erhält man die Einteilung, die man für das Ziffernblatt einer Uhr benötigt. Man könnte die vollen Stunden auf das Ziffernblatt schreiben. Dabei wird deutlich, warum man wahrscheinlich nicht alle 24 Stunden des Tages auf solch einem Ziffernblatt anordnet. Mit einem Vierundzwanzigeck im Kreis würde es ein ganz schönes Gedränge geben. Wenn man 12 Stunden auf dem Kreis anordnet, muss man eben zweimal im Kreis entlang laufen, bis der Tag zu Ende ist. Aber die 12er-Vorlage ist noch aus anderen Gründen interessant: Verbindet man jeden zweiten Punkt entlang der Kreislinie, entsteht ein (regelmäßiges) Sechseck, verbindet man jeden vierten Punkt, entsteht ein besonders schönes (weil gleichseitiges) Dreieck und verbindet man jeden dritten Punkt entsteht wieder ein regelmäßiges Viereck das Quadrat. Man kann auch so denken: Jeden zweiten Punkt verbinden, 12:2=6 (ein Sechseck entsteht), jeden vierten Punkt verbinden, 12:4=3 (ein Dreieck entsteht), jeden dritten Punkt verbinden 12:3=4 (ein Viereck entsteht). Sequenz 3: Kreisfläche, Körper, die man auf einer Kreisfläche aufbauen kann - Kegel, Zylinder, Halbkugel Alle Punkte des Kreises und alle Punkte des Randes bilden die Fläche des Kreises oder einfacher. Schaut man sich die Kreisfläche an bzw. legt man einen Papierkreis vor sich hin, kann man sich die Kreisfläche vielfach aufeinander geschichtet (gestapelt) vorstellen. Es entsteht eine Säule mit einer Kreisfläche unten und oben als Abschluss. Eine solche Säule heißt Zylinder (Wir denken bei der Form auch an einen zylinderförmigen Hut.). Legen wir die Kreisfläche erneut vor uns hin und stapeln Kreise auf, die nach oben immer kleiner werden, so dass schließlich nur noch ein Punkt für die Spitze übrig ist, entsteht ein Kegel. Stellen wir uns erneut eine Kreisfläche vor, auf die wir Kreisflächen schichten, die immer kleiner werden, entsteht eine Halbkugel. 8

9 Modul 7: Dreiecke im Quadrat Sequenz 1: Dreiecke im Faltquadrat, Eigenschaften dieser Dreiecke (rechtwinklig, Mittellinie/Symmetrieachse, gleichschenklig); unter dem Halbkreis Ein Papierquadrat kann man so falten, dass Dreiecke entstehen. Beachtet man beim Falten, dass Faltkanten immer genau aufeinanderliegen, haben alle Dreiecke die gleiche (eine ähnliche) Form: Es sind rechtwinklige Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten, die wir auch schon im Halbkreis entdeckt haben. Man sagt auch, es sind gleichschenklige Dreiecke mit einem rechten Winkel. Schneiden wir einige dieser Faltdreiecke aus, kann man feststellen, dass alle diese Dreiecke eine Mittellinie (Symmetrieachse, Spiegelachse) haben. Sequenz 2: Zusammengesetzte Figuren: aus 2 Dreiecken (Quadrat, Dreieck, Parallelogramm, Flächeninhalt/Umfang); aus 4 Dreiecken (2 kleine Quadrate, großes Quadrat, Rechteck, Dreieck, gleichschenkliges Trapez; Parallelogramm, Pyramide) Mit den Dreiecken aus dem Quadrat lassen sich weitere geometrische Figuren legen. Man muss dabei beachten, dass immer gleichlange Kanten aneinander liegen. Aus zwei Dreiecken lässt sich natürlich wieder das Quadrat legen. Man findet aber auch ein großes Dreieck mit den gleichen Eigenschaften wie in den Teildreiecken (rechter Winkel, gleichlange Schenkel). Und es lässt sich ein Parallelogramm aus den beiden Dreiecken legen. Markiert man die rechten Winkel in den beiden Teildreiecken, lässt sich gut beobachten, wo sich diese in den zusammengesetzten Figuren wiederfinden lassen. Die drei Figuren (Quadrat, Dreieck, Parallelogramm) haben die gleiche Flächengröße. Untersucht man den Umfang der Figuren, stellt man Unterschiede fest je nachdem wie oft die ursprünglichen Quadratseiten (Schenkel des Dreiecks) oder die lange Seite des Dreiecks (Diagonale des Quadrats) die Seiten der zusammengesetzten Figuren bilden. Es lässt sich also feststellen: Figuren mit gleicher Fläche können sich im Umfang voneinander unterscheiden. Zerschneidet man ein Quadrat in vier gleichgroße Dreiecke und legt mit diesen geometrische Figuren gibt es noch mehr Möglichkeiten. Zu den drei schon entdeckten Figuren (Quadrat, Dreieck und Parallelogramm) kommen zwei kleine Quadrate hinzu, aus denen sich ein Rechteck legen lässt. Wenn man das Parallelogramm entdeckt hat und verändert die Lage eines Dreiecks, entsteht ein gleichschenkliges Trapez. Und es sind die verschiedensten Phantasiefiguren möglich. Schneidet man das in vier Dreiecke zerlegte Quadrat nicht auseinander, sondern nur an einem Dreieckschenkel bis zur Mitte ein und legt die beiden Dreiecksflächen an der offenen Schnittkante aufeinander, entsteht eine (dreiseitige) Pyramide (genau: Mantel einer Pyramide). Sequenz 3: Geodreieck (Form aus Papier herstellen, Eigenschaften erkunden, parallele und senkrechte Linien falten, parallele und senkrechte Geraden zeichnen, Entdeckungen auf das große Geodreieck übertragen) Gewinnbringend für den Geometrieunterricht ist die Thematisierung des Dreiecks aus dem Quadrat noch aus einer anderen Sicht: Auch das Geometriedreieck hat diese Form (gleichschenklig und rechtwinklig). Das Zeichnen mit dem Geometriedreieck kann man mit einem einmal (in zwei übereinander liegende Dreiecke) gefalteten Papierquadrat beginnen. Die beiden übereinander liegenden Dreiecke können zusammengeklebt werden und man entwickelt selbst ein kleines Geometriedreieck. Das Geometriedreieck wird über seine spezielle Form eingeführt: Ein Dreieck mit zwei gleich- 9

10 langen Schenkeln und einer langen Seite (Diagonale vom Quadrat), in der Spitze ein rechter Winkel. Diese Dreieckform kann man immer so falten, dass zwei gleiche Hälften aufeinanderliegen. Das Dreieck hat also immer eine Mittellinie (Symmetrieachse, Spiegelachse). Die Mittellinie führt senkrecht von der Spitze zur langen Seite. Wenn man die gefaltete Mittellinie genau auf eine Gerade oder Strecke auflegt und an der langen Kante (der Zeichenkante) entlang zeichnet, entsteht immer eine senkrechte Linie (Gerade). Deshalb ist diese Mittellinie beim Zeichnen mit dem Geodreieck so wichtig. Faltet man die Spitze des kleinen Geodreiecks bis dahin, wo die Mittellinie die lange Seite berührt, entsteht die zweite wichtige Linie eine Linie, die parallel zur Zeichenkante verläuft. Legt man diese Faltlinie auf eine Gerade oder Strecke auf und zeichnet entlang der Zeichenkante, entstehen parallele Geraden und Strecken. Mit Hilfe der beiden Faltlinien lassen sich Parallelen, Senkrechte und Rechtecke zeichnen. Das Messen kann noch außen vor bleiben. Die Eigenschaften und wichtigen Linien zum Zeichnen, die im kleinen Geometriedreieck entdeckt werden, können auf das Zeichengerät Geodreieck sofort oder später übertragen werden. Schon, wenn man das Papierzeichendreieck auf das große Geodreieck drauflegt, lässt sich entdecken, dass dies ähnliche Figuren sind. Für das kleine Geometriedreieck, das die ersten Zeichenschritte begleiten kann, sollte man etwas derberes Papier verwenden. Modul 8: Dreiecke mit drei gleichlangen Seiten gleichseitige Dreiecke Sequenz 1: gleichseitige Dreiecke; Linien im Dreieck; Symmetrien Wiederholend könnte auf verschiedene Dreiecksarten eingegangen werden: irgendein Dreieck mit drei Ecken und drei Seiten. Ein Dreieck könnte man ausgehend von einer rechtwinkligen Ecke zeichnen. Dann wird es ein rechtwinkliges Dreieck. Denkt man ausgehend von einer Strecke AB und nutzt den Zirkel, finden wir Dreiecke mit zwei und solche mit drei gleichlangen Seiten, also gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Über die Mittellinie eines quadratischen Papiers lassen sich diese besonderen Dreiecke auch falten (s. auch Module 3 und 7). Werden gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke gefaltet, findet man schon im Herstellungsprozess die Mittellinien bzw. Symmetrieachsen dieser besonderen Dreiecke. Beim gleichschenkligen Dreieck ist schon die erste Faltlinie, die Mittellinie des quadratischen Papiers, die Symmetrieachse und beim gleichseitigen Dreieck lassen sich über das sogenannte Tütenmodell (s. Abb. in Modul 8) alle drei Symmetrieachsen falten. Nachdem das gleichseitige Dreieck ausgeschnitten wurde, können diese noch einmal entdeckt und nachgezeichnet werden. Fortgeschrittene Schülerinnen und Schüler können Eckpunkte und Seiten der Dreiecke beschriften. Dann kann die Lage der Symmetrieachsen noch bewusster werden: Die Achsen gehen immer von den Seitenmitten zum gegenüberliegenden Eckpunkt, also von Seite c zum Eckpunkt C usf. 10

11 Sequenz 2: Beziehungen zu anderen Figuren (Sechseck, Raute, Trapez, Würfel); Parkettieren; räumliche Darstellungen Wie schon das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck eignet sich auch das gleichseitige Dreieck zum Legen zusammengesetzter Figuren bis hin zu parkettartigen Darstellungen. Die Kinder können entdecken, dass zwei gleichseitige Dreiecke aneinander gelegt ein besonderes Parallelogramm, die Raute, ergeben und evtl. auch begründen, dass die gleichlangen Seiten des Dreiecks auch zu einem Viereck mit gleichlangen Seiten führen. Zwei solche Rauten aneinander gepackt, führen zum Parallelogramm. Drei Dreiecke aneinander gelegt, ergeben ein gleichschenkliges Trapez. Wie die Dreiecke aneinander liegen, damit diese Trapezform entsteht, kann man sich einprägen. Auf dieser Grundlage lassen sich sowohl das regelmäßige Sechseck vorstellen (zwei solche Trapeze aneinander) und das große Dreieck (einfach noch ein Dreieck auf das Trapez gesetzt), das wieder ein gleichseitiges ist. Nicht nur das Aneinanderlegen von gleichseitigen Dreiecken führt zu interessanten Einsichten, auch das Falten des Dreiecks so, dass Teilfiguren entstehen, führt zu Entdeckungen, z. B. dass wieder (kleinere) gleichseitige Dreiecke entstehen. Die engen Beziehungen zwischen gleichseitigem Dreieck und regelmäßigem Sechseck (wenn man die Ecken des Dreiecks zur Mitte faltet und dann wieder drei Seiten zur Mitte) werden auch hier deutlich. Fortgeschrittene Kinder kann man darauf hinweisen, dass gleichseitige Dreiecke eine Mitte haben und davon ausgehend ein Kreis in das Dreieck (Inkreis) und ein Kreis um das Dreieck (Umkreis) gezeichnet werden kann. Ein Verweis auf Parallelen zum Quadrat ist möglich. Das Quadrat als Viereck mit gleichlangen Seiten und gleichgroßen Winkeln hat diese Mitte als Ausgangspunkt für die beiden Kreise auch. Die Beziehung zwischen gleichseitigem Dreieck und regelmäßigem Sechseck könnte auch zum Kreis führen. Der Radius passt sechsmal auf die Kreislinie und man erzeugt damit die Eckpunkte für ein regelmäßiges Sechseck. Nutzt man jeden zweiten Punkt, lässt sich ein gleichseitiges Dreieck in den Kreis setzen. Zeichnet man in das Sechseck die Verbindungslinien zu den Ecken, die Diagonalen, ein, entdeckt man sechs gleichseitige Dreiecke. Verbindet man gedanklich immer zwei dieser Dreiecke, erkennt man Rauten. Schraffiert man aneinander liegende Rauten jeweils unterschiedlich, entsteht die Ansicht eines Würfels. Sequenz 3: Pyramide (Tetraeder, Platonische Körper) Ausgehend vom gleichseitigen Dreieck kann durch verschiedene Falttechniken ein Tetraeder, eine besondere dreiseitige Pyramide, erzeugt werden. Ein gleichseitiges Dreieck aus Papier mit den drei Symmetrieachsen kann eine Grundlage dafür sein. Die Ecken des Dreiecks werden jeweils zum Fußpunkt der Pyramide gefaltet und die entstehenden kleinen gleichseitigen Dreiecke aufgestellt, so dass ein Tetraeder entsteht. Der Tetraeder besteht aus vier deckungsgleichen gleichseitigen Dreiecken und gehört deshalb zur Gruppe der platonischen Körper. Bei platonischen Körpern sind jeweils alle Flächen kongruent (deckungsgleich) zueinander. Auch der Würfel gehört also in diese Gruppe. Der Tetraeder lässt sich (von älteren Schülerinnen und Schülern) noch stabiler aus einem rechteckigen Papier in einem DIN- 11

12 Format herstellen. Das Papier wird zu einem Schrank gefaltet und eine der beiden unteren Ecken zur Mitte des Schrankes hochgefaltet. War dies zum Beispiel die rechte Ecke wird das entstandene halbe gleichseitige Dreieck zuerst auf die rechte Kante des Schrankes gefaltet, dann auf die linke Kante und abschließend noch einmal nach rechts. Es entstehen dabei gleichseitige Dreiecke. Ein kleines Stück Papier steht dann noch über. Wenn man die Dreiecke jetzt aufstellt, lassen sie sich zu einem Tetraeder zusammen fügen, mit etwas Geschick auch zusammenstecken (restliches Papierstück in das erste halbe gleichseitige Dreieck schieben, s. auch Abbildungen zum Modul). Modul 9: Geometrische Körper ganzheitlicher Einstieg Sequenz 1: Geometrische Körper Figuren mit Volumen (Wie man aus Flächen Körper baut) Wir legen eine Fläche vor uns hin (einen Kreis, ein Rechteck, ein Quadrat, ein Dreieck) und stellen uns vor, darauf einen Körper zu bauen. Wir überlegen: Was könnte es für ein Körper werden? Vor uns liegt ein Kreis Es lässt sich ein Körper bauen, indem man immer wieder gleich große Kreise darauf legt. Durch den Kreis als Grundfigur entsteht ein Körper mit einer runden Seitenfläche, mach sagt auch, die Fläche (der Mantel) ist gekrümmt. Der Körper erinnert uns an eine Säule oder an den oberen Teil eines Hutes, den Herren bei festlichen Anlässen trugen, einen Zylinder. Legen wir den Körper auf diese gekrümmte Fläche, dann rollt der Körper. Schichten wir auf die Kreisfläche immer kleiner werdende Kreise bis nur noch ein Punkt übrig ist, erhalten wir einen Körper mit einer Spitze, einen Kegel. Der Kegel hat auch einen gekrümmten Mantel. Schichten wir auf die Kreisfläche immer kleiner werdende Kreise, kann auch eine Halbkugel entstehen. Fügen wir zwei gleichgroße Halbkugeln an den zugrunde liegenden Kreisflächen zusammen, entsteht eine Kugel. Dabei darf der Raum nie größer werden, wie mit dem Radius erreichbar. Das Entstehen der Halbkugel kann man sich auch vorstellen durch die Rotation des Radius (eines Seils) um den Mittelpunkt der Kugel bzw. den Mittelpunkt der Kreisfläche, auf dem die Halbkugel sitzt. Vor uns liegen ein Rechteck, ein Quadrat, ein Dreieck ein Sechseck, ein Achteck... Es lassen sich Körper bauen, indem man immer wieder gleich große Figuren darauf (senkrecht) stapelt. Auf diese Weise werden die Flächen an den Seiten immer rechteckig. Es entstehen Säulen mit Kanten (Prisma/Prismen). Vor uns liegt ein Quadrat und wir bauen den Körper nur so hoch wie die Quadratseiten lang sind, dann heißt die Säule (das Prisma) Würfel. Vor uns liegen ein Rechteck, ein Quadrat, ein Dreieck ein Sechseck, ein Achteck Wir schichten Rechtecke, Quadrate, Dreiecke, Sechsecke, Achtecke, auf, die immer kleiner werden, so, dass ganz oben eine Spitze entsteht. Es entstehen Pyramiden. Die Seitenflächen sind Dreiecke. 12

13 Sequenz 2: Eigenschaften entdecken durch Kneten und Skizzieren Körper aus Knetmasse herstellen: Kugel, Kegel, Zylinder. Die Kugel könnte halbiert werden, so, dass Halbkugeln entstehen. Interessant wäre sicherlich auch an verschiedenen Stellen der Kugel Teile abzuschneiden, so, dass man erkennt, die Schnittflächen sind immer Kreise. Schnittflächen ließen sich ebenso bei Kegel und Zylinder untersuchen. Schneidet man parallel zu den Kreisflächen, findet man immer wieder Kreise als Schnittflächen. Schneidet man senkrecht dazu, findet man beim Zylinder Rechtecke und beim Kegel Dreiecke. Welche Schnittflächen entstehen, sollte man vorher vermuten lassen. Den Schülerinnen und Schülern sollte die Wahl gelassen werden, welche Prismen sie herstellen möchten. Betont werden sollte die rechteckige Form der Seitenflächen bei dieser Körpergruppe. Körper skizzieren: Körper umschließen einen Raum. Wenn man sie auf s Papier (auf eine Fläche) zeichnet, muss man die Flächen oft etwas verändern. Kreise werden z. B. wie ein Oval (eine Ellipse) gezeichnet. Skizzen von Kugel, Halbkugel, Zylinder und Kegel vorgeben und nachzeichnen lassen, evtl. auch erst direkt auf der Vorlage mit dem Stift nachfahren. Die Körper noch einmal benennen. Die Begriffe den Skizzen zuordnen und notieren. Bei Körpern mit rechteckigen Seitenflächen (Prismen mit Vielecken als Grundfläche einschließlich Würfel und Quader) könnte ähnlich vorgegangen werden. Schon bekannte Begriffe für die einzelnen Körper sollten auch hier zugeordnet werden. Sequenz 3: Eigenschaften entdecken durch Falten Schnelle Körper aus Papier falten/rollen: Der Zylinder wird aus rechteckigem Papier gerollt Der Kegel kann aus einer Kreisfläche, aus der ein Viertel ausgeschnitten wird, hergestellt werden. Durch diese Körpermodelle findet man (später) den Bezug zu Körpernetzen. Aus einem rechteckigem Papier, das zu einem Schrank gefaltet wird, kann ein Quader (eine quadratische Säule, ein vierseitiges Prisma) oder ein dreiseitiges Prisma, eine dreiseitige Säule (wenn zwei Flächen übereinander gelegt werden) angedeutet werden. Es könnte weiterhin rechteckiges Papier mehrfach in gleiche Teile gefaltet und zu einem Prisma mit vieleckiger Grundfläche aufgestellt werden. Hierdurch werden insbesondere die rechteckigen Seitenflächen deutlich. Eine dreiseitige Pyramide und ein Würfel kann mit einem quadratischen Papier angedeutet werden: Für die Pyramide die Diagonalen falten und entlang einer Diagonalen bis zur Mitte einschneiden. Die zwei am Einschnitt angrenzenden Flächen aufeinander legen (kleben) und die Pyramide aufstellen. Für den Würfel die Mittellinien des Quadrates bei zwei Papierquadraten falten und jeweils entlang einer Mittellinie bis zur Mitte einschneiden. Die beiden kleinen Quadratflächen an der Schnittkante jeweils aufeinander legen (kleben) und die beiden auf diese Weise entstandenen Würfelhälften aufeinander legen. Eine dreiseitige regelmäßige Pyramide (ein Tetraeder) kann aus einem gleichseitigen Dreieck gefaltet werden (s. Modul 8) oder aus einer kleinen Papierrolle, die breiter als lang ist. In diesem Fall faltet und klebt man die eine runde Öffnung senkrecht zur Tischplatte zusammen und die andere runde Öffnung waagrecht dazu. Man erhält die ungefähre Form eines Tetraeders. 13

14 Modul 10: Spitzkörper Sequenz 1: Spitzkörper Körper mit einer Spitze kann man auch Spitzkörper nennen. Die Grundfläche kann ein Kreis oder ein Vieleck (Dreieck, Quadrat, Rechteck, Fünfeck, Sechseck, ) sein. Ist die Grundfläche ein Kreis, dann ist die Seitenfläche gekrümmt. Die Spitzkörper heißen Kegel. Ist die Grundfläche ein Vieleck, dann sind es Kanten, die ausgehend von den Ecken zur Spitze führen. Die Seitenflächen, die entstehen, sind immer Dreiecke. Diese Spitzkörper heißen Pyramiden. Sequenz 2: Kegel Die Spitzkörper mit runder Grundfläche und gekrümmter Seitenfläche heißen Kegel. Kegelformen sind vielfach in unserer Umwelt zu finden. So sind z. B. Turmspitzen häufig kegelförmig. Wenn wir einen Bleistift spitzen, erzeugen wir in der Regel eine Kegelform. Denken wir uns die Kegelspitze nach unten, erinnert uns die Form an eine Schuleinführungstüte oder an eine Eistüte. Die Kegelform kann man mit einem Papierkreis, aus dem man z. B. ein Viertel herausschneidet, erzeugen. An den Schnittkanten fügt man den Dreiviertelkreis zusammen. Das Netz des Kegels ergibt sich aus diesem Dreiviertelkreis und dem Kreis für die Grundfläche. Je nachdem, wie der Papierkegel hergestellt wird, ist er höher oder flacher. Die Höhe des Kegels kann man durch ein Holzstäbchen, das durch die Spitze senkrecht zum Boden (genau zum Mittelpunkt der Grundfläche) führt, markieren und messen. Sequenz 3: Pyramiden Spitzkörper mit einer eckigen Grundfläche sind Pyramiden. Die Grundfläche kann ein beliebiges Vieleck sein, die Seitenflächen sind immer Dreiecke. Ist die Grundfläche ein Dreieck, führen drei dreieckige Seitenflächen zur Spitze. Ist die Grundfläche ein Viereck, gibt es vier dreieckige Seitenflächen usf. Die Dreiecke sind gleichschenklig, im Sonderfall sogar gleichseitig. Bei der Pyramide, die Tetraeder heißt, ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck und die Seitenflächen sind auch gleichseitige Dreiecke. Bei dieser Pyramide sind alle Kanten gleich lang. Sie gehört deshalb auch in die Gruppe der platonischen Körper (zu Ehren Platos so benannt). Pyramiden findet man als Turmspitzen. Am bekanntesten sind die Pyramiden mit quadratischer Grundfläche in Gizeh in Ägypten. Am einfachsten lässt sich eine dreiseitige Pyramide aus Papier bauen. Faltet man in ein Papierquadrat die Diagonalen und schneidet an einer Diagonalen bis zur Mitte ein und legt (klebt) die beiden angrenzenden Flächen aufeinander, entsteht eine Raumecke oder die Hülle einer dreiseitigen Pyramide. Soll ein Tetraeder entstehen, faltet man in ein gleichseitiges Papierdreieck die Symmetrieachsen und faltet die Ecken jeweils zum Fußpunkt der Achsen und wieder zurück. Im Anschluss kann man die entstehenden dreieckigen Seitenflächen aufstellen und die Kanten mit etwas Tesafilm zusammenfügen. Lässt man die Flächen in der Ebene, entsteht das Netz einer dreiseitigen Pyramide. Denkt man sich bei dem Netz einer Pyramide die Seitenflächen immer der jeweiligen Flächenseite der Grundfläche zugehörig, haben die Pyramidennetze die Form eines 14

15 Sterns. Es kann reizvoll sein, weitere Pyramidennetze zu entdecken, z. B. bei einer Pyramide mit quadratischen Grundfläche mit dem sogenannten Polydronmaterial. Modul 11: Säulen Sequenz 1: Säulen Bei Säulen sind Grund- und Deckfläche gleich. Weil sie genau aufeinander passen, sagt man auch, die beiden Flächen sind deckungsgleich. Grund- und Deckfläche können gleichgroße Kreise oder gleichgroße Vielecke sein. Sind Grund- und Deckfläche Kreise, entsteht eine gekrümmte Seitenfläche. Die so entstehenden Körper heißen Zylinder. Sind Grund- und Deckfläche Vielecke, sind die Seitenflächen Rechtecke. Es handelt sich um ein Prisma bzw. um Prismen. Säulen bzw. Säulenhüllen kann man leicht aus DIN-Formaten, die in gleich große Streifen gefaltet werden, herstellen. Sequenz 2: Zylinder Grund- und Deckfläche sind deckungsgleiche Kreise. Die Seitenfläche ist eine gekrümmte Fläche. Zylinderformen gehören zu den häufigsten Umweltformen: Rohre, Leitungen, Stuhlund Tischbeine sind zylinderförmig. Flaschen repräsentieren in der Regel die Zylinderform, Stifte, Füller, Mäppchen ebenso. Bei den Lebensmitteln könnte man sich umschauen usf. Rollt man einen Zylinder durch Sand, entsteht eine Rechteckform. Diese Form weist auf das Netz des Zylinders hin: Wenn man bei einem Papierzylinder die gekrümmte Seitenfläche mit einem geraden Schnitt in Längsrichtung aufschneidet und die beiden Kreise so abschneidet, dass sie nur noch mit einem Punkt mit der Seitenfläche verbunden sind, entsteht das Netz eines Zylinders, ein Rechteck flankiert von zwei Kreisflächen. Der Zylinder lässt sich mit Papierrollen andeuten. Man kann auf unterschiedliche Höhen von Zylinderformen verweisen, z. B. auch auf extrem flache Formen. Sequenz 3: Prismen bzw. Säulen mit eckigen Grundflächen Um diese Körpergruppe sauber vorzustellen, müsste der Begriff Prisma bzw. die Mehrzahl Prismen genutzt werden. Die beiden Begriffe sind nicht mit Spracherfahrungen der Grundschulkinder verbunden, deshalb dem Wortschatz nicht leicht zugänglich und wohl eher etwas für leistungsstarke Kinder. Man könnte also auch bei dem Begriff Säule mit eckigen Grundflächen bleiben (Durch den Zusatz allerdings auch nicht ganz einfach.). Gelingt es mit dieser Körpergruppe zu arbeiten, hätte allerdings auch der Quader eine Heimstatt und wäre kein exotisches Einzelstück mehr. Prismen sind Körper, bei denen Grund- und Deckfläche gleichgroß (deckungsgleiche Vielecke) sind. Die Grundfläche kann man sich senkrecht aufgeschichtet vorstellen, dadurch sind die Seitenflächen bei dieser Körpergruppe Rechtecke. Allerdings wird das bei den Körpern in der Umwelt nicht immer so deutlich. Das dreiseitige Prisma, die allgegenwärtige Dachform, liegt auf einer Seitenfläche. Die dreieckigen Grundund Deckflächen bilden die Stirnseiten des Daches. Die am häufigsten betrachteten Prismen 15

16 in der Grundschule sind Quader und Würfel. Beim Quader ist die Grundfläche ein rechtwinkliges Viereck. In dem Begriff Quader steckt quadrum, viereckig. Die Seitenflächen sind Rechtecke. Die Anzahl der Seitenflächen ist abhängig von der Anzahl der Ecken der Grundfläche. Beim Quader ergeben sich also vier Rechtecke als Seitenflächen, bei der Dach- oder Tobleroneform, bei denen die Grundfläche ein Dreieck ist, sind es demzufolge drei Seitenflächen. Es könnte hilfreich sein, die Prismen mit einem besonders engen Umweltbezug zu erarbeiten, das sechsseitige Prisma in Verbindung mit der recht häufigen Schachtelform bei Pralinen, das dreiseitige Prisma wie schon erwähnt mit dem Bezug zur Dach- und Tobleroneform, das vierseitige Prisma (Quader) mit Bezug zu Behältnissen bzw. Gebäuden mit viereckiger Grundfläche. Der Würfel könnte in diesem Zusammenhang als Sonderform des Quaders betrachtet werden. Die Grundfläche ist ein Quadrat. Die Höhe der rechteckigen Seitenflächen entspricht der Kantenlänge der Grundfläche. Grund- und Deckfläche sowie die vier Seitenflächen sind demzufolge gleichgroße Quadrate. Es gibt 11 verschiedene Möglichkeiten die sechs Quadrate als Netz in die Ebene zu legen. Zunächst können von den Kindern Würfelnetze entdeckt werden. Es lassen sich diese im Anschluss ordnen als Netze mit vier Quadraten in der Mitte (sechs Varianten), drei Quadraten in der Mitte (vier Quadraten in der Mitte) und zwei Quadraten in der Mitte (eine Variante). Wenn man für die leistungsstärkeren Kinder auf noch mehr Systematik verweisen möchte, kann man mit der Anordnung mit vier Quadraten in der Mitte und einem Quadrat links und rechts oben beginnen und dann zunächst ein seitliches Quadrat schrittweise nach unten verschieben. Für die letzten beiden Varianten legt man das typische Würfelnetz und schiebt ein Quadrat nach unten. Die Dreiervarianten haben wir als Polizisten, der den Verkehr regelt, interpretiert, mit erhobenem Arm einmal ganz ausgestreckt mit drei Quadraten oder mit zwei Quadraten. Bei letzterer Variante kann man das Quadrat auf der rechten Seite dreimal verschieben Exkurs Platonische Körper: Die typische Eigenschaft von Spielwürfeln ist die gleiche Kantenlänge. Dadurch hat jede Fläche die gleiche Chance beim Würfeln oben zu liegen. In der Gruppe der platonischen Körper sind alle Körper mit dieser Eigenschaft zusammengefasst Zu den platonischen Körpern gehören unser bekannter Spielwürfel, der Hexaeder; ein Achtflächner, der Oktaeder, ein Zwölfflächner, der Dodekaeder und ein Zwanzigflächner, der Isokaeder. Exkurs Kugel: Die Kugel ist ein Körper mit einer völlig regelmäßig gekrümmten Oberfläche ohne Ecken und Kanten. Spezielle Aussagen zur Kugel außer, dass sie rund ist und wie ein Ball aussieht, sind für Grundschulkinder nur schwer zu entdecken und zu formulieren. Alle Punkte auf der Kugeloberfläche sind von einem gedachten Punkt im Inneren, der Kugelmitte, gleich weit entfernt. Dies könnte man mit einem schon in Modul 9 erwähntem Fadenmodell bewusst machen. Greifbarer für Grundschulkinder ist sicherlich die Vorstellung, dass es durch die durchgängige Krümmung der Kugeloberfläche kein Netz von der Kugel gibt. Man kann die Oberfläche nicht völlig flach in die Ebene legen. Dies kann z. B. mit Mandarinenschalen nachempfunden werden. 16

17 Modul 12: Tangram Sequenz 1: Begriff Tangram und Faltmodelle Das Tangram, ein altes chinesisches Legespiel, wurde ursprünglich im Sinne von Behausung verwendet. Aus den ersten Tangrambüchern sind entsprechende Bilder überliefert. Das Tangram besteht aus sieben Teilfiguren, die durch das Zerlegen eines Quadrates erhalten werden: Fünf gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke, ein Quadrat und ein Parallelogramm. Sequenz 2: Teilfiguren und ihre Eigenschaften Legt man die fünf Dreiecke geordnet untereinander, ist die gleiche Form dieser Figuren zu erkennen (Alle Dreiecke sind ähnlich zueinander.). Die Dreiecke haben die typische Form der Dreiecke im Quadrat: Sie sind gleichschenklig und der größte Winkel ( der an der Spitze ) ist ein rechter Winkel. Die beiden restlichen Figuren, Quadrat und Parallelogramm, lassen sich in zwei solcher Dreiecke zerlegen. Mit der kleinsten Dreieckform lassen sich alle Figuren, auch das mittlere und die größeren Dreiecke, auslegen. Quadrat und Parallelogramm kann man passend auf die großen Dreiecke legen und umfahren. Zwei kleine Dreiecke bleiben übrig. Alle Figuren sind also miteinander verwandt. Für ältere Schülerinnen und Schüler lassen sich Flächenbeziehungen der Teile zueinander auch durch Bruchbeziehungen ausdrücken: Die beiden großen Dreiecke machen 1 der Gesamtfläche aus, das mittlere Dreieck und 4 die beiden Vierecke jeweils 1 8 und die beiden kleinen Dreiecke je Sequenz 3: Legeaktivitäten Aus den Tangramteilen lassen sich zwei gleichgroße Quadrate legen. Eines davon erhält man, wenn man die beiden großen Dreiecke entsprechend zusammenfügt. Das andere entsteht aus den restlichen fünf Teilen. Das Zusammenlegen dieses Quadrates ist schon recht knifflig. Schafft man dies, lassen sich weitere geometrische Formen mit diesen beiden Quadraten legen, ein Rechteck, ein großes gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck und ein gleichschenkliges (symmetrisches) Trapez. Während für das Legen geometrischer Figuren die Regel gleichlange Seiten müssen genau aneinander liegen gilt, kann diese Regel beim Legen von Phantasiefiguren verlassen werden. Das Besondere beim Tangramlegespiel ist sicherlich, dass auch Figuren in Bewegung gelegt werden können. 17