Grundlagen Gleichstrom und Felder

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1 Leseprobe Kuckertz Grundlagen Gleichstrom und Felder ELEKTROTECHNIK / ELEKTRONIK tudienbrief Auflage 007 HDL HOCHCHULVERUND DITANCE LEARNING

2 Verfasser: Prof. Dipl.-Ing. Heinz Kuckertz Professor für Elektrotechnik und Regelungstechnik im Fachbereich Produktions- und Verfahrenstechnik an der Fachhochschule raunschweig / Wolfenbüttel Der tudienbrief wurde auf der Grundlage des Curriculums für das tudienfach Elektrotechnik / Elektronik verfasst. Die estätigung des Curriculums erfolgte durch den Fachausschuss Wirtschaftsingenieurwesen, dem Professoren der folgenden Fachhochschulen angehörten: H Anhalt, FHTW erlin, TFH erlin, HTWK Leipzig, H Magdeburg-tendal, H Merseburg, H Mittweida, FH chmalkalden, FH tralsund, TFH Wildau und WH Zwickau. Redaktionsschluss: Mai aktualisierte Auflage by ervice-agentur des Hochschulverbundes Distance Learning mit itz an der FH randenburg. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung und des Nachdrucks, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form ohne schriftliche Genehmigung der ervice-agentur des HDL reproduziert oder unter Verwendung elektronischer ysteme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. ervice-agentur des HDL (Hochschulverbund Distance Learning) Leiter: Dr. Reinhard Wulfert c/o Agentur für wissenschaftliche Weiterbildung und Wissenstransfer e. V. Magdeburger traße 50, randenburg Tel.: kontakt-hdl@aww-brandenburg.de Fax: Internet:

3 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder Inhaltsverzeichnis Verzeichnis der Formelzeichen... 4 Randsymbole... 6 Einleitung... 7 Literaturempfehlung Gleichstrom Elektrische Grundgrößen Elektrische Ladung und Leitungsmechanismus Elektrischer trom tromdichte Elektrische pannung Elektrische Leistung, Arbeit und Wirkungsgrad Der elektrische Widerstand Ohmscher Widerstand Ohmsches Gesetz emessungsgrößen von linearen Widerständen Temperaturverhalten von Widerständen Widerstandsnetzwerke Kirchhoffsche ätze, Netzberechnungen Knotensatz Maschenregel Netze mit mehreren Knoten und Maschen Felder Das elektrische Feld tromfluss und elektrische Feldstärke Das elektrostatische Feld Plattenkondensator Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren pannung und trom am Kondensator Energieinhalt eines aufgeladenen Kondensators auformen von Kondensatoren Das magnetische Feld Magnetismus Magnetfeld stromdurchflossener Leiter Die magnetische Feldstärke H Die magnetische Induktion (Flussdichte) Der magnetische Fluss Φ pannungsinduktion Induktivität Energieinhalt einer stromdurchflossenen pule Lösungen zu den Übungsaufgaben Literaturverzeichnis... 68

4 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik Verzeichnis der Formelzeichen Physikalische Größe Formelzeichen Einheitenzeichen Physikalische Einheit Querschnitt A m Magnetische Flussdichte, Induktion 1 T = 1 Vs/m Tesla Kapazität C 1 F = 1 As/V Farad Abstand d m Meter Dicke des Kunststoff-Dielektrikums d K m Dicke der Metallschicht d m m Elektrische Feldstärke E V/m Durchschlagfeldstärke E d V/m Leitwert G 1 = 1/Ω iemens Magnetische Feldstärke H A/m trom, klein: zeitlich veränderlicher trom I, i A Ampere Gesamtstrom I ges A tromdichte J A/m Länge l m Meter Induktivität L 1 H = 1 Vs/A Henry Windungszahl N Leistung P W Watt zeitlich veränderliche Leistung P(t) W abgegebene Leistung P ab W in Lampe umgesetzte Leistung P L W in Widerstand R umgesetzte Leistung P R W Verlustleistung P V W zugeführte Leistung P zu W Ladung, klein: zeitlich veränderliche Ladung Q, q 1 C = 1 As Coulomb Widerstand bei einer Temperatur Θ R Θ Ω Ohm Widerstand, klein: zeitlich veränderlicher Widerstand R, r 1 Ω = 1 V/A Ersatzwiderstand R ers Ω Innerer Widerstand R i Ω Vorwiderstand R v Ω Zeit t s ekunde 4

5 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder Physikalische Größe Formelzeichen Einheitenzeichen Physikalische Einheit pannung, klein: zeitlich veränderliche pannung U, u V Volt Klemmenspannung an den Klemmen A U A V pannung am Kondensator u C V Durchschlagsspannung U d V pannung an Lampe U L V pannung an der Induktivität u L V Quellenspannung U q V pannungsabfall am Widerstand U R V Geschwindigkeit v m/s Energie, Arbeit W Ws Wattsekunde Temperatur Θ C, K Grad Celsius,Kelvin Differenz Magnetischer Fluss Φ Vs Voltsekunde Elektrisches Potenzial ϕ V pezifischer Widerstand ρ Ωmm /m pezifische Leitfähigkeit γ m/ωmm Temperaturkoeffizient bei 0 C α 0 1/ C Dielektrizitätskonstante ε 0 As/Vm Relative Dielektrizitätskonstante ε r Permeabilitätskonstante µ 0 Vs/Am Relative Permeabilität Wirkungsgrad zu berechnende (unbekannte) Größe µ r η Index x 5

6 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik Randsymbole D K M Ü Z eispiel Definition Kontrollfragen Merksatz tudienziele Übungsaufgaben Zusammenfassung 6

7 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik Metallschicht Kunststoff-Folie Kontakte ild.11 lockkondensator Perlkondensatoren: ie bestehen z.. aus einem interkörper aus kleinen Tantalkörnern, dessen Oberfläche mit einer dünnen Oxidschicht überzogen ist. Durch die Perlen entsteht eine sehr große Oberfläche. Da auch hier das Dielektrikum elektrolytisch erzeugt wird, ist ein etrieb nur mit Gleichspannung möglich. Ü.1 Das ild.11 zeigt einen lockkondensator. Dieser besteht in diesem eispiel aus 7 Lagen einer metallisierten Kunststoff- Folie, die wechselseitig kontaktiert werden. Überdeckende Plattenfläche: 5 mm x 10 mm Dicke der Metallschicht: d m = 1 µm Kunststoff-Folie: Dicke d K = µm, E D = 500 kv/cm, ε r =,5. a) erechnen ie die Gesamtkapazität dieses lockkondensators! b) Wie groß ist die zulässige etriebsspannung bei 3-facher icherheit? c) Die technische Ausführung solcher Kondensatoren besteht aus vielen Lagen, z.. aus 401 Lagen. estimmen ie die Gesamtkapazität dieses technischen lockkondensators!. Das magnetische Feld In diesem Abschnitt werden ie die Erscheinungen von Dauermagneten und des Elektromagnetismus kennen lernen. Der Elektromagnetismus wird bewusst nur mittels der Zylinderspule betrachtet, da sie in der Technik die häufigste Anwendung findet. 50

8 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder..1 Magnetismus Im magnetischen Feld werden Kräfte auf magnetische Materialien ausgeübt. chon im Altertum kannte man natürliche Magnete aus Magnetit (Fe 3 O 4 ), die Kräfte auf Eisenteile ausüben. Die Kraftwirkung ist an zwei bestimmten tellen konzentriert, diese bezeichnet man als Pole. Jeder Dauermagnet hat zwei unterschiedliche Pole, wie man aus dem skizzierten Versuch sehen kann (ild.1; N Nordpol, üdpol, F Kraft). Dabei werden die Kräfte betrachtet, die zwei stabförmige Dauermagnete aufeinander ausüben. Wir beobachten: Gleichartige Magnetpole stoßen sich ab. Ungleichartige Magnetpole ziehen sich an. N F F N F N N F F N N F ild.1 Kraftwirkungen bei Dauermagneten Den Feldverlauf in der Umgebung eines Magneten kann man mit einer reibungsfrei gelagerten Magnetnadel (Kompassnadel) untersuchen. ie dreht sich an jedem Ort in eine bestimmte Richtung, es liegt ein Vektorfeld vor. Die Magnetnadel dreht sich stets so, dass sie die Tangente an einer Feldlinie bildet. Das gesamte Magnetfeld lässt sich auch durch Eisenfeilspäne darstellen, die auf eine Glasplatte oder Papier gestreut werden. Jedes Eisenteilchen wird magnetisiert und dreht sich daher wie eine Magnetnadel in die Richtung der Feldlinien. ild.13 zeigt eine solche Anordnung im Feld eines tabmagneten. ild.13 Eisenfeilspäne beim tabmagneten Die Magnetnadel ordnet den Magnetpolen eine genaue ezeichnung zu: Die Nadelspitze eines Kompasses zeigt immer nach Norden, sie wird als Nordpol definiert: Der geographische Nordpol ist also der magnetische üdpol. Damit können auch die Richtungen der Feldlinien definiert werden: Magnetische Feldlinien treten immer am Nordpol aus, dargestellt im ild

9 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik N ild.14 Feldlinienbild eines tabmagneten.. Magnetfeld stromdurchflossener Leiter Jeder stromdurchflossene Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben (Christian OERTEDT, 180); die ewegung elektrischer Ladungsträger ruft ein Magnetfeld hervor. Das einfachste Feldbild erhält man bei einem langen, geraden, zylindrischen tromleiter (Draht), siehe ild.15. Die Eisenfeilspäne bilden konzentrische Kreise um den Leiter. ild.15 Eisenfeilspäne um einen tromleiter Eine genaue Ausmessung ergibt den in ild.16 dargestellten Feldlinienverlauf. Die Feldrichtung ergibt sich aus der Rechtsschraubenregel: M Fasst man den Richtungssinn des elektrischen troms als axiale ewegung einer rechtsgängigen chraube (normale chraube) auf, so ergibt die Drehbewegung der chraube die Richtung der Feldlinien. tromleiter Feldlinien Kompassnadeln ild.16 Feldbild eines tromleiters (x tromrichtung in die lattebene) 5

10 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder Im ild.16 sieht man den trom in die Zeichenebene hineinfließen, dargestellt durch das Kreuz (Pfeilende sichtbar). Ebenfalls ist zu erkennen, dass die magnetischen Feldlinien in sich geschlossene Kurven bilden. Dies gilt auch für Dauermagnete, wo man sich im Innern ausgerichtete Molekularmagnete vorstellt. Wenn man den Draht aus ild.16 zu einer Leiterschleife formt, ergibt sich das Feldbild.17. Das Magnetfeld wird verstärkt. ild.17 Feldbild einer Leiterschleife Eine noch größere Verstärkung erreicht man durch eine pule, bei der ein Draht gleichsinnig um einen pulenkern gewickelt wird. Das Feldbild einer solchen Zylinderspule entspricht dem eines tabmagneten. Im Innern der pule besteht ein homogenes magnetisches Feld (siehe ild.18): N ild.18 Feldbild einer Zylinderspule..3 Die magnetische Feldstärke H Um den Zusammenhang zwischen tromstärke und der magnetischen Kraftwirkung zu beschreiben, betrachten wir die Versuchsanordnung in ild.19. Eine lange dünne Zylinderspule wird von einem Gleichstrom durchflossen, die Kraftwirkung auf einen Eisenkörper (Fe) wird gemessen. 53

11 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik Feder, Fe F pule I I ild.19 Messung der magnetischen Feldstärke Der experimentelle efund ergibt: N I H =. (.1), H ist die magnetische Feldstärke, I ist der trom durch die pule, N ist die Windungszahl der pule,, ist die Länge der pule. Gl. (.1) gilt streng nur, wenn die pulenlänge, deutlich größer ist als der Durchmesser d des pulenkerns (, > 7 d). Die magnetische Feldstärke ist ein Vektor; im Folgenden wird aber nur mit dem etrag gearbeitet. Die Einheit der magnetischen Feldstärke: [ H] [ I] [], A = = 1. m.7 Ein Relais (= elektromagnetischer chalter) hat den im ild.0 dargestellten schematischen Aufbau. obald ein trom durch die Relaisspule fließt, wird ein Magnetfeld aufgebaut und der Anker aus Eisen wird angezogen. Dadurch wird der chaltkontakt betätigt. Man kann damit mittels eines kleinen teuerstroms (pulenstrom) große chaltströme schalten, z.. den großen trom des Fernlichts (10 A) im Kfz durch einen kleinen teuerstrom am Armaturenbrett. 54

12 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder Anker Fe chalter pule mit Fe-Kern teuerstrom ild.0 Relais Hier sei: pulenstrom I = 0,1 A, pulenwindungszahl N = 400, pulenlänge, = 0 mm, Durchmesser des pulenkerns d sp = 10 mm. Dann ist gemäß Gl. (.1) N I 400 0,1 A A., 0 10 m H = = = m..4 Die magnetische Induktion (Flussdichte) Wenn der pulenkern der pule in ild.19 aus Eisen besteht, verstärkt sich die magnetische Wirkung. Um die Materialeigenschaften des pulenkerns zu beschreiben, wird die Induktion (oder Flussdichte) eingeführt. Es gilt: = µ H, (.13) wobei der Proportionalitätsfaktor µ als Permeabilität bezeichnet wird. Die Flussdichte ist wie die magnetische Feldstärke ein Vektor; auch hier werden wir im Folgenden nur mit dem etrag arbeiten. Die Permeabilität setzt sich zusammen aus der magnetischen Feldkonstanten (Permeabilitätskonstante) µ 0 und einer dimensionslosen Zahl µ r, der Permeabilitätszahl (relative Permeabilität). ie dient zur eschreibung der Materialeigenschaften des pulenkerns. wobei µ=µ 0 µ r, (.14) 6 Vs µ 0 = 1,57 10 (Permeabilität des Vakuums). (.15) Am 55

13 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik.8 erechnen ie die Induktion in der pule aus eispiel.7, wenn der pulenkörper noch nicht auf den Eisenkern geschoben ist! Lösung: Luft hat annähernd die relative Permeabilität µ r = 1. Dann ist gemäß Gl. (.13): = µ H = µ µ = 1 1,57 10 r 0 6 H Vs Am 10 3 A =, m 3 Vs =,514 mt. m Aus diesem eispiel erkennt man die Einheit der Flussdichte Vs [ ] = 1 = 1T (.16) m 1 T = 1 Tesla. Einige technische Größen: Höchstleistungsmagnete 4 bis 5 T, im Luftspalt elektrischer Maschinen 0,9 bis 1, T, an der Oberfläche starker Dauermagnete 1,5 bis T. toffe mit einer relativen Permeabilität µ r wesentlich größer als 1 bezeichnet man als ferromagnetisch, dazu gehören außer Eisen auch Kobalt und Nickel. µ r ist keine Konstante, sondern stark von abhängig. Für die in der E- lektrotechnik eingesetzten Eisenwerkstoffe wird der Zusammenhang zwischen und H daher nicht über µ r beschrieben, sondern in so genannten Magnetisierungskurven nach DIN Eine typische Magnetisierungskurve (hier annähernd Elektroblech V400-50A) ist in ild.1 dargestellt. Zur Magnetisierungskurve (s. ild.1): ei kleinen Feldstärken beginnen sich die magnetischen Molekularmagnete im Eisenkern auszurichten und verstärken den magnetischen Effekt. Oberhalb des ättigungspunktes, im eispiel bei H A/m, sind nahezu alle Molekularmagnete ausgerichtet und es findet keine weitere deutliche Verstärkung mehr statt. 56

14 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder T,0 1,8 1,6 1,5 1,4 1, 1, ka H m ild.1.9 Magnetisierungskurve von Elektroblech Der pulenkörper aus eispiel.8 wird über einen Kern aus Elektroblech V400-50A geschoben. Wie groß ist jetzt a) die Flussdichte und b) die relative Permeabilität? Lösung: a) ei ferromagnetischen toffen entnimmt man den Wert für aus der Kennlinie. Für den Wert H =.000 A/m ergibt sich = 1,5 T. b) Aus Gl. (.13) und Gl. (.14) ergibt sich damit µ r 1,5 = = µ H 6 1, Vs m Vs Am 10 3 A m = 597. Anmerkung: Die Magnetisierungskurve wie in ild.1 stellt nur einen Ausschnitt der so genannten Hystereseschleife dar. Diese Hystereseschleife (ild.) erhält man, indem man einen ferromagnetischen toff in einem elektromagnetischen Feld magnetisiert. Dabei tritt dieselbe ättigung auf wie oben. eim Abschalten des tromes verbleibt aber ein gewisser Restmagnetismus, die Remanenzflussdichte r. Erst wenn die tromrichtung umgekehrt wird, verschwindet bei der Koerzitivfeldstärke H c die Flussdichte. Magnetwerkstoffe mit niedriger Koerzitivfeldstärke, also mit schmaler Hysterese, bezeichnet man als magnetisch weiche toffe. ie werden dort verwendet, wo häufig ummagnetisiert wird, z.. in elektrischen Maschinen, da dann die Ummagnetisierungsverluste gering bleiben. Magnetwerkstoffe mit breiter Hysterese werden als magnetisch harte toffe bezeichnet. ie werden bei Dauermagneten eingesetzt. 57

15 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik r Neukurve H c H c H r ild. Hystereseschleife eines ferromagnetischen toffes..5 Der magnetische Fluss Φ Die Anzahl aller Feldlinien durch eine Fläche A bezeichnet man als magnetischen Fluss Φ = da. (.17) Im homogenen Feld, z.. in einer Zylinderspule, wenn das Magnetfeld die Fläche A senkrecht durchsetzt, gilt Φ = A. (.18) Dabei ist A also die Querschnittsfläche des pulenkerns. Die Einheit des magnetischen Flusses ist [ ] = 1 Vs = 1Wb Φ (Weber). (.19).10 In unserem eispiel (.7 ff.) ergibt sich A aus A sp sp ( 10 mm) 6 π d π = = = 78,5 10 m. 4 4 Mit Eisenkern ergibt sich also Vs 6 6 Φ= 1,5 78,5 10 m = 117,75 10 Vs. m..6 pannungsinduktion Nachdem bekannt war, dass jeder elektrische trom von einem Magnetfeld umgeben ist, suchte man gezielt nach dem umgekehrten Effekt. Der elektrische trom ist eine ewegung von elektrischen Ladungen. Wenn diese von einem Magnetfeld umgeben sind, werden sie auch von einem äußeren Magnetfeld beeinflusst. Wenn also ein elektrischer Leiter, voll mit Ladungsträgern (freien Elektronen), in einem Magnetfeld bewegt 58

16 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder wird, müssten die Elektronen wegen der auf sie einwirkenden magnetischen Kraft zu einem Leiterende abgedrängt werden. Diesen Effekt kann man mit der in ild.3 dargestellten Versuchsanordnung nachweisen. Wenn der querliegende Leiterstab, der sich mit einer Länge, im Magnetfeld befindet, senkrecht nach unten mit der Geschwindigkeit v bewegt wird, also die Feldlinien senkrecht schneidet, wird zwischen den Leiterenden eine pannung erzeugt (induziert). Wird ein elektrischer Verbraucher an die Leiterenden angeschlossen, fließt ein trom. Die so erzeugte pannung hat den etrag u =, v. (.0), N v ild.3 pannungsinduktion in einem bewegten Leiter ild.4 zeigt dieselbe Anordnung aus anderer icht. Die Klemmen A sind feststehend, der Leiterstab wird bewegt. homogenes Magnetfeld A v, U V ds Leiterstab ild.4 ewegter Leiter im Magnetfeld.11 Im Luftspalt elektrischer Maschinen beträgt die Induktion bis zu = 1, T. Die Kupferdrähte der rotierenden Wicklung können mit Geschwindigkeiten bis zu v = 60 m/s bewegt werden (Grenze durch die Fliehkräfte). Annahme: Der Leiterstab ist 0,5 m lang. 59

17 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik Dann beträgt die induzierte pannung: Vs m u =, v = 1, 0,5m 60 = 36V. m s ds Wenn der tab mit ungleichförmiger Geschwindigkeit v = bewegt dt wird, so ändert sich die Fläche, die der magnetische Fluss in der Leiterschleife, bestehend aus dem Leiterstab, den Zuleitungen und dem Voltmeter, durchsetzt, um den etrag da =, ds. Mit Gl. (.0) ergibt dies:, ds da dφ u =, v= = =. (.1) dt dt dt M Allgemein formuliert: olange sich der magnetische Fluss in einer von einem Leiter umschlossenen Fläche ändert ( 0 ), wird eine pannung induziert. dφ dt Dieses Gesetz gilt auch für ruhende Leiterschleifen, wenn sich der magnetische Fluss durch die Fläche zeitlich ändert. u q Φ = Φ(t) ild.5 pannungsinduktion durch Flussänderung In ild.5 sind zwei gleichsinnig gewickelte, ruhende Leiterschleifen dargestellt. ie werden von einem zeitlich veränderlichen Fluss Φ(t) durchsetzt. D Wenn N gleichsinnig gewickelte Leiterschleifen von demselben Fluss Φ(t) durchsetzt werden, gilt: dφ u = N (Induktionsgesetz). (.) dt Das Induktionsgesetz ist eine der wichtigsten Gleichungen der Elektrotechnik. Auf diesem Gesetz beruht das Prinzip aller elektrischer Maschi- 60

18 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder nen, wie Generatoren, Motoren und Transformatoren. Wir werden diese im tudienbrief Elektrische Anlagen (KUCKERTZ, 007) behandeln..1 Hier betrachten wir ein anderes eispiel, nämlich einen induktiven Drehzahlmesser, wie er z.. im Kfz zur Messung der Raddrehzahlen verwendet wird. Der prinzipielle Aufbau ist in ild.6 a) dargestellt. Gegenüber einem rotierenden eisernen Zahnrad befindet sich ein eisernes Joch mit einem Dauermagneten. Auf einem chenkel ist eine pule angebracht. eim Drehen des Zahnrades wird durch den Wechsel von Zahn zu Lücke der magnetische Fluss verändert. Den zeitlichen Verlauf des magnetischen Flusses zeigt ild.6 b). ei kleinem Luftspalt (Zahn) fließt der maximale Fluss, bei großem der minimale Fluss. a) b) u Φ [Vs] Φ max Φ min n N Fe u [V] 3, t [ms] t [ms] 3, ild.6 Induktiver Drehzahlmesser Mathematische Auswertung: Magnetfeld: Φ max = Vs, Φ min = 10 6 Vs; pule: 00 Windungen; Zahnrad: 100 Zähne mit ideal geraden Flanken. Die geraden Zahnflanken bewirken einen linearen Anstieg von Φ. Ansteigender Fluss: Aus dem zeitlichen Verlauf erkennt man, dass sich der Fluss innerhalb von s = 0,5 ms stetig von Φ min auf Φ max ändert, also mit Gl. (.) 6 dφ Φmax Φmin ( 10 ) 10 Vs u1 = N = N = 00 = 3, V. dt s 3 0,5 10 s Fallender Fluss: ei der negativen Flanke des magnetischen Flusses gilt u = u 1 = 3, V. ei ideal linearem Anstieg des Flusses wird eine pannung induziert, die in diesen ereichen konstant ist (Anmerkung: Die erste Ableitung einer Geraden ist eine Konstante). 61

19 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik..7 Induktivität Wenn eine pule von einem zeitlich veränderlichen trom i(t), z.. beim Einschalten, durchflossen wird, baut sich ein veränderliches Magnetfeld auf. Dieser Aufbau ist zwangsläufig von einer induzierten pannung begleitet. ei einer Zylinderspule gilt gemäß Gl. (.1): dh N di d µ r µ 0 N di = und nach Gl. (.13) =. dt, dt dt, dt dφ µ r µ 0 N A di Mit Gl. (.18) =. dt, dt Wenn dies in Gl. (.) eingesetzt wird, erhält man µ r µ 0 N A di u =. (.3), dt D In dieser Gleichung werden die Materialeigenschaften und die physikalischen Abmessungen der pule zur Induktivität µ r µ 0 N A L = (.4) l zusammengefasst. Damit ergibt sich für den Zusammenhang zwischen pannung und trom an der Induktivität di u L = L, (.5) dt wobei der Index L auf die in einer pule induzierte pannung hinweist. In ild.7 ist das chaltzeichen einer Induktivität mit trom- und pannungspfeil dargestellt. Wie der Kondensator beim elektrischen Feld ist die Induktivität ein Verbraucher. i L u L ild.7 pannung und trom an einer Induktivität [ u] [ t] [] i Vs Die Einheit der Induktivität ist [ L ] = = 1 = 1 H (Henry). Da die A Induktivität meistens eine sehr kleine Größe ist, wird in der Technik im Allgemeinen mh als Einheit benutzt. Die Induktivität ist bei pulen mit Eisenkern wegen der nicht-konstanten relativen Permeabilität µ r ebenfalls eine stromabhängige Größe. Wenn dies vermieden werden soll, muss eine eisenlose pule oder eine pule mit Luftspalt im Kern benutzt werden. 6

20 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder.13 erechnen ie die Induktivität der Relaisspule aus eispiel.7! Lösung: Aus Gl. (.) und Gl. (.5) ergibt sich dφ di N = L dt dt oder umgeformt dφ L = N. (.6) di ei zeitlich konstanten Größen gilt dann Φ L = N. (.7). I Damit ergibt sich 6 Φ 117,75 10 Vs L = N = 400 = 471 mh. I 0,1A Anmerkung: Gl. (.4) gilt nur für Zylinderspulen, für andere pulenformen gelten andere Zusammenhänge, hier sei auf FÜHRER et al. (006) verwiesen...8 Energieinhalt einer stromdurchflossenen pule Wie man aus Gl. (.5) ersieht, ist der Aufbau des Magnetfeldes der pule ein zeitabhängiger Vorgang. Es muss daher zur erechnung des Energieinhalts Gl. (1.10), W = P(t) dt, herangezogen werden. Dann ist mit Gl. (1.8) und Gl. (.5) I di 1 L i L dt = L i di LI. (.8) dt 0 W = = D Darin ist I der trom, der zu diesem Zeitpunkt durch die pule fließt. Die Gleichung (.8) zeigt, dass die pule nur Energie speichert, solange ein trom fließt. Weiterhin kann man erkennen, dass zum Abbau der in einer pule gespeicherten Energie ein trom fließen muss. Dies gilt es dann zu beachten, wenn Induktivitäten mittels Transistoren abgeschaltet werden: M di Wenn der trom sehr schnell abgeschaltet wird also sehr groß dt wird entsteht gemäß Gl. (.5) eine hohe pannung, die den Transistor zerstören kann..14 erechnen ie die in der Relaisspule aus eispiel.7 gespeicherte Energie, wenn der pulenstrom I = 0,1 A fließt! 63

21 Grundlagen Gleichstrom und Felder Elektrotechnik / Elektronik Lösung: Aus Gl. (.8) folgt 1 3 Vs W = LI = 0, ,01 A =,355 mws. A Ü Ü. Die Zylinderspule für ein Relais hat folgende Daten:.000 Windungen, Länge 50 mm, Kerndurchmesser 7 mm, Widerstand der Kupferwicklung 60 Ω, etriebsspannung 1 V. Der Eisenwerkstoff im pulenkern zeigt die untenstehende Magnetisierungskennlinie. a) Geben ie das Feldbild der pule mit Polbezeichnungen und Flussrichtung an! b) Wie groß ist der magnetische Fluss? c) erechnen ie die relative Permeabilität! d) Wie groß ist die Induktivität? [T],0 1,5 1,0 0,5 10 ka H m Ü.3 Wenn an einer Zylinderspule ein Dauermagnet in kleinem Abstand vorbeigeführt wird, wird an den Klemmen der nebenstehende pannungsverlauf gemessen. Daten der pule: Windungen, Länge 50 mm, Kerndurchmesser 7 mm. a) Zeichnen ie den Verlauf des magnetischen Flusses in das folgende Diagramm ein! 64

22 Elektrotechnik / Elektronik Grundlagen Gleichstrom und Felder U [V] t [ms] Φ [Vs] t [ms] b) Wie groß ist der Maximalwert der magnetischen Flüsse, wenn der Minimalwert 0 Vs beträgt? 65