1.3 Typisierungen von Sachaufgaben

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1 1.3 Typisierungen von Sachaufgaben mit den Niveaustufen nach Fricke Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

2 Traditionelle Einteilung von Aufgabentypen beim Sachrechnen Aufgabentyp Charkterisierung Bsp. Intention Eingekleidete Aufgabe In Worte gefasste Aufgabenkonstruktionen bzw. Rechenoperationen ohne Realitätsbezug - Auf 3 Behälter werden 420l gleichmäßig verteilt - Welche Zahl ist um 14 kleiner als der 5. Teil von 130 Anwenden und Üben von Rechenfertigkeiten und Begriffen Textaufgabe Sauchaufgabe (Sachrechenproblem) Aufgaben in Textform, bei denen die Sache weitgehend unbedeutend und austauschbar ist Sache wird selbst mitdiskutiert. Deshalb: Einsicht in Sachzusammenhänge wichtig. Mathematik ist Hilfsmittel zur Bearbeitung Herr Tietze hat 1972 auf seinem Lohnkonto. Er überweist 624 für Miete, 48 Gas und Elektrizität sowie 16 Vereinsbeitrag. Und er hebt 900 ab. Der Klassenausflug kann mit Bus oder Bahn durchgeführt werden. Was ist preiswerter? praktischer? Welche Kosten kommen hinzu? Wie teuer wird es für jeden Schüler? - Sache muss durchschaut werden. - Abbilden der Infos in mathematische Sprache - Echte Anwendung - Daten müssen gesammelt werden nach Raddatz/Schipper

3 Eingekleidete Aufgaben Ziele: - das Anwenden von Rechenverfahren - das Festigen mathematischer Begriffe - das Erfassen von Zahlbeziehungen Aber: - Der Sachkontext ist unwichtig und austauschbar - Keine Modellierung: Rechenoperationen direkt aus Formulierung ableitbar (Signalwörter, Reihenfolge) 3

4 Eingekleidete Aufgaben Beispiele: 35 Luftballons werden an 7 Kinder verteilt. Wie viele Luftballons erhält jedes Kind? 35 7 : 5 Was ist das Fünffache von 8? Der Vater hat ein Schlüsselbrett gebastelt. Es hat drei Reihen mit je 8 Haken. Wie viele Schlüssel kann man aufhängen? Du hast 16 Buntstifte. Ich habe 2 mehr als halb so viele. Wie viele habe ich? 4

5 Eingekleidete Aufgaben Beispiele: 35 Luftballons werden an 7 Kinder verteilt. Wie viele Luftballons erhält jedes Kind? Was ist das Fünf fache von 8? 5 8 x 40 Der Vater hat ein Schlüsselbrett gebastelt. Es hat drei Reihen mit je 8 Haken. Wie viele Schlüssel kann man aufhängen? Du hast 16 Buntstifte. Ich habe 2 mehr als halb so viele. Wie viele habe ich? 5

6 Eingekleidete Aufgaben Beispiele: 35 Luftballons werden an 7 Kinder verteilt. Wie viele Luftballons erhält jedes Kind? Was ist das Fünffache von 8? Der Vater hat ein Schlüsselbrett gebastelt. Es hat drei Reihen mit je 8 Haken. Wie viele Schlüssel kann man aufhängen? 3 8 x 24 Du hast 16 Buntstifte. Ich habe 2 mehr als halb so viele. Wie viele habe ich? 6

7 Eingekleidete Aufgaben Beispiele: 35 Luftballons werden an 7 Kinder verteilt. Wie viele Luftballons erhält jedes Kind? Was ist das Fünffache von 8? 16 2 Der Vater hat ein Schlüsselbrett gebastelt. Es hat drei Reihen mit je 8 Haken. Wie viele Schlüssel kann man aufhängen? : Du hast 16 Buntstifte. Ich habe 2 mehr als halb so viele. Wie viele habe ich? 10 7

8 Eingekleidete Aufgabe? Frau Schneider kauft für 88 Vorhangstoff. Der Preis für 1 m beträgt 8. Wie viel Stoff hat Frau Schneider gekauft? ? 88 8 : 11 Aufgabe zur Proportionalität einfache Form des Dreisatzes 8

9 der Dreisatz gegeben: - ein Verhältnis: a Einheiten einer Größe A zu b Einheiten einer Größe B - eine Anzahl y Einheiten der Größe A Größe A Größe B gesucht: Geldwert in laufender Meter x Einheiten der Größe B, die in demselben Verhältnis zu den y Einheiten von A stehen a = 8 :8 b = 1 m in dieser einfachen Variante ist die Proportionalitätskonstante gegeben. x y = 88 :8. x x m 9

10 der Dreisatz Erweiterung: Für 8 m eines anderen Vorhangstoffes hat Frau Schneider 72 gezahlt. Jetzt will sie noch weitere 9 m kaufen. Was muss sie bezahlen? Größe A laufender Meter Größe B Geldwert in a = 8 m b = 72 1 m 9 y = 9 m x = 81 y = a a y x = b a y 10

11 Textaufgaben Beispiel: Herr Tietze hat 1972 auf seinem Lohnkonto. Er überweist 624 für Miete, 48 Gas und Elektrizität sowie 16 Vereinsbeitrag. Und er hebt 900 ab

12 Textaufgaben Beispiel: Herr Tietze hat 1972 auf seinem Lohnkonto. Er überweist 624 für Miete, 48 Gas und Elektrizität sowie 16 Vereinsbeitrag. Und er hebt 900 ab

13 Textaufgaben Beispiel: Herr Tietze hat 1972 auf seinem Lohnkonto. Er überweist 624 für Miete, 48 Gas und Elektrizität sowie 16 Vereinsbeitrag. Und er hebt 900 ab

14 Textaufgaben Ziele: - in Textform dargestellt - Sache sinnvoll, aber nebensächlich - Reihenfolge der Angaben im Text entspricht nicht unbedingt der Reihenfolge im entsprechenden mathematischen Term - i.d.r. eindeutige Bearbeitung und genau eine Lösung - bildeten den Schwerpunkt des traditionellen SR-Unterrichts - sind eine schulische Kunstform - Zusammenhang zwischen den angegebenen Zahlen erkennen - basale Modellierungsfähigkeit: Übertragung der Textstruktur in eine mathematische Struktur 14

15 Sachaufgaben Beispiele: Planung eines Schulfestes, einer Klassenfahrt... Erkundungen im Zoo... (evtl. müssen Daten selbst gesammelt werden) die Sachsituation stellt einen Bezug zu den Alltagserfahrungen der Kinder her Ziele: Mathematisieren von Sachbeziehungen (Zuordnung einer mathematischen Operation) tieferes Verständnis des Sachkontextes (durch mathematische Verarbeitung) Anwendung mathematischen Wissens in realistischen Situationen 15

16 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Einteilung nach der beschriebenen Situation Sachaufgaben zu realen Situationen einfache Sachaufgaben, Sachprobleme, Sachtexte, Projekte Sachaufgaben zu fiktiven Situationen Märchen und Fantasiegeschichten, Denk- und Knobelaufgaben, Scherz- bzw. Kapitänsaufgaben, Sachaufgaben in Kinderbüchern 16

17 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Einteilung nach dem mathematischen Inhalt Sachaufgaben mit arithmetischen Inhalt Sachaufgaben mit geometrischem Inhalt Sachaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen Sachaufgaben zum situationsadäquaten Umgang mit Größen Sachaufgaben mit stochastischem Inhalt 17

18 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Einteilung nach der der Präsentationsform reale Phänomene authentische Materialien und Imitationen Bildaufgaben Bild-Text-Aufgaben Textaufgaben Sachtexte Projekte 18

19 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Einteilung nach der semantischen Struktur Bei Carpenter/Huber/Moser (1981), Riley/Greeno/Heller (1983), Kintsch/Greeno (1985) und Stern (1994) findet man weitere Unterteilungen mit Blick auf die semantische Struktur: Kombinationsaufgaben Austauschaufgaben Vergleichsaufgaben Ausgleichsaufgaben 19

20 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Einteilung nach der semantischen Struktur Kombinationsaufgaben Tom hat 4 Äpfel. Paul hat 5 Äpfel. Wie viele Äpfel haben beide zusammen? Austauschaufgaben Tom hatte 5 Nüsse. Dann gab im Tanja 4 Nüsse. Wie viele Nüsse hat Tom jetzt? Vergleichsaufgaben Lea hat 8 Murmeln. Maren hat 5 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Lea mehr als Maren? Ausgleichsaufgaben Anton wünscht sich einen Computer für Von Oma hat er 800 erhalten. Den Rest des Kaufpreises zahlen seine Eltern. Wie viel Geld müssen die Eltern noch bezahlen? 20

21 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Einteilung nach der semantischen Struktur Untersuchungen von Riley u.a. haben gezeigt, dass Austauschaufgaben von Grundschulkindern häufiger richtig gelöst werden als Vergleichsaufgaben. Begründet wurde dies vor allem mit semantischen Aspekten: Austauschaufgaben haben einen dynamischen Charakter, sie spiegeln dadurch die Rechenoperation gut wider. Vergleichsaufgaben stellen Größen gegenüber; solch ein statischer Vergleich gibt keinen deutlichen Hinweis auf die passende Rechenoperation. 21

22 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Heinrich Winter: Routine- und Problemaufgaben Heinrich Winter unterscheidet Sachrechnen-Aufgaben in Routineaufgaben bilden Grundmodelle des Rechnens ab ein bekannter Lösungsweg kann reproduziert werden entsprechen den Simplex- und Komplexaufgaben und Problemaufgaben von Grundmodellen abweichende Anforderungen eine Denkbarriere muss überwunden werden 22

23 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Heinrich Winter: Routine- und Problemaufgaben H. Winter: Sachrechnen in der Grundschule, 1992: Sachrechnen ist mehr, etwas anderes als Rechnen mit Sachen. Das wird noch deutlicher, wenn Aufgaben einbezogen werden, die u.u. keine Lösung oder mehrere Lösungen haben, deren Bearbeiten überhaupt kein Rechnen oder ein ad hoc zu entwickelndes Rechnen erfordert, deren Antwort keine Zahl, sondern eine Zeichnung, eine Tabelle, eine Formel, eine Messung,... ist. 23

24 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Heinrich Winter: Routine- und Problemaufgaben Problemaufgaben nach Renate Rasch (2001) eine Aufgabengruppe, der in der Regel anspruchsvolle mathematische Strukturen zugrunde liege, die mitunter so in Sachsituationen eingebettet sind, dass sie die den Kindern vertrauten Grundmodelle der Rechenoperationen nicht ohne weiteres sichtbar bzw. nicht ohne Transferleistung anzuwenden sind. Definition durch Abgrenzung von Routineaufgaben: entspricht weniger den Lösungsgewohnheiten des Grundschulkindes, dem eher Aufgabenstellungen vertraut sind, die dem Schema Zustand Operator Zustand folgen Weiteres typisches Merkmal: Aspekt der Offenheit 24

25 Weitere Einteilungsmöglichkeiten Beispiele für Problemaufgaben für die Grundschule (Renate Rasch) Mutti, Vati und Murks fahren mit dem Dampfer. Für Kinder kostet es die Hälfte. Insgesamt bezahlen sie 10. Wie viel kostet die Karte für einen Erwachsenen, wie viel kostet sie für ein Kind? (Klassenstufe 1) Streblinde isst gern Pralinen. Sie weiß, in der Schachtel sind 5 Reihen und in jeder Reihe 6 Stück. Doch Murks und Quicki haben schon welche stibitzt. Am Rand rundherum fehlen die äußeren Pralinen, stellt Streblinde ärgerlich fest. Wie viele bleiben für sie übrig? (Klassenstufe 2) Murks hat doppelt so viele Sticker wie Quicki, zusammen haben sie 18. Wie viele Sticker hat Murks? Wie viele hat Quicki? (Klassenstufe 1) Streblinde, Quicki, Murks und zwei Freunde gehen in die Ferien. Jedes Kind verabschiedet sich von jedem mit Handschlag. Wie viele Handschläge sind es insgesamt? (Klassenstufe 4) Ein Mann geht aufs Feld zum Birnen pflücken. Um zurück in die Stadt zu kommen, muss er 4 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wachposten und verlangt die Hälfte seiner Birnen. Am Ende hat der Mann nur noch eine Birne übrig. Wie viele hatte er gepflückt? (andere Quelle) 25

26 Weitere Einteilungsmöglichkeiten offene Aufgaben Greefrath (2010): Offene Aufgaben können nach Klarheit von Anfangs- und Zielzustand sowie nach Klarheit und Mehrdeutigkeit der Transformation, die den Anfangszustand in den Zielzustand transformiert, eingeteilt werden. Durch offene Aufgabenstellungen können prozessbezogene Kompetenzen in den Bereichen Argumentieren, Modellieren und Problemlösen entwickelt werden. 26

27 Weitere Einteilungsmöglichkeiten offene Aufgaben H. Winter unterscheidet drei Aspekte der Offenheit: Offenheit in den gegebenen Daten (Daten müssen noch umgedeutet/umgeordnet werden) Offenheit in der Fragestellung (Das Gesuchte ist nicht explizit angegeben) Offenheit in der Lösung (keine oder mehrere Lösungen möglich) 27

28 Weitere Einteilungsmöglichkeiten offene Aufgaben Offenheit in den gegebenen Daten Offenheit in der Fragestellung Offenheit in der Lösung Alle drei Aspekte finden wir bei den Fermi-Aufgaben Solche Offenheit kennzeichnen nach Winter Problemaufgaben Fermi-Aufgaben Problemaufgaben Man kann Offenheit auch in Aufgaben, die keine Probleme sind, finden; sogar in rein arithmetischen Aufgaben Umgekehrt sind Probleme mit eindeutigen Daten, eindeutiger Fragestellung und eindeutiger Lösung auch denkbar 28

29 Niveaustufen nach Fricke Erinnerung: Einteilung in Simplex- und Komplexaufgaben nach Breidenbach und Arnold Fricke die Unterteilung betrifft insbesondere Textaufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt (Textaufgaben, eingekleidete Aufgaben) Simplexaufgaben Aufgaben, bei denen nur zwei Größen gegeben sind und sich eine dritte daraus eindeutig berechnen lässt Komplexaufgaben Aufgaben, die mehrere zusammenhängende Simplexe enthalten 29

30 Niveaustufen nach Fricke Simplexaufgaben Der Schwierigkeitsgrad wird bestimmt durch Semantische Struktur (Bedeutung: Grundvorstellungen der Operation) Syntaktische Struktur (Satzbau, Reihenfolge der Angaben)! Sprachliche Einflüsse: semantisch und syntaktisch Die Wortbedeutung oder der Satzbau können die zugrunde liegende Operation mehr oder weniger deutlich machen. Unsere semantische Struktur meint die Bedeutung auf der Ebene der Mathematik 30

31 Niveaustufen nach Fricke Simplexaufgaben Der Schwierigkeitsgrad wird bestimmt durch Semantische Struktur (Bedeutung: Grundvorstellungen der Operation) Syntaktische Struktur (Satzbau, Reihenfolge der Angaben) Semantische Struktur: dynamisch oder statisch? Eine Sachsituation kann mehr dynamisch oder mehr statisch sein Dynamische Situationen sind scheinbar einfacher zu interpretieren als statische Dynamische Situationen spiegeln eine Veränderung, eine Handlung wider. Bei statischen Situationen werden die Daten gegenübergestellt bzw. miteinander verglichen. Das Zuordnen einer Rechenoperation ist häufig schwieriger 31

32 Niveaustufen nach Fricke Simplexaufgaben Der Schwierigkeitsgrad wird bestimmt durch Semantische Struktur (Bedeutung: Grundvorstellungen der Operation) Syntaktische Struktur (Satzbau, Reihenfolge der Angaben) Schwierigkeitsfaktor: Operationserkennungsfaktor (Fricke) Erkennungsleistung unterstützen: Erarbeiten von Rechenoperationen: auf vielfältige Sachsituationen aufmerksam machen, bei denen die jeweilige Operation zugrunde liegt Erkennen/Wiedererkennen der Operation(en) im Sachverhalt: Wahl der Rechenoperation begründen lassen 32

33 Niveaustufen nach Fricke additive Simplexaufgaben Grundvorstellung der Operationen Addition und Subtraktion: Addition: zu einer Menge von Objekten kommen welche hinzu Grundmodell: a + b = x Subtraktion: von einer Menge von Objekten werden welche weggenommen Grundmodell: a b = x 33

34 Niveaustufen nach Fricke additive Simplexaufgaben Das Grundmodell ist in der Regel ein Handlungsprozess, ein dynamischer Vorgang ( hinzukommen, weggenommen werden ). Aufgaben werden schwieriger je weiter sich die Aufgabensituation vom Grundmodell entfernt. 34

35 Niveaustufen nach Fricke additive Simplexaufgaben Niveau 0 Aufgaben, die dem Grundmodell entsprechen Auf einem Teich schwimmen 7 Enten, 5 kommen dazu (oder fliegen weg). Auf einem Teich schwimmen 7 Enten, 5 fliegen weg. 35

36 Niveaustufen nach Fricke additive Simplexaufgaben Niveau 1 andere Sachsituation, das dynamische Grundmodell bleibt erhalten, der Hinweis ist weniger deutlich Uwe bekommt von seinem Onkel 5, von seiner Tante 7 geschenkt. Wieviel hat er dann? 36

37 Niveaustufen nach Fricke additive Simplexaufgaben Niveau 2 Umkehraufgaben dynamischer Prozesscharakter bleibt weiter erhalten Martin will mit seinem Geld zum Jahrmarkt. Sein Onkel gibt ihm noch 7 Euro dazu. Nun hat er 12 Euro. 37

38 Niveaustufen nach Fricke additive Simplexaufgaben Niveau 3 statische Vergleiche der dynamischer Prozess wird verlassen Uwe hat 12 Euro, Martin hat 7 Euro. Wie viel hat Uwe mehr?. Uwe hat 12 Euro. Das sind 5 Euro mehr als sein Freund hat. 38

39 Niveaustufen nach Fricke additive Simplexaufgaben Niveau 4 Ausgleichen und Vergleichen Die erworbenen Grundmodelle müssen erweitert werden Martin hat 5 Euro. Martina hat 13 Euro. Wie viel müsste Martina an Martin abgeben, damit beide gleichviel haben? Martin und Martina haben zusammen 20 Euro. Martin hat 6 mehr als Martina. Wie viel hat Martin, wie viel hat Martina? 39

40 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Grundvorstellung der Operationen Multiplikation und Division: Multiplikation Eine Menge wird aus einer bestimmten Anzahl gleichmächtiger Mengen zeitlich nacheinander aufgebaut. 40

41 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Grundvorstellung der Operationen Multiplikation und Division: Aufteilen Division Abbau einer Menge mit lauter gleichmächtigen Teilmengen (zeitlich nacheinander) Verteilen das Zerlegen einer Menge in eine bestimmte Anzahl gleichmächtiger Teilmengen oder: das gleichmäßige Verteilen einer Menge an eine bestimmte Anzahl von Personen 41

42 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Niveau 0 Aufgaben, die dem Grundmodell entsprechen Martin erhält jede Woche 5 Taschengeld. Wie viel hat er nach 4 Wochen erhalten? (Multiplikation) Der Vater hat 42 zurückgelegt. Davon will er Uwe jede Woche 7 Taschengeld geben. Für wie viele Wochen reicht das Geld? (Aufteilen) Die Mutter will 24 Äpfel auf 6 Teller legen; auf jedem Teller sollen gleich viele Äpfel liegen. Wie viele Äpfel kommen auf jeden Teller? (Verteilen) 42

43 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Niveau 1 an die Stelle des zeitlichen Nacheinander tritt das räumliche Nebeneinander In einem Haus mit 4 Stockwerken sind in jedem Stockwerk 8 Fenster. Wie viele Fenster hat das Haus? In einem anderen Haus sind insgesamt 24 Fenster. In jedem Stockwerk sind 8 Fenster. Wie viele Stockwerke hat das Haus? In einem dritten Haus gibt es insgesamt 48 Fenster. Das Haus hat 6 Stockwerke. Wie viele Fenster sind in jedem Stockwerk? 43

44 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Niveau 2 Schluss von der Einheit auf das Vielfache und umgekehrt Uwe kauft 3 Kaugummis, das Stück zu 7 Cent. Wie viel muss er bezahlen? Ulla hat 50 Cent und möchte sich davon Kaugummis kaufen. Das Stück kostet 8 Cent. Wie viele Kaugummis kann sie kaufen? Martin kauft sich 4 Kaugummis. Er muss 32 Cent bezahlen. Was kostet ein Kaugummi? 44

45 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Niveau 3 Umkehroperationen Uwe geht viermal in den Keller und holt jedes mal gleich viele Flaschen herauf. 12 Flaschen hat er herauf geholt. Wie viele Flaschen hat er jedes Mal genommen? 45

46 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Niveau 4 Vergleiche Uwe hat 7. Ulla hat dreimal soviel. Wie viel hat Ulla? Ulla ist 21 Jahre alt. Uwe ist 7 Jahre alt. Wie viel mal so alt ist Ulla? 46

47 Niveaustufen nach Fricke multiplikative Simplexaufgaben Niveau 5 kombinatorische Anwendung Ein Wanderer will zwei Flüsse überqueren. Über den ersten Fluss führen 3 Brücken, über den zweiten Fluss 4 Brücken. Wie viele verschiedene Wege kann der Wanderer einschlagen? 47