Kinder beim Lösen von Sachaufgaben begleiten (Mo C III, 240)

Transkript

1 WS 08/09 Kinder beim Lösen von Sachaufgaben begleiten (Mo C III, 240) Material: DIN A4 Heft ohne Linien (Reisetagebuch) 1 ( ) Frühes operatives Denken beim Bearbeiten von Sachaufgaben 2 ( ) Simplex- und Komplexaufgaben 3 ( ) Problemaufgaben 4 ( ) Sachaufgaben aus Technik, Sport und Tierwelt 5 ( ) Offene Sachsituationen und Rechengeschichten 6 ( ) Lösungskommunikation 7 ( ) Reisetagebücher 8 ( ) Leistungsunterschiede/Differenzierung 9 ( ) Sachaufgaben unterrichten (Schulanfang) 10 ( ) Sachaufgaben unterrichten (Kl. 1) entfällt 11 ( ) Sachaufgaben unterrichten (Kl. 2) 12 ( ) Sachaufgaben unterrichten (Kl. 3) 13 ( ) Sachaufgaben unterrichten (Kl. 4) 14 ( ) Klausur (nur Sonderpädagogen mit fachdidaktischem Bereich Mathematik)

2 Praxiskurs im Reisetagebuch Kleben Sie die folgenden Aufgaben in Ihr Reisetagebuch ein. Vermerken Sie unter den Aufgaben das Schwierigkeitsniveau. Orientierung auf der Grundlage von Niveaustufenmodellen n. Fricke und Riley/Geeno. 2

3 V 3 Problemaufgaben 1A Anforderungen an Problemaufgaben b 2 Lösungsprozess gp 3 Heuristik 4 Strategien 3

4 3 Problemaufgaben können Simplexaufgaben oder Komplexaufgaben sein Das Besondere: Sie bilden keine Grundmodelle von Rechenoperationen ab. Deshalb verlangen sie besondere Konstruktionsfähigkeiten k it von den Schülern: das Konstruieren von Lösungswegen mit Hilfe von Zahlbeziehungen und operativen Beziehungen Sie führen Grundschulkinder zu eigentlicher Denkarbeit. Die Lernenden erwerben Fähigkeiten im heuristischen Lösen von Aufgaben. 4

5 Schüler lernen die Denkarbeit, indem sie diese tun. Mathematikunterricht te t muss Gelegenheit ege e dazu bieten. Von Bedeutung ist dabei das variable Nutzen von Arbeitsmitteln und die Notation der Lösungsgedanken und Lösungswege in Form des Reisetagebuchs. Für Problemaufgaben wählt man den Zahlenraum relativ klein, damit sich die Lösenden ganz auf das Suchen nach Lösungswegen konzentrieren können und die Rechentechnik an sich vernachlässigt werden kann. 5

6 Den Begriff Problemaufgaben im Rahmen des Sachrechnens prägte H. Winter. H. Winter (1992) Routineaufgaben: Grundmodelle des Rechnens Problemaufgaben: b von Grundmodellen d abweichende Anforderungen eine Denkbarriere muss überwunden werden 6

7 1 Die besonderen Anforderungen von Problemaufgaben 7

8 Problemaufgabe Kl. 1 Streblinde, Quicki und Murks möchten sich ein Eis kaufen. Jedes Kind hat Geld für 2 Kugeln Eis. Der Eisverkäufer bietet 3 Sorten Eis an: Schoko, Vanille und Himbeereis. Was könnte sich Quicki für ein Eis kaufen? Finde verschiedene Möglichkeiten. Aufgabe mit kombinatorischem Hintergrund Besonderheit: Arbeiten mit verschiedenen Möglichkeiten 8

9 Problemaufgabe Kl. 1 Quicki und Murks spielen mit Murmeln. Murks hat 4 Murmeln mehr als Quicki. Zusammen haben sie 20 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Quicki? Wie viele Murmeln hat Murks? Vergleichsaufgabe Besonderheit: beide Vergleichsmengen gesucht 9

10 Problemaufgabe Kl. 1 Mutti, Vati und Murks fahren mit dem Dampfer. Für Kinder kostet es nur die Hälfte. Sie bezahlen insgesamt 10 Euro. Wie viel kostet die Karte für einen Erwachsenen und wie viel kostet sie für ein Kind? Aufgabe zur Verhältnisteilung Besonderheit: ungleiche Anteile 10

11 Problemaufgabe Kl. 2 An einer Straße werden im Abstand von 10 Metern 7 Bäume gepflanzt. Murks überlegt: Wie weit ist es vom 1. bis zum 7. Baum? räumlich - statische Situation Besonderheit: Verhältnis zwischen Markierungspunkten und Zwischenräumen 11

12 Problemaufgabe Kl. 3 Der Opa von Murks ist Kaninchenzüchter. Er besitzt Ställe für ein und für zwei Kaninchen. Insgesamt sind es 25 Ställe. Er kann darin 40 Tiere unterbringen. Wie viele Ställe sind es für ein Kaninchen? Wie viele Ställe sind es für zwei Kaninchen? Aufgabe mit komplexen Informationen Besonderheit: mehrere Bedingungen sind gleichzeitig iti zu berücksichtigen 12

13 Problemaufgabe Kl. 3 Vom Teufel und dem armen Manne Der Teufel sagte zu einem armen Manne: Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen. Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr. Wie viel hatte er anfangs? Aufgabe mit unbekanntem Anfangszustand Besonderheit: Rückwärtsarbeiten wird angeregt 13

14 Problemaufgabe Kl. 3 Der Weg der kleinen Ameise auf dem Quadrat Eine Seite des Quadrats ist 200 m lang. Tagsüber legt die Ameise genau 200 m zurück; aber während der Nacht bläst sie ein starker Wind die halbe Strecke, die sie während des Tages zurückgelegt hat, wieder zurück. Am Montag Morgen geht sie los. Sie läuft von A aus über B, C, D und wieder zurück zu A. Wann wird sie wieder in A ankommen? räumlich dynamische Situation Besonderheit: Bedingungen sind nicht regelmäßig 14

15 Problemaufgabe Kl. 4 Ein Pfarrer besuchte zu Zeiten die Schule seines Ortes und fand stets, dass mehr Knaben als Mädchen waren. Einmal fand er so, Knaben und Mädchen zusammen 75 Kinder. Wie groß war nun hiervon die Anzahl der Knaben und die der Mädchen, deren Differenz 11 war? Vergleichssituation: Die beiden Vergleichsmengen g sind gesucht. 15

16 Ausschnitte aus den Reisetagebüchern der Kinder (s. Vorlesung) Entwicklung in Klassenstufe 1 Beispiele für Klassenstufe 3 und 4 16

17 2 Lösungsprozess Verstehen Planen Ausführen Evaluieren Kategorien und Ausprägungen zur Analyse der Lösungsprozesse 17

18 Phasen beim Problemlösen (n. Wessels) und Unterrichtsorganisation 1) Definition des Problems 2) Aufstellen einer Strategie, einer Methode, eines Plans 3) Exekution der Strategie 4) Evaluierung des Fortschritts bezüglich des Ziels 18

19 Definition des Problems (Verstehen der Aufgabe) bei Textaufgaben erschwert e durch: Komplexität oder Fremdheit der mathematischen Struktur sprachliche und situative Besonderheiten Zusammenhänge weichen von vertrautem Umweltwissen ab 19

20 Aufstellen einer Strategie, einer Methode, eines Plans Individuen setzen zahlreiche unterschiedliche Strategien ein von ganz einfachen Probierverfahren bis zu ausgeklügelten fachlichen Strategien. Die Wahl der Strategie ist abhängig vom Aufgabentyp. Die Wahl der Strategie ist abhängig vom Wissen und den Persönlichkeitsmerkmalen des Lösenden. 20

21 Exekution der Strategie Realisierung der Lösungsüberlegungen Auch hier kommt es häufig noch zu Verstehensprozessen und zur Strategiesuche (zu Strategiewechseln). begleitend häufig auch noch die Phasen 1) und 2) 21

22 Evaluierung des Fortschritts bezüglich des Ziels es Man muss Entscheidungen treffen, ob der Lösungsfortschritt in Richtung Zielerreichung verlaufen ist und damit, ob die gegenwärtige Strategie weiter beibehalten oder abgeändert werden soll. Die Evaluierung begleitet auch schon die Phasen 1) bis 3). 22

23 3 Heuristik heuriskein (griech.) finden, entdecken Archimedes: Heureka ich habe es gefunden. Heuristik (griech.) Lehre, Wissenschaft von den Verfahren, Probleme zu lösen 23

24 Heuristisches i Arbeiten bei Grundschulkindern d Lernen, mit Hilfe des eigenen Wissens Sachaufgaben zu bearbeiten Lernen, eigene Mittel für die Lösungsdarstellung zu entwickeln Lernen, mit Lösungsunsicherheiten umzugehen Lernen, verschiedene Lösungsvarianten zu durchdenken In Ansätzen lernen, allgemeine heuristische Strategien einzusetzen Gegenstück: Algorithmisches Arbeiten (Lösen nach einer festgelegten Vorschrift) 24

25 Heuristische i Lösungsstrategien Immer wieder suchte man nach allgemeingültigen Strategien, die aufgabenunabhängig beim Problemlösen Gültigkeit haben könnten (Gestaltpsychologen, l Polya, Kognitionspsychologie, H. Winter,...) 25

26 Zum Beispiel: Strategien der Vorwärts- und Rückwärtssuche Die Vorwärtssuche ist die natürlichere Suche. Man sucht so, wie auch tatsächlich gehandelt wird. Die Rückwärtssuche ist eine dem Handlungsverlauf entgegengesetzte Heuristik. Rückwärtshandeln entspricht nicht der Realität. Quelle: Gestaltpsychologen, z. B. Duncker; später Polya in seiner Denkschule 26

27 Aufgabe vom Teufel und dem armen Mann (s. Vorlesung 6) 27

28 28

29 Heuristische Lösungsstrategien g n. H. Winter Mach dir - im wahrsten Sinne des Wortes - ein Bild von der Sache. (Veranschaulichung) Probiere und sieh, was daraus folgt. (Regula-falsi-Prozedur) l Nimm an, du hättest schon eine Lösung und versuche dann rückwärts zu arbeiten. (Analysis-Synthesis-Prozedur) aysssy s edu Zerlege eine schwierige und komplizierte Aufgabe in Teilaufgaben. (Modularität) Versuche dich an eine ähnliche Aufgabe, die dir mehr vertraut ist, zu erinnern. (Analogiebildung) 29

30 Problemaufgabe Kl. 1 Streblinde, Quicki und Murks möchten sich ein Eis kaufen. Jedes Kind hat Geld für 2 Kugeln Eis. Der Eisverkäufer bietet 3 Sorten Eis an: Schoko, Vanille und Himbeereis. Was könnte sich Quicki für ein Eis kaufen? Finde verschiedene Möglichkeiten. Mögliche heuristische Strategien: 30

31 Problemaufgabe Kl. 1 Quicki und Murks spielen mit Murmeln. Murks hat 4 Murmeln mehr als Quicki. Zusammen haben sie 20 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Quicki? Wie viele Murmeln hat Murks? Mögliche heuristische Strategien: 31

32 Problemaufgabe Kl. 1 Mutti, Vati und Murks fahren mit dem Dampfer. Für Kinder kostet es nur die Hälfte. Sie bezahlen insgesamt 10 Euro. Wie viel kostet die Karte für einen Erwachsenen und wie viel kostet sie für ein Kind? Mögliche heuristische Strategien: 32

33 Problemaufgabe Kl. 2 An einer Straße werden im Abstand von 10 Metern 7 Bäume gepflanzt. Murks überlegt: Wie weit ist es vom 1. bis zum 7. Baum? Mögliche heuristische Strategien: 33

34 Problemaufgabe Kl. 3 Der Opa von Murks ist Kaninchenzüchter. Er besitzt Ställe für ein und für zwei Kaninchen. Insgesamt sind es 25 Ställe. Er kann darin 40 Tiere unterbringen. Wie viele Ställe sind es für ein Kaninchen? Wie viele Ställe sind es für zwei Kaninchen? Mögliche heuristische Strategien: 34

35 Problemaufgabe Kl. 3 Vom Teufel und dem armen Manne Der Teufel sagte zu einem armen Manne: Wenn du über diese Brücke gehst, will ich dein Geld verdoppeln, doch musst du jedes Mal, wenn du zurückkommst, 8 Taler für mich ins Wasser werfen. Als der Mann das dritte Mal zurückkehrte, hatte er keinen blanken Heller mehr. Wie viel hatte er anfangs? Mögliche heuristische Strategien: 35

36 Problemaufgabe Kl. 3 Der Weg der kleinen Ameise auf dem Quadrat Eine Seite des Quadrats ist 200 m lang. Tagsüber legt die Ameise genau 200 m zurück; aber während der Nacht bläst sie ein starker Wind die halbe Strecke, die sie während des Tages zurückgelegt hat, wieder zurück. Am Montag Morgen geht sie los. Sie läuft von A aus über B, C, D und wieder zurück zu A. Wann wird sie wieder in A ankommen? Mögliche heuristische h Strategien: t 36

37 4 Fachliche Lösungsstrategien g Strategien, die Schüler spontan verwenden, beruhen in der Regel auf bisher erworbenem Wissen zu Zahlbeziehungen und operativen Zusammenhängen. Bezüglich der allgemeinen heuristischen Strategien kann man vor allem Probierstrategien und die Strategie Veranschaulichen beobachten. 37

38 Verfolgt man das Lösungsverhalten der Schüler, fallen auf: Probierstrategien in den verschiedensten Formen Entwicklung: vom reinen Jonglieren mit Zahlen zur immer bewussteren Nutzung von Zahlbeziehungen und Gesetzmäßigkeiten Strategie der Veranschaulichung von Anfang an Entwicklung: vom reinen Darstellen des Sachverhaltes zur Lösungshilfe 38

39 Lösungsstrategien g am Ende der Grundschulzeit (1) Bewusstes Nutzen mathematischer Zusammenhänge (2) Bewusstes Nutzen von Zahlbeziehungen (3) Bewusstes Zuordnen von Rechenaufgaben/Gleichungen (4)Systematisches ti Probieren (5) Umwegestrategie (mehr oder weniger zufälliges Probieren) 39

40 Übung im Identifizieren von Strategien Allgemeine heuristische Strategien Konkrete fachliche Strategien 40

41 Ein Pfarrer besuchte zu Zeiten die Schule seines Ortes und fand stets, dass mehr Knaben als Mädchen waren. Einmal fand er so, Knaben und Mädchen zusammen 75 Kinder. Wie groß war nun hiervon die Anzahl der Knaben und die der Mädchen, deren Differenz 11 war? Ordnen Sie den folgenden Schülerlösungen die Strategien (1) bis (5) zu. 41

42 Martin 42

43 Stefan 43

44 Nina 44

45 Katja 45