1. Grundlagen Einführung

Transkript

1 1. Grundlagen In diesem Kapitel wird zunächst erläutert, womit sich die Spieltheorie befasst, und eingegrenzt, mit welchem Teilgebiet dieser Theorie wir uns in dieser Vorlesung (fast) ausschließlich beschäftigen werden. Im umfangreicheren zweiten Abschnitt des Kapitels gehen wir dann auf entscheidungstheoretische Grundlagen ein. Insbesondere geht es darum, Entscheidungen unter Unsicherheit zu modellieren. Das zentrale Konzept, das wir betrachten werden ist dabei das der von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion Einführung Wir beginnen diesen Abschnitt mit einem einführenden Beispiel, das gleichzeitig auf eine der frühesten und berühmtesten ökonomischen Arbeiten hinweist, die spieltheoretische Argumente enthalten, obgleich sie mehr als einhundert Jahre vor der Geburtsstunde der Spieltheorie entstanden ist, nämlich die Diskussion eines Duopols von Antoine Auguste Cournot (Cournot, 1838) Einführendes Beispiel: Das Cournot Duopol Um zu verstehen, worum es in der Spieltheorie geht, vergleichen wir die Entscheidungsprobleme eines Unternehmens bei vollständiger Konkurrenz und einer Monopolistin mit dem, das sich eine Unternehmen stellt, die in einem Markt einem oder mehreren Konkurrenten gegenübersteht. Entscheidend ist, dass sowohl für ein Unternehmen bei vollständiger Konkurrenz als auch für eine Monopolistin ihr Gewinn nur von der von ihnen gewählten Menge abhängt. Das preisnehmende Unternehmen im Modell der vollständigen Konkurrenz kennt seine Kostenfunktion und nimmt den Preis als Datum an, das monopolistische Unternehmen kennt ebenfalls seine Kostenfunktion und zusätzlich die Preis-Absatz-Funktion für sein Produkt, die zu jeder angebotenen Menge den Preis ergibt, zu dem gerade diese Menge nachgefragt wird. Damit haben beide Unternehmen ein (jedenfalls bei entsprechenden Annahmen an die Kosten- und die Preis- Absatz-Funktion) wohldefiniertes Maximierungsproblem zu lösen. Dies ist für zwei Duopolisten, nenne wir sie Unternehmen 1 und Unternehmen 2, auf einem Markt dramatisch anders: Zwar kennen auch hier beide ihre Kostenfunktion (und 1

2 1. Grundlagen 2 wir können zudem annehmen, dass sie die ihrer Konkurrentin ebenfalls kennen) und die Preis-Absatz-Funktion auf dem Markt; der Preis für eine bestimmte angebotene Menge und damit der resultierende Gewinn hängt aber auch von der Angebotsmenge des konkurrierenden Unternehmens ab. Wenn also Unternehmen 1 die für es gewinnmaximierende Menge bestimmen will, muss es dazu eine Vermutung über die Menge des Unternehmens 2 bilden. Naheliegend wäre natürlich anzunehmen, Unternehmen 2 wähle seinerseits die für es optimale Menge; dummerweise hängt die aber wiederum von seiner Vermutung über die Menge von Unternehmen 1 ab... Wir werden Cournot s Lösung des Problems, die auf ein Nash Gleichgewicht hinausläuft (vgl. Definition 2.16), das daher häufig auch als Cournot Nash Gleichgewicht bezeichnet wird, später noch näher betrachten (im Abschnitt 2.6.2). An dieser Stelle wenden wir uns einer allgemeine Beschreibung der Problemstellung, mit der wir uns im folgenden beschäftigen werden zu Gegenstand und Methodik der Spieltheorie Es gibt keinen besseren Einstieg in eine Beschreibung des Gegenstands der Spieltheorie, als John von Neumann und Oskar Morgenstern s Vorwort zur ersten Ausgabe von Games and Economic Behaviour zu zitieren (von Neumann und Morgenstern, 1953, S. v). This book contains an exposition and various applications of a mathematical theory of games. The theory has been developed by one of us [John von Neumann, Anm. J.N.] since 1928 and is now published for the first time in its entirety. The applications are of two kinds: on the one hand to games in the proper sense, on the other hand to economic and sociological problems which, as we hope to show, are best approached from this direction. The applications we shall make to games serve at least as much to corroborate the theory as to investigate these games. The nature of this reciprocal relationship will become clear as the investigation proceeds. Our major interest is, of course, in the economic and sociological direction. Here we can approach only the simplest questions. However, these questions are of fundamental character. Furthermore, our aim is primarily to show that there is a rigurous approach to these subjects, involving, as they do, questions of parallel or opposite interest, perfect or imperfect information, free rational decision or chance influences. Was wir mit Spiel [game] bezeichnen ist allgemein eine Situation, in der Entscheidungsträger miteinander interagieren. Anders ausgedrückt: Das Ergebnis seiner Entscheidung hängt nicht nur von dem Verhalten eines Akteurs (Spielers) ab, sondern wird gleichzeitig durch die Entscheidungen aller beteiligten Akteure determiniert. Die Spieltheorie ist eine mathematische Theorie, die sich mit der Analyse solcher Situationen befasst. Der Name verweist auf die Wurzeln der Theorie, die auf die Analyse von Spielen im landläufigen Sinne zurückgehen, wie z. B. Schach (vgl. Zermelo (1913) und dazu auch Universität des Saarlandes

3 3 Spieltheorie Sommersemester 2007 Schwalbe und Walker (2001)) oder andere Gesellschaftsspiele (z.b. das französische Kartenspiel le Her, siehe Waldegrave (1713)). Wie schon unser einführendes Beispiel zeigt und wie auch im zitierten Vorwort betont wird, gibt es aber eine Vielzahl ökonomischer und anderer Situationen, auf die die analytischen Werkzeuge der Spieltheorie anwendbar sind. Der Gedanke, mathematische Methoden seien für die Analyse ökonomischer Probleme unverzichtbar, wenn diese einem wissenschaftlichen Anspruch genügen solle, stammt bereits von Cournot (1838, S. 68) 1 Jedermann macht sich eine ungefähre Vorstellung von den Wirkungen des Wettbewerbs. Es wäre nun Aufgabe der Theorie gewesen, diese Vorstellung genauer zu fassen. Jedoch haben die Wirtschaftswissenschaftler keineswegs die allgemeinen Beobachtungen vervollkommnet, da sie nicht in der Lage waren, die Frage von dem richtigen Gesichtspunkt aus zu betrachten und Zeichen zu verwenden, deren Gebrauch unvermeidlich wird. Die Beobachtungen sind in ihren Arbeiten ebenso schlecht definiert und ebenso schlecht angewandt geblieben wie in der Umgangssprache. Heutzutage hat sich dieser Ansatz weitgehend durchgesetzt. Es gibt sogar Ökonomen (und sicherlich nicht wenige Studierende der Wirtschaftswissenschaften), die meinen, das Pendel sei möglicherweise ein wenig zu sehr in Richtung des mathematischen Formalismus ausgeschlagen. Zu diesen scheint auch Ronald H. Coase 2 zu gehören, wenn man folgendes pointierte Zitat betrachtet (Coase, 1988b, S. 185). In my youth it was said that what was too silly to be said may be sung. In modern economics it may be put into mathematics. Wenn Ariel Rubinstein dem in seiner Einführung zu einer Sammlung wichtiger grundlegender Arbeiten der Spieltheorie beizupflichten scheint (Rubinstein, 1990, S. xvi), sollte man ihn allerdings nicht missverstehen. Game theory becomes part of economic theory when its theorems can be expressed in the terms of everyday language. The verbal content of the theorems is the ultimate goal of game theory in so far as it constitutes a part of economic theory. Seine Forderung, ein spieltheoretischer Satz müsse sich in allgemein verständlichen Worten ausdrücken lassen, setzt als selbstverständlich voraus, dass es sich zunächst einmal um einen mathematisch korrekten Satz handelt. Worum es ihm geht ist nur, die ursprüngliche ökonomische Fragestellung nicht angesichts möglicherweise übertriebenen mathematischen Formalismen aus dem Auge zu verlieren. Neben der Frage, wie mathematisch man die Spieltheorie präsentieren sollte, stellt sich zudem noch die, wie ausführlich die philosophischen Probleme behandelt werden sollten, auf die eine gründliche Behandlung ihrer Grundlagen führt. Unsere Antwort zu beiden 1 Alle Zitate aus Cournots Arbeit beziehen sich auf die deutsche Ausgabe von W. G. Waffenschmidt aus dem Jahre Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften 1991 Jörg Naeve

4 1. Grundlagen 4 Fragen fällt recht ähnlich zu der aus, die Werner Güth im Vorwort zu seinem Lehrbuch Spieltheorie und ökonomische (Bei)Spiele gibt (1999, S. 2). Von unserer Einführung in die Spieltheorie könnte man daher verlangen daß wir die grundlegenden konzeptionellen Entscheidungen philosophisch begründen, die theoretischen Konzepte mathematisch genau definieren und charakterisieren sowie alle (Bei)Spiele exakt beschreiben und analysieren. Diesen Ansprüchen können wir nicht immer voll genügen. Dies ist eine vor allem für Studenten der Ökonomie gedachte Einführung in die Spieltheorie, [...]. Die wesentlichen Konzepte der Spieltheorie werden formal dargestellt und inhaltlich diskutiert. Nur gelegentlich werden wir spieltheoretische Aussagen mathematisch streng beweisen Nichtkooperative versus kooperative Spiele Leider müssen wir uns nicht nur darin beschränken wie wir die Spieltheorie darstellen, sondern da wir nur eine einsemestrige, Vorlesung zur Verfügung haben auch darin, was wir behandeln. Wegen der überragenden Bedeutung in der ökonomischen Literatur, zum Beipiel in der Industrieökonomik, wird dies die Theorie nichtkooperativer Spiele sein. Den wichtigen Unterschied zwischen nichtkooperativen Spielen, mit denen er sich beschäftigen wollte, und kooperativen hat schon Cournot in seiner Diskussion des Duopols klar erkannt (Cournot, 1838, S ). [...] und jeder für sich wird dieses Einkommen zum größtmöglichen Wert zu bringen versuchen. Wir sagen, jeder für sich, und diese Beschränkung ist, wie man sehen wird, sehr wesentlich; denn wenn sie sich, um das größte Einkommen zu erzielen, verständigen würden, so würde das Ergebnis ganz anders; es würde sich für die Verbraucher mit dem bei der Behandlung des Monopols erhaltenen decken. Auch John F. Nash betont (schon im Titel!) in seiner Dissertation, dass er sich mit nichtkooperativen Spielen beschäftigt und erläutert gleich zu Beginn, was den Unterschied ausmacht (Nash, 1950c, Abstract). The distinction between cooperative and non-cooperative games [...] depends on the possibility or impossibility of coalitions, communication, and sidepayments. Auch für ihn ist entscheidend, dass jeder Spieler für sich agiert (Nash, 1950c, S. 1). Our theory, in contradiction [zu der von von Neumann und Morgenstern entwickelten, Anm. J.N.], is based on the absence of coalitions in that it is assumed that each participant acts independently, without collaboration or communication with any of the others. Die heute weitgehend akzeptierte Form der Unterscheidung zwischen kooperativen und nichtkooperativen Spielen wurde von John C. Harsanyi 1966 eingeführt: In einem Universität des Saarlandes

5 5 Spieltheorie Sommersemester 2007 kooperativen Spiel [cooperative game] besteht die Möglichkeit, bindende Verträge [binding contracts] einzugehen, während dies den Spielern in einem nichtkooperativen Spiel [noncooperative game] unmöglich ist. 3 Dies bedeutet also etwa, dass Kommunikation nicht ausgeschlossen ist; eventuell getroffene Verabredungen darüber, was ein Spieler tun oder lassen will sind aber nicht einklagbar, d. h., der Spieler kann sich daran halten oder auch nicht, ohne außerhalb des Spiels liegende Konsequenzen zu gewärtigen zu haben. Unser Fokus auf die nichtkooperativen Spiele ist durch deren größere Bedeutung etwa für die Industrieökonomik motiviert, bedeutet aber nicht, dass die kooperative Theorie unwichtig oder uninteressant wäre. Ganz so einfach, wie Cournot zu denken schien, verhält es sich nämlich auch in dem Falle, dass die Spieler miteinander bindende Verträge schließen können, nicht: Selbst wenn klar ist, wie der Gesamtnutzen maximiert werden kann, bleibt doch noch die Frage offen, wie er auf die einzelnen Spieler verteilt werden soll. Neben dem bekannten Konzept der Pareto Effizienz spielen in der kooperativen Theorie verschiedene Aspekte von Gerechtigkeit oder Fairness eine Rolle. Wenn wir diese Theorie schon nicht ausführlich behandeln können, wollen wir wenigstens zu Protokoll geben, dass entgegen dem Eindruck den man im Rahmen vieler ökonomischer Lehrveranstaltungen gewinnen kann derlei Fragestellungen durchaus einer wissenschaftlichen ökonomischen Betrachtung zugänglich sind. Was gerecht oder fair bedeutet, ist allerdings ungleich schwerer zu beantworten, als was effizient ist. Ansonsten geben wir an dieser Stelle einen kurzen Überblick, um hoffentlich später wenigstens auf auf einige Aspekte noch vertiefend zurückzukommen. Schon von Neumann und Morgenstern (1953) beschäftigen sich ausführlich auch mit der kooperativen Spieltheorie und führen die für dies Theorie wichtigen Konzepte der Koalition [coalition] und der charakteristischen Funktion [charakteristic function] ein. Das wesentliche Lösungskonzept, dass sie für kooperative Spiele entwickeln ist die (von Neumann Morgenstern) stabile Menge [(von Neumann Morgenstern stable set] (vgl. Lucas (1992)). Gute Darstellungen der kooperativen Theorie finden sich in den Lehrbüchern von Owen (1993), von Osborne und Rubinstein (1994) oder von Myerson (1991), nach wie vor lesenswert ist auch Aumann (1967). Ein Spezialfall der kooperativen Spiele bilden die (kooperativen) Verhandlungsspiele [(cooperative) bargaining games], in denen es genau zwei Spieler gibt. Mithin gibt es in Verhandlungsspielen neben den individuellen Spielern als Ein-Personen-Koalition nur noch die große Koalition [grand coalition] aller (d. h. beider) Spieler. Wichtige Lösungskonzepte für diese Art von Spielen sind u.a. Die Nash Verhandlungslösung [bargaining solution] (Nash, 1950a, 1953) Die Kalai-Smorodinski Verhandlungslösung (Kalai und Smorodinsky, 1975) Die Maschler Perles Verhandlungslösung (Perles und Maschler 1981 und Maschler und Perles 1981) Einen guten Überblick liefert Thomson (1994). 3 Ritzberger (2002, S. 7f.) bietet eine alternative Sichtweise. Jörg Naeve

6 1. Grundlagen 6 Ansonsten unterscheidet man kooperative Spiele mit Seitenzahlungen [side payments], die sogenannten TU-Spiele (mit transferierbarem Nutzen [transferable utility]), und NTU- Spiele (mit nicht transferierbarem Nutzen [non-transferable utility]), kooperative Spiele ohne Seitenzahlungen. Wichtige (Lösungs-)konzepte sind. Die Pareto effizienten Nutzenallokationen (TU und NTU) Die individuell rationalen [individually rational] Nutzenallokationen (Imputationen [imputations]) (TU und NTU) Der Kern [core], in verschiedenen Variationen (siehe Kannai (1992), und Peleg (1992) sowie zur Bedeutung für die Mikroökonomik Anderson (1992)) Der Shapley Wert [Shapley value] (Shapley (1953) für den TU-Fall und Shapley (1969) für den NTU-Fall, sowie Winter (1998)) Der Nukleolus [nucleolus] (TU, Kohlberg (1971), Maschler (1992)) Der Kern [kernel] (TU, Davis und Maschler (1965, 1967), Maschler (1992)) Die Verhandlungsmenge [bargaining set] Aumann und Maschler (1964), Maschler (1992)) Evolutionäre und experimentelle Spieltheorie Zwei weitere Ansätze der Spieltheorie, die in neuerer Zeit große Bedeutung gewonnen haben, können wir leider nur kurz ansprechen, ohne näher auf sie einzugehen. Die evolutionären Spieltheorie ist bereits in einer der beiden Interpretationen des Nash Gleichgewichts angelegt, die John F. Nash in seiner Dissertation vorschlägt (Nash, 1950c, S. 21). We shall now take up the mass-action interpretation of equilibrium points. In this interpretation solutions have no great significance. It is unnecessary to assume that the participants have full knowledge of the total structure of the game, or the ability or inclination to go through any complex reasoning processes. But the participants are supposed to accumulate empirical information on the relative advantages of the various pure strategies at their disposal. Diese Interpretation wurde maßgeblich vorangetrieben durch Anwendungen in der Evolutionsbiologie. John Maynard Smith entwickelte das Konzept der evolutionär stabilen Strategien [evolutionary stable strategies] (ESS). Aber auch in der Ökonomik gibt es wichtige Fragestellungen, die mit Hilfe des evolutionären Ansatzes und seiner Weiterentwicklung behandelt werden. Im wesentlichen geht es darum, zu untersuchen, welche Verhaltensweisen sich in einem Spiel entwickeln, wenn die Spieler ausgehend von einer bestimmten Anfangskonstellation ihr Verhalten gemäß einfacher Regeln anpassen. Ein wichtiger Aspekt ist dabei die Frage, ob dadurch die Universität des Saarlandes

7 7 Spieltheorie Sommersemester 2007 Vorhersagen gestützt werden können, die sich aus der Analyse des Verhaltens rationaler Spieler ergeben (z. B. Nash Gleichgewichte). Zur weiterführenden Lektüre seien die Bücher von Gintis (2000), Weibull (1995), Vega-Redondo (1996), Samuelson (1997) sowie Fudenberg und Levine (1998) empfohlen; Hammerstein und Selten (1994) gehen speziell auf die Schnittmenge mit der evolutionären Theorie in der Biologie ein. Während in den Modellen der evolutionären Spieltheorie die Abweichungen von der Annahme der Rationalität der Spieler theoretischer Natur sind und in gewissem Sinne ad hoc getroffen werden, verfolgt die experimentelle Spieltheorie (oder allgemeiner die experimentelle Ökonomik) einen empirischen Ansatz. Dieser Zweig der Theorie erfuhr wesentliche Anregungen durch die Psychologie. Insgesamt ist diese Forschungsrichtung zu vielfältig, um ihr hier mit einer Kurzzusammenfassung gerecht werden zu können, so dass wir uns darauf beschränken auf die Bücher zur experimentellen Ökonomik von Davis und Holt (1993) und Camerer (2003) sowie den Handbuchartikel von Shubik (1998) sowie dem inzwischen vorliegenden eigenen Handbook of Eperimental Economics (Kagel und Roth, 1995) zu verweisen. Auch dieser Ansatz begann im übrigen schon früh, etwa in den Experimenten die in der RAND Corporation durchgeführt wurden (siehe etwa Kalisch, Milnor, Nash, und Nering (1952, 1954) oder Flood (1952, 1954a,b)) Nichtkooperative Spieltheorie und Rationalität Die zentrale Annahme in der klassischen Spieltheorie und damit insbesondere in der nichtkooperativen Spieltheorie, wie wir sie im folgenden betrachten werden, ist der der Rationalität [rationality]. John von Neumann und Oskar Morgenstern schreiben (von Neumann und Morgenstern, 1953): But it may safely be stated that there exists, at present, no satisfactory treatment of the question of rational behavior. Insofern bildet die Rationalität einerseits eine Grundannahme der Spieltheorie, andererseits gilt es, die Bedeutung und exakte Definition von Rationalität im Rahmen der Entwicklung der Theorie zu erarbeiten. Grundsätzlich kann man sagen, dass die Spieltheorie auf zwei zentralen Annahmen an das Verhalten der Entscheidungsträgerinnen basiert: 1. Jede Entscheidungsträgerin verfolgt ein gegebenes Ziel; 2. sie berücksichtigt dabei sämtliche relevanten Informationen, die ihr zur Verfügung stehen, insbesondere ihr Wissen oder ihre Erwartungen über das Verhalten anderer Entscheidungsträgerinnen. Der zweite Punkt wird im weiteren noch eine wichtige Rolle spielen, speziell wenn wir in Kapitel 5 Spiele mit unvollständiger Information behandeln. Nach einigen Bemerkungen zu Anwendungen und Geschichte der Spieltheorie, wenden wir uns in Abschnitt 1.2 aber zunächst der Frage zu, wie wir die erste Annahme operationalisieren können. Jörg Naeve

8 1. Grundlagen Anwendungsgebiete der Spieltheorie: Spieltheoretische Methoden werden heute in fast allen Sozialwissenschaften angewandt: in den Wirtschaftswissenschaften, der Politologie, der Soziologie aber auch in der Evolutionsbiologie oder der Informatik; großes Interesse finden bestimmte Fragestellungen, die die Spieltheorie aufwirft auch in der Philosophie. Ihre Hauptanwendungen liegen jedoch im Bereich der Wirtschaftswissenschaften. In der Mikroökonomik sind es Gebiete wie Industrieökonomik, Informationsökonomik, die Theorie optimaler Verträge, Auktionstheorie etc.; in der Makroökonomik werden policy games untersucht, etwa Fragen strategischer Handelspolitik und die Geldmengensteuerung der Zentralbank; auch in der Finanzwissenschaft gibt es zahlreiche Anwendungen, wie z.b. die Ausgestaltung von Steuersystemen, die Bereitstellung öffentlicher Güter usw. in der Betriebswirtschaftslehre werden strategische Management und Unternehmensentscheidungen mit Hilfe der Spieltheorie analysiert. In diesem Skript werden die präsentierten theoretischen Konzepte teilweise durch Beispiele aus verschiedenen dieser Bereiche illustriert Zur Geschichte der Spieltheorie Es gibt wenige Forschungsbereiche in den Wirtschaftswissenschaften, deren Beginn so eindeutig feststellbar ist, wie der der Spieltheorie. Zwar gab es einige frühe Vorläufer (etwa James Waldegrave, Antoine Auguste Cournot, Joseph Bertrand, Emile Borel, Ernst Zermelo, Dénes König, Làzlo Kalmár oder Frederik Zeuthen ) aber zweifellos gebührt John von Neumann und Oskar Morgenstern die Ehre, als Begründer der Spieltheorie zu gelten. Im folgenden führen wir einige wichtige Daten in der Geschichte der Spieltheorie auf. Diese und viele weitere finden sich auf der interessanten Website zur Geschichte der Spieltheorie die Paul Walker pflegt. Sie finden Sie unter der URL Speziell mit den Vorläufern, also sozusagen mit der Geschichte der Spieltheorie, bevor diese als eigenständiges Gebiet etabliert wurde, befasst sich Dimand und Dimand (1996). John von Neumann (1928) führt grundlegende Konzepte und Ergebnisse ein, die in das gemeinsame Werk mit Oskar Morgenstern eingehen. Das Buch Games and Economic Behaviour (deutsch: Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten) erscheint Die zweite Auflage 1947 enthält erstmals die Axiomatisierung der von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion. In diesem Skript wird zitiert nach der dritten Auflage (von Neumann und Morgenstern, 1953), auf der auch die deutsche Übersetzung beruht (von Neumann und Morgenstern, 1961). Universität des Saarlandes

9 9 Spieltheorie Sommersemester 2007 In seiner Dissertation (Nash, 1950c) definiert John F. Nash das später nach ihm als Nash Gleichgewicht bezeichnete Konzept (Nash, 1950b, 1951). 4 In den 50er und 60er Jahren gibt es die erste Verwendung spieltheoretischer Modelle in der Wirtschaftstheorie sowie psychologische Untersuchungen des Verhaltens in experimentellen Spielen. Zu Beginn der siebziger Jahre beginnen Anwendungen der Spieltheorie in der Evolutionsbiologie (John Maynard Smith ) wird der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften an die drei Spieltheoretiker John C. Harsanyi, John F. Nash und Reinhard Selten verliehen Nobelpreis an Daniel Kahnemann für das einführen von Einsichten der psychologischen Forschung in die Wirtschaftswissenschaft, besonders bezüglich Beurteilungen und Entscheidungen bei Unsicherheit und Vernon L. Smith für den Einsatz von Laborexperimenten als Werkzeug in der empirischen ökonomischen Analyse, insbesondere in Studien unterschiedlicher Marktmechanismen Entscheidungen unter Unsicherheit In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst individuelle Entscheidungsträgerinnen und die Modellierung ihrer Ziele. Dabei wird im Mittelpunkt die Behandlung von Entscheidungen bei Unsicherheit stehen. Eine gut lesbare Darstellung der Inhalte diese Kapitels findet sich in Luce und Raiffa (1957, Kap. 2, S und (weiterführend und schwieriger) Kap. 13, S ), sehr klar ist auch Ritzberger (2002, Kap. 2); Myerson (1991, S. 1 20) bietet eine integrierte Darstellung von Risiko und Unsicherheit, die etwas technisch erscheinen mag, einen umfassenden Überblick einschließlich einer langen Literaturliste findet man schließlich im Handbuchartikel von Fishburn (1994), ebenfalls einen Überblick über Entscheidungen bei Unsicherheit bietet Machina (1987) Erinnerung: Präferenzen über Güterbündel In der neoklassischen Haushaltstheorie, die Sie aus der Vorlesung VWL A kennen, werden die Konsumentinnen durch ihre Präferenzrelation [preference relation] über die verschiedenen Güterbündel in ihrer Konsummenge charakterisiert. Eine Präferenzrelation ist dabei eine binäre Relation auf der Konsummenge X die transitiv und vollständig ist. Seien x und y zwei Güterbündel, so bedeutet x y, dass die betreffende Konsumentin das Güterbündel x mindestens so gut findet wie y. Zur Relation gehören die strikte Präferenzrelation [strict preference relation] und die Indifferenzrelation [indifference relation]. 4 Alle drei ansonsten nicht so leicht zugänglichen Werke finden sich in Nash (2002). 5 Die Begründungen stammen aus der offiziellen Presseerklärung des Nobelkomitees vom 9. Oktober Neben Kahnemann hätte sicherlich auch sein 1996 verstorbener Koautor Amos Tversky den Preis verdient. Jörg Naeve

10 1. Grundlagen 10 Die grundlegende Annahme in der Theorie ist, dass die Konsumentinnen aus einer vorgegebenen Menge (z.b. ihrer Budgetmenge) immer präferenzmaximale Güterbündel wählen werden. Die Präferenzen bilden das grundlegende Konzept. Sind die Präferenzen stetig, lassen sie sich durch eine Nutzenfunktion [utility function] darstellen. Eine solche Nutzenfunktion ist eine Funktion u : X R derart, dass für je zwei Güterbündel x, y X gilt x y u(x) u(y) und x y u(x) = u(y). Dabei beschreiben verschiedene Nutzenfunktionen die selbe Präferenzordnung, genauer gesagt stellen alle monoton steigenden Transformationen einer Nutzenfunktion die selbe zugrunde liegende Präferenz dar. Eine ausführlichere Darstellung findet sich in jedem guten Lehrbuch zur Mikroökonomik. Ritzberger (2002, Kap. 2, S ) bietet eine ungewöhnliche Darstellung, die durchzuarbeiten sicherlich das Verständnis sehr fördert Unsicherheit und Risiko In der Spieltheorie kann man nicht einfach mit einer solchen Präferenzordnung arbeiten, denn in vielen strategischen Entscheidungssituationen ist Unsicherheit [uncertainty] bzw. Risiko [risk] von zentraler Bedeutung. Dafür gibt es verschiedene mögliche Gründe. Einer, der inhärent in der Spielsituation angelegt ist, liegt darin, dass einer Spielerin die Entscheidungen der anderen Spielerinnen nicht bekannt sind, sie also unsicher ist, was ihre Mitspielerinnen tun. Dies ist allerdings Gegenstand der spieltheoretischen Analyse, die in den folgenden Kapiteln dargestellt wird. Die Unsicherheit, um die es uns hier geht kann daraus resultieren, dass wie bei manchen Gesellschaftsspielen der Zufall [chance] eine Rolle spielt, etwa in Form eines Würfels, des Verteilens von Karten oder eines Münzwurfs; dass eine Spielerin selbst die Unsicherheit erzeugt, indem sie eine gemischte Strategie spielt (siehe dazu Abschnitt im folgenden Kapitel); dass Unsicherheit besteht, welches Spiel überhaupt gespielt wird (wir werden in Kapitel 5 sehen, dass dieser Fall auf den ersten zurück geführt werden kann). Daher wurde die Entwicklung einer Theorie der Entscheidung unter Unsicherheit [decision under uncertainty] erforderlich. Zu dieser Theorie haben von Neumann und Morgenstern in ihrem Buch wesentliches beigetragen, sie ist aber über die Spieltheorie hinaus von Interesse und hat sich zu einem weiten Gebiet entwickelt, dem wir hier kaum gerecht werden können. Daher beschränken wir uns im wesentlichen darauf, im folgenden Abschnitt das Konzept der von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion und die Erwartungsnutzenhypothese [expected utility hypothesis] einzuführen. Universität des Saarlandes

11 11 Spieltheorie Sommersemester 2007 Zunächst wollen wir aber kurz darauf eingehen, wie man Unsicherheit modellieren kann. Grundsätzlich entsteht Unsicherheit dann, wenn verschiedene mögliche Zustände der Welt [states of the world] existieren, die für eine Entscheidungsträgerin relevant sind. Man denke etwa an das Wetter morgen (im einfachsten Fall mit zwei möglichen Zuständen: Regen oder Sonne), einen Münzwurf (Kopf oder Zahl) oder das Würfeln (mögliche Zustände 1, 2,..., 6). Im allgemeinen nehmen wir an, dass es eine vorgegebene Menge Ω möglicher Zustände der Welt gibt. Diese Zustände schließen sich gegenseitig aus, d.h., es kann letztlich nur genau einer realisiert werden. Zunächst wollen wir dabei aus Vereinfachungsgründen voraussetzen, dass Ω endlich ist. Logisch gibt es in Problemen mit Unsicherheit (mindestens) zwei Zeitpunkte bzw. Perspektiven, nämlich ex ante [ex ante] und ex post [ex post]. Ex ante sind noch sämtliche Zustände der Welt möglich oder denkbar, dies entspricht etwa dem Moment, in dem ein Würfel geworfen wird: Zu diesem Zeitpunkt kann noch jede Augenzahl zwischen 1 und 6 fallen. Ex post ist ein bestimmter Zustand ω Ω eingetreten, dies entspricht dann dem Zeitpunkt, in dem der Würfel zur Ruhe gekommen ist und klar geworden ist, welche Augenzahl er zeigt, etwa die 5. Ex post sind mithin alle bis auf den eingetretenen Zustand ω nicht mehr von Interesse. Zusätzlich werden wir auch noch Zeitpunkte zwischen ex ante und ex post betrachten, für die sich in der Literatur die Bezeichnung interim [interim] eingebürgert hat. Wir werden hier dennoch Rosenmüller (1988) folgen, und diese Zeitpunkt mit in mediis [in mediis] bezeichnen. Das entscheidende an der Situation in mediis ist, dass eine Entscheidungsträgerin zu diesem Zeitpunkt über bessere Information [information] verfügt, wenn sie auch noch nicht genau weiß, welcher Zustand eingetreten ist, was sie erst ex post erfährt. 6 Formal wird Information mit Hilfe von Partitionen [partitions] des Zustandsraums Ω modelliert. Eine Partition besteht aus einer disjunkten Zerlegung von Ω in Teilmengen. Die Interpretation ist, dass die Entscheidungsträgerin in mediis erfährt, in welcher Teilmenge der Partition der tatsächliche Zustand liegt (bzw. liegen wird). Eine Teilmenge von Ω wird auch als Ereignis [event] bezeichnet, wobei die Elemente ω Ω auch Elementarereignisse [elementary events] heißen. In mediis erfährt die Entscheidungsträgerin also, dass ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist, was bedeutet, dass für sie danach nur noch die Zustände der Welt möglich sind, die in diesem Ereignis enthalten sind. Je feiner die Partition, desto exakter ist die Information, die Extremfälle sind die Partition, die nur aus Ω selbst besteht, und die feinste mögliche Partition von Ω in die Elementarereignisse. Zu beachten ist, dass die Betrachtung der gesamten Partition aus der ex ante Perspektive Sinn ergibt: Die Frage die sich dann stellt ist, wie genau die Information sein wird, die die Entscheidungsträgerin in 6 In Spielen, in denen mehrere Entscheidungsträgerinnen auftreten, können deren Informationen in mediis durchaus sehr unterschiedlich ausfallen, insbesondere könnte eine von ihnen bereits den genauen Zustand kennen, während eine andere im Extremfall immer noch sämtliche Zustände der Welt für möglich erachtet. Jörg Naeve

12 1. Grundlagen 12 mediis erhält. In mediis interessiert nur das realisierte Ereignis in der Partition. Beispiel Betrachten wir das Würfeln. Der Zustandsraum ist Ω = {1, 2,..., 6}. Ex ante sind alle sechs Augenzahlen möglich, die ex ante Information entspricht also der Partition P 0 = { Ω }. Ex post ist eine Augenzahl gewürfelt worden, die Partition, die die ex post Information beschreibt ist also die feinstmögliche, nämlich P 1 = { {1}, {2},..., {6} }. Nehmen wir nun an, es wird so gewürfelt, dass zwar die Entscheidungsträgerin Anna (A) das Ergebnis nicht sieht, wohl aber ein Beobachter (B). Es wäre denkbar, dass B danach bekannt gibt, ob die Augenzahl gerade oder ungerade ist, dies entspricht der Partition ˆP = { {1, 3, 5}, {2, 4, 6} }. Angenommen es wurde eine 4 gewürfelt, weiß A in mediis nur, dass das Ereignis {2, 4, 6} eingetreten ist. Hat sie zu diesem Zeitpunkt eine Entscheidung zu treffen, muss sie also noch die Konsequenzen in diesen drei Zuständen berücksichtigen, aber nicht mehr die ungeraden Zustände. Die Partition ˆP ist feiner als die ex ante Partition P 0, aber gröber als die ex post Partition P 1. Eine möglich alternative Partition wäre P = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6} }, die der Situation entspricht, dass B sagt, ob der Wurf eine Augenzahl kleiner gleich oder größer als 3 ergeben hat. Auch P ist feiner als P 0 und gröber als P 1. Allerdings ist P weder feiner noch gröber als ˆP. Der Punkt ist, dass wir Entscheidungen aus der ex ante oder der in mediis Perspektive analysieren wollen, also zu einem Zeitpunkt, in dem eine Entscheidungsträgerin noch die Konsequenzen ihrer Entscheidung in verschiedenen (wenn auch in mediis möglicherweise nicht mehr allen ursprünglich möglichen) Zuständen der Welt bedenken muss. Um beim Würfeln zu bleiben, könnte es z.b. darum gehen, ob man beim Mensch ärgere Dich nicht sein Männchen vor das mit Männchen besetzte Haus der Mitspielerin setzt, die als nächstes würfelt. Im Falle einer 6 wird das eigene Männchen geschlagen, in allen anderen Fällen nicht. Natürlich gibt es auch ökonomisch etwas relevantere Beispiele, wie das folgende. Beispiel Reinhard S. stellt fest, dass er entgegen seiner Gewohnheit auf eine Reise zu einem Spieltheoriekongress keinen Schirm mitgenommen hat. Er erwägt, ob er am Flughafen einen Schirm kaufen soll. Klar ist, dass er dies täte, wüsste er, dass es während seines Aufenthalts regnen wird; ebenso ist klar, dass er keinen Schirm kaufen würde, sollte die ganze Zeit die Sonne scheinen. Da er dies aber zum Zeitpunkt seiner Ankunft (ex ante) nicht weiß, muss er seine Kaufentscheidung unter Unsicherheit fällen: Kauft er (ex ante) einen Schirm, so bleibt er bei Regen (ex post) trocken, ärgert sich aber bei Sonnenschein (ex post) über das verschwendete Geld; kauft er (ex ante) keinen Schirm, wird er bei Regen (ex post) nass, kann sich aber bei Sonnenschein (ex post) freuen, keine unnützen Ausgaben getätigt zu haben. In diesem Beispiel hängt der Nutzen einer bestimmten Allokation (ein Schirm und weniger Geld bzw. kein Schirm und mehr Geld) vom eingetretenen Zustand ab. 7 Diesen Fall werden wir im folgenden nicht weiter betrachten, sondern uns stattdessen auf Situa- 7 Debreu (1959) zeigt, dass durch eine geschickte Erweiterung des Güterbegriffs, Unsicherheit direkt Universität des Saarlandes

13 13 Spieltheorie Sommersemester 2007 tionen konzentrieren, in denen das was man bekommt vom Zustand der Welt abhängt, nicht aber der Nutzen. Das typische Beispiel ist ein Lotterielos, das für den Fall, dass die Losnummer gewinnt, einen bestimmten Betrag verspricht, andernfalls nichts. Hier wäre der Nutzen des ausgezahlten Betrages für den Losinhaber immer der selbe, egal ob sein Los gewinnt oder nicht, nur dass er den Betrag im letzteren Falle nicht erhält. Die Entscheidungsalternativen aus denen eine Entscheidungsträgerin in einer Entscheidungssituation unter Unsicherheit wählt, geben für jeden Zustand der Welt ω Ω an, welche Konsequenz [consequence] sich in diesem Zustand ergibt. Ist Z, die Menge aller möglichen Konsequenzen, so ist die Menge aller denkbaren unsicheren Entscheidungsalternativen die Menge aller Abbildungen von Ω nach Z, also Z Ω = {f : Ω Z}. Dabei kann Z beispielsweise ein Güterraum sein oder aus möglichen Geldauszahlungen bestehen. Ex post, wenn der Zustand der Welt realisiert worden ist, sieht die Situation dann genauso aus, wie in der klassischen Haushaltstheorie. In vielen Anwendungen wird angenommen, dass auf Ω eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben ist. In unserem Falle, in dem Ω als endlich vorausgesetzt ist, handelt es sich dabei einfach um einen Vektor p = (p ω ) ω Ω von Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Elementarereignisse. Für p gilt p ω = 1 und p ω [0, 1] ω Ω. ω Ω Bei einer fairen Münze geht man beispielsweise davon aus, dass p Kopf = p Zahl = 1 gilt, 2 bei einem ungezinkten Würfel gilt p 1 = p 2 =... = p 6 = 1. Da die Wahrscheinlichkeiten exogen vorgegeben sind, spricht man auch von objektiven Wahrscheinlichkeiten 6 [objective probabilities] (vgl. den Abschnitt zu einem alternativen Wahrscheinlichkeitskonzept). Sind in einer Entscheidungssituation objektive Wahrscheinlichkeiten vorgegeben, so spricht man von Risiko [risk], während Unsicherheit [uncertainty] im engeren Sinne für den Fall ohne vorgegebene Wahrscheinlichkeiten reserviert ist. Diese Unterscheidung geht zurück auf Frank H. Knight (1921) Von Neumann Morgenstern Nutzenfunktionen und die Erwartungsnutzenhypothese Von Neumann und Morgenstern behandeln den Fall von Entscheidungen bei Risiko, d. h., sie nehmen an, dass auf der Menge Ω der möglichen Zustände der Welt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vorgegeben ist. Genauer gesagt blenden sie die Zustände der Welt aus im Rahmen des üblichen Modells der Theorie des Haushalts behandelt werden kann. Der Trick besteht darin, zwischen einem Gut Schirm bei Regen und einem anderen Gut Schirm bei Sonne zu unterscheiden. Der ex ante Kauf eines Schirm entspricht dann dem Kauf eines Güterbündels, bestehend aus einem Schirm bei Regen und einem Schirm bei Sonne. Jörg Naeve

14 1. Grundlagen 14 und betrachten Lotterien [lotteries], die aus verschiedenen Konsequenzen, sagen wir Geldauszahlungen, bestehen, die mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten eintreten. Dies setzt implizit voraus, dass der Nutzen von Konsequenzen nicht vom Zustand abhängt. Ist dies gegeben, dann ist es etwa egal, ob man einen Euro erhält, wenn beim Wurf einer fairen Münze Zahl fällt, und nichts, wenn Kopf fällt, oder ob man einen Euro erhält, wenn mit einem ungezinkten Würfel eine gerade Zahl gewürfelt wird und andernfalls leer ausgeht. Entscheidend ist, dass man in beiden Fällen mit der Wahrscheinlichkeit 1 einen Euro 2 erhält und mit der Wahrscheinlichkeit 1 nichts. 2 Die Frage, die von Neumann und Morgenstern stellen ist die einer Nutzenbewertung von Lotterien. Dabei geht es ihnen wie in der klassischen Haushaltstheorie darum, mit Hilfe dieser Nutzenbewertung Präferenzen über Lotterien darzustellen. Auch hier sind es diese Präferenzen, die das grundlegende Konzept darstellen, während eine Nutzenfunktion auf Lotterien, eine Präferenz lediglich darstellt. Insofern wird es auch nicht überraschen, dass wir auch in dieser Theorie verschiedene Nutzenfunktionen haben werden, die ein und die selbe Präferenz beschreiben. Definition 1.1 ((einfache) Lotterie) Sei die Menge aller möglichen Konsequenzen Z vorgegeben. Dann besteht eine (einfache) Lotterie [(simple) lottery] aus einer endlichen Teilmenge {z 1, z 2,...,z K } von Z und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (p 1, p 2,...,p K ) auf dieser Teilmenge. 8 Wir bezeichnen die Menge aller einfachen Lotterien (über Z) mit L. Eine typische Lotterie schreiben wir als L = (p 1 z 1, p 2 z 2,...,p K z K ). Beispiel Ein Los gibt die Auszahlung 100 Euro oder null Euro, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0.5. Diese Lotterie schrieben wir als L = ( , 0.5 0). Die Menge aller möglichen Konsequenzen Z besteht hier aus allen denkbaren Geldauszahlungen, wir würden sie also z.b. als Z = R + ansetzen. Die Frage, der wir nachgehen lautet: Wie wird eine rationale Akteurin eine solche Lotterie bewerten? Anders ausgedrückt: Wie soll der Wert eines Loses berechnet werden? Für Lotterien, deren Konsequenzen monetäre Auszahlungen sind, wurde dieses Problem schon lange diskutiert. Der naheliegende erste Gedanke war, dass man zur Bewertung eines Loses den Erwartngswert der Auszahlungen [expected payoff] verwendet. In unserem Beispiel wäre das, e e = 50e 8 Entscheidend für die einfache Lotterie ist hier die Endlichkeit der verschiedenen Konsequenzen der Lotterie. Die Menge Z aller möglichen Konsequenzen ist in der Regel nicht endlich, etwa wenn es sich um einen Güterraum handelt. Universität des Saarlandes

15 15 Spieltheorie Sommersemester 2007 oder allgemein: E(L) = K p k z k. k=1 Das Problem ist, dass eine solche Bewertung zu paradoxen Ergebnissen führen kann. Das St. Petersburg Paradoxon Dieses Paradoxon wurde von Jakob Bernoulli entdeckt. Seinen Namen verdankt es der Tatsache, dass dessen Neffe Daniel Bernoulli während eines Aufenthalts in St. Petersburg einen Lösungsansatz fand, der das Paradox aufhebt, und dieser in der Zeitschrift der St. Petersburger Akademie veröffentlicht wurde (Bernoulli, 1738). Das Paradoxon geht davon aus, dass eine Münze wiederholt geworfen wird und die Auszahlung 2 k Euro beträgt, wenn Kopf zum ersten Mal beim k-ten Wurf erscheint. Erscheint also z.b. Kopf zum ersten Mal beim dritten Wurf, so beträgt die Auszahlung 2 3 = 8 Euro. Der Erwartungswert der Auszahlung beträgt in diesem Beispiel unendlich: E(L) = = lim k K k=1 1 2 k2k = + Entsprechend unserem vorgeschlagenen Kriterium wäre der Wert einer solchen Lotterie also unendlich groß. Kaum jemand wäre jedoch bereit, z.b Euro zu zahlen, um an diesem Spiel teilnehmen zu können. Daher das Paradox. 9 Bernoullis Lösungsansatz bestand darin eine bestimmte Form von abnehmendem Grenznutzen des Geldes zu postulieren. Konkret nahm er an, dass der Nutzen von m Euro log 10 m beträgt. Dann ist der relevante Erwartungswert lim k K k=1 1 2 k log 10 2 k und dieser Wert ist endlich. Diese Lösung ist allerdings für unsere Zwecke nicht überzeugend, schon weil die Wahl der Nutzenfunktion völlig ad hoc geschieht. 9 Strenggenommen ist die oben beschriebene Lotterie keine einfache Lotterie, da ja unendlich viele Auszahlungen möglich sind. Wenn wir aber statt des Grenzwertes für K gegen unendlich ein endliches aber sehr großes K wählen, bleibt das paradoxe Ergebnis bestehen, dass der Erwartungswert weitaus größer ist, als die Zahlungsbereitschaft für die Lotterie. Jörg Naeve

16 1. Grundlagen 16 Die Erwartungsnutzen Hypothese Das Ergebnis zu dem von Neumann und Morgenstern gelangen ist, dass das rationale Verhalten einer Entscheidungsträgerin bei Risiko als Maximierung des Ausdrucks U(L) = K p k u(z k ) k=1 charakterisiert werden kann. Dabei wird die Funktion u : Z R (die Nutzenfunktion über sichere Ereignisse) als nicht abnehmend angenommen. U(L) ist der Erwartungsnutzen [expected utility] der Lotterie L. Die Nutzenfunktion u, die den (sicheren) Konsequenzen in Z eine reelle Zahl zuordnet bezeichnen wir als von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion [von Neumann Morgenstern utility function]. 10 Man beachte, dass u nur bis auf positiv affine Transformationen [positive affine transformations] definiert ist, d.h., ist u eine von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion, dann ist auch v = c + bu mit b > 0 eine von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion, die dieselben Präferenzen beschreibt. Man kann also bei einer gegebenen von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion den Ordinatenabschnitt c und die Steigung b frei wählen und dadurch die Funktion geeignet normieren, z. B. indem der Nutzen der schlechtesten Auszahlung auf 0, und der der besten Auszahlung auf 1 gesetzt wird. Im Unterschied zu den Nutzenfunktionen der Haushaltstheorie, sind aber nicht beliebige monotone Transformationen zugelassen. Der Grund für diese Einschränkung liegt darin, dass wir an den Auswirkungen auf die Präferenzen über Lotterien interessiert sind, die eine Transformation der von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion u über den Konsum in einzelnen Zuständen der Welt hat. Mit anderen Worten: wir müssen beachten, wie sich eine Veränderung von u auf den Erwartungsnutzen U auswirkt. Zunächst überlegen wir uns leicht, dass die angegebenen Transformationen von u in der Tat nichts an der Bewertung von Lotterien anhand ihres Erwartungsnutzens ändern. Betrachten wir wie bisher zwei Zustände der Welt. Sei u eine von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion und seien L = (p 1 z 1, p 2 z 2 ) und L = (p 1 z 1, p 2 z 2 ) zwei Lotterien. Deren Erwartungsnutzen sind dann U(L) = U (p 1 z 1, p 2 z 2 ) = p 1 u(z 1 ) + p 2 u(z 2 ) und U(L ) = (p 1z 1, p 2z 2) = p 1u(z 1) + p 2u(z 2). Der Konsument zieht Lotterie L der Lotterie L vor genau dann, wenn U(L) > U(L ), er ist indifferent, wenn U(L) = U(L ), und zieht L gegenüber L vor, wenn U(L) < U(L ). 10 Der Sprachgebrauch ist hier nicht überall völlig klar, so verwendet Ritzberger (2002, S. 40) den Ausdruck von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion für die Erwartungsnutzenfunktion U und nennt u Bernoulli Nutzenfunktion. Universität des Saarlandes

17 17 Spieltheorie Sommersemester 2007 Nun wenden wir auf u eine positiv affine Transformation g(u) = au+b an und bezeichnen den Erwartungsnutzen nach der Transformation mit U g. Es ergibt sich U g (L) = p 1 [g(u)](z 1 ) + p 2 [g(u)](z 2 ) = p 1 [au(z 1 ) + b] + p 2 [au(z 2 ) + b] = ap 1 u(z 1 ) + p 1 b + ap 2 u(z 2 ) + p 2 b = a [p 1 u(z 1 ) + p 2 u(z 2 )] + (p 1 + p 2 )b = au(l) + b, da p 1 + p 2 = 1. Analog erhalten wir auch U g (L ) = au(l ) + b. Daher gilt wegen der Bedingung a > 0 U g (L) > = < U g(l ) U(L) > = < U(L ), d.h., die Transformation hat nichts an den Präferenzen über Lotterien geändert. Dass dies für beliebige monotone Transformationen der von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion anders sein kann, zeigt folgendes Beispiel. Wir betrachten die beiden Lotterien L = (0.9 1, 0.1 6) und L = (2; 1; 0.8; 0.2). Mit der von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion u(x) = x ergeben sich Erwartungsnutzen U(L) = = 1.5 und U(L ) = = 1.8. Somit würde L gegenüber L vorgezogen. Was passiert nun, wenn wir u quadrieren (also die monotone Transformation q(u) = u 2 anwenden)? Wir erhalten U q (L) = = 4.5 und U q (L ) = = 3.4, was zu einer Umkehrung der Präferenz zwischen den beiden Lotterien führt. Die Erwartungsnutzenhypothese bedeutet also, dass es eine bis auf positive affine Transformationen bestimmte Nutzenfunktion u : Z R, die von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion, gibt, die definiert ist auf den risikofreien Güterbündeln z Z, so dass der Nutzen einer Lotterie ermittelt werden kann durch die Bildung des Erwartungswertes des Nutzens bezüglich einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beispiel Betrachten wir erneut die Lotterie aus unserem obigen Beispiel 3, L = ( , 0.5 0). Ist u die von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion, dann beträgt der Erwartungsnutzen der Lotterie U(L) = 0.5u(100) + 0.5u(0). Die Erwartungsnutzenhypothese hat zwei mögliche Interpretationen: Jörg Naeve

18 1. Grundlagen Die erste akzeptiert diese Darstellung als Arbeitshypothese und versucht, daraus empirisch testbare Implikationen abzuleiten. Wenn die Ergebnisse dieser Untersuchungen keine Widersprüche zu den Voraussagen der Theorie ergeben, dann können wir davon ausgehen, Akteure verhielten sich so, als maximierten sie den erwarteten Nutzen. 2. Die zweite Interpretation ist normativer Art. Sie besagt, dass ein Akteur den erwarteten Nutzen maximieren muss, wenn er sich rational verhält. Der Punkt liegt hierbei im Begriff der Rationalität [rationality]. Rationalität ist dabei definiert durch mehrere Axiome, die sicherstellen, dass der Akteur sich bei der Wahl zwischen verschiedenen Lotterien konsistent verhält. Bevor wir zu den Axiomen kommen, die von Neumann und Morgenstern (1953, Kap. 1) vorschlagen, um rationales Verhalten bei Risiko zu charakterisieren, schieben wir einen kleinen Exkurs zur Bedeutung der axiomatischen Methode ein. Wir werden auf diese Methode noch zurückkommen, wenn wir Konzepte der kooperativen Spieltheorie behandeln. Die axiomatische Methode Das Vorgehen, mathematische Konstrukte durch grundlegende Eigenschaften, die sogenannten Axiome [axioms] zu charakterisieren, ist kennzeichnend für die moderne Mathematik und gewinnt auch in der formal orientierten Ökonomik zunehmend an Bedeutung. Weitere wichtige axiomatische Theorien in der Ökonomik sind z.b. In der kooperativen Verhandlungstheorie: die Nash Verhandlungslösung (Nash, 1950a, 1953) In der Theorie kooperativer Spiele der Shapley Wert (Shapley, 1953). In der Social Choice: Arrows Unmöglichkeitssatz (Arrow, 1963). Eigenschaften einer (guten) Axiomatisierung sind: einleuchtende Axiome (ökonomisch und formal), Existenz und möglichst Eindeutigkeit des zu charakterisierenden Objekts, Unabhängigkeit der Axiome. Eine ausführliche Diskussion bietet Thomson (2001). Axiome rationalen Verhaltens unter Unsicherheit und die von Neumann Morgenstern Nutzenfunktion Wir kommen nun zurück zu von Neumann und Morgenstern, nicht ohne zu betonen, dass der folgende Abschnitt, insbesondere der Beweis darin zu den Teilen des Skripts Universität des Saarlandes

19 19 Spieltheorie Sommersemester 2007 gehören, die sich eher nicht dazu eignen, in einer Klausur abgefragt zu werden. Die Rationalität der Präferenzen einer Entscheidungsträgerin über einfache Lotterien wird durch die folgenden fünf Axiome charakterisiert. Axiom 1 Der Akteur hat eine vollständige und transitive Präferenzordnung über die Menge aller (einfachen) Lotterien L. Vollständigkeit heißt: Für je zwei beliebige Lotterien L 1, L 2 L gilt L 1 L 2 oder L 2 L 1 Transitivität heißt: Für je drei beliebige Lotterien L 1, L 2, L 3 L gilt: Falls L 1 L 2 und L 2 L 3, dann muss gelten L 1 L 3. Axiom 1 besagt also, dass ein Akteur in der Lage ist, alle Lotterien paarweise zu vergleichen, und sich bei der Wahl zwischen mehreren Lotterien konsistent verhält. Axiom 2 (Positive Assoziation) Für zwei sichere Auszahlungen z 1, x 2 Z mit z 1 z 2 gilt (pz 1, (1 p)z 2 ) (p z 1, (1 p )z 2 ) p > p. Beispiel Betrachte die Lotterien L 1 = ( , ) und L 2 = ( , ). Da eine sichere Auszahlung von 150 strikt besser ist als eine von 50, und in der Lotterie L 1 die Wahrscheinlichkeit für die sichere Auszahlung 150 größer ist als in der Lotterie L 2, gilt L 1 L 2. Axiom 2 besagt, dass diejenige Lotterie besser ist, die der besseren Auszahlung eine höhere Wahrscheinlichkeit zuordnet. Axiom 3 (Stetigkeit) Für drei sichere Auszahlungen z 1, z 2, z 3 Z mit z 1 z 2 z 3 gibt es eine Wahrscheinlichkeit p, so dass z 2 (pz 1, (1 p)z 3 ). Axiom 3 besagt, dass sich die Präferenzen über Lotterien in den Wahrscheinlichkeiten stetig verändern. Für große p (nahe 1) wird jedenfalls die Lotterie strikt gegenüber z 2 vorgezogen, für kleine p (nahe 0), wird z 2 gegenüber der Lotterie strikt vorgezogen. Dass es dann ein p geben muss, für das Indifferenz zwischen z 2 und der Lotterie besteht, entspricht dem Mittelwertsatz für stetige Funktionen. Axiom 4 (Zusammengesetzte Lotterien) Für sichere Auszahlungen z 1, z 2 Z und Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2 und p 3 betrachten wir die zweistufige Lotterie L, deren Auszahlungen Lotterien über z 1 und z 2 sind: L = p 1 L 1 + (1 p 1 )L 2 = [ p 1 ( p2 z 1, (1 p 2 )z 2 ), (1 p1 ) ( p 3 z 1, (1 p 3 )z 2 )]. Jörg Naeve