Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens
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- Karoline Frank
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1 Wurrzellffunkttiionen Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens y = x 2, x 0, y 0 nach x auflösen x = ± y Minus entfällt wegen x 0 x = y Vertauschen von x und y, d.h. Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden y = x, x 0, y 0 Wertetabelle x 0 0,25 0, y 0 0,5 0,71 1 1,41 1,73 2 2,24 2,45 Eigenschaften der Wurzelfunktion: (1) Bei x = 0 hat das Schaubild eine senkrechte Tangente (2) zwischen 0 und 1 liegt die Kurve Oberhalb der 1. Wh. für x > 1 unterhalb Sttrreckung/ /Sttauchung und Verrschiebung des Schaubilds derr Wurrzzel lffunktti ion,, also y = a x x 0 + y 0 Diee bissheerri igeen Reegeel ln geel ltteen unvveerräändeerrtt: a bedeutet Streckung (a > 1) 0der Stauchung (0 < a < 1) oder Spieglung an x-achse (a < 0) Verschiebung in x-richtung um x 0 : x durch (x - x 0 ) ersetzen Verschiebung in y-richtung um y 0 : y 0 zum Term addieren. Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x und dem Schaubild K f. Verschiebung um 2 nach links y = x y = x + 2 x ersetzen durch (x + 2) Verschiebung um 1 nach unten y = x + 2 y = x an den Term anfügen Maurer: Wurzelfunktionen Seite 1 /2002
2 Beispiel Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x und dem Schaubild K f. Wo schneidet K f die Gerade mit y = x - 1? y = x Spiegelung an der x-achse: y = x Verschiebung um 1 nach rechst y = x y = x 1 x ersetzen durch (x 1) Verschiebung um 2 nach oben y = x 1 y = x zum Term addieren Schnitt mit der 1. Winkelhalbierenden: 1. Wh. : y = x Gleichsetzen: x = x 1 Sortieren x 1 = x 3 Quadrieren x 1 = x 2 6 x + 9 x 2 7 x + 10 = 0 (x - 5) (x - 2) = 0 x 1 = 5, x 2 = 2 Probe für x 1 = 5: Probe ist bei Wurzelgleichungen immer nötig l.s = 0 ; r.s. 5-1 = 4. x 1 ist also keine Lösung Probe für x 2 = 2: l.s = 1; r.s. 2-1 = 1. x 2 ist also Lösung Maurer: Wurzelfunktionen Seite 2 /2002
3 Spiegelung an derr y--achse P P Spiegeln wir einen Punkt z.b. P( 3 4) an der y-achse, so muss man das Vorzeichen des x-wertes ändern und erhält als Bildpunkt P ( 3 4 ). Spiegelung an der y-achse Ebenso muss man beim Spiegeln einer Kurve an der y-achse mit dem Funktionsterm verfahren: xx wirrd übeerraal lll durrcch (( xx)) eerrsseettzztt f(x) = x, x 0 Soiegelung an der y-achse x durch ( x) ersetzen führt zu g(x) = f(-x) = x, x 0 Beispiel f(x) = x + 2 Maximaler Definitionsbereich, d.h. welche werte darf man für x einsetzen? Wo schneidet K f die Gerade mit y = 0,5 x + 3? Grundfunktion y = x Spiegelung an y-achse x durch (-x) ersetzen. y = x Verschiebung um 2 nach rechts (!), x 2 also x durch (x - 2) ersetzen y = ( ) und schließlich y = x + 2 Maurer: Wurzelfunktionen Seite 3 /2002
4 Schnitt von K f : y = x + 2 mit Gerade 0,5 x + 3: Gleichsetzen: x + 2 = 0,5 x + 3 Quadrieren x + 2 = 0,25 x x + 9 0,25 x x + 7 = 0 4 ± ± 3 x 1,2 = = 0,5 0,5 x 1 = 2; x 2 = - 14 Probe für x 1 = 2 l.s = 2; r.s. 0,5. ( 2) + 3 = 2. x 1 ist also Lösung Probe für x 2 = 14: l.s = 4 ; r.s. 0,5. ( 14) + 3 = 4. x 2 ist also keine Lösung Aufgaben Aufgabe 1 Aufgabe 2 Skizziere die Schaubilder der folgenden Funktionen und gib an, wie sie aus dem Schaubild der Grundfunktion entstehen. f(x) = 2 x g(x) = x h(x) = x Welche Gleichungen haben die dargestellten Funktionen? f g h k Aufgabe 3 Aufgabe 4 Eine Parkplatzüberdachung in Südfrankreich hat im Profil die Form einer nach rechts geöffneten Halbparabel 2. Ordnung. Sie überdeckt in der Länge l = 3,50 m und ist an der höchsten Stelle h = 2,50 m hoch. a) Gib eine Gleichung für das Profilkurve des Dachs an. b) Wie hoch ist das Dach b = 1 m von der Befestigung im Boden entfernt? Dieselbe Überdachung wird nun mit einer Profilfunktion der Form y = a 3 x gebaut. Bestimme jetzt Gleichung und Höhe bei b = 1 m. Maurer: Wurzelfunktionen Seite 4 /2002
5 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Dieselbe Überdachung wird nun mit einer Profilfunktion der Form y = a n x gebaut. Wie groß muss n mindestens sein, damit die Höhe bei b = 1 m mindestens 2 m beträgt? Eine Blattfeder wird senkrecht eingespannt und dann nach unten gebogen, sie nimmt dabei die Form einer Quadratwurzelfunktion an. Gib die Gleichung an, wenn die Feder an der höchsten Stelle 20 cm oberhalb des Befestigungspunkts ist und 40 cm vom Befestigungspunkt entfernt ist. Aufgabe 7 Noch ein Dach: Sein Profil sieht so aus. Die Dachfläche entsteht durch Rotation dieser Kurven um die y- Achse. Das Volumen des überdachten Raumes soll näherungsweise berechnet werden. Benutze die eingezeichneten Strecken. Maurer: Wurzelfunktionen Seite 5 /2002
Mittels gleichseitigem Dreieck und gleichschenklig. rechtwinkligem Dreieck kann man die folgenden Werte berechnen. 1 =
Trriigonomettrriische Funkttiionen Bezeichnungen Das Wort Trigonometrie stammt aus dem Griechischen: τρι (tri) bedeutet drei und γονυ (gony) Winkel, insgesamt also Dreiwinkligkeit oder Dreiecksberechnung.
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