Kapitel 4: Stochastik in der Grundschule

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1 Kapitel 4: Stochastik in der Grundschule 0. Warum Stochastik in der Schule? Gründe ergeben sich aus dem Auftrag zur Allgemeinbildung: Das Lernen von Stochastik kann wesentlich zum besseren Verständnis unserer natürlichen und gesellschaftlichen Umwelt beitragen. Das Lernen von Stochastik kann helfen, menschliches Verhalten im Denken und Handeln besser zu verstehen. Das Lernen von Stochastik kann dazu beitragen, eine höhere Kritikfähigkeit gegenüber vorgelegten Behauptungen zu erlangen. Warum Erfahrungen bereits in der Grundschule? Stochastisches Denken ist nicht in einem Kurzlehrgang vermittelbar. Es bedarf vorbereitender Erfahrung im Primar- und SI-Bereich, die hier auch partiell systematisiert werden kann. 55

2 1. Die Thematik in typischen Beispielen Unterrichtsthema: Auswertung zufallsbedingter Daten mathematischer Hintergrund: (1) Beschreibende Statistik (2) Wahrscheinlichkeitsrechnung Quellen der Daten: (1) Beobachtungen in der Lebenswirklichkeit (2) Von den Kindern ausgeführte Zufallsversuche Beispiele: (1) An der Schule vorbeifahrende Fahrzeuge (Beobachtungen von Anzahlen) Erfassung der Daten in einer Strichliste: PKW LKW Moped Fahrrad Gesamtzahl (2) Augensumme beim Wurf mit 2 Würfeln (Zufallsversuch) Versuchszahl

3 2. Mathematische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2.1 Zugänge zum Wahrscheinlichkeitsbegriff (1) Klassisch-theoretisch: P (Ereignis) = P steht für Probability (2) Empirisch: Anzahl des Eintreffens des Ereignisses H (Ereignis) = Anzahl der Versuche H steht für relative Häufigkeit (3) Axiomatisch-theoretisch: P als axiomatisch gekennzeichnete Funktion, die jedem Ereig-nis (eines "Ereignisraumes") eine Zahl (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) zuordnet (erfasst im Sonderfall auch den klassischen Begriff als Modell). Der Zusammenhang zwischen dem theoretischen und dem empirischen Aspekt der Wahrscheinlichkeit: Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Bei 'hinreichend' großer Versuchszahl gilt: P(Ereignis) H(Ereignis) Stabilisierung der relativen Häufigkeit 57

4 2.2 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Ereignis E als Menge: Jede Teilmenge E der Menge S der möglichen Ergebnisse eines Versuchs ODER-Regel Beispiel: Wurf von 2 Würfeln, Augensumme ODER-Regel für sich ausschließende Ereignisse Die Wahrscheinlichkeiten werden addiert. P(s=8 ODER s=9) = P(s=8) + P(s=9) = 5/36 + 4/36 = 9/36 Die Ereignisse s < 4 und s gerade schließen sich nicht aus! UND-Regel Beispiel: Wurf von 2 Würfeln, die Ergebnismenge S besteht aus allen geordneten Paaren (Augenz. 1. Würfel Augenz. 2. Würfel) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X {1, 2, 3, 4, 5, 6} UND-Regel für unabhängige Ereignisse Die Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert. P(erster Wurf < 3 UND zweiter Wurf > 3) = P(erster Wurf < 3) P(zweiter Wurf > 3) = 1/3 1/2 = 1/6 Die Ereignisse s < 4 und s gerade sind nicht unabhängig! 58

5 Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "beim ersten Würfel eine Zahl < 3" UND "beim zweiten Würfel eine Zahl > 3" ergibt sich als Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zum Ereignis gehörenden Pfades im Baum. Zum Vergleich die Berechnung im Ergebnisfeld für S: W2 W

6 3. Unterrichtskonzepte: Daten sammeln und auswerten Art der Daten: Anzahlen, Größenwerte Anzahlen: Erfassung mit Strichlisten, Auswertung (vgl. 1) Größen: Erfassung in einer Wertetabelle, z.b. Schulweg der einzelnen Kinder der Klasse: Kind Monika... Schulweg (m) Darstellung im Säulen- oder Streifenbild Kennwerte: Begriff Mittelwert ("Durchschnittswert") Begriff Zentralwert: Liste nach wachsender Größe ordnen (Rangliste), den Wert "in der Mitte" suchen... 60

7 4.4 Ansätze zur Normierung von Wahrscheinlichkeits- urteilen Ziele: Einbeziehung von "absoluten Aussagen" ohne Vergleich Theoretischer Vergleich von Gewinnaussichten bei Versuchen mit verschiedener Anzahl von Möglichkeiten Nicht nur 3 von a zu vergleichen mit 4 von a, sondern 3 von a zu vergleichen mit 4 von b (a b) Lösung: Verwendung von Urnenziehungen - zum Versuch die 'gleich gute Urne' angeben Urnenziehung: Zu empfehlen: Ziehungsgerät aus Kaffee-Dose, Trichter und Rohr, Regel 'a von b' durch Einlegen von a schwarzen und b - a weißen Kugeln, Schwarz gewinnt! klares Kunststoffrohr Trichter aus Kunststoff Boden entfernen Kaffee - Dose Verwendung von Urnenziehungen als beliebig anpassbare Standardexperimente Ergebnis: Zu jedem Versuch mit bekannter Gewinnaussicht gibt es die gleichwertige Urnenziehung. Ziehungen aus einer Urne repräsentieren gut den Zufallscharakter und die Gleichwahrscheinlichkeit. Fast alle Zufallssituationen lassen sich durch Urnenziehungen modellieren. Kombinatorische Zusammenhänge lassen sich gut darstellen. 61

8 Ziehungen aus einer Urne repräsentieren gut den Zufallscharakter und die Gleichwahrscheinlichkeit. Fast alle Zufallssituationen lassen sich durch Urnenziehungen modellieren. Kombinatorische Zusammenhänge lassen sich gut darstellen. Vier Ziehungsschemata bei der Urne: Ziehen mit Zurücklegen ohne Zurücklegen mit Beachten der Reihenfolge 3er Folgen: 2³ 2er Folgen: 3 2 ohne Beachten der Reihenfolge II I I 2er Menge (4mal) 4er Strichlisten: 6! 4!2! 2er Mengen: 4! 2!2! 62

9 Situationen zu Ziehungsschemata: mm: Lotterie `3er-Folgen aus 2 Farben' Gewinn: Keine zwei Farben benachbart. Möglich sind 8 Folgen. Günstig sind 2 Folgen nämlich und '2 von 8' Situation Wie viele 3er-Türme kann man aus 2 Farben bilden, wenn man die Abfolge der Farben beachtet? mo: Lotterie `2er-Folgen aus 3 Farben' Jede Farbe darf nur einmal auftreten. Gewinn: Unten weiß. Möglich sind 6 Folgen. Günstig sind 2 Folgen. Wie viele 2er-Türme kann man aus 3 Farben bauen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Farben? '2 von 3' Situation om: Ina kauft Apfelsinen, Mandarinen und Pampelmusen, insgesamt 4 Stück. Einkaufsmöglichkeiten? A lili III III II ll ll I I l l M l Il l lil ll I llli III ll l P I ll l I ll III l ll III Illl 63

10 Wie viele 4er-Türme aus 3 Farben kannst du bauen, wenn du nur unterscheidest, wie oft die Farben jeweils vorkommen? oo: Zahlenlotto `2 aus 4' Gewinnzahlen: 1 und 2 Tippzettel Die Zahlen geben den zugehörigen Tippzettel an. 1 aus 6 Situation bzw. 2 aus 12 Situation Wie viele 2er-Türme kann man bauen, wenn man die Reihenfolge nicht beachtet? 64

11 Urnenmodell und beobachtete Häufigkleiten a) 9mal ziehen Wie sieht die Folge aus? Aus der Urne wird 9mal gezogen. Am ehesten erwartet man 3mal und 6mal, d.h. den gleichen Anteil von wie in der Urne. Umkehrung b) 9mal Wie sieht die Urne aus? gezogen Neunmal wurde aus einer Urne mit unbekanntem Inhalt gezogen in der Folge ist etwa jede dritte Kugel blau. Am ehesten erwartet man für die Urne einmal blau und zweimal weiß. 65

12 Beispiel: Heftzwecke wird geworfen Mögliche Ausgänge: Fläche Spitze Bei 6000 Würfen ergab sich 2880 mal Fläche, d.h. 48% der Würfe ergab Fläche. Modell: Heftzweckwerfen ist wie Ziehung aus einer Urne mit Kugeln, auf denen Fläche und Spitze steht. Das Ziehungsergebnis liefert die Verteilung der Kugeln in der Urne: 48 mit Fläche, 52 mit Spitze. Hier das Ergebnis von 60 Serien zu je 100 Würfen. Das Diagramm zeigt, wie sich die relative Häufigkeit für Fläche auf einen festen Wert einpendelt. Anzahl `Fläche' nach je 100 Würfen nach je 1000 Würfen min max Anzahl Fläche bei 6000 Würfen

13 Didaktische Bedeutung des Urnenmodells Das Schema `Ziehung aus einer Urne' stellt in prägnanter Weise alle Elemente des Denkvorganges dar, der zu einer Wahrscheinlichkeitsbewertung führt: Zufallscharakter Das Mögliche Die gleichwertigen Teile des Möglichen Die Teilmengenbeziehung des Günstigen zum Möglichen Anzahl und deren Vergleich - durch die Mischung der Kugeln und `blindes' Ziehen - durch alle Kugeln - durch die einzelnen Kugeln, das Mischen und blindes Ziehen - durch die Teilmengenbez: der verschiedenen Sorten an Kugeln - durch die Bedeutung der Anzahlen für die Herstellung der Urne 67

14 4.4.2 Skalierung: Von unmöglich bis sicher (qualitativ) sicher fast sicher; 'wenn nicht, muß man viel Pech haben' wahrscheinlich so oder so weniger wahrscheinlich fast unmöglich, 'man muß viel Glück haben' unmöglich Zuordnung von Regeln: Quantitative 6er-Skala sicher fast sicher wahrscheinlich so oder so weniger wahrscheinlich fast unmöglich unmöglich Urne 6 von 6 5 von 6 4 von 6 3 von 6 2 von 6 1 von 6 0 von 6 Kugeln sind schwarz Späterer Ausbau: Von der 6er-Skala zur 12er-Skala mit der 12er- Urne als Standard-Versuch 68

15 4.4.3 Verallgemeinerung des Chancenvergleichs Durch 'Erweitern' einer Urne entsteht eine 'gleich gute' Urne: 1 von 2 2 von 4 (Urne aus zwei Urnen 1 von 2) 1 von 2 3 von 6 (Urne aus drei Urnen 1 von 2) 1 von 2 4 von 8 (Urne aus vier Urnen 1 von 2) 1 von 2 5 von 10 (Urne aus fünf Urnen 1 von 2) Die Kinder prüfen auch im Versuch nach, ob die Urnen gleich gut sind. Anwendung: Mittelbarer Vergleich über gleich gute Urnen: z.b. 2 von 6 mit 1 von 2 zu vergleichen: 1 von 2 ist genauso gut wie 3 von 6 2 von 6 ist schlechter als 3 von 6 z.b. 3 von 4 (Regel 1) mit 5 von 6 (Regel 2) zu vergleichen: 3 von 4 ist genauso gut wie 9 von 12 5 von 6 ist genauso gut wie 10 von 12 9 von 12 ist schlechter als 10 von 12 andere Möglichkeit: Aussicht für Weiß (Verlieren, Niete): 1 von 4 (Regel 1) 1 von 6 (Regel 2) Bei 1 von 4 verliert man eher, daher ist Regel 1 schlechter als Regel 2. 69

16 5. Lernziele im Überblick 5.1 Grundverständnis zum Phänomen Zufall Was im nächsten Versuch kommt, kann man nicht wissen: Zufall Gewinnaussichten vergleichen, 'von-sprechweise' verwenden. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse ist gleich. Kenntnis der Gewinnaussicht gibt für den Einzelfall keine Sicherheit, man kann Pech (Glück) haben. Mit der besseren Regel gewinnt man häufiger. Wenn man mit einer Regel häufiger gewinnt, ist die Regel besser. Durch einfache kombinatorische Analyse begründen, warum eine Regel besser ist als eine andere: Baumdiagramm, Rechteckdiagramm mögliche (günstige) Ergebnisse feststellen und abzählen Normierung von Wahrscheinlichkeitsurteilen durch Urnenziehung anspruchsvoller: Skalierung: qualitativ (unmöglich bis sicher), quantitativ 6er-Skala, 12er-Skala Gewinnaussichten vergleichen, wenn die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse nicht gleich ist. Weitere kombinatorische Überlegungen einbeziehen: Welche (wie viele) Möglichkeiten gibt es, welche davon (wie viele davon) sind günstig? 70

17 5.2 Abbau von Fehlvorstellungen affektbedingtes Fehlurteil: 'magische 6' 6 kommt seltener als jede andere Würfelzahl! Annahme von verborgenen Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Ziehungsergebnissen: Kompensationsargument: z.b. Münzwurf Gerade war Zahl, jetzt muss Wappen kommen. Beharrungsargument: z.b. Münzwurf Gerade war Zahl, jetzt muss wieder Zahl kommen. Ziehungsergebnisse sind zu beeinflussen! Erfahrung, Geschick, Alter des Ziehenden Augen offen-geschlossen mit der linken Hand würfeln Glaube an versteckte Determinismen Der Zufall ist unregelmäßig. z.b. 6maliger Münzwurf Folge ZZZWWW seltener als Folge WZWZWZ Verwechslung von hoher Wahrscheinlichkeit mit Sicherheit Verwechslung von niedriger Gewinnaussicht (Wahrscheinlichkeit) mit Unmöglichkeit 71