Was ist Spieltheorie? Spieltheorie ist die mathematische Modellierung strategischer Interaktion von rationalen Spielern.

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1 Spieltheorie: Einführung in die Spieltheorie (1+2) Was ist Spieltheorie? Spieltheorie ist die mathematische Modellierung strategischer Interaktion von rationalen Spielern. Strategisches Spiel: Situation in der ein Spieler die Reaktion der andren Spieler berücksichtigen muss. Beinhaltet mindestens zwei Spieler. Entscheidungstheorie: Situation in der ein Spieler seine Handlungen ohne Berücksichtigung der Reaktion der andren Spieler wählen kann (z.b. Kauf von Kobe Shoes). Situation mit sehr vielen Spielern(Markt, Wahlen), weil der Einfluss jedes einzelnen vernachlässigt werden kann. Logische Infos zu Spieltheorie: Spielregeln sind gegeben / Strategie eines Spielers = Plan an dem er fest hält / Auszahlung eines Spieler ist Nutzen oder Verlust welcher der Spieler erhält / Spieler sind rational, d.h. sie versuchen stets möglichst hohen Nutzen zu erhalten Präferenzen sind konsistent. a > b / b > c ist auch a > c rational Zweck der Spieltheorie: Ausgestaltung von Institutionen und Verträgen: - Arbeitslosenhilfe - Prüfungsreglemente - Eheverträge Einschätzung von Handlungen - Preiskrieg - Marketing - Politische Manöver - Verhandlungen Anwendungsgebiete: - Industrieökonomie: Entscheidungen über Preise, Mengen, Produktqualität etc. - Illegales Verhalten: Doping, Schwarzfahren etc. - Politik: Streiks, Verhandlungen etc. - Unternehmungsorganisation: Interaktion der Mitarbeiter, Personalpolitik etc. Beispiele strategischer Spiele: 1. Gefangenendilemma / 2. Koordinationsspiele / 3. Chicken-Spiel

2 1. Gefangenendilemma: Dominante Strategie: Spieler hat dominante Strategie wenn dessen beste Strategie nicht davon abhängt, welche Strategien seine Mitspieler ausführen. In vielen Spielen haben Spieler keine dominante Strategie. Die beste Antwort hängt meist von der Strategie des Mitspielers ab, falls dies der Fall ist, ist keine dominante Strategie vorhanden. Dominierte Strategie: Eine dominierte Strategie ist eine Strategie welche immer schlechter ist als eine andere Strategie. 2. Koordinationsspiele Kampf der Geschlechter, Bitch will ins Kino, Mann will zu den Swiss Indoors, sie wählen simultan. Im Koordinationsspielen profitieren die Spieler wenn sie in Übereinstimmung agieren. 3. Chicken-Spiel Langweilige Begriffe: Simultan: Alle Spieler führen Spielzüge gleichzeitig aus. Sequentielle Spielzüge: Spielzüge finden nicht gleichzeitig statt. Nullsummenspiele: Auszahlung immer gleich Null Ratface A gewinnt 100.-, Ratface B verliert (z.b. auch Chicken-Spiel) One-Shot: Keine Repetition, keinen Ausgang auf das zukünftige Leben des Spielers Wiederholte Spiele: Spieler lernen im Verlauf der Zeit, Repetition. Kooperative Spiele: Vereinbarungen werden immer eingehalten. Nicht kooperative Spiele: Nur Vereinbarungen die sich von selbst durchsetzen

3 Sequentielle Spiele (3) Infos zu sequentiellen Spielen: - Spiele wie Monopoly oder Schach - Perfekte Information: Spieler wissen was vorhin gespielt wurde, nach strikter Reihenfole wird gespielt - Strategisches und Rückwärts Denken - Statische Spiele: Spieler entscheiden simultan, vorhin gespieltes unbekannt. 1. Spielbäume: Strategien: Reine Strategie: Detaillierter Plan, welcher dem Spieler in jeder erdenklichen Situation sagt welche Aktion er wählt. Gemischte Strategie: Handlung wird zufällig gewählt Münzruf zum Beispiel. 2. Rückwärtsinduktion: 3. Auswirkung der Reihenfolge auf das Ergebnis: Reihenfolge spielt eine Rolle. Entweder Vorteil die erste Aktion des Spiel zu machen oder Vorteil auf gegnerischen Spielzug agieren zu können. 4. Experimente: Experimente widersprechen manchmal der Theorie. Beispiel Tausendfüssler

4 Diskrete Strategien: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien (4) Kontinuierliche Strategien: Spiele mit sim. Spielzügen und reinen Strategien (5) Nash Gleichgewicht: Welche Handlugen wählen rationale Spieler? Welches Ergebnis wird erzielt? ANTWORT: Nash Gleichgewicht. In einem Nash Gleichgewicht ist die Strategie eines jeden Spielers optimal gegeben der Strategien der andern Spieler. Man kann sich nicht verbessern. In einem NG haben alle konsistente Erwartungen. Exakter: Kann sich irgendein Spieler besser stellen wenn er eine andere Strategie wählen würde, falls alle anderen Spieler an ihren Strategien festhalten. Wenn die Antwort NEIN ist haben wir ein Nash Gleichgewicht. Eine NG ist eine Strategiekombination, so dass jeder Spieler (1) korrekte Erwartungen bezüglich der Strategiewahl aller Mitspieler hat und (2) eine beste Antwort auf die erwarteten Strategien der Mitspieler wählt. Exkurs: Sukzessive Elimination dominierter Strategien (ergibt NG) Untersuchung Zelle für Zelle

5 Multiple Gleichgewichte in reinen Strategien Oftmals gibt es in einem Spiel mehr als ein NG. Fokus-Punkt: Ein Ergebnis von welchem die Spieler das allgemeine Verständnis haben, dass es von allen möglichen Gleichgewichten das offensichtlichste ist, dieses zu wählen. Ein Fokus-Punkt erfordert Konvergenz der Erwartungen. Beispiele: Kontinuierliche Strategien: Spiele mit sim. Spielzügen und reinen Strategien (5) Reine Strategien als stetige Variablen Reine Strategien als stetige Variablen anhand eines Beispiels Der Gewinn der Firmen ist G = (P-Kosten) x Q Die Grenzkosten sind 3 Die beiden Firme wollen den Gewinn maximieren G = (P-Kosten) x Q Frage: Mit welchem Preis maximiert Firma ihren Gewinn? Der Gewinn der Firma 1 ist Der Gewinn ist maximal, wenn (P wo Steigung gleich Null ist)

6 dann dann ergibt Rationalizability: Ist Rationalität der Spieler common knowledge, können wir das Konzept der iterierten Elimination dominierter Strategien anwenden. Zusätzlich können Strategien eliminiert werden welche nie eine beste Antwort darstellen. Die Menge der Strategien welche diese Elimination überlebt heisst rationalizable. Es gibt Strategien, welche nie eine beste Antwort sind und trotzdem nicht dominiert werden wie hier C4. Strategien welche keine besten Antworten sind können selbst dann eliminiert werden wenn keine dominierten Strategien existieren. Wenn ein Spiel ein NG hat, ist es rationalizable. Aber auch wenn ein Spiel kein NG besitzt, kann es rationalizable Ergebnisse haben.

7 Beispiel zur Rationalizability: Mittels Nutzenmaximierung lassen sich die Beste-Antwort Kurven bestimmen: X=15 Y/2 und Y=12-X/2 Aus diesen beiden Gleichungen folgt, dass im NG X=12 und Y=6 ist.

8 Mit jeder gespielten Runde wird der Bereich der besten Antworten schmäler und nähert (konvergiert) sich dem NG Spiele mit sim. und sequentiellen Spielzügen (6) Eine Geschichte ist eine Sequenz von Aktion bis zu einem gewissen Knoten in einem Spiel. Normalform: Auszahlungstabelle für alle reinen Strategiekombinationen

9 Wieso gibt es hier plötzlich zwei Nash Gleichgewichte? (Kapitel 3 gleiches Beispiel mit Rückwärtsinduktion nur ein Gleichgewicht erhalten) Der Grund ist, dass das NG (NV, (K,K)) auf einer unglaubwürdigen Drohung beruht. In einem NG wählen die Spieler ihre Strategien ein für alle Mal, bevor das Spiel beginnt, diese Entscheidungen werden nicht geändert. Es ist daher möglich das NG auf unglaubwürdigen Drohungen basieren. Teilspielperfektes Gleichgewicht: Teilspielperfektheit eliminiert NG, welche auf unglaubwürdigen Drohungen basieren. Teilspielperfektheit beginnt an irgendeinem Entscheidungsknoten und bei den Ergebnissen. Grafisches Beispiel Ein teilspielperfektes Gleichgewicht ist eine Strategiekombination, welche in jedem Teilspiel ein NG induziert (Strategien erzeugen ein NG in jedem Teilspiel). Strategien müssen sogar ausserhalb des Gleichgewichtspfades optimal sein. Die Weiterführung der Strategie muss für jeden Spieler in jedem Teilspiel eine beste Antwort auf die Strategien seiner Mitspieler sein. Erklärung: Das NG (NV, (K,K)) ist nicht teilspielperfekt. Wegen der Drohung der SVP zu kandidieren, wählt die CVP, sich nicht mit der SP zu verbünden. Aber diese Drohung ist nicht glaubwürdig: Wenn sich die CVP mit der SP verbündet, wird die Drohung nicht ausgeführt.

10 Nash Gleichgewicht - In einem Nash Gleichgewicht ist die Strategie jedes Spielers optimal, gegeben die Strategien der anderen Spieler im gesamten Spiel. - Optimal in allen Teilspielen, welche erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen. - In Teilspielen, welche nicht erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen, muss sie nicht optimal sein. Teilspielperfektes Gleichgewicht - In einem teilspielperfekten Nash Gleichgewicht ist die Strategie jedes Spielers optimal, gegeben die Strategien der anderen Spieler im gesamten Spiel. - Optimal in allen Teilspielen, welche erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen. - Optimal auch in allen Teilspielen, welche nicht erreicht werden, wenn die Spieler ihre Strategien befolgen. Infos zur Teilspielperfektheit - Es ist wichtig zu wissen das die Spieler an Knoten, welche im Gleichgewicht nicht erreicht werden, spielen würden. - Gleichgewichte hängen immer davon ab, was ausserhalb des Gleichgewichtspfades passiert. Theorem Jedes endliche extensive Spiel mit perfekter Information hat ein teilspielperfektes Gleichgewicht. Selbstbindung (Commitment): Commitment im Chicken-Spiel Teilspielperfektes Gleichgewicht: James fährt geradeaus und Dean weicht aus. Möglichkeit als erster zu spielen, erlaubt J sich zur Strategie geradeaus fahren zu verpflichten. Praxis der Selbstbindung: Verzicht auf seine Optionen Spiele mit sequentiellen und simultanen Spielzügen: Beispiel: Zwei Spieler: Hannes aka The H und Evelyn aka The E. Sie wählen was sie am Abend unternehmen. The H kommt zuerst zum Zug und entscheided ob er zuhause fernsieht oder ausgeht. Wenn The H entscheidet auszugehen, müssen beide Spieler simultan entscheiden, ob sie ein Fussbi-Spiel oder der Ballet besuchen. Wir können die Notation der Informationsmenge benützen, um die jedem Spieler verfügbare Information zu repräsentieren. Eine Informationsmenge besteht aus Knoten. Wenn die Informationsmenge mehr als einen Entscheidungsknoten enthält, kann der Spieler vergangene Handlungen nicht beobachten: Imperfekte Information.

11 Der Spieler weiss nicht, an welchem Knoten er sich befindet. Hier gibt es drei NG: 1. ((Ausgang, F), F) / 2. ((TV, F), B) / 3. ((TV, B), B) Frage: Sind alle NG glaubwürdig? Wir betrachten NG ((TV, F), B). Annahme The H folgt in der ersten Phase nicht seiner Strategie und wählt Ausgang, gegeben das er F wählt, ist B keine beste Antwort für The E. FINDEN TEILSPIELPERFEKTER GLEICHGEWICHTE 1. Wie wird die Rückwärtsinduktion benutzt, wenn die Spieler simultan agieren? 2. Finde alle Nash Gleichgewichte in allen Teilspielen der letzten Phase des Spiels. 3. Gehe rückwärts, um Nash Gleichgewichte der vorhergehenden Phasen zu finden, gegeben die Nash Gleichgewichte in der letzten Phase. NG des Teilspiels

12 Es gibt zwei teilspielperfekte Gleichgewichte: ((Ausgang, F), F) und (TV, B), B). Das Nash Gleichgewicht ((TV, F), B) ist nicht teilspielperfekt: (F, B) ist kein Nash Gleichgewicht im letzten Teilspiel. Beispiel: Markteintrittsspiel: Markteintrittspiel zwischen Monopolist und Herausforderer, der sich überlegt im selben Industriezweig einzutreten. Eintritt hat fixe Kosten f zur Folge. Wenn der Herausforderer draussen bleibt, ist sein Gewinn gleich Null. Wenn er eintritt, wählen die Firmen ihren Output simultan, und die Preise passen sich an, um den Markt zu räumen (Cournot Duopol). Konstante Grenzkosten c. Lineare inverse Nachfragefunktion: Preis(Q) = α Q Der Gewinn der Firma i beträgt: Betrachten wir das erste Teilspiel, welches der Geschichte Kein Eintritt folgt. Der Monopolist wählt sein Output: Betrachten wir das erste Teilspiel, welches der Geschichte Eintritt folgt. Die beste Antwort des Monopolisten:

13 Die beste Antwort des Herausforderers: NG im Teilspiel, das der Geschichte Eintritt folgt: Gewinne: Auf das ganze Spiel betrachtet:

14 Gleichgewichte in gemischten Strategien (7+8) Repetition reine und gemischte Strategie Reine Strategie: Eine best. Handlung wird mit Sicherheit gewählt. Kein Gleichgewicht in reinen Strategien ergibt sich wenn (1) der eine das Zusammenfallen von Aktionen vorzieht (2) während der andre vorzieht, dies zu vermeiden. Gemischte Strategie: Die Handlung wird zufällig gewählt (z.b. 11-Meter-Knalle) Infos zu gemischte Strategie: - Vorteil der Überraschung (nicht durchschaubar). - In solchen Spielen besser Handlung zufällig zu wählen (z.b. 11-Meter-Knalle) - Spieler wählt jede seiner reinen Strategie einen gewissen Prozentsatz der Zeit - Vorteil der gemischten Strategie ist das jedes simultane Spiel meistens ein NG hat wenn gemischte Strategien zugelassen sind. Ausrechen von der erwartenden Auszahlung: Gleichgewicht in gem. Strategien und Reaktionsfunktion Reaktionsfunktion von Federer

15 Reaktionsfunktion von Roddick Nash Gleichgewicht in diesem Beispiel: Rep. NG: Kein Spieler kann sich verbessern gegeben der Strategie des anderen Spielers / Gegenseitig beste Antworten

16 Eigenschaften eines NG in gemischten Strategien: - Jedes Spieler ist zwischen seinen Handlungen gleichgültig (egal links oder rechts) - Die Spieler wählen Strategie welche den Gegner indifferent macht zwischen seinen Handlungen Beispiel mit Chicken-Spiel Vorlesung vom 30. Oktober ab Seite 6 Beispiel mit Kampf der Geschlechter Vorlesung vom 30. Oktober ab Seite 8 Mischen wenn ein Spieler drei oder mehr reine Strategien hat Kein Gleichgewicht in reinen Strategien Es gibt jedoch sicher eines in gemischten Strategien

17 Reaktionsfunktion von Roddick 56 Da es nur ein Gleichgewicht in gemischten Strategien gibt, können wir uns auf q = 0.5, q=0.6 und q = konzentrieren. q = 0.6 ist sicher nicht Teil eines Gleichgewichts, da sonst Roddick mit der reinen Strategie Lob antwortet. q = 0.5 stellt Federer besser wie q = Somit sind Roddicks relevante Strategien Lob und DL. Elimination der CC Strategie von Roddick Dieses reduzierte Spiel kann nun in gleicher Weise analysiert werden wie das Fussballspiel oder der Kampf der Geschlechter

18 Unsicherheit und Information (9) Einführung Strategische Situationen mit asymmetrisch informierten Wirtschaftssubjekten sind allgegenwärtig. Die Spieltheorie stellt die analytischen Werkzeuge bereit, welche die Untersuchung von strategischen Situationen mit asymmetrischer Information ermöglichen. Die Informationsökonomie ist dasjenige Teilgebiet der Wirtschaftstheorie, welches die Rolle der Information in Wirtschaft und Politik untersucht. Die Informationsökonomie hat unter anderem zu einem vertieften Verständnis der - Vertragstheorie - Arbeitsmärkte - Corporate Governance - Aktienmärkte - Versicherungsmärkte geführt Asymmetrische Information: Begriffe Bis anhin haben wir in allen Spielen angenommen, dass die Spieler identische Informationen besitzen. In Realität ist Information oft asymmetrisch verteilt. Asymmetrische Information: Mindestens ein Spieler besitzt Information, welche den anderen Spielern nicht zur Verfügung steht. Private Information: Eine Information welche nur ein Spieler besitzt. Signaling: Eine Strategie welche Information an die anderen Spieler vermittelt. Signal Jamming: Wenn eine Handlung eines Spielers mit schlechter Information den Zweck hat, diese vor den Mitspieler zu verbergen, wird diese Handlung signal jamming genannt. Signal jamming basiert oft auf gemischten Strategien, da aufgrund der Zufälligkeit kein exakter Rückschluss auf die Information des Spielers gemacht werden kann. Screening: Strategie, einen anderen Spieler dazu zu bringen seine private Information wahrheitsgemäss mitzuteilen. Anreizschema: Strategie welche versucht, mittels Belohnung oder Bestrafung eine unbeobachtbare Aktion eines anderen Spieler zu beeinflussen. Gute Information: Wenn die anderen Spieler diese Information hätten, würden diese ihr Verhalten so ändern, dass Sie eine höhere Auszahlung bekämen. Schlechte Information : Wenn die anderen Spieler diese Information hätten, würden diese ihr Verhalten so ändern, dass Sie eine tiefere Auszahlung bekämen. Signaling und Screening: Signaling und Screening sind Instrumente, welche vom Arbeitgeber und den Arbeitnehmern benützt werden können, um bessere Ergebnisse zu erzielen. Als angehender Arbeitnehmer hat man einen Anreiz zu signalisieren, dass man eine gute Arbeitskraft ist. Ein potentieller Arbeitgeber hat den Anreiz die Kandidaten zu sortieren und diejenigen mit der höchsten Produktivität anzustellen.

19 Beispiel zu Signaling und Screening: Betrachten wir eine Welt in der es nur zwei Typen von Uniabsolventen gibt: - Typ A (hohe Produktivität) - Typ C (geringe Produktivität). Potentielle Arbeitgeber sind bereit $ an A Typen und $ an C Typen zu bezahlen. Nehmen wir an, dass die Typen A und C sich unterscheiden in ihrer Fähigkeit an der Uni anspruchsvolle Kurse zu absolvieren. Einen Typ A kostet es weniger als einen Typ C Studierenden, weil er beispielsweise weniger Freizeit für das Lernen opfern muss. Einen Typ A Studenten kostet es $6 000 eine schwierige Vorlesung zu belegen. Einen Typ C Studenten kostet es $ Kann ein potentieller Arbeitgeber diese Information nutzen, um die Studenten zu sortieren? Betrachte den folgenden Screening Mechanismus: - Jeder Student, der n oder mehr anspruchsvolle Kurse belegt, wird als Typ A eingeschätzt und erhält $ Jeder der weniger als n anspruchsvolle Kurse belegt, wird als Typ C Eingeschätzt und erhält $ Das Ziel jedes Screening Mechanismus ist eine Selbstselektion zu bewirken. Er muss die Anreize so ausgestalten, dass nur Typ A Studenten n oder mehr anspruchsvolle Kurse belegen. Ist diese Bedingung erfüllt ist der Mechanismus anreizkompatibel. Der Wert von n muss so gewählt werden, dass Typ C lieber erkannt wird, als die Kosten auf sich zu nehmen, Typ A zu imitieren. $ $ $9 000n n 6 Auch Typ A muss korrekte Anreize haben $ $6 000n $ n 8 Wenn die Firma 8 n 6 werden nur Typ A Studierende an die Uni gehen. Dieser Prozess wird Selbstselektion genannt. Poolinglohn: Wenn Arbeitgeber die Typen nicht separieren dürfen, zum Beispiel weil der Staat diese Form der Diskriminierung verbietet, müssen die Arbeitgeber allen Absolventen den gleichen Lohn bezahlen. Ein solcher Lohn wird Poolinglohn genannt. Nehmen wir an, dass 20% der Studierenden Typ A sind und 80% Typ C. Mit einem Poolinglohn wird jedem Typen der Erwartungswert bezahlt: 0.2 x $ x $ = $ Quintessenz: Typ A kriegt keinen gerechten Lohn und wandert aus/ wird selbstständig. Dies erhöht Anteil an Typ C was wiederum die Poolinglöhne senkt und es verschwinden noch mehr mit Typ A. Am Ende gibt es nur noch Typ C und die haben gleichen Lohn wie mit Diskriminierung aka Diskriminierung rockt hardcore!

20 Anreize Setzen Prinzipal(Firma)-Agenten(Manager) Modell Betrachten Sie eine Situation, in der Sie der Besitzer einer Firma sind, welche einen Manager einstellen muss, um ein Projekt zu leiten. Die Erfolgswahrscheinlichkeit des Projekts hängt von der Anstrengung des eingestellten Managers ab. Wenn das Projekt ein Erfolg wird, hat die Firma Einnahmen von $ Bei einer durchschnittlichen Anstrengung des Managers beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit 60%. Wenn der Manager alles in seiner Macht stehende unternimmt, steigt die Erfolgswahrscheinlichkeit auf 80%. Annahme: Der Manager kostet $ für ein durchschnittliches Engagement. Erhält er zusätzlich nochmals einen Bonus von $ stürzt er sich voll in die Arbeit. Lohnt sich dieser Bonus? 0.60 x $ $ = $ x $ $ = $ Antwort: Ja Problem: Anstrengung ist nicht beobachtbar, solcher Vertrag kann dazu führen dass er das Geld einstreicht obwohl er zuviel geshizzeld hat. Nun muss sein Arbeitsvertrag mit einem Sachverhalt verifizierbar sein. Betrachte einen Arbeitsvertrag mit einem Grundgehalt s und einem Bonus b. Der Bonus wird nur ausbezahlt wenn das Projekt erfolgreich ist. Erwarteter Lohn: s + 0.6b, bei durchschnittlicher Anstrengung s + 0.8b, bei grosser Anstrengung Der Vertrag ist anreizkompatibel, wenn der Manager für hart arbeiten mindestens $ zusätzlich erhält: (s + 0.8b) - (s + 0.6b) $ b $ Der Bonus muss also mindestens $ betragen. Wieso? Wenn er sich voll anstrengt erhöht sich die Erfolgswahrscheinlichkeit um 20%. Da er den Bonus auch erhält, wenn er sich nicht anstrengt und das Projekt trotzdem erfolgreich ist, ist die erwartete zusätzliche Auszahlung einer vollen Anstrengung 0.2*b

21 Gleichgewichte in Signalspielen (Im Buch nachlesen) Evidenz für Signaling und Screening (Im Buch nachlesen) Stoht so uf dr Folie, scheiss Rattekopf Berentsen! Kontrolle und Beeinflussung des Risikos Beispiel mit Farmer. Wenn das Wetter gut ist (50%) sind seine Einnahmen $15'000, wenn das Wetter schlecht ist (50%) 5'000. Erwartetes Einkommen: 0,5 x $ ,5 x $5000 =$ Farmer hat 2 Möglichkeiten sich gegen dieses Risiko abzusichern: - Pooling des Risikos mit anderen - Handel Farmer hat Kollege gefunden der die genau unterschiedlichen Bedingungen hat, zusammen haben sie ein sicheres Einkommen von $20'000. Farmer mit guter Ernte zahlt dem anderen $5'000, dies garantiert jedem Farmer ein Einkommen von $10' x $10' x $10'000 = $ Pooling von Risiken ist Grundlage vieler Versicherungen und wichtige Porftfoliotheo. Nehmen wir nun an, dass der Farmer 2 ein garantiertes Einkommen von $10000 hat. Er ist möglicherweise bereit ein Teil des Risikos des Farmers 1 gegen eine Prämie zu übernehmen. Sei W der Geldbetrag, den ein Farmer hat. Nehmen wir an, dass beide Farmer riskoavers sind mit strikt konkaver Nutzenfunktion U(W) = W1/2. Vertrag: Farmer 2 bezahlt $2000, wenn Farmer 1 eine schlechte Ernte hat und erhält $2000, wenn Farmer 1 eine gute Ernte hat. Dafür bekommt Farmer 2 die Versicherungsprämie von $100 von Farmer 1. FALL 1: Farmer 2 hat Einkommen $12100 bei gutem Wetter. Farmer 2 hat Einkommen $8100 bei schlechtem Wetter. - Sein erwarteter Nutzen mit Vertrag ist EU(W) = 0.5 x (12100) x (8100) 0.5 = Ohne Vertrag ist sein Nutzen EU(W) = (10000) 0.5 = 100 Er hat den gleichen Nutzen mit und ohne Vertrag: Er übernimmt das Risiko. FALL 2: Farmer 2 hat Einkommen $12900 bei gutem Wetter. Farmer 2 hat Einkommen $6900 bei schlechtem Wetter. - Sein erwarteter Nutzen mit Vertrag ist EU(W) = 0.5 x (12900) x (6900) 0.5 = Ohne Vertrag ist sein Nutzen EU(W) = 0.5 x (15000) x (5000) 0.5 = 96.6 Er hat einen höheren Nutzen mit Vertrag: Er ist bereit Prämie zu zahlen.

22 Repetition: Moral Hazard: Wenn Leute aufgrund eines Versicherungsvertrages ihr Verhalten verändern und diese nicht beobachtbar sind. Adverse Selektion: Wenn Individuen ausnützen dass sie besser informiert sind über ihre Risiken und das ausnützen. Versicherungen steuern gegen diese Problem mit obligatorischen Krankenversicherungen, Bonus-Malus-Systeme oder so

23 Wiederholte Spiele (11) Gefangendilemma wird wiederholt gespielt, es gibt gemeinsame Zukunft, es gibt Bestrafungen, Drohungen, etc. Nehme wir an, dass ein Spieler in jeder Periode abweicht. Die beste Antwort des Gegenübers ist, auch in jeder Periode abzuweichen. Also ist ein Nashgleichgewicht des wiederholten Gefangenendilemmas immer zu gestehen. Gibt es andere Nashgleichgewichte? Betrachte die folgende Strategie: - Kooperation, solange Gegenüber kooperiert. - Wenn Ggü. in einer Periode abweicht, dann weiche in jeder nachfolg. Periode ab. Was sollte die beste Antwort des Gegenübers sein? - Behauptung: Wenn er nicht zu ungeduldig ist, wird er in jeder Periode kooperieren. Wenn er in jeder Periode kooperiert, erhält er in jeder Periode eine Auszahlung von 2. Wenn er in einer Periode zu Abweichen springt, erhält er in dieser Periode eine Auszahlung von 3 und eine Auszahlung von 1 in jeder nachfolgenden Periode. Der Spieler muss also einen Auszahlungsstrom (3,1,1, ) mit einem von (2,2,2, ) vergleichen. Kooperation im Gegangenendilemma ist möglich, wenn: (1) die Möglichkeit besteht, das Abweichen in nachfolgenden Spielrunden zu bestrafen. (2) der Wert der zukünftigen Kooperation grösser ist, als der kurzfristige Gewinn des Abweichens. Endlich wiederholte Spiele Kurzinfo: Die Gewichte reflektieren die Tatsache, dass die Agenten ungeduldig sind: Sie ziehen eine Auszahlung heute einer Auszahlung morgen vor.

24 Strategiemenge Spieler 1 Spieler 1 hat insgesamt 2 5 = 32 Strategien! Spieler 2 auch! Reine Strategiekombinationen Die reinen Strategien jedes Spielers müssen kombiniert werden um die Menge zu finden. Es gibt insgesamt 32 x 32 Strategiekombinationen. Rückwärts lösen Jeder Spieler hat in der ersten Phase die Wahl zwischen zwei Aktionen. In der zweiten Phase ist die Aktion eine Funktion der Geschichte des Spiels. Wir lösen das Spiel rückwärts. Es gibt vier Teilspiele in der letzten Phase, es sind jedoch alle identisch. Wir haben ein eindeutiges Nash Gleichgewicht In der ersten Phase, führt die Drohung der Bestrafung nicht zur Kooperation. Warum? Die Spieler weichen in der zweiten Phase sowieso ab. Grund: Sie können danach nicht mehr bestraft werden, da das Spiel endet. Das endlich wiederholte Gefangenendilemma hat ein eindeutiges teilspielperfektes Gleichgewicht, in welchem beide Spieler nie kooperieren. Unendlich wiederholte Spiele In endlichen Spielen, wenn die Spieler die Länge des Spiels kennen, führt Wiederholung nicht zu Kooperation. In unendlichen Spielen kann Kooperation entstehen. Grund: Es gibt in jeder Periode eine Zukunft, d.h. die Möglichkeit eine Abweichung zu bestrafen. Begriffe Bedingte Strategien: Strategien, welche von der Gesch. des Spiels abhängig sind. Trigger Strategie: Spieler weicht ab Periode (t + g) für n Perioden ab, wenn sein Gegenüber in Periode t abweicht. In der Regel ist g = 1. Grim-Strategie: Spieler kooperiert solange Gegenüber auch kooperiert. Weicht dieser aber ab, verweigert der Spieler jegliche Kooperation für den Rest des Spiels. Tit-for-tat: Spieler kooperiert in Periode t + 1 wenn Gegenüber in Periode t kooperiert hat, weicht ab, wenn Gegenüber abgewichen ist. Beispiel Döner-Preise Zwei Spieler: City-Liner, Sam s Zwei Strategien: Hohe Preise, mittlere Preise

25 Ausgangslage: Die Spieler kooperieren und verlangen beide hohe Preise. Spieler 1 spielt tit-for-tat Lohnt es sich für Spieler 1 nur einmal abzuweichen? Wenn ein Spieler abweicht, kann er seine Auszahlung in einer gegebenen Runde von 60 auf 70 also um 10 erhöhen. Aber der andere Spieler wird in der nächsten Periode nicht mehr kooperieren und wenn man wieder zur Kooperation zurückkehrt, erhält er die Auszahlung 36. Abweichen: =166 Nicht abweichen: =180 Lohnt es sich für Spieler 1 für immer abzuweichen? (Zeitwert muss nun berücksichtigt werden. r ist der reale Zinssatz) Der Barwert einer Geldzahlung a, welche in jeder Periode eingeht, ist Wenn ein Spieler abweicht, kann er seine Auszahlung in einer gegebenen Runde von 60 auf 70 also um 10 erhöhen. Aber der andere Spieler wird ab der nächsten Periode nicht mehr kooperieren. Kooperation ist möglich, wenn die Spieler nicht zu ungeduldig sind, d.h. wenn der reale Zinssatz nicht zu gross ist. Wenn die Zukunft für einen Spieler wenig Bedeutung hat, so ist er eher abgeneigt zu operieren. Die Spieler wissen nicht, wie lange Interaktion andauern wird. Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel fortgesetzt wird. Allgemeine Theorie: Auszahlungen: H > C > D > L H: Auszahlung für defector C: wechselseitige Kooperation D: wechselseitiges Abweichen L: Auszahlung für cooperator Einmaliger Gewinn durch Wortbrechen = H C Einperioden Verlust durch Best. wenn Sp. zu Kooperation zurückkehrt = C L Verlust für fortwährendes Wortbrechen pro Periode = C D Allgemeine Variante Gefangenendilemma - Spieler bricht sein Wort gegen einen titfor-tat Spieler genau einmal, wenn (H C) > (C L)/(1 + R) d.h. R > ((C L)/(H C)) 1 - Spieler kooperiert nie gegen einen tit-fortat Spieler, wenn (H C) > (C D)/R d.h. R > ((C D)/(H C))

26 Andere Auswege aus dem Gefangenendilemma Fast nur Grafiken, Selbststudium, ab Seite 8 vom Evidenz durch Experimente: - Kooperation lässt sich in Experimenten feststellen. - Sogar in wiederholten Spielen endlicher Länge - Viele Spieler beginnen kooperierend. - Kooperieren die meiste Zeit des Spiels, solange die anderen kooperieren. - Beginnen in den letzten Runden abzuweichen. - Spieler welche wiederholt diese Experimente machen, kooperieren mit der Zeit weniger oft. - Es kommt vor, dass Spieler betrügerische Abmachungen treffen. - Experimente enthalten Unsicherheit, wann das Spiel enden wird. - Sonst würde Rückwärtsinduktion zu nicht Kooperieren führen. Dilemmas der realen Welt, Beispiele: Standortwettbewerb Individuelle Regionen nutzen finanzielle Anreize, um Firmen zu einem Standortwechsel in ihre Region zu bewegen. Zwei Regionen: Basel-Stadt, Elsass Zwei reine Strategien: Anreize, keine Doping 2 Sp.: 1, 2 / 2 reine Str.: dopen, clean Gewinnwahrscheinlichkeit Beide Dopen oder beide clean (½, ½) - Nur 1 dopt (1,0) - Nur 2 dopt (0,1) Preis W=1 L=0 Anwaltskosten Es ist eine dominante Strategie einen Anwalt zu engagieren. Aber weil beide Seiten einen Anwalt haben, sind die Ergebnisse identisch, wie wenn kein Anwalt eingesetzt würde (bis auf Gebühren).

27 Kollektives Handeln (12) Kollektives Handeln: In Spielen kollektiven Handelns, werden die Ziele der Gemeinschaft am besten bedient, wenn die Mitglieder ihre Aktionen koordinieren. Die koordinierten Aktionen stimmen aber in der Regel nicht mit den privaten Interessen der Mitglieder überein. Also: Kollektives Handeln wird geprägt durch die Spannung zwischen privaten Interessen und den Interessen des Kollektivs. Nichtrivalität im Konsum: Der Konsum eines Spielers reduziert den Konsum der anderen Spieler nicht. Trittbrettfahrer: Profitiert vom Projekt ohne an die Kosten beizutragen. Reines öffentliches Gut: Gut welches keine Rivalität im Konsum kennt und von welchem Ausschluss nicht möglich ist. Reines privates Gut: Rivalität ist vorhanden und Ausschluss ist möglich. Hier kommen alles Beispiele, muss man 100% durcharbeiten, macht keinen Sinn wenn ich alles hier reinkopiere: Kollektives Handeln (12) Kollektives Handeln mit zwei Spielern Beispiel 1: Gefangendilemma Beispiel 2: Gefangendilemma Beispiel 3: Chicken Spiel Beispiel 4: Chicken Spiel Beispiel 5: Koordinationsspiel Kollektives Handeln in grossen Gruppen 1. Gefangendilemma 2. Chicken Spiel 3. Koordinationsspiel Lösungsansätze 1. Koordinationsspiel 2. Gefangendilemma 3. Chicken Spiel Spillovers oder Externalitäten Spiel kollektiven Handelns mit N Spielern. Welches ist das sozial optimale n? Wie unterscheidet sich das sozial optimale n vom Nash Gleichgewicht? T(n) = n p(n) + (N n) s(n) Sozialer Grenzgewinn: Effekt auf soziale Wohlfahrt, wenn eine Person ihr Verhalten ändert. Privater Grenzgewinn (a): Effekt auf persönlichen Nutzen, wenn eine Person ihr Verhalten ändert. Positive Externalität oder Spillover effect (b und c): Differenz zwischen sozialem und persönlichem Gewinn.

28 Sozialer Grenzgewinn: T'(n) Privater Grenzgewinn: p(n) s(n) Grenzeffekt der Externalität: n p'(n) + (N n) s'(n)

29 Evolutionäre Spieltheorie (13) Nicht rationale Individuen lassen sich schlecht erfassen. Keine Rationalität, da keine bewussten Entscheidungen gefällt werden. Gute Strategien werden gegenüber schlechten belohnt. Strategien werden nicht mehr vom Spieler durchdacht, vielmehr sind sie angeboren. Fitness und Selektion bestimmen dann den Erfolg der Strategie. Evolutionäre Biologie Tierisches Verhalten ist weitgehend genetisch programmiert. Zusammenwirken der Gene bestimmt eine Verhaltensweise. Anzahl der Tiere mit einer höheren Fitness nimmt zu, weil sie relativ mehr Nachkommen haben. Phänotyp: Spezielles Verhaltensmuster, welches durch ein oder mehrere Gene bestimmt wird. Einige Phänotypen passen besser zu herrschenden Umweltbedingungen als andere. Fitness: Mass für den Erfolg eines Phänotyps. Selektion: Ändert die Zusammensetzung der Phänotypen. Der Zufall produziert Mutationen: Es entstehen neuen Phänotypen. Fitness und Selektion bestimmen den Erfolg Mutanten. Die meisten Phänotypen, welche durch eine Mutation entstehen, sind schlecht an die Umwelt angepasst und verschwinden unmittelbar wieder. Mutationen: Von Zeit zu Zeit entsteht ein neuer Phänotyp, der besser an die Umwelt angepasst ist. Der Phänotyp kann in eine bestehende Population von Phänotypen eindringen. Evolutionär stabil: Ein Phänotyp wird evolutionär stabil genannt, wenn keine Mutanten den Phänotypen verdrängen können. Monomorph: Eine Population heisst monomorph, wenn sie aus nur einem Phänotypen besteht. Polymorph: Eine Pop. heisst polymorph, wenn sie aus mehr. Phänotypen besteht. NG: Das Nashgleichgewicht wird ersetzt durch zwei Konzepte: - Evolutionär stabile Strategie - Populationsdynamik Das sind unsere neuen Prognosetolls Evolutionär stabile Strategie (ESS): Strategie welche durch keine andere Strategie verdrängt werden kann, wenn sie von allen Spielern gespielt wird. Eine evolutionär stabile Strategie ist resistent gegen Mutanten. Populationsdynamik: Beschreibt die Änderung der Verteilung der Strategien in einer Bevölkerung. Hier kommen alles Beispiele, muss man 100% durcharbeiten, macht keinen Sinn wenn ich alles hier rein kopiere Evolutionäre Biologie (13) 2: Gefangendilemma 3: Wiederholtes Gefangendilemma 4: Chicken Spiel 5: Koordinationsspiele 6: Hawk-Dove