Lernmodul 4, Kapitel

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1 1 Lernmodul 4, Kapitel 14 5 Konstruktion Die wichtigsten Konstruktionselemente bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal sind: 1 Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten auf einer Geraden Lot fällen: einen Punkt senkrecht auf eine Gerade projezieren 3 Winkel halbieren Strahlensätze 1 Strahlensatz: Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt Z von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl: ZC ZA = Z D ZB Mit dem 1 Strahlensatz kann man auch folgende Beziehungen beweisen: AC ZA = BD ZB, AC ZC = BD Z D Dh alle drei Gleichungen können für den 1 Strahlensatz verwendet werden Strahlensatz: Werden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt Z von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die entspechenden Abschnitte auf jedem der beiden Strahlen: C D AB = ZC ZA, C D AB = Z D ZB

2 Mit den beiden Strahlensätzen sind Verhältnisse beliebiger Abschnitte möglich, dh man kann zb folgende Beziehungen beweisen: Kongruenzsätze C D ZC = AB ZA, C D Z D = AB ZB 1 Kongruenzsatz: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten übereinstimmen (SSS) Kongruenzsatz: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS) 3 Kongruenzsatz: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen (WSW, SWW, WWS) 4 Kongruenzsatz: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren der beiden Seiten übereinstimmen (SsW) Anders formuliert: wenn der Winkel an der kleineren der beiden Seiten liegt Schwerpunkt Der Schwerpunkt einer Strecke ist logischerweise der Mittelpunkt der Strecke Betrachten wir ein Dreieck, so können wir es jeweils parallel zu jeder Seite in dünne Streifen zerlegen, von denen wir je den Schwerpunkt annähernd bestimmen können Dieser ist nämlich annähernd der Mittelpunkt jedes Streifens, da er wiederum annähernd als Strecke betrachtet werden kann Diese Mittelpunkte liegen offenbar jeweils auf der Seitenhalbierenden Nun erkennen wir, dass sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden, der der Schwerpunkt des Dreiecks sein muss

3 3 Inkreismittelpunkt Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks treffen sich im Inkreismittelpunkt Um einzusehen, dass die Winkelhalbierenden zum Inkreismittelpunkt führen, betrachten wir folgendes Bild: Hier sehen wir, dass zwei von einer Ecke des Dreiecks ausgehenden Seiten zwei Tangenten an den Inkreis bilden Damit gibt es je eine Linie vom Mittelpunkt aus zu je einem Berührpunkt der jeweiligen Tangente, die jeweils senkrecht zur Tangente ist Da die Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt des Inkreises und je einem Berührpunkt jeweils ein rechtwinkliges Dreieck bildet und bei den beiden Dreiecken sowohl die Seiten d und r gleich sind, als auch der rechte Winkel jeweils gegenüber der längsten Seite, nämlich der Hypotenuse, liegt, sind die beiden Dreiecke nach dem 4 Kongruenzsatz eindeutig bestimmt und kongruent Also haben sie auch den Winkel α gemeinsam und somit muss die Winkelhalbierende des Winkels zwischen den Seiten des Dreiecks durch den Mittelpunkt des Inkreises gehen Die Winkelhalbierende sollte nicht mit der Seitenhalbierenden verwechselt werden Den Unterschied kann man hier sehen: Insbesondere ist der Unterschied gut sichtbar, wenn sich die Längen der beiden Seiten stark unterscheiden Übrigens sind die Winkelhalbierende und die Seitenhalbierende identisch, wenn die beiden Seiten gleich lang sind

4 4 Umkreismittelpunkt Der Umkeismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Dies kann man einsehen, wenn man überlegt, dass zwei Ecken des Dreiecks mit dem Mittelpunkt des Umkreises ein gleichschenkliges Dreieck bilden Da die Winkelhalbierende an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks gleich der Seitenhalbierenden ist (nach der Bemerkung oben) und die Seitenhalbierende senkrecht auf der Seite steht, ist sie auch gleich der Mittelsenkrechten Nun können die Mittelsenkrechten auf den Seiten des Dreiecks gebildet werden, die ja durch den Mittelpunkt des Umkreises gehen müssen und sich damit im Umkreismittelpunkt schneiden Fläche und Umfang von ebenen Figuren Für die Fläche der ebenen Figuren gilt: Quadrat: A = a, Rechteck: A = a b, Parallelogramm: A = a h, Dreieck: A = 1 a h = a h, Trapez: A = 1 a+c (a + c) h = h, Kreis: A = π r = 1 π 4 d Für den Umfang der ebenen Figuren gilt: Quadrat: U = 4 a, Rechteck und Parallelogramm: U = (a + b), Dreieck: U = a + b + c, Trapez: U = a + b + c + d, Kreis: U = π r = π d

5 5 Der Satz des Pythagoras und der Satz des Thales Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, in dem ein Winkel 90 beträgt, in dem also ein rechter Winkel existiert Die beiden Seiten, die an dem rechten Winkel liegen, heißen Katheten, die gegenüber liegende heißt Hypotenuse Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypothenuse: a + b = c Satz des Thales: Konstruiert man ein Dreieck aus den Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises und einem Punkt auf dem Halbkreis, der von den anderen beiden verschieden ist, so erhält man stets ein rechtwinkliges Dreieck In der Zeichnung oben ist der Thaleskreis samt Mittelpunkt abgebildet Bemerkung: Um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, muss keine Höhe ermittelt werden, denn die Höhe auf einer der Seiten des Dreiecks ist das Lot des übrigen Punktes des Dreiecks auf der Seite, steht also senkrecht auf der Seite Die beiden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks stehen aufgrund der Konstruktion senkrecht aufeinander und stellen jeweils zugleich das Lot einer Ecke des Dreiecks auf der gegenüber liegenden Seite dar Somit kann eine der Katheten als Grundseite und die andere als Höhe des Dreiecks verwendet werden Der Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Kathete inhaltsgleich dem Rechteck, gebildet aus der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt: a = c q, b = c p

6 6 Der Höhensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe inhaltsgleich dem Rechteck, gebildet aus den Hypotenusenabschnitten: h = p q Zu den Anwendungen des Katheten- oder Höhensatzes gehören die Quadratur eines Rechtecks und umgekehrt Konstruktion eines Rechtecks aus einem Quadrat Winkelsätze am Kreis Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen

7 7 Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen sind gleich groß Anmerkung: Für den Fall, dass der Bogen ein Halbkreis ist, dh der Zentriwinkel µ = 180, ist der Peripheriewinkel über dem Halbkreis 90 Also ist das Dreieck, gebildet aus Durchmesser und den beiden Schenkeln des Peripheriewinkels, rechtwinklig ( Satz des Thales) Winkelsumme eines n-ecks Die Summe der Innenwinkel eines (nichtausgearteten) n-ecks (dh schneidenden Seiten) beträgt (n ) 180 ohne sich Sehnen- und Tangentenviereck Ein Viereck, das einen Umkreis hat, heißt Sehnenviereck Ein Viereck, das einen Inkreis hat, heißt Tangentenviereck In jedem Sehnenviereck beträgt die Summe von zwei gegenüber liegenden Winkeln 180 In jedem Tangentenviereck sind die Summen der Gegenseiten gleich Kreissektor Die Fläche eines Kreissektors mit Winkel α wird berechnet durch: A = πr α 360 Die Länge L eines Kreisbogens eines Kreissektors mit Winkel α wird berechnet durch: α L = πr 360

8 8 Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen sind Verhältnisse je zweier Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck zu einander und zu einem der beiden Winkeln (den rechten Winkel ausgenommen) Somit haben sie also immer einen Winkel als Argument: sin α, cos α, tan α Sie heißen Sinus, Kosinus und Tangens Hierbei bekommen die Seiten Namen Wir haben bereits Namen für die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck, nämlich Hypotenuse (liegt gegenüber dem rechten Winkel) und Katheten (liegen beide an dem rechten Winkel) Da die trigonometrischen Funktionen sich immer auf einen bestimmten Winkel beziehen, können die Katheten hier unterschieden werden, nämlich Gegenkathete (die gegenüber dem Winkel liegt) und Ankathete (die an dem Winkel liegt) Genauer sind diese Funktionen so definiert: Die Graphen zu den Funktionen: sin α = Gegenkathete Hypotenuse = a c, cos α = Ankathete Hypotenuse = b c, tan α = Gegenkathete Ankathete = a b = sin α cos α Wie man unschwer erkennen kann, unterscheiden sich Sinus und Kosinus nur durch eine Verschiebung um 90 Deshalb kann man direkt die Formeln sin α = cos(α 90 ), cos α = sin(α + 90 )

9 folgern Wegen der Punkt-Symmetrie von sin α und der Achsen-Symmetrie von cos α gilt auch sin α = sin(180 α), cos α = cos(180 α) Dies ist nicht schwer einzusehen, wenn man sich die Graphen genau anschaut 9 Betrachten wir nun den Einheitskreis, dh Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt Jeder Punkt auf dem Einheitskreis kann mit trigonometrischen Funktionen beschrieben werden, und zwar hat der Punkt P(x 0 y 0 ) die Koordinaten x 0 = x 1 0 = cos α, y 0 = y 1 0 = sin α Mit Pythagoras folgt dann sin α + cos α = 1 Diese Gleichung ist auch als Trigonometrischer Pythagoras bekannt Sinussatz In einem beliebigen (nichtausgearteten) Dreieck verhalten sich die Dreiecksseiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüber liegenden Winkel: a b = sin α sin β, a c = sin α sin γ, b c = sin β sin γ Oder, das Verhältnis einer Seite zum Sinus ihres gegenüber liegenden Winkels ist konstant, dh: a sin α = b sin β = c sin γ Man beachte, dass bei der Anwendung des Sinussatzes die Symmetrie-Eigenschaft des Sinus berücksichtigt werden muss, dh zu einem Ergebnis α muss auch 180 α untersucht werden Denn es gilt ja sin α = sin(180 α) Die Taschenrechner zb berechnen immer den kleinsten nichtnegativen Winkel, der zu einem Sinuswert gehört

10 10 Kosinussatz In einem beliebigen (nichtausgearteten) Dreieck ist das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate über den anderen beiden Seiten, vermindert um das doppelte Produkt dieser beiden Seiten und des Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels: a = b + c bc cos α, b = a + c ac cos β, c = a + b ab cos γ Also ist der Kosinussatz eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras Bogenmaß Das Bogenmaß (auch bekannt als Radiant) ist ein anderes Maß für einen Winkel Dabei wird ein Winkel mit der Länge des Bogens des Einheitskreises gemessen Da der Umfang des Einheitskreises π beträgt, entspricht 360 also π im Bogenmaß Man kann selbstverständlich auch umrechnen Sei α in Grad und ϕ der gleiche Winkel in Bogenmaß: α = ϕ 180 π ϕ = α π 180 Additionstheoreme Es gilt: sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α, cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β, tan α + tan β tan(α + β) = 1 tan α tan β Beweis eines Winkelsatzes am Kreis Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen Beweis Da Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen gleich groß sind, können wir die Problemsituation auf die folgende reduzieren:

11 Zu zeigen ist also µ = ϕ Bequemlichkeithalber setzen wir ϕ = ϕ, µ = µ Also brauchen wir nur µ = ϕ zu beweisen Nehmen wir nun an, es gilt µ = ϕ Aus der Zeichnung oben folgt: tan µ = x y, tan ϕ = x r + y, cos µ = y r Diese drei Gleichungen stellen eine Beziehung zwischen ϕ und µ her Eine Kombination der Gleichungen darf also nicht im Widerspruch enden, wenn der Satz gilt und wir die Gleichheit µ = ϕ verwenden Durch geschickte Kombinationen erhalten wir: 11 (r + y) tan tan µ ϕ = y tan µ = (r + r cos µ ) tan ϕ = (1 + cos µ ) tan ϕ r cos µ cos µ sin µ = (1+cos µ ) tan ϕ sin µ sin ϕ = 1 + cos µ cos ϕ cos ϕ sin ϕ = 1 + cos ϕ sin ϕ = cos ϕ cos ϕ = sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ 1 + cos µ cos ϕ = sin µ sin ϕ was die Annahme µ = ϕ beweist Wir haben in der letzten Zeile die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus und µ = ϕ + ϕ verwendet Zudem haben wir den trigonometrischen Pythagoras 1 = sin ϕ + cos ϕ gebraucht

12 1 Übungen Aufgabe 1 a) Konstruieren Sie ein Dreieck mit a = 5cm, b = cm und c = 4cm b) Konstruieren Sie ein Dreieck mit a = 7cm, α = 40 und γ = 55 c) Konstruieren Sie ein Dreieck mit b = 4cm, c = 3cm und α = 65 d) Konstruieren Sie ein Dreieck mit a = 65cm, c = 35cm und α = 70 Aufgabe Konstruieren Sie den Schwerpunkt zum Dreieck aus 1a), den Inkreis zum Dreieck aus 1c) und Umkreis zum Dreieck aus 1d) Aufgabe 3 Berechnen Sie die Fläche einer sechseckigen Grundfläche mit den gegebenen Maßen in Meter Geben Sie das Ergebnis in Ar an (1Ar = 100m ) Aufgabe 4 Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit c = 7cm und b = 4cm und berechnen Sie die Fläche Aufgabe 5 Konstruieren Sie aus einem Quadrat mit 4cm 4cm ein flächengleiches Rechteck mit a = 3cm einmal mit dem Kathetensatz und einmal mit dem Höhensatz (Konstruieren Sie aus einem Rechteck mit a = 5cm und b = 3cm ein flächengleiches Quadrat) Aufgabe 6 Konstruieren Sie die beiden Tangenten an einen Kreis mit Radius r = 5cm durch einen Punkt außerhalb des Kreises, der etwa 7cm von der Kreislinie entfernt ist Dabei sei der Mittelpunkt des Kreises nicht gegeben

13 13 Aufgabe 7 Wie groß ist die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Neunecks Aufgabe 8 Ein Viereck habe einen Umkreis von 1cm Durchmesser Was ergibt die Summe α + γ zweier Winkel im Viereck? Aufgabe 9 Ein Viereck habe einen Inkreis mit Radius r = 4cm Was ergibt die Summe a b + c d der Seiten des Vierecks? Aufgabe 10 Berechnen Sie die restlichen Teile der Dreiecke aus Aufgabe 1 Benutzen Sie dabei sowohl den Sinussatz als auch den Kosinussatz Nicht jede Situation kann man mit beiden Sätzen lösen

14 14 Lösungen Aufgabe 3 x = = 300m, y = 50559m, h = 17801m, A = y h = 93750m = 9375Ar Zu h: Eine der schnellsten Methoden h auszurechnen, ist zuerst mit dem Kosinussatz α auszurechnen und dann mit Sinus von α schließlich h zu ermitteln (h ist ja Gegenkathete): α = arccos Aufgabe y = 834, h = 375 sin α = y Konstruiert wird das Dreieck mit dem Satz des Thales: Zuerst zeichnet man eine Gerade, trägt zwei Punkte im Abstand von 7cm ein, konstruiert den Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten und schlägt einen Halbkreis um den Mittelpunkt Dann schlägt man um den linken Punkt einen Teilkreis mit Radius 4cm, so dass man einen Schnittpunkt mit dem Halbkreis erhält Jetzt verbindet man die zwei äußeren Punkte des Durchmessers je mit dem Schnittpunkt und ist somit fertig Um die Fläche zu berechnen, braucht man eine Höhe auf einer der drei Seiten Am besten eignen sich die Seiten a und b, da sie auf einander senkrecht stehen und somit gleichzeitig auch Höhe der jeweils anderen Seite darstellen Also: a = c b = 574cm, A = 98cm + Aufgabe 5

15 15 Aufgabe 6 Aufgabe 7 (n ) 180 = = 160 Aufgabe 8 Da α und γ einander gegenüber liegen, ist die Antwort 180 Aufgabe 9 Da hier die Summe zweier gegenüber liegenden Seiten von der Summe der anderen beiden gegenüber liegenden Seiten abgezogen werden, ergibt sich 0cm Aufgabe 10 1a) Man berechne einen Winkel mit dem Kosinussatz und die restlichen mit dem Sinussatz, da er einfacher zu handhaben ist, bzw durch Winkelsumme: a b c = b sin α = α = arccos 1081, β = arcsin 33, γ = bc a 1b) β = 85, b = a sin β sin α = 1085cm, c = a sin γ = 89cm sin α 1c) a = b + c bc cos α = b sin α = 385cm, β = arcsin 7014, γ = 4486 a 1d) c sin α = γ = arcsin 304, β = 796, b = a sin β a sin α = 68cm

16 16 Lernmodul 4, K Lernmodul 5, K Winkel zwischen Gerade und Ebene Wir wissen bereits wie Winkel zwischen zwei Geraden gemessen werden Wie misst man aber einen Winkel zwischen Gerade g und Ebene E? Nun, eine Ebene besteht aus unendlich vielen Geraden Offensichtlich sind für uns nur die interessant, die durch den Schnittpunkt P von g mit E verlaufen Von diesen hat eine Gerade eine besondere Eigenschaft: sie ist die senkrechte Projektion g von g auf E (wenn g nicht senkrecht zu E ist; im Fall g senkrecht zu E können wir eine beliebige Gerade in der Ebene durch P betrachten jede ist zu g senkrecht) Unter einem Winkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E verstehen wir den Winkel zwischen g und g Winkel zwischen zwei Ebenen Zwei Ebenen E 1 und E schneiden sich in einer Gerade g Offenbar interessieren uns die Geraden in beiden Ebenen, die durch den gleichen Punkt P auf g verlaufen und jeweils zu g senkrecht sind Diese beiden Geraden g 1 und g von E 1 und E sind eindeutig bestimmt Unter einem Winkel zwischen zwei Ebenen E 1 und E verstehen wir den Winkel zwischen g 1 und g Volumen und Oberfläche von Prismen Als prismatische Körper bezeichnet man Körper, deren Querschnitt konstant ist, also gleich bleibt Sie werden unterteilt in gerade und schiefe Prismen In beiden Fällen berechnet sich Oberfläche und Volumen wie folgt, wobei G die Grundfläche, M die Mantelfläche und h die Höhe des Prismas bezeichnet: O = G + M, V = G h Verschiedene Körper Quader: Das Volumen eines Quaders berechnet sich ähnlich wie die Fläche eines Rechtecks, also V = a b c Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen, die den Quader begrenzen, also O = a b + a c + b c = (a b + a c + b c)

17 Würfel: Ein Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem alle Seiten gleich lang sind Also: V = a 3, O = 6 a Prisma: Ein Prisma, oder auch Säule genannt, besteht im Kern aus einer Fläche, die eine beliebige vieleckige ebene Figur sein kann Diese Grundläche G begrenzt das Prisma von zwei gegenüber liegenden Seiten, welche parallel zu einander sind Jeder Querschnitt parallel zur Grundfläche ist wieder die Grundfläche Beispiele: Dreiecksprisma, Sechsecksprisma, Trapez-Prisma Das Volumen berechnet sich immer gleich: V = G t Hierbei ist G die Grundfläche und t die Tiefe oder die Höhe des Prismas Beispiel Trapez-Prisma: G = a + c h, V = G t V = a + c h t Die Oberfläche besteht aus zwei Grundflächen und der Mantelfläche, die mit dem Umfang U der Grundfläche zusammenhängt: 17 O = G + M, G = a + c h, M = U t, U = a + b + c + d O = (a + c) h + (a + b + c + d) t Zylinder: Ein Zylinder ist einem Prisma sehr ähnlich Die Grundfläche begrenzt den Körper von zwei gegenüber liegenden Seiten und jeder Querschnitt parallel zu der Grundfläche ist die Grundfläche Beim Zylinder ist die Grundfläche aber ein Kreis Volumen und Oberfläche berechnen sich wie beim Prisma: V = G t, O = G + M, G = π r, M = U t, U = π r V = π r t, O = π r + π r t = πr(r + t) Pyramide: Eine Pyramide ist ein spitzer Körper mit einer beliebigen vieleckigen ebenen Figur als Grundfläche Der bekannteste Typ ist die quadratische Pyramide Eine Pyramide hat eine Grundfläche G, eine Höhe h und eine Seitenlänge s Betrachten wir die quadratische Pyramide mit Seitenlänge a der Grundfläche: V = 1 3 G h, G = a V = 1 3 a h, O = G + M, G = a, M = 4 1 a a h + = a 4 h + a O = a + a 4 h + a Tetraeder: Ein Tetraeder ist einer Dreieckspyramide sehr ähnlich, besteht aber grundsätzlich aus vier gleichseitigen Dreiecken und gehört zu den Platonischen

18 18 Körpern Er ist also eine spezielle Dreieckspyramide Da für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks gilt 3 G = 4 a, und die Höhe des Tetraeders Oberfäche: 1 a beträgt, ergibt sich für das Volumen und die 3 V = 1 4 a3, O = 3a Kegel: Ein Kegel ist einer Pyramide ähnlich Er hat eine kreisförmige Grundfläche Ansonsten wird er wie eine Pyramide behandelt: V = 1 3 G h, G = π r V = 1 3 π r h, O = G + M, G = π r, M = π r s O = π r + π r s = πr(r + s) Kegelstumpf: Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, bei dem die Spitze abgeschnitten ist Man verwendet hier das Wissen über den Kegel und leitet Formeln für den Kegelstumpf her Zuerst konstruieren wir zu dem Kegelstumpf den ganzen Kegel Dazu setzen wir die Radien mit den Höhen ins Verhältnis und erhalten die Höhe h 1 des zu konstruierenden Kegels Nach dem zweiten Strahlensatz gilt: h 1 h h 1 = r r 1 h 1 h r 1 = h 1 r h 1 r 1 hr 1 = h 1 r h 1 r 1 h 1 r = hr 1 h 1 r1 r = hr1 h 1 = hr 1 r 1 r Definieren wir nun die Höhe der fehlenden Kegelspitze h = h 1 h Somit gilt für das Volumen: V = 1 3 π r h π r h = 1 3 π r h 1 1 r h h, h1 = r 1, r 1 r h = hr 1 h = hr 1 h r1 r = h r1 r 1 + r h = r r 1 r r 1 r r 1 r r 1 r V = 1 r 3 π r h 1 1 r r 1 r r h r 1 r Nach der Umformung = 1 3 π h r 3 r 1 r 1 r3 V = 1 3 π h r3 1 r3 r 1 r kann nun die Polynomdivision angewendet werden und aus dem Bruch rechts wird r 1 + r + r 1r : V = 1 3 π h r 1 + r 1r + r

19 Für die Oberfläche müssen wir zuerst die Seitenlängen s 1 des konstruierten Kegels und s der Kegelspitze berechnen: r s 1 = r 1 + h 1 = 1 + h r r1 1 = r 1 r1 r + h r 1 = r 1 r + h, r1 r r1 r r 1 r wieder mit einem Strahlensatz (diesmal mit dem ersten) erhält man also Wir erhalten also s 1 s = h 1 h s 1 h = h 1 s s = s 1h h 1 = r1 s = r r + h r 1 r r 1 (r 1 r ) +h r 1 r r h r 1 r, h r 1 r 1 r O = G + M + A, G = π r 1, M = π r 1 s 1 π r s, A = π r O = π r 1 + π r 1 s 1 π r s + π r = π r 1 + r 1 s 1 r s + r, und somit r1 r1 O = π r + r 1 1 r1 r + h r r r + h + r r 1 r r 1 r r = π r + 1 r r1 r + h + r 1 r 1 r = π r 1 + r 1 + r r1 r + h + r Der letzte Schritt war mit der dritten Binomischen Formel möglich Kugel: Kommen wir nun zum schwierigsten der bisher behandelten Körper Hier muss man einige Tricks anwenden, um das Volumen und die Oberfläche herzuleiten Zuerst das Volumen: 19

20 0 Stellen wir uns vor, die obere Halbkugel wäre mit 4, 9, 19, 39, usw Zylindern gefüllt (wie in der Zeichnung) Je kleiner man die Höhe der Zylinder wählt, desto mehr Zylinder passen in die Halbkugel und desto näher kommt man dem Volumen der Halbkugel Wir teilen die Höhe in n gleiche Teile (in der Zeichnung n = 5) Wir können dann folgende Formel für die Zylinder in der Halbkugel aufstellen (wobei G i die Grundfläche und h i die Höhe jedes i-ten Zylinders darstellt): G 1 G { }}{ V {}}{ h1 { }}{ n 1 = π r n r 1 {}}{ h { }}{ n r + π r n r 1 n {}}{ n r + + π r n r 1 n r = π 1 1 n r n r n r + + r n r = πr 1 r 1 n n r + + r n n r = πr n = πr 1 3 n n n n n n n Für die Summe n gibt es eine Formel: n n(n + 1)(n + 1) k = n = 6 k=0 Somit erhalten wir: V n = 1 πr3 n n = πr 1 3 n 1 n(n + 1)(n + 1) n n n n 6 = πr 1 3 n n3 + n + n + n = πr 1 3 n n3 + 3n + n n 6n n 6n = πr 1 n 3 n3 n 6n 3n 6n n = πr 1 3 n3 6n 6n 3n 3 6n n 3 6n 3 = πr n 1 = πr n 3 1 n 1 6n Das ist also die Formel für das Volumen der Zylinder in der oberen Halbkugel Es sind n Zylinder, wobei wir n beliebig erhöhen können, um immer näher an das Volumen der Halbkugel zu kommen Wir lassen also n gegen Unendlich laufen Dafür gibt es in der Mathematik einen Begriff: der Limes Der Limes ist der Grenzwert, dem sich eine Folge von Zahlen nähert, wenn die Folge gegen Unendlich läuft Also ergibt sich: V = lim n πr n 1 6n = πr = πr = 3 πr3 Hierbei sind die Terme, die n im Nenner enthalten, weggefallen, da sie für n gegen 0 laufen Da es nur eine Halbkugel war, erhalten wir für das Volumen der G n h n

21 1 Kugel: V = 4 3 πr3 Für die Oberfläche stellen wir uns vor, die Kugel wäre mit quadratischen Pyramiden, je mit Höhe r, gefüllt (wie in der Zeichnung oben) Dann füllen die Pyramiden einerseits das Volumen der Kugel, andererseits pflastern die Grundflächen der Pyramiden die gesamte Oberfläche Mit der Formel für die quadratische Pyramide erhalten wir also: V n = 1 3 G 1r G r G nr = 1 3 r G 1 + G + + G n Bei Betrachtung des Limes ergibt sich: 1 V = lim V n = lim n n 3 r 1 G 1 + G + + G n = 3 r O V = 1 3 r O O = 3 r V = 3 r 4 3 πr3 = 4πr Also gilt für die Oberfläche der Kugel: O = 4πr Rotationskörper Rotationskörper sind Körper, die durch Drehung einer Fläche um eine Drehachse entstehen Hierzu gehören zb Reifen (Torus) und Hohlkörper eines Zylinders Der letztere entsteht durch Drehung eines Rechtecks um eine Drehachse, wobei eine Seite des Rechtecks parallel zur Drehachse ist 1 Guldinsche Regel: Die Mantelfläche M eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge l der erzeugenden Linie m und dem Weg πr S des Schwerpunktes S der erzeugenden Linie bei einer Umdrehung um die Drehachse: M = πr S l Guldinsche Regel: Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus dem Flächeninhalt A der erzeugenden Fläche und dem Weg πr S des Schwerpunktes S der erzeugenden Fläche bei einer Umdrehung um die Drehachse: V = πr S A

22 Vektor Ein Vektor ist ein mathematisches Hilfsmittel in Gebieten, in denen Zahlen Situationen nicht exakt genug beschreiben ZB stellen die reellen Zahlen einen 1- dimensionalen Raum dar In der Physik hat zb Kraft die Eigenschaft, dass sie eine Richtung im Raum hat, dh 3-dimensional ist Um Situationen wie diese zu beschreiben, verwendet man Vektoren Ein Vektor wird definiert durch eine bestimmte Anzahl von Koordinaten, die Dimension des Vektors genannt wird Jede Koordinate wird üblicherweise mit reellen Zahlen beschrieben Darstellen kann man einen Vektor im gewöhnlichen Koordinatensystem als ein Pfeil Ein Vektor hat eine bestimmte Länge, einen Winkel zu einer der Koordinatenachsen, eine Richtung (also eine Orientierung) und einen Anfangspunkt Desweiteren verstehen wir unter einem Vektor die Menge aller Pfeile, die gleiche Richtung, gleiche Länge und gleiche Orientierung haben Einen beliebigen Pfeil aus dieser Menge nennt man einen Repräsentanten des Vektors Der Standard-Repräsentant ist der mit dem Anfangspunkt im Ursprung Es gibt zwei grundsätzliche Schreibweisen von Vektoren, nämlich Spaltenvektoren und Zeilenvektoren Meistens verstehen wir unter einem Vektor einen Spaltenvektor Addition und Subtraktion von Vektoren Geometrisch: Zwei Vektoren werden addiert, indem der Anfangspunkt des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors gehängt wird Der Summenvektor zeigt vom Anfangspunkt des ersten Vektors zur Spitze des zweiten Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem die Spitze des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors gehängt wird Der Differenzvektor zeigt vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Anfangspunkt des zweiten Rechnerisch: Zwei Vektoren u und v werden komponentenweise addiert oder subtrahiert: ux vx ux ± v u =, v = Dann ist w = u ± v = x u y v y u y ± v y Skalarmultiplikation Geometrisch: Ein Vektor u wird mit einer reellen Zahl c multipliziert, indem der Vektor c mal aneinander gehängt wird

23 3 Rechnerisch: Ein Vektor wird mit einer reellen Zahl multipliziert, indem jede Komponente mit der Zahl multipliziert wird: u = ux, c Dann ist w = c u = u c = u y c ux c u y Ist c = 0 oder c = 1, so haben die sich ergebenden Vektoren Bezeichnungen Bei c = 0 ergibt sich der Nullvektor, bei c = 1 der zu u inverse Vektor Die Vektoren c u für c haben alle etwas gemeinsam: sie sind parallel zu einander Man nennt solche Vektoren kollinear Betrag eines Vektors Die Länge eines Vektors v heißt Betrag des Vektors und wird mit v bezeichnet Da die Koordinatenachsen zu einander senkrecht sind, berechnet sich der Betrag eines Vektors mit Pythagoras: v = v x + v y Winkel eines Vektors mit den Achsen Man kann den Winkel, den ein Vektor mit einer Achse einschließt, mit den trigonometrischen Funktionen berechnen Mit der x-achse schließt der Vektor v folgenden Winkel α ein: sin α = v y v, cos α = v x v, tan α = v y v x Multiplikation von Vektoren Es gibt zwei Arten der Multiplikation zwischen Vektoren: Skalarprodukt und Vektorprodukt (auch bekannt als Kreuzprodukt) Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl s (wird auch Skalar genannt), die das Ergebnis eines Produkts von zwei Vektoren u und v ist (also Vektor mal Vektor gleich Zahl): ux vx u v = v u = = u u y v x v x + u y v y = s y

24 4 Das Skalarprodukt hat eine besondere Eigenschaft Sind die Vektoren u und v senkrecht auf einander, so ist das Skalarprodukt stets 0 Sind sie kollinear, so gilt: u v = u v Man beachte, dass links das Vektorprodukt gebildet wird und rechts zwei reelle Zahlen mit einander multipliziert werden Das Vektorprodukt ist ein Vektor, der das Ergebnis einer Multiplikation von zwei Vektoren u und v ist (also Vektor mal Vektor gleich Vektor): u v = u x u y u z v x v y v z u y v z u z v y = u z v x u x v z u x v y u y v x Hier wurden nicht ohne Absicht 3-dimensionale Vektoren genommen, denn im -dimensionalen macht das Vektorprodukt wenig Sinn Der Ergebnisvektor beim Vektorprodukt zweier Vektoren hat nämlich die Eigenschaft, dass er auf beiden Vektoren senkrecht steht Im -dimensionalen würde der Ergebnisvektor also in die dritte nicht existente Dimension zeigen Man kann aber vereinbaren, dass das Ergebnis in Form einer Zahl geschrieben wird, die die Länge des Ergebnis-Vektors darstellt (da die anderen beiden Koordinaten 0 sind) In vielen Fällen ist gerade der Betrag des Ergebnisvektors interessant Man kann aber auch -dimensionale Vektoren in den 3-dimensionalen Raum verlagern, indem man die dritte Koordinate einfach 0 setzt und kann dann problemlos das Vektorprodukt bilden Sind die Vektoren u und v kollinear, so ist das Vektorprodukt der Nullvektor Die Orientierung des Ergebnisvektors ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel: Ist u der Daumen und v der Zeigefinger, so ist der Mittelfinger der Ergebnisvektor u v Ein wichtiger Unterschied zwischen dem Skalarprodukt und dem Vektorprodukt ist, dass das Skalarprodukt kommutativ ist, dh das Ergebnis ändert sich nicht, wenn man die Faktoren vertauscht Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ, dh da kommt es auf die Reihenfolge der Vektoren an Winkelberechnung mit dem Skalarprodukt und dem Vektorprodukt Wie wir vorher gesehen haben, hat das Skalarprodukt etwas mit dem Winkel zwischen den beteiligten Vektoren zu tun Es gilt: u v = u v cos α Auf diese Weise lässt sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren berechnen: u α = arccos x v x + u y v y u + x u v + y x v y

25 Auch das Vektorprodukt hängt mit dem Winkel α zwischen den beteiligten Vektoren zusammen: u v = u v sin α Auch hier kann man den Winkel berechnen: u v α = arcsin u v 5 Einheitsvektor Ein Vektor heißt Einheitsvektor, wenn sein Betrag 1 ist Zu einem beliebigen Vektor v können wir den Einheitsvektor bilden, indem wir ihn mit dem Kehrwert seiner Länge, dh mit 1 multiplizieren, also: v e v = 1 v v -Matrix Unter einer Matrix wird in der Mathematik ein System von m n Elementen verstanden, die in einem rechteckigen Schema von m Zeilen und n Spalten angeordnet sind Die Elemente der Matrix werden zb durch reelle Zahlen beschrieben Eine -Matrix ist also a11 a A = 1 a a 1 Die Zahlen a 11, a 1, a 1, a nennt man die Elemente der Matrix Die Spalten werden auch Spaltenvektoren, die Zeilen auch Zeilenvektoren der Matrix genannt Addition und Subtraktion von Matrizen Zwei Matrizen werden elementweise addiert oder subtrahiert: a11 a A + B = B + A = 1 a a 1 b11 b + 1 a11 + b = 11 a 1 + b 1 b 1 b a 1 + b 1 a + b Skalarmultiplikation Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Zahl c geschieht elementweise: a11 a c A = A c = c 1 c a11 c a = 1 a 1 a c a 1 c a

26 6 Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Eine -Matrix A wird mit einem Vektor v multipliziert, indem das Skalarprodukt zwischen den Zeilen der Matrix und dem Vektor v gebildet wird und so ein neuer Vektor erzeugt wird (also Matrix mal Vektor gleich Vektor): a11 a A v = 1 a a 1 vx = v y a11 v x + a 1 v y a 1 v x + a v y Übrigens ist es hier wichtig, auf die Reihenfolge zu achten: man kann nicht einen Vektor mit einer Matrix multiplizieren, es sei denn, es ist ein Zeilenvektor Zudem muss die Dimension des Vektors der Zahl n der Spalten der Matrix entsprechen Eine Interpretation der Matrix in der Mathematik ist lineare Abbildung Durch Matrizen werden zb Punkte im Raum (dargestellt durch Vektoren) auf andere Punkte im Raum abgebildet Drehmatrizen Matrizen, die eine Drehung im Raum zur Wirkung haben, sind Matrizen der Form cos α sin α A = sin α cos α Für ein α dreht die Matrix A einen Punkt (also den zugehörigen Ortsvektor) im (- dimensionalen) Raum um Winkel α gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung, indem die Matrix mit dem Vektor multipliziert wird

27 7 Übungen Aufgabe 1 Berechnen Sie die Winkel α und β, wenn a = 75cm, b = 4cm und c = 5cm Aufgabe Berechnen Sie den Winkel zwischen zwei Seiten eines Tetraeders mit a = 7cm Aufgabe 3 Berechnen Sie den Winkel α und die Länge des Riemens r 1 = 0cm, r = 1cm, d = 60cm Aufgabe 4 Auf einem Kreis mit Durchmesser d = 17cm sollen 7 Bohrungen in gleichmäßigem Abstand gemacht werden Berechnen Sie den minimalen (s m ) und maximalen (s M ) Abstand zwischen zwei Löchern

28 8 Aufgabe 5 Gegeben ist ein Kreis mit Durchmesser d = 7cm mit einer Sehne von s = 15cm Länge Berechnen Sie die beiden zugehörigen Bogenlängen l 1 und l Aufgabe 6 Sechs 1m lange Rohre werden gebunden transportiert Die äußeren haben einen Radius R = 0cm, das innere r = 14cm Berechnen Sie das Volumen der Luftspalten Aufgabe 7 Berechnen Sie die Mantelfläche eines Kegelstumpfes mit r 1 = 1cm, r = 5cm und h = 8cm mit einer Guldinschen Regel Aufgabe 8 Berechnen Sie das Volumen eines Kreisringkörpers mit r 1 = 19cm, r = 13cm und h = 15cm mit einer Guldinschen Regel Aufgabe 9 Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Halbkreises mit Radius r = 3cm

29 9 Aufgabe 10 Angenommen, es wird ein Ball unter einem Winkel α zum Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit v mit v = 54km/h geworfen Der Boden sei eben und der Luftwiderstand sei zu vernachlässigen Unter welchem Winkel α fliegt der Ball am weitesten? Durch die Erdbeschleunigung (g 981m/s) haben wir ein Geschwindigkeit-Zeit- Gesetz v = g t in y-richtung und ein Weg-Zeit-Gesetz s = vt in x-richtung

30 30 Lösungen Aufgabe 1 a = 373cm, b = 365cm, c = 348cm, d = 673, α = 566, β = 376 Aufgabe h = 3 a = 606cm, α = 7053 Aufgabe 3 Mit dem Strahlensatz und den trigonometrischen Funktionen berechnet man d 1 = 375cm, d = 5cm, α = 6446 Mit der Winkelsumme erhält man β = und damit b 1 = 8533cm, b = 510cm Schließlich erhält man mit Pythagoras l = d (r 1 + r ) = 5075cm Die Länge des Riemens ist also L = b 1 + b + l = 3804cm Aufgabe 4 s m = 738cm, sm = 1657cm

31 31 Aufgabe 5 l 1 = 159cm, l = 689cm Aufgabe 6 α = 7, β = 54, A α = 1315cm, A β = 1885cm, h α = 75cm, V = 4884cm 3 Aufgabe 7 M = πr S l, r S = 85cm, l = 8 + (1 5) = 1063cm, M = 5677cm Aufgabe 8 V = πr S A, r S = 16cm, A = 6cm 15cm = 90cm, V = cm 3 Aufgabe 9 Man berechne zuerst das Volumen einer Kugel mit r = 3cm (V = cm 3 ) als Rotationskörper eines Halbkreises (A = 1 πr ) und stelle die zweite Guldinsche Regel nach r S um: 4 3 πr3 = πr S A r S = 4πr 3 3 π 1 πr = 4 3π r = 976cm

32 3 Aufgabe 10 Da v ein Vektor ist, der mit der x-achse einen Winkel α einschließt, können wir ihn in seine Komponenten zerlegen: v x = v cos α, v y = v sin α Alternativ kann man den Vektor v mit α = 0 definieren und mit der Drehmatrix M α drehen: cos α sin α v M α =, v =, sin α cos α 0 cos α M α v = sin α sin α cos α v = 0 v cos α vx vxα = = v sin α v y v yα Als nächstes können wir die Flugdauer t 0 berechnen, indem wir die Gleichung v y = g t y betrachten Dh nach der Zeit t y = v y wird die maximale Höhe erreicht g Also gilt t 0 = t y = v y v sin α = g g Die Wurfweite ergibt sich dann mit v sin α s 0 = v x t 0 = v cos α g = v sin α cos α g Die maximale Wurfweite führt also zu der Frage, wo die Funktion s 0 (α) = v sin α cos α g (in Abhängigkeit von α) ihr Maximum hat Also bilden wir zuerst die ersten beiden Ableitungen, um die notwendige und die hinreichende Bedingungen zu überprüfen Für die notwendige Bedingung müssen die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet werden Da wir in dieser Funktion ein Produkt trigonometrischer Funktionen haben, kann es umständlich oder unangenehm werden, wenn wir nicht die Funktion vereinfachen Man kann erkennen dass dieses Produkt Teil eines Additionstheorems (sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α) ist: sin(α) = sin α cos α Wir erhalten: s 0 (α) = v g sin(α), s v (α) = cos(α), 0 g s (α) = 4 v sin(α) 0 g

33 33 Die relevante Nullstelle von s (α) liegt bei 0 v cos(α) = 0 cos(α) = 0 α = 1 g arccos(0) = 45 Da s 0 (45 ) < 0, haben wir ein Maximum Die maximale Wurfweite wird also unter dem Winkel α = 45 erreicht unabhängig von der Abwurfgeschwindigkeit