Terme als Baupläne. Terme als Baupläne. Vorteile der Formelsprache. Vorteile der Formelsprache

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1 Terme als Baupläne Terme als Baupläne Darstellung durch Rechenbäume (Baumdiagramme): Bei Termen für geometrische Größen interessiert man sich dagegen oft eher dafür, welche Größen in die Berechnung eingehen und wie das geschieht. Beispiel: Das Volumen eines Kreiszylinders wird durch die Formel V= πÿr²ÿh modelliert. Der Radius r des Grundkreises geht hier quadratisch, die Höhe des Zylinders geht linear ein. Das Ganze ist ein Produkt. In diesem Fall werden Terme als Baupläne gesehen. Das entspricht einer syntaktischen Sicht. 30 Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 81). Vorteile der Formelsprache Vorteile der Formelsprache (vgl. die Funktionen von Formeln in Kapitel 1) Die Formelsprache kann uns zu neuen Erkenntnissen verhelfen. Beispiel: Was lässt sich über die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen sagen? Formelsprache: (n+1)² n² (n+1)² n² = n²+2n+1 n² = 2n+1. Die Differenz ist also immer eine ungerade Die Formelsprache hilft uns, unsere mathematischen Vorstellungen auszudrücken; mit anderen über mathematische Fragen zu kommunizieren; Zahlen (durch Terme) und Beziehungen zwischen ihnen (durch Aussageformen) allgemein auszudrücken; Gesetzmäßigkeiten auszudrücken und zu begründen (oder zu verwerfen); Probleme zu präzisieren und zu lösen. Beispiel: Was wäre Physik ohne Formeln? Zahl

2 Computer als Werkzeug für die Formelsprache Werkzeuge zum Umgang mit der Formelsprache gab es schon immer : Abakus, Tabellen, Rechenautomaten, Rechenschieber, Ein Besuch im Deutschen Museum lohnt hier. Im 20. Jahrhundert kamen erst der Taschenrechner, dann der programmierbare TR und schließlich der Computer hinzu. Ist es also noch immer nötig, die Formelsprache selbst zu lernen? 33 Computer als Werkzeug für die Formelsprache Ja! Auch zur Kommunikation mit TR oder Computer sind Algebrakenntnisse notwendig: Die Schüler müssen ihre mathematischen Gedanken in der Formelsprache ausdrücken können. Nur so können sie dem Computer das Problem überhaupt mitteilen. Sie brauchen Vorstellungen über die anzustrebenden Ziele von Termumformungen und müssen diese als Befehle formulieren können. Sie müssen schließlich den in der Formelsprache formulierten Ergebnissen des Computers die entscheidenden mathematischen Gedanken entnehmen können. 34 Lernziele für die Formelsprache Lernziele für die Formelsprache Aus vorigen Überlegungen ergeben sich folgende Lernziele für alle Schüler (Vollrath, S.89): 1. Die Schüler sollen mathematische Gedanken in der Formelsprache ausdrücken lernen. 2. Sie sollen Ziele von Umformungen setzen können, Umformungen selbst durchführen können, zugleich jedoch wissen, wann die Benutzung eines Computers oder TR zweckmäßig ist, und ihn dann richtig einsetzen können. 3. Die Schüler sollen die gefundenen Ergebnisse (eigene, die des TR oder die des Computers) mathematisch interpretieren können. 35 Genauso, wie sich im Fremdsprachenunterricht unterschiedliche Niveaus je nach Schulzweig ausgebildet haben, ist bei den Lernzielen natürlich auch hier eine Differenzierung nötig, insbesondere hinsichtlich: der Komplexität der Terme (Länge der Zeichenreihen, Anzahl der Variablen, Rechenzeichen, Funktionsnamen, Klammerebenen) des Grads der Selbsttätigkeit (was sollen die Lernenden noch selbständig umformen können, was dürfen sie Werkzeugen wie dem TR oder Computer übergeben?) Die Anforderungen liegen in der Hauptschule natürlich deutlich niedriger als im Gymnasium. 36

3 Lernziele für die Formelsprache Schülerfehler bei Termumformungen Weitere Differenzierung hinsichtlich der Tätigkeiten mit Termen und Termumformungen: Darstellung von Zusammenhängen: ist in allen Schulformen wichtig; Problemlösen: spielt in der Hauptschule nur eine untergeordnete Rolle; Beweisen: Nach Malle (1993) lassen sich die Fehler bei Termumformungen wie folgt unterscheiden: Fehler bei der Informationsaufnahme und verarbeitung z.b. 3+a=3a oder 3½= 3 ÿ ½. Fehler beim Regelaufruf oder der Regelanwendung z.b. a b = b a oder a²+b²=(a-b)(a+b) Fehler bei der Durchführung z.b. Flüchtigkeitsfehler wie die Verwechslung fast nur im Gymnasium von + und. Typische Schülerfehler Zum Umgang mit Schülerfehlern Fehler beim Auflösen von Klammern: z.b. 3a (2a+b) = 3a 2a + b. Regelabruf Verwechseln von Termen: z.b. a²=aÿa=2a Informationsaufnahme Fehler beim Kürzen: z.b. x + y x = Regelabruf z + y z Fehler beim Wurzelziehen: z.b. a² + b² = a + b Regelabruf 39 Jeder, der eine Sprache erlernt oder anwendet, macht dabei auch Fehler. Lehrer machen (meist) weniger dumme Fehler als Schüler, auf höherem Niveau unterlaufen sie ihnen aber auch. Selbst den mathematischen Forschern unterlaufen immer wieder Fehler, die sie im besten Fall selbst entdecken oder durch die sie von Kollegen aufmerksam gemacht werden. Daher ist es eine zentrale Forderung an den Mathematikunterricht, mit Fehlern vernünftig umzugehen. Das bedeutet: 40

4 Zum Umgang mit Schülerfehlern Methodische Ziele Den Schülern wird deutlich, dass man Fehler für etwas Natürliches im Lernprozess hält. Schüler werden für kritische Situationen sensibilisiert. Sie setzen selbst Warnzeichen bei bestimmten Aufgabentypen und achten auf sie. Die Fehlerhaftigkeit bestimmter Überlegungen und Verfahrensweisen wird erkannt und überwunden. Die Analyse eigener und fremder Fehler wird zu einer Vertiefung von Einsichten genutzt. Daher keinen Überdruss an Fehlern zeigen und Kommentare am Heftrand wie Schrecklich!, Erst nachdenken!, Lerne erst mal das kleine 1x1! oder Das darf doch nicht wahr sein! unterlassen! 41 Um den Schülern zu helfen, Fehler zu vermeiden, sollte man folglich auf die Ausbildung folgender Fähigkeiten besonderen Wert legen: Strukturerkennung (Syntax, gleichartige Terme) sichere und bewegliche Verwendung eines Regelsystems Aufbau von Kontrollmechanismen (Probe, schätzen, überschlagen, Einheiten,etc.) 42 Didaktische Maßnahmen Durch entsprechende Unterrichtsgestaltung können Lehrer die Entwicklung der zuvor genannten Fähigkeiten fördern: sorgfältige Stufung des Schwierigkeitsgrads der Aufgaben anschauliche Verankerung der Begriffe, Methoden und Regeln; Übergang zur schwierigeren Aufgabe erst, wenn der einfachere Aufgabentyp beherrscht wird; Hilfen bei Fehlern, die den Kern des Problems treffen; Ermutigung durch Schaffung von Erfolgserlebnissen: Wecken von Freude am Einfachen, Klaren, Übersichtlichen durch Wahl von Aufgaben mit passenden Ergebnissen. 43 Nach Vollrath ist das Lernen der Formelsprache ein langfristiger Lernprozess, über die gesamte Schulzeit hinweg. Dabei lassen sich folgende Phasen unterscheiden: 3. Erkundung und Aneignung 4. Nutzung der Sprache 5. Erweiterung der Sprache 6. Neue Sprachen 44

5 Verwendung von Variablen: bereits aus der Grundschule bekannt Benutzung von Leerstellen, Marken oder Buchstaben Einfache Anwendungen der Formelsprache, eher keine Reflexion, eher keine Regeln, Platzhalteraufgaben, konkret-anschauliches Vorgehen, Betonung inhaltlicher Aspekte, eher kein Umformungskalkül. Die Formelsprache wird im Umgang mit Zahlen und Größen verankert. Über die Sprachelemente wird nicht geredet, sondern sie werden angewendet als Ausdrucksmittel zur Beschreibung von Problemsituationen. 45 Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 78). 46 Verwendung von Variablen: die semantische Regel, dass für gleiche Variablen gleiche Zahlen einzusetzen sind, ist auch aus Knobelaufgaben in Zeitschriften bekannt: Verwendung von Variablen: auch für Operations- oder Relationszeichen, aber nur als Marken: Beispiel: Suche das passende Rechenzeichen: a) 7 12 = 19 b) 3 30 = 90 c) = Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 86). Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 78). 48

6 Einsetzen: bei den vorangegangenen Beispielen stand der Gegenstandsaspekt der Variablen im Vordergrund in Verbindung mit Tabellen wird dagegen der Einsetzaspekt betont (vgl. auch Folie 13): Einsetzen: Schwieriger sind Tabellen auszufüllen, in denen nicht die Belegungen für die Variablen vorgegeben sind, sondern einzelne Termwerte (Differenzierung!): x 3 2x 8 2x+5 19 Die Schüler müssen in Gedanken rückwärts rechnen. Andere Möglichkeit der Steigung der Schwierigkeit: Durch das Einsetzen sollen bestimmte Zielvorgaben erfüllt werden: Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 86). 49 Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 86). 50 Aufstellen von Termen: In Verbindung mit Sachaufgaben bieten sich erste Ansätze, die Schüler selbst Terme als Rechenschemata bilden zu lassen. Aufstellen von Termen: Beispiel: Im Blumenladen kosten Anemonen 0,80 je Stück, Rosen 2 je Stück und Tulpen 1,20 je Stück. Nach welchem Schema kann man den Preis eines Straußes mit a Anemonen, r Rosen und t Tulpen berechnen? Erwartete Antwort: a ÿ 0,80 + r ÿ 2 + t ÿ 1,20. Weitere Beispiele auf den Folien 25 und 26. Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 147)

7 Aufstellen von Termen: Terme aufzustellen erfordert eine Übersetzung der Alltagssprache in die Formelsprache. Dabei sind wörtliche Übersetzungen verlockend, aber fehleranfällig: Beispiel: Axel und Bernd gehen gleich zu Camilla. Lösung : A + B = C. Teilweise sind Klammerungen erforderlich: Beispiel: Nimm eine Zahl x, verdopple sie, addiere 5 und multipliziere das Ergebnis mit 3 wird oft falsch durch x ÿ ÿ 3 übersetzt. Hilfe: Verdeutlichen der Rechenhierarchie durch Die bisher betrachteten Sprachelemente, ihre Verwendung, die Erfahrung mit ihnen werden reflektiert. In dieser Phase wird über Variable, Terme und den Umgang mit ihnen gesprochen. Jetzt ist auch die Zeit, geeignete Bezeichnungen einzuführen. (Vollrath) Nach Vollrath, Weigand sollte sich die 1. Phase bis in die 7. Jahrgangsstufe erstrecken, erst danach die Reflexion anschließen. Das steht im Widerspruch zu den Lehrplänen in Bayern, nach denen schon in der 5. Klasse Terme umgeformt werden sollen. Einkringeln oder Klammern! Hier wird also ein Mittelweg zu gehen sein. Einführung der Begriffe Variable und Term: Variable: vgl. Folien 12 und 13. Term: Oberbegriff für Summen, Differenzen, Produkte aus Zahlen und Variablen, vgl. Folie 21 (syntaktischer Aspekt). alternative Einführung (semantischer Aspekt): Soll immer die gleiche Rechnung nach einem bestimmten Schema ausgeführt werden, so kann man Schema als Term mit Variablen Untersuchung der Struktur von Termen: Schüler sollen lernen, Terme zu analysieren und ihren Aufbau übersichtlich darzustellen. Das ist Voraussetzung für die Anwendung von Regeln zur Termumformung. Terme werden als Baupläne gedeutet und durch Rechenbäume dargestellt (Folie 30). Dazu müssen natürlich die Klammerregel (Minuszeichen vor der Klammer!) und die Punktvor-Strich-Regel thematisiert werden. Klammerterme nicht zu kompliziert (möglichst keine Schachtelklammern)! Es besteht die Gefahr der Verwechslung von Kompliziertem und und Zahlen schreiben. (Vollrath, S. 110) Bedeutungsvollem!

8 Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 82). 57 Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 79). 58 Kombination beider Regeln: Anwendung der Rechenregeln: Terme berechnen Formel 5. Bamberg / Stuttgart: C.C.Buchner / Klett, 2004 (S. 83). Mathematik 5. Hauptschule Bayern, Braunschweig: Westermann, 2004 (S. 151). 60