Dynamische Makroökonomik. Maik Heinemann

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1 Dynamische Makroökonomik Maik Heinemann Lüneburg, den 17. August 2008

2 Inhaltsverzeichnis 1 Das Ramsey-Modell Einleitung Zur Struktur des Ramsey Modells Der optimale Konsumplan des repräsentativen Haushalts Der Produktionssektor Das Marktgleichgewicht Dynamik des Ramsey-Modells Komparativ statische Analyse des Ramsey-Modells Ein spezifiziertes Modell Anpassungsdynamik und Konvergenz Optimalität des Marktgleichgewichts Existenz eines repräsentativen Wirtschaftssubjekts Modellerweiterungen Literaturhinweise Übungsaufgaben 42 2 Staatliche Aktivität im Ramsey-Modell Einleitung Verzerrende und nicht verzerrende Besteuerung Staatsverschuldung Literaturhinweise Übungsaufgaben 62 3 Geld und Inflation Einleitung Geld in der Nutzenfunktion Das Sidrauski-Modell Geldnachfrage und Geldmarktgleichgewicht Dynamik des monetären Sektors bei einer Geldmengensteuerung Dynamik des monetären Sektors bei einer Zinssteuerung Die optimale Inflationsrate Die Friedman-Regel Inflationsrate und Geldschöpfungsgewinn Literaturhinweise Übungsaufgaben 97

3 ii Inhaltsverzeichnis 4 Wachstum Bedeutung wirtschaftlichen Wachstums Quellen wirtschaftlichen Wachstums Technischer Fortschritt und Bevölkerungswachstum im Ramsey-Modell Endogenes Wachstum Literaturhinweise Übungsaufgaben 126 A Die formale Analyse der Modelldynamik 129 A.1 Transformation in ein lineares Modell 129 A.2 Lösung eines zweidimensionalen Systems linearer Differenzengleichungen130 A.3 Die grafische Darstellung der Lösung des linearisierten Systems 132 A.4 Lösung linearer, homogener Differenzengleichungssysteme 135 B Ergänzungen zum monetären Ramsey Modell 137 B.1 Analyse der kurzfristigen Dynamik 137 B.2 Die Clower-Restriktion Das Cash-in-Advance-Modell 140 B.3 Literaturhinweise 148 B.4 Übungsaufgaben 148 Literaturverzeichnis 151

4 1 Das Ramsey-Modell 1.1 Einleitung In diesem Kapitel wird eines der grundlegenden Modelle der makroökonomischen Theorie behandelt, das in allen folgenden Kapiteln verwendet und dort schrittweise ausgebaut werden wird. Es handelt sich hierbei um das Ramsey- Modell, das mitunter auch als Modell optimalen Wachstums und in der modernen makroökonomischen Theorie häufig als Modell mit repräsentativem Wirtschaftssubjekt bezeichnet wird. Wie auch immer, es handelt sich hierbei auf jeden Fall um eines der wesentlichen dynamischen makroökonomischen Modelle. 1 Das Modell wurde bereits Ende der 20er Jahre von F. Ramsey (Ramsey (1928)) formuliert, jedoch von den Ökonomen dieser Zeit aufgrund seiner formalen Komplexität größtenteils nicht verstanden. Erst in den 60er Jahren wurde dieses Modell durch die wachstumstheoretischen Arbeiten von D. Cass und T. Koopmans (Cass (1965), Koopmans (1965)) wieder unter Ökonomen publik gemacht. In den 70er Jahren wurde es aufgrund der mittlerweile erreichten Fortschritte in der Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts möglich, dieses Modell auch als ein dynamischen Modell einer Marktwirtschaft zu interpretieren und in diesem Sinne wird dieses Modell auch heutzutage dynamischen makroökonomischen Theorie verwendet. Als dynamisches gleichgewichtsorientiertes makroökonomisches Modell beschreibt das Ramsey Modell letztendlich Zeitpfade makroökonomischer Variablen, wobei sich die Gleichgewichtsorientierung darin äußert, dass in jeder einzelnen Periode ein ökonomisches Gleichgewicht vorliegt, mithin sämtliche betrachteten Märkte geräumt werden. 1.2 Zur Struktur des Ramsey Modells In diesem Kapitel wird zunächst das Modell einer geschlossenen Volkswirtschaft ohne staatliche Aktivität betrachtet. In dieser Volkswirtschaft wird ein homogenes Gut produziert, das gleichermaßen als Konsum- und Investitionsgut dient. 1 Ein alternativer Modellierungsansatz ist das auf Samuelson (1958) zurückgehende Modell überlappender Generationen, auf das hier nicht näher eingegangen wird. Dieses Modell eignet sich aufgrund seiner Struktur insbesondere zur Behandlung von Fragestellungen, die die intergenerative Verteilung betreffen. Von daher wird dieses Modell häufig zur Analyse von Problemen der sozialen Sicherung (z.b. von Rentenverischerungssystemen) verwendet.

5 2 1. Kapitel Alle im weiteren Verlauf betrachteten Märkte sind durch vollständige Konkurrenz charakterisiert, so dass die entsprechenden Marktpreise bei allen individuellen Entscheidungen als Daten unterstellt werden können. Jeder Haushalt verfügt über bestimmte Mengen der Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital, die er auf Faktormärkten angebietet. Das hieraus resultierende Einkommen wird auf Konsum und Ersparnis aufgeteilt, wobei letztere als Investition das Vermögen bzw. den Kapitalstock eines Haushalts erhöht. Bei der gleichgewichtstheoretischen Interpretation des Ramsey Modells wird unterstellt, dass sich die betrachtete Volkswirtschaft aus vielen Haushalten zusammensetzt, deren Zeithorizont also deren Planungshorizont bzw. deren Lebenserwartung jeweils unendlich ist. Der unendliche Zeithorizont ist hierbei nicht unbedingt wörtlich zu nehmen: Es genügt sich vorzustellen, die Anzahl der einzelnen Zeitperioden, in die die Lebenserwartung eines Haushaltes unterteilt ist, wäre sehr groß. Dies ist beispielsweise aber immer dann der Fall, wenn die zugrundeliegende einzelne Periodenlänge nur kurz genug gewählt wird. 2 Alles, was im weiteren auf der Grundlage eines infiniten Zeithorizontes der Haushalte ausgesagt wird, behält im Wesentlichen auch dann seine Gültigkeit, wenn der Zeithorizont zwar endlich, jedoch hinreichend groß ist. Die ökonomischen Entscheidungen dieser Haushalte bzw. die auf der makroökonomischen Ebene relevanten Konsequenzen dieser Entscheidungen werden nun durch die Betrachtung eines repräsentativen Wirtschaftssubjekts analysiert. Dieses Wirtschaftssubjekt soll insofern repräsentativ sein, als seine Entscheidungen exakt das widerspiegeln, was sich als Summe bzw. im Durchschnitt aus den Entscheidungen der vielen einzelnen Wirtschaftssubjekte der Volkswirtschaft ergibt. Im weiteren soll zunächst mit dieser Fiktion eines repräsentativen Wirtschaftssubjektes gearbeitet werden. Es ist aber keineswegs sichergestellt, dass sich für eine beliebige Gesamtheit von Wirtschaftssubjekten, die heterogen bezüglich ihrer Ausstattunge und Präferenzen sind, tatsächlich ein solcher stellvertretender Otto Normalverbraucher konstruieren lässt. Auf dieses als Aggregationsproblem bezeichnete Problem wird an späterer Stelle nach der Analyse des Grundmodells nochmals eingegangen werden. 2 Alternativ kann auch angenommen werden, dass die Lebenszeit zwar endlich ist, jeder Haushalt aber durch Nachkommen ersetzt wird und sich die Elterngeneration altruistisch verhält, so dass der Lebensnutzen der Nachkommen den Lebensnutzen der Elterngenration bestimmt. Darüber hinaus kann auch angenommen werden, dass die Lebenszeit eines Haushaltes stochastisch ist und in jeder Periode eine gewisse Wahrscheinlichkeit gegeben ist, dass der Haushalt stirbt.

6 Das Ramsey-Modell Der optimale Konsumplan des repräsentativen Haushalts Intertemporale Budgetrestriktion und Präferenzen In jeder Periode t entscheidet der repräsentative Haushalt darüber, wieviel seines laufenden Einkommens für Konsum und Ersparnis verwendet werden soll. Das laufende Einkommen besteht hierbei aus seinem (exogenen) Lohneinkommen w t und seinem Vermögens- bzw. Kapitaleinkommen R t a t. Hierbei bezeichnet a t das Vermögen des repräsentativen Haushaltes in Periode t und R t den Realzinsfaktor.Es gilt also R t = 1+r t, wobei r t der Realzins in Periode t ist. Es wird unterstellt, dass das Wirtschaftssubjekt über eine Arbeitseinheit verfügt, die unelastisch auf dem Arbeitsmarkt angeboten wird. w t ist dann der Reallohn, der für diese Arbeitseinheit erzielt wird. Der Teil des laufenden Einkommens, der nicht konsumiert wird, bildet als Ersparnis den Vermögensbestand a t+1 der kommenden Periode. Mit c t als Konsum des repräsentativen Haushalts in Periode t lautet die intertemporale Budgetrestriktion daher: a t+1 = w t + R t a t c t (1.1) Hinsichtlich der Präferenzen des repräsentativen Haushalts wird angenommen, dass diese über seinen Konsum c t in allen seinen Lebensperioden t = 0,1,... definiert sind. Es existiert somit eine Nutzenfunktion U(c 0,c 1,...,c t,c t+1,...), deren Argumente insgesamt jeweils ein Konsumprofil bzw. einen Konsumpfad über den Lebenshorizont des Haushaltes bestimmen, und aus der sich der Lebensnutzen V des Haushalts als V = U(c 0,c 1,...,c t,c t+1,...) ergibt. Um die weitere Analyse zu vereinfachen, wird bezüglich der Nutzenfunktion U angenommen, dass diese additiv separabel in der Zeit ist, so dass sich der Lebensnutzen Summe von Periodennutzen formulieren lässt: V = U(c 0,c 1,...,c t,c t+1,...) = t=0 u t (c t ) Abgesehen davon, dass die additive Separabilität der Nutzenfunktion formale Analysen erheblich vereinfacht, lässt sich diese Annahme inhaltlich folgendermaßen begründen: Es wird damit erstens angenommen, dass die Einschätzung eines Konsumpfades c t,c t+1,..., der in der Periode t beginnt, unabhängig davon ist, welcher Konsumpfad...,c t 1,c t 1 diesem vorgelagert ist. Zweitens wird mit dieser Annahme unterstellt, dass die Einschätzung eines Konsumpfades c 0,c 1,...,c t unabhängig von dem darauf folgenden Pfad c t+1,c t+2,... ist. Wann immer diese beiden Annahmen über die Präferenzen eines Haushaltes getrof-

7 4 1. Kapitel fen werden, muss die Nutzenfunktion U(c 0,c 1,...) über Konsumströme additiv separabel sein. Zusätzlich wird hinsichtlich Periodennutzenfunktionen u t (c t ) angenommen, dass u t (c t ) = β t u(c t ) gilt, wobei 0 < β < 1 ein Diskontierungsfaktor ist, der bestimmt, wie stark zukünftiger Nutzen im Vergleich zu gegenwärtigem Nutzen gewichtet wird. Hinter dieser Annahme steckt die plausible Vorstellung, dass eine zusätzliche Konsumeinheit um so weniger zum Lebensnutzen des Haushalts beiträgt, je weiter entfernt in der Zukunft sie erhältlich ist. Der Haushalt präferiert demzufolge gegenwärtigen gegenüber zukünftigem Konsum. Der Lebensnutzen lässt sich unter dieser Annahme folgendermaßen ausdrücken: V = t=0 u t (c t ) = t=0 β t u(c t ), 0 < β < 1 Schließlich werden die folgenden Annahmen beiden Annahmen über die Eigenschaften der Periodennutzenfunktion u(c) getroffen: Zum einen gilt für alle c 0, dass u (c)>0, das heisst der Grenznutzen des Konsums in jeder Periode ist positiv, zum anderen gilt für alle c 0, dass u (c) < 0, das heisst der Grenznutzen des Konsums sinkt mit steigendem Konsum. Die Periodennutzenfunktion u(c) ist demnach eine streng monoton ansteigende, konkave Funktion Der optimale intertemporale Konsumplan Das Problem des Haushalts besteht nun darin, in jeder Periode t auf der Grundlage der jeweils herrschenden Preise w t und R t sowie auf der Grundlage von Erwartungen über die zukünftigen Preise, den optimalen Konsumplan (und damit uno actu auch den optimalen Investitionsplan) zu bestimmen. Formal ergibt sich demnach das folgende Optimierungsproblem: max {c t } t=0,{a t+1} t=0 V = t=0 β t u(c t ) u. Nb. w t + R t a t = c t + a t+1 für t = 0,1,..., a 0 > 0 Zu beachten ist, dass es sich bei den Faktorpreisen w t und R t für t 1 um erwartete Größen handelt, obwohl diese hier und weiteren nicht explizit als solche gekennzeichnet werden. Der Haushalt plant demnach seinen optimalen Konsumpfad auf der Grundlage erwarteter, zukünftiger Faktorpreise. Bisher ist 3 Mitunter ist es auch hilfreich bzw. erforderlich anzunehmen, dass lim c 0 u (c) = gilt.

8 Das Ramsey-Modell 5 nicht über die Art und Weise, wie der Haushalt seine die entsprechenden Erwartungen bildet, ausgesagt worden. Wir wollen diese Erwartungen zunächst als gegeben unterstellen und dabei durchaus die Möglichkeit einschließen, dass diese Erwartungen nicht korrekt sind. Das oben formulierte Optimierungsproblem der Haushalte ist ein Problem der Optimierung unter Nebenbedingungen und kann abgesehen von der Besonderheit, dass hier unendlich viele Perioden und damit Nebenbedingungen vorliegen wie üblich mit Hilfe der Lagrangemethode gelöst werden. Im folgenden bezeichnet λ t den Lagrangemultiplikator für die Budgetrestriktion des Haushalts in Periode t. Mit L als Lagrangefunktion ergibt sich dann das Optimierungsproblem: max {c t } t=0,{a t+1} t=0,{λ t} t=0 L = t=0 β t u(c t ) t=0 λ t (c t + a t+1 w t R t a t ) Im Fall einer inneren Lösung, die aufgrund der bisher getroffenen und der noch folgenden Annahmen vorausgesetzt werden kann, ergeben sich die folgenden notwendigen Bedingungen für ein Nutzenmaximum: L = β t u (c t ) λ t c t = 0, t = 0,1,... (1.2a) L = λ t + λ t+1 R t+1 a t+1 = 0, t = 0,1,... (1.2b) L = c t + a t+1 w t R t a t = 0, t = 0,1,... λ t (1.2c) Aus den ersten beiden Gleichungen folgt die sogenannte Euler-Gleichung, die häufig auch als Keynes-Ramsey-Bedingung bezeichnet wird. Gleichung (1.2a) erfordert, dass λ t = β t u(c t ) und mithin auch λ t+1 = β t+1 u(c t+1 ) gilt. Einsetzen in (1.2b) ergibt dann: λ t = λ t+1 R t+1 β t u (c t ) = β t+1 u (c t+1 )R t+1 u (c t ) = βu (c t+1 ) }{{} diskontierter Grenznutzen R t+1 }{{} erwarteter Grenzertrag der Ersparnis Die Euler-Gleichung beschreibt die grundlegenden Eigenschaften eines optimalen Konsumpfades in der Zeit. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann der Lebensnutzen erhöht werden, indem Einkommen (durch Ersparnis) intertemporal

9 6 1. Kapitel Abbildung 1.1: Die Euler-Gleichung im 2-Perioden-Fall c t+1 I 1 I 0 c t+1 = c t c t+1 P w t+1 Q A c t+1 = w t+1 + R t+1 [w t + R t a t c t ] ct } w t + R t a t {{} c t s umverteilt wird. Dieser Vorgang wird dann als intertemporale Substitution in diesem Fall des Konsums bezeichnet. Wenn βr t+1 = 1 gilt, erfordert die Euler-Gleichung für den Grenznutzen des Konsums in den Perioden t und t + 1, dass u (c t+1 ) = u (c t ) und folglich wegen u (c) < 0 c t+1 = c t gilt. Sofern also βr t+1 = 1 für alle t gilt, resultiert ein im Zeitablauf konstanter Konsumpfad. Dies ist ein insofern wichtiger Spezialfall, als dieser konstante Konsumpfad weitergehende formale Analysen mitunter sehr erleichtert. Der Zinssatz, der einen solchen konstanten Konsumpfad generiert, ist r t+1 = 1 β β, wobei der Ausdruck 1 β β mitunter auch als Zeitpräferenzrate des Haushalts bezeichnet wird. Diese Zeitpräferenzrate ergibt sich demnach aus dem Diskontierungsfaktor für zukünftigen Nutzen β und kann als interner Zinssatz des Haushaltes aufgefasst werden: Er gibt diejenige Verzinsung an, die mindestens erzielt werden muss, um einen Haushalt ausgehend von einem konstanten Konsumpfad zu mehr Ersparnis zu veranlassen. Wenn der Zins kleiner als die Zeitpräferenzrate ist, das heisst wenn r t+1 < 1 β β gilt, so ist die Verzinsung der Ersparnis geringer als dieser interne Zins, so dass der Konsum von Periode t auf Periode t + 1 sinkt. Gilt dagegen r t+1 > 1 β β, ist die Verzinsung der Ersparnis größer als dieser interne Zins, so dass der Konsum wächst. Abbildung 1.1 veranschaulicht die bisher dargestellten Zusammenhänge für den analytisch einfachen 2-Perioden-Fall. Der Punkt A gibt den Ausstattungspunkt eines Haushaltes wieder. Konsumiert der Haushalt in jeder Periode das gesamte ihm zufließende Einkommen, gilt c t = w t + R t a t sowie c t+1 = w t+1 und

10 Das Ramsey-Modell 7 der Haushalt erreicht das der Indifferenzkurve I 0 zugeordnete Nutzenniveau. Beim gegebenen Zinsfaktor R t+1 erreicht der Haushalt das Nutzenmaximum, wenn er in Periode t eine Ersparnis in Höhe von s bildet. Im resultierenden Konsumpunkt P ist c t+1 = y t+1 + s R t+1 und c t = y t s. Die entsprechende Indifferenzkurve I 1 tangiert die Budgetrestriktion in diesem Punkt P, so dass R t+1 = u (c t ) βu (c t+1 ) gilt. Die ebenfalls in das Diagramm eingezeichnete Winkelhalbierende kann herangezogen werden um die Eigenschaften des so ermittelten optimalen Konsumpfades näher zu beschreiben. So gilt beispielsweise im Punkt Q, dass c t+1 = c t und mithin u (c t ) βu (c t+1 ) = 1 β. Zudem wird deutlich, dass die Steigung der Indifferenzkurve I 0 in diesem Punkt betragsmäßig kleiner ist als die Steigung der Budgetrestriktion. Es gilt also R t+1 > 1 β bzw. r t+1 > 1 β β. Der optimale Konsumpfad muss demzufolge durch einen wachsenden Konsum gekennzeichnet sein. Der optimale Konsumpunkt P zeigt, dass dies auch tatsächlich der Fall ist Die intertemporale Substitutionselastizität Abbildung 1.1 verdeutlicht, dass der Zinsfaktor bzw. der Zinssatz eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung des optimalen Konsumpfades spielt. Änderungen von R t+1 verändern die Steigung der Budgetgeraden und werden daher Änderungen bei der optimalen intertemporalen Konsumallokation und auch der Ersparnis herbeiführen. Die Abbildung verdeutlicht darüber hinaus, dass Änderungen des erwarteten Zinssatzes und somit Änderungen von R t+1 zu um so größeren Änderungen des Konsumverhältnisses c t+1 /c t führen, je weniger stark die Indifferenzkurven gekrümmt sind. Das entsprechende Maß für die Krümmung der Indifferenzkurven wird als intertemporale Substitutionselastizität bezeichnet. Die intertemporale Substitutionselastizität σ ist ein Maß dafür, wie stark sich die Grenzrate der Substitution zwischen gegenwärtigem und zukünftigen Konsum GRS(c t+1,c t ) = U/ c t+1 U/ c t = u (c t ) βu (c t+1 ) ändert, wenn sich das Konsumverhältnis c t+1 /c t ändert (vgl. hierzu Abbildung 1.2): σ = d(c t+1/c t ) GRS(c t+1,c t ) d GRS(c t+1,c t ) c t+1 /c t Wenn die Nutzenfunktion u(c) dergestalt ist, dass die Grenznutzenelastizität η = u (c)c u (c) für alle c eine Konstante ist, ist die intertemporale Substitutionselastizität σ ebenfalls konstant. Da η im Fall von Entscheidungen unter Unsicherheit die relative Risikoaversion misst, werden Nutzenfunktionen mit dieser

11 8 1. Kapitel Abbildung 1.2: Intertemporale Substitutionselastizität c t+1 (c t+1 /c t ) 1 GRS 1 (c t+1 /c t ) 0 GRS 0 Eigenschaft auch als Nutzenfunktionen vom CRRA-Typ bezeichnet (Constant Relative Risk Aversion). Für alle Nutzenfunktion vom CRRA-Typ gilt somit: σ = 1 η = u (c) u (c)c Nutzenfunktionen, die der oben genannten Restriktion genügen, das heisst Nutzenfunktionen vom CRRA-Typ, können nur die folgenden funktionalen Formen annehmen: 4 c t u(c) = 1 1 η c1 η für: σ = 1 η > 0, σ 1 u(c) = ln(c) für: σ = 1 η = 1 Solche Nutzenfunktionen werden im weiteren häufig herangezogen, da sie die formale Analyse erheblich vereinfachen. So erlauben es solche Nutzenfunktionen beispielsweise, genauere Aussagen über den optimalen intertemporalen Konsumpfad und damit die Konsumentscheidungen des Haushaltes herzuleiten. 4 Die Bedingung u (c)c u (c) = η ist eine gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Mit g(c) = u (c) lässt sich diese folgendermaßen schreiben: g (c) = η g(c) c Die Lösungen dieser Differentialgleichung, das heisst die Menge aller Funktionen g(c), die dieser Gleichung genügen, sind gegeben durch g(c) = c η K, wobei K eine beliebige Konstante ist. Sofern η 1 gilt, liefert nochmalige Integration die Funktion G(c) = K 1 1 η c1 η. Gilt dagegen η = 1, liefert die Integration von g(c) die Funktion G(c) = K ln(c). Da die Konstante K bei Marginalbetrachtungen keine Rolle spielt, kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit K = 1 gesetzt werden.

12 Das Ramsey-Modell Die Konsumfunktion Oben ist gezeigt worden, dass der optimale intertemporale Konsumplan des Haushalts für alle t die Euler-Gleichung und die Budgetrestriktion erfüllen muss. Wird nun eine CRRA-Nutzenfunktion unterstellt, folgt aus der Euler- Gleichung, dass: u (c t ) u (c t+1 ) = ( ct+1 c t ) η = βr t+1 Entlang eines optimalen Konsumpfades muss demnach für alle t gelten, dass c t+1 = [βr t+1 ] 1/η c t. Dies ist eine lineare Differenzengleichung mit variablen Koeffizienten für c t, die folgendermaßen rekursiv für c t gelöst werden kann: 5 c t = [βr t ] 1/η c t 1 = [βr t ] 1/η [βr t 1 ] 1/η c t 2 = [βr t ] 1/η [βr t 1 ] 1/η [βr 2 ] 1/η [βr 1 ] 1/η c 0 = β t/η t R 1/η i c 0 i=1 Aus der Budgetrestriktion ergibt sich nun: a t+1 = R t a t + w t c t Auch dies ist eine Differenzengleichung mit variablen Koeffizienten. Wiederholtes Einsetzen ergibt hier: a t+1 = R t a t + w t c t = R t R t 1 a t 1 + w t c t + R t [w t 1 c t 1 ] = R t R t 1 R 1 R 0 a 0 + w t c t + R t [w t 1 c t 1 ]+R t R t 1 R 2 R 1 [w 0 c 0 ] = t i=0 R i a 0 + t i=0 t R j [w i c i ] j=i+1 Unter der Annahme, dass t i=0 R i 0 gilt, kann auf beiden Seiten der letzten 5 Das Zeichen bezeichnet hierbei den Produktoperator und ist ähnlich zu verstehen wie das bekannte Summenzeichen. So bezeichnet beispielsweise n i=1 p i das Produkt p 1 p 2 p n der Faktoren p 1, p 2,..., p n.

13 10 1. Kapitel Gleichung durch diesen Ausdruck dividiert werden. Es resultiert: ( ) 1 ) 1 t t R i a t+1 = a 0 +( R i [w t c t ] i=0 i=0 + = a 0 + ( t 1 ) 1 R i [w t 1 c t 1 ]+ + R 1 0 [w 0 c 0 ] i=0 t i=0 ( ) 1 i R j [w i c i ] (1.3) j=0 Damit sind letztlich die einzelnen Budgetrestriktionen c t = w t + R t a t a t+1 für t + 1 Perioden (0,1,...,t) in eine einzige Budgetrestriktion transformiert worden. Wäre der Zeithorizont des Haushaltes endlich und beispielsweise gleich T, wäre aufgrund der Nichtsättigungsannahme (u (c) > 0 für alle c 0) klar, dass der Haushalt keinen positiven Vermögensbestand für die Periode T +1 einplant. Wird zudem ausgeschlossen, dass der Haushalt verschuldet sterben darf, muss folglich a T+1 = 0 gelten. Unter diesen Annahmen reduziert sich die Budgetrestriktion (1.3) bei finitem Zeithorizont T auf die folgende Gleichung: T i=0 ( ) 1 i R j [w i c i ]+a 0 = 0 j=0 Wird diese Gleichung ausformuliert und umgeformt, ergibt sich: R 0 a 0 + w 0 + w 1 w T + + = c 0 + c 1 c T + + R 1 R 1 R 2 R T 1 R T R 1 R 1 R 2 R T 1 R T Bei finitem Zeithorizont verlangt die Budgetrestriktion des Haushaltes demnach, dass der Gegenwartswert der Konsumausgaben des Haushaltes dem laufenden Einkommen zuzüglich dem Gegenwartswert aller zukünftigen erwarteten Einkommen des Haushaltes entsprechen muss. Nun wurde oben bereits die Euler-Gleichung für c t gelöst. Einsetzen in die Budgetrestriktion ergibt: R 0 a 0 + w 0 + w 1 w T + + = R 1 R 1 R 2 R T 1 R T c 0 [ 1+β 1/η R 1/η β 2/η (R 1 R 2 ) 1/η 1 + +β T/η (R 1 R 2 R T 1 R T ) 1/η 1] Diese Gleichung kann für c 0 gelöst werden und mit Hilfe von c 0 kann der optimale Konsumpfad für alle Perioden t = 1,2,...,T aus der Euler-Gleichung ermittelt werden. Für den Fall, dass σ = 1/η = 1 gilt, ist dies besonders einfach.

14 Das Ramsey-Modell 11 Es folgt dann: R 0 a 0 + w 0 + w 1 w T [ + + = c 0 1+β 1 + β 2 + +β T] R 1 R 1 R 2 R T 1 R T T = c 0 β t (1.4) t=0 Wird das laufende Einkommen zuzüglich dem Gegenwartswert aller zukünftigen erwarteten Einkommen des Haushaltes (die linke Seite von (1.4) mit Y p bezeichnet, so folgt demnach: c 0 = 1 T t=0 βt Y p (1.5) Für den Konsum in den Perioden t = 1,2,...,T ergibt sich aus der Euler- Gleichung entsprechend: c t = βt t i=1 R i t=0 T Y p βt Gleichung (1.5) zeigt, von welchen Größen der laufende Konsum des Haushalts (c 0 ist der Gegenwartskonsum) abhängt. Diese Gleichung ist daher die Konsumfunktion des Haushaltes Die Konsumfunktion (1.5) verdeutlicht, dass der Konsum in einer bestimmten Periode nicht nur vom in dieser Periode erzielten Einkommen w t + R t a t, sondern auch von allen für die Zukunft erwarteten Einkommen abhängt. Darüber hinaus ist der Konsum zinsabhängig, da der erwartete Gegenwartswert des Einkommens mit Hilfe der für die Zukunft erwarteten Zinsen ermittelt wird. Diese Konsumfunktion entspricht daher nicht der im keynesianischen Makromodell häufig unterstellten absoluten Einkommenshypothese, wonach das laufende Einkommen den Konsum determiniert. Vielmehr vereint diese Konsumfunktion Elemente der Lebenszyklushypothese und der permanenten Einkommenshypothese: Ersteres ist klar, da der Haushalt annahmegemäß über seinen Lebenshorizont plant. Letztgenanntes wird deutlich, wenn die Reaktionen des Konsums c 0 auf Einkommensänderungen analysiert werden. Steigt das Einkommen des Haushaltes dauerhaft, weil zum Beispiel der Lohn in allen Perioden t = 0, 1,..., T um eine Einheit ansteigt, so folgt: Y p = R 1 R 1 R 2 R T 1 R T ( ) 1 T i = 1+ R j (1.6) j=1 i=1

15 12 1. Kapitel Die daraufhin resultierende Änderung des Konsums ergibt sich aus (1.5) als: 1 c 0 = = p t=0 T Y βt 1 t=0 T + 1 βt t=0 T βt T i=1 ( ) 1 i R j j=1 Der erste Term auf der rechten Seite dieser Gleichung gibt die resultierende Änderung der Konsumausgaben wieder, wäre der Lohnanstieg rein transitorisch und auf die Periode t = 0 beschränkt. Die durch eine permanente Änderung des Einkommens herbeigeführte Konsumänderung ist somit größer als die einer transitorischen Einkommensänderung. Die Konsumausgaben reagieren auf Einkommensänderungen um so stärker, für je dauerhafter der Haushalt diesen Einkommensanstieg erachtet. Dies ist letztlich die Kernaussage der von M. Friedman formulierten permanenten Einkommenshypothese. Wird nun wieder unterstellt, dass der Zeithorizont des Haushaltes unendlich ist, ändert sich an der bisherigen Analyse im wesentlichen nichts. Zu beachten ist allerdings, dass nunmehr keine letzte Periode T existiert, für deren Folgeperiode T + 1 a priori klar ist, dass a T+1 = 0 gelten muss. Wie weiter unten noch ausführlich dargestellt wird, muss allerdings auch im Fall eines infiniten Zeithorizonts gelten, dass der Gegenwartswert der Konsumausgaben dem Gegenwartswert der Einkommen eines Haushaltes entspricht. Die entsprechende und später abzuleitende Gleichgewichtsbedingung, die dies sicherstellt ist die sogenannte Transversalitätsbedingung (TVB), die verlangt, dass die linke Seite der Gleichung (1.3) für große t gegen Null konvergiert: T ) 1 lim R i a T+1 = 0 T ( i=0 Die Konsumfunktion für den infiniten Zeithorizont kann nunmehr aus den bisherigen Gleichungen für T ermittelt werden. Im Fall σ = 1/η = 1 folgt wegen lim T T t=0 βt = 1 1 β :6 c 0 = [1 β]y p, wobei Y p nunmehr den Gegenwartswert der für einen infiniten Zeithorizont erwarteten, zukünftigen Einkommen bezeichnet. In diesem Fall ist also 1 β die mit dem permanenten Einkommen Y p verbundene Konsumneigung. Für t = 1, 2,... ergibt sich dann aus dieser Konsumfunktion, dass: ( ) c t = β t t R i [1 β]y p i=1 6 Es gilt 1+b+b 2 + = 1 1 b, sofern b < 1.

16 Das Ramsey-Modell Der Produktionssektor Bisher ist lediglich die Konsum- bzw. Sparentscheidung des repräsentativen Haushalts bei gegebenen Erwartungen für die zukünftigen Faktorpreise diskutiert worden. Im weiteren sollen nun die Produktionsentscheidungen der Unternehmen betrachtet werden, um die im Gleichgewicht auf den Faktormärkten resultierenden Faktorpreise bestimmen zu können. Es wird angenommen, dass die Firmen in der betrachteten Ökonomie ein einziges Gut mit Hilfe der Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital produzieren. Die für alle Firmen identische Produktionsfunktion weist konstante Skalenerträge auf, das heisst sie ist homogen vom Grad Eins, so dass eine einzige, aggregierte Firma betrachtet werden kann. Die aggregierte Produktionsfunktion lautet: Y t = F(K t,l t ) Hierbei bezeichnet Y t den aggregierten Output, K t den aggregierten Kapitalstock und L t den aggregierten Arbeitseinsatz. Konstante Skalenerträge implizieren dann aufgrund des Eulerschen Theorems, dass Y t = F K K t + F L L t gilt: 7 8 Die Produktionsfunktion F(K,L) besitzt darüber hinaus die üblichen Eigenschaften einer neoklassischen Produktionsfunktion. Sie weist daher für beide Faktoren sind positive, aber sinkende Grenzprodukte auf. Zusätzlich erfüllt sie noch die Inada-Bedingungen, die unten noch formuliert werden. Im weiteren ist es häufig zweckmäßig, pro Kopf Größen zu betrachten, bzw. die Produktionsfunktion in der sogenannten intensiven Form zu formulieren. Aufgrund der Tatsache, dass die Produktionsfunktion homogen vom Grad Eins ist, gilt: Y t L t = y t = 1 L t F(K t,l t ) = F(K t /L t,1) f(k t ) Hierbei bezeichnet y t den Output pro Arbeitskraft (er entspricht im Gleichgewicht dem pro Kopf Output) und k t ist die Kapitalintensität mit der im Produktionssektor produziert wird (sie entspricht im Gleichgewicht dem Kapitalstock pro Kopf). 7 F K ist hierbei eine verkürzende Schreibweise für das partielle Differential F(K t,l t ) K t. Ganz entsprechend gilt F L F(K t,l t ) L t. 8 Sofern konstante Skalenerträge vorliegen, ist die Produktionsfunktion homogen vom Grad Eins und für alle λ > 0 gilt: λy = F(λK, λl). Folglich muss für dλ 0 gelten, dass dλy = F K K dλ+f L Ldλ bzw. dλ(y F K K F L L) = 0.

17 14 1. Kapitel Abbildung 1.3: Die Produktionsfunktion in intensiver Form und die Inada- Bedingungen y t f( k t ), f ( k t ) 0 f( k t ) f( k t ) 0, f ( k t ) Aufgrund der Tatsache, dass die Produktionsfunktion homogen vom Grad Eins ist, gilt dann bezüglich der Grenzprodukte der beiden Faktoren folgendes: 9 F(K, L) F K = = f (k) K F(K, L) F L = = f(k) f (k)k L Die oben erwähnten Inada-Bedingungen sind weitergehende Bedingungen, der die Funktion f(k) genügen muss. Diese Bedingungen lauten: k t lim f(0) = 0, lim k 0 lim f(k) =, lim k f (k) = k 0 f (k) = 0 k Für die Produktionsfunktion y t = f(k t ) in intensiver Form ergibt sich demnach ein Verlauf, wie er in Abbildung 1.3 dargestellt ist. Da die Akkumulationsentscheidungen und damit die Investitionsentscheidungen von den Haushalten getroffen werden, haben die Firmen in dieser Ökonomie kein intertemporales Optimierungsproblem zu lösen. Vollständige Konkurrenz unterstellt, bedeutet Gewinnmaximierung seitens der Firmen dann, dass diese die sich in den einzelnen Perioden einstellenden Faktorpreise als Daten betrachten und sich mit ihren Produktions- bzw. Faktornachfrageentscheidungen anpassen. Es soll angenommen werden, dass das Kapital im Produktionsprozess der Abnutzung unterliegt und 0 < δ 1 die Abschreibungsrate des Kapitalbezeich- 9 Ist die Produktionsfunktion homogen vom Grad Eins, so sind die Grenzprodukte der Faktoren homogen vom Grad Null. Das heisst, es gilt F K (K,L) = F K (K/L,1) = f (k). Aus dem Eulerschen Theorem folgt F L = F(K,L) K L F K L, so dass F L(K,L) = f(k) f (k)k.

18 Das Ramsey-Modell 15 net. Mit r t als Realzinssatz ergibt sich der Faktorpreis des Kapitals die Kapitalnutzungskosten dann als r t + δ. Für den Faktor Arbeit ist der entsprechende Faktorpreis durch den Reallohnsatz w t gegeben. Da für die optimale Faktornachfrage bekanntlich gelten muss, dass das jeweilige Grenzprodukt eines Faktors seinem realen Faktorpreis entspricht, folgt: w t = F(K t,l t ) = f(k t ) f (k t )k t L t r t + δ = F(K t,l t ) = f (k t ) K t Beispiel: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Eine analytisch recht einfach zu handhabende, spezifizierte Produktionsfunktion, die alle erwähnten Annahmen erfüllt ist die sogenannte Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: Y = F(K,L) = K α L 1 α 0 < α < 1 Diese Funktion wird durch den Parameter α die partielle Produktionselastizität des Kapitals spezifiziert. Entsprechend ist 1 α die partielle Produktionselastizität der Arbeit. Da sich diese Elastizitäten zu Eins addieren ergibt sich, dass diese Funktion konstante Skalenerträge aufweist bzw. homogen vom Grad Eins ist. Die Grenzprodukte der Faktoren sind F K = αk α 1 L 1 α sowie F L = (1 α)k α L α und daraus lässt sich schnell die Aussage des Eulerschen Theorems herleiten, denn es gilt F K K+F L L = αk α 1 L 1 α K+(1 α)k α L α L = K α L 1 α. Die intensive Form der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist: Y L = y = Kα L 1 α ( ) K α = = k α = f(k) L L Aus dieser intensiven Form ergibt sich dann, dass: f (k) = αk α 1 = αk α 1 L 1 α = F K f(k) f (k)k = k α αk α 1 k = K α L α αk α L α = F L Wie oben allgemein hergeleitetet wurde, lassen sich also die Grenzprodukte der Faktoren aus der intensiven Form der Produktionsfunktion herleiten. Des weiteren lässt sich einfach nachweisen, dass die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion auch die Inada-Bedingungen erfüllt: Es gilt f(0) = 0 und wegen 0 < α < 1 gilt zudem lim k k α = sowie lim k 0 αk α 1 = und lim k αk α 1 = 0. Mit Hilfe der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion lassen sich recht einfach Aussagen über die funktionale Einkommensverteilung die Verteilung auf die Faktoren Arbeit und Kapital herleiten. Wird davon ausgegangen, dass

19 16 1. Kapitel vollständige Konkurrenz auf den Faktormärkten herrscht, so werden die Faktorpreise im Gleichgewicht den jeweiligen Grenzprodukten der Faktoren entsprechen, so dass w = F L und r + δ = F K gilt. Zusammen mit dem Eulerschen Theorem ergibt sich daher Y = F(K,L) = wl + (r + δ)k der gesamte Output wird vollständig in Form von Faktorentgelten auf die Produktionsfaktoren verteilt. Nach Division durch Y ergeben sich aus dieser Verteilungsgleichung die Einkommensanteile der Faktoren am Output die Verteilungsquoten, die sich definitionsgemäß zu Eins addieren: 1 = wl Y + zk wl Y. Hierbei ist Y die Lohnquote und zk Y die Kapitaleinkommensquote. Im Fall der Cobb-Douglas- Produktionsfunktion gilt nun F L = w = (1 α)k α L α, so dass sich für die Lohnquote wl Y = (1 α)kα L α L K α L 1 α = (1 α) ergibt. Entsprechend resultiert für die Kapitaleinkommensquote (r+δ)k Y = α. Die Verteilungsquoten sind im Fall einer Cobb- Douglas-Produktionsfunktion konstant und durch den Parameter α bestimmt, der die jeweiligen partiellen Produktionselastizitäten determiniert. Sofern also eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion unterstellt wird und von vollständiger Konkurrenz ausgegangen wird, ist die funktionale Einkommensverteilung fixiert. 1.5 Das Marktgleichgewicht Im vorangegangenen Abschnitt ist erläutert worden, dass sich in jeder Periode t auf den Faktormärkten für Arbeit und Kapital ein Gleichgewicht einstellt, so dass die jeweiligen gleichgewichtigen Faktorpreise durch die Grenzprodukte der Faktoren bestimmt werden. Damit ist allerdings die Dynamik des Modells noch nicht vollständig beschrieben, denn die Konsum- bzw. Sparentscheidungen der Haushalte werden durch deren Erwartungen bezüglich ihres zukünftigen Einkommens bestimmt. Daher lassen sich nur dann, wenn diese Erwartungen bestimmt worden sind, Aussagen über die zeitliche Entwicklung der Wirtschaft ableiten. Im weiteren wird nun das Konzept eines Gleichgewichts bei vollkommener Voraussicht verwendet, um diese Lücke zu schließen. Zu beachten ist hierbei, dass sich der hier verwendete Gleichgewichtsbegriff nicht nur auf die in der Gegenwart (in der Periode t = 0) relevanten Märkte bezieht, sondern auf die Märkte für alle Güter, also beispielsweise auch auf den Markt für den Faktor Arbeit in einer weit in der Zukunft liegenden Periode. Ein solches Gleichgewicht bestimmt somit die gesamte Güterallokation sowohl für die Gegenwart als auch für die Zukunft. Vollkommene Voraussicht bedeutet, dass die alle Wirt-

20 Das Ramsey-Modell 17 schaftssubjekte zukünftige Preise korrekt antizipieren und damit keine Erwartungsfehler begehen. Im vorliegenden Fall eines Modells ohne Unsicherheit ist vollkommene Voraussicht gleichzusetzen mit rationaler Erwartungsbildung seitens der wirtschaftsubjekte Die Gleichgewichtsbedingungen Wenn der oben beschriebene repräsentative Haushalt tatsächlich repräsentativ ist, muss sein Vermögensbestand a t dem durschnittlichen Vermögensbestand in der Volkswirtschaft entsprechen. Wird zudem angenommen, der repräsentative Haushalt verfüge über eine Einheit Arbeit, die unelastisch angeboten wird, so impliziert dies, dass der Kapitalstock pro Kopf in der Volkswirtschaft in Periode t durch a t das Durchschnittsvermögen gegeben ist. Ein Gleichgewicht bei vollkommener Voraussicht für die Perioden t = 0,1,... liegt vor, wenn für alle t folgendes gilt: (1) Der aufgrund von Erwartungen über zukünftige Faktorpreise formulierte Konsumplan des repräsentativen Haushaltes ist optimal. (2) Es herrscht Gleichgewicht auf den Faktormärkten, so dass für alle t gilt, dass a t = k t sowie R t = f (k t )+(1 δ) w t = f(k t ) f (k t )k t (3) Die zugrundeliegenden Erwartungen zukünftiger Faktorpreise sind korrekt. (4) Die resultierenden Zeitpfade für den Zinsfaktor und den Kapitalstock erfüllen die Transversalitätsbedingung (TVB): T ) 1 lim R i k T+1 = 0 T ( i=0 Die ersten drei Gleichgewichtsbedingungen dürften nach den bisherigen Ausführungen keinerlei Probleme bereiten. Werden zunächst lediglich diese ersten drei Gleichgewichtsbedingungen berücksichtigt, ergibt sich aus der Euler- Gleichung und der Budgetrestriktion ein zweidimensionales, nichtlineares Differenzengleichungssystem in den Variablen Konsum c t und Kapital k t, das die Dynamik der betrachteten Ökonomie vollständig beschreibt. Werden die oben

21 18 1. Kapitel ermittelten Gleichgewichtswerte für w t und R t in die Euler-Gleichung und die Budgetrestriktion eingesetzt, gilt im Gleichgewicht für alle t = 0, 1,...: u (c t ) = βu (c t+1 )[ f (k t+1 )+(1 δ)] f(k t ) = c t + k t+1 (1 δ)k t (1.7a) (1.7b) Ausgehend von diesem Differenzengleichungssystems lässt sich nun die Bedeutung der verbleibenden Gleichgewichtsbedingung, der Transversalitätsbedingung, diskutieren Die Transversalitätsbedingung Im allgemeinen besitzt ein zweidimensionales Differenzengleichungssystem wie (1.7) unendlich viele Lösungspfade, das heisst es existieren unendlich viele Folgen {c t } t=0 sowie {k t} t=0, die dieses System lösen. Um aus dieser Lösungsmenge einen eindeutigen Lösungspfad zu bestimmen, sind zwei Anfangswerte erforderlich mit der durchschnittliche Anfangsausstattung k 0 = a 0 mit Kapital ist allerdings nur ein solcher Anfangswert gegeben. Dies bedeutet letztlich, dass unendlich viele Lösungspfade existieren, die mit korrekten Preiserwartungen der Haushalte einhergehen. Die ersten drei der oben aufgeführten Gleichgewichtsbedingungen genügen demzufolge nicht, um ein eindeutiges Gleichgewicht zu bestimmen. Die Aufgabe der Transversalitätsbedingung (TVB) ist es nun, genau diesen fehlenden weiteren Anfangswert zu liefern und ein eindeutiges Gleichgewicht zu bestimmen. Es wird sich nämlich zeigen, dass unter Berücksichtigung dieser Bedingung lediglich ein Lösungspfad verbleibt, der mit rationalen Erwartungen bzw. vollkommener Voraussicht seitens der Haushalte vereinbar ist. Die TVB ist im letztlich eine Gleichgewichtsbedingung für den bisher nicht thematisierten Kreditmarkt, die ebenso wie die Gleichgewichtsbedingungen für die anderen Märkte des Modells erfüllt sein muss. Die Bedingung führt zu Restriktionen über die Folge von Zinssätzen in den Perioden t = 0,1,..., so dass diese mit einem rationalen Erwartungsgleichgewicht vereinbar sind. Es sei zunächst angenommen, dass im vorliegenden Modell ein perfekter Kreditmarkt existiert, auf dem sich Haushalte entweder verschulden können oder als Gläubiger auftreten. Ein Gleichgewicht impliziert dann, dass sämtliche Arbitragemöglichkeiten ausgeschöpft werden, was letztlich bedeutet, dass der Kreditmarktzins in jeder Periode t gleich r t sein muss. Wenn sich nun ein Haushalt in Periode t = 0 auf dem Kreditmarkt in Höhe von B 0 verschuldet,

22 Das Ramsey-Modell 19 so ist sein Schuldenstand inklusive der zu zahlenden Zinsen in Periode t = 1 durch B 1 = R 1 B 0 gegeben. Entsprechend folgt für eine beliebige Periode t, dass B t = ( t i=0 R i) B 0. Gilt nun lim t t i=0 R i = 0, so bedeutet dies, dass der Schuldenstand des Haushaltes asymptotisch (für t ) gegen Null konvergiert: Ein Haushalt der sich in Periode t = 0 verschuldet ist asymptotisch schuldenfrei. Da jedoch eine Kreditaufnahme in Periode t = 0 einen höheren Konsum in dieser Periode sowie in allen Folgeperioden erlaubt und dieses den Lebensnutzen des Haushaltes erhöht, impliziert dies, dass für den Haushalt eine unendliche Kreditnachfrage in Periode t = 0 optimal ist. Letzteres ist allerdings nicht mit einem Gleichgewicht auf dem Kreditmarkt vereinbar, denn was für den hier betrachteten Haushalt optimal ist, ist für alle anderen ebenfalls optimal. Daher kann eine Zinsfolge, die zu lim t t i=0 R i = 0 führt, keine gleichgewichtige Zinsfolge sein. Wenn jedoch der Grenzwert lim t t i=0 R i nicht gleich Null sein darf, verbleibt letztlich nur die Möglichkeit, dass lim t t i=0 R i = und folglich lim t t i=0 R 1 i = 0 gilt (sofern der Fall R t = 1 für alle t und andere Fälle alternierender Zinsfolgen nicht weiter beachtet werden.). Zu beachten ist, dass diese Restriktion über die Zinsfolge nur dann hinreichend für die Erfüllung der TVB ist, wenn der Zeitpfad für den Kapitalstock weder gegen Null konvergiert denn dann könnte die TVB prinzipiell auch mit lim t t i=0 R 1 i > 0 erfüllt sein, noch mit zu großer Rate wächst denn dann könnte der Fall eintreten, dass die Bedingung lim t t i=0 R 1 i = 0 nicht genügt, um die TVB zu erfüllen. Im hier betrachteten Modell ist dies allerdings = 0 die aus der TVB resultierende Bedin- nicht der Fall, so dass lim t t i=0 R 1 i gung ist. Wird unterstellt, dass die Haushalte rationale bzw. korrekte Erwartungen bilden, so erfordert dies, dass die Haushalte eine Zinsfolge erwarten, die mit einem Kreditmarktgleichgewicht in den Perioden t = 0,1,... vereinbar ist. Wie gezeigt wurde, impliziert dies, dass die Transversalitätsbedingung erfüllt sein muss. Aus den unendlich vielen Lösungspfaden des Differenzengleichungssystems (1.7) sind somit diejenigen auszuwählen, die sowohl der Restriktion k 0 > 0 als auch der TVB lim T t i=0 R 1 i = 0 genügen. Im weiteren wird gezeigt, dass damit ein eindeutiger Lösungspfad bestimmt ist, so dass im hier betrachteten Ramsey-Modell ein eindeutiges Gleichgewicht mit vollkommener Voraussicht bzw. rationales Erwartungsgleichgewicht vorliegt.

23 20 1. Kapitel 1.6 Dynamik des Ramsey-Modells Das Richtungsfeld Die qualitativen Eigenschaften des Differenzengleichungssystems (1.7) können graphisch mit Hilfe des Richtungsfeldes analysiert werden. 10 Aus (1.7b) folgt zunächst für k t, dass: k t+1 k t+1 k t = f(k t ) δk t c t Demnach gilt k t+1 = 0, das heisst der Kapitalstock ändert sich von t auf t + 1 nicht, wenn für den Konsum c t folgendes gilt: c t = f(k t ) δk t (1.8) Es wird in diesem Fall gerade soviel konsumiert, dass die vom Output verbleibende Gütermenge den Ersatzinvestitionen entspricht, die erforderlich sind, um die ursprüngliche Kapitalintensität aufrecht zu erhalten. Entsprechend folgt aus (1.7a) für c t, dass c t+1 c t+1 c t = 0 gilt, wenn u (c t+1 ) u (c t ) = 0 gilt. Wie bereits oben ausführlich diskutiert wurde, ist der Konsum in zwei Perioden t und t + 1 nur dann gleich, wenn βr t+1 = 1 gilt. Da im Gleichgewicht bei korrekten Erwartungen R t+1 = f (k t+1 )+1 δ gilt, ergibt sich also c t+1 = 0, wenn gilt, dass: 1/β (1 δ) = f (k t+1 ) (1.9) Es können demnach zwei Funktionen ermittelt werden, die Kombinationen von Konsum und Kapitalstock beschreiben, für die jeweils k t+1 bzw. c t+1 = 0 gilt. Diese Funktionen bilden die Grundlage des Richtungsfeldes für die Variablen Konsum und Kapitalstock. Zunächst zur Gleichung (1.8): Die Inada-Bedingungen verlangen, dass lim k f (k) = 0 gilt. Daraus ergibt sich zwangsläufig, dass ein k > 0 existiert, für das f( k) = δ k gilt: Die Kurve im Richtungsfeld, die k t+1 = 0 impliziert, schneidet demnach wie auch Abbildung 1.4 zeigt sowohl für k = 0 als auch für k = k die Abszisse. Zudem besitzt diese Kurve genau ein Maximum und zwar für die Kapitalintensität k o < k, für die f (k o ) = δ gilt. Nun zur Gleichung (1.9): Es sei k die Kapitalintensität, die (1.9) löst. Aufgrund der über die Produktionsfunktion getroffenen Annahmen lässt sich dann feststellen, dass diese Lösung zum einen eindeutig ist und zum anderen, dass 10 Die formale Analyse der Modelldynamik findet sich in Anhang A.

24 Das Ramsey-Modell 21 Abbildung 1.4: Richtungsfeld für das Ramsey-Modell c c = 0 c max c S k = 0 k f (k o ) = δ k k k < k o gilt. Insgesamt ergibt sich daraus der in Abbildung 1.4 eingezeichnete Verlauf der Kurve (1.9). 11 Aus (1.8) und (1.9) folgt nun, dass für das Differenzengleichungssystem (1.7) ein stationärer Punkt S = (c,k ) existiert, so dass k = c = 0 für alle t gilt. Für diesen stationären Punkt gilt: f (k ) = 1 (1 δ) β c = f(k ) δk Die Existenz eines solchen stationären Punktes ist ebenfalls durch die Inada- Bedingungen sichergestellt. Ein solcher stationärer Punkt wird auch als Steady- State oder langfristiges Gleichgewicht bezeichnet. Die in Abbildung 1.4 eingezeichneten Richtungspfeile gegen die tendenzielle Änderungsrichtung für die Modellvariablen c und k an, die sich in den vier durch die Kurven enstehenden Bereichen der Abbildung ergeben. Diese Richtungspfeile resultieren aus den folgenden beiden Ungleichungen: 12 c t f(k t ) δk t k t+1 0 k t+1 k c t Die hier erfolgende Analyse des Richtungsfeldes ist formal nicht völlig korrekt, da c t+1 in Abhängigkeit von k t+1, k t+1 dagegen in Abhängigkeit von k t und c t dargestellt wird. Eine in diesem Sinne einwandfreie Darstellung würde jedoch zum einen inhaltlich wenig ändern, zum anderen würde sich nicht die in der Literatur häufig zu findende grafische Darstellung des Richtungsfeldes ergeben. 12 Aus c t f(k t )+(1 δ)k t k folgt k t+1 k und folglich (wegen f < 0) R t+1 1/β. Letzteres impliziert c t+1 0.

25 22 1. Kapitel Daraus lässt sich schlussfolgern, dass der stationäre Punkt S ein Sattelpunkt ist. 13 Die Lösungspfade des Differenzengleichungssystems (1.7) haben daher qualitativ den in Abbildung 1.5 dargestellten Verlauf. c Abbildung 1.5: Sattelpunktpfad c = 0 c S k = 0 c 1 c S 0 0 c 2 0 k 0 k f (k) = δ k k Auch wenn mit dem Anfangswert k 0 für die Kapitalintensität zumindest ein Anfangswert für das Differenzengleichungssystem (1.7) gegeben ist, genügt dies offensichtlich nicht, einen eindeutigen Lösungspfad zu bestimmen. Es lässt sich allerdings zeigen, dass der in den Sattelpunkt S mündende Sattelpunktpfad der einzige Lösungspfad des Differenzengleichungssystems ist, der die TVB erfüllt und nicht in endlicher Zeit die Restriktion (1.7b) bzw. die Euler-Gleichung (1.7a) verletzt: Alle Pfade, die unterhalb des Sattelpunktpfades beginnen (vgl. z.b. (c 2 0,k 0)) konvergieren gegen k. Für diese Pfade gilt, dass ein endlicher Zeitpunkt t existiert, für den f (k t ) < δ gilt. Von dieser Periode an ergibt sich daher R t = f (k t ) + (1 δ) < 1 für alle t t. Daher kann die Transversalitätsbedingung nicht erfüllt sein kann, denn es gilt lim T t=t T R t = 0 und lim T k T = k. Für alle Pfade, die oberhalb des Sattelpunktpfades beginnen (vgl. z.b. (c 1 0,k 0)) 13 Exakt zeigen lässt sich die Sattelpunkteigenschaft des Fixpunktes S freilich nur mit Hilfe einer formalen Analyse des Differenzengleichungssystems (1.7), worauf hier allerdings verzichtet wird.

26 Das Ramsey-Modell 23 existiert ein endlicher Zeitpunkt t für den c t f(k t )+(1 δ)k t gilt. Nun ist ein Konsumniveau c t > f(k t ) + (1 δ)k t nicht möglich, so dass die Euler-Gleichung in diesem Fall bereits in t verletzt wird. Demgegenüber ist das Konsumniveau c t = f(k t )+(1 δ)k t zwar möglich, bedeutet aber, dass k t +1 = 0 gilt, so dass die Euler-Gleichung in Periode t + 1 verletzt wird. Insgesamt bedeutet dies, dass alle Pfade, die oberhalb des Sattelpunktpfades beginnen, in endlicher Zeit die Euler-Gleichung verletzen und somit keine Lösungspfade des Modells sein können. Lediglich der Sattelpunktpfad (vgl. (c S 0,k 0)) verletzt für alle t weder die Optimalitätsbedingung, da c t < f(k t ) + (1 δ)k t für alle t gilt, noch die Transversalitätsbedingung, da für jeden beliebigen Anfangswert k 0 > 0 ein endlicher Zeitpunkt t existiert, von dem an der Zinsfaktor kleiner als Eins ist, also R t = f (k t )+(1 δ) > 1 für alle t t gilt. Letzteres tritt immer dann ein, wenn eine Kapitalintensität k vorliegt, für die f (k) < δ gilt. Wenn dies einmal der Fall ist, kann in keiner jemals folgenden Periode mehr ein Zinsfaktor resultieren, der größer oder gleich Eins ist. Somit ist der Sattelpunktpfad die einzige Lösung des Modells, die mit rationalen Erwartungen vereinbar ist. Für einen beliebigen anfänglichen Kapitalstock k 0 > 0 existiert nur ein einziger Anfangswert c 0 für den Konsum und damit nur ein einziger Zeitpfad der Sattelpunktpfad für die Variablen c t und k t, der das langfristige Gleichgewicht (den stationären Punkt) c,k erreicht. Die mit diesem Zeitpfad für die Variablen c t und k t verbundenen Preise bzw. Preiserwartungen sind die einzigen, die mit rationaler Erwartungsbildung vereinbar sind Die Anpassungsdynamik Sofern die Anfangsausstattung der Haushalte mit Kapital nicht dergestalt ist, dass k 0 = k und somit c 0 = c gilt, findet ein Anpassungsprozess statt, der durch die Konvergenz der Sattelpunkttrajektorie gegen den stationären Punkt S = (c,k ) beschrieben wird. Sollte beispielsweise k 0 < k gelten, so ergibt sich, dass der pro Kopf Konsum ausgehend von c 0 < c im Zeitablauf gegen c konvergiert. Entsprechend konvergiert k t ausgehend von k 0 < k im Zeitablauf gegen k. Daraus folgt, dass auch der pro Kopf Output y t ausgehend von y 0 = f(k 0 ) < y = f(k ) im Zeitablauf gegen den entsprechenden langfristigen Gleichgewichtswert y konvergiert.

27 24 1. Kapitel Die Tatsache, dass der Kapitalstock pro Kopf ausgehend von k 0 < k gegen den langfristigen Gleichgewichtswert k konvergiert, impliziert, dass die Nettoinvestitionen ausgehend von i n 0 = ib 0 δk 0 = f(k 0 ) c 0 δk 0 sinken, bis im langfristigen Gleichgewicht i n = 0 gilt. Da asymptotisch folglich keine Nettoinvestitionen erfolgen, bestehen die Bruttoinvestitionen langfristig ausschließlich aus Ersatzinvestitionen, so dass i b = δk gilt. Über den genauen Zeitpfad der Bruttoinvestitionen lassen sich ohne weiteres keine weitergehenden Aussagen ableiten: Für k 0 < k ergibt sich zwar, dass die Nettoinvestitionen asymptotisch gegen Null konvergieren, jedoch nehmen die Ersatzinvestitionen zu, wenn die Kapitalintensität von k 0 auf k steigt. Demzufolge ist es insbesondere von der Höhe der Abschreibungsrate δ abhängig, ob i b 0 > ib oder i b 0 < ib gilt. Sofern k 0 > k gilt, ist der anfängliche Kapitalbestand pro Haushalt zu hoch. Die Anpassungsdynamik an das langfristige Gleichgewicht kann in diesem Fall in Analogie zur gerade beschriebenen Vorgehensweise ermittelt werden. Allerdings ist es in diesem Fall von Bedeutung, ob wie hier unterstellt wird, dass negative Nettoinvestitionen auch über das Ausmaß der Abschreibungen hinaus vorgenommen werden können. Ist dies nicht der Fall, sind Investitionen nicht reversibel und ein einmal installierter Kapitalstock kann nicht einfach konsumiert werden. Der Kapitalstock kann dann nur durch Abschreibungen im Zeitablauf vermindert werden. 1.7 Komparativ statische Analyse des Ramsey-Modells Konsequenzen transitorischer Produktivitätsschocks Im weiteren wird dargestellt, welche Anpassungsprozesse ein einmaliger Einkommenseffekt durch einen transitorischen Produktivitätsschock im Ramsey- Modells auslöst. Dazu wird unterstellt, dass sich die Ökonomie in einem langfristigen Gleichgewicht mit der Kapitalintensität k und dem Konsum c befindet. Sodann kommt es ausgehend von diesem Gleichgewicht in Periode t zu einem transitorischen (vorübergehenden) Anstieg der Produktivität. Dies bedeutet, dass der Output in Periode t durch y t = f(k )+ε mit ε > 0 gegeben ist, während für alle Folgeperioden weiterhin y = f(k) gilt. In Periode t steht folglich zusätzlicher Output in Höhe von ε zur Verfügung. Würde dieser vollständig konsumiert, so wäre die Kapitalintensität für alle Folgeperioden weiterhin durch k und der Konsum in allen Folgeperioden weiterhin durch c gegeben. Lediglich für Periode t resultierte ein höherer Konsum c t = c + ε.