Pareto-Optimierung komplexer thermo-fluiddynamischer Systeme auf der Basis numerischer Berechnungen

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1 Pareto-Optimierung komplexer thermo-fluiddynamischer Systeme auf der Basis numerischer Berechnungen Der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur vorgelegt von Mirjam Altendorfner Erlangen, 2008

2 Als Dissertation genehmigt von der Technischen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg Tag der Einreichung: Tag der Promotion: Dekan: Prof. Dr.-Ing. habil. J. Huber Berichterstatter: Prof. Dr. Dr. h.c. F. Durst Prof. Dr.-Ing. D. Trimis Prof. Dr.-Ing. habil. K.-E. Wirth

3 Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Lehrstuhl für Strömungsmechanik der Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg. Ein Großteil der beschriebenen Arbeiten wurden von der Europäischen Union im Integrated Project MC WAP - Molten Carbonate Fuel Cells for Waterborne Applications im sechsten Rahmenprogramm finanziell gefördert, was hiermit dankend erwähnt werden soll. Mein besonderer Dank gilt dem ehemaligen Lehrstuhlleiter, Herrn Prof. Dr. Dr. h.c. Franz Durst für die Förderung und Unterstützung dieser Arbeit und die Möglichkeit an seinem Institut tätig zu sein. Sein Engagement und seine Freude, strömungsmechanisches Wissen während der Sarntaler Ferienakademie 2002 an Studenten weiterzugeben, entzündete in mir den großen Wunsch, Forschungs- und Entwicklungsarbeiten an seinem Lehrstuhl mit durchzuführen. Ferner möchte ich Prof. Dr.-Ing. Dimosthenis Trimis, meinem ehemaligen Gruppenleiter und jetzigen Inhaber des Lehrstuhls für Gas- und Wärmetechnische Anlagen der Bergakademie Freiberg für die Übernahme der Zweitbegutachtung und seine Denkanstöße sowie die stets gute Zusammenarbeit herzlich danken. Ganz besonders möchte ich mich bei Prof. Dr.-Ing. habil. Karl-Ernst Wirth für die Erstellung des dritten Gutachtens bedanken, welches er mir ohne Zögern und mit sichtlicher Freude versprach. Ein ebenso großer Dank gilt dem ehemaligen Gruppenleiter der Verbrennungsgruppe Dr.- Ing. Franz von Issendorff, der Anstoß und Grundlage dieser Arbeit legte, sowie dem neuen Gruppenleiter Dr. Jovan Jovanovic für seine Unterstützung und seinen Zuspruch. Eine wichtige Unterstützung waren mir stets die Mitarbeiter aus der Mechanik- wie auch Elektronikwerkstatt. Besonders zu nennen sind hierbei Heinz Hedwig und Josef Svedja, sowie Rolf Zech und Horst Weber, ohne deren engagierte und ideenreiche Zusammenarbeit der experimentelle Teil dieser Arbeit nicht so hätte durchgeführt werden können. Darüber hinaus möchte ich allen Kollegen und Mitarbeitern des LSTM-Erlangen für die angenehme Arbeitsatmosphäre danken sowie für alle inspirierende Diskussionen. Auch allen Studenten, die einen Anteil an dieser Arbeit hatten, soll an dieser Stelle gedankt sein. Insbesondere möchte ich Thomas Zeiser danken, der mir eine große Hilfe war, modefrontier am I

4 II Cluster zum Laufen zu bringen. Schließlich möchte ich meinem Mann Florian einen großen Dank aussprechen, für seine großartige Unterstützung und für alle wertvollen Diskussionen und sein großes Verständnis. Ferner möchte ich meiner Schwester Renata für ihren immer währenden Zuspruch und ihre liebevolle Unterstützung danken. Ein großer Dank gilt auch meinem Vater, meinen Schwiegereltern, meinen Schwestern Elisabeth und Katharina, meinen Brüdern Friedrich und Thomas sowie deren Ehepartern und Kindern, die sich stets interessiert nach dem Verlauf der Arbeiten erkundigten, und so eine große Stütze waren. Auch meiner Mutter und meinem Stiefvater möchte ich danken, da sie mir durch ihre Unterstützung und Förderung diesen akademischen Weg ermöglichten. Erlangen, Mai 2008 Mirjam Altendorfner

5 Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit beschreibt eine neuartige Auslegungsstrategie mittels automatischer Optimierungsmethoden mit mehreren Zielfunktionen im Bereich komplexer thermo-fluiddynamischer Systeme. Anders als bei Optimierungen mit nur einer Zielfunktion, haben Optimierungen mit mehreren Zielfunktionen nicht eine, sondern viele Lösungen, die die so genannte Pareto- Front aufspannen. Die Lösungen auf dieser Pareto-Front sind untereinander indifferent, dass heißt, eine Lösung ist bezüglich eines Zieles besser als eine andere Lösung, jedoch mindestens in einem anderen Ziel schlechter. Nur durch übergeordnete Informationen kann eine Auswahl einer Lösung erfolgen. Genetische Algorithmen stellen hierbei eine Methode dar, Optimierungen mit mehreren Zielfunktionen gleichzeitig zu behandeln. Diese haben ein großes Potential in der Ingenieurtechnik, da viele Problemstellungen von Interesse mehrere Ziele verfolgen. Um einen großen Praxisbezug herzustellen, wird die Auslegungsstrategie basierend auf Mehrzieloptimierungsalgorithmen am konkreten Beispiel der Auslegung eines komplexen Wärmetauschersystems, das von einem Porenbrenner beheizt wird, durchgeführt (sog. Heat Cell), deren Aufgabe es ist, die Stoffströme Wasser-Dampf, Luft und Diesel für die Umsetzung in einem autothermen Reformer auf die unterschiedliche Temperaturniveaus zu erwärmen. Dieser autotherme Reformer soll Wasserstoff- und Kohlenmonoxid-reiches Gas für die Umsetzung in einer Schmelzkarbonat (Molten Carbonate) Brennstoffzelle bereitstellen, die als Hilfstriebwerk (Auxiliary Power Unit, APU) auf einem Schiff im Hafenbereich elektrische Energie erzeugen soll, um den hohen Abgasanforderungen in Hafennähe gerecht zu werden. Die Wärmequelle der Heat Cell soll in diesem Fall durch einen Porenbrenner realisiert werden, der durch seine einzigartigen Merkmale für den Einsatz besonders geeignet ist. Durch die hohe Verbrennungsstabilität selbst bei großen Leistungs- und Luftzahlmodulationen sowie der hohen Strahlungswärme können hocheffiziente, leichte und kompakte Wärmetauschersysteme konstruiert werden, deren Regelung extrem präzise erfolgen kann. Die Arbeit untergliedert sich in drei Teile. Einerseits die stationäre Optimierung der Wärmetauscherrohrbündel, bei der in ausgiebigen quasi-zweidimensionalen Analysen die besten Algorithmen für die Optimierung und die Erstellung der Startpopulation ermittelt werden, welche für die Optimierung von aufwändigen dreidimensionalen Modellen herangezogen werden. Ziel dieser Optimierungen ist hierbei die Bestimmung der optimalen Rohranordnung und -geometrie der Wärmetauscher unter besonderer Berücksichtigung der Porenbrennerstrahlung mit automatischen Mehrzieloptimierungsalgorithmen. Die verfolgten Optimierungsziele stellten dabei die Minimierung des Druckverlustes und Maximierung des Wärmeübergangs dar. Ergebnisse dieser stationären Optimierung werden andererseits für die Erstellung eines instationären Modells herangezogen, welches das transiente Verhalten der gesamten Heat Cell betrachtet. Die III

6 IV durchgeführte Optimierung zielt darauf ab, eine optimale Kombination aus Porenbrennerleistung, Luftverhältnis und Wärmetauscherflächen zu bestimmen, mit einer maximalen Effizienz, minimalen Aufheizzeit und minimalem Gewicht und Größe. Abschließend wird die Auslegung und Konstruktion eines experimentellen Aufbaus beschrieben, der ein verkleinertes Modell der Heat Cell darstellt. Zudem werden statt Wasserdampf, Luft und statt Diesel, Wasser als aufzuwärmende Ströme eingesetzt. Ein Vergleich zwischen dem instationären Modell (ebenso für die anderen Fluidströme und Größe angepasst) und den experimentell ermittelten Daten wird zum Schluss durchgeführt. Die Ergebnisse für den Volllastbetrieb decken sich fast vollständig mit den Modelldaten. Im Teillastbetrieb ergeben sich abweichende Temperaturen, was auf einen erhöhten Anteil an Wärmeverlusten zurückzuführen ist. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass mit der Verwendung von automatischen Optimierungsalgorithmen signifikant die Wärmetauscherflächen reduziert werden können, was zu enormen Einsparungen bezüglich der Masse und der Investitionskosten führt. Darüber hinaus wird die Effizienz des Gesamt-Systems optimiert durch die Identifizierung der besten Kombination aus Porenbrennerleistung, Luftzahl und der Wärmetauscherflächen. Dies wird durch den Vergleich mit experimentellen Untersuchungen an einem verkleinerten Modell und der daraus erhaltenen hohen Genauigkeit der Simulationen mit der Wirklichkeit bestätigt. Zusätzlich wird durch eine detaillierte Analyse des Systemverhaltens der Heat Cell herausgearbeitet, wie Porenbrennerleistung und Luftüberschuss eingesetzt werden müssen, um die Auslasstemperaturen für Wasser-Dampf, Luft und Diesel zu regeln.

7 Abstract This work describes a novel design strategy using automatic multi-objective optimisation algorithms for complex thermo-fluid-dynamical systems. In contrast to single-objective optimisation problems, multi-objective optimisation problems have several solutions which form the so called Pareto-front. The solutions of this Pareto-front are indifferent amongst each other, i.e. a solution is better concerning one objective but worse in at least one other. Genetic algorithms are a method to solve those multi-objective optimisation problems, so that they have a great potential for the engineering technique, because most problems deal with several contradicting objectives. For a highly practical component, this design strategy based on multi-objective optimisation algorithms will be used on the concrete example of the design of a complex heat exchanger system (so called heat cell) which is heated by a porous burner. The main objective of this heat exchanger system is to heat up the process fluids water steam, air and diesel which will be used in an auto-thermal reformer to produce hydrogen and carbon-monoxide-rich gas for a Molten Carbonate Fuel Cell. This fuel cell is supposed to be installed on a ship to produce electricity as an auxiliary power unit in or close to harbours where regulations for combustion emissions are extremely strict. This work is divided in three parts. Firstly, the optimisation of the stationary heat transfer is described. In this chapter, a quasi-two dimensional abstract model of the stationary processes will be used to investigate the optimal DOE and optimisation algorithms for this kind of problem. Following this, extensive investigations are carried out with a three dimensional model to determine the influence of the porous burner radiation heat flux on the heat transfer coefficients of different geometries. The objectives of this optimisation are the minimisation of the pressure drop and the maximisation of the heat transfer. Those results are used to define an instationary heat transfer model which is used in the second part of this thesis to examine the transient behaviour of the complete heat cell. The optimisation of the instationary model is supposed to identify optimal combinations of porous burner power and excess air ratio as well as heat exchanger areas with a maximum efficiency, minimum time to reach steady state and minimum mass and size. Finally, a smaller scaled experimental set up is designed and extensively investigated. This work shows that with the application of automatic multi-objective optimisation algorithms in combination with numerical simulation tools significant reductions in the heat transfer areas are possible resulting in enormous cost and weight reductions. Moreover, the overall efficiency of the system is increased by identifying the best combination of porous burner power, excess air ratio and heat exchanger areas. This is proven by the comparison V

8 VI of the experimental investigation with simulation results which show very good agreement. Additionally, with a detailed analysis of the system behaviour of the heat cell it is possible to define how the porous burner power and excess air ratio have to be used to control the outlet temperatures of steam, air and diesel.

9 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Ziel der Arbeiten Motivation Die Porenbrennertechnik als Basis neuer thermischer Verfahren Optimierungsverfahren und deren Anwendung in der thermischen Verfahrenstechnik Struktur der Arbeit Grundlagen der Pareto-Optimierung Einführung in die Pareto-Optimierung Optimierungsprobleme mit mehreren Zielfunktionen Grundsätze und Ziele von Vektoroptimierungsproblemen Optimierungsverfahren Klassische Lösungsverfahren Evolutionäre Algorithmen Zusammenfassung Spezielle genetische Algorithmen MOGA-II NSGA-II ARMOGA FMOGA Vergleichsgrößen Das Programm modefrontier und seine Anwendung Anwendung der Pareto-Optimierung am stationären Wärmetauschermodell D Modell Modell-Definitionen Variablen, Zielfunktionen und Definitionen in modefrontier Bestimmung der wahren Pareto-Front Start-Populationen Optimierungsalgorithmen D Modell Variablen, Zielfunktionen und Definition D Modell mit Porenbrennerstrahlung D Modell ohne Porenbrennerstrahlung VII

10 VIII INHALTSVERZEICHNIS 4 Anwendung der Pareto-Optimierung am instationären Wärmetauschermodell Darstellung der Heat Cell in Matlab/Simulink zur Simulation des dynamischen Verhaltens Annahmen und Vereinfachungen Modellierung Konvektive Wärmeübertragung Porenbrenner und Strahlungswärmeübertragung Optimierung des dynamischen Verhaltens der Heat Cell Definitionen Ergebnisse Prinzipielles dynamisches Verhalten der Heat Cell Experimentelle Untersuchungen Skalierung Versuchsaufbau Versuche zum Wärmeübergang Vergleich der experimentellen Untersuchungen mit Simulations-Ergebnissen Zusammenfassung und Ausblick 103 Literaturverzeichnis 117 Abbildungsverzeichnis 119 Tabellenverzeichnis 121

11 Verwendete Formelzeichen und Abkürzungen Lateinische Buchstaben Zeichen Einheit Bedeutung A m 2 Fläche a binäres Individuum des Individuenraumes eines genetischen Algorithmus b m Schichtdicke c p J/kgK Wärmekapazität f Ordnungszahl der Generation Ḣ W/s Enthalpiestrom H u kw/kg unterer Heizwert k W/m 2 K Wärmedurchgangskoeffizient L m in kg/kg Mindestluftmenge l Länge der binären Zeichenfolge eines Individuums l c m charakteristische Länge l x Länge der binären Zeichenfolge eines Segments eines Individuums m Anzahl an Zielfunktionen ṁ kg Massenstrom m Wand kg Masse der Wärmetauscherrohre m P Anzahl an Individuen n Anzahl an Designvariablen P W Leistung P(t) Population p Pa Druck p m Mutationswahrscheinlichkeit IX

12 X INHALTSVERZEICHNIS Zeichen Einheit Bedeutung Q W/s Wärmestrom R X m Horizontale Halbachse R Y m Vertikale Halbachse s Selektionsoperator s 1 m horizontaler Rohrabstand s 2 m vertikaler Rohrabstand t s Zeit T K Temperatur U m/s Strömungsgeschwindigkeit V m 3 Volumen x Variablengrenze Griechische Buchstaben Zeichen Einheit Bedeutung α W/m 2 K Wärmeübergangskoeffizient β Anzahl an Nachkommen µ Anzahl an Elternindividuen ǫ Emissionsgrad Ω Menge an propabilistischen genetischen Operatoren ω propabilistische Operatoren Φ Fitnessfunktion Ψ vollständiger Prozess zur Umwandlung von einer Population in die nächste σ W/(m 2 K 4 ) Stefan Boltzmann Konstante (=5, ) ρ kg/m 3 Dichte η Pas dynamische Viskosität λ k W/mK Wärmeleitfähigkeit eines Stoffes k λ Luftverhältnis

13 INHALTSVERZEICHNIS XI Dimensionslose Kennzahlen Zeichen Bedeutung Nu Nusselt-Zahl Pr Prandtlzahl Re Reynoldszahl V er R Dimensionslose Kennzahl zur Beschreibung der Rohrform X Abstand Dimensionslose Kennzahl zur Beschreibung des horizontalen Rohrabstandes Y A bstand Dimensionslose Kennzahl zur Beschreibung des vertikalen Rohrabstandes Indizes Zeichen Bedeutung a Außen ad adiabat h Heiße Fluidströme i Innen m Mittelwert k Kalte Fluidströme s Feststoff 0 Bezugspunkt

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15 Kapitel 1 Einleitung und Ziel der Arbeiten 1.1 Motivation Im Zuge der Globalisierung und des weltweit wachsenden Energie- und Rohstoffbedarfs steigen der Innovations- und Kostendruck für Unternehmen stark an. Zudem verschärft sich der Technologiewettbewerb, Forschung und Entwicklung werden noch mehr als heute zur Voraussetzung von Markterfolgen der Industrie [51]. Durch den wachsenden Konkurrenzdruck vor allem aus Ländern mit niedrigen Arbeitskosten und geringen Umweltauflagen wird die effizientere Nutzung von Energie und Rohstoffen in industriellen Prozessen immer wichtiger. Zudem steigen die Bestrebungen, Schadstoffemissionen immer weiter zu senken. Aus diesem Grund, den steigenden Energiebedarf zu decken, hohe Wirkungsgrade zu erreichen und niedrige Schadstoffemissionen zu generieren, ergibt sich die Notwendigkeit grundlegend neuer Ansätze für die Auslegung neuer Prozesse und Anlagen wie auch für die Anpassung bereits bestehender. Ein möglicher Lösungsansatz stellt hierbei die die Verwendung automatischer Optimierungsmethoden dar, die in der Lage sind kombiniert mit dreidimensionalen Strömungssimulationen oder komplexen transienten Modellberechnungen, mehrere Zielfunktionen gleichzeitig zu behandeln, um so optimale Bauteile und Prozesse auszulegen. Im Allgemeinen hat sich das Gebiet der Optimierung in den letzten 25 Jahren von einer akademisch interessanten Methode zu einer Technologie entwickelt, die enormes Potential in der industriellen Entwicklung aufweist. Dabei wuchs die Forschung in der Formulierung, Lösung und Analyse von mathematischen Optimierungsprogrammen ungemein an [12]. Die rasanten Entwicklungen von leistungsstarken Computer-Systemen und Clustern ermöglicht heutzutage die Integration von automatischen Optimierungsverfahren in den Prozess der Ingenieur- Entwicklung. Dafür ist es notwendig, detaillierte mathematisch-physikalische Modelle aufzustellen, die mit einem passenden Optimierungsalgorithmus gekoppelt werden. Im Vergleich zu den im Ingenieurwesen normalerweise üblichen trial and error Verfahren, die auf einem intuitiven Erfahrungsansatz beruhen, ist das Auffinden von optimalen Lösungen mit Hilfe von mathematischen Optimierungsalgorithmen zuverlässiger und leistungsfähiger, wenn sie korrekt angewendet werden. Die modernen Anforderungen, die an die Optimierungsverfahren gestellt werden sind vielfältig. Einerseits muss es möglich sein, eine große Anzahl an Design-Variablen vorzugeben, 1

16 2 KAPITEL 1. Einleitung und Ziel der Arbeiten ohne signifikant an der Leistungsfähigkeit des Algorithmus zu verlieren. Darüber hinaus sollten diese Methoden automatisch nach Start der Applikation ohne weitere Einflussnahme des Bedieners die optimale Lösung bzw. optimale Lösungen berechnen. Eine weitere Anforderung an die Optimierungsmethode ist das Auffinden von globalen Optima, auch wenn im Lösungsraum mehrere lokale Maxima oder Minima vorhanden sind. Eine besondere Herausforderung stellen hierbei die Optimierungsprobleme mit mehreren in Konflikt stehenden Zielfunktionen dar. Anders als bei Problemen mit einer Zielfunktion, die eine optimale Lösung hat, gibt es viele verschiedene optimale Lösungen (Pareto-Lösungen). Mit übergeordneten Informationen kann aus dieser Lösungsmenge der beste Kompromiss gefunden werden. Aus diesen Grund zielt die vorliegende Arbeit darauf ab, eine neuartige Auslegungsstrategie für komplexe thermo-fluiddynamische Systeme basierend auf Mehrziel-Optimierungsalgorithmen in Kombination mit numerischen Simulationen darzustellen. Dabei werden sowohl die unterschiedlichen Möglichkeiten, als auch die Grenzen dieser Methoden aufgezeigt. Um einen großen Praxisbezug sicherzustellen, wird die vorliegende Arbeit an dem konkreten Beispiel der Auslegung der so genannten Heat Cell durchgeführt, die eine Hauptkomponente der Reformereinheit für ein Brennstoffzellensystem darstellt. Dieses hat die Aufgabe als so genannte Auxiliary Power Unit (APU) den elektrischen Energiebedarf eines großen Schiffes im Hafen zu decken, da hier besonders hohe Anforderungen an Abgasemissionen gestellt werden. Die Aufgabe der Heat Cell besteht darin, die Prozessfluide Wasserdampf, Luft und Dieselöl auf die geforderten unterschiedlichen Temperaturniveaus mit dem Abgas eines Porenbrenners aufzuheizen. Die Porenbrennertechnologie weist mit ihren speziellen charakteristischen Eigenschaften große Vorteile in vielen industriellen Prozessen auf. Im Bereich der thermischen Verfahren, wo elektrische Heizsysteme nur bedingt einsetzbar sind, können Porenbrenner beispielsweise exakt homogene Temperaturprofile, eine große Modulierbarkeit und kompakte Bauteilgrößen realisieren, was mit konventionellen Verbrennungstechniken häufig nur unzureichend erreicht werden kann. Im folgenden Abschnitt soll die Funktionsweise und die Merkmale der Porenbrennertechnologie im Vergleich zu konventionellen Verbrennungstechniken aufgezeigt werden. Zudem wird auf die möglichen Anwendungsgebiete und die sich ergebenen Vorteile näher eingegangen. Anschließend wird das Brennstoffzellensystem, das die Optimierungsgrundlage dieser Arbeit darstellt, und seine Anforderungen beschrieben. Darüber hinaus wird die Vorgehensweise bei der Optimierung ausführlich erklärt. 1.2 Die Porenbrennertechnik als Basis neuer thermischer Verfahren Die Porenbrennertechnik ist eine hoch moderne Verbrennungstechnik für gasförmige vorgemischte Brennstoff-Luft-Gemische. Die vielschichtigen Anwendungsgebiete reichen vom Einsatz in Haushaltsheizgeräten über Industrie-Strahlungsbrenner bis zu Industrieanwendungen unter erhöhtem Druck (Gasturbinen, Partikelerzeugung). Darüber hinaus wurden Reaktoren

17 1.2. Porenbrennertechnik 3 zur HCl-Synthese und FCKW-Verbrennung mit porösen inerten Medien realisiert. Ein besonderes Merkmal dieser Brenner liegt an dem hohen Anteil an Wärme, die über Strahlung an die Umgebung abgegeben wird, was bis zu 45 % der gesamten Brennerleistung betragen kann. Zusätzlich ergibt sich durch die thermische Trägheit der porösen Struktur eine sehr hohe Verbrennungsstabilität, die sogar die von nicht-vorgemischten Flammen übertreffen kann. Durch die spezielle Stabilisierung im Porenbrenner können Leistungsmodulationen von 1:20 realisiert werden. Dies macht die Porenbrennertechnologie zu einer interessanten Alternative in der industriellen thermischen Verfahrenstechnik. Der Verbrennungsprozess in einem Porenbrenner erfolgt in den Hohlräumen einer keramischen Struktur. Voraussetzung für die mögliche Ausbreitung einer Flamme in solchen Hohlräumen ist ein gewisses Mindestverhältnis zwischen Wärmezufuhr durch die Umsetzung des Brennstoff-Luftgemisches und Wärmeabfuhr an die Feststoffmatrix. Dies kann nach Babkin [3], der seine Untersuchungen bei ruhenden Gasgemischen in kalten inerten porösen Medien durchführte, durch eine modifizierte Peclét-Zahl (Pe-Zahl) ausgedrückt werden: Pe = s L d p,eff ρ f c pf λ f = Wärmeproduktion W ärmeabf uhr (1.1) Mit d p,eff als effektiver Porendurchmesser und ρ f, c pf und λ f als die Fluid Dichte, Wärmekapazität bzw. Wärmeleitfähigkeit. Nach Babkin ist oberhalb einer kritischen Péclet-Zahl von: Pe 65 eine Flammenausbreitung möglich, wohingegen bei kleineren Werten der Péclet-Zahl thermisches Quenchen auftritt. Dieses Kriterium wurde von Trimis [63] erfolgreich auch auf stationär durchströmte heiße poröse inerte Medien angewendet. Basierend auf diesen Erkenntnissen, wurde der heute verwendete Aufbau eines typischen Porenbrenners entwickelt. Nach der (a) Porenbrenner (b) laminare Flamme Abbildung 1.1: Aufbau des Porenbrenners und laminare Flamme im Vergleich Mischkammer, in der Brennstoff und Luft homogen miteinander vermischt werden, schließt sich eine so genannte Zone A an, die mit einer Pe-Zahl kleiner 65 als Flammensperrenregion fungiert. An diese schließt nahtlos die Zone C an, deren Porengrößen so gewählt werden,

18 4 KAPITEL 1. Einleitung und Ziel der Arbeiten dass sich eine Pe-Zahl größer als 65 ergibt, somit eine Flammenausbreitung möglich ist. Abbildung 1.1 zeigt im Vergleich einen Porenbrenner mit seinem typischen Aufbau und eine laminare (vorgemischte) Flamme. Durch das Einbringen eines Feststoffes in den Brennraum treten beim Porenbrenner im Vergleich zu laminaren Flammen zusätzliche Grundprozesse auf, die in Abbildung 1.2 und 1.3 zusammengefasst wurden. Die in laminaren Flammen auftretenden Grundprozesse können formell in Diffusion, Konvektion und Reaktion zusammengefasst werden. Die Diffusion von Wärme und Spezies kann als zweite Ortsableitung der Temperatur bzw. Spezieskonzentration, die Konvektion als erste Ortsableitung der Temperatur bzw. Spezieskonzentration und die Reaktion als Quellterm betrachtet werden. Die sich bei laminaren Flammen ergebenen Brenngeschwindigkeiten werden von diffusiven Effekten dominiert und sind daher relativ langsam (Methan-Luftflammen mit λ = 1: s L 0.5 m ). Bei der s Abbildung 1.2: Zusammenfassung der Grundprozesse in laminaren Flammen [22] Verbrennung in porösen inerten Medien spielt die Dispersion von Wärme und Spezies, die ähnlich der Diffusion als Dispersionskoeffizient multipliziert mit der zweiten Ortsableitung der Temperatur bzw. Spezieskonzentration ausgedrückt werden kann, eine bedeutende Rolle. Die Dispersionsvorgänge in der porösen Struktur verursachen eine intensive Rückmischung und damit eine Erhöhung der Brenngeschwindigkeit. Zusätzlich wird das anströmende Brennstoff- Luftgemisch durch die hohe Wärmeleitfähigkeit und Wärmestrahlung der porösen Struktur signifikant vorgewärmt, so dass sich eine weitere Erhöhung der Brenngeschwindigkeit ergibt. Dieser charakteristische Effekt der Wärmestrahlung an das anströmende Gemisch und die Umgebung kann durch einen weiteren Quellterm neben der Reaktion berücksichtigt werden. Werden die Wärmetransportphänomene Diffusion/Dispersion, Konvektion und Strahlung zu einer effektiven Wärmeleitfähigkeit zusammengefasst, so ist diese im Vergleich zu freien Flammen um einen Faktor von erhöht [68]. Dies führt zu einer fachen Erhöhung der

19 1.2. Porenbrennertechnik 5 Abbildung 1.3: Zusammenfassung der Grundprozess im Porenbrenner Brenngeschwindigkeit im Vergleich zu laminaren Flammen [63], was den Betrieb bei deutlich erhöhten Gasdurchsätzen im Vergleich zu konventionellen Verbrennungstechniken ermöglicht. Ein Vergleich der Flammenausbreitungsprozesse von laminaren und turbulenten freien Flammen sowie der Verbrennung in porösen Medien kann Abbildung 1.4 entnommen werden. Die Flammenfront im porösen Medium dehnt sich über einen dreidimensionalen Bereich aus, so dass für Methan-Luft-Gemische Leistungsdichten von bis zu 3 MW/m 2 (unter atmosphärischen Bedingungen) realisiert werden können [46]. Ferner bewirkt die gleichmäßige Temperaturverteilung und hohe Strahlung des Porenbrenners, dass sich ein Temperaturniveau einstellt, bei dem einerseits die Bildung von Stickoxidemissionen deutlich verringert sind, wie auch andererseits Kohlenmonoxid vollständig abgebaut wird. Abbildung 1.5 zeigt einen Vergleich zwischen dem Temperaturprofil einer laminaren freien Flamme und eines Porenbrenners bestehend aus Zone A und Zone C. Die Zonen Einteilung in Abbildung 1.5 (Zone A und C) gelten nur für den Porenbrenner. Der Beginn der freien Flamme fällt mit dem Beginn der Zone C zusammen. Die beiden qualitativen Temperaturprofile zeigen, dass bei dem Porenbrenner eine signifikante Vorwärmung des Brennstoff-Luft-Gemisches bereits in der Zone A erfolgt. Der Temperaturanstieg in der Verbrennungszone ist für den Fall der freien Flamme deutlich steiler als im Porenbrenner, da die Flammenfront in porösen inerten Medien verbreitert ist. Ebenso ist die maximale Temperatur im Porenbrenner durch die intensive Wärmeabstrahlung des Festkörpers deutlich niedriger als bei der freien Flamme. Aus dem selben Grund sinkt die Temperatur im Porenbrenner nach der Verbrennungszone stärker ab. Aufgrund des Stabilisierungskonzeptes eignen sich zur Verbrennung im Porenbrenner diverse gasförmige Brennstoffe, wie z.b. Methan, Propan, Erdgas und Wasserstoff. Darüber hinaus können auch flüssige Brennstoffe eingesetzt werden, wenn vor dem Eintritt in den Brenner eine

20 6 KAPITEL 1. Einleitung und Ziel der Arbeiten Abbildung 1.4: Vergleich der Flammenausbreitungsprozesse und der sich dadurch ergebenen Brenngeschwindigkeiten für laminare und turbulente freie Flammen sowie der Verbrennung in porösen Medien Abbildung 1.5: Vergleich der Temperaturprofile einer freien Flamme und eines Porenbrenners

21 1.2. Porenbrennertechnik 7 Verdampferstufe eingebaut wird. So konnte beispielsweise ein Ölbrenner mit vorgeschaltetem Kalt-Flammen-Verdampfer für eine Haushaltsheizung konstruiert und gebaut werden ([39], [64]). Da die wesentlichen Vorteile der Porenbrennertechnologie durch die Feststoffeigenschaften der eingebrachten porösen Matrix bestimmt werden, hat die Werkstoffwahl eine immense Bedeutung. Die meisten technisch relevanten Anwendungen weisen Verbrennungstemperaturen von 1400 C und mehr auf. Aufgrund dieser hohen thermischen Belastungen kommen nur keramische Bauteile für den Einsatz im Porenbrenner in Frage. Da die Aufgaben der zwei verschiedenen porösen Strukturen im Porenbrenner (Zone A und C) sehr unterschiedlich sind, werden auch teilweise unterschiedliche Anforderungen an diese gestellt. Für die Flammensperrenregion (Zone A) wird eine niedrige Wärmeleitfähigkeit verlangt, damit das anströmende Gasgemisch nicht über seine Zündtemperatur hinaus vorgewärmt wird. Zudem ist eine niedrige Mikroporosität vorteilhaft. Im Gegensatz dazu wird für die Verbrennungsregion (Zone C) eine hohe Wärmeleitfähigkeit benötigt. Darüber hinaus wird die Zone C durch die oxidative Atmosphäre der Verbrennungsprozesse stark belastet, so dass nur Materialien mit hoher oxidativer Beständigkeit eingesetzt werden können. Für beide Zonen muss eine hohe Temperaturwechselbeständigkeit vorliegen, um lange Betriebszeiten realisieren zu können. Es wurden bereits verschiedenste Materialien im Porenbrenner getestet [49]. Zurzeit sind die am meisten verwendeten Materialien keramische Schäume aus silizium-infiltriertem Siliziumcarbid (SiSiC) und Aluminiumoxid (Al 2 O 3 ) Mischer-Strukturen (Abbildung 1.6). (a) SiSiC-Schaum (b) Al 2 O 3 -Mischer Abbildung 1.6: Meist verwendete Materialien für den Porenbrenner

22 8 KAPITEL 1. Einleitung und Ziel der Arbeiten 1.3 Optimierungsverfahren und deren Anwendung in der thermischen Verfahrenstechnik Im Rahmen der vorliegenden Arbeit soll das Anwendungspotential und die Durchführungsmöglichkeiten von Mehrziel-Optimierungsalgorithmen als neuartige Auslegungsstrategie für komplexe thermo-fluiddynamische Systeme untersucht werden. Als konkretes Beispiel wurde hierbei die Auslegung eines komplexen Wärmetauschersystems gewählt, welches mittels den Abgasen eines Porenbrenners drei verschiedene Prozessfluide auf unterschiedliche Temperaturniveaus aufheizt. Da der eingesetzte Porenbrenner mit Diesel-Öl betrieben wird, muss eine Verdampferstufe vorgeschaltet werden. In diesem Falle handelt es sich um einen kalte Flammenverdampfer. Das betrachtete Wärmetauschersystem (Heat Cell) stellt eine Hauptkomponente der Reformereinheit dar, die mit einer Schmerzkarbonat (Molten Carbonate) Brennstoffzelle kombiniert wird für den Einsatz auf Schiffen. Dabei beträgt die maximale elektrische Leistung der Brennstoffzelle 500 kw. Mittels eines autothermen Reformers wird aus Diesel, Luft und Wasserdampf ein Wasserstoff- und Kohlenstoffmonoxid reiches Gas erzeugt, was in der Brennstoffzelle in elektrische Energie umgewandelt wird. Aufgabe der Heat Cell ist, die Prozessfluide auf die benötigten Temperaturniveaus aufzuheizen. Der Aufheizprozess unterliegt dabei diversen Limitierungen, die einerseits durch die Heat Cell selbst, benachbarte Komponenten und den globalen Prozess auferlegt werden, zum anderen durch den Einsatzort der Anlage. So sind beispielsweise die Größe und Masse der Heat Cell begrenzt, um die Montage auf einem Schiff zu ermöglichen. Für einen größtmöglichen Gesamtwirkungsgrad der Anlage, wird ferner ein möglichst geringer Druckverlust jeder einzelnen Komponente gefordert sowie eine möglichst geringe notwendige Brennerleistung. Darüber hinaus sind Verbrennungstemperaturen von maximal 1560 C einzuhalten, um eine Materialschädigung der keramischen Strukturen im verwendeten Porenbrenner zu vermeiden. Da Diesel-Öl in bestimmten Temperatur-Bereichen zu Ablagerungsbildung neigt, aber auch eine Mindesttemperatur im anschließenden Entschwefeler notwendig ist, muss ein schmales Temperaturfenster nach dem Diesel-Wärmetauscher eingehalten werden. Abschließend ist die Mischungstemperatur der drei Prozessfluide vor dem autothermen Reformer über 420 C zu halten, um Kondensation im Reformer zu vermeiden, was zu Effizienzverlusten führen würde. Abbildung 1.7 zeigt eine schematische Darstellung der wichtigsten Komponenten der Reformer-Einheit und die auferlegten Limitierungen, die sich auf den Aufheizprozess der Heat Cell auswirken. Da der Einsatzort auf einem Schiff deutliche mechanische (Wellen, Motorvibrationen) und chemische (salzhaltige Luft) Beanspruchungen mit sich bringt, sind kleine und filigrane Konstruktionen wie beispielsweise Pins oder Fins aufgrund ihrer verminderten Robustheit zu vermeiden. Daher werden die Wärmetauscher der Heat Cell ausschließlich aus einfachen Rohrbündeln bestehen. Die Untersuchungen an diesen Wärmetauschern soll sich daher auf die Form der Rohre (elliptisch oder rund) sowie die horizontale und vertikale versetzte Anordnung konzentrieren, um durch eine Beeinflussung der Strömung eine Erhöhung der Wärmeübertragung zu erzielen. Da der Wärmetauscher, der direkt über dem Porenbrenner angeordnet ist, mit einem großen Anteil an Strahlungswärme beaufschlagt wird, soll ferner die geometrische Optimierung des ersten Wärmetauschers in Abhängigkeit der Strahlung und Konvektion untersucht werden.

23 1.3. Optimierungsverfahren 9 Abbildung 1.7: Aufbau und Limitierungen der Heat Cell Neben der Optimierung der Wärmeübertragung im Allgemeinen soll eine möglichst präzise und schnelle Regelung der Anlage gewährleistet werden. Da zusätzlich zu der komplexen dreidimensionalen thermo-fluiddynamischen Betrachtung eine transiente Untersuchung zu aufwändig ist, wurde das in dieser Arbeit untersuchte Beispiel in drei Teilbereiche untergliedert. Einerseits wurde in detaillierten stationären dreidimensionalen Strömungssimulationen die geometrische Optimierung der Rohre und ihre Anordnung durchgeführt. Anschließend wurde ein vereinfachtes Modell der Heat Cell erstellt, mit dem das instationäre Verhalten untersucht und optimiert wurde, um somit eine Regelungsstrategie für die Heat Cell zu erarbeiten. Dabei wurde für den Wärmeübergang und die Anordnung der Rohre auf Ergebnisse der Optimierung aus dem stationären Modell zurückgegriffen. Die aus dem instationären Modell gewonnenen Ergebnisse wurden abschließend mit experimentellen Untersuchungen zum Wärmeübergang in einem verkleinerten Modell der Heat Cell verglichen. Abbildung 1.8 gibt graphisch den Aufbau dieser Arbeit wieder. Die Heat Cell ist mehreren Limitierungen unterworfen, die als Eingangsgrößen die Grundlage der Auslegungen bildet. Die Auslegung wiederum ist dreigeteilt, wobei die Limitierungen stets eine Einflussgröße sind. Zwischen den Auslegungsschritten existieren Verbindungen, die wichtige Übergabegrößen darstellen. Für die Optimierung des stationären Wärmeübergangs, wurden die Berechnungen mit einem dreidimensionalen Finite Volumen Verfahren (ANSYS CFX 11) durchgeführt. Hierbei wurden als Optimierungskriterien ein minimaler Druckverlust bei einem maximalen Wärmeübergang gewählt. Darüber hinaus sollte die Rohrquerschnittsfläche konstant bleiben, um ähnliche

24 10 KAPITEL 1. Einleitung und Ziel der Arbeiten Limitierungen: - Druckverlust - Masse -Tbrenner -Treformer - TDiesel - Wirkungsgrad Standard Auslegung Heat Cell stationäres Modell instationäres Modell Optimierung Stufe 1 Heat Cell Optimierung Stufe 2 Heat Cell Experimentelle Validierung Heat Cell Abbildung 1.8: Strukturierung und Zusammenstellung der Arbeiten Strömungsverhältnisse der einzelnen Rohrgeometrien zu gewährleisten. Eine schematische Darstellung des stationären Modells kann in Abbildung 1.9 betrachtet werden. Bezüglich der instationären Optimierung der Heat Cell wurde ein transientes Differentialgleichungssystem für die drei Wärmetauscher mit Porenbrenner aufgestellt. Dabei wurde jeweils eine Differentialgleichung für die Temperatur auf der heißen, kalten und Wand-Seite berücksichtigt. Als Variablen wurden die Leistung und Luftzahl des Brenners variiert, während das Verhältnis der kalten Massenströme und deren Eintrittstemperaturen als konstant gesetzt wurden. Die Zusammenhänge des transienten Modells sind in Abbildung 1.10 zu sehen. Die Anordnung der Rohre in den Wärmetauschern wurde dabei basierend auf den Optimierungsergebnissen des stationären Modells ausgewählt. Die speziellen Herausforderungen bei den stationären Untersuchungen sind die automatische Erzeugung eines strukturierten Gitters, das in Abhängigkeit der vorgegebenen Variablen automatisch angepasst wird und in allen Fällen die Dicken der Temperatur- und Strömungsgrenzschicht berücksichtigt sowie eine ausreichende Auflösung des gesamten Rechengebietes sicherstellt und die Berücksichtigung und Abbildung der Strahlung durch den Porenbrenner. Für die Berechnungen kamen vier Intel Dempsey-CPU s 1 (3.2 GHz, 2 MB L2 Cache, Dualcore) mit NetBurst Architektur zum Einsatz. Die Berechnung der Rohrbündelgeometrien wurde auf einen repräsentativen Ausschnitt begrenzt, um die Berechnungszeit pro Design auf maximal 1 Xeon 5060 aus der DualCore Xeon DP -Reihe

25 1.3. Optimierungsverfahren 11 Abbildung 1.9: Schematische Darstellung des stationären Modells Abbildung 1.10: Schematische Darstellung des instationären Modells

26 12 KAPITEL 1. Einleitung und Ziel der Arbeiten zwei Stunden zu begrenzen. Eine spezielle Herausforderung der instationären Untersuchungen war die Formulierung eines transienten Wärmeübertragungsmodells mit Hilfe der zuvor durchgeführten dreidimensionalen Simulationen. Zusätzlich wurde die Strahlung durch den Porenbrenner aus empirischen Daten und theoretischen Überlegungen in Abhänigkeit der Luftzahl und Flächenlast eingebunden. Ferner stellt die gleichzeitige Aufheizung von drei verschiedenen Fluiden auf unterschiedliche Temperaturniveaus eine ganz besondere Herausforderung dar, insbesondere, da eine effiziente Regelbarkeit der Heat Cell gefordert ist. Durch die serielle Anordnung der Wärmetauscher besteht eine starke Abhängigkeit zwischen diesen, so dass bei Lastwecheseln zu niedrigeren Leistungen der erste Wärmetauscher droht, zu heiß zu werden, da der Wärmeübergangskoeffizient nicht direkt proportional zur Leistung abnimmt, und somit eventuell zu wenig Wärme für die beiden letzten Wärmetauscher zur Verfügung steht. Zudem ist eine separate Regelung der einzelnen Wärmetauscher nicht möglich, was eine genaue Untersuchung des zeitlichen Verhaltens notwendig macht. Die Anforderungen an das Wärmetauschersystem sind vielfältig. Lastwechsel, oder auch das Anfahren der Anlage soll in möglichst kurzer Zeit von statten gehen. Ferner, um den Gesamtwirkungsgrad der Anlage zu erhöhen, darf die Leistungsaufnahme des Systems nicht zu hoch sein, wobei hier ein Kompromiss zu der benötigten Wärmetauscheroberfläche gefunden werden muss, da auch die Gesamtmasse der Anlage eine wichtige Rolle spielt. Diese Kriterien wurden in ein Mehrzieloptimierungsproblem zusammengefasst und mit einem genetischen Algorithmus die dazugehörige Pareto-Front bestimmt. Die für die Anwendung optimale Kombination aus Leistung, Luftzahl und Wärmetauscheroberflächen wurde anschließend genau bezüglich des zeitlichen Verhaltens analysiert. Diese Ergebnisse können für die Entwicklung einer geeigneten Regelstrategie genutzt werden. Abschließend wurde ein verkleinertes Modell der Heat Cell ausgelegt und konstruiert. Ausführliche experimentelle Untersuchungen bezüglich der Systemcharakteristik und zeitlichen Verhaltens wurden zum Abschluss dieser Arbeit mit den Ergebnissen des instationären Modells verglichen. 1.4 Struktur der Arbeit Kapitel 2 beschreibt eine Einführung in die mathematischen Grundlagen der Pareto-Optimierung. Dabei wird der Unterschied zwischen Einziel- und Mehrzieloptimierungsproblemen erläutert. Insbesondere wird hierbei auf den Begriff der Dominanz eingegangen. Anschließend werden klassische und evolutionäre Optimierungsverfahren diskutiert, und speziell die Grundlagen, Definitionen und Vorgehensweisen von genetischen Algorithmen erklärt. Abschließend wird das Programm modefrontier und seine Anwendung in dieser Arbeit behandelt. Kapitel 3 befasst sich zunächst mit der Optimierung eines reduzierten und abstrakten Wärmetauschermodells, das verwendet wird, um den besten genetischen Algorithmus von vier vorher ausgesuchten und die notwendigen Parameter-Einstellungen zu identifizieren. Anschließend werden diese Erkenntnisse bei der automatischen Optimierung eines komplexen dreidimensionalen Wärmetauschermodells verwendet, wobei speziell der Einfluss der Strahlung

27 1.4. Struktur der Arbeit 13 untersucht wird. In Kapitel 4 wird zunächst ein transientes Modell des komplexen Wärmetauschersystems mit beheizendem Porenbrenner vorgestellt, wobei die Strahlung des Brenners mitberücksichtigt wird. Verschiedene Faktoren wie Brennerleistung, Luftzahl und Last wurden mittels automatischer Optimierung untersucht, um eine optimale Lösung zwischen dem zeitlichen Verhalten, der Gesamtmasse und dem Wirkungsgrad zu erzielen. Kapitel 5 beinhaltet experimentelle Untersuchungen eines verkleinerten Wärmetauschersystems. Zunächst werden die Ähnlichkeitsbetrachtungen für die Auslegung des Versuchsstandes erläutert, um anschließend das experimentell ermittelte zeitliche Verhalten vorzustellen. Abschließend werden diese Ergebnisse mit denen des transienten Modells verglichen.

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29 Kapitel 2 Grundlagen der Pareto-Optimierung 2.1 Einführung in die Pareto-Optimierung Unter Optimierung wird das Auffinden von einer oder mehreren möglichen Lösungen verstanden, die Extremwerte von ein oder mehreren Zielen darstellen. In diesem Kapitel werden Mehrzieloptimierungsprobleme (Vektoroptimierungsprobleme) vorgestellt und verschiedene Methoden zu deren Lösung erklärt. Dabei wird insbesondere auf den Unterschied zu Optimierungsproblemen mit nur einer Zielfunktion (skalare Optimierungsprobleme) eingegangen. Darüber hinaus werden genetische Algorithmen und ihre Funktionsweise als Methode zur Lösung von Vektoroptimierungsproblemen dargestellt. Zum Schluss soll auf das Programm modefron- TIER und seine Anwendung sowie auf die in dieser Arbeit eingesetzten genetischen Algorithmen eingegangen werden Optimierungsprobleme mit mehreren Zielfunktionen Die meisten praktisch-relevanten Optimierungsprobleme bestehen aus mehreren widersprüchlichen Zielfunktionen. Da in der Vergangenheit keine Lösungsmechanismen für Optimierungsprobleme mit mehreren Zielfunktionen zur Verfügung standen, wurden diese meist umformuliert und als Optimierungsprobleme mit einer Zielfunktion gelöst [19]. Es bestehen jedoch fundamentale Unterschiede zwischen Optimierungsproblemen mit einer oder mehreren Zielfunktionen. Im Falle von nur einer Zielfunktion, wird bei der Lösung des Optimierungsproblems nur ein Extremwert bestimmt, wobei sich im Falle von mehreren, widersprüchlichen Zielfunktionen eine Menge an Kompromiss-Lösungen ergibt (Pareto-Menge). Für eine gegebene Menge an Lösungen kann mit dem Prinzip der Dominanz nach Vilfredo Pareto [48] eine Teil-Ordnung bestimmt werden (Notation nach [70]): a b, wenn i 1, 2,...,m : f i (a) f i (b) j 1, 2,...,m : f j (a) < f j (b) (2.1) Eine Lösung ist besser als bzw. dominiert eine andere Lösung wenn sie besser oder gleich ist bezüglich aller Zielfunktionen, jedoch besser bezüglich mindestens einer Zielfunktion. Anhand dieses Prinzips kann die Menge an Kompromiss-Lösungen bzw. Pareto-Lösungen erhalten werden, indem all diejenigen Lösungen entfernt werden, die von mindestens einer anderen Lösung 15

30 16 KAPITEL 2. Grundlagen der Pareto-Optimierung dominiert werden. Die übrigen Lösungen sind indifferent, d.h. zwei beliebige Lösungen sind immer besser oder schlechter in mindestens einem Ziel. Die Menge an indifferenten Lösungen wird auch als Pareto-Menge bezeichnet. Ausgehend von einer Pareto-Lösung kann eine Verbesserung einer Zielfunktion nur auf Kosten von mindestens einer anderen Zielfunktion erhalten werden. Zusätzliche Präferenz-Informationen des Designers sind notwendig, um eine weitere Auswahl zu treffen. Das allgemeine Optimierungsproblem mit mehreren Zielfunktionen (engl.: multi-objective optimisation problem (MOOP)) wird wie folgt formuliert [19]: Min/Max f m (x), in Abhängigkeit von, g j (x) 0, h k (x) = 0, x (L) i m = 1, 2,...,M; j = 1, 2,...,J; k = 1, 2,...,K; x i x (U) i, i = 1, 2,...,n. (2.2) Die Lösung x ist ein Vektor mit n Entscheidungsvariablen: x = (x 1, x 2,...,x n ) T. Diese Entscheidungsvariablen sind die freien Parameter, die der Designer variieren kann (auch Designvariablen). Dabei können diese Variablen kontinuierlich (z.b. Koordinaten, Prozessvariablen) oder diskret (z.b. Anzahl an Komponenten) sein. Die letzte Menge von Nebenbedingungen aus Gleichung (2.2) wird als Variablen Grenzen bezeichnet. Diese beschränken jede Entscheidungsvariable auf einen Wert innerhalb der unteren x (L) i und oberen x (U) i Grenze. Diese Grenzen definieren den Entscheidungsvariablen Raum D. Das allgemeine Optimierungsproblem beinhaltet J Ungleichungs- und K Gleichungsnebenbedingungen. Nebenbedingungen sind diejenigen Größen, die dem Projekt auferlegt sind, d.h. Beschränkungen und Grenzen, die der Designer einhalten muss aufgrund von Normen, Funktionsweisen etc. Die Terme g j (x) und h k (x) werden als Nebenbedingungsfunktionen bezeichnet. Eine Lösung, die weder die (J + K) Nebenbedingungen noch die 2N Variablengrenzen erfüllt, heißt auch nicht machbare Lösung (engl. infeasible solution). Darüber hinaus werden M Zielfunktionen in der obigen Formulierung betrachtet, die entweder maximiert oder minimiert werden sollen. Ist M > 1, so handelt es sich um ein Optimierungsproblem mit mehreren Zielfunktionen (Pareto-Optimierungsproblem). Eines der fundamentalen Unterschiede zwischen einem Optimierungsproblem mit einer oder mehreren Zielfunktionen ist der, dass im Falle von mehreren Zielfunktionen, diese einen mehrdimensionalen Raum zusätzlich zum Entscheidungsvariablen Raum (X) bilden. Dieser zusätzliche Raum wird als Zielfunktionen-Raum (Z) bezeichnet. Abhängig von der Form von f m (x), x, g j (x), h k (x) können verschiedene Optimierungsprobleme unterschieden werden Grundsätze und Ziele von Vektoroptimierungsproblemen Wie bereits beschrieben besteht die Lösungsmenge bei Mehrzieloptimierungsproblemen aus zwei nicht-überlappenden Bereichen, dem optimalen Bereich, bestehend aus den indifferenten Lösungen, und dem nicht-optimalen Bereich, bestehend aus den dominierten Lösungen. Es ist ohne weitere Informationen nicht möglich, eine Lösung einer Pareto-optimalen Menge zu bevorzugen. Im Unterschied zu Optimierungsproblemen mit nur einer Zielfunktion ergeben sich zwei Ziele für die Lösung von Mehrzieloptimierungsproblemen. Zum einen wird für einen

31 2.2. Optimierungsverfahren 17 idealen Lösungsalgorithmus gefordert, dass die gefundenen Lösungen möglichst nahe an die Pareto-optimale Front heran reichen (Konvergenz), und zum anderen, dass die Lösungsmenge so verschieden wie möglich sein soll, um einen möglichst großen Bereich der Pareto-optimalen Front abzubilden (Diversität). Ein Optimierungsproblem mit nur einer Zielfunktion hingegen hat nur ein Ziel, das Auffinden des einzigen (globalen) Optimums. Es sei darauf hingewiesen, dass nur zu einem Optimierungsproblem mit widersprüchlichen Zielfunktionen mehrere Pareto-optimale Lösungen existieren. Sobald die Zielfunktionen nicht widersprüchlich sind, entspricht die Mächtigkeit der Pareto-optimalen Menge gleich eins. 2.2 Optimierungsverfahren Prinzipiell gibt es nach [5] drei Lösungsansätze für Mehrzieloptimierungsprobleme, die sich in der Art des Entscheidungsprozesses von einander unterscheiden. Dabei wird die endgültige Lösungsmenge durch die Präferenzen des Designers entweder vor, während oder nach dem Optimierungsprozess durchgeführt. Bei der so genannten a priori Präferenzmethode wird die Pareto-Menge dadurch bestimmt, dass die Zielfunktionen in eine einzige, parametrisierte Zielfunktion gebracht werden, so dass ein Mehrzieloptimierungsproblem in ein skalares überführt wird. Daneben spricht man von der progressiven Präferenzmethode, wenn die Entscheidung und Optimierung miteinander verknüpft sind. Eine Teil-Präferenz wird verwendet, um anschließend die Optimierung durchzuführen. Diese Methode lieferte dem Designer eine upgedatete Lösungsmenge [67]. Auf der anderen Seite ergeben a posteriori Präferenzmethoden eine Menge an Pareto-optimalen Lösungen, von denen der Entwickler eine wählen kann. Im Folgenden werden die so genannten klassischen Lösungsverfahren, die a priori Präferenzmethoden verwenden und evolutionäre Algorithmen, die Vertreter der a posteriori Präferenzmethoden sind, näher erklärt. Auf Lösungsverfahren mit progressiver Präferenzmethode jedoch soll nicht weiter eingegangen werden Klassische Lösungsverfahren Aufgrund von fehlenden Möglichkeiten in der Vergangenheit, Optimierungsprobleme mit mehreren Zielfunktionen zu behandeln, wurden Methoden entwickelt, um diese in Optimierungsprobleme mit nur einer Zielfunktion umzuwandeln. Eine dieser Methoden stellt die so genannte Gewichtungsmethode dar, bei der die verschiedenen Zielfunktionen mit Gewichtungen versehen werden, um anschließend als Summe zu einer Zielfunktion zusammengefasst zu werden: Maximiere y = f(x) = w 1 f 1 (x) + + w m f m (x) in Abhängigkeit von x X f mit wi = 1 (2.3) Die Auswertung dieses abgewandelten Optimierungsproblems ergibt eine einzige Lösung. Um verschiedene Pareto-optimale Lösungen zu erhalten, ist es notwendig, verschiedene Gewichtungen zu definieren und die Optimierung erneut durchzuführen, wobei die verschiedenen