Gravitationswellen Eine Einführung aus Anlaß des 100. Jubiläums der Allgemeinen Relativitätstheorie. Karl-Heinz Lotze, Jena

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1 Gravitationswellen Eine Einführung aus Anlaß des 100. Jubiläums der Allgemeinen Relativitätstheorie Karl-Heinz Lotze, Jena

2 Teil I Elektrostatik und Gravitostatik

3 Elektrostatik und Gravitostatik ein Vergleich Wie schwer ist es, einen Körper zu beschleunigen (alle Kräfte)? m I a = F, m I : träge Masse Elektrostatik Wie stark koppelt ein elektrisch geladener Körper an ein elektrisches Feld (Feldstärke E)? Erfahrung: F E = qe, a = q m I E, q: elektrische Ladung q m I : spezifische elektrische Ladung q m I 0

4 Elektrostatik und Gravitostatik ein Vergleich Wie schwer ist es, einen Körper zu beschleunigen (alle Kräfte)? m I a = F, m I : träge Masse Gravitostatik Wie stark koppelt ein gravitativ geladener Körper an ein Schwerefeld (Feldstärke g)? Kurz: Wie schwer ist der Körper? F G = m G g, a = m G m I g, m G : (passive) Gravitationsladung, schwere Masse m G m I : spezifische Gravitationsladung Erfahrung: Universalität der Gravitation m G(1) m I(1) = m G(2) m I(2) =... = const, (const = 1)

5 Universalität der Gravitation Quelle: National Geographic

6 Universalität der Gravitation

7 Gedankenexperiment: Einsteins Fahrstuhl Lokales Gedankenexperiment: Innerhalb der Fahrstuhlkabine ist die Änderung des Schwerefeldes unbeobachtbar klein ( g = g k, g = const). Galileisches Fallgesetz für den Apfel: F = m G(1) g Beschleunigung der Kabine: z 0 = m G(2) m I(2) g m I(1) z = F m I(1) z 0 ( z = m G(1) + m ) G(2) g m I(1) m I(2) z (t) = z(t) z 0 (t) z = 0 für m G = m I

8 Schwerelosigkeit Die Relativität des freien Falls z = 0 für m G = m I Keine Relativbeschleunigung zwischen Apfel und Kabine, Schwerelosigkeit Bewegung des Apfels relativ zur Kabine (je nach Anfangsbedingungen): Ruhe geradlinig-gleichförmige Bewegung Vergleich mit dem Trägheitsgesetz: Der Innenraum der Kabine ist ein Inertialsystem.

9 Das Äquivalenzprinzip In einem kleinen Labor, das in einem Schwerefeld frei fällt, sind die Gesetze der Physik dieselben wie jene, die in Abwesenheit eines Schwerefeldes in einem Newtonschen Inertialsystem gelten.

10 Das Äquivalenzprinzip andere Formulierungen Kein lokales Experiment kann zwischen freiem Fall im Schwerefeld und geradlinig-gleichförmiger Bewegung (Ruhe) in Abwesenheit eines Schwerefeldes unterscheiden.

11 Das Äquivalenzprinzip andere Formulierungen Ein gleichmäßig gegenüber einem Inertialsystem (Fixsternhimmel) beschleunigtes Bezugssystem ist lokal identisch mit einem Bezugssystem, das in einem Schwerefeld ruht.

12 Nichtlokale Gedankenexperimente Nichtlokales Gedankenexperiment: Innerhalb der Fahrstuhlkabine ist die Änderung des Schwerefeldes beobachtbar. Newtonsches Fallgesetz: F = GMm r r 2 r Beschleunigung des Kreismittelpunktes: r 0 = GM k z0 2 Relativbeschleunigung des Apfels in bezug auf den Kreismittelpunkt: m r = F m r 0

13 Nichtlokale Gedankenexperimente für r z 0 : Fazit: m r = F m r 0 r GM z 3 0 (x i 2z k ) Schwerelosigkeit ( r = 0) existiert nur in einem Punkt, dem Kreismittelpunkt bei x = 0 = z.

14 Die Gezeiten r GM z 3 0 (x i 2z k ) longitudinale (vertikale) Gezeitenwirkung z GM { z0 2 2 z < 0 für z } < 0 z 0 > 0 für z zwei (!) Gezeitenberge > 0 transversale (horizontale) Gezeitenwirkung ẍ GM z 2 0 x { > 0 für x < 0 z 0 < 0 für x > 0

15 Nichtlokale Gedankenexperimente aber Inhomogenes Schwerefeld im Innern des Labors homogenes Beschleunigungsfeld im Innern des Raumschiffs.

16 Nichtlokale Gedankenexperimente aber Inhomogenes Schwerefeld im Innern des Labors homogenes Beschleunigungsfeld im Innern des Raumschiffs. Fazit: Die Anwesenheit eines Schwerefeldes ist durch seine Änderung feststellbar. Das Äquivalenzprinzip gilt für lokale Experimente.

17 Teil II Elektromagnetische Strahlung und Gravitationsstrahlung

18 Elektrodynamik und Gravitodynamik Wellen 1864: J.C. Maxwell sagt elektromagnetische Wellen voraus. 1888: H. Hertz weist elektromagnetische Wellen im Labor nach. 1916: A. Einstein sagt Gravitationswellen voraus. 1974: R. Hulse & J. Taylor entdecken den Doppelpulsar PSR : R. Hulse & J. Taylor interpretieren die Periodenänderung des Doppelpulsars als indirekten Nachweis von Gravitationswellen. 2015: 100. Jubiläum der Allgemeinen Relativitätstheorie. Direkter Nachweis von Gravitationswellen am , bekanntgegeben am

19 Fragen Warum sind Gravitationswellen so schwach? In welcher Beziehung steht diese Schwäche zu dem grundlegenden Unterschied zwischen Elektromagnetismus und Gravitation? Warum Gravitationswellen-Astronomie?

20 Elektromagnetische Wellen Der Feldlinien-Knick

21 Elektrische Dipole erzeugen elektromagnetische Wellen Beschleunigte Bewegung infolge der elastischen Kraft (elektrische oder gravitative Anziehung wird vernachlässigt). x 1 = l 0 2 m 2 m 1 A sin ωt x 2 = l A sin ωt Eigenfrequenz: k: Federkonstante l 0 : Länge der entspannten Feder µ: reduzierte (träge) Masse ω = k µ mit µ m 1m 2 m 1 + m 2

22 Elektrische Dipole erzeugen elektromagnetische Wellen Reduzierte Masse: Spezialfälle: µ m 1m 2 m 1 + m 2 m 1 = m 2 m : µ = m 2, ω = 2 k m k m 1 m 2 : µ m 2, ω = m 2 Anfangsbedingungen: x 1 (0) = l 0 2, ẋ 1(0) = 0 x 2 (0) = l 0 2, ẋ 2(0) = v 0 Amplitude: A = µ m 2 v 0 ω

23 Das elektrische Dipolmoment d = q 1 x 1 + q 2 x 2 = l 0 2 (q 2 q 1 ) + Der erste Term d 1 : zeitunabhängig invariant, falls q 1 + q 2 = 0 (z.b. für q 2 = q, q 1 = q: d 1 = l 0 q) Der zweite Term d 2 : zeitabhängig ( q2 q ) 1 m m I(2) m I(2) A sin ωt I(1) verschwindet, falls spezifische elektrische Ladungen gleich sind

24 Das elektrische Dipolmoment Der zweite Term d 2 Spezialfälle: für q 2 = q, q 1 = q ist d 2 = q v 0 ω sin ωt q 1 = 0, m 1 m 2 d 2 = q 2 v 0 ω sin ωt Eine einzelne elektrische Ladung in harmonischer Bewegung hat ein Dipolmoment.

25 Dipolstrahlung Eine Dimensionsanalyse Wheeler s Prinzip: Never start a calculation before you know the answer! Systemparameter: q, A, ω Naturkonstanten: ε 0, c q 2 = q, q 1 = q Ohne Herleitung: Die Dipolformel für die abgestrahlte Leistung E t = 1 2 d 2 4πε 0 3c 3 t

26 Dipolstrahlung Eine Dimensionsanalyse Dimensionsanalyse für die abgestrahlte Leistung (Leuchtkraft): Ansatz: E t (qa)α ω β c γ ε δ 0 Vergleich der Exponenten: VA = V δ A α+δ m α+γ δ s α β γ+δ Lösung: α = 2, β = 4, γ = 3, δ = 1 E t ω 4 (qa)2 ε 0 c 3 Fehlender Faktor: 1 12π

27 Beispiel: Das Rutherford-Atom Überlagerung von zwei Dipolen, die in zwei orthogonalen Richtungen schwingen. q = e, A r Larmor-Formel: x = r cos ωt y = r sin ωt E t = ω 4 (er)2 6πε 0 c 3 Rückwirkung: Lebensdauer des Atoms τ = E 10 E 10 s t Bohrsches Atommodell, Quantenmechanik...

28 Massendipole erzeugen keine Gravitationswellen Gravitatives Dipolmoment: d = l 0 2 ( ) mg(2) (m G(2) m G(1) + m ) G(1) m m I(2) m I(2) A sin ωt I(1) Der erste Term d 1 : zeitunabhängig m G(1) + m G(2) > 0 Es ist immer möglich, das Schwerpunkt- System zu wählen.

29 Massendipole erzeugen keine Gravitationswellen Der zweite Term d 2 : Fazit: Universalität der Gravitation m G(2) m I(2) m G(1) m I(1) = 0 Keine gravitativ ungeladenen Körper; je träger ein Körper ist, desto schwerer ist er. Kein zeitabhängiges Massen-Dipolmoment. Keine gravitative Dipol-Strahlung!

30 Die Matrix der Quadrupolmomente Das Quadrupolmoment einer diskreten Massenverteilung: N Q ij = m (k) x i(k) x j(k) k=1 Das reduzierte Quadrupolmoment (spurfrei) Q ij = Q ij 1 3 δ ijq, mit Q tr (Q ij )

31 Beispiel: Der harmonische Oszillator Q 11 = m ( A 2 + l2 0 2 ) + 2ml 0 A sin ωt ma 2 cos 2ωt, Q = Q 11 Der erste Term: zeitunabhängig Der zweite Term: dominant für A l 0 m 1 = m 2 = m, A l 0 ( ) Q ij = 2 3 ml 0A sin ωt diag(2, 1, 1)

32 Quadrupol-Strahlung Eine Dimensionsanalyse Systemparameter: m, l 0, A, ω Naturkonstanten: G, c m 1 = m 2 = m, A l 0 Ohne Herleitung: Die Quadrupol-Formel für die abgestrahlte Leistung E Q ij Q ij t = 1 t 5 c 5, (Summenkonvention) G

33 Quadrupol-Strahlung Eine Dimensionsanalyse Dimensionsanalyse für die abgestrahlte Leistung: Nur Systemparameter Ansatz: Vergleich der Exponenten: ( ) E t sys (ml 0A) α ω β Lösung: kg m 2 s 3 = kg α m 2α s β α = 1, β = 3 ( E t ) sys ml 0Aω 3

34 Quadrupol-Strahlung Eine Dimensionsanalyse Nur Naturkonstanten Ansatz: ( ) E t ref cα G β Vergleich der Exponenten: Lösung: kg m 2 s 3 = kg β m α+3β s α 2β α = 5, β = 1 ( E t )ref c5 G, Referenz-Leistung

35 Die Einstein-Leuchtkraft Die Einstein-Leuchtkraft: ( ) E = c5 t Einstein G = 3,6 J 1052 s Die einfachste Lösung: ( E ) 2 E t = ( E t t ) sys Einstein (ml 0A) 2 ω 6 c 5 G Fehlender Faktor: 4 15

36 Beispiel: Die rotierende Hantel Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen x 1 = x 2 = l 0 2 y 1 = y 2 = l 0 2 Fehlender Faktor: 8 m 1 = m 2 = m, masselose Stange 5 Beispiel: m = 1 kg, l 0 = 1 m, T = 1 s E t = 2, J s cos ωt sin ωt ( ) E ml 2 2 t 0 ω 6 c 5 G

37 Von der rotierenden Hantel zu den Doppelsternen Halte Ausschau nach kompakten Objekten & relativistischen Geschwindigkeiten! Wir stellen die abgestrahlte Leistung als Bruchteil der Einstein-Leuchtkraft dar. Wir führen ein: die Bahngeschwindigkeit v = l 0 2 ω den Schwarzschild-Radius R S = 2 Gm c 2 ( ) E 2 ( ) t = 128 RS v 6 c5 5 l 0 c G

38 Die Kompaktheit Wie kann man die Masse m eines Körpers in Längeneinheiten ausdrücken? Schwarzschild-Radius: R S = 2 Gm c 2 Beispiele: Erde: R Erde = 0,89 cm Sonne: R Sonne = 2,96 km Kompaktheit: C R S R mit R als typischer Größe des Systems Beispiele: Erde Sonne Weiße Zwerge Neutr.-St. Schw. Löcher 1, , ,3 1

39 Doppelsterne Anstelle der masselosen Stange der Hantel: Newtonsche Gravitation und das 3. Keplersche Gesetz T 2 (2r) 3 = 4π2 (2m)G. m 1 = m 2 = m CM: Schwerpunkt Kreisbahn, Umlaufzeit T Abgestrahlte Leistung: E t = 2 5 Halte Ausschau nach engen Binärsystemen aus Neutronensternen und/oder Schwarzen Löchern. ( ) 5 RS c5 2r G

40 Doppelsterne Beispiele 1 Der Doppel-Pulsar PSR (Hulse, Taylor) m 1 m 2 1,4 M Sun, T = 7,75 h r 1,3 R Sun = km (aber stark exzentrische Bahn) E t J s 2 Ohne Herleitung: für m 1 m 2 gilt E t = 32 5 m1 2m2 2 (m 1 + m 2 ) G 4 r 5 c 5 Sirius A, B Sonne Merkur E t 108 J s E t 75 J s

41 PSR : Die Periodenänderung Lebensdauer des Doppelsterns: E E t = 5 32π τ = T ( RS 2r ) 5/2 Beispiel: Der Doppelpulsar PSR τ = 1, yr

42 LIGO Hanford (Washington) Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory Hanford (Washington)

43 LIGO Livingston (Louisiana) Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory Livingston (Louisiana)

44 Das Gravitationswellen-Ereignis GW Datum: Uhrzeit: 9 h 50 m 45 s (Coordinated Universal Time) Frequenzanstieg von 35 Hz auf 250 Hz Relative Amplitude: h = Länge der Interferometerarme: L = 4 km differentielle Änderung: L = h L = m

45 Das Gravitationswellen-Ereignis GW Oben: Amplitudenverlauf. Den Livingston- Daten sind von Hanford mit einer Zeitverschiebung von 6,9 ms überlagert. Unten: Überlagerung der Messungen mit den Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

46 Verschmelzung Schwarzer Löcher die neue Astronomie Die Massen des Binärsystems: M 1 = 29M, M 2 = 36M Rotverschiebung: z = 0,09 entsprechend Leuchtkraft-Entfernung: D L = 410 Mpc Die Masse des bei der Verschmelzung entstandenen Schwarzen Loches: M = 62M Abstrahlung durch Gravitationswellen: (M 1 + M 2 ) M = 3M Maximale Gravitationswellen-Leuchtkraft: L GW = 3, W, entsprechend der Ruhenergie von 200M pro Sekunde.