Modellieren in der Angewandten Geologie

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1 Modellieren in der Angewandten Geologie Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU, Sommersemester

2 Mehrphasenfliessen Im allgemeinen Fall einer Mehrphasenströmung erfüllen mehr als eine bewegliche Fluidphasen den Hohlraum des porösen Mediums. Es sind somit mindestens drei Phasen zu berücksichtigen. - Festphase (poröses Medium) - benetzende Fluidphase - nicht-benetzende Fluidphase oder Gasphase Fluidphase (Wasser) Festphase (Boden) Gasphase (Luft) Helmig (1997) CAU, Sommersemester

3 Wdh: : Allgemeine Bilanzgleichung Allgemeine Bilanzgleichungen Wiederholung: Die Bilanzgleichung für eine extensive Ψ Größe: Ω: Bilanz- Volumen Ω S: Oberfläche des Bilanzvolumens Ω n: Normalenvektor auf der Oberfläche S S Ω Rate der Akkumulation von Ψ in Ω Netto- Zufluss = von Ψ in Ω + durch S Netto Produktionsrate von Ψ in Ω (a) (b) CAU, Sommersemester (c)

4 Wdh: : Allgemeine Bilanzgleichung In integraler Form: In differentieller Form: CAU, Sommersemester

5 Wdh: : Bilanzgleichung für die ungesättigte Zone Massenbilanzgleichung einer Phase: Zur Ableitung der Massenbilanzgleichung einer Phase setzt man: Ψ ist die Masse der Phase im Bilanzvolumen Ω ψ = ρ S ist die Massendichte (Erhaltungsgröße) im Mehrphasenkontext. Für die Einphasenströmung gilt ψ = ρ (siehe letztes Semester), im Mehrphasenfall muss noch berücksichtigt werden, dass nur ein Teil des Porenraums für die Fluidphase Wasser zur Verfügung steht. Dies geschieht über die Sättigung S der Fluidphase Wasser. Dichte und Sättigung beziehen sich im Folgenden immer auf die Fluidphase Wasser (Index l wird weggelassen). Nach Übergang Mikro- zu Makroskala (dabei kommt die Porosität herein) ergibt sich: CAU, Sommersemester

6 Mehrphasen - Bilanzgleichung Massenbilanzgleichung einer Phase: Zur Ableitung der Massenbilanzgleichung mehrerer beweglicher Fluid-Phasen müssen alle anwesenden Phasen berücksichtigt werden und die Fluidparameter müssen auf die entsprechende Phase bezogen werden (Index α): Die vollständige Zeitableitung zeigt drei Terme: Speicherung durch das Fluid (Fluid-Kompressibilität), Speicherung durch die Festphase (Kompressibilität der Festphase) und Speicherung durch Änderung der Sättigung einer Phase (nur bei Mehrphasenströmung): CAU, Sommersemester

7 Verallgemeinerte Darcy-Gleichung Der Fluss-Term in der Massenbilanzgleichung kann durch die Darcy- Gleichung in der Mehrphasenformulierung ausgedrückt werden, die für jede Phase gilt. Die Darcy Geschwindigkeit einer Phase ist gegeben als: Definition: Mobilität oder Beweglichkeit (englisch: Mobility) ist das Verhältnis von Phasen-Permeabilität zu Phasen-Viskosität: Relative Mobilität: CAU, Sommersemester

8 Allgemeine Form der Mehrphasenbilanzgleichung Durch Einsetzen der Darcy-Geschwindigkeit in die allgemeine Bilanzgleichung erhält man die allgemeine Bilanzgleichung einer Phase im porösen Medium (je Phase eine Gleichung): Zusätzlich gilt: und Dies stellt ein System von gekoppelten Differentialgleichungen dar, die Strömung von zwei oder mehr nichtmischbaren Fluiden in einem porösen Medium beschreiben. Das System ist stark nichtlinear aufgrund der Funktionen für S α (p cαβ ) und k r (S α ). CAU, Sommersemester

9 Mathematische Formulierungen Aufgrund dieser Problemstellung sind drei unterschiedliche mathematische Formulierungen des Mehrphasenproblems entwickelt worden, die jeweils für bestimmte Typen von Problemen und Parameter-Funktionen geeignet sind. Druck-Formulierung: Die Phasendrücke sind die Primärvariablen (Unbekannten) Druck-Sättigungs-Formulierung: Berechnet wird der Druck der benetzenden Phase und die Sättigungen aller anderen Phasen Sättigungs-Formulierung: Berechnet werden die Sättigungen aller Phasen Diese drei Formulierungen werden nun am Beispiel eines Zwei-Phasen- Systems in einem nicht-deformierbaren porösen Medium (Porosität = konstant) dargestellt. Die benetzende Phase ist dabei z.b. Wasser, die nicht benetzende Phase ein NAPL, Öl oder Gas (Luft). CAU, Sommersemester

10 Druck-Formulierung Die Massenbilanzgleichungen für ein Zwei-Phasensystem mit konstanter Porosität lauten: Für die benetzende Phase (Index w = wetting): Für die nicht-benetzende Phase (Index n = non-wetting): Unter der Voraussetzung, dass die Kapillardruck- Sättigungsbeziehung streng monoton ist ( ) existiert eine Umkehrfunktion: CAU, Sommersemester

11 Druck-Formulierung Damit werden die Massenbilanzgleichungen: Für die benetzende Phase: Für die nicht-benetzende Phase: Hier sind die beiden Gleichungen stark gekoppelt über die Funktionen g α und k rα, das System ist parabolisch. Diese Formulierung hat kann nicht angewendet werden, falls S(p cnw ) nicht streng monoton ist (dp c /ds w = 0). In geklüfteten Medien, bei starken Heterogenitäten und bei NAPL- Infiltrationsprozessen ist dies oft der Fall. Daher wird diese Formulierung nur selten verwendet. CAU, Sommersemester

12 Druck-Sättigungs Sättigungs-Formulierung Im Fall der Druck-Sättigungs-Formulierung wird der Druck für die benetzende Phase (im Verhältnis zur Festphase) berechnet, für alle anderen Phasen wird die Sättigung berechnet. Im Falle von zwei Phasen bedeutet das, den Druck der benetzenden Phase und die Sättigung der nicht- benetzenden Phase zu berechnen. Aus p cnw = p n -p w : Aus S w + S n = 1 : Für die benetzende Phase ergibt sich so eine Druckgleichung: Für die nicht-benetzende Phase eine Sättigungsgleichung: CAU, Sommersemester

13 Druck-Sättigungs Sättigungs-Formulierung Die Druck-Sättigungs-Formulierung ist ebenso eine stark gekoppeltes nicht-lineares System von Differentialgleichungen. Diese Formulierung hat den Vorteil, dass sie auch für dp c /ds w = 0 funktioniert, da die Kapillareffekte direkt in die Gleichungen eingebaut sind. Ebenso funktioniert diese Formulierung für heterogene Fälle und Phasen- Infiltrationen. In Ergänzung zu der hier gezeigten p w -S n Formulierung sind je nach genauer Problemstellung und Parametergegebenheiten auch andere Formulierungen möglich: p n -S w, p w -S w, p n -S n Im Fall zweier nicht-kompressibler Fluide können dann die Druck- und die Sättigungsgleichung komplett entkoppelt werden. Diese Näherung wird oft für Erdöl-Wasser-Systeme gemacht CAU, Sommersemester

14 Sättigungs-Formulierung Im Fall der Sättigungs-Formulierung werden für alle Phasen die Sättigungen berechnet, d.h. hier S w und S n. Ausgehend von der allgemeinen Bilanzgleichung (Darcy noch nicht eingesetzt) ergibt sich mit v α als der Geschwindigkeit der mobilen Fluidphase α für die benetzende Phase: für die nicht- benetzende Phase: CAU, Sommersemester

15 Sättigungs-Formulierung Unter der Annahme, dass beide Phasen nicht kompressibel sind (ρ α =konst.) und durch Definition der totalen (gesamten) Geschwindigkeit ergibt sich durch Addition der Bilanzgleichungen für die Phasen w und n: Das Darcy-Gesetz kann umgeschrieben werden. Mit den Phasen- Mobilität λ α ergibt sich die Phasengeschwindigkeit zu: CAU, Sommersemester

16 Sättigungs-Formulierung Durch Kombination der Ausdrücke für v w und v n ergibt sich die fractional flow (Anteils-Strömung) Gleichung: und mit : Definition: fractional flow Koeffizienten: CAU, Sommersemester

17 Sättigungs-Formulierung Einsetzen von v n = in die Massenbilanzgleichung der nicht-benetzenden Phase und Verwenden von f n und λ ergibt: In dieser Gleichung können nun noch die Terme in ihrer Abhängigkeit von der Sättigung dargestellt werden: Außerdem: und mit CAU, Sommersemester

18 Sättigungs-Formulierung Einsetzen dieser Beziehungen in die umformulierte Massenbilanzgleichung für die nicht- benetzende Phase ergibt: Wie die Transportgleichung besitz die Zwei-Phasen-Sättigungsgleichung einen dispersiven Term (1), einen advektiven Term (2), einen Speicherterm (3) und einen Quell-Senkenterm (4). Voraussetzung für die Anwendung dieser Gleichung zur Lösung des Zwei- Phasen-Fließgeschehens ist das Berechnen von v t im Vorlauf aus den Darcy- Gleichungen. Die Drücke stammen dabei aus den Sättigungen, die über die p c (S) Beziehung umgerechnet werden. CAU, Sommersemester

19 Sättigungs-Formulierung Wenn der Gradient der Kapillardruck-Sättigungskurve sehr klein wird (dp c /ds w = 0 ), dann wird Term 1 klein und kann vernachlässigt werden. Wenn man weiterhin Effekte der Kapillarität (in durch RB dominierten Systemen, z.b. Pumpen zur Ölförderung) und der Gravitation (z.b. horizontales Fließen) vernachlässigt und annimmt, dass keine Quellenund Senken vorliegen, dann kann obige Gleichung stark vereinfacht werden. Diese Näherungen sind gut zutreffend in Systemen, in denen v t groß ist (z.b. gepumpte Systeme). Die sog. Buckley-Leverett-Gleichung lautet dann: CAU, Sommersemester

20 3-Phasen-Strömung Die mathematische Beschreibung der 3-Phasen-Strömung beruht auf der Druck-Sättigungs-Formulierung. Phase α=1 ist hierbei die benetzende Phase (typischerweise Wasser). Dabei wird angenommen, dass die benetzende Phase überall im Modellgebiet vertreten ist (wenn auch teilweise nur in kleinen Mengen). Die Formulierung wird am Beispiel eines 3-Phasen-Systems mit Wasser~, NAPL~ und Gasphase gezeigt. Alle möglichen Phasenkombinationen müssen berücksichtigt werden. Helmig, 1997 CAU, Sommersemester

21 3-Phasen-Strömung Die allgemeine Druck-Sättigungs-Formulierung: Für die benetzende Phase (Index: w, Wasser): Ersetzen: Damit: CAU, Sommersemester

22 3-Phasen-Strömung Für die intermediär benetzende Phase (NAPL, Index n): Durch Verwenden von: Erhält man: CAU, Sommersemester

23 3-Phasen-Strömung Für die am wenigsten benetzende Phase (Gas, Index g) setzt man: und Damit ergibt sich: CAU, Sommersemester

24 3-Phasen-Strömung Zusätzlich zu den gezeigten Bilanzgleichungen für die drei anwesenden Phasen gelten die folgenden Bedingungen: und CAU, Sommersemester

25 3-Phasen-Strömung In dem Teil des Modellgebiets, in dem drei Fluidphasen anwesend sind, gilt: Um dies in die Bilanzgleichungen einsetzen zu können, werden diese Beziehungen noch umgeformt: Im Zwei-Phasen Gebiet mit Wasser und Gas gilt: Im Zwei-Phasengebiet mit Wasser und NAPL gilt: CAU, Sommersemester

26 Mehrphasen-Transportgleichung Definitionen: Massenanteil (Mass fraction) X von Komponente κ in Phase α: Die Summe aller Massenfraktionen in einer Phase ergibt 1. Molanteile (Molfraktion) x von Komponente κ in Phase α: Die Konzentration von Komponente κ in Phase α: Die totale Konzentration von Komponente κ: CAU, Sommersemester

27 Mehrphasen-Transportgleichung Der Transport einer Komponente, die in mehreren Fluidphasen auftritt, wird durch je eine Transportgleichung pro Fluidphase beschrieben. Die Herleitung der Massentransportgleichung im Falle des Transports einer Komponente in mehreren Fluidphasen ist analog zur Ableitung der Transportgleichung in einer Fluidphase (Grundwasser). Die extensive Erhaltungsgröße ist dabei die Masse der Komponente κ in der Fluidphase α, die intensive die zugehörige Massendichte: Damit ergibt sich: Die einzelnen Transportgleichungen sind dabei über die Quellen- und Senkenterme gekoppelt, die Reaktionen und Phasenübergangsprozesse beschreiben. CAU, Sommersemester

28 Reaktionen und Phasenübergänge Reaktionen: Siehe Grundwasser (Klassifizierung: homogen, heterogen, kinetisch - Gleichgewicht, Typen, Abbau, 1. Ordnung, Monod, etc....) Phasenübergänge: Oft wird angenommen, dass die Phasenübergangsprozesse schnell sind gegenüber der Bewegung der Fluidphasen. Zusätzlich wird dabei angenommen, dass die Phasen ideal gemischt sind, d.h. der Transport einer Komponente in einer Phase schneller ist als der Austausch über die Phasengrenze hinweg. Dann kann das System als im Gleichgewicht beschrieben werden. Ein paar der benötigten Relationen werden im Folgenden angegeben. CAU, Sommersemester

29 Reaktionen und Phasenübergänge Dalton s Gesetz: Der Gesamtdruck einer Gasmischung (=Gasphase) ist gegeben durch die Summe der Partialdrücke der einzelnen Komponenten: wobei p g der Gesamtdruck und p gκ der Partialdruck der Komponente κ in der Gasphase ist mit: CAU, Sommersemester

30 Reaktionen und Phasenübergänge Raoult s Gesetz: Nach dem Raoult schen Gesetz ist der Dampfdruck p vap, α einer idealen Lösung (= Mehrkomponenten-Phase wird als ideale Lösung angenommen) gleich der Summe der Dampfdrücke der Einzelkomponenten multipliziert mit ihren Molanteilen: wobei p vap ακ der Dampfdruck der Komponente κ in Phase α ist. Henry s Gesetz: Dieses gilt für ideale Lösungen und Gase. Dann existiert ein linearer Zusammenhang zwischen dem Molanteil einer Komponente κ in der Fluidphase und dem Partialdruck dieser Komponente in der Gasphase: H ακ ist der Henry Koeffizient. CAU, Sommersemester

31 Reaktionen und Phasenübergänge Anwendungsbereich der Gesetze von Raoult und Henry Gegeben sein ein binäres System (2 Phasen 2 Komponenten) bestehend aus Komponente 1, die eine Flüssigphase formt (z.b. Wasser), und Komponente 2, die eine Gasphase bildet (z.b. Luft). Für geringe Molanteile von Komponente 1 gilt das Henry- Gesetz, für hohe Molanteile das Raoult sche Gesetz CAU, Sommersemester

32 Kinetische Phasenübergänge Kinetische Phasenübergänge: Diese werden typischerweise durch einer Transferreaktion erster Ordnung beschrieben. Dies ist erforderlich, wenn der Transfer über die Phasengrenze langsamer oder ähnlich schnell wie das Phasenfliessen verläuft. Für den Übergang einer Komponente κ zwischen den Phasen α und β gilt: Dabei ist k αβκ der kinetische Transferkoeffizient [T-1] C α,eqκ die Gleichgewichtskonzentration von Komponente κ in Phase α im Gleichgewicht mit Phase β C ακ die aktuelle Konzentration von Komponente κ in Phase α. CAU, Sommersemester

33 Modellkonzepte Am Beispiel eines Zwei-Phasen-Zwei-Komponenten-Systems werden nun die verwendeten Modellansätze dargestellt Strömung: Einphasenmodell: Phase: Wasser oder Gas Komponente: H 2 O oder Luft Eine Gleichung für die Fluidphase (identisch mit Komponente) => v w Zweiphasenmodell: Phase: Wasser und Gas Komponente: H 2 O und Luft Zwei gekoppelte Gleichungen, je eine pro Fluidphase => v w, v g CAU, Sommersemester

34 Modellkonzepte Transport: Einphasen-Mehrkomponentenmodell: Phase: Wasser oder Gas Komponente(n): H 2 O und Luft Eine Gleichung für die Strömung (= für H 2 O) => v w Eine Gleichung für die weitere Komponente Luft => C Luft Mehrphasen-Mehrkomponentenmodell: 1. Möglichkeit: Phase: Wasser und Gas Komponenten: H 2 O und Luft Je eine Gleichung für jede Fluidphase (= H 2 O, Luft) => v g, v w Je eine Gleichung für jede Komponente => X gw, X w g Massentransfer über Phasengrenze durch Quell-/Senkenterme Teilweise entkoppeltes System CAU, Sommersemester

35 Mehrphasen-Mehrkomponenten-Modell, 1. Möglichkeit Modellkonzepte CAU, Sommersemester

36 Modellkonzepte Mehrphasen-Mehrkomponentenmodell: 2. Möglichkeit: Phase: Wasser und Gas Komponenten: H 2 O und Luft Zu berechnende Variablen: p w, S g Je eine Gleichung für jede Komponente => X w, X g Massentransfer ist im Gleichungssystem integriert vollständig gekoppeltes System Diese Möglichkeit wird erreicht, indem die Massenbilanzgleichungen für jede Komponente über alle Phasen aufaddiert werden. Dabei kürzen sich die Quell-/Senkenterme aufgrund von Phasenübergängen heraus. CAU, Sommersemester

37 Mehrphasen-Mehrkomponenten-Modell, 2. Möglichkeit Modellkonzepte CAU, Sommersemester