Mathematik I für Informatiker und Softwaretechniker

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1 PD Dr PH Lesky Mathematik I für Informatiker und Softwaretechniker Universität Stuttgart Wintersemester 200/ Warnung: Dies ist kein vollständiger Vorlesungsaufschrieb Dieses Skript ist zur Erleichterung beim Mitschreiben gedacht, Ergänzungen sollen nachgetragen werden Grundlagen Zur Aussagenlogik Definition: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist 2 Verknüpfung von Aussagen: Verknüpfung in Worten Definition durch Wahrheitstabelle A nicht A, Negation von A A A w f A B A B A B A B A oder B, logisches Oder A und B, logisches Und wenn A dann B A genau dann wenn B A B A B A B A B A B w w w f f w f f 3 Implikation: A B bedeutet: Die Aussage A B ist wahr Also: Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr (Wenn A falsch ist, wird keine Aussage über B gemacht Man sagt: A ist hinreichende Bedingung für B, B ist notwendige Bedingung für A ZB x 4 < x < 5

2 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 2 4 Äquivalenz: A B bedeutet: Die Aussage A B ist wahr Also: Entweder sind beide Aussagen wahr oder beide falsch ZB (x 2 4 x 2 2 x 2 x 3 ZB A B B A Beweis durch Wahrheitstafel: (Beweis durch Fallunterscheidung, Auflistung aller möglichen Fälle A B A B A B B A w w f f w f f w f w w f f f w w 5 Wichtige Beweistechniken: Direkter Beweis: Zeige A B, indem aus der Gültigkeit von A durch Umformungen oder Folgerungen auf die Gültigkeit von B geschlossen wird 2 Kontraposition: Zeige A B durch Nachweis von B A 3 Widerspruchsbeweis: Zeige A B durch Nachweis von A B falsche Aussage (markiert durch oder Widerspruch 2 und 3 werden als indirekte Beweise bezeichnet ZB Beweise x 4 < }{{} A x }{{ < 5 } : B Direkt: Wir gehen davon aus, dass x 4 < wahr ist Fall a x 4 x 4 = x 4 < x < 5 B Fall b x < 4 x < 5 B 2 Kontraposition: B x 5 x 4 x 4 = x 4 A 3 Widerspruchsbeweis: Annahme x 4 < x 5 x 4 = x 4 < < Typisches Beispiel für einen Widerspruchsbeweis: x 2 = 2 x É Annahme: x 2 = 2 x É x 2 = 2 x = p, wobei p, q teilerfremd q p, q haben den gemeinsamen Teiler 2 (p, q sind teilerfremd

3 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 3 2 Mengen 6 Definition (naiv: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen Bezeichnung: m M bedeutet: Das Objekt m liegt in M (ist in der Menge M enthalten, m M bedeutet: m liegt nicht in M Explizit: M := {, 2, 3}, Æ = {, 2, 3, } Durch charakteristische Eigenschaft: P := {n Æ : n ist Primzahl} (oder {}: Leere Menge, enthält keine Elemente 7 Gleichheit: A = B, falls x A x B 8 Teilmenge: A B, falls: x A x B Für jede Menge A gilt A Veranschaulichung im Venn-Diagramm: 9 Verknüpfung von Mengen: A B := {x : x A x B} (Schnittmenge A B := {x : x A x B} A \ B := {x : x A x B} Veranschaulichung im Venn-Diagramm: (Vereinigungsmenge (Differenzmenge Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist 0 Gesetze von De Morgan: Seien A, B, C Mengen Dann gelten: A \ (B C = (A \ B (A \ C, A \ (B C = (A \ B (A \ C Potenzmenge: P(A := {B : B A} ZB: A = {, 2, 3} P(A = ZB: A = { {}, {2} } P(A =

4 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 4 2 Kartesisches Produkt: A B := {(x, y : x A y B}, (x, y heißt geordnetes Paar (geordnet: Die Reihenfolge ist wichtig ZB: {, 2} {3, 4} = ZB: Æ Æ = {Gitterpunkte}: Geordnetes Paar definiert durch Mengenlehre: (x, y := {x, {y}} Insbesondere: (x, y = (x, y x = x y = y 3 Quantoren 3 Definition: Sei M eine Menge, A(x eine von x M abhängige Aussage x M : A(x bedeutet: Für alle x aus der Menge M ist die Aussage A(x wahr ZB: n Æ : n n 2 x M : A(x bedeutet: Es gibt (existiert mindestens ein x in der Menge M, für das die Aussage A(x wahr ist ZB: n Æ : n 3 Æ!x M : A(x bedeutet: Es gibt genau ein x in der Menge M, für das die Aussage A(x wahr ist ZB:!x Æ : x + 4 = 6 4 Negation von Aussagen mit Quantoren: ( x M : A(x x M : A(x, ( x M : A(x x M : A(x ZB: Lösbarkeit der Gleichung x + a = b im Raum der ganzen Zahlen: a b x : x + a = b Negation: a b x : x + a b

5 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 5 4 Abbildungen 5 Definition: Seien A, B Mengen Eine Abbildung f von A nach B ist eine Vorschrift, die jedem x A ein eindeutig bestimmtes Element f(x B zuordnet Manchmal heißt f auch Funktion Schreibe: f : A B oder f : A B : x y = f(x oder f : A x y B oder f : x y = f(x A heißt Definitionsbereich (engl domain von f, B Bildbereich (engl codomain von f Falls y = f(x, heißt y Bild von x (engl image, x heißt Urbild (engl pre-image von y Die Menge f(a := {f(x B : x A} heißt Bild von f (engl Range, für C B heißt Urbild von C f (C := {x A : f(x C} ZB: f : Ê Ê : x x 2, y = 4, C = [0, 4] Achtung: f : Ê Ê : x x ist keine Abbildung 6 Definition: Zwei Abbildungen f : A B und f : A B heißen gleich, falls A = A x A : f(x = f (x 7 Definition: f : A B heißt injektiv, falls für x, x A f(x = f(x x = x bzw x x f(x f(x 2 surjektiv, falls f(a = B 3 bijektiv, falls f injektiv und surjektiv Injektiv bedeutet: In jedem y B endet höchstens ein Pfeil Surjektiv bedeutet: In jedem y B endet mindestens ein Pfeil

6 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 6 Bijektiv: A f B 8 Definition: Ist f : A B bijektiv, so heißt f : B A : f(x x die Umkehrabbildung oder inverse Abbildung zu f ZB: f : Ê Ê : x x 2 f 2 : ], 0] Ê : x x 2 f 3 : Ê [0, [ : x x 2 weder injektiv noch surjektiv injektiv, nicht surjektiv nicht injektiv, aber surjektiv f 4 : ], 0] [0, [ : x x 2 injektiv und surjektiv, f 4 : y y 9 Definition: Ist f : A B und A 0 A, so heißt f 0 : A 0 B : x f 0 (x := f(x die Einschränkung von f auf A 0 ; f heißt Fortsetzung von f 0 auf A Man schreibt f 0 = f A0 Die Abbildung id A : A A : x x heißt identische Abbildung ZB: Seien f, f 2 aus dem vorigen Beispiel Dann ist f 2 die Einschränkung von f auf ], 0]: f 2 = f ],0] Umgekehrt ist f eine Fortsetzung von f 2 auf Ê 20 Verknüpfung von Abbildungen: Sei f : A B, g : B C, B B Dann heißt g f : A C : x (g f(x := g(f(x die Verknüpfung oder Hintereinanderausführung g nach f B C A B

7 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 7 2 Satz: Ist f : A B bijektiv, so gilt f f = id B, f f = id A Beweis: Sei x A f ( f(x = x f f = id A 2 y B x A : y = f(x x = f (y f ( f (y = f(x = y f f = id B 22 Abbildungen und Mengenlehre: Sei f : A B Dann heißt G := {(x, f(x : x A} A B der Graph von f Definiere eine Abbildung von A nach B als G A B mit der Eigenschaft x A!y x B : (x, y x G und setze f(x := y x 5 Relationen 23 Definition: Seien A, B Mengen Eine (zweistellige Relation ist eine Teilmenge R A B Für (a, b R schreibe arb: Zwischen a und b besteht die Relation R ZB: := {(n, m Æ Æ : n m} ZB: Æ/2Æ := {(n, m Æ Æ : n m ist durch 2 teilbar} Uns interessieren Relationen auf A, dh R A A 24 Definition: Eine Relation R A A (dh R ist Relation auf A heißt reflexiv, falls a A : (a, a R 2 symmetrisch, falls (a, b R (b, a R 3 antisymmetrisch, falls (a, b R (b, a R a = b 4 transitiv, falls (a, b R (b, c R (a, c R

8 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 8 25 Ordnungsrelation: Ist eine Relation auf A, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist Für (a, b R schreibe a b Es gilt also a A : a a a b b a a = b a b b c a c 26 Äquivalenzrelation: Ist eine Relation auf A, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Für (a, b R schreibe a b Es gilt also a A : a a a b b a a b b c a c ZB: = Æ/2Æ Dadurch zerfällt Æ in zwei Klassen: {n Æ : n } = {, 3, 5, } = {n Æ : n 3} = {n Æ : n 2} = {2, 4, 6, } = {n Æ : n 4} = 27 Äquivalenzrelation ist Klasseneinteilung: Sei eine Äquivalenzrelation auf A Für a A ist [a] := {b A : b a} die Äquivalenzklasse von a Für Äquivalenzklassen gelten: a A : a [a], 2 [a] [b] [a] = [b] Das bedeutet: Die Menge A := {[a] : a A} P(A besitzt die Eigenschaften B A B = A, 2 Sind B, B 2 A, so gilt entweder B B 2 = oder B = B 2 Man nennt A eine Klasseneinteilung von A Beweis der Eigenschaften und 2 der Äquivalenzklassen: Für jedes a A gilt a a a [a] Sei [a] [b] c [a] [b] a c b a b [a] [b] [a]

9 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 9 Umgekehrt: Ist A eine Klasseneinteilung von A, so definiert R := {(a, b A A B A : a B b B} eine Äquivalenzrelation, und die Äquivalenzklassen sind genau die Elemente von A Beweis, dass R eine Äquivalenzrelation ist: Reflexivität: Sei a A Wegen A = B existiert ein B A mit a B a R a, B A Symmetrie: a R b bra klar, Transitivität: a}{{} R b brc }{{} B = B 2 a, c B a R c a,b B b,c B 2 28 Beispiele: A = Ê Ê, (x, y (x, y : x 2 + y 2 = x 2 + y 2 [(x, y] = Kreis um (0, 0 mit Radius r = x 2 + y 2 2 Brüche: Zwei Brüche p q, r s sind gleich, wenn p s = r q Definiere auf Æ die Relation (p, q (r, s : p s = r q Ein Bruch ist dann die Äquivalenzklasse [(p, q] =: p q 3 Größen von endlichen Mengen: Sei M := {Mengen M mit endlich vielen Elementen} Definiere auf M M M 2 : (f : M M 2 : f ist bijektiv Die Äquivalenzklassen bestehen aus allen Mengen mit derselben Anzahl von Elementen 6 Die natürlichen Zahlen 29 Peano (889: Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge Æ, auf der eine Abbildung erklärt ist mit folgenden Eigenschaften: Nachfolger: Æ Æ (Æ! x 0 Æ : x 0 Nachfolger(Æ Bezeichnung := x 0 (Es existiert genau eine Zahl, die nicht Nachfolger einer anderen Zahl ist (Æ2 Nachfolger ist injektiv (Nachfolger(n = Nachfolger(n 2 n = n 2

10 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 0 (Æ3 (Induktionsaxiom Ist M Æ mit den beiden Eigenschaften M und n M Nachfolger(n M, dann ist M = Æ (Enthält eine Teilmenge M Æ die und mit jeder Zahl auch ihren Nachfolger, dann ist M = Æ Man schreibt: 2 := Nachfolger(, 3 := Nachfolger(2,, n + := Nachfolger(n Aus diesen Axiomen lassen sich alle bekannten Regeln für die natürlichen Zahlen beweisen, zb m + n = n + m 30 Vollständige Induktion: Für n Æ sei A(n eine Aussage, die von n abhängt, zb n = Ziel: Beweise, dass A(n für alle n Æ wahr ist n(n +, 2 Verfahren: Beweise A( ist wahr (Induktionsanfang, 2 A(n A(n + für beliebiges n Æ (Induktionsschritt (Falls A(n wahr ( Induktionsannahme, dann ist A(n + wahr ( Induktionsbehauptung Induktionsschluss: Dann ist A(n wahr für alle n Æ Beweis: Sei M := {n Æ : A(n ist wahr} Æ Dann M und n M n + M Also M = Æ nach (Æ3 3 Beispiele: A(n : n = n(n+ 2 (arithmetische Summe Induktionsanfang: A( : = (+ 2 ist wahr Induktionsschritt: Falls n = n(n+ 2 (A(n wahr, dann n + n + = Also: A(n + wahr = n(n + + n + = 2 (n + 2(n + 2 Induktionsschluss: n Æ : n = n(n+ 2 n(n + + 2(n + 2

11 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 2 Sei q A(n : q }{{} 0 +q + + q n = qn+ q := (geometrische Summe 3 A(n: Ist M Æ eine Menge mit n Elementen, so besitzt M ein Maximum: k = max(m : k M l M : l k 4 Ist M eine Menge mit n Elementen, so besitzt die Potenzmenge P(M 2 n Elemente 32 Rekursive Definition: Fakultät n!: 0! := (n +! := (n + n! für n Æ 0 2 Summen- und Produktzeichen: 0 n+ a k := 0, a k := a k + a n+, salopp: k= 0 a k :=, k= n+ a k := k= k= k= k= ( n a k a n+, salopp: a k = a + a a n k= n a k = a a 2 a n k= 3 Addition und Multiplikation aus Peano-Axiomen: Für m Æ setze m + := Nachfolger(m, m + (n + := Nachfolger(m + n Damit ist m + n für alle m, n Æ definiert Analog: m := m, m (n + := m n + m Damit ist m n für alle n, m Æ definiert Jetzt können alle Rechengesetze bewiesen werden 33 Binomialkoeffizient: ( n n! := k (n k! k! = n (n (n k + 2 k (sprich: n über k für n, k Æ 0, k n Dann gelten 2 3 ( ( n n = k n k ( ( n n + = k k + ( ( n n = = 0 n ( n + für k n k +

12 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 2 4 Pascalsches Dreieck: ( 0 0 ( ( 0 ( 2 ( 2 0 ( 3 ( 3 ( ( 2 2 ( 4 ( 4 ( 4 ( ( 3 3 ( Binomischer Satz: Für beliebige Zahlen a, b und für n Æ gilt (a + b n = k=0 ( n a n k b k = k ( n a n + 0 ZB: (a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4a b 3 + b 4 ( n a n b + ( n a n 2 b ( n b n n Beweis: Vollständige Induktion ab n = : Induktionsanfang: k=0 ( a k b k = k ( a b ( a 0 b = a + b = (a + b stimmt Induktionsschritt: Induktionsannahme: Die Formel gilt für n n+ ( n + Induktionsbehauptung: (a + b n+ = a n+ k b k k Beweis der Induktionsbehauptung: (a + b n+ = (a + b (a + b n ( n = (a + b k = = = = k=0 ( n k k=0 a n k b k a n+ k b k + a n+ k b k + ( n k k=0 ( n a n+ b }{{} =( n+ 0 n+ ( n + k k=0 k= k=0 ( n a n k b k+ k k=0 }{{} = P n+ l= ( n l a n (l b l n+ ( n a n (k b k k k= (( ( ( n n n + a n+ k b k + a 0 b n+ k k n }{{}}{{} =( n+ k ( n+ a n+ k b k Induktionsschluss: Die Formel gilt für alle n Æ

13 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 3 35 Von Æ zu : Idee: = 2 = 2 3 = = m (m + = Definiere auf Æ Æ die Äquivalenzrelation (m, n (m, n : m + n = m + n Reflexivität: (m, n (m, n 2 Symmetrie: (m, n (m, n (m, n (m, n 3 Transitivität: (m, n (m, n (m, n (m, n (m, n (m, n Sei := {[(m, n] : m, n Æ} Setze 0 = [(, ], n := [(n +, ], n := [(, n + ] Definiere [(m, n] + [(k, l] := [(m + k, n + l] und zeige, dass die Summe unabhängig von den Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist (, + erfüllt alle bekannten Gesetze 7 Teilbarkeit 36 Definition: Sei n Dann heißt m Æ Teiler von n (kurz m n, falls k : n = k m; n heißt teilbar durch m Insbesondere: 0 ist durch alle m Æ teilbar D(n := {d Æ : d n} ist die Menge der Teiler von n Für n, m Æ heißt ggt(m, n := max ( D(m D(n der größte gemeinsame Teiler von m und n ZB: ggt(30, 24: 37 Satz: Teiler ist Ordnungsrelation auf Æ 38 Hilfssatz: Seien n, m, l, k, d Æ Dann gilt d n d m d (k n + l m

14 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 4 Beweis: d n d m k, k 2 : n = k d m = k 2 d k n + l m = k k d + l k 2 d = (k k + l k 2 d d (k n + l m 39 Teilen mit Rest: Seien n, m Æ mit n > m Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q Æ, r Æ 0 := Æ {0} mit n = q m + r r m Beweis: q := max{k Æ : k m n}, r := n q m Æ 0 r 0, r m, n = q m + r Existenz 2 Sei q m + r { = q m + r m (q q = r r falls r r m (q q = r r r r m q = q r = r falls r < r Eindeutigkeit 40 Teilen mit Rest erhält den ggt: Ist n = q m + r wie oben, so gilt ggt(n, m = ggt(m, r Beweis: Wir zeigen: D(n D(m = D(m D(r Dann ggt(n, m = ggt(mr d D(n D(m n = k d m = k 2 d r = n q m = d (k q k 2 }{{} d r d m d D(m D(r 2 d D(m D(r 38 d n = q m + r d D(n D(m ZB: 30 = }{{} r=ggt(30,24

15 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 5 4 Euklidischer Algorithmus: Seien m, n Æ mit m > n Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen K Æ, r,,r K, q,,q K+ Æ mit m = q n + r mit 0 < r n n = q 2 r + r 2 mit 0 < r 2 r r = q 3 r 2 + r 3 und es gilt r K = ggt(m, n r K 2 = q K r K + r K r K = q K+ r K + 0, Beweis: Aus Satz 39 folgt die Eindeutigkeit der q j, r j Wegen r j r j r j 2 2 bricht das Verfahren nach höchstens n Schritten ab Aus Satz 40 folgt, dass ggt(m, n = ggt(n, r = ggt(r, r 2 = = ggt(r K, r K = r K 42 Beispiele: ggt(20, 25: 2 ggt(32, : Drei Folgerungen aus dem Euklidischen Algorithmus: 43 Hilfssatz: Seien k, m, n Æ Dann gilt ggt(km, kn = k ggt(m, n Beweis: Multipliziere den euklidischen Algorithmus für m, n mit k: m = q n + r km = q kn + kr n = q 2 r + r 2 kn = q 2 kr + kr 2 r K = q K+ r K + 0 k r K = q K+ kr K + 0 ggt(km, kn = kr K = k ggt(m, n

16 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 6 44 Folgerung: k m k n k ggt(m, n Beweis: m = l k n = l 2 k ggt(m, n = ggt(k l, k l 2 = k ggt(l, l 2 45 Satz: Seien m, n Æ und M(m, n := {mx + ny : x, y } Dann besteht M(m, n genau aus allen Vielfachen von ggt(m, n: M(m, n = {z ggt(m, n : z } =: ggt(m, n Beweis: ggt(m, n m ggt(m, n n ggt(m, n (mx + ny M(m, n ggt(m, n 2 Zeige ggt(m, n M(m, n Dann folgt ggt(m, n M(m, n Für l, l 2 gilt: k, k 2 M(m, n l k + l 2 k 2 M(m, n, denn: } k = m x + n y l k + l 2 k 2 = m(l x + l 2 x 2 + n(l y + l 2 y 2 M(m, n k 2 = m x 2 + n y 2 Betrachte den euklidischen Algorithmus: m = q n + r r = m q n M(m, n n = q 2 r + r 2 r 2 = n q 2 r M(m, n r K 2 = q K r K + r K ggt(m, n = r K M(m, n 8 Primzahlen 46 Definition: p Æ mit p 2 heißt Primzahl, wenn D(p = {, p} Insbesondere ist keine Primzahl 47 Euklidischer Hilfssatz: Seien m, n Æ, p Primzahl Dann: p (m n p m p n Beweis: Fall p m: okay Fall (p m: p mn p pn p ggt(mn, pn = n ggt(m, p = n p n Mit Induktion folgt: p Primzahl p n n k j : p n j

17 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 7 48 Fundamentalsatz der Arithmetik: Sei n Æ, n 2 Dann lässt sich n als Produkt von Primzahlen darstellen: n = p p 2 p k, p,, p k Primzahlen Die Darstellung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig Beweis: Wir beweisen: Für jedes n Æ gilt: Jede natürliche Zahl j {2,,n} ist als Produkt von Primzahlen darstellbar Induktionsanfang n = 2: 2 = 2 okay 2 Induktionsschritt: Primzahl n + = n +, also Produkt aus der Primzahl n + keine Primzahl: n + = k l n + = IndAnn n + = p p j p p i = Produkt von Primzahlen }{{}}{{} =k =l 3 Induktionsschluss: Die Aussage gilt für jedes n Æ mit n 2 Aus der bewiesenen Aussage folgt, dass sich jede Zahl j Æ mit j 2 als Produkt von Primzahlen darstellen lässt 49 Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen Beweis: Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen: P = {p,,p n } Betrachte m := + p p 2 p n 48 = q q k, q j Primzahl Dann folgt q P: Andernfalls q = p j q = q q k p p n q Primzahl q P 50 Bemerkung: Primzahlsatz (896 Hadamard, Vallée Poussin π(n π(n := Anzahl der Primzahlen n lim n n ln n =

18 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 8 9 Kongruenzen 5 Definition: Sei m Æ, m 2 a, b heißen kongruent modulo m (geschrieben a b (mod m oder a b (m, wenn m (a b Dh a, b ergeben beim Teilen mit Rest durch m denselben Rest: Ist a = q m + r, 0 r m b = q 2 m + r 2, 0 r 2 m so sind a b (mod m und r = r 2 äquivalent 52 Satz: Sei m Æ, m 2 fest Dann ist (m eine Äquivalenzrelation auf Beweis: a a (mod m ist erfüllt, 2 a b (mod m b a (mod m ist erfüllt, 3 a b (mod m b c (mod m m (a b m (b c m (a c = (a b + (b c a c (mod m 53 Satz: + und sind verträglich mit (m, dh a a (m b b (m a + b a + b (m a b a b (m 54 Rechnen mit Äquivalenzklassen: Sei m Æ, m 2 fest Dann besitzt die Äquivalenzrelation (m genau m Äquivalenzklassen [0], [],, [m ], die Restklassen modulo m Definiere /m := {[0],,[m ]} [a] + [b] := [a + b], [a] [b] := [a b] Dann gelten: [a] + ([b] + [c] = ([a] + [b] + [c] (Assoziativgesetz [a] + [0] = [a] (Neutrales Element [a] + [ a] = [0] (Inverses Element [a] + [b] = [b] + [a] (Kommutativgesetz Dh (Z/m, + bildet eine kommutative (abelsche Gruppe (siehe später

19 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 9 ZB: Multiplikation in /4 : [0] [] [2] [3] Hier ist einiges ungewöhnlich: [0] [0] [0] [0] [0] [] [0] [] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [] [3] [3] = [], dh [3] = [] [3] [2] [2] = [0], obwohl [2] [0] Man nennt [2] einen Nullteiler Die Gleichung [2] x = [2] hat zwei Lösungen x = [] und x = [3] Es gibt keine Zahl [n], so dass [2] [n] = [] 55 Satz: Sei m Æ, m 2 fest Dann: [a] besitzt ein inverses Element bezüglich (dh eine Restklasse [b] mit [a] [b] = [], ggt(a, m = 2 m ist Primzahl a {,, m } b {,,m } : [a] [b] = [] Beweis: [a] [b] = [] [ab] = [] 2 : Aus m (ab y : my = ab }{{} =ab my {ax + my : x, y } = ggt(a, m (vgl Satz 45 ggt(a, m = : Zeige: m keine Primzahl k Æ : [k] besitzt kein inverses Element Sei m keine Primzahl k D(m : k k m Behauptung: [k] besitzt kein inverses Element Für l gilt [k] [l] = [kl] = {kl + ym : y } Nun gilt: k (kl + ym y : kl + ym [kl] [kl] []

20 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 20 0 Darstellung natürlicher Zahlen Zehnersystem: Stelle alle Zahlen mit den zehn Ziffern 0,,, 9 dar:, 2, 9 0,, 2, 9 zb 3 = , 2, 22, 29 00, 0, 02, 09 zb 08 = Entsprechend geht das auch mit weniger oder mehr Ziffern: 56 Definition: Gegeben seien: die Ziffernbasis g Æ, g 2, die Ziffern: Menge mit g Elementen Z = {z 0,, z g } Die Darstellung N n = (a N a N a 0 g := a j g j, wobei N Æ, a 0,, a N Z, heißt g-adische Entwicklung von n Æ j=0 ZB: Zweier-System: g = 2, Z = {0, }: 0 2 = ( = ( = 0 ZB: Hexadezimalsystem: g = 6, z = {0,,, 9, A, B, C, D, E, F }: D2A 6 = D g g + A g 0 = ( = Satz: Seien g, Z fest Jede Zahl n Æ besitzt eine eindeutige g-adische Darstellung: Es existieren eindeutig bestimmte Zahlen N Æ und a 0,,a N Z, so dass n = (a N a N a 0 g a N z 0 Beweis: Existenz (konstruktiv: Teilen mit Rest: n = q g + r a 0 = r q = q 2 g + r 2 a = r 2 q N 2 = q N g + r N a N 2 = r N q N = q N g + r N a N = r N Verfahren bricht ab, wenn 0 < q N < g Dann setze noch a N := q N Rückwärts hochgehen: q N = a N g + a N q N 2 = q N g + a N 2 = a N g 2 + a N g + a N 2 q N 3 = q N 2 g + a N 3 = a N g 3 + a N g 2 + a N 2 g + a N 3 n = = a N g N + + a g + a 0

21 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 2 ZB: 2007 im Fünfersystem: 2007 : 5 = 40 Rest 2 a 0 = 2 40 : 5 = 80 Rest a = 80 : 5 = 6 Rest 0 a 2 = 0 6 : 5 = 3 Rest a 3 = Verfahren bricht ab, da 3 < 5 Also a 4 = 3 und ( = (302 5 Mächtigkeit von Mengen 58 Definition: Zwei Mengen A, B heißen gleich groß oder gleich mächtig, falls es eine bijektive Abbildung f : A B gibt ZB: f : {, 2, 3} {4, 5, 6} : x x + 3 ist bijektiv ZB: f : ], 3] [ 3, [ : x 6 x (Spiegelung an 3 ist bijektiv, also sind die Mengen gleich mächtig ZB: G := {2n : n Æ} und Æ sind gleich mächtig, obwohl G echte Teilmenge von Æ ZB: É ist gleich mächtig wie Æ 59 Definition: Sei A eine Menge A heißt endlich, falls jede injektive Abbildung f : A A auch surjektiv ist ( ist automatisch endlich 2 A heißt unendlich, falls A nicht endlich Dh falls es eine injektive Abbildung f : A A gibt, die nicht surjektiv ist, oder falls A gleich mächtig ist wie eine echte Teilmenge von A 3 A heißt abzählbar unendlich, falls A gleich mächtig wie Æ ist 4 A heißt überabzählbar, falls A unendlich und nicht abzählbar unendlich ist ZB: É ist abzählbar Später: Ê ist überabzählbar

22 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 22 2 Zahlenkörper 2 Mengen und Verknüpfungen Was ist +? Eine Abbildung: + : Æ Æ Æ : (a, b a + b 2 Definition: Sei G Menge Eine Abbildung : G G G : (g, h g h heißt Verknüpfung auf G Eine Verknüpfung heißt assoziativ, falls g, h, j G : g (h j = (g h j 2 Eine Verknüpfung heißt kommutativ, falls g, h G : g h = h g 3 Ein Element e G heißt neutrales Element, falls g G : e g = g = g e 4 Sei g G Ein Element h G heißt inverses Element zu g, falls g h = e = h g Schreibweise: g := h ZB: (Æ, + ZB: (Æ, ZB: (, + ZB: (É, 22 Definition: Sei eine Verknüpfung auf G (G, heißt Monoid, falls assoziativ ist und ein neutrales Element existiert 2 (G, heißt Gruppe, falls (G, ein Monoid ist und jedes Element von G ein inverses Element besitzt 3 (G, heißt abelsche Gruppe, falls (G, eine Gruppe ist und kommutativ ist ZB: Monoide sind (Æ 0, +, (Æ,, (P(M, ZB: Abelsche Gruppen sind (, +, (É, +, (É \ {0},

23 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 23 Wichtiges Beispiel: Die Permutationsgruppe (S(M, Sei M endliche Menge, S(M := {π : M M π ist bijektive Abbildung}, : (π, π 2 π π 2 (Hintereinanderausführung Dann ist (S(M, eine Gruppe Falls M 3 ist diese Gruppe nicht kommutativ 23 Satz: In jeder Gruppe gelten: e ist eindeutig 2 g ist eindeutig 3 g, h G!x G : g x = h (nämlich x = g h 4 g G : (g = g 5 g, h G : (g h = h g Beweis: Seien e, e zwei Einselemente Dann: e = e e = e 2 Sei g g = e = g g und g h = e = h g h = e h = (g g h = g (g h = g e = g 3 Existenz: x := g h g x = g (g h = (g g h = e h = h Eindeutigkeit: g x = h g g x = g h x = g h 4, 5 als Übung Schreibweise: Für g G und n setzt man g g }{{} n Mal für n Æ, g n := e für n = 0, Dann gilt g n g m = g n+m für n, m g g }{{} n Mal für n Æ

24 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Zwei Verknüpfungen 24 Definition: Auf der Menge R seien zwei Verknüpfungen +, definiert (R, +, heißt Ring, falls a (R, + ist abelsche Gruppe, b (R, ist Monoid, c Es gelten die Distributivgesetze: g, h, j R : (g + h j = g j + h j g (h + j = g h + g j d 0 (0 = neutrales Element bezüglich + und = neutrales Element bezüglich 2 (R, +, heißt kommutativer Ring, falls zusätzlich zu kommutitativ ist 3 (R, +, heißt Körper (englisch: field, falls zusätzlich zu (R \ {0}, eine abelsche Gruppe ist ZB: (, +, ist kommutativer Ring ZB: (É, +, ist ein Körper ZB: p Primzahl Dann ist ( /p, +, ein Körper ZB: m keine Primzahl Dann ist ( /m, +, ein kommutativer Ring ZB: R := {f : É É Abbildung} f + g : x f(x + g(x f g : x f(x g(x Dann ist (R, +, ein kommutativer Ring 25 Schreibweisen: x := Inverses bezüglich + x y := x + ( y x := x := Inverses bezüglich x := x y (oder auch x : y y x n := x } x {{ x}, x n := (x n n mal 26 Folgerungen: Sei (Ã, +, ein Körper Für a, b, c, d à gelten: ( x = x 2 0 x = x 0 = 0 3 x y = 0 x = 0 y = 0 4 ( x y = (x y 5 ( x ( y = x y x a b + c d a b c d a b : c d = x = a d + b c b d = a c b d = a b d c = a d b c

25 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Die reellen Zahlen 27 Definition: Die reellen Zahlen (Ê, +, bilden einen Körper mit folgenden Eigenschaften: (O (Ê, < ist ein angeordneter Körper, (A (Ê, < ist ein archimedischer Körper, (V (Ê, ist vollständig 23 Die Anordnung in Ê und Folgerungen 28 Axiom (O: (Ê, < ist ein angeordneter Körper, dh auf Ê ist eine Relation < (kleiner definiert, so dass: (O a, b Ê: Genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a ist wahr (O2 a, b, c Ê : a < b b < c a < c (O3 a, b, c Ê : a < b a + c < b + c (Transitivität (Verträglichkeit mit Addition (O4 a, b, c Ê : a < b 0 < c a c < bc (Verträglichkeit mit Multiplikation 29 Bemerkungen: Für a < b schreibe auch b > a (größer 2 a Ê heißt positiv, falls a > 0 Sei Ê + := {a Ê : a > 0}, Ê + 0 := Ê + {0} 3 Definiere a b : a < b a = b, a b : a > b a = b; und sind Ordnungsrelationen auf Ê 4 Ein Ausdruck der Form a < b, a b, a > b, a b heißt Ungleichung 5 Endliche Körper können nicht angeordnet werden (siehe (U6 unten 20 Folgerungen: (U a < b 0 < b a b a > 0 (U2 a < b x < y a + x < b + y Insbesondere: a < 0 x < 0 a + x < 0; 0 < b 0 < y 0 < b + y

26 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 26 (U3 a > 0 a < 0 und a < 0 a > 0 (U4 0 < a < b 0 < x < y a x < by (U5 a < 0 x < y a x > a y Insbesondere: a < 0 x < 0 a x > 0; a < 0 0 < y 0 > a y, dh Multiplikation von Ungleichungen mit negativen Zahlen vertauscht < und > (U6 a 0 a 2 > 0 Insbesondere: = 2 > 0 In endlichen Körpern gibt es keine Ordnung: > 0 = (U7 a > 0 > 0; a < 0 < 0 a a (U8 0 < a < b > a b (U9 0 < a < b b > a 2 Satz (Bernoulli-Ungleichung: Für x Ê, x und n Æ 0 gilt ( + x n + nx 22 Intervalle: Sei a < b Definiere [a, b] := {x Ê : a x b} ]a, b[ := {x Ê : a < x < b} [a, b[ := {x Ê : a x < b} [a, [ := {x Ê : a x} (abgeschlossenes Intervall (offenes Intervall (rechts halboffenes Intervall analog: ]a, b]; ], b]; ], b[ ; ]a, [ ; ], [ = Ê 23 Æ,, É in Ê: Identifiziere Æ als Teilmenge von Ê: Definiere f : Æ Ê durch f( Æ := Ê, f(n + Æ := f(n + Ê Nach dem Induktionsaxiom ist f für alle n Æ definiert Setze Æ := f(æ = {f(n : n Æ} Die Abbildung f ist injektiv: Zeige n m f(n f(m: Sei n m OBdA n < m, also m = n + k f(n < f(n + Ê = f(n + Æ < f(n + 2 Æ < < f(n + k = f(m (O f(n f(m Also: f : Æ Æ ist bijektiv Damit gelten die Peano-Axiome automatisch in Æ mit Nachfolger(n = n + Ê Identifiziere nun Æ mit Æ, schreibe im Folgenden Æ anstelle von Æ (Typisches Mathematisches Vorgehen

27 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 27 2 Setze := {k Ê n, m Æ : k = n m} 3 Setze É := {x Ê p, q Æ : x = p q } Wir übertragen Arithmetik und Ordnung von Ê auf diese Teilmengen, soweit das geht 24 Definition: Der Betrag oder Absolutbetrag von x Ê ist definiert durch { x für x 0 x := x für x < 0 Insbesondere gelten x x, x = x x 25 Eigenschaften von : Für x, y Ê gelten: (B x 0 ( x = 0 x = 0 (B2 x y = x y (B3 x + y x + y (Dreiecksungleichung, -Ungleichung Beweis: (B x > 0 x = x > 0 x = 0 x = x = 0 x < 0 x = x > 0 (nach (U3 (B Unterscheide 4 mögliche Fälle x 0 y 0,, getrennt nachrechnen (B x + y 0 x + y = x + y x + y x + y < 0 x + y = (x + y = ( x + ( y x + y 26 Definition: Ein Körper (Ã, +, mit einem Betrag, dh einer Funktion : Ã Ê + 0 mit (B, (B2, (B3 heißt bewerteter Körper (zb auch 27 Folgerungen: In jedem bewerteten Körper gelten: = =, insbesondere x = x 2 x y = x falls y 0 y

28 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 28 3 x y x y ( x y, x + y x y ( -Ungleichung nach unten Beweis: = 2 > 0 = > 0 < 0 = ( = x = ( x = ( x = x = x = x 2 x = x y y x = x y y Behauptung 3 Als Übung 28 Definition: In einem bewerteten Körper ist der Abstand zweier Elemente x, y à definiert durch d(x, y := x y Die Abstandsfunktion d : Ã Ã Ê + 0 besitzt die Eigenschaften (M d(x, y 0 (d(x, y = 0 x = y (Positivität, Definitheit (M2 d(x, y = d(y, x (Symmetrie (M3 d(x, y d(x, z + d(z, y ( -Ungleichung Diese drei Eigenschaften werden später dazu benützt, abstrakt den Begriff eines Abstandes (Metrik zu definieren ZB: Ê 2 = Ê Ê, d ( (x, y, (x 2, y 2 := (x x (y y 2 2 y (euklidischer Abstand x 29 Definition: Sei M Menge Eine Folge in M ist eine Abbildung Æ n x n M Schreibweise: (x n oder (x n n Æ

29 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Konvergenz: Sei (Ã, bewerteter Körper Die Folge (x n in à heißt konvergent gegen x, falls ε > 0 N ε Æ n > N ε : x n x < ε Dh für jedes noch so kleine ε > 0 ist der Abstand aller x n zu x kleiner als ε, sobald n > N ε gilt In diesem Fall schreiben wir x = lim n x n, x n n x, x n x für n ; x heißt Grenzwert oder Limes der Folge Eine Folge (x n heißt konvergent, falls x à : x = lim n x n Ist eine Folge nicht konvergent, so heißt sie divergent 22 Eindeutigkeit des Grenzwertes: Sei (Ã, bewerteter Körper Ist lim n x n = x, so besitzt (x n keinen weiteren Grenzwert Beweis: Annahme: x = lim n x n y = lim n x n x y Wähle ε := x y Dann: N ε Æ n > N ε : x n x < ε 2 Ñε Æ n > Ñε : x n y < ε Für n > max{n ε, Ñε} folgt x y = x x n + x n y x x n + x n y = x x n + y x n < 2ε = x y 222 Satz: Sei (x n konvergente Folge in Ê und K Ê, N Æ Dann ( n N : x n K ( n N : x n K lim x n K, n lim x n K n 223 Achtung: x n := n > 0, aber lim x n = 0 n }{{} Beweis später

30 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Die archimedische Anordnung 224 Axiom (A: (Ê, < ist ein archimedisch geordneter Körper, dh es gilt x Ê n Æ : n > x 225 Folgerungen: Aus (A folgt y Ê x Ê + n Æ : n x > y 2 x Ê + 0!n Æ 0 : n x < n + Definiere die untere Gaußklammer: x := max{n Æ 0 : n x} 3 ε > 0 n Æ : < ε n 4 x Ê + 0 ( n Æ : x < x = 0 n 5 b > x > 0 n Æ : b n > x 6 b ]0, [ ε > 0 n Æ : b n < ε 226 Anwendung auf Folgen: 2 Sei q < Dann q n 0 n 0 3 Sei q < und Dann s n q s n := q j = + q + q q n 4 Die Folge (x n mit x n = ( n ist nicht konvergent (Beweis später j=0 233 Die Vollständigkeit 227 Verdichtungsprinzip: Sei (x n konvergent Dann gilt: ε > 0 N ε Æ n, m > N ε : x n x m < ε ( Beweis: Sei ε > 0 Aus x n x: N ε Æ n > N ε : x n x < ε 2 Für n, m > N ε folgt x n x m = x n x + x x m x n x + x x m < ε 2 + ε 2

31 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Definition: Eine Folge (x n in einem bewerteten Körper heißt Cauchy-Folge, falls sie das Verdichtungsprinzip ( erfüllt Also: (x n konvergent (x n Cauchy-Folge (x n keine Cauchy-Folge (x n divergent 229 Dezimalbrüche: Sei a 0 Æ 0, und für j Æ sei d j {0,,, 9} Setze a n := a 0 + d 0 + d d n 0 n É Ê Schreibe zur Abkürzung a n = a 0, d d 2 d n Man nennt die Folge (a n einen Dezimalbruch Behauptung: (a n ist eine Cauchy-Folge Beweis: Sei m > n, also m = n + k Dann gilt a m a n = a m a n = d n d n+k n+ 0 n+k n+ 0 n+k = = = 9 0 n+ ( ( k n+ 0 ( n+ 9 0 k ( k 0 0 n < ε für n > N ε, da ( n Axiom (V: (Ê, ist vollständig, dh in Ê konvergiert jede Cauchy-Folge Also: In Ê gilt (x n konvergent (x n ist Cauchy-Folge 23 Satz: Jeder Dezimalbruch konvergiert gegen eine reelle Zahl 2 Für jede relle Zahl x Ê existiert ein Dezimalbruch, der gegen x konvergiert Meist identifiziert man x mit dem Dezimalbruch, zb 2 =, 442 Beweis: folgt aus (V und 229

32 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 32 2 Sei x Ê + 0 Setze a 0 := x Dann 0 x { a 0 < und 0 0(x a 0 < 0 d {0,, 9} Setze d := 0(x a 0 Für a := a 0 + d gilt 0 x a 0 < { 0 d2 {0,,9} Setze d 2 := 00(x a Für a 2 := a 0 + d + d 2 gilt 0 x a < 00 Dann ist (a n Dezimalbruch und x a n < 0 n, also a n x Für x Ê führe Verfahren für x durch Mit diesem Verfahren erhält man zu x einen eindeutigen Dezimalbruch Alle Dezimalbrüche kommen vor bis auf diejenigen, für die gilt: n 0 Æ n n 0 : d n = 9 Denn sei zb a n = 3, 9 9 3, 2 a n = 0 n 0 a n 3, 2 Für x = 3, 2 liefert das obige Verfahren aber x = 3, Bemerkung: Entsprechend kann eine g-adische Entwicklung von x Ê konstruiert werden: x = (a N a N a 0, a, a 2 g mit N Æ, a j {0,,, g } := lim n a N k g N k k=0 233 Satz ( Ê und É: É ist abzählbar (É Æ, Cantorsches Diagonalverfahren 2 Ê ist überabzählbar Insbesondere É Ê 3 Für jedes x Ê existiert eine Folge (q n in É mit x = lim n q n Man sagt: É liegt dicht in Ê Beweis: Schon gemacht 2 Zeige: Ist f : Æ Ê, so ist f nicht surjektiv Sei also eine Abbildung f : Æ Ê gegeben Definiere x := 0, d d 2, wobei d j := { 0 falls f(j = ã0, d d2 und d j 0 falls f(j = ã 0, d d2 und d j = 0 x Ê x Ê \ f(æ x f(j für j Æ

33 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 33 3 Wähle (q n = zu x konstruierter Dezimalbruch Also: Auf dem Zahlenstrahl hat die Menge É Lücken Die Menge der Lücken ist größer als É 234 Definition: Eine Folge (a n heißt monoton wachsend / monoton fallend, falls a n+ a n / a n+ a n für n Æ 2 Seien (a n, (b n Folgen in Ê Die Folge von Intervallen ([a n, b n ] heißt Intervallschachtelung, falls (a n monoton wachsend, (b n monoton fallend, n Æ : a n b n, lim n (b n a n = Satz: Ist ([a n, b n ] n Æ eine Intervallschachtelung, so konvergieren die Folgen (a n, (b n gegen denselben Grenzwert Außerdem existiert genau ein x Ê mit x [a n, b n ], nämlich x = lim n a n = lim n b n n= Beweis: (i (a n konvergiert: Sei ε > 0 b n a n 0 N ε Æ n > N ε b n a n < ε Für m > n > N ε folgt a m a n = a m a n b m a n b n a n < ε (a n ist Cauchy-Folge a n a Ê (ii b n a: Sei ε > 0 b n a n 0 N ε Æ n > N ε b n a n < ε 2 a n a Ñε Æ n > Ñε a n a < ε 2 für n > max{n ε, Ñε} : b n a = b n a n + a n a b n a n + a n a < ε (iii a [a n, b n ] für alle n Æ: Sei n Æ fest Für m > n : a m b m b n a = lim m a m b n Für m > n : a n a m a n lim m a m = a } a n a b n (iv Eindeutigkeit: y < x n Æ : a n > y y n Æ [a n, b n ] y > x n Æ : b n < y y n Æ [a n, b n ]

34 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Definition: Sei M Ê, M a Ê heißt eine obere (untere Schranke von M, falls x M : x a (x a 2 M heißt nach oben beschränkt, falls M eine (und damit unendlich viele obere Schranke besitzt Analog: Nach unten beschränkt M heißt beschränkt, falls M eine obere und eine untere Schranke besitzt 3 a Ê heißt maximales (minimales Element von M oder Maximum (Minimum von M, falls a M x M : x a (x a Schreibe a = maxm bzw a = min M 4 a Ê heißt Supremum von M, falls a kleinste obere Schranke ist: ( ( x M : x a ( x M : x b b a Analog: Infimum = größte untere Schranke Schreibe a = sup M bzw a = inf M 5 Falls M nicht nach oben beschränkt ist, besitzt M kein Supremum Schreibe dann: sup M = Genauso inf M =, falls M nicht nach unten beschränkt ZB: M = ], ] M 2 = ]2, [ M 3 = [0, 3[ M 4 = { : n Æ} = {,,, } n Satz(Existenz Infimum/Supremum: Jede nach unten (oben beschränkte Menge M Ê besitzt ein Infimum (Supremum Beweis: Intervallschachtelung Für Infimum: Wähle a 0 untere Schranke, b 0 M Setze x := a 0 + b 0 2 Entweder: x ist untere Schranke Dann a := x, b := b 0 Oder: x ist keine untere Schranke: y M : a 0 y < x Dann: a := a 0, b := y Setze x 2 := a + b 2

35 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 35 Dann ist [a n, b n ] Intervallschachtelung mit n Æ : a n ist untere Schranke b n M 0 b n a n 2 n(b 0 a 0 a := [a n, b n ] ist Infimum n= 238 Hauptsatz über monotone Folgen: Ist (a n monoton wachsend und nach oben beschränkt (a n K für n Æ oder monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist (a n konvergent Beweis: Sei (a n monoton wachsend, a n K Setze a := sup{a n : n Æ} Behauptung: a = lim n a n Sei ε > 0 fest a ε ist keine obere Schranke N ε Æ : a Nε > a ε n > N ε : a n a Nε > a ε a n a } a a n < ε 239 Existenz der Wurzel: Sei a Ê + und x 0 Ê + Definiere (x n rekursiv durch x n+ := (x n + axn (n Æ 0 2 Dann existiert b := lim n x n, und es gilt b 2 = a und b 0, dh b =: a (Babylonisches Wurzelziehen, Heron-Verfahren Beweis: x n > 0: Induktionsanfang: x 0 > 0 Induktionsschritt: x n > 0 x n+ = (x n + axn > 0 2 Induktionsschluss: x n > 0 für alle n Æ 0 2 n Æ : x 2 n a: x 2 n a = ( x n + a 2 a 4 x ( n = ( 2 a x 2 n 4 + 2a + 4a x n = ( x n a x n

36 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 36 3 (x n ist monoton fallend ab n = : x n x n+ = x n 2 (x n + axn = 2 (x n axn = 2x n ( x 2 n a, Wegen x x n > 0 und der Monotonie konvergiert (x n Es gilt b > 0: b 2 5 b 2 = a: siehe später = lim x 2 n n b := lim n x n 0 2 a > 0 b = lim x n = lim x n+ = lim n n n 2 2b = b + a b (x n + axn siehe später = 2 ( b + a b b a b = 0 b 2 a = Bemerkungen: Definiert man den relativen Fehler d n := xn a x n, dann zeigt eine kurze Rechnung d n+ d 2 n Insbesondere verdoppelt sich die Zahl der richtigen Nachkommastellen bei jedem Schritt 2 Wir wissen: 2 Ê \ É Analog: Sei k Æ, k 2 Setze x n+ := k ( (k xn + a, x0 > 0 xn k Dann existiert b := lim n x n, und es gilt b k = a und b 0 Schreibe b =: k a 24 Die Zahl e: Sei a n := ( + n n Dann ist (a n monoton und beschränkt, also konvergent Der Grenzwert heißt Eulersche Zahl: ( e := lim + n = 2, n n Man kann zeigen: e ist irrational Neben π ist e eine der wichtigsten Zahlen in der Mathematik

37 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 37 Monotonie: a n a n = = = = Bernoulli ( + n n ( + n n (n + n (n n n n n n (n + n (n n n ( n 2n n n n n 2 n ( n n n 2 (n 2 n n = n 2 (n = n Also: a n a n Beschränktheit: a n Binomi = = k=0 k=0 ( n k n k n(n (n k + n n n k! k! k=0 = + k! k! 2 k + k= n l=k = + 2 k k= n l=0 ( 2 = + ( 2 n = 3 Hier sieht man: e 3

38 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Die komplexen Zahlen Gruppe 242 Überblick: 3 + x = 2 hat keine Lösung in Æ Æ { } 3 x = hat keine Lösung in { } Körper É 3 x 2 = 2 hat keine Lösung in É É { 2} x 2 = hat keine Lösung in Ê Ê { } Aber: In gibt es keine Ordnung vollst Körper Körper Vieles in der Mathematik versteht man leichter in, zb Nullstellen von Polynomen, Matrizen, Potenzreihen, Lösungen von Differentialgleichungen Ê 24 Der Körper der komplexen Zahlen 243 Idee: Suche Körper (, +, mit Ê und =: i, also x + i y für x, y Ê, i 2 = Falls (, +, Körper, dann (x + i y + (x 2 + i y 2 = x + i y + x 2 + i y 2 = x + x 2 + i y + i y 2 = (x + x 2 + i (y + y 2 und (x + i y (x 2 + i y 2 = x x 2 + i y x 2 + x i y 2 + i y i y 2 Führt das zu einem Körper? = x x 2 + (i i y y 2 + i y x 2 + i x y 2 = (x x 2 y y 2 + i (y x 2 + x y Satz: := Ê Ê mit den Verknüpfungen (x, y + (x 2, y 2 := (x + x 2, y + y 2 (x, y (x 2, y 2 := (x x 2 y y 2, x y 2 + y x 2 ist ein Körper mit Nullelement 0 = (0, 0 Einselement = (, 0 (x, y = ( x, y ( x (x, y = x 2 + y, y 2 x 2 + y 2 falls (x, y (0, 0 (, +, heißt Körper der komplexen Zahlen In kann man also rechnen wie in jedem Körper

39 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 39 Beweis: Durch Nachrechnen, zb ( x (x, y x 2 + y, y = 2 x 2 + y 2 ( x 2 x 2 + y 2 y2 x 2 + y, x ( y 2 x 2 + y + y x 2 x 2 + y 2 = (, Ê als Teilmenge von : Die Abbildung f : Ê : x (x, 0 ist injektiv, und es gilt f(x + f(y = (x, 0 + (y, 0 = (x + y, 0 = f(x + y f(x f(y = (x, 0 (y, 0 = (x y, 0 = f(x y Es ist egal, ob ich in Ê rechne und dann abbilde, oder erst abbilde und dann in rechne Also: Identifiziere x Ê mit (x, 0 bzw Ê = f(ê Dann sind die Verknüpfungen +, : Fortsetzungen von +, : Ê Ê Ê Weiter gilt für α Ê, (x, y α (x, y = (α, 0 (x, y = (αx, αy = (x, y α 246 Vereinfachung: Sei i := (0, Dann gilt i 2 = Ê Die komplexe Zahl i heißt imaginäre Einheit Es ist (x, y = x(, 0 + y(0, = x + i y (x, y Ê Schreibe statt (x, y auch x+i y (Normalform einer komplexen Zahl, rechne wie in Ê, beachte i 2 = ZB: Berechne 4 + 3i 2 i = + 2i Veranschaulichung in der Gauß schen Zahlenebene y x

40 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Definition: Sei z = x + i y mit x, y Ê x heißt Realteil von z : x = Re z 2 y heißt Imaginärteil von z : y = Im z 3 z := x i y heißt die zu z konjugierte Zahl Im Re 248 Satz: Für z, z, z 2 gilt: z z ˆ= Spiegelung an reeller Achse in der Gauß schen Zahlenebene 2 z = z 3 z Ê z = z 4 Re z = z + z 2, Im z = z z 2i 5 z + z 2 = z + z 2 6 z z 2 = z z 2, ( z = z 7 z = x + i y z z = x 2 + y 2 Ê + 0 ZB: z = 3 + 5i z z = Bemerkung: Wegen i 2 = 2 kann nicht angeordnet werden 250 Definition: Sei z = x + i y Dann heißt z := z z = x 2 + y 2 (siehe Satz 248 der Betrag von z (Geometrisch: z = Länge von 0 bis z in Gauß scher Ebene

41 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 4 25 Hilfssatz: z = z 2 Re z z, Im z z 3 z = x Ê z = x = x Ê Also: Der Betrag in verallgemeinert den Betrag in Ê 252 Satz: (, ist ein bewerteter Körper, dh es gelten: (B z 0; z = 0 z = 0 (B2 z z 2 = z z 2 (B3 z + z 2 z + z 2 ( -Ungleichung Insbesondere: z z 2 = z z 2, z ± z 2 z z 2 (vgl Folgerungen 27 Beweis: (B z 0 okay z = 0 x 2 + y 2 = 0 x = 0 y = 0 z = 0 (B2 z z 2 2 = (z z 2 (z z 2 = z z 2 z z 2 = z z z 2 z 2 = z 2 z 2 2 (B3 z + z 2 2 = (z + z 2 (z + z 2 = (z + z 2 (z + z 2 = z z + z z 2 + z 2 z + z 2 z 2 = z 2 + z Re z z 2 }{{} 2 z z 2 =2 z z 2 =2 z z 2 ( z + z Folgen in Definition von Konvergenz: Siehe Definition Hilfssatz Vergleich von Beträgen: Sei z = x + i y Dann gilt z x + y 2 z Dh, wenn z klein ist, sind auch x, y klein und umgekehrt Beweis: (i z 2 = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 x 2 + y x y = ( x + y 2 z x + y

42 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 42 (ii Es gilt 0 ( x y 2 = x 2 2 x y + y 2 2 x y x 2 + y 2 (iii ( x + y 2 = x x y + y 2 (ii 2( x 2 + y 2 = 2 z 2 x + y 2 z 254 Folgerung: Seien z n = x n + i y n, z = x + i y Dann gelten lim n z n = z lim x n = x lim y n = y n n 2 (z n ist Cauchy-Folge in (x n, (y n sind Cauchy-Folgen in Ê 3 ist vollständig 255 Beispiele: z n = n }{{} 0 +i (2 n 2 }{{} 2 2i 2 z n = n + i n : (Im z n n Æ ist divergent (z n ist divergent 3 z n = ( n i n : (Re z n n Æ ist divergent (z n ist divergent 256 Rechenregeln für konvergente Folgen: Seien (a n, (b n konvergente Folgen in Dann gelten: M Ê + n Æ : a n M (Eine konvergente Folge ist beschränkt 2 (a n + b n ist konvergent mit lim (a n + b n = lim a n + lim b n n n n (endliche Summe und Grenzwert sind vertauschbar 3 Für λ ist (λ a n konvergent mit lim λ a n = λ lim a n n n 4 ( a n ist konvergent mit lim n a n = 5 (a n b n ist konvergent und lim n a n b n = lim a n n ( lim a n n lim n b n 6 Sei lim n a n 0 Dann existiert ein N Æ mit a n 0 für n > N Setze c n := b n a n für n N + 0 für n N Dann ist (c n konvergent mit lim n c n = lim b n n lim a n n

43 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 43 7 Sind (a n, (b n Folgen in Ê und N Æ, so gelten weiter a ( n N : a n b n lim n a n lim b n n b lim a n = lim b n ( n N : a n c n b n (c n konvergent lim c n = lim n n n (Sandwich-Satz, Prinzip der Polizisten n a n Beweis: Zu Sei ε := n Æ n > n : a n a < n > n : a n = a n a + a a n a + a < + a Wähle M := max { a, a 2,, a n, + a } Zu 5 Vorüberlegung: a n b n a b = a n b n a n b + a n b a b a n b n a n b + a n b a b = a n b n b + b a n a Also: Sei M > 0 mit n Æ : a n M, sei ε > 0 fest Wähle n mit n > n : b n b < ε 2M Wähle n 2 mit n > n 2 : a n a < ε (falls b 0, sonst n 2 beliebig 2 b Wähle n ε := max{n, n 2 } Für n > n ε gilt a n b n a b M ε 2M + b ε 2 b = ε Zu 7 a n c n b n 0 b n c n b n a n, also b n c n b n a n c n a = c n b n + b n a c n b n + b n a b n a n + b n a b n a + a a n + b n a 0 ZB: a n = n2 + i n 3 + i n 2 ZB: a n = 2n + i 7 n i n 2 7 n

44 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 44 ZB: ( + n n 3 (vgl Beweis von 24 k! ( k=0 a n := + n n e b n := ist monoton wachsend und beschränkt, also in Ê konvergent k! k=0 e lim b n 3 n Man kann zeigen: k! k=0 := lim n b n = e 243 Polardarstellung komplexer Zahlen Im Re 257 Satz: Für jedes z \ {0} existieren eindeutige Zahlen r Ê +, ϕ [0, 2π[, so dass z = r(cosϕ + i sin ϕ ( Man nennt ( die Polardarstellung von z Es gilt Der Winkel ϕ heißt Argument von z: r = z, cos ϕ = Re z Im z, sin ϕ = z z ϕ = arg(z 258 Tabelle wichtiger Werte: ϕ 0 30 ˆ= π 6 0 sin ϕ cosϕ ˆ= π 4 60 ˆ= π ˆ= π ZB: z = + i, z 2 = i, z 3 =, z 4 = 3i 259 Multiplikation: z = r (cosϕ + i sin ϕ, z 2 = r 2 (cosϕ 2 + i sin ϕ 2 z z 2 = r r 2 ( cosϕ cos ϕ 2 sin ϕ sin ϕ 2 + i (cosϕ sin ϕ 2 + sin ϕ cosϕ 2 = r r 2 (cos(ϕ + ϕ 2 + i sin(ϕ + ϕ 2

45 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 45 wegen der Additionstheoreme cos(ϕ + ϕ 2 = cosϕ cosϕ 2 sin ϕ sin ϕ 2, sin(ϕ + ϕ 2 = cosϕ sin ϕ 2 + sin ϕ cosϕ 2 Also: Komplexe Zahlen werden multipliziert, in dem man ihre Beträge multipliziert und die Winkel addiert Im Re 260 Vereinfachung: Wir schreiben e iϕ := cosϕ + i sin ϕ (ϕ im Bogenmaß Damit wird die Polardarstellung zu z = r e iϕ Additionstheoreme e i ϕ e i ϕ 2 = e i(ϕ +ϕ 2 Multiplikation komplexer Zahlen: r e iϕ r 2 e iϕ 2 = r r 2 e i(ϕ +ϕ 2 Wichtig: Für ϕ Ê gilt e iϕ = cos2 ϕ + sin 2 ϕ = ZB: ( + i n ZB: Bestimme alle Lösungen von z 3 = 8 26 Die n-te Wurzel: Es seien r ]0, [ und ϕ [0, [ gegeben Die Gleichung z n = r e iϕ = r(cosϕ + i sin ϕ hat genau n verschiedene Lösungen ( z k = r /n e i ϕ+2kπ n = r /n cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ, k = 0,,, n n n Dh die Gleichung z n = a hat für a 0 genau n verschiedene Lösungen Spezialfall n = 2: Für a \ [0, [ bezeichnen wir mit a eine (egal welche Lösung von z 2 = a ZB: 8i bezeichnet (2 + 2i oder 2 2i

46 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Quadratische Gleichungen: Die Gleichung az 2 + bz + c = 0 (a 0 hat die Lösungen Beweis: a z 2 + bz + c = 0 z /2 = b ± b 2 4ac 2a z 2 + b a z + c a = 0 z b ( 2 ( 2 b b 2a z + = c ( 2a 2a a z + b 2 = ( b 2 4ac 2a 4a 2 z + b 2a = ± b2 4ac 2a z = b 2a ± b2 4ac 2a 244 Polynome 263 Definition: Ein Polynom ist eine Funktion P : : z a k z k = a 0 + a z + + a n z n k=0 mit den Koeffizienten a k Falls a 0, a,,a n Ê, heißt das Polynom reell (dann betrachtet man auch P : Ê Ê Ist a n 0, so heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad P Für das Nullpolynom: Grad 0 := 2 Eine rationale Funktion ist eine Funktion z P(z mit geeignetem Definitionsbereich, Q(z wobei P, Q Polynome sind 3 Die Menge der komplexen/reellen Polynome: [x], Ê[x] 264 Berechnung: P(z = ( ((a n z + a n z + a n 2 z + + a z + a 0 Hierfür werden nur n Multiplikationen benötigt statt n(n+ 2 (Hornerschema ZB: P(z = 4z 3 3z 2 + 2z = ( (4z 3z + 2 z Berechnung von P(2: a k z = = P(2 Klar ist: Sind P, P 2 0 Polynome, dann ist P P 2 Polynom mit Grad(P P 2 = (GradP + GradP 2 Philosophie: Rechnen mit Polynomen analog Rechnen mit ganzen Zahlen Rechnen mit rationalen Funktionen analog Rechnen mit rationalen Zahlen

47 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Division mit Rest: Seien P, Q Polynome, GradQ GradP Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome P und R, so dass P = Q P + R GradR < GradQ ZB: (4z 4 4z 3 +6z 2 +3z 5 : (2z } 3 + {{ 3z + } = } 2z {{ 7 } 4z 4 +6z 2 +2z Q 4z 3 + z 5 4z 3 2z 7 22z+2 P Satz: Sei P [x], Grad P, λ Dann gilt: R {}}{ 22z + 2 2z 3 + 3z + P(λ = 0 (z λ ist Teiler von P, dh P(z = (z λp (z Beweis: klar : Es gilt P(z = (z λp (z + R(z, GradR <, also R = konstant 0 = P(λ = 0 P (λ + R(λ R = Folgerung: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene Nullstellen Beweis: Annahme: P(λ j = 0, j = 0,,n +, alle λ,,λ n+ verschieden P(z = (z λ (z λ n+ Q(x = Polynom vom Grad > n 268 Identitätssatz: Sind P(z = a k z k, Q(z = k=0 b k z k k=0 Polynome vom Grad n, die an mindestens n + verschiedenen Stellen übereinstimmen, so gilt P = Q, dh a k = b k für k = 0,,,n Beweis: P Q hat mindestens n + Nullstellen und Grad(P Q n P Q = Definition: λ heißt k-fache Nullstelle von P oder Nullstelle mit Vielfachheit k, falls (z λ k, aber nicht (z λ k+ Teiler von P ist Dh P(z = (z λ k P (z mit P (λ 0

48 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite Fundamentalsatz der Algebra (CF Gauß 799: Sei P [x] Polynom vom Grad n : P(z = a n z n + a n z n + + a 0 mit a n 0 Dann gelten P hat in mindestens eine Nullstelle 2 Es gibt komplexe Zahlen λ,,λ n (nicht notwendig verschieden, so dass P(z = a n (z λ (z λ n Die λ j sind bis auf Nummerierung eindeutig Zählt man jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit, so hat P genau GradP Nullstellen 27 Hornerschema: Seien P(z = a n z n + a n z n + + a 0 und z 0 gegeben a k a n a n a n 2 a 0 z = z 0 z 0 a n z 0 b n z 0 b a n a n + z 0 a n a n 2 + z 0 b n a 0 + z 0 b =: b n =: b n 2 =: b 0 = P(z 0 Dann kann in der letzten Zeile das Ergebnis der Polynomdivision P(z : (z z 0 abgelesen werden: P(z : (z z 0 = a n z n + b n z n b 2 z + b + b 0 z z 0 ZB: P(z = z 4 5z 2 2z, z 0 = 2 a k z = P(z 0 = 0, P(z : (z + 2 = z 3 2z 2 z 272 Reelle Polynome: Ist P reelles Polynom und λ Nullstelle, dann ist auch λ Nullstelle Also: Eine Nullstelle ist entweder reell oder ist λ \ Ê Nullstelle, dann auch λ Fall : λ Ê: P(z = (z λp (z (P reelles Polynom Fall 2: λ \ Ê: P(z = (z λ(z λp (z = (z 2 (2Re λz + λ 2 P (z (P reelles Polynom Aus dem Fundamentalsatz folgt nun: Ein reelles Polynom ist darstellbar als Produkt von linearen und quadratischen reellen Polynomen, wobei die quadratischen Polynome keine reellen Nullstellen besitzen (dh sie sind in Ê irreduzibel

49 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 49 ZB: P(z = z 4 + 4z 3 + 2z 2 + 4z + hat Nullstelle z = i weitere Nullstelle z = i (z i(z + i = z 2 + (z 4 + 4z 3 + 2z 2 + 4z + : (z 2 + = z 2 + 4z + z 2 + 4z + = 0 z /2 = 4 ± 6 4 = 2 ± 3 2 P(z = (z 2 + (z ( 2 + 3(z ( Rationale Nullstellen: Sei P(x = a k x k mit a 0,,a n Ist x = p q Nullstelle von P, wobei p, q teilerfremd sind, dann ist p Teiler von a 0 und q Teiler von a n k=0 Beweis: 0 = a n ( a b n + an ( a b n + + a0 0 = a n a n + a n a n b + + a 0 b n a n a n = b( n a,b teilerfremd b a n a b a n Genauso: b n a 0 = a( a b n a 0 a a 0 ZB: P(x = x 3 2x 2 6x + 4 Wegen a n = a 3 = sind alle rationalen Nullstellen ganze Zahlen Wegen a 0 = 4 kommen nur x = ±, ±2, ±4 in Frage Probieren: P( 2 = 0 ZB: P(x = 2x 4 4x 3 + 6x 2 + x Teiler von a n = a 4 = 2 :, 2, 3, 4, 6, 2 Teiler von a 0 = : Mögliche rationale Nullstellen x = ±, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 2 Probieren: P( 3 = 0

50 Mathematik I für inf/swt, Wintersemester 200/, Seite 50 3 Lineare Algebra 3 Linearität 3 Definition: Ein Vektorraum oder linearer Raum über einem Körper à (zb à = Ê, à =, à = p ist eine abelsche (dh kommutative Gruppe (V, +, versehen mit einer Skalarenmultiplikation (S (λ + µ v = λ v + µ v (S2 λ (v + w = λ v + λ w (S3 λ (µ v = (λ µ v (S4 v = v : à V V : (λ, v λ v, so dass Die Elemente des Vektorraumes heißen Vektoren Das neutrale Element der Gruppe (V, + heißt auch Nullvektor 0 Beispiele: V = Ê n = ( x x n + ( y y n x x 2 x n : x,,x n Ê ist ein Vektorraum über Ê mit = ( x + y, λ x n + y n ( x x n = λ x λ x n 2 V = n = {( z z n ist ein Vektorraum über oder über Ê mit Definition von +, wie in } : z,,z n 3 Vektorraum der Folgen: ist Vektorraum über (oder über Ê mit V 3 := {(a n n Æ n Æ : a n } (a n + (b n := (a n + b n, λ (a n := (λ a n 4 Vektorraum der konvergenten Folgen: V 4 := C := {(a n n Æ n Æ : a n a : a n a} ist Vektorraum über (oder über Ê mit Definition von +, wie in 3 5 V 5 := F := {f : }: Vektorraum der komplexen Funktionen mit f + g : x f(x + g(x, λ f : z λ f(z