Vorwort. Daniel Waschmann Freiformkurven und Freiformflächen BG / BRG Schwechat

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1 1 Vorwort In drei Jahren Darstellender Geometrie lernt man einiges über geometrische Objekte, Zusammenhänge, Besonderheiten und Konstruktionen, welche räumliches Vorstellungsvermögen erfordern und auch stark fördern. Mein Interesse an der Geometrie wurde im Unterricht Geometrisch Zeichnen der Unterstufe erstmals deutlich, seither zeichne und konstruiere ich plastische Körper, Objekte und Impossibles in meiner Freizeit. Als wir im DG-Unterricht zu Beginn des zweiten Semesters der 7. Klasse mit CAD (Microstation) begannen, war ich zu Beginn nicht sonderlich begeistert davon. Erst als wir nach den 2D-Konstruktionen in die 3D- Modellierungen wechselten, fand ich es immer interessanter und saß in meiner Freizeit oft stundenlang an diversen Modellierungen, um zu fotorealistischen Darstellungen zu kommen; Im Prinzip glich das Programm meine Fehler auf dem Papier aus, ich konnte auch gezielt an der optischen Wirkung meiner Arbeiten feilen. Zwar kommt man, selbst wenn man nur mit einfachen Flächen und Volumina arbeitet, kaum an seine Grenzen, aber als wir im Unterricht ein wenig über die Bézierkurve und B- Spline lernten und diese auch anwendeten, fand ich es zunächst eine interessante Spielerei, Kurven mit wenig Aufwand nach Belieben formen zu können. Mit den gängigen Funktionen in Microstation ergab sich so eine Vielfalt an Möglichkeiten, Objekte individueller zu formen und sie naturgetreuer aussehen zu lassen, weshalb ich mich für dieses Thema als Fachbereichsarbeit entschieden habe. Da ich nun Großteils mit Freiformkurven und Flächen in Microstation arbeite, erhoffe ich mir durch die genauere Befassung mit diesem Thema ein besseres Verständnis, welches mir später ein eleganteres und präziseres Modellieren ermöglicht.

2 2 Inhaltsverzeichnis 1. Freiformkurven S Allgemein S Bézier und de Casteljau S Bézierkurven S Trennung und Gradsteigerung Rekonstruktion von Kontrollpunkten Parabel als Bézierkurve Parameterdarstellung 1.4 B-Spline S Die Konstruktion Vorteil der B-Spline Geschlossene Bézierkurve 1.5 NURBS S Design mit Freiformkurven S Freiformkurven in Anwendung mit Microstation S Freiformflächen S Allgemein S Bézierflächen S Parameterdarstellung Schiebeflächen 2.3 B-Spline und NURBS Flächen S.28

3 3 Inhaltsverzeichnis 3. Design S Designertisch S Knoten S Designerstuhl S Sechskantschlüssel S Zusammenfassend S Quellennachweis S.38

4 4 1. Freiformkurven 1.1 Kurven allgemein Der geometrische Zugang definiert eine Kurve als den geometrischen Ort von Punkten in der Ebene bzw. im Raum, der durch gewisse Eigenschaften festgelegt ist( ) Der kinematische Zugang definiert eine Kurve als Bahnkurve eines bewegten Punktes, wobei die Bewegung durch eine Gesetzmäßigkeit festgelegt ist( ) Für ebene Kurven (Kurven im R²) existieren etwa (i) Die explizite Darstellung y = f(x) bzw. x = g(y) (ii) Die Polarkoordinatendarstellung r = r(ϕ) (iii) Die implizite Darstellung F(x,y) = 0 (iv) Die Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t) ( ) Für eine Verallgemeinerung auf Kurven im R n eignet sich am besten die Parameterdarstellung. (Maximilian Ganster 2009, Analysis 2: DL :49) Wir haben in Mathematik und Darstellender Geometrie mit vielen verschiedenen Kurven gearbeitet, wie mit Geraden, Kreisen, Kegelschnitten, Sinuskurven, Funktionsgraphen von Polynomfunktionen, rationalen Funktionsgraphen, Exponentialfunktionen usw. Eine bedeutende Erweiterung sind die Freiformkurven wie Bézierkurven, B-Splines und NURBS, die ihre Anwendung hauptsächlich im CAD haben.

5 5 1.2 Bézier und de Casteljau Anfang der 60er Jahre entwickelten Pierre Bézier bei Renault, und Paul de Faget de Casteljau bei Citroën, unabhängig voneinander das Schema der Bézierkurve mit dem Hintergedanken des vereinfachten Modellierens von gekrümmten Flächen. Generell war der Wunsch nach dem Modellieren auf dem Bildschirm groß, denn bis dato wurden Fahrzeuge per Hand gezeichnet. Um ein realistisches Modell zu bekommen, musste man den Entwurf bauen, was zeitaufwendig und arbeitsintensiv war und im Endeffekt der Erwartung vom handgezeichneten Modell oft nicht gerecht werden konnte, dann musste der Entwurf völlig neu überdacht werden, falls einige Details unpassend waren. Da Citroën die Forschungen von de Casteljau aber einige Jahre als Betriebsgeheimnis geheim hielt, konnte Bézier seine Ergebnisse (trotz der späteren Entdeckung) früher veröffentlichen, was sich auf die Namensgebung der Kurve auswirkte. Dafür gab de Casteljau, nach der Veröffentlichung seiner Forschungen Ende der 60er Jahre, dem Algorithmus der Bézierkurve seinen Namen Der Algorithmus nach de Casteljau. 1.3 Bézierkurven Die Bézierkurve ist die Grundlage aller Freiformkurven und Freiformflächen, und kann sowohl offen als auch geschlossen angewendet werden. Zur Erklärung: (Abb. 1) (Abb. 2) P 0, P 1, P 2 Punkte des Kontrollpolygons K (Abb.1) Kurvenpunkt im Parameter t = 0.25 K (Abb.2) Kurvenpunkt im Parameter t = 0.5

6 6 Zur Festlegung einer Bézierkurve 3. Ordnung (bzw. 2. Grades, doch dazu später) werden 3 Kontrollpunkte (P 0, P 1, P 2 ) gesetzt, die den Kurvenverlauf bestimmen. Der Parameterwert t (0 t 1) gibt ein Teilungsverhältnis t : (1-t) an, in dem die Strecken und jeweils geteilt werden. Die Verbindungsstrecke der Teilungspunkte T 1 und T 2 wird im selben Verhältnis geteilt und ergibt den Kurvenpunkt K (in Abb. 1 im Parameter t=0.25). In Abb. 2 sieht man die Lage eines zusätzlichen Punktes in t=0.5. (Ergänzung zu Abb. 1 & 2) (Abb. 3) K Kurvenpunkt im Parameter t = 0.75 k Konstruierte Bézierkurve Wie bereits erwähnt, ist die vorliegende Kurve eine Bézierkurve 2. Grades, beziehungsweise 3. Ordnung. Der Grad gibt die Anzahl der Seiten des Kontrollpolygons an, die Ordnung die Anzahl der Kontrollpunkte des Polygons. Das bedeutet, dass eine Bézierkurve vom Grad n die Ordnung n+1 hat. Ein Beispiel für den Grad 4 (Konstruktiv ausgeführt ist die Ermittlung von K 0,4 ): (Abb. 4 Bézierkurve 4. Grades) (Abb. 5 Bézierkurve 4. Grades mit Kurvenpunkt K in t=0.4)

7 7 Die n Strecken des gegebenen Polygons werden im konstanten Teilungsverhältnis t : (1 t) geteilt, diese Teilungspunkte ergeben ein neues Polygon mit n-1 Teilstrecken. Diese werden wiederum im jeweiligen Verhältnis geteilt, die Seitenanzahl des daraus resultierenden Polygons beträgt nun n-2. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis nur noch eine einzige Verbindungsstrecke mit ihrem Teilungspunkt, dem Kurvenpunkt P, bleibt. Diese letzte Gerade bildet eine Tangente im Punkt P (vgl. Glaeser 2007: S. 240). Daher hüllt diese Strecke bei der Variation des Parameters t die Freiformkurve ein, wie in der folgenden Grafik zu sehen ist: (Abb. 6 Tangenten umhüllen die Bézierkurven) Die Richtigkeit dieser Aussage werde ich später bei der analytischen Behandlung der Tangentensteigung von Bézierkurven rechnerisch nachweisen. Aufgrund ihrer Konstruktionsvorschrift haben Bézierkurven sehr vorteilhafte geometrische Eigenschaften: Sie liegen immer innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollpolygons, verlaufen durch die Randpunkte des Polygons und berühren dort das Polygon. Die Kurve oszilliert nicht unnötig, so dass sie eine beliebige Testgerade sicher nicht öfter als das Polygon schneidet. Weiter genügt es, bei Rotationen, Spiegelungen, Translationen, Skalierungen und Parallelprojektionen, das Kontrollpolygon der Transformation zu unterwerfen, weil die angegebene Konstruktion von Kurvenpunkten und Tangenten affine Transformationen verkraftet. Die Kontrollpunkte gehen somit in die Kontrollpunkte der Bildkurve über. (Glaeser 2007: S. 241)

8 Trennung und Gradsteigerung (Abb. 7 Zerlegung über Kontrollpolygone in t=0.5) Die Trennung einer Bézierkurve in Teilkurven erfolgt über Kontrollpolygone. Wie in Abbildung 7 veranschaulicht, entstehen 2 Kurven desselben Grades, die vom Berührbzw. Kurvenpunkt P (dem jeweiligen Parameter entsprechend) geteilt werden. (vgl. Wong 2003, S. 42 f.) Jede Bézierkurve des Grades n kann als auch als eine Kurve des Grades n + x (x als positive, ganze Zahl) dargestellt werden. Wie in Abbildung 8 dargestellt, werden bei einer Graderhöhung zunächst die Seiten des Ausgangspolygons in einem bestimmten Verhältnis geteilt. Der erste Kontrollpunkt N 1 erhält seine Position auf n/(n+1) der Strecke, in diesem Fall 3/4. Der zweite Kontrollpunkt wird in (n-1)/(n+1) auf der zweiten Seite des Polygons gesetzt, der dritte in (n-2/ (n+1), bis hin zu 1/(n+1). Die Verbindung der Teilungspunkte (Anfangs und Endpunkt des Ausgangspolygons mitinbegriffen) ergeben ein neues Kontrollpolygon, welches nun n+1 Seiten hat, und beliebig oft um einen weiteren Grad erweitert werden kann. (vgl. Wong 2003, S. 47)

9 9 (Abb. 8 Erklärungsgrafik zur Gradsteigerung) Rekonstruktion von Kontrollpunkten Kontrollpunkte werden immer nach einer bestimmten Vorstellung einer resultierenden Kurve gesetzt. Deshalb ist es oft von Vorteil, (ungefähr) zu wissen, wo sich diese Punkte befinden. Natürlich ist es unmöglich, hochgradige verwundene Bézierkurven und B-Splines genau zu analysieren, aber wenn man mit Bézierkurven 2. / 3. Grades zu tun hat, gibt es bestimmte Merkmale, an denen man sich orientieren kann. Bézierkurve zweiten Grades: (Abb. 9 Rekonstruktion des Kontrollpolygons bei Kurven zweiten Grades) Anfangs- und Endpunkt der Kurve stimmen überein mit dem ersten und dritten Kontrollpunkt. Der zweite, fehlende Punkt wird folgendermaßen ermittelt: Zum einen kann er näherungsweise als Schnittpunkt der Tangenten in Anfangs- und Endpunkt erhalten werden, zum anderen kann er auch auf folgende Weise (etwas genauer) ermittelt werden: Man verbindet den Halbierungspunkt der Basisstrecke (Verbindung

10 10 von Anfangs- und Endpunkt der Strecke) mit jenem Kurvenpunkt, dessen Tangente zur Basisstrecke parallel ist und dem Parameter t = 0,5 entspricht. Aus dem Strahlensatz ergibt sich, dass eine Verdopplung dieser Verbindungsstrecke den gesuchten Kontrollpunkt ergibt. Orientierungsfaktoren sind also die Tangenten im Anfangs und Endpunkt, sowie der von der Basisstrecke aus am Weitesten entfernte Punkt der Kurve. Bézierkurve dritten Grades (falls das Kontrollpolygon ein Trapez bildet): (Abb. 9 Rekonstruktion des Kontrollpolygons bei Kurven dritten Grades) Bei einer kubischen Bézierkurve muss man sich ebenfalls am von der Basis entferntesten Punkt und an Anfangs - sowie Endpunkttangenten orientieren. Der Scheitel liegt bei diesen Kurven, falls das Kontrollpolygon ein Trapez bildet, immer auf ¾ der Schwerlinie (Verbindung des Basishalbierungspunktes mit dem Schnittpunkt der Tangenten in Anfangs- und Endpunkt), was mit der Parameterdarstellung (bei t = 0.5) nachzuweisen ist. Um zu einem anschaulichen Ergebnis zu kommen, sollten zunächst die Tangenten von Anfangs- und Endpunkt schätzungsweise definiert und geschnitten werden, um durch Basismittelpunkt und den Tangentenschnittpunkt die Schwerlinie legen zu können. Fachleute im Design sind in den wenigsten Fällen an der Mathematik der Kurven interessiert. Sie sind in erster Linie darauf bedacht, ihre Arbeit gut und schnell zu erledigen. Die oben genannten geometrischen Eigenschaften der Bézierkurven kommen ihrem ausgeprägten geometrischen Gespür insofern entgegen, als sie aus ihren von Hand gezeichneten Entwürfen ablesen können, wo sie den ersten und den letzten Kontrollpunkt, also P 0 und P 3 platzieren sollen. Ebenso können sie abschätzen, wie die Tangenten in diesen Eckpunkten verlaufen. Also setzen sie die weiteren Kontrollpunkte P 1 und P 2 entlang der Tangenten in P 0 und P 3, und zwar umso weiter weg vom Kurvenendpunkt, je mehr sich die Kurve der Tangente anschmiegt. (Wong 2003: S.21)

11 Parabel als Bézierkurve Bézierkurven 2. Grades sind Parabeln. Das kann mit der Vektorrechnung nachgewiesen werden: (Abb. 9 Parabel mit f: y= 1/2x 2 ) Die vorliegende Parabel (Abb. 9) hat den Funktionsterm y = ½ x². Es wird eine Tangente an die Parabel gelegt und ihr Schnittpunkt mit der Tangente des Punktes P(0/0) (in diesem Fall mit der X-Achse) ermittelt. Die Tangente durch den Punkt R(2/2) schneidet die X-Achse im Punkt Q(1/0). Die Punkte P, Q und R bilden ein Bézierpolygon und es gilt zu beweisen, dass dessen Kurve ein Teil der Parabel ist. Mithilfe der Teilungspunktberechnung bzw. der Vektorrechnung werden die Kurvenpunkte der Bézierkurve berechnet. Für die X-Koordinaten: (x T1 x P ) : (x Q x T1 ) = t : (1 t); Vektorform : x T1 = x P (1 t) + x Q * t Für die Y-Koordinaten: (y T1 y P ) : (y Q y T1 ) = t : (1 t); Vektorform : y T1 = y P (1 t) + y Q * t Nun wird ein Parameterwert t gewählt, zum Beispiel Somit ergeben sich folgende Teilungspunkte (siehe Abb.10): x T1 = 0* *0.25 x T1 = 0.25 y T1 = 0* *0.25 y T1 = 0 T 1 (0.25/0) x T2 = 1* *0.25 x T2 = 1.25 y T2 = 0* *0.25 y T2 = 0.5 T2 (1.25/0.5)

12 12 K = T 1 *(1 - t) + T 2 *t x K = 0.25* *0.25 x K = 0.5 y K = 0* *0.25 y K = Kurvenpunkt K(0.5/0.125) (Abb. 10) Der Kurvenpunkt K im Parameter 0.25 hat die Koordinaten (0.5/0.125). Durch Einsetzen in den Funktionsterm ist zu überprüfen, ob K auf der Parabel liegt: y = ½ * 0.5² y = K ist also ein Punkt der Parabel; Überprüft man dies mit dem Kurvenpunkt jedes Parameters, erhält man immer wieder dasselbe Ergebnis. Jeder Punkt der Bézierkurve ist ein Punkt der Parabel Parameterdarstellung Aus der bereits verwendeten Vektorform zur Teilungspunktberechnung wird die Parameterdarstellung der Bézierkurve hergeleitet. Im Allgemeinen gilt für jeden Teilungspunkt P der Polygonseiten (hier n = 2): P 0 1 = P 0 * (1 t) + P 1 * t P 1 1 = P 1 * (1 t) + P 2 * t K = P 0 2 = P 0 1 * (1 t) + P 1 1 * t Rechnerisch zusammengefasst ergibt sich für den Kurvenpunkt K folgende Parameterdarstellung: K = [P 0 * (1 t) + P 1 * t] * (1 t) + [P 1 * (1 t) + P 2 * t] * t K = P 0 * (1 t) 2 + P 1 * 2(1 t) * t + P 2 * t 2

13 13 In Summenschreibweise gilt allgemein K = ( i n ) * P i * (1 t) (n-i) * t i Diese Parameterdarstellung der Bézierkurven jeden Grades (n 2) wird häufig angewendet, und ist im Übrigen der Binomischen Formel (a + b) n = ( i n ) * a (n-i) b i im Aufbau sehr ähnlich. (vgl. Wong 2003: S.48) Beispiel: Gegeben sind die Punkte P 0 (0/0) P 1 (3/5) P 2 (4/1) P 3 (7/4) des Bézierpolygons, sowie die Parameter. t 1 = 0.4 und t 2 = 0.75 der Punkte K 1 bzw. K 2. Gesucht sind zwei Kurvenpunkte zu den Parameterwerten t 1 und t 2, sowie die Tangenten der Kurve in t=0 sowie t=1. Kurvenpunkt K 1 /K 2 : K = ( i 3 ) * P i * (1 t) (3-i) * t i K 1 = 1*P 0 *(1 t 1 ) 3 *t *P 1 *(1 t 1 ) 2 *t 1 + 3*P 2 *(1 t 1 )*t *P 3 *(1 t 1 ) 0 *t 1 3 X K1 = y K1 = K 1 (2.896/2.704) K 2 = 1*P 0 *(1 t 2 ) 3 *t *P 1 *(1 t 2 ) 2 *t 2 + 3*P 2 *(1 t 2 )*t *P 3 *(1 t 2 ) 0 *t 2 3 x K2 = y K2 = K 2 (5.0625/2.8125) Tangentensteigung: Die Tangente an einen Punkt K wird über die Ableitung der Parameterform nach t berechnet. x K = 9*(1 t 1 ) 2 *t *(1 t 1 )*t *(1 t 1 ) 0 *t 1 3 x K = 9t 1 18t t t t t 1 3 = 4t 1 3 6t t 1 x K (t) = 12t t y K = 15*(1 t 1 ) 2 *t 1 + 3*(1 t 1 )*t *(1 t 1 ) 0 *t 1 3 y K = 15t 1 30t t t 1 2 3t t 1 3 = 16t t t 1 y K (t) = 48t t

14 14 Nun kann der Richtungsvektor einer Tangente jedes Parameters ermittelt werden. Am Beispiel t = 0 sowie t = 1(Kurvenpunkt P 0 bzw. P 3 ): x T1 = Kx (t=0) = 9 x T1 = Ky (t=1) = 15 x T2 = Kx (t=0) = 9 x T2 = Ky (t=1) = 9 Der Tangentenvektor T 1 (9/15) // (3/5) hat die Richtung der Geraden P 0 P 1, T 2 (9/9) // (1/1) ist parallel zu P 2 P 3. Das zeigt, dass Anfangs und Endpunkt der Bézierkurve hier die Anfangs bzw. Endstrecken des Polygons als Tangente haben. Hüllkurve: Wie bereits erwähnt bilden die letzten beiden Teilungspunkte im Konstruktionspolygon jedes Kurvenpunktes dessen Tangente. Die Kurve wird von einer Schar von Tangenten umhüllt (Hüllkurve). (vgl. 1.3 Bézierkurven: Abb. 6) Dies ist folgendermaßen zu beweisen: Die Parameterform einer allgemeinen Bézierkurve von n=3 K = 1*R 0 *(1 t) 3 *t 0 + 3*R 1 *(1 t) 2 *t + 3*R 2 *(1 t)*t 2 + 1*R 3 *(1 t) 0 *t 3 K = (1 t) 3 *R 0 + 3t*(1 t) 2 *R 1 + 3t 2 *(1 t)*r 2 + t 3 *R 3 wird abgeleitet. Man erhält den Tangentenvektor. K = -3(1 - t) 2 *R 0 + [3(1 t) 2 6t(1 t)]*r 1 + [6t(1 t) 3t 2 ]*R 2 + 3t 2 *R 3 K = -3(1 - t) 2 *R 0 + (9t 2 12t + 3)*R 1 + (-9t 2 + 6t) + 3t 2 *R 3 Nun werden über die Teilungspunktberechnung die beiden letzten Teilpunkte (T 1 0 und T 1 1 ) des Konstruktionspolygons berechnet: T 0 0 = (1 t)*r 0 + t*r 1 T 0 1 = (1 t)*r 1 + t*r 2 T 0 2 = (1 t)*r 2 + t*r 3 T 1 0 = T t*(t 0 1 T 0 0 ) T 1 0 = (1 t) 2 *R 0 + 2t(1 t)*r 1 + t 2 *R 2 T 1 1 = T t*(t 0 2 T 0 1 ) T 1 1 = (1 t) 2 *R 1 + 2t(1 t)*r 2 + t 2 *R 3 Die beiden Punkte bilden folgenden Vektor:

15 15 = [T 1 1 = (1 t) 2 *R 1 + 2t(1 t)*r 2 + t 2 *R 3 ] [T 1 0 = (1 t) 2 *R 0 + 2t(1 t)*r 1 + t 2 *R 2 ] = (1 t) 2 *R 0 + (3t 2 4t + 1)*R 1 + (-3t 2 + 2t)*R 2 + t 2 *R 3 Der Tangentenvektor K ist ein Vielfaches des Vektors ; sie sind ident. Somit ist bewiesen, dass jeder Kurvenpunkt der Bézierkurve die Verbindungsstrecke seiner letzten beiden Teilungspunkte als Tangente hat. 1.4 B Spline Das Problem bei Bézierkurven in Bezug auf die Anwendung in CAD-Programmen ist, dass sie im Nachhinein zwar anhand der Kontrollpunkte veränderbar sind, eine solche Veränderung jedoch die gesamte Kurve beeinflusst. Um diesem globalen Einfluss auf die Kurve zu entgehen, wurden die B-Splines und des Weiteren die NURBS entwickelt, welche ein Eingreifen mit dem Ergebnis einer lokalen Veränderung ermöglichen. (Abb. 11 Bézier Spline zweiten, dritten und vierten Grades, bei kongruenten Kontrollpolygonen) Die Basisfunktion einer B-Spline (Bézier-Spline) wird, analog zum de Casteljau Algorithmus der Bézierkurve, durch den de Boor Algorithmus von Cox de Boor definiert. Der Grad einer B-Spline gibt die Anzahl der Kontrollpunkte (oder de Boor Punkte) an, die für die Lagebestimmung eines Kurvenpunkts zuständig sind, also die Mindestanzahl, die für eine Bestimmung der Kurve nötig ist. Somit braucht eine B-Splinekurve 4. Grades (Abbildung 11 Mitte) vier oder mehr Kontrollpunkte, wobei eine B-Splinekurve vom Grad n mit n+1 Kontrollpunkten einer Bézierkurve gleichkommt.

16 Die Konstruktion Die allgemeine B-Spline wird nach Cox de Boor folgendermaßen konstruiert: Es wird ein Kontrollpolygon festgelegt (bestenfalls mit mehr als 4 Kontrollpunkten, um das Beispiel anschaulich zu machen); in diesem Fall eines mit 6 Kontrollpunkten (Abb. 12 links), das eine B-Spline Kurve des Grades 3 darstellen soll. Die erste Seite des Polygons bleibt unverändert, die zweite wird halbiert, die dritte Seite gedrittelt. Nach demselben Schema wird von der anderen Seite vorgegangen die letzte Polygonseite bleibt unverändert, die vorletzte wird halbiert, die drittletzte, wie auch alle zwischenliegenden Seiten (falls solche vorhanden), werden gedrittelt (Abb. 12 rechts). Handelt es sich beispielweise um eine B-Spline des Grades 5, wird der Vorgang um eine geviertelte und eine fünfgeteilte Seite erweitert. (vgl. Pillwein u.a. 2006: S. 73) (Abb. 12 Grundpolygon und erweitertes Polygon im Fall einer B-Spline) Nun werden die neu gesetzten Teilungspunkte der Reihe nach ab dem 2. Polygonpunkt miteinander verbunden, und die Verbindungsstrecken die nicht auf dem Grundpolygon liegen, halbiert (der Halbierungspunkt bildet einen neuen Polygonpunkt).

17 17 Das neue Polygon hat nun 7 Seiten, aber 10 Kontrollpunkte, da zwei Polygonseiten einen Kontrollpunkt an ihrer Halbierung besitzen. Die B-Spline wird nun durch drei Bézierkurven dritten Grades definiert (Abb. 13 rechtes Bild, durch verschiedene Farben dargestellt), wobei die Kurven zwei gemeinsame Kontrollpunkte mit gleichen Tangenten besitzen, was die Krümmungsstetigkeit zwischen ihnen garantiert. Handelt es sich um eine B-Splinekurve X-ten Grades, wird die Kurve aus Bézierkurven des Grades X zusammengesetzt. (Abb. 13 Vollständiges Polygon und Kurvensegmente) Vorteil der B-Spline (veranschaulicht) Das Bewegen ( Zupfen ) eines Kontrollpunktes hat, wie bereits erwähnt, nur einen lokalen Einfluss auf die Kurve, wie an dem folgendem Beispiel gut zu sehen ist:

18 18 (Abb. 14 Auswirkung auf die Kurve beim zupfen eines Kontrollpunktes) Der vorletzte Kontrollpunkt E wurde verändert, die Kurve ändert sich aber nur teilweise. Den stärksten Einfluss hat die Veränderung auf die unmittelbar nächste Bézierkurve (rot), der grüne Abschnitt ändert sich nur geringfügig, da dessen Konstruktionspolygon nur teilweise involviert ist. Der blaue Abschnitt bleibt gänzlich unberührt, denn der bewegte Punkt E hat keinen Einfluss auf die Polygonseiten dieses Kurventeils. Trennung einer B-Spline in Béziersegmente (selbsterklärend): (Abb Teilung einer B-Spline 3. Grades mit 6 Kontrollpunkten in drei Béziersegmente dritten Grades) Unter die Eigenschaften der B-Splinekurven fallen das Beibehalten der konvexen Hülle, der lokale Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve und Krümmungsstetigkeit, falls der Grad n größer 2 ist (siehe Abbildung 11 links keine Krümmungsstetigkeit einer Béziersplinekurve zweiten Grades. (vgl. Glaeser 2007: S.243)

19 Geschlossene B-Spline Man unterscheidet zwischen zwei Arten durchgehender B-Splinekurven: Einerseits die normale Kurve, deren Anfangs und Endpunkt ident sind, zwar über ein geschlossenes Kontrollpolygon verfügt und auch eine Krümmungsstetigkeit haben kann, aber an einer Stelle an das Polygon gebunden ist, also das Polygon am übereinstimmenden Anfangs- und Endpunkt berührt. Andererseits die echte geschlossene B-Spline, deren Konstruktion folgendermaßen aussieht: (Abb. 16 Konstruktionsschema einer geschlossenen Bézierkurve des Grades 3) In Abb. 16 handelt es sich um eine geschlossene B-Spline des Grades 3, definiert durch 4 Kontrollpunkte (das Festlegen eines Anfangs und Endpunktes hat keinerlei Einfluss auf den Verlauf der Kurve). Die 4 Polygonseiten werden jeweils gedrittelt, die dabei entstehenden Punkte der Reihe nach verbunden und die Verbindungsstrecken, welche nicht entlang den Seiten des Grundpolygons verlaufen, halbiert. Es entstehen vier Polygone dritten Grades, welche von einem Halbierungspunkt zum nächsten verlaufen (Abb. 8 rechtes Bild, blau markiert). Geschlossene und offene B-Spline bei identem Kontrollpolygon

20 20 (Abb. 17) Das linke Bild zeigt die unechte geschlossene B-Spline. Sie besitzt zwar denselben Grad und dasselbe Kontrollpolygon, unterscheidet sich aber maßgeblich von der echten geschlossenen B-Spline, da diese keine Festlegung von Anfangs- und Endpunkt verlangt. Somit ist die rechte B-Spline nicht an Anfang und Ende des Polygons gebunden und besitzt keinen (eventuellen) Knick. 1.5 NURBS Werden zu den Kontrollpunkten beliebig Gewichte angegeben, spricht man von NURBS (Non Uniform Rational B-Splines). Non uniform, da sich die Bezierspline nicht nur anhand der Kontrollpunkte anpasst, sondern auch die Gewichtung dieser miteinbezieht, was bedeutet, dass die Kontrollpunkte je nach Einstellung der Gewichte eine gewisse Anziehungskraft auf die jeweiligen Kurvensegmente haben. Sie ermöglichen es damit auch, Hyperbeln, Kreis- und Ellipsenbögen exakt darzustellen, was mit den Bézier- Splines nicht möglich ist. Die Berechnung von B-Splinekurven und NURBS ist durch ihre hinzukommende Gewichtsfunktion jedoch zu komplex, um sie hier näher zu erläutern.

21 21 Die Gewichtung von NURBS: Z.B.: Kurven des Grades 2: Die Gewichtung (hier g ) von NURBS wird im Rahmen von 0 bis 1 angegeben. Für folgende Kegelschnittkurven gilt: Ellipsenbogen (Blau) 0 < g < 0.5 Parabel (Rot) g = 0.5 Hyperbel (Grün) 0.5 < g < 1 Im Spezialfall g = 1 handelt es sich um zwei Geraden (das festzulegende Polygon, da die Gewichtung des 2. Kontrollpunktes die Kurve vollständig an sich zieht), im Fall g = 0 um eine Gerade (der Punkt hat keinerlei Einfluss auf die Kurve, daher wirken nur Anfangsund Endpunkt). Die Besonderheit bei NURBS zweiten Grades ist, dass die gewählte Gewichtung des zweiten Polygonpunktes dem Schnittpunkt der Kurve mit der Schwerlinie des umschriebenen Dreiecksgleichkommt. Beispielsweise hat die oben abgebildete Hyperbel die Gewichtung g = 0.7, der Schnittpunkt mit der Schwerlinie teilt diese im Verhältnis 0.7 : 0.3. Auch Kreise, die nicht durch B-Splines dargestellt werden können, lassen sich durch NURBS exakt bestimmen: Der Einheitskreis lässt sich z.b. durch das Kontrollpolygon (1,0), (1,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (1,-1), (1,0), den Knotenvektor (0,0,0, ¼, ½, ½, ¾, 1, 1, 1) und die Gewichte (1, ½, ½, 1, ½, ½, 1) darstellen. (Glaeser 2007: S. 243)

22 Design mit Freiformkurven Hier ein paar Anwendungsbeispiele mit Microstation, um den Nutzen von Freiformkurven deutlich zu machen: Flugzeugflügel: Der Querschnitt eines Flugzeugflügels wird mit einer B-Spline vierten Grades mit acht Kontrollpunkten (erster und letzter ident) modelliert, und entlang eines Pfades mit einer aktiven Skalierung von 0.55 extrudiert. Es entsteht ein Flächenmodell des Flügels.

23 23 Tropfen: Der halbe Querschnitt eines Tropfens wird mit einer Bézierkurve 5. Grades modelliert, die Verbindungsstrecke zwischen erstem und letztem Kontrollpunkt bildet die Drehachse, die letzte Polygonseite steht normal zur Drehachse um eine Krümmungsstetigkeit am unteren Ende zu garantieren. Der Tropfen als Flächenmodell entsteht durch Drehung um die Achse.

24 24 Typografie: Viele Schriftarten, insbesondere solche mit geschwungenen und verschnörkelten Zeichen, werden mit Freiformkurven designet. Der Vorliegende Buchstabe a (rechts) der Schriftart Times New Roman wurde mit B-Splines dritten und vierten Grades nachmodelliert, der Haken rechts unten mit jeweils einer Bézierkurve zweiten Grades. Das linke Bild zeigt alle Kontrollpunkte, die definiert wurden. Ein Knick muss nicht unbedingt ein Kurvenende sein, er geht auch aus einer Überlappung von Kontrollpunkten (es wird das aktuelle Béziersegment beendet, indem sich alle zu dessen Kurvenbestimmung benötigten Kontrollpunkte an demselben Platz befinden) hervor. (Buchstaben aus B-Splines Nachmodellierung links und mitte, Originaler Buchstabe rechts) 1.7 Freiformkurven in Anwendung mit Microstation Bézierkurven, B-Splines und NURBS sind die Grundlage zu allen Freiformkörpern und -flächen, und somit wichtigste Bestandteile des Computer Aided Designs. Microstation (und viele andere CAD-Programme) bieten unzählige Möglichkeiten, aus Freiformkurven einfach und schnell komplexe, individuell geformte Gegenstände und Flächen zu

25 25 modellieren. Dazu einige Funktionen aus Microstation: Oberfläche aus Rotation Dieses Tool ermöglicht, aus Geraden und Kurven durch Drehung um eine Achse Drehflächen zu erstellen. Oberfläche aus Extrusion Hier werden Oberflächen durch ausziehen eines Profils (Gerade, Kurve, Kreis, Ellipse oder Polygon) erstellt. Es ergeben sich klassische Zylinderflächen, die Extrusionsrichtung ist die Richtung der Zylindererzeugenden. Oberfläche durch Extrusion entlang Das gewählte Profil wird entlang eines Pfades (Gerade oder Kurve) extrudiert, um eine Oberfläche zu erstellen. Das Ergebnis ist unabhängig von der Wahl von Pfad und Profil. So können z.b. Schiebflächen erzeugt werden.

26 26 2. Freiformflächen 2.1 Allgemein Nach mathematischer Definition ist eine Fläche ein 2-dimensionales Objekt im Raum. Es

27 27 gibt wie bei den Kurven viele Arten eine Fläche zu definieren. Sie kann durch eine Parameterdarstellung mit zwei Parametern gegeben sein, aus der aktiven Bewegung einer Raumkurve (z.b. Schiebung, Rotation, usw.) resultieren, sowie als Hüllflächen aus bewegten Körpern hervorgehen. Freiformflächen wie die Bézierfläche sowie die Bezierspline- und NURBS-Flächen haben den großen Vorteil, dass ihre Parameterdarstellung durch ihre Kontrollpunkte bestimmt ist, und daher auch sehr komplizierte Flächen durch relativ einfache Parameterdarstellungen definiert werden können. 2.2 Bézierflächen Die Bézierfläche ist die Basis der NURBS- und B-Splinefläche. Da die Fläche aus einem Netzwerk von Bézierkurven aufgebaut ist, werden Flächenpunkte ebenfalls über den Algorithmus von de Casteljau konstruiert. (Abb. 18 Bézierfläche des Grades 3,3) Die Mindestanzahl der Kontrollpunkte des Polygons beträgt neun (ein 4-Punkte Polygon würde eine HP-Fläche definieren). Diese (beispielsweise) neun Punkte spannen ein Netz auf, welches 3 Kontrollpolygone in eine U-Richtung und 3 Polygone in eine V-Richtung aufzeigt. Da sich diese U- und V-Polygone in ihrem Grad unterscheiden können, wird eine solche Fläche 2-gradig angegeben. Beispielsweise ist der Grad der Bézierfläche in Abb. 10 mit (2; 2) gegeben, die U- sowie die V-Polygone sind vom Grad 2.

28 28 Ermittelt man die Kurvenpunkte der U-Polygone eines bestimmten Parameters, erhält man ein weiteres Bézierpolygon, welches eine Flächenkurve (in diesem Fall eine U- Kurve) bestimmt, deren Kurvenpunkt dem Flächenpunkt dieses Parameters gleichkommt. Ob die U- oder V-Polygone zur Flächenpunktbestimmung verwendet werden, ist gleichgültig (siehe Abb. 18). (vgl. Glaeser 2007: S.244) Die Flächenkurven und Polygone in U- bzw. V-Richtung kann man sich wie das Netz der Profil- und Leitkurven einer Schiebfläche vorstellen, mit dem Unterschied, dass sie sich im Gegensatz zur Schiebung verändern können Parameterdarstellung Erweitert man die Parameterdarstellung der Bézierkurve um einen Parameter und viele Zeilen Rechenaufwand, kommt man auf die Parameterform dieser Fläche, die wie folgt aussieht: F = i=0 n j=0 m ( i n ) * (1 t) (n-i) * t i * ( j m ) * (1 s) (m-j) * s j * P ij (vgl. Wong 2003: S.58 f.) Um den Schreib- und Rechenaufwand gering zu halten, ist die als Beispiel herangezogene Fläche eine Bézierfläche vom kleinstmöglichen Grad (2;2). P 00 (0/0/0) P 01 (1/0/2) P 02 (2/0/1) P 10 (0/1/1) P 11 (1/1/0) P 12 (2/1/1) P 20 (0/2/1) P 21 (1/2/1) P 22 (2/2/2) Zunächst wird die allgemeine Parameterform an den Grad angepasst und umgeformt: F = P 00 (1 t) 2 (1 s) 2 + P 01 *2(1 t) 2 (s s 2 ) + P 02 (1 s) 2 s 2 + P 10 *2(t t 2 )(1 s) 2 + P 20 t 2 (1 s) 2 + P 11 *4(t t 2 )(s s 2 ) + P 22 t 2 s 2 + P 12 * 2(t t 2 )s 2 + P 21 * 2t 2 (s s 2 ) Nun erhält man durch Einsetzen der X, Y und Z Koordinatenwerte die Parameterdarstellung in Abhängigkeit der U/V Parameter s und t: x F = 2(1 t) 2 (s s 2 ) + 2(1 s) 2 s 2 + 4(t t 2 )(s s 2 ) + 4(t t 2 )s 2 + 4t 2 (s s 2 ) y F = 2(t t 2 )(1 s) 2 + 2t 2 (1 s) 2 + 4(t t 2 )(s s 2 ) + 2t 2 s 2 + 2(t t 2 )s 2 + 4t 2 (s s 2 ) z F = 4(1 t) 2 (s s 2 ) + (1 s) 2 s 2 + 2(t t 2 )(1 s) 2 + t 2 (1 s) 2 + 2t 2 s 2 + 2(t t 2 )s 2 + 2t 2 (s s 2 ) Durch weitere Vereinfachung der Terme erhält man schließlich: x F = 2s y F = 2t z F = 4s + 2t 2s 2 12st t 2 + 8s 2 t + 8st 2 5s 2 t 2 {s,t Є [0;1]}

29 29 Setzt man jeweils die Parameter [s=0; t=0], [s=0; t=1], [s=1; t=0] bzw. [s=1; t=1] ein, ergeben sich die Eckpunkte P 00, P 20, P 02 und P 22 der Fläche, der Flächenmittelpunkt wird durch [s=0.5; t=0.5] bestimmt (wie in Abb. 16) Schiebflächen Eine Bézierfläche muss nicht zwingend durch ein Kontrollnetz oder einen Parameter definiert werden. In der Gebäudearchitektur sind sogenannte Schiebflächen oftmals sehr von Nutzen, zumal sie trotz ihrer relativ einfachen Modellierung einen hohen Designaspekt haben. Schiebflächen sind ein Spezialfall von Bézier- und B-Splineflächen. Sind jeweils die U- sowie die V-Polygone kongruent (also bestimmen sie jeweils dieselben Bézierkurven oder B-Splines), kann man von einer solchen sprechen. Umgekehrt ist somit ein Paraboloid, das aus der Extrusion einer Parabel längs einer zweiten (oder einer Parabel längs einer Geraden) resultiert, eine Bézierfläche. 2.3 B-Spline und NURBS-Flächen Wie die Bézierkurve hat auch die Bézierfläche den großen Nachteil, dass eine lokale Veränderung eines einzelnen Kontrollpunktes die Fläche global ändert. Analog zur B- Splinekurve kommt hier die B-Spline Fläche zur Anwendung, welche eine Polygonveränderung mit nur lokaler Auswirkung ermöglicht. Die B-Spline Fläche folgt dem Kontrollpolygon viel besser als die Bézierfläche. Man erspart sich nicht nur das mühsame Zusammenstückeln einzelner Flächen bzw. das Anpassen einer einzigen, widerspenstigen Bézierfläche, auch der Rechenaufwand wird reduziert. Da sich bei der Bearbeitung des B-Spline Kontrollpolygons nur ein Teil ändert, muss nur dieser, und nicht die ganze Fläche neu berechnet werden. Weiters gibt es, genau wie bei den Kurven, auch NURBS Flächen, die durch die Möglichkeit der unterschiedlichen Gewichtung der Kontrollpunkte ein präziseres Modellieren ermöglichen. (vgl. Glaeser 2007: S.245) 3. Design

30 30 (Guggenheim Museum in Bilbao) Design ist eine Art, besser gesagt DIE Art, Alltägliches in den Augen der Menschen zum Leben zu erwecken, einem Objekt Form und emotional erlebbare Gestalt zu verleihen. Die Optik macht das Produkt. Sowohl die großen als auch die kleinen, alltäglichen Gegenstände müssen zusätzlich zu ihrem praktischen Nutzen auch gut dabei aussehen. Einfach und kompakt oder beeindruckend komplex, ob es sich nun um eine Kaffeemaschine oder eine Zimmerlampe handelt, sie muss ihren optischen Zweck erfüllen. Die Kurven und Freiformflächen, die im Rahmen dieser Fachbereichsarbeit behandelt werden, haben einen starken Bezug zum Design. Gebogen und gewunden nach Belieben, charakterisieren sie und lassen Dinge grifffester und in sich abgeschlossen aussehen, sie verleihen einem Auto Sportlichkeit und Dynamik, einem Alltagsgegenstand eine gewisse Sympathie. Egal ob in der Innen- oder Gebäudearchitektur (siehe obiges Bild), dem Produkt- oder Logodesign, dem Automobildesign oder der Typografie, alles wirkt durch sie individuell und dynamisch. Im folgenden Abschnitt werden einige Modellierungen mit Microstation ausgeführt und konstruktiv beschrieben, um die Anwendungsvielfalt von Freiformkurven und Flächen darzustellen.

31 Designertisch Die Konstruktion: Für den Standfuß des Tisches wird eine Bézierkurve dritten Grades in Form gebracht und um 360 um die horizontale Drehachse (rot) gedreht. (Abb. 19 Standfuß)

32 32 Die Leitlinie des Metallgerüsts ist eine Bézierkurve fünften Grades (Abb. 20), an der ein Rechteck durch die Funktion Volumenelement aus Extrusion extrudiert wird. Diese gebogene Metallplatte (Abb. 21) wird nun an einigen Stellen getrimmt (Abb. 22): seitlich um jeweils eine extrudierte Bézierkurve zweiten Grades (grün), am oberen Ende um eine horizontale Ebene und einer Zylinderfläche, das untere Ende um den Drehkörper, auf dem das Gerüst aufsitzt (Abb. 23). Das Loch in der Mitte wird mit einem elliptischen Zylinder gestanzt. (Abb. 20) (Abb. 21) (Abb. 22) (Abb. 23) Die Glasplatte wird aus einer einfachen, geschlossenen B-Spline dritten Grades modelliert, welche in Z-Richtung extrudiert und an den Kanten abgerundet wird. Danach setzt man sie auf die ebene Fläche des Metallgerüsts. (Abb. 24) (Abb. 25)

33 Knoten Die Konstruktion: Der Pfad des Knotens besteht aus drei kongruenten Bézierkurven, für deren Kontrollpunkte ich folgende Hilfskonstruktion entwickelt habe: (Abb. 26) (Abb. 27) (Abb. 28) Es werden 3 Sechsecke so übereinander gelegt, dass sie jeweils ein Drittel der anderen überragen (Abb. 26). Für die Kontrollpunkte werden Hilfsgeraden wie in Abb. 27 an die Eckpunkte gesetzt; Um jedes Sechseck verläuft ein Kontrollpolygon einer Bézierkurve fünften Grades (Abb. 28 bzw. 29).

34 34 Normal zu einer Tangente wird ein Kreis in den Tangentenpunkt gesetzt, die Bézierkurven werden vereinigt (Funktion Komplexe Kette erstellen) und der Kreis mit der Funktion Volumenelement durch Extrusion entlang extrudiert (Abb. 29 und 30). (Abb. 29) (Abb. 30)

35 Designstuhl Die Konstruktion: Der Sessel besteht aus einer einzigen Freiformfläche; Um diese zu modellieren, werden B-Splines als Profilkurven sowie seitlich als Leitkurven (wahlweise mit der Einstellung über Punkte statt über ein Kontrollpolygon) gesetzt (Abb. 31). Mit der Funktion Oberfläche durch Netzwerk von Kurven werden nun U-Kurven (Abb. 32 gelb) und V- Kurven (Abb. 32 schwarz) ausgewählt, welche die Fläche bestimmen. Falls nötig, kann die entstehende B-Splinefläche über ihr Kontrollpolygon bearbeitet werden. Die Fläche wird anschließend verdickt und an den Kanten geeignet abgerundet. (Abb. 31) (Abb. 32)

36 Sechskantschlüssel (Abb. 33 Sechskantschlüssel) Das Grundgerüst des Sechskantschlüssels besteht aus der Extrusion zweier durch Bézierkurven verbundener Kreisbögen, welche einseitig stark abgerundet, seitlich um eine Bézierkurve getrimmt und gespiegelt wird. Die beiden Seiten werden durch eine Extrusion einer aus Geraden und Kreisbögen bestehende Smartline verbunden, die Löcher für Schrauben und Muttern mit Zylinder und 6-eckigen Prismen gestanzt. Ein Rechteck, entlang einer Helixkurve extrudiert und den Schrauben bzw. den Muttern abgezogen, definiert die Form des Schraubengewindes. Als Pfad der Sechskantschlüssel wurde an einen Kreisbogen eine B-Spline gehängt, wodurch die Sechskantteile besser in das Gerüst passen (so wurde das Problem, dass die Schlüssel in das Grundgerüst hineinragen würden, gelöst). Damit die leichte Krümmung bei der Anwendung nicht stört, besteht das Ende des Pfades aus einem kurzen Geradenstück. Die Sechskantteile wurden stetig um den Faktor 0.9 skaliert.

37 37 (Abb. 34 Sechskantschlüssel, in seine Bauteile zerlegt)

38 38 Zusammenfassend Der Algorithmus nach de Casteljau wurde erläutert, eine Bézierkurve kann nun berechnet, konstruiert, konstruktiv getrennt und beliebig in ihrem Grad erhöht werden; Die Kontrollpunkte können nun (näherungsweise) bestimmt werden. An einem Beispiel wurde grafisch und rechnerisch gezeigt, dass eine Parabel eine Bézierkurve ist. Die Parameterdarstellung der Bézierkurve wurde hergeleitet, ihre Entstehung als Hüllkurven analytisch bewiesen. Die Besonderheiten von B-Splines, sowie deren Konstruktion und Anwendungen wurden erklärt und grafisch dargestellt. NURBS und deren Anwendungen wurden erklärt. Bézierflächen können nun berechnet und konstruiert werden, die Parameterdarstellung einer Bézierfläche wurde hergeleitet. Besonderheiten von B-Splineflächen und NURBS-Flächen sowie deren Anwendungen wurden erläutert. Die Anwendungen von Freiformkurven und Freiformflächen wurden an Beispielen grafisch gezeigt und begleitend erklärt.

39 39 Quellennachweis Pillwein Gerhard, u.a.: RAUMGEOMETRIE. Konstruieren und Visualisieren. ÖBV Verlag: Wien 2006 Baoswan Dzung Wong: Bézierkurven gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag AG: Zürich 2003 Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. 2. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag: München 2007 Alle Grafiken wurden im Rahmen der Fachbereichsarbeit eigens von mir selbst erstellt.

40 40 Ich erkläre, dass ich diese Fachbereichsarbeit ausschließlich selbst und ohne Gebrauch unerlaubter Hilfsmittel oder Hilfen verfasst habe. Schwechat, am Daniel Waschmann