A posteriori Fehlerschätzer für gemischte Finite Elemente in der linearen Elastizität

Transkript

1 A posteriori Fehlerschätzer für gemischte Finite Elemente in der linearen Elastizität Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften der Fakulät für Mathematik an der Ruhr-Universität Bochum von Marco Lonsing aus Hattingen Bochum 00

2 Abgabe der Dissertation am: Mündliche Prüfung am: Dekan: Prof Dr H Flenner Referent: Prof Dr R Verfürth Korreferent: Prof Dr D Braess

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 Lineare Elastizitätstheorie 9 1 Die klassische Formulierung der linearen Elastizitätstheorie 9 11 Der dreidimensionale Fall 9 1 Der zweidimensionale Fall Scheiben 1 Variationsformulierung 14 3 Sattelpunktformulierung Das Hellinger-Reissner-Prinzip 16 3 Gemischte Finite Elemente Methoden 5 31 Finite Elemente für die lineare Elastizität Das P EERS-Element 7 31 BDMS-Elemente Hilfsmittel Stabilität der BDMS-Elemente 36 4 A posteriori Fehlerschätzer Ein Residueller Fehlerschätzer Notationen und Hilfsmittel Der Fall µ = Der Fehlerschätzer für beliebiges µ 55 4 Fehlerschätzer basierend auf lokalen Hilfsproblemen ransformationsverhalten der Stabilitätskonstanten 57 4 Ein Neumann-Schätzer Ein Dirichlet-Schätzer 69 5 Literaturverzeichnis 73 3

4 Inhaltsverzeichnis 4

5 1 Einleitung Finite Elemente Verfahren haben sich in den letzten Jahren zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der numerischen Behandlung partieller Differentialgleichungen entwickelt Sie werden in nahezu allen naturwissenschaftlichen Bereichen zur Berechnung und Simulation von Modellproblemen aber auch industriell für Entwicklung und Forschung eingesetzt Hält sich die Komplexität gerade bei mathematischen Modellproblemen häufig noch in Grenzen, werden in aufwändigen Simulationen und realistischen Anwendungen, zb der Ingenieursmathematik, effiziente Verfahren erforderlich, die bei möglichst niedrigem Rechenaufwand eine benötigte Genauigkeit garantieren In diesem Zusammenhang haben sich adaptive Finite Elemente Verfahren, die auf a posteriori Fehlerschätzern basieren, etabliert Diese Fehlerschätzer berechnen sich aus den bekannten Daten der Differentialgleichung, der riangulierung sowie der bereits berechneten Näherungslösung Der Aufwand zur Bestimmung des Fehlerschätzers sollte allerdings gering sein, das heißt, im Vergleich zur Berechnung einer Näherungslösung sollte er größenordnungsmäßig den Aufwand zum Aufstellen der Steifigkeitsmatrix nicht überschreiten A posteriori Fehlerschätzer sollen zum einen adaptive Verfahren steuern Das heißt, der Schätzer soll als Fehlerindikator zur Verfeinerung der riangulierung dienen Dazu muss der Fehlerschätzer lokal eine untere Schranke für den Fehler der berechneten Näherungslösung sein Aufgrund der Fehlerverteilung, die sich damit für das gesamte Problem ergibt, existieren verschiedene Strategien zur Verfeinerung der riangulierung, die ausführlich in [3] dargestellt sind Die Eigenschaft, eine untere Schranke für den Fehler zu liefern, wird als Effizienz des a posteriori Fehlerschätzers bezeichnet Zum anderen sollen Fehlerschätzer aber auch eine Kontrolle über den Gesamtfehler ermöglichen Dazu muss der Fehlerschätzer zusätzlich ein globale obere Schranke für den Fehler der Näherungslösung liefern Mit Hilfe dieser oberen Schranke lassen sich dann Abbruchkriterien für ein adaptives Verfahren formulieren Diese Eigenschaft wird als Zuverlässigkeit des Fehlerschätzers bezeichnet Die ersten a posteriori Fehlerschätzer wurden 1978 von Babuˇska und Rheinboldt ([6] bzw [5]) entwickelt und vorgestellt Im Verlauf der 80er bis in die Mitte der 90er Jahre wurde eine Fülle verschiedener Fehlerschätzer, basierend auf unterschiedlichen Ansätzen und für verschiedene Variationsformulierungen und Diskretisierungen, untersucht Weitere Entwicklungen stammen hier ua von Bank und Weiser [7] sowie von Zienkiewicz und Zhu ([7] bzw [8]) 5

6 1 Einleitung Einen Überblick über die verschiedenen ypen von Fehlerschätzern sowie eine Einordnung dieser Schätzer in einen gemeinsamen abstrakten Rahmen lieferte Verfürth 1995 mit seinem Review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques [3] Ungefähr zur gleichen Zeit lieferte Dörfler [18] einen Konvergenzbeweis für ein adaptives Finite Elemente Verfahren für die Poissongleichung Die in den hier genannten Arbeiten behandelten Fehlerschätzer beziehen sich alle auf primale Finite Elemente Methoden für elliptische Randwertprobleme wie zb die Poissongleichung sowie verwandte lineare und nichtlineare partielle Differentialgleichungen Auch die von Verfürth in [4] bzw [3] vorgestellten Fehlerschätzer für Elastizitätsprobleme beziehen sich ausschließlich auf reine Verschiebungsansätze Betrachtet man Probleme aus der Elastizitätstheorie oder auch der Strömungsmechanik, dann ist es jedoch häufig sinnvoll, einer Sattelpunktformulierung und den dazugehörigen dualen gemischten Finiten Elementen den Vorzug gegenüber einer ebenfalls existierenden primalen Formulierung zu geben Dies hat im Allgemeinen zwei Gründe: Erstens sind die gemischten Finite Elemente Verfahren häufig numerisch stabiler als entsprechende primale Formulierungen, bei denen Effekte wie zb das Volumen-Locking auftreten können Zum zweiten ist man in Anwendungen häufig nicht nur an den primalen Unbekannten (Geschwindigkeit in der Strömungsmechanik, Verschiebung in der Elastizitätstheorie) interessiert, sondern auch an abgeleiteten Größen wie dem Druck bzw Spannungen oder Verzerrungen Diese abgeleiteten Größen sollten dann nach Möglichkeit mit der gleichen Güte approximiert werden wie die primale Variable Dies gelingt auch mit gemischten Finite Elemente Methoden, aber nicht mit einer rein primalen Formulierung, da in diesem Fall die abgeleiteten Größen aus der berechneten Näherungslösung für die primale Variable mittels numerischer Differentiation bestimmt werden müssen Dadurch verliert man mindestens eine Approximationsordnung A posteriori Fehlerschätzer für gemischte Finite Elemente wurden bisher nur unzureichend behandelt Es gab erste Ansätze von Braess und Verfürth [10] für das Raviart-homas-Element Diese benutzten jedoch gitterabhängige Normen und nicht die natürlichen Normen der Variationsformulierung, da aufgrund der Anisotropie der natürlichen Norm sich die üblichen Vorgehensweisen zur Herleitung eines residuellen Fehlerschätzers nicht auf die gemischte Finite Elemente Formulierung übertragen lassen Aus dem Jahr 1995 stammt die Dissertation von Wohlmuth [5], in der sie unter anderem einen hierarchische Basen Fehlerschätzer für die gemischte Formulierung einer Reaktions-Diffusionsgleichung präsentiert Aus den Folgejahren stammt ua ein vergleichender Artikel [6] von Wohlmuth und Hoppe zu Fehlerschätzern für gemischte Finite Elemente Alonso [] und Carstensen [13] entwickelten 1996/97 unabhängig voneinander residuelle a posteriori Fehlerschätzer für duale gemischte Finite Elemente für die Poissongleichung In beiden Arbeiten ist das wesentliche Hilfsmittel die Helmholtzzerlegung 6

7 quadratintegrierbarer Vektorfelder Damit ist es möglich einen Fehlerschätzer herzuleiten, der Abschätzungen bezüglich der natürlichen Norm erlaubt In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit a posteriori Fehlerschätzern für die sogenannte P EERS-Formulierung der linearen Elastizitätstheorie Es handelt sich hierbei um eine gemischte Formulierung, die für die lineare Elastizität von Scheiben entwickelt wurde Das Problem wird sowohl zwei- als auch dreidimensional behandelt Zur Diskretisierung werden wir zulässige und quasireguläre riangulierungen verwenden Als Finite Elemente Räume werden sowohl das P EERS-Element selber, als auch eine von Stenberg [] entwickelte Familie von Elementen beliebigen Polynomgrades betrachtet, die auf den BDM-Elementen basiert Die Arbeit gliedert sich in vier eile Im Anschluss an diese Einleitung stellen wir im zweiten Kapitel die wesentlichen Begriffe der Elastizitätstheorie zusammen und geben die wichtigsten Schritte zur Herleitung der drei- und zweidimensionalen klassischen Gleichungen an Im weiteren Verlauf dieses Kapitels betrachten wir dann zunächst die Variationsformulierung für den reinen Verschiebungsansatz und anschließend das Hellinger-Reissner-Prinzip als gemischte Formulierung des linearen Elastizitätsproblems Neben den zu betrachtenden Variationsproblemen geben wir die im weiteren Verlauf benötigten Ergebnisse über die eindeutige Lösbarkeit dieser Variationsprobleme wieder Zum Ende dieses Kapitels leiten wir ein, für die Herleitung des residuellen Fehlerschätzers wichtiges, theoretisches Ergebnis über eine inf-sup-bedingung für die zugehörige Gesamtbilinearform her Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit den zur Verfügung stehenden Finite Elemente Räumen für die P EERS-Formulierung Diese sind wie oben bereits erwähnt neben dem eigentlichen, von Arnold, Brezzi und Douglas entwickelten, P EERS-Element [3], das für zweidimensionale Scheibenprobleme gedacht ist und auf dem Raviart-homas- Element niedrigster Ordnung beruht, die von Stenberg in [] vorgestellten BDM S- Elemente Diese stehen sowohl für zweidimensionale Scheibenprobleme als auch für volle drei Raumdimensionen jeweils mit beliebigem Polynomgrad zur Verfügung Die entsprechenden Räume werden definiert und die Ergebnisse über Lösbarkeit des Verfahrens und die existierenden a priori Fehlerabschätzungen werden angegeben Zum Ende des Kapitels werden verschiedene Hilfsmittel, die zur Herleitung eines a posteriori Fehlerschätzers benötigt werden, zusammengestellt Im weiteren Verlauf geben wir noch einen neuen Stabilitätsbeweis für die von Stenberg entwickelten BDM S-Elemente an Im Gegensatz zu dem von Stenberg in [] angegebenen Beweis beruht unser Beweis nicht auf gitterabhängigen Normen, sondern wir zeigen Stabilität bezüglich der für das analytische Problem natürlichen Normen Weiterhin ermöglicht dieser Beweis die Konstruktion einer neuen Familie von Finiten Elementen, die eine Verallgemeinerung des klassischen P EERS-Elementes für beliebigen Polynomgrad k 0 darstellt Das Stabilitätsergebnis erlaubt im weiteren Verlauf die Herleitung von a posteriori Fehlerschätzern, die auf der Lösung lokaler Hilfsprobleme beruhen 7

8 1 Einleitung Mit einem residuellen a posteriori Schätzer für die P EERS-Formulierung der linearen Elastizität beschäftigt sich der erste eil des vierten Kapitels Dieser Fehlerschätzer beruht auf einer direkten Abschätzung der Norm des Residuums Dabei benutzen wir neben den Standardtechniken zur Herleitung solcher residueller Schätzer auch die Helmholtzzerlegung quadratintegrierbarer ensorfelder Wir erhalten einen effizienten und zuverlässigen a posteriori Fehlerschätzer Die Abschätzungen, die wir für diesen Schätzer beweisen, sind robust bezüglich fast inkompressibler Materialien Die Herleitung wird simultan sowohl für zwei als auch für drei Raumdimensionen durchgeführt Im zweiten eil dieses Kapitels leiten wir noch zwei weitere Fehlerschätzer her, die auf der Lösung lokaler Hilfsprobleme beruhen Hier betrachten wir sowohl den Fall von Hilfsproblemen mit Neumannschen Randbedingungen, die auf den einzelnen Elementen der riangulierung gestellt sind, als auch lokale Hilfsprobleme mit Dirichlet- Randbedingungen In beiden Fällen zeigen wir Zuverlässigkeit und Effizienz des Schätzers, sowie Robustheit der Abschätzungen für fast inkompressible Materialien Die vorliegende Arbeit wurde unter der Betreuung von Prof Dr R Verfürth durchgeführt, dem ich an dieser Stelle meinen herzlichen Dank ausspreche für die vielen Anregungen und Verbesserungsvorschläge Herrn Prof Dr D Braess danke ich für die Übernahme des Korreferates sowie wichtige Hinweise in Bezug auf ingenieurwissenschaftliche Aspekte Meinen Kollegen Dr Areti Papastavrou, Reinhold Mathmann, Mario Lipinski und André hrun möchte ich für viele hilfreiche Diskussionen danken Last but not least gilt mein besonderer Dank meiner Frau und meinen Kindern, die in den vergangenen Monaten viel Geduld mit mir hatten 8

9 Lineare Elastizitätstheorie Im ersten Abschnitt dieses Kapitels geben wir einen kurzen Abriss der wichtigsten Begriffe der linearen Elastizitätstheorie und folgen dabei im wesentlichen der Darstellung von Braess in [8] Eine ausführliche Darstellung der dreidimensionalen Elastizitätstheorie findet man zum Beispiel bei Ciarlet in [16] In den Abschnitten und 3 geben wir zwei verschiedene Variationsformulierungen für die lineare Elastizität an Neben der reinen Verschiebungsmethode, einer rein elliptischen Formulierung, betrachten wir die gemischte Formulierung, das Hellinger-Reissner- Prinzip, für die wir im weiteren Verlauf dieser Arbeit Fehlerschätzer entwickeln wollen 1 Die klassische Formulierung der linearen Elastizitätstheorie 11 Der dreidimensionale Fall In der Elastizitätstheorie wird das Verhalten eines Körpers, der durch eine Referenzkonfiguration R 3 gegeben ist, unter dem Einfluß von äußeren Kräften untersucht Der aktuelle Zustand des Körpers wird durch eine Abbildung Φ Φ : R d gegeben Jeder Punkt x der Referenzkonfiguration wird unter dem Einfluss dieser Kräfte auf den Punkt Φ(x) abgebildet Schreibt man die Funktion Φ in der Form Φ = Id + u, (1) so erhält man mit u : R 3 die Verschiebung, der jeder Punkt der Referenzkonfiguration unterworfen ist Neben den Verschiebungen ist man allerdings meist im gleichen Maße an den Spannungen und Verzerrungen im Material interessiert Die Verzerrungen E sind bestimmt durch den Cauchy-Greenschen-Verzerrungstensor C: E := 1 (C I) mit C := (grad Φ) grad Φ () 9

10 Lineare Elastizitätstheorie Dabei ist I die R 3 3 Einheitsmatrix Durch Einsetzen von (1) in die Definition von E erhalten wir: E = 1 (C I) = 1 (grad Φ grad Φ I) = 1 (grad(id + u) grad(id + u) I) = 1 ((I + grad u) (I + grad u) I) = 1 (I + grad u + grad u + grad u grad u I) = 1 (grad u + grad u + grad u grad u) In der von uns betrachteten linearen Elastizitätstheorie werden die quadratischen erme vernachlässigt, und wir erhalten für die Verzerrungen, die wir in der linearen Näherung mit ε bezeichnen, gerade die symmetrische Ableitung Du: Insbesondere gilt mit dieser Definition offensichtlich ε := Du := 1 (grad u + grad u) (3) spur(ε) = div u (4) Für kleine Verschiebungen u kann zusätzlich das Urbild mit dem Bild Φ( ) identifiziert werden Diese beiden Näherungen gelten für kleine Deformationen und werden als geometrisch lineare Näherung der Elastizitätstheorie bezeichnet Gleichgewichtsbedingungen und Materialgesetz liefern den Zusammenhang zwischen den Verzerrungen und den Spannungen im Körper In der vollständig linearen Elastizitätstheorie, die wir betrachten wollen, wird neben der geometrisch linearen Näherung auch ein lineares Materialgesetz, das Hookesche Gesetz, betrachtet Dieses beschreibt die Spannungen σ in Abhängigkeit von ε: σ := λ spur(ε)i + µε mit λ, µ > 0 (5) Das Hookesche Gesetz gilt für hinreichend kleine Verzerrungen Materialien, für die das Hookesche Gesetz auch für große Verzerrungen noch gültig ist, heißen St Venant- Kirchhoff-Material Die beiden Materialkonstanten λ und µ werden als Lamé-Konstanten bezeichnet Alternativ findet man häufig statt der Lamé-Konstanten den Elastizitätsmodul E und 10

11 1 Die klassische Formulierung der linearen Elastizitätstheorie die Poissonzahl ν als Parameter Zwischen diesen vier Konstanten besteht der folgende Zusammenhang [8, S 51]: λ µ(3λ + µ) ν =, E =, (λ + µ) λ + µ Eν λ = (1 + ν)(1 ν), µ = E (1 + ν), wobei E > 0 und 0 < ν < 1 ist Einerseits ist für viele gängige Materialien ν 1 3 Andererseits treten durchaus auch sogenannte fast inkompressible Materialien wie zb Gummi auf, für die die Poissonzahl ν nahe am Grenzwert ν = 1 liegt, dh λ µ ist In diesem Fall muss besonderes Augenmerk auf die Wahl geeigneter numerischer Methoden gerichtet werden, da viele gängige Methoden, zum Beispiel der reine Verschiebungsansatz, für fast inkompressible Materialien zum sogenannten Locking neigen Mathematisch gesehen sind diese Methoden für fast inkompressible Materialien schlecht konditioniert Im Folgenden sei f eine Volumenlast, die auf den Körper wirkt, zb die Schwerkraft Der Rand Γ := besitze eine disjunkte Zerlegung Γ = Γ D Γ N Dabei sei Γ D der eil des Randes auf dem die Verschiebung durch u 0 vorgegeben ist Γ N sei der eil des Randes auf den eine Flächenlast g wirkt Die Gleichgewichtsbedingungen und der Satz von Cauchy [8, S 45] liefern für den Spannungstensor σ die Gleichungen: und die Randbedingungen: div σ =f in, (6) σ =σ in (7) u =u 0 auf Γ D, (8) σ n =g auf Γ N (9) Dabei bezeichnet wie üblich n die äußere Normale an Die Spannung σ ist als symmetrischer ensor im R 3 durch sechs Komponenten gegeben Daher wählt man häufig für solche symmetrischen ensoren τ die komponentenweise Darstellung τ = ( τ 11, τ, τ 33, τ 1, τ 13, τ 3 ) In dieser Darstellung lautet das Hookesche Gesetz dann wie folgt: ε = C 1 σ (10) mit den entsprechenden Vektoren σ, ε R 6 und einer Matrix C 1 R 6 6, die gegeben ist durch: 11

12 Lineare Elastizitätstheorie 1 ν ν C 1 = 1 ν 1 ν 0 ν ν 1 E 1 + ν ν 1 + ν Die Eigenwerte dieser Matrix C 1 sind: λ 1 = 1 ν E = 1 3λ + µ λ = 1 + ν E = 1 µ mit Vielfachheit 1, mit Vielfachheit 5 Die Matrix C 1 ist somit symmetrisch positiv definit, aber sie wird für inkompressible Materialien (ν = 1 ) singulär 1 Der zweidimensionale Fall Scheiben Falls der Körper von der Form = ω ( b, b) mit ω R und diam ω b ist, und falls ferner die Kräfte, die auf wirken, nur von x und y abhängen und eine verschwindende z-komponente besitzen, bezeichnet man als Scheibe Für Scheiben ist es nicht nötig, das volle dreidimensionale Problem zu lösen, sondern man kann eine Reduktion auf ein zweidimensionales Problem durchführen Dabei existieren in Abhängigkeit von den Randbedingungen zwei unterschiedliche Zustände 1 Der ebene Spannungszustand stellt sich ein, wenn eine Deformation in z-richtung möglich ist In diesem Fall ist σ(x, y, z) =σ(x, y), σ i3 = σ 3i =0, i = 1,, 3 Aus der Forderung σ 33 = 0 erhält man mit (10) das folgende Materialgesetz: ε = C 1 σ mit C 1 = 1 1 ν 0 ν 1 0 (11) E ν 1

13 1 Die klassische Formulierung der linearen Elastizitätstheorie Die zugehörigen Eigenwerte der Matrix C 1 lauten: λ 1 = 1 ν E = λ + µ µ(3λ + µ) λ = 1 + ν E = 1 µ mit Vielfachheit 1, mit Vielfachheit Für die Verschiebungen setzt man an u i (x, y, z) =u i (x, y) für i = 1,, u 3 (x, y, z) =zε 33 (x, y) Den ebenen Verzerrungszustand erhält man, wenn die z-komponente der Verschiebung verschwindet Man hat dann: ε(x, y, z) =ε(x, y), ε i3 = ε 3i =0, i = 1,, 3 Aus der Forderung ε 33 = 0 erhält man nun mit (10) das folgende Materialgesetz: ε = C 1 σ, wobei die Matrix C 1 nun gegeben ist durch: C 1 = 1 + ν E 1 ν ν 0 ν 1 ν 0 (1) Die zugehörigen Eigenwerte der Matrix C 1 lauten in diesem Fall: (1 ν)(1 + ν) λ 1 = E λ = 1 + ν E = 1 µ = 1 (λ + µ) mit Vielfachheit 1, mit Vielfachheit Insbesondere tritt auch hier analog zum dreidimensionalen Fall eine Singularität für den Grenzfall inkompressiblen Materials auf Für die Verschiebungen gilt aufgrund des Ansatzes: u i (x, y, z) =u i (x, y) für i = 1,, u 3 (x, y, z) =0 13

14 Lineare Elastizitätstheorie In beiden Fällen tritt also ein zweidimensionales Problem auf, das die gleiche Struktur wie das ursprüngliche dreidimensionale Problem besitzt Fassen wir die Ergebnisse noch einmal zusammen, so sind die drei Größen u, σ und ε durch die folgenden Gleichungen gegeben: ε = 1 (grad u + grad u ) in, (13a) ε = C 1 σ in, (13b) div σ = f in, (13c) σ = σ in, (13d) u = 0 auf Γ D, (13e) σ n = 0 auf Γ N (13f) Dabei haben wir der Einfachheit halber in (8) u 0 = 0 und g = 0 gesetzt Für den Fall, dass u 0 0 oder g 0 ist, wählt man wie gewöhnlich passende Ansatzfunktionen u D und σ N mit u D ΓD = u 0 bzw σ N n ΓN = g Dann betrachtet man u = u D + w bzw σ = σ N + ρ, so dass man für (ρ, w) ein zu (13) analoges System mit Nullrandbedingungen erhält Variationsformulierung Definition 1 Wir bezeichnen wie gewöhnlich mit H 1 () den Sobolev-Raum W 1, () (siehe [1]) und führen die folgenden Notationen ein 1 Der Sobolev-Raum H 1 D für gemischte Randbedingungen ist gegeben durch: H 1 D := {v H 1 () 3 v(x) = 0 für x Γ D } Der Raum H(div, ) wird für tensorwertige Funktionen genauso definiert wie üblicherweise für vektorwertige Funktionen H(div, ) := {τ L () d d div τ L () d } Der Raum wird versehen mit der Graphennorm τ H(div, ) := ( τ 0 + div τ 0 ) 1 Dabei wirkt der Divergenzoperator zeilenweise auf einen ensor, dh besteht τ aus den Zeilenvektoren τ 1 τ d, dann ist die Divergenz von τ erklärt durch: τ 1 div τ 1 div τ := div = τ d div τ d 14

15 Variationsformulierung 3 Schließlich wird ein Skalarprodukt für tensorwertige Funktionen σ, τ definiert durch: σ : τ := σ ij τ ij = spur(στ ) i,j Korollar Es sei σ R d d ein symmetrischer ensor und τ R d d beliebig, dann gilt σ : τ = σ : 1 (τ + τ ) (14) Beweis Da σ symmetrisch ist gilt σ = 1 (σ + σ ), und damit folgt: σ : τ = 1 (σ + σ ) : τ = 1 (σ : τ + σ : τ) = 1 (σ : τ + σ : τ ) =σ : 1 (τ + τ ) Korollar 3 Sei u H 1 () 3 und τ H(div, ), dann gilt die folgende Greensche Formel: grad u : τ dx + u div τ dx = u τn ds (15) Beweis Der Beweis folgt direkt aus der üblichen Greenschen Formel für vektorwertige Funktionen durch komponentenweise Betrachtung Die am einfachsten zu behandelnde Variationsformulierung für das lineare Elastizitätsproblem erhalten wir, wenn wir (13a) und (13b) ausnutzen, um die Spannungen und Verzerrungen in (13c) und (13f) zu eliminieren Das daraus entstehende Randwertproblem für die Verschiebungen kann man auf dem üblichen Wege durch Multiplikation mit einer geeigneten estfunktion, Integration über und partieller Integration in das folgende Variationsproblem überführen: Gesucht ist eine Funktion u HD 1 (), so dass Du : CDv dx = f v dx g v dx (16) Γ N für alle v H 1 D () Dabei wird neben der Greenschen Formel (15) auch die Symmetrie der Ableitung Du ausgenutzt, so dass man mit (14) Du : C grad v = Du : CDv erhält 15

16 Lineare Elastizitätstheorie Bei dem Variationsproblem (16) handelt es sich um ein elliptisches Randwertproblem mit gemischten Randbedingungen Die HD 1 ()-Elliptizität der Bilinearform a(u, v) = Du : CDv dx folgt direkt aus der Kornschen Ungleichung (siehe [8, VI 3]) Dieses Randwertproblem kann numerisch mit den üblichen Finite Elemente Diskretisierungen behandelt werden Man erhält für dieses Verfahren die gewöhnlichen a priori Fehlerabschätzungen sowie zuverlässige und effiziente a posteriori Fehlerschätzer [3] Die reine Verschiebungsmethode besitzt jedoch zwei entscheidende Nachteile Zwar ist die Bilinearform a(u, v) elliptisch auf HD 1 (), aber das Verhältnis von Stetigkeitsund Koerzivitätskonstanten der Bilinearform a wird für fast inkompressible Materialien (λ µ) sehr groß Dieses Verhältnis geht über das Céa-Lemma direkt in die a priori Fehlerabschätzungen ein, so dass man für den reinen Verschiebungsansatz bei fast inkompressiblen Materialien mit Locking-Effekten rechnen muss, die in praktischen Rechnungen auch auftreten Desweiteren ist man häufig nicht nur an den Verschiebungen interessiert, sondern zumindest in gleichem Maße an den Spannungen im Material Diese erhält man beim Verschiebungsansatz jedoch nur über nachträgliches Differenzieren der näherungsweise berechneten Verschiebung Dadurch werden jedoch die Spannungen in jedem Fall schlechter approximiert als die Verschiebungen Es ist daher sinnvoll, dass wir statt des reinen Verschiebungsansatzes eine Sattelpunktformulierungen betrachten, in der neben den Verschiebungen auch die Spannungen als Unbekannte auftreten 3 Sattelpunktformulierung Das Hellinger-Reissner-Prinzip Um zu einer gemischten Variationsformulierung zu kommen, führen wir zunächst für einen ensor τ seinen antisymmetrischen Anteil as τ := τ τ ein Proposition 4 Es seien σ, τ beliebige ensoren in R d d, und η R d d sei ein ensor mit η + η = 0 Dann gilt: Beweis Es ist und as σ : τ = σ : as τ, as σ : η = (σ : η) as σ : τ = (σ σ ) : τ = σ : τ σ : τ = σ : τ σ : τ = σ : (τ τ ) = σ : as τ, as σ : η = σ : as η = σ : (η η ) (17a) (17b) 16

17 3 Sattelpunktformulierung Das Hellinger-Reissner-Prinzip = σ : (η ( η)) = (σ : η) Wir betrachten nun (13) und eliminieren mit Hilfe von (13a) die Verzerrungen ε aus dem Randwertproblem Zu lösen sind dann die folgenden Gleichungen: σ = CDu in, (18a) div σ = f in, (18b) as σ = 0 in, (18c) u = 0 auf Γ D, (18d) σ n = 0 auf Γ N (18e) Das zu diesen Gleichungen gehörende Variationsproblem bezeichnet man als Hellinger- Reissner-Prinzip, von dem wir eine leicht erweiterte Fassung betrachten wollen Aufgrund von Gleichung (18a) ist der Spannungstensor σ bereits symmetrisch, so dass die Symmetrieforderung (18c) redundant ist Wie Brezzi und Fortin in [11, VII] gezeigt haben, bereitet gerade eine implizite Forderung nach Symmetrie erhebliche Probleme bei der späteren Wahl geeigneter Finite Elemente Räume Wir belassen daher die Gleichung (18c) in der Formulierung Sie führt im späteren Verlauf zu einer schwachen Symmetrieformulierung und einem zusätzlichen Lagrangeschen Parameter Die Variationsformulierung erhält man nun wieder auf dem üblichen Wege, man multipliziert die Gleichung (18a) mit einem geeigneten esttensor, integriert über und wendet die Greensche Formel an Dabei beachtet man, dass das heißt, es ist grad u = 1 (grad u + grad u ) + 1 (grad u grad u ), Du = grad u 1 as(grad u) Die Größe 1 as(grad u) wird als neuer Lagrangescher Parameter γ eingeführt Desweiteren multipliziert man (18b) und (18c) mit geeigneten estfunktionen bzw -tensoren und integriert wiederum über Damit erhält man das folgende Variationsproblem Definition 5 Die P EERS-Formulierung der linearen Elastizität ist gegeben durch das folgende Variationsproblem: Gesucht ist ein ripel (σ, u, γ) H 0 V W, so dass a(σ, τ) + b(τ; u, γ) =0 τ H 0, (19a) 17

18 Lineare Elastizitätstheorie b(σ; v, η) = (f, v) 0 (v, η) V W (19b) Dabei sind a und b die Bilinearformen a(σ, τ) := C 1 σ : τ dx, b(σ; v, η) := div σ v dx + Die Räume H, H 0, V und W sind gegeben durch: σ : η dx (0) H :=H(div, ), H 0 :={σ H σ n = 0 auf Γ N }, V :=L () d, W :={η L () d d η + η = 0} Desweiteren definieren wir noch die Räume Z := ker b = {σ H b(σ; v, η) = 0 für (v, η) V W }, Z := {σ H a(σ, τ) = 0 für τ Z} Bemerkung 6 Betrachtet man anstelle der homogenen Randbedingungen inhomogene Dirichlet oder Neumann Randbedingungen, dann sind die linearen Funktionale auf der rechten Seite von (19) entsprechend zu modifizieren Aufgrund von Proposition 4 ist der zweite Summand in der Bilinearform b gleich 1 as σ : η Beachtet man ferner die Definition der Räume H, V und W, so sieht man, dass für die Elemente σ Z gerade div σ = 0 und as σ = 0 gilt Der Kern von b besteht also aus den divergenzfreien symmetrischen ensoren Bemerkung 7 Der Lagrangesche Parameter γ ist direkt mit der Rotation von u verknüpft, es ist nämlich für Dimension d = : 1 as(grad u) = 1 ( ) 0 y u 1 x u x u y u 1 0 = 1 ( ) 0 1 rot u 1 0 = 1 M(rot(u)) bzw für die Dimension d = 3 1 as(grad u) = 1 0 y u 1 x u z u 1 x u 3 x u y u 1 0 z u y u 3 x u 3 z u 1 y u 3 z u 0 18

19 3 Sattelpunktformulierung Das Hellinger-Reissner-Prinzip = 1 M(rot u), wobei M : R R den linearen Operator mit ( ) 0 x M(x) := x 0 bzw M : R 3 R 3 3 den linearen Operator mit 0 x 3 x M(x) := x 3 0 x 1 x x 1 0 bezeichnet Die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des oa Variationsproblems wurde von Arnold und Falk [4] gezeigt Die Beweisführung entspricht der von Brezzi und Fortin in [11] dargestellten Methode für gemischte Variationsprobleme Es wird gezeigt, dass die Bilinearformen a und b die folgenden Eigenschaften erfüllen Lemma 8 Für die durch (0) definierten Bilinearformen a und b gilt: a ist stetig auf H und koerziv auf Z, dh es gibt Konstanten c a und c A mit und und a(σ, τ) c A σ H τ H σ, τ H () a(σ, σ) c a σ H σ Z (3) b ist stetig und erfüllt die inf-sup-bedingung, dh es gibt Konstanten c b und c B mit b(σ; v, η) c B σ H (v, η) V W (σ, v, η) H V W (4) b(σ; v, η) sup c b (v, η) σ H σ V W (v, η) V W (5) H σ 0 Alle vier Konstanten sind unabhängig von der Lamè-Konstanten λ Insbesondere gilt c A = 1 µ und c B = 1 Beweis Den Beweis von () (5) führen Arnold und Falk [4] Die Aussage über die Konstante c A folgt direkt aus den Eigenschaften der Matrix C 1 s 11 und 1 Die Aussage über c B folgt direkt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung 19

20 Lineare Elastizitätstheorie Aus diesen vier Eigenschaften folgen die Stetigkeit und die inf-sup-bedingung für die Gesamtbilinearform a(σ, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ; v, η), die wir im weiteren Verlauf zur Herleitung eines residuellen Fehlerschätzers benötigen Lemma 9 Es seien a und b wie in Lemma 8, dann ist die Gesamtbilinearform a(ε, τ) + b(τ; e) + b(ε; v, η) stetig Es gilt mit einer Konstanten c AB unabhängig von λ Beweis a(ε, τ) + b(τ; e) + b(ε; v, η) c AB (ε, e) H V W (τ, v, η) H V W (6) a(ε, τ) + b(τ; e) + b(ε; v, η) {c A ε 0 τ 0 + c B τ H e 0 + c B ε H (v, η) 0 } { ( ) c A ε 0 + c B e 1 } 0 τ H + c B ε H (v, η) 0 ( ) c A ε 0 + c B e 0 + c B ε 1 H (τ, v, η) H V W ( c A + c ) 1 B (ε, e) H V W (τ, v, η) H V W Lemma 10 Es seien a und b wie in Lemma 8, dann gilt sup {a(σ, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ; v, η)} c ab (σ, u, γ) H V W (7) (τ,v,η) H V W (τ,v,η) 1 für alle (σ, u, γ) H V W Für die Konstante c ab gilt c a c c ab = min b, 5 5 c b +, 4c A sie ist insbesondere unabhängig von λ Beweis Im Folgenden sei σ H zerlegt gemäß σ = σ 1 +σ mit σ 1 Z, σ Z Ferner sei (u, γ) V W beliebig aber fest Dann gilt zunächst die folgende Beobachtung: (σ, u, γ) H V W = σ 1 + σ H + (u, γ) V,W σ 1 H + σ H + (u, γ) V W 5 max{ σ 1 H, σ H, (u, γ) V W } (8) 1 Fall: σ 1 H = max{ σ 1 H, σ H, (u, γ) V W } Wir erhalten mit (τ, v, η) := (σ 1, 0, 0): a(σ, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ; v, η) 0

21 3 Sattelpunktformulierung Das Hellinger-Reissner-Prinzip =a(σ, σ 1 ) + b(σ 1 ; u, γ) + b(σ; 0, 0) =a(σ 1, σ 1 ) c a σ 1 H c a (σ, u, γ) H V W (σ 1, 0, 0) H V W 5 = c a (σ, u, γ) H V W (τ, v, η) H V W 5 Daraus folgt direkt die Behauptung für diesen Fall Fall: σ H = max{ σ 1 H, σ H, (u, γ) V W } Aufgrund der inf-sup-bedingung für b und σ Z existiert (v, η) V W mit (v, η) V W = 1 und Wir setzen ferner τ := 0 und erhalten: b(σ ; v, η) 1 c b σ H a(σ, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ; v, η) =a(σ, 0) + b(0; u, γ) + b(σ; v, η) =b(σ; v, η) =b(σ 1 + σ ; v, η) =b(σ ; v, η) 1 c b σ H 1 5 c b (σ, u, γ) H V W = 1 5 c b (σ, u, γ) H V W (0, v, η) H V W Wegen gezeigt c b 5 c b +4c A < c b 5 ist damit die Behauptung auch für den zweiten Fall 3 Fall: (u, γ) V W = max{ σ 1 H, σ H, (u, γ) V W } Wie im Vorangehenden existiert aufgrund der inf-sup-bedingung ein τ Z mit τ H = 1 und b(τ; u, γ) 1 c b (u, γ) V W Falls σ = 0 ist, dann ist ferner a(σ, τ) = 0 und wir können (v, η) := 0 wählen, so dass a(σ, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ; v, η) 1

22 Lineare Elastizitätstheorie =a(σ 1, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ 1 ; 0, 0) =b(τ; u, γ) 1 c b (u, γ) V W 1 5 c b (σ, u, γ) H V W = 1 5 c b (σ, u, γ) H V W (τ, v, η) H V W Ist andererseits σ 0, dann existiert aufgrund der inf-sup-bedingung (ṽ, η) V W mit (ṽ, η) V W = 1 und Wir setzen Mit dieser Definition erhalten wir b(σ ; ṽ, η) 1 c b σ H > 0 α := a(σ, τ) b(σ, ṽ, η) a(σ, τ) + b(σ; αṽ, α η) = a(σ, τ) + b(σ ; αṽ, α η) = 0, und es gilt Damit ist α c b a(σ, τ) σ H c A c b τ H = c A c b (τ, v, η) H V W = τ H + (v, η) V W =1 + α (ṽ, η) V W =1 + α 1 + 4c A c b Setzen wir dies alles in die Gesamtbilinearform ein, dann erhalten wir die folgende Abschätzung: a(σ, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ; v, η) =a(σ, τ) + b(τ; u, γ) + b(σ ; v, η) =b(τ; u, γ)

23 3 Sattelpunktformulierung Das Hellinger-Reissner-Prinzip c b u, γ V W c b 5 σ, u, γ H V W c b 1 σ, u, γ H V W 5 τ, v, η H V W 1 + 4c A c b Hieraus folgt die Behauptung für den dritten Fall, womit der gesamte Satz bewiesen ist 3

24 Lineare Elastizitätstheorie 4

25 3 Gemischte Finite Elemente Methoden Das Variationsproblem (19) wird mit Hilfe einer gemischten Finite Elemente Methode diskretisiert Dazu betrachten wir eine Zerlegung h des Gebietes in etraeder bzw Dreiecke Wir beschränken uns im Folgenden darauf, Gebiete mit polyedrischem Rand zu betrachten, um die gesamte Darstellung möglichst übersichtlich zu halten Definition 31 1 Eine riangulierung eines Gebietes heißt zulässig, falls = und wenn für beliebige Elemente 1, genau eine der folgenden Alternativen gilt: a) 1 =, b) 1 ist ein Eckpunkt sowohl von 1 als auch von, c) 1 ist eine gemeinsame Kante von 1 und, d) 1 ist eine gemeinsame Seitenfläche von 1 und, falls d = 3 Für ein Element sei h sein Durchmesser und ρ der Durchmesser der einbeschriebenen Kugel Eine riangulierung heißt quasiuniform, wenn es eine Zahl κ gibt mit h ρ κ (31) Im weiteren Verlauf betrachten wir ausschließlich zulässige, quasiuniforme riangulierungen Auf diesen riangulierungen definieren wir in den Abschnitten 311 und 31 endlichdimensionale Funktionenräume H 0,h H 0, V h V und W h W aus stückweise polynomialen Funktionen und betrachten das folgende endlichdimensionale Variationsproblem Gesucht ist ein ripel (σ h, u h, γ h ) H 0,h V h W h, so dass a(σ h, τ h ) + b(τ h ; u h, γ h ) = 0 τ h H 0,h, (3a) b(σ h ; v h, η h ) = (f, v h ) 0 (v h, η h ) V h W h (3b) Dabei sind die Bilinearformen a und b wie in (0) definiert Damit dieses Variationsproblem eine eindeutige Lösung besitzt, müssen die Finite Elemente Räume H 0,h, 5

26 3 Gemischte Finite Elemente Methoden V h und W h richtig ausbalanciert sein Eine Möglichkeit die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung sicherzustellen ist, zu verlangen, dass b auch für diese Räume die inf-sup- Bedingung erfüllt, und a koerziv auf dem Kern von b ist atsächlich genügen geringere Voraussetzungen um lediglich die Existenz einer Lösung des diskreten Variationsproblems zu zeigen Die hier getroffenen Voraussetzungen ermöglichen es jedoch, mit Hilfe der allgemeinen heorie gemischter Finiter Elemente [11], direkt die passenden a priori Abschätzungen für den Fehler der Näherungslösung herzuleiten Analog zum kontinuierlichen Fall setzen wir Z h := {σ h H h b(σ h ; v h, η h ) = 0 für (v h, η h ) V h W h } Wir werden im weiteren Verlauf die folgenden Differentiationsoperatoren benötigen: 1 Für vektorwertige Funktionen p im R 3 ist curl p := rot p = p Für vektorwertige Funktionen u im R bzw skalare Funktionen p ist curl p := ( y p, x p ) ( ) u1, rot := x u y u 1 Definition 3 Es sei h ein Element der riangulierung und λ 0,, λ d seien die zugehörigen baryzentrischen Koordinaten, dann setzen wir ψ := u d λ i (33) Es sei E eine Kante (Seitenfläche) von und λ 1,, λ d seien die zugehörigen baryzentrischen Koordinaten, dann setzen wir ψ E := i=0 d λ i (34) Definition 33 Für ein Element h und eine Kante bzw Seitenfläche E von definieren wir die Patches ω und ω E durch i=1 ω E := supp ψ E, ω := supp ψ E (35a) (35b) E E h E 6

27 31 Finite Elemente für die lineare Elastizität PSfrag replacements E ω E ω Abbildung 31: Die Patches ω E und ω Definition 34 Die L (ω)-projektion π k auf P k, die Polynome vom Grad kleiner oder gleich k, ist wie folgt definiert Es sei f L (ω), dann ist π k f P k (ω) das Polynom, das die Gleichung π k fp dx = fp dx p P k erfüllt ω 31 Finite Elemente für die lineare Elastizität 311 Das P EERS-Element ω Das Plane Elasticity Element with Reduced Symmetry wurde 1984 von Arnold, Brezzi und Douglas [3] für zweidimensionale Scheibenprobleme vorgestellt Der Ansatzraum für die Spannungen basiert auf dem Raviart-homas-Element R 0 niedrigster Ordnung R 0 ( ) := {w L ( ) d w = a + bx, mit a R d, b R, x = (x 1,, x d ) } Dieser Raum wird angereichert mit Polynomen höheren Grades Dazu benötigen wir den folgenden Raum Definition 35 Mit Hilfe der Elementblasenfunktion definieren wir mit l = 3 für d = 3 und l = 1 für d = B k ( ) := {(σ ij ) R d d (σ i1,, σ id ) = curl(ψ w i ), i = 1 d, w i P k ( ) l } (36) Für Verschiebungen und Asymmetrie benutzt man Räume, die auf P 0 bzw P 1 beruhen Die Definition für Dimension d =, 3 lautet Definition 36 Das P EERS-Element ist definiert durch: H 0,h :={σ h H σ h R 0 ( ) d B 0 ( ), (37a) 7

28 3 Gemischte Finite Elemente Methoden h, σ h n = 0 auf Γ N }, V h :={v h V v h P 0 ( ) d, h }, W h :={η h W C() d d η h P 1 ( ) d d, h }, P EERS :=H 0,h V h W h (37b) (37c) (37d) Man sieht sofort, dass bei dieser Wahl von Finite Elemente Räumen Z h Z ist; denn die Funktionen in Z h sind zwar divergenzfrei aber nicht mehr notwendig symmetrisch Zum Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung von (3) werden daher von Arnold, Brezzi und Douglas sowohl die Koerzivität von a auf Z h als auch die inf-sup-bedingung nachgewiesen Lemma 37 Es gibt Konstanten c P a EERS der Gitterweite h, so dass := c a und c P EERS b unabhängig von λ und a(σ, σ) c P EERS a σ H σ Z h, b(σ; v, η) sup c P b EERS (v, η) σ H h σ V W (v, η) V h W h H Beweis [3, Lemma 43, Lemma 44] Somit existiert eine eindeutige Lösung des diskreten Variationsproblems (3) in H 0,h V h W h Lemma 38 Es sei (σ h, u h, γ h ) P EERS die eindeutige Lösung von (3), und es sei f L () d, dann gilt die a priori Abschätzung Ist sogar f H 1 () d, dann hat man σ σ h 0 + u u h 0 + γ γ h 0 Ch f 0 (38) σ σ h H + u u h 0 + γ γ h 0 Ch f 1 (39) Beweis [3, Korollar 4, heorem 45] 31 BDM S-Elemente Stenberg hat 1988 eine Familie von Finiten Elementen für die P EERS-Formulierung der linearen Elastizität vorgestellt Diese Elemente beruhen bezüglich der Spannungen auf dem BDM k -Element BDM k ( ) := P k ( ) d Für Verschiebungen und Asymmetrie benutzt Stenberg, analog zum P EERS-Element, Räume, die auf P k 1 bzw P k beruhen Der Lagrangesche Parameter, der mit der Asymmetrie verbunden ist, muss hier nicht mehr, wie beim P EERS-Element, global stetig sein Wir bezeichnen diese Familie im Folgenden mit BDM S Die Definition für Dimension d =, 3 lautet 8

29 31 Finite Elemente für die lineare Elastizität Definition 39 Die BDMS-Elemente für k sind definiert durch: H 0,h :={σ h H σ h BDM k ( ) d B k 1 ( ), h, σ h n = 0 auf Γ N }, V h :={v h V v h P k 1 ( ) d, h }, W h :={η h W η h P k ( ) d d, h }, BDMS k :=H 0,h V h W h (310a) (310b) (310c) (310d) Auch für diesen Ansatz gilt, dass die Funktionen in Z h zwar divergenzfrei aber nicht notwendig symmetrisch sind Das heißt, es ist auch hier Z h Z Aufgrund der Divergenzfreiheit der Funktionen in Z h überträgt sich die Koerzivität der Bilinearform a vom kontinuierlichen Fall auf den Raum BDMS Mit Hilfe einer Makroelement-echnik zeigt Stenberg die inf-sup-bedingung für b bezüglich einer gitterabhängigen Norm, die äquivalent zur L -Norm ist Lemma 310 Es gibt Konstanten c BDMS a der Gitterweite h, so dass := c a und c BDMS b unabhängig von λ und a(σ, σ) c BDMS a σ 0 σ Z h, (311a) b(σ; v, η) sup c BDMS b (v, η) σ H h σ V W (v, η) V h W h (311b) 0 Beweis [, Lemma 31, 3, 33] Somit existiert eine eindeutige Lösung des diskreten Variationsproblems (3) in H 0,h V h W h Die a priori Fehlerabschätzungen beweist Stenberg mit Hilfe der Standardtheorie von Brezzi [11] mittels einer inf-sup-bedingung für die Gesamtbilinearform und Standardinterpolationstheorie Lemma 311 Es sei (σ h, u h, γ h ) BDMS k die Lösung von (3) und f L () d, dann gilt die a priori Abschätzung σ σ h 0 Ch k+1 ( σ k+1 + γ k+1 ), u u h 0 Ch k ( σ k + γ k + u k ) (31a) (31b) Beweis [, heorem 31] 313 Hilfsmittel Einer der wesentlichen technischen Schritte zur Herleitung von a posteriori Fehlerschätzern ist die elementweise partielle Integration Wir erhalten für die Operatoren rot und curl die folgende Aussage: 9

30 3 Gemischte Finite Elemente Methoden Lemma 31 Es sei ω eine offene eilmenge mit einer äußeren Normalen n = (n 1,, n d ) Ferner seien u, v H 1 (ω) d und γ t v := v n ω im Falle d = 3 Im Fall d = sei u H 1 (ω) eine skalare Funktion, v H 1 (ω) d und γ t v := v t Der angentenvektor t ist dabei erklärt durch t := ( n, n 1 ) Dann gilt die folgende Formel für die partielle Integration: u rot v dx v curl u dx = γ t v u ds (313) ω ω Beweis Der Beweis folgt direkt aus dem Gaußschen Integralsatz und den folgenden Produktregeln, die man leicht nachrechnet: div(u v) = v curl u u rot v für d = 3, rot(uv) = u rot v v curl u für d = ω Es sei I h der Clémentsche Interpolationsoperator [17] von H 1 () auf die stetigen, stückweise linearen Funktionen, h und E E h,, dann gelten die Abschätzungen: ϕ I h ϕ 0, c I,1 h ϕ 1,ω, ϕ I h ϕ 0,E c I, h 1 ϕ 1,ωE (314a) (314b) Mit Hilfe der Interpolationsoperatoren, die Brezzi und Fortin für die Raviart-homasund BDM-Elemente angeben [11], definieren wir einen Interpolationsoperator Π h Lemma 313 Es sei k = 0 für das P EERS-Element und k für die BDMS k - Elemente Dann gibt es einen stetigen Interpolationsoperator Π h : H H h, der auf jedem Element h die folgenden Eigenschaften besitzt: (σ Π h σ) n p k ds =0 p k P k ( ) d, (315a) (σ Π h σ) : grad p k 1 dx =0 p k 1 P k 1 ( ) d, k (315b) Es gibt eine Konstante c Π, so dass Π h σ H c Π σ H (316) Ferner gibt es für 1 m k + 1, σ H m ( ) d d eine Konstante c, so dass für s = 0, 1 gilt: σ Π h σ s, ch m s σ m, (317) 30

31 31 Finite Elemente für die lineare Elastizität Beweis [11, III33, Proposition 36] Mit Hilfe dieses Interpolationsoperators erhalten wir eine commuting diagram property, zwar nicht für die volle Bilinearform b, aber doch zumindest für deren Divergenzanteil Korollar 314 Für die L ( )-Projektion π k 1 auf P k 1 und den Interpolationsoperator Π h aus Lemma 313 gilt: div(π h σ) v dx = div σ (π k 1 v) dx v V, h für BDMS k div(π h σ) v dx = div σ (π 0 v) dx v V, h für P EERS Beweis Aus (315) folgt im Falle des BDMS k -Elementes für p k 1 P k 1 ( ), h mittels partieller Integration sofort: div(σ Π h σ) p k 1 dx = (σ Π h σ) : grad p k 1 dx + (σ Π h σ) n p k 1 dx =0 Und somit erhalten wir wegen div Π h σ P k 1 für v L ( ): div Π h σ v dx = div Π h σ π k 1 v dx = div σ π k 1 v dx Die Aussage für P EERS folgt analog Für den im folgenden Abschnitt anstehenden Beweis, dass die BDMS-Elemente auch bezüglich der natürlichen Norm stabil sind, benötigen wir einen Interpolationsoperator, der eine Art commuting diagram property bezüglich des Asymmetrieanteils der Bilinearform erfüllt Diesen Operator definieren wir durch lokale, auf einem Element der riangulierung gestellte Hilfsprobleme Dazu definieren wir { {ϕ L ( ) curl ϕ L ( ) } d = H(curl, ) := {ϕ L ( ) 3 curl ϕ L ( ) 3 3 } d = 3 Proposition 315 Es sei h und ϕ H(curl, ) Dann gibt es genau ein τ h W h ( )/P d d 0 mit der Eigenschaft, dass ψ rot τ h : rot γ h dx = curl ϕ : γ h dx γ h W h ( )/P d d 0 (319) 31

32 3 Gemischte Finite Elemente Methoden Beweis Offensichtlich stimmt die Anzahl der Freiheitsgrade für τ h mit der Anzahl der Gleichungen überein, so dass wir lediglich zeigen müssen, dass die Gleichungen linear unabhängig sind Es gelte also ψ rot τ h : rot γ h dx = 0 für alle γ h W h ( )/P d d 0 Dann gilt diese Gleichung insbesondere auch für γ h := τ h W h ( )/P d d 0, dh es ist ψ rot τ h dx = 0 Die Größe ψ p(x) dx ist auf dem endlichdimensionalen Vektorraum P k 1 ( ) d d eine zur L -Norm äquivalente Norm Damit ist auch rot τ h = 0 1 Fall d = Es ist τ h = ( ) 0 u u 0 mit einem u P k /P 0 Damit erhalten wir, dass 0 = rot τ h = ( ) x u y u Somit ist grad u = 0 Daraus folgt u P 0, also u = 0 und damit ist auch τ h = 0 Fall d = 3 Im dreidimensionalen Fall ist τ h von der Form 0 τ 1 τ τ h = τ 1 0 τ 3 τ τ 3 0 Damit erhalten wir: y τ z τ 1 x τ x τ 1 0 = rot τ h = y τ 3 z τ 1 x τ 3 y τ 1 z τ 3 z τ x τ 3 + y τ Betrachten wir die drei Gleichungen, die sich aus der Hauptdiagonale ergeben, so erhalten wir y τ = z τ 1 = x τ 3 = y τ Somit ist y τ = z τ 1 = x τ 3 = 0 Zusammen mit den übrigen Gleichungen ist dann wiederum grad(τ 1, τ, τ 3 ) = 0 Analog zum ersten Fall erhalten wir τ h = 0 Definition 316 Wie oben sei ϕ H(curl, ), und τ h sei die Lösung von (319) Wir definieren einen linearen Operator Q h : H(curl, ) P 3 3 k 1 falls d = 3 bzw Q h : H(curl, ) P k 1 falls d = durch die Vorschrift Q hϕ := rot τ h 3

33 31 Finite Elemente für die lineare Elastizität Korollar 317 Offensichtlich ist curl(ψ Q h ϕ) B k 1 ( ), und es gilt: curl(ψ Q h ϕ) : γ h dx = curl ϕ : γ h dx γ h W h ( )/P d d 0 (30) Gilt weiterhin γ t (ϕ) = 0, wobei γ t der Spuroperator in angentialrichtung aus Lemma (31) ist, dann erhalten wir sogar: curl(ψ Q h ϕ) : γ h dx = curl ϕ : γ h dx γ h W h ( ) (31) Beweis Die erste Gleichung folgt durch partielle Integration (Lemma 313) auf der linken Seite von (319) und unter Beachtung der atsache, dass ψ = 0 Die zweite Aussage erhalten wir, wenn wir beachten, dass die linke Seite von (319) für ein konstantes γ h verschwindet Auf der rechten Seite von (319) liefert eine partielle Integration für solche γ h : curl ϕ : γ h dx = γ t (ϕ) : γ h ds = 0 Proposition 318 Der Interpolationsoperator Q h erfüllt die Abschätzung curl(ψ Q h ϕ) 0, c Q curl ϕ 0, (3) Die Konstante c Q hängt nur vom Regularitätsparameter κ der riangulierung ab und ist unabhängig von der Gitterweite h Bemerkung 319 Um die Unabhängigkeit von der Gitterweite h nachzuweisen, benötigen wir eine ransformation, die Rotationen auf einem beliebigen Element der riangulierung wieder in Rotationen auf dem Referenzelement ˆ überführt Das heißt, wir benötigen das kontravariante Analogon zur Piola-ransformation Diese kontravariante ransformation findet man zb bei Nedelec [1] oder bei Hiptmair [0], sie ist wie folgt definiert: Sei F : ˆ, F (ˆx) := b + Bˆx = x eine affine Abbildung von ˆ nach Ferner sei u(x) R d eine vektorwertige Funktion auf dem Element, dann ist die zugehörige ransformierte gegeben durch û(ˆx) = B u(f (ˆx)) Identifizieren wir die Rotation von u mit der Matrix rot u M(rot(u)) aus Bemerkung 7, dann erhalten wir das folgende ransformationsverhalten für rot u: ˆ rot(û(ˆx)) = B rot(u(f (ˆx))) Wie oben angegeben ist für ensoren τ R d d die Rotation zeilenweise zu verstehen Daher bezeichnen wir im folgenden Beweis mit Aτ, wobei A eine ransformationsmatrix und τ ein ensor ist, stets die Anwendung von A auf die Matrixdarstellung der Zeilenvektoren von τ Mit dieser Notation gelten für ensoren und ihre Rotationen die gleichen ransformationsregeln wie für Vektoren 33

34 3 Gemischte Finite Elemente Methoden Beweis von Proposition 318 Mit Hilfe der kontravarianten ransformation für ensoren lässt sich das Hilfsproblem, durch das Q h definiert wird, auf das Referenzelement ˆ transformieren Zur Abkürzung setzen wir ϕ h := Q h ϕ und erhalten für die linke Seite von (319): ψ ϕ h : rot γ h dx = ˆ ψ ˆ B ˆϕ h : B ˆ rotˆγ h det B dˆx Entsprechend erhalten wir für die rechte Seite: curl ϕ : γ h dx = B curl ˆ ˆϕ : B ˆγ h det B dˆx ˆ Die L -Norm von curl(ψ ϕ h ) transformiert sich wie folgt: curl(ψ ϕ h ) 0, = curl(ψ ϕ h ) dx = B curl(ψ ˆ ˆ ˆϕ h ) det B dˆx Wir definieren durch: ˆ curl(ψ ˆ ˆϕ h ) := sup ˆγ h W h ( ˆ )/P d d 0 sup ˆγ h W h ( ˆ )/P d d 0 ˆ ˆ ψ ˆ B ˆϕ h : B rotˆγ ˆ h det B dˆx ( ˆ B ˆγ h 1 det B dˆx) Aus der Definition von ϕ h und mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung erhalten wir dann: curl(ψ ˆ ˆ ˆ ˆϕ h ) = ψ ˆ B ˆϕ h : B rotˆγ ˆ h det B dˆx ( ˆ B ˆγ h 1 det B dˆx) = sup ˆγ h W h ( ˆ )/P d d 0 ( ( = B ˆ = curl ϕ 0, curl ˆ ˆϕ : B ˆγ h det B dˆx ( ˆ B ˆγ h 1 det B dˆx) ˆ B curl ˆ ˆϕ det B dˆx ) 1 curl ϕ dx Wir müssen also das folgende Verhältnis betrachten: ( ˆ B curl(ψ ˆ ˆ ˆϕ h ) curl(ψ ˆ ˆ ˆϕ h ) det B dˆx ) 1 ) 1 34

35 31 Finite Elemente für die lineare Elastizität ˆ = sup ψ ˆ B ˆϕ h : B rotˆγ ˆ h det B dˆx ( ˆγ h ˆ B ˆγ h det B dˆx ˆ B curl(ψ ˆ ˆ ˆϕ h ) det B dˆx ˆ = sup ψ ˆ B ˆϕ h : B rotˆγ ˆ h dˆx ( ˆγ h ˆ B ˆγ h dˆx ˆ B curl(ψ ˆ ) ˆ ˆϕ h ) 1 dˆx λ min (B 1 B ) ˆ sup ψ ˆ ˆϕ h : rotˆγ ˆ h dˆx ( ˆγ h λ max (B 1 B ) ˆ ˆγ h dˆx ˆ curl(ψ ˆ ) ˆ ˆϕ h ) 1 dˆx c ˆ κ curl(ψ ˆ ˆϕ h ) 1 ˆ sup ψ ˆ ˆϕ h : rotˆγ ˆ h dˆx 0, ˆ ˆγ h ˆγ h 0, ˆ Dabei haben wir benutzt, dass die Kondition von B 1 gerade durch den Regularitätsparameter κ nach unten beschränkt ist Man rechnet leicht nach, dass das Supremum in der vorstehenden Ungleichung ebenso eine Norm für curl(ψ ˆ ˆ ˆϕ h ) ist wie curl(ψ ˆ ˆ ˆϕ h ) Aufgrund der Äquivalenz von Nor- 0, ˆ men auf endlichdimensionalen Vektorräumen können wir das Verhältnis dieser beiden Größen durch eine Konstante abschätzen, die nur von ˆ abhängt Insgesamt erhalten wir mit einer Konstanten c Q := κ c, unabhängig von h: curl(ψ ϕ h ) 0, c Q ˆ curl(ψ ˆ ˆϕ h ) c Q curl ϕ 0, ) 1 Schließlich werden im Zusammenhang mit der Herleitung von a posteriori Fehlerschätzern regelmäßig die folgenden Abschätzungen benötigt Mit Hilfe der Elementblasenfunktion ψ (33) und den Kantenblasen ψ E (34) erhalten wir Proposition 30 Es sei h, E eine Kante von und γ t der Spuroperator aus Lemma 31 bezüglich dieser Kante Ferner sei τ h H h Dann gibt es Konstanten c 1,, c 6, die lediglich vom Verhältnis h /ρ abhängen, so dass die folgenden Abschätzungen gelten: c 1 1 τ h 0, τ h : ψ τ h dx τ h 0,, (33a) c 1 1 rot τ h 0, rot τ h : ψ rot τ h dx rot τ h 0,, (33b) c 1 γ t τ h 0,E γ t τ h : ψ E γ t τ h dx γ t τ h 0,E, (33c) E 35

36 3 Gemischte Finite Elemente Methoden div(ψ τ h ) 0, c 3 h 1 ψ τ h 0,, (33d) curl(ψ rot τ h ) 0, c 4 h 1 ψ rot τ h 0,, (33e) curl(ψ E γ t τ h ) 0, c 5 h 1 ψ Eγ t τ h 0,, (33f) Beweis [3, Lemma 33] ψ E γ t τ h 0, c 6 h 1 γ t τ h 0,E 314 Stabilität der BDM S-Elemente (33g) Wir wollen im letzten eil dieses Abschnitts zeigen, dass die von Stenberg vorgeschlagenenen BDM S-Elemente auch bezüglich der natürlichen Normen auf H V W stabil sind Wie in Lemma 310 angegeben, zeigt Stenberg die inf-sup-bedingung lediglich bezüglich einer gitterabhängigen Norm, die für den Spannungsanteil äquivalent zur L -Norm ist Unser Ziel ist es, die Brezzi-Bedingung bezüglich der H(div)-Norm zu beweisen Im weiteren Verlauf der Arbeit benötigen wir dieses Ergebnis für die Herleitung von a posteriori Fehlerschätzern, die auf der Lösung lokaler Hilfsprobleme beruhen Satz 31 Es gibt eine Konstante c bb unabhängig von λ und von der Gitterweite h, so dass b(σ h ; u h, γ h ) inf sup c bb (34) (u h,γ h ) V h W h σ h H h σ h H (u h, γ h ) V W Beweis Es seien (u h, γ h ) V h W h beliebig gegeben Dann existiert aufgrund der eindeutigen Lösbarkeit des analytischen Problems (19) zum einen ein (σ 1, u 1, γ 1 ) H 0 V W mit der Eigenschaft, dass für alle (τ, v, η) H 0 V W gilt: a(σ 1, τ) + b(τ; u 1, γ 1 ) = 0, b(σ 1 ; v, η) = (u h, v) Zum anderen erhalten wir ein (σ, u, γ ) H 0 V W als Lösung des Variationsproblems a(σ, τ) + b(τ; u, γ ) = 0, b(σ ; v, η) = (γ h, η) für alle (τ, v, η) H 0 V W Für die Größen σ 1 und σ gelten wegen der Stabilität des analytischen Problems mit [11, II Proposition 13] die Abschätzungen σ 1 H 1 c b ( 1 + c A c a ) uh V, 36