Jahrestagung GDM Berlin Uni Nürnberg. Analogisieren. am Beispiel des Satzes des Pythagoras
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- Bernd Raske
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1 Mutfried Hartmann Jahrestagung GDM Berlin 2007 Analogisieren am Beispiel des Satzes des Pythagoras
2 Gliederung Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
3 Gliederung Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
4 Was ist Analogie?, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein. (Polya 1967) Was ist Analogisieren? Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen.
5 Kurzer Überblick Heuristik Archimedes, Pappos Descartes, Leibniz Mathematikunterricht (Polya 1949) Zentrales Lernziel (Winter 1972) Verallgemeinerung (Deschauer 1999) Kreative Begriffsbildung (Weth 2000) Variation (Schupp 2002) Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003) Von Ebene zum Raum Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003) Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992) Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005) MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006) Computereinsatz (Schumann)
6 Satz von Pappos
7 Pythagoras in Vierecken a² + c² = b² + d² d c a b a² - c² = d²-b² d c a b
8 Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
9 Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks
10 Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analogien des rechtwinkligen Dreiecks
11 Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder Existieren Existieren in in diesen diesen Körpern Körpern auch auch irgendwelche irgendwelche zum zum Satz Satz des des Pythagoras Pythagoras analoge analoge Beziehungen? Beziehungen? Bubeck-Tetraeder Schiefes Tetraeder
12 Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma Dreiecksprisma
13 Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder Faulhaber-Tetraeder
14 Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder Faulhaber-Tetraeder Johannes Faulhaber (1622)
15 Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder Bubeck-Tetraeder (1992)
16 Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder Schiefes Tetraeder
17 Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder Dreiecksprisma Schiefes Tetraeder (Beweis) Faulhaber C² = A² + C ² D² = A² + D ² C² + D² = 2A² + C ² + D ² A² + B² = 2A² + C ² + D ² B² = A² + C ² + D ²
18 Pythagoras im Raum / Kanten Auf Kantenlängen bezogene Analogien a ² + a ² = b ² + b ² = c ² + c ² ² ² ² ² a + a = c + c ² ² ² b - b = c - c ² a ² - a ² = b ² - b ² = c ² - c ² ² a a ² ² ² - = b + b
19 Gliederung Kurze Übersicht über das Analogisieren Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken
20 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras
21 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken Wie findet man solche Zerlegungen?
22 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analyse des Analogisierungsprozesses Sonderfall Übertragung Allgemeinfall Zerlegung der Kathetenquadrate Schnittführung Analoge Teilstücke Interpretation: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit
23 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l 2. Beispiel
24 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung 1. Diagonale 2. Diagonale
25 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung C C c d Parallele zu c durch C Verlängerung von Seite d c d
26 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung D D C C c d Parallele zu c durch C Parallele zu d durch D c d
27 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung M M c d Parallele zu c durch M Parallele zu d durch M c d
28 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung D D E C E C c d B Parallele zu c durch C und E Parallele zu d durch B und D c d B
29 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analyse des Analogisierungsprozesses Sonderfall Übertragung Allgemeinfall Zerlegung der Kathetenquadrate Schnittführung Abbildung der Teile Analoge Teilstücke Zerlegung des Hypotenusenquadrats Interpretation: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit unvollständige Lösung Probieren endgültige Lösung
30 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierung der Teileabbildung Perigal Ihre Lösung in der Hausaufgabe
31 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Beispiele von Studenten
32 Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Bedeutung für den Unterricht Die Schüler haben die Möglichkeit, komplexe Zerlegungsmöglichkeiten selbst erfolgreich zu entdecken Die Schüler können dabei auch an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar Präzises verbales Beschreiben wird geübt Fachmathematische Begriffe, wie Verschiebung oder Drehung, werden in einem sinnvollen Kontext wiederholt Beweisbedürfnis wird geweckt
33 Forderungen Analogisieren sollte als Methode im Unterricht explizit thematisiert werden in Schulbüchern explizit berücksichtigt werden Weitere Möglichkeiten für das Analogisieren (insbesondere an Standardinhalten) sollten seitens der Mathematikdidaktik erschlossen werden
34 Mutfried Hartmann Jahrestagung GDM Berlin
35 2. Säule: Vernetzung Entdecken durch Analogisieren Wie findet man solche Zerlegungen? Schnitt Lage
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