5 Subpixelgenaue Positionsmessung

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1 5 Subpixelgenaue Positionsmessung Der Grundgedanke sämtlicher im letzten Jahrzehnt entwickelten Subpixelmessverfahren besteht darin, dass ortsdiskrete Grauwerte eines Kantenüberganges letztlich Werte eines kontinuierlichen Intensitätsverlaufes sind, dessen Modell von vornherein bekannt ist (siehe Abb. 5-1). Mit diesem Wissen über den kontinuierlichen Intensitätsverlauf lassen sich Kantenpunkte mit Subpixelgenauigkeit berechnen. Dabei wird angenommen, dass keine überlappenden Markerobjekte, deren Positionen zu messen sind, vorliegen. Die Kantenmodelle müssen im Allgemeinen abhängig von der Größe der zu vermessenden Objekte ausgewählt werden. Liegen Strukturen vor, die relativ groß gegenüber der Signalanstiegsbreite des optischen Systems ausfallen, so sind Sprungantwortmodelle vorzuziehen. Liegen die Lineardimensionen in der Größenordnung der Signalanstiegsbreite, so müssen Pulsmodelle eingesetzt werden. Diese können einerseits aus der Superposition zweier Sprungantworten zusammengesetzt werden oder aber es kommen spezielle Pulsmodelle zum Einsatz. Bei der Berechnung der subpixelgenauen Kantenorte unterscheidet man im 1 Wesentlichen drei Prinzipien: 0,5 0 x K x Abb. 5-1: Sprungantwort des optischen Systems einer idealen Kante Subpixelmessung verwenden Verfahren, die die nahezu ideale Sprungantwort eines Kantenüberganges auswerten, Verfahren, die sich der Ableitung der Sprungantwort eines Kantenüberganges bedienen und Verfahren, die parametrische Kantenmodelle als Grundlage der Diese Verfahren werten letztlich die Grauwertinformationen der orts- und wertediskreten Bilddaten zur Kantenschätzung im Subpixelbereich aus, weshalb die Gammakorrektur rechnerisch kompensiert oder bei geeigneten Kamerasystemen ausgeschaltet werden muss. Letzteres ist von Vorteil, da die Korrektur vor der A/D-Wandlung der Intensitätswerte erfolgt. Mit den parametrischen Kantenmodellen können in der Regel die genauesten Resultate erreicht werden, da diese Modelle den tatsächlichen physikalischen Sachverhalten am besten angepasst werden können. Dieser Vorteil wird jedoch zu Lasten höherer Komplexität und eines höheren Rechenaufwandes erkauft. Bei den parametrischen Kantenmodellen können sowohl ein- als auch zweidimensionale Ansätze zum Einsatz kommen. Die überwiegende Zahl der Anwendungen geht jedoch von einem eindimensionalen Kantenmodell aus. Dabei lassen sich die Konturbestimmungsverfahren, die den Kantenort mit Pixelgenauigkeit ermitteln, mit den eindimensionalen Subpixelverfahren kombinieren, indem man zunächst die Kantenorte mit Pixelgenauigkeit bestimmt, um dann auf geraden Strahlen die Kantenorte mit Subpixelgenauigkeit zu berechnen. Diese Geraden können sowohl in Zeilen- oder Spaltenrichtung als auch orthogonal zu den Kanten verlaufen. Kantenorte auf geraden Strahlen, die nicht in Zeilen- oder Spaltenrichtung verlaufen, sind mit Subpixelgenauigkeit zu berechnen, weshalb man streng genommen, die diesen Orten zugeordneten Grauwerte aus den ortsdiskreten Grauwerten mit einem Interpolationsansatz be-

2 rechnen muss. Die Güte der Interpolation steigt mit der Abnahme von Aliasingeffekten und ist exakt bei bandbegrenzten Signalen, die das mehrdimensionale Shannonsche Abtasttheorem erfüllen. Im Zusammenhang mit einer subpixelgenauen Messung von Messmerkmalen ist eine bewusste Defokussierung anzustreben. Dies führt zur Reduktion von Aliasingeffekten und im Zusammenhang mit der Subkantenschätzung zu einer erhöhten Messgenauigkeit. Die Kantenorte müssen dabei orthogonal zu den Kanten der Messmerkmale bestimmt werden, damit systematische Fehler der Kantenschätzung reduziert werden. Letzteres gilt nicht für zweidimensionale Pulsmodelle. Bei ihnen können für die Positionsschätzung beliebige Pixel in der Umgebung der Kantenorte herangezogen werden. Subpixelgenaue Kanten- und Pulsmessverfahren sind naturbedingt empfindlich gegenüber systematischen Messfehlern. Dies ist auch verständlich, da man gerade mit ihnen eine relativ hohe Pixelauflösung bewirken will, die diese Empfindlichkeit impliziert. Die in der Optik für eine maximale Ortsauflösung üblicherweise zitierte optimale Blendenstellung, kann in diesem Zusammenhang nicht herangezogen werden bzw. führt zu einer Genauigkeitsverschlechterung des Messsystems. Um Aliasingeffekte und systematische Fehler bei einer Interpolation auszuschließen, ist eine optische Bandbegrenzung auf die halbe Ortsabtastfrequenz des CCD/CMOS-Sensors anzustreben. Da die An- und Abstiegszeit eines idealen Tiefpasses zweimal so groß ist wie die reziproke Bandbreite, muss in diesem Fall die Sprungantwort bzw. Pulsbreite mindestens 4 Pixel umfassen. Damit stehen für die Markerfläche im ungünstigsten Fall (ohne Pixeldefekte) 12 Pixel zur Verfügung, was seinerseits maximal 12-parametrige Kanten- bzw. Pulsmodelle zulässt. Bei einer Pulsbreite von 4 Pixel ist der minimal zulässige Abstand zweier Marker bei einem Sicherheitsfaktor von q > 1 größer als 4 q Pixel zu wählen. Bei 512 Pixel erhält man somit einen Mindestabstand zweier Marker von 8 q mm / m-messbereich

3 5.1 Entwurfsziele und Struktur der Kantenmodelle Die für die subpixelgenaue Positionsmessung zur Diskussion stehenden Kantenmodelle sollten folgenden Entwurfszielen genügen: Die Sprung- oder Pulsantwort des optischen Systems muss bei möglichst geringer Komplexität mit ausreichender Genauigkeit approximiert werden (Rechengeschwindigkeit versus Genauigkeit). Optische Systeme weisen ein nicht kausales Systemverhalten auf, weshalb nicht kausale Kantenmodelle vorzuziehen sind. Die Modellparameter müssen im Allgemeinen über Minimierungsansätze bestimmt werden. Hierbei werden Newton-ähnliche Algorithmen eingesetzt. Die Modellfunktion sollte daher mindestens einfach stetig differenzierbar sein. Die Sprung- und Impulsantworten können in rotationssymmetrische g ( )( ) t R( p R, r 0, r ) = f R R, 0 0 p r r r r (5-1) separable ( ) ( y ) g ( p, r, r) = f p, x x f p, y y (5-2) und anisotrope S S 0 S Sx 0 S S 0 ( ) g ( p, r, r) = f p, x x, y y (5-3) A A 0 A A 0 0 Kantenmodelle eingeteilt werden. Hierbei sind g R, g S, g A Grauwerte im Bildspeicher, p R, p S, p A Modellparameter, r 0 Kanten- oder Pulsposition und r = (x,y) t 2D-Pixelpositionsvektor (5-4) Rotationssymmetrische Kantenmodelle erfüllen die Entwurfsziele nicht vollständig, da selbst wenn f R stetig differenzierbar wäre, an der Stelle r 0 ein nicht stetig differenzierbares Kantenmodell vorliegt. Dieser Umstand lässt sich umgehen, wenn man mit der modifizierten rotationssymmetrischen Modellfunktion g t ( ( )( ) ) ( p, r, r) = f p, r r r r (5-5) R R K R R 0 0 arbeitet. Es ist ferner zweckmäßig die Kantenmodelle mit einem Maßstabsfaktors a und Offsetfehler c an die verschiedenen Aufnahmesituationen anzupassen. Man erhält somit von der Struktur her Kantenmodelle in der Art: ( ) t t g( p, r, r) = a f p, r, r + c, p = ( p ac). (5-6) P 0 0 P

4 5.2 Subpixelgenaue Positionsschätzer Als Positionsschätzer wären schnelle analytische Ansätze wünschenswert. Hierzu gehört z.b. das Flächenschwerpunktverfahren. Bei komplexen Kanten- bzw. Pulsmodellen, die zu einer entsprechend hohen Messgenauigkeit führen, lassen sich jedoch zumeist keine analytischen Lösungen realisieren und es müssen Minimierungsansätze herangezogen werden. Die algorithmischen Minimierer benötigen jedoch ausreichend gute Startwerte, die man z.b. mit dem Flächenschwerpunktverfahren ermitteln kann (eindeutige Lösbarkeit). Mittels der Bildsegmentierung sei ein Rechteck G Rechteck gefunden, das ein Markergebiet G Marker umfasst (keine überlappenden Marker vorhanden): G Marker G. (5-7) Rechteck Die subpixelgenaue Positionsschätzung des Markermodells kann sodann auf ein Minimierungsproblem p I P Min gm( ri) gp( pp, r0, ri), p 1 r0 P i= r0 mit r G (5-8) i Rechteck zurückgeführt werden, wobei g M (r i ) die gemessenen Grauwerte (RAM-Daten) aus dem Rechteckgebiet repräsentieren. Die Anzahl der in die Positionsschätzung eingehenden Pixel muss der Ungleichung { } I 2+ Dim p (5-9) genügen (keine Rauschreduktion). P Bemerkungen: Die Orte der Grauwerte sollten sowohl im Markerobjekt als auch außerhalb in der Umgebung des Markers liegen. Sie sollten zudem Werte enthalten, die auf beiden Seiten der Markerkante liegen, um so den kontinuierlichen Intensitätsverlauf der Grauwerte in der Umgebung der Kantenorte erfassen zu können. Defekte Pixel oder durch Umwelteinflüsse (Schmutz oder allgemein Störungen) schlecht validierte Pixel können dabei auf einfache Weise ausgeblendet werden, wenn man diese als solche erkennen kann. Gleichung (5-9) zeigt auch, dass Markerobjekte sich über mehrere Pixel ausdehnen müssen. Für relativ weit entfernte oder kleine Objekte (punktförmige Lichtquellen), die sich auf einen Pixel oder weniger ausdehnen, wäre eine subpixelgenaue Positionsmessung prinzipiell nicht möglich, wenn die optische Tiefpaßfilterung nicht für eine Ausdehnung der Systemantwort sorgen würde. Da die Markerposition invariant gegenüber der optischen Bandbreite ist, kann man mit bewusst defokussierten Bilddaten den Zielen nach hoher Messgenauigkeit bei relativ kleinen Markerobjektausdehnungen bzw. großen Markerabständen gerecht werden

5 5.3 Spezielle Kanten-, Puls- und Markermodelle Um die Menge der in Kap. 5.1 definierten Modellfunktionen zu beschränken, werden nur einund zweidimensionalen Kanten- und Pulsmodelle dargestellt, die sich in der Bildverarbeitung bewährt haben. Das hier überwiegend e-funktionsmodelle 1 zum Einsatz kommen, ist nicht verwunderlich, da sich die Sprungantwort eines Systems erster Ordnung nach dem Anfangs- Endwert-Theorem durch ein e-funktionsmodell beschreiben lässt Einfache e-funktionsmodelle Sprungantwort: ( ) g( p, x) a tanh b( x x ) + c (4 Pixel) 2 (5-10) K ( r r )( ) t 0 r r0 b g( pr, ) a 1 e + c (5 Pixel) (5-11) Pulsantwort: ( ( K ) ( K B )) g( p, x) a tanh b( x x ) + tanh b( x x x ) + c, 1 x0 = xk + xb (5 Pixel) (5-12) 2 t t ( r rk)( r rk) ( r rk rb)( r rk rb) b b g(, ) a e e + c 1 pr, r0 = rk + r B (7 Pixel) (5-13) 2 Eigenschaften: akausal, rotationssymmetrisch (eindimensional) Komplexe e-funktionsmodelle Sprungantwort: (siehe 5.3.1) Pulsantwort: ( x x0) ( x x0)( y y0) ( y y0) ρ ( ρ ) x x B B yb y B g( p, x, y) ae + c, ρ < 1 (7 Pixel) (5-14) Eigenschaften: anisotrop Pulsantwort: ( x x ) ( y y ) xb yb g( p, x, y) ae + c (6 Pixel) (5-15) Eigenschaften: isotrop, separabel, korrelationsfrei (Spezialfall von 5-14) x x 1 e e tanh( x) = x x e + e 2 Minimale Anzahl der Pixel, die für eine Positionsschätzung erforderlich sind

6 5.3.3 Kurvenapproximation In der Technik werden bei der Konstruktion und Fertigung mechanischer Objekte einfache geometrische Grundformen verwendet, so dass in der industriellen Bildverarbeitung überwiegend diskrete Konturen c (5-16) t ( k) = ( cx( k), cy( k)), k {0,1, 2,..., K 1} extrahiert werden, deren Kurvenformen von vornherein bekannt sind und die durch grafische Primitiva wie Geraden, Kreise, Ellipsen etc. beschrieben werden können. Diese Darstellung der Kontur lässt sich über den Konturcode (8-9) aus den Startkoordinaten und dem Richtungscode über die Nachbarschaftsrelationen (8-10) berechnen oder ist in Form eines Vektors, der die Subpixelkoordinaten der Konturpunkte enthält, gegeben. Die grafischen Primitiva sind über parametrische Modelle der Art f ( x, y, p ) = 0 (5-17) P P beschreibbar, so dass sich bei bekannter diskreter Kontur das Parameterbestimmungsproblem des Konturmodells auf ein Minimierungsproblem [3, 20, 91, 89] Min ( ( ), ( ), ) K 1 p p fp cx k cy k p P (5-18) k = 0 zurückführen lässt. Die Parameter p P des Konturmodells können als Kalibriermerkmale eines Kalibrierkörpers Verwendung finden. Für die Bestimmung der Parameter ließe sich ferner die Hough-Transformation heranziehen [6, 68]. Dies ist jedoch im Zusammenhang mit der Positionsmessung nicht sinnvoll, weil die Hough-Transformation eine relativ große Anzahl von Konturelementen benötigt, für die eine Subkantenschätzung vorzunehmen wäre. Damit müssten mit großer Wahrscheinlichkeit auch Kantenpositionen herangezogen werden, deren Kurven nicht quasi orthogonal zu den Zeilen und Spalten des CCD/CMOS-Sensors verlaufen. Für diese Kantenpositionen wären auf den zu den Konturen orthogonalen Suchrichtungen Grauwertinterpolationen nötig, was insgesamt deutlich zu Lasten der Rechenzeit gehen würde. Die fertigungstechnisch bedeutsamsten Konturen stellen die Gerade f : y m x+ b= 0, t G p G = ( m, b) (5-19) und der Kreis f : ( y y ) + ( x x ) r = 0, K c c t p K = ( xc, yc, r) (5-20) bzw. in erster Näherung von Fertigungs- und Abbildungsfehlern der CCD-Kamera die Ellipse f : ( y y ) / a + ( x x ) / b 1= 0, E c c t p E = ( xc, yc, a, b) (5-21) in impliziter Form dar. Anstelle der o.g. Konturmodelle lassen sich ebenso die Hesseschen Normalformen verwenden. Deren Parameter sind jedoch nur eindeutig bis auf einen Maßstabsfaktor bestimmbar und müssten zudem in die konstruktiven Kenngrößen überführt werden (z.b. Mittelpunktskoordinaten und Radius). Für weitere Einzelheiten zur Kurvenapproximation mittels Polynomen und Splines sowie zu verschiedenen Ansätzen zur Bestimmung von Ellipsenparametern sei auf [65] und [2, 6, 21, 53, 72] verwiesen

7 σ ; σ x; y x y K = Anzahl äquidistanter Stützstellen auf der Objektkontur 0,05 Pixel 0,1 Pixel 10 Tab. 5-1: Korrelationsfreie Unsicherheiten der Konturelemente Für die Analyse des Fehlerfortpflanzungsverhaltens bei der Parameteridentifikation der Konturmodelle wurden unkorrelierte Unsicherheiten der Konturelemente entsprechend Tab. 5-1 angenommen. Diese Werte orientieren sich hinsichtlich der zufälligen Fehler an den Unsicherheiten der PLL-Synchronisation und hinsichtlich der systematischen Fehler an den systematischen Fehlern des geometrischen Kameramodells. Diese Eigenschaften können auf digitale Interface übertragen werden, wobei sich die Unsicherheiten in etwa um den Faktor 10 reduzieren. Gerade (m,c) = (1,1) Pixel (45 Gerade), x / Pixel [ 200,200] m / Pixel c / Pixel σ p 3, , Kreis p 1, , (r,x c,y c ) = (200,1,1) Pixel x c / Pixel y c / Pixel r / Pixel Hauptachsenellipse σ p 3, , , p 1, , , (a,b,x c,y c ) = (200,190,1,1) Pixel x c / Pixel a / Pixel y c / Pixel b / Pixel σ p 3, , , , p 1, , , , Tab. 5-2: Unsicherheiten der Parameteridentifikation der Konturmodelle Die Ergebnisse in Tab. 5-2 zeigen, dass die systematischen Fehler der Positionsmessung mit 0,16 bis 0,18 Pixel beim Kreis- und Hauptachsenellipsenmodell gegenüber den zufälligen Fehlern von 0,035 bis 0,055 Pixel deutlich überwiegen. Das Geradenmodell kann erwartungsgemäß zur Orientierungsmessung herangezogen werden, dabei werden zufällige Fehler von 0,022 und systematische Fehler von 0,078 erreicht. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Unsicherheiten der Positionsmessung und Orientierungsmessung mit den o.g. grafischen Primitiva bei mehr als zehn Konturelementen hauptsächlich von den systematischen Fehlern bestimmt werden, wenn das Verhältnis der systematischen Fehler zu den Streuungen der zufälligen Fehler sich wie 2 : 1 verhält. 5.4 Unsicherheiten Positionsmessung Die erreichbare Genauigkeit der subpixelgenauen Markerpositionsmessung lässt sich mit systemtheoretischen Methoden abschätzen. Hierzu ist davon auszugehen, dass sowohl die Grauwerte als auch Pixelorte systematische und zufällige Fehler aufweisen. Das tanh-modell kann tendenziell die Unsicherheiten der subpixelgenauen Positionsmessung charakterisieren, wenn das Kantenmodell sich aus e-funktionen zusammensetzt. Letztlich aber werden die Unsicherheiten vom Kanten- bzw. Pulsmodell abhängen. Letzteres kann zur Auswahl des für die jeweilige Situation optimalen Modells herangezogen werden

8 5.4.1 Tanh-Modell 5. Subpixelgenaue Positionsmessung Modell a x K c x B (5-10) 230/2 25/2 270/ (5-12) / Tab. 5-3: Parameterwerte des tanh-kantenmodells Die erreichbare Genauigkeit bei der Messung der subpixelgenauen Kantenposition der Modelle (5-10) und (5-12) lässt sich mit systemtheoretischen Methoden abschätzen. Als unkorrelierte Ein- und Ausgangsfehler für die Grauwerte- und Pixelpositionen wurden systematische und zufällige normalverteilte Grauwertfehler von 10 Grauwertstufen und Positionsunsicherheiten von 1/20 Pixel angenommen. Die Parameter der Kantenmodelle wurden entsprechend Tab. 5-3 gewählt. Die Schwarz- und Weißwerte dieser Sprungantwort entsprechen einer realen Aufnahmesituation, die die Kameradynamik nahezu vollständig nutzt. Hinsichtlich der Rauschstörungen wurden sowohl für die dunklen als auch die hellen Bereiche ungünstige Streuungen der Weißwerte herangezogen. Da in der realen Aufnahmesituation Korrelationen zwischen den Störungen existieren können, liegt die Abschätzung der Fehlerfortpflanzung auf der sicheren Seite. 0,5 0,4 0,3 (σ x K ; x K ) / Pixel σ x K (σ g ) σ x K (σ x,σ g ) x K ( g ) SigmaPos(Sigmag) SigmaPos(Sigmax,Sigmag) DeltaPos(Deltag) 92% Kantenposition 8% 0,2 σ g = 10, σ x = 0,05 Pixel, g = σ g 25 äquidistante Meßpunkte um den Kantenort Kantensteilheit 0,1 Kantenbreite / Pixel 0,0 8,0 5,3 4,0 2,7 2,0 Abb. 5-2: Messfehler der Subkantenschätzung mit tanh-modell Zur Charakterisierung des Fehlerfortpflanzungsverhaltens wurden 25 äquidistante, symmetrisch um die Kantenposition verteilte Kantenorte mit der Kantenbreite K B in Pixel zwischen dem 8%- und 92%-igen Kantenwert der Sprungantwort (5-10) als Parameter berechnet. Die Rangermittlung des Minimierungsproblems hat gezeigt, dass das tanh-modell minimal ist, womit sämtliche Parameter identifizierbar sind. Die Ergebnisse der Fehlerfortpflanzungsanalyse in Abb. 5-2 und 5-3 machen deutlich, dass eine vernünftige Subkantenmessung erst unterhalb einer Kantenbreite von 4 Pixel möglich ist. Die Genauigkeit der Subkantenmessung wird dabei nach unten hin auf ca. 1/20 Pixel ( ) durch die zufälligen Störungen der Synchronisation zwischen Kamera- und A/D-Wandlertakt begrenzt. Bei einer digitalen Datenübertragung zwischen Kamera und Bildverarbeitungskarte sowie lediglich Rauschstörungen in den Helligkeitswerten ließe sich eine Genauigkeit von ca. 1/100 Pixel ( ) erreichen. Diese Auflösung wird durch die Rauschstörungen des Helligkeitssignals, die ihrerseits wesentlich durch Beleuchtungs- und Materialinhomogenitäten determiniert sind, bestimmt. Systematische Fehler in der Größenordnung von 10 Grauwertstufen lassen sich durch eine ausreichende Bandbreite mit einer Kantenbreite unterhalb von 2-4 Pixel ( ) auf ca. 1/10 Pixel reduzieren. Die Worst-Case-Abschätzung der systematischen Fehler ist zwar stark pessimistischer Natur, dennoch zeigen die Ergebnisse, dass die Interpolation der Grauwerte

9 auf Subpixelorten nicht als unkritisch betrachtet werden kann. Aus diesem Grund müssen die Grauwerte auf Subpixelorten durch Interpolation mit dem idealen Tiefpass oder entsprechenden approximativen Interpolationen berechnet werden. Bei Kantenbreiten im Bereich von 4 Pixel lassen sich Messgenauigkeiten von 1/10 Pixel nur erreichen, wenn die systematischen Fehler der Grauwerte kleiner als 5 Pixel ausfallen (Linearität zwischen systematischen Ein- und Ausgangsfehlern). 0,6 y 0,5 0,4 y = (σ x K ; x K ) / Pixel σ x K (σ g ) SigmaPos(Sigmag) σ x K (σ x,σ g ) SigmaPos(Sigmax,Sigmag) x K ( g ) DeltaPos(Deltag) σ g = 10 (Grauwert), 0,3 0,2 Kantenposition σ x = 0,05 Pixel, g = 2 σ g 25 äquidistante Meßpunkte um den Kantenort 0,1 0,0 K B / Pixel 8,00 5,33 4,00 2,67 2,00 Abb. 5-3: Messfehler der Subkantenschätzung mit dem tanh-modell bei kleinen Strukturen (Grauwerte g im Rechnerkoordinatensystem sind Integerwerte mit der Dimension eins) Eine steilere Sprungantwort führt einerseits zu einer abnehmenden Empfindlichkeit der Subkantenschätzung gegenüber zufälligen und systematischen Fehlern und andererseits zu größeren systematischen Fehlern bei der Interpolation der Grauwerte auf Subpixelorten. Eine möglichst steile Sprungantwort steht letztlich prinzipiell im Widerspruch zur aliasingarmen Ortsdiskretisierung im CCD-Sensor. Aus diesem Grunde muss hier ein Kompromiss aus den konkurrierenden Zielen gefunden werden. Aufgrund der Ortsintegration im CCD/CMOS-Sensor wird analog zur Blendeneinstellung kein ausgeprägtes Optimum existieren, weshalb es ausreichend ist, den Wertebereich der Kantenbreite festzulegen. Bei einer Kantenbreite unterhalb einem Pixel würde der Aliasingeffekt an Bedeutung gewinnen und bei einer Kantenbreite oberhalb von 4 Pixel überschreitet der Einfluss der systematischen und zufälligen Fehler die Größenordnung von 1/10 Pixel. Dabei wird angenommen, dass die systematischen Fehler der Grauwerte kleiner als 5 Pixel sind. Infolgedessen ist es sinnvoll, mit einer Kantenbreite der Größenordnung 2 bis 4 Pixel zu arbeiten. Diese lässt sich durch eine gezielte Tiefpassfilterung des Signals erreichen. Die Tiefpaßfilterung der Blendenbeugung kann gewöhnlich nicht als Filter genutzt werden, so dass man für Mikro-, Makro- und Fernaufnahmen auf eine bewusste Defokussierung zurückgreifen muss

10 0,10 y 0,08 0,06 0,04 y = (σ x K ; x K ) / Pixel σ g = 10 (Grauwert); σ x = 0,05 Pixel; g = σ g ; Kantenbreite = 2 Pixel; 25 äquidistante Meßpunkte um den Kantenort 0,02 0,00 σ x K (σ g ) σ x K (σ x,σ g ) x K ( g ) SigmaPos(Sigmag) SigmaPos(Sigmax,Sigmag) DeltaPos(Deltag) 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 σ g Abb. 5-4: Genauigkeitsgewinn der Subkantenmessung durch Rauschfilterung Untersucht man den Genauigkeitsgewinn, den man durch eine Rauschfilterung des Bildverarbeitungssignals erreichen kann, so zeigt sich in Abb. 5-4, dass bei PLL-synchronisierten Systemen ( ) keine signifikante Genauigkeitssteigerung möglich ist. Letztlich bestimmen hier die Synchronisationsfehler die Genauigkeit der Kantenschätzung. Bei digitalen Systemen hingegen, lässt sich durch den Filtergewinn auch eine entsprechende Genauigkeitssteigerung erzielen. Für die Positionsmessung im Subpixelbereich lassen sich zusammenfassend folgende Sachverhalte nennen: Für eine robuste Subkantenmessung ist eine Bandbreite des optischen Systems erforderlich, die den Helligkeitssprung auf eine Breite von ca. 4 Pixel ausdehnt. Diese Ausdehnung auf ca. 4 Pixel ist kompatibel mit den theoretischen Überlegungen in Kap. 5 (Anti-Aliasing Bandbegrenzung Kantensteilheit). Bei der Subkantenschätzung kann auf eine Interpolation von Grauwerten auf Subpixelorten in der Regel nicht verzichtet werden. Durch die systembedingten Messfehler PLL-synchronisierter Bildverarbeitungskarten wird die Messgenauigkeit auf ca. 1/20 Pixel begrenzt. Positionsmessungen unterhalb 1/20 Pixel erfordern eine digitale Datenschnittstelle zwischen Kamera und Bildverarbeitungskarte. Eine Genauigkeitssteigerung des Messverfahrens würde dann nach unten hin durch die Inhomogenitäten der Beleuchtungsquellen und der Materialien auf ca. 1/100 Pixel begrenzt. Eine Anwendung von Rauschfilterverfahren zur Genauigkeitssteigerung bleibt dabei auf digitale Systeme beschränkt

11 5.4.2 Grobe Abschätzung der Wirkung systematischer Grauwertfehler Für eine grobe Abschätzung des Einflusses systematischer Fehler bei der Positionsmessung mittels eines Pulssignals kann ein Trapezmodell nach Abb. 5-5 herangezogen werden. Aus der Signalanstiegssteilheit g Max gmax gmin D ( G 1) S ~ q N =, xb xb mit qd ] 0,1] (5-22) g Min g Max := maximaler Grauwert x o g Min := minimaler Grauwert xo + xb x B := Signalanstiegsbreite Abb. 5-5: Trapezpulssignal q D := Dynamikfaktor N G := Grauwertequantisierungsstufen lässt sich grob die Positionsunsicherheit beim Vorliegen eines systematischen Grauwertfehlers g über g x = (5-23) S abschätzen. Damit lässt sich eine obere Schranke für den zulässigen systematischen Grauwertfehler qd ( NG 1) g x (5-24) x B angeben. Bemerkung: Dieser Sachverhalt legt nahe, die Signalanstiegszeit zu verkleinern, da so der Einfluss systematischer Grauwertfehler abnimmt. Dies ist jedoch nicht sinnvoll, da die subpixelgenaue Positionsmessung prinzipiell eine optische Tiefpassfilterung auf ca. 4 Pixel notwendig macht. Es muss zudem nahezu die volle Kameradynamik genutzt werden, wenn man die systematischen Grauwertfehler nicht reduzieren kann. Dies gilt insbesondere für Messmarken mit großen z-entfernungen. Im Nahbereich könnten Kanten- und Markergeometriemodelle (5-10) und (5-19) bis (5-21) zur Positionsmessung anstatt der Pulsmodelle (5-14) herangezogen werden (Entfernungsabhängige Kanten/Puls- und Geometriemodelle). Bei ihnen müssen die Grauwerte nur in der Umgebung der Kante validiert sein. Man könnte hier eine Übersteuerung und nicht lineare Verzerrungen der Grauwerte zulassen, wenn der Blooming-Effekt (CCD hiefür weniger geeignet) bzw. die Übersteuerung die für die Auswertung herangezogen Grauwerte nicht signifikant verfälscht (< 1 Grauwertstufe)

12 Subpixelgenaue Positionsmessung

13 Inhaltsverzeichnis 5 Subpixelgenaue Positionsmessung Entwurfsziele und Struktur der Kantenmodelle Subpixelgenaue Positionsschätzer Spezielle Kanten-, Puls- und Markermodelle Einfache e-funktionsmodelle Komplexe e-funktionsmodelle Kurvenapproximation Unsicherheiten Positionsmessung Tanh-Modell Grobe Abschätzung der Wirkung systematischer Grauwertfehler