Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 9. Lineare Regression
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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 9. Lineare Regression Matthias Birkner & Dirk Metzler Juni 2009
2 Übersicht 1 Lineare Regression: wozu und wie? 2 t-test fuer lineare Zusammenhänge 3 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl
3 Übersicht Lineare Regression: wozu und wie? 1 Lineare Regression: wozu und wie? 2 t-test fuer lineare Zusammenhänge 3 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl
4 Lineare Regression: wozu und wie? Englisch: Griffon Vulture Gypus fulvus Ga nsegeier photo (c) by Jo rg Hempel
5 Lineare Regression: wozu und wie? Prinzinger, R., E. Karl, R. Bögel, Ch. Walzer (1999): Energy metabolism, body temperature, and cardiac work in the Griffon vulture Gyps vulvus - telemetric investigations in the laboratory and in the field. Zoology 102, Suppl. II: 15 Daten aus der Arbeitsgruppe Stoffwechselphysiologie (Prof. Prinzinger) der Frankfurter Goethe-Universität. Telemetrisches System zur Messung der Herzfrequenz bei Vögeln auch während des Fluges.
6 Lineare Regression: wozu und wie? Prinzinger, R., E. Karl, R. Bögel, Ch. Walzer (1999): Energy metabolism, body temperature, and cardiac work in the Griffon vulture Gyps vulvus - telemetric investigations in the laboratory and in the field. Zoology 102, Suppl. II: 15 Daten aus der Arbeitsgruppe Stoffwechselphysiologie (Prof. Prinzinger) der Frankfurter Goethe-Universität. Telemetrisches System zur Messung der Herzfrequenz bei Vögeln auch während des Fluges. Wichtig für ökologische Fragen: die Stoffwechselrate
7 Lineare Regression: wozu und wie? Prinzinger, R., E. Karl, R. Bögel, Ch. Walzer (1999): Energy metabolism, body temperature, and cardiac work in the Griffon vulture Gyps vulvus - telemetric investigations in the laboratory and in the field. Zoology 102, Suppl. II: 15 Daten aus der Arbeitsgruppe Stoffwechselphysiologie (Prof. Prinzinger) der Frankfurter Goethe-Universität. Telemetrisches System zur Messung der Herzfrequenz bei Vögeln auch während des Fluges. Wichtig für ökologische Fragen: die Stoffwechselrate Messung der Stoffwechselrate aufwändig und nur im Labor möglich.
8 Lineare Regression: wozu und wie? Prinzinger, R., E. Karl, R. Bögel, Ch. Walzer (1999): Energy metabolism, body temperature, and cardiac work in the Griffon vulture Gyps vulvus - telemetric investigations in the laboratory and in the field. Zoology 102, Suppl. II: 15 Daten aus der Arbeitsgruppe Stoffwechselphysiologie (Prof. Prinzinger) der Frankfurter Goethe-Universität. Telemetrisches System zur Messung der Herzfrequenz bei Vögeln auch während des Fluges. Wichtig für ökologische Fragen: die Stoffwechselrate Messung der Stoffwechselrate aufwändig und nur im Labor möglich. Können wir von der Herzfrequenz auf die Stoffwechselrate schließen?
9 Lineare Regression: wozu und wie? griffon vulture, , 16 degrees C metabolic rate [J/(g*h)] heart beats [per minute]
10 Lineare Regression: wozu und wie? griffon vulture, , 16 degrees C metabolic rate [J/(g*h)] heart beats [per minute]
11 Lineare Regression: wozu und wie? 0 0
12 Lineare Regression: wozu und wie? y 3 y 2 y x x x 1 2 3
13 Lineare Regression: wozu und wie? y 3 y 2 y 1 b Achsenabschnitt 0 0 x x x 1 2 3
14 Lineare Regression: wozu und wie? y 3 m Steigung y 2 1 y 1 b Achsenabschnitt 0 0 x x x 1 2 3
15 Lineare Regression: wozu und wie? y 3 m Steigung y 2 y 1 1 y=mx+b b Achsenabschnitt 0 0 x x x 1 2 3
16 Lineare Regression: wozu und wie? y 3 m Steigung y 2 y 1 y y m= 2 1 x x 2 1 x x 2 1 y y y=mx+b b Achsenabschnitt 0 0 x x x 1 2 3
17 Lineare Regression: wozu und wie? y 3 b slope y 2 y 1 y=a+bx a intercept 0 0 x x x 1 2 3
18 Lineare Regression: wozu und wie? 0 0
19 Lineare Regression: wozu und wie? 0 0
20 Lineare Regression: wozu und wie? r n r 1 r 3 r i r 2 0 0
21 Lineare Regression: wozu und wie? r n r 1 r 3 r i r 2 Residuen r = y (a+bx ) i i i 0 0
22 Lineare Regression: wozu und wie? r n r 1 r 3 r i r 2 Residuen r = y (a+bx ) i i i Wähle die Gerade so, dass die Summe der quadrierten Residuen minimal wird! 0 r 2+ r r n 0
23 Lineare Regression: wozu und wie? Definiere die Regressiosgerade y = â + ˆb x durch die Minimierung der Summe der quadrierten Residuen: (â, ˆb) = arg min (y i (a + b x i )) 2 (a,b) Dahinter steckt die Modellvorstellung, dass Werte a, b existieren, so dass für alle Datenpaare (x i, y i ) gilt i y i = a + b x i + ε i, wobei alle ε i unabhängig und normalverteilt sind und alle dieselbe Varianz σ 2 haben.
24 Lineare Regression: wozu und wie? gegebene Daten: Y X y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3.. y n x n
25 Lineare Regression: wozu und wie? gegebene Daten: Y X y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3.. Modell: es gibt Zahlen a, b, σ 2, so dass y 1 = a + b x 1 + ε 1 y 2 = a + b x 2 + ε 2 y 3 = a + b x 3 + ε 3.. y n x n y n = a + b x n + ε n
26 Lineare Regression: wozu und wie? gegebene Daten: Y X y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3.. Modell: es gibt Zahlen a, b, σ 2, so dass y 1 = a + b x 1 + ε 1 y 2 = a + b x 2 + ε 2 y 3 = a + b x 3 + ε 3.. y n x n y n = a + b x n + ε n Dabei sind ε 1, ε 2,..., ε n unabhängig N (0, σ 2 ).
27 Lineare Regression: wozu und wie? gegebene Daten: Y X y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3.. Modell: es gibt Zahlen a, b, σ 2, so dass y 1 = a + b x 1 + ε 1 y 2 = a + b x 2 + ε 2 y 3 = a + b x 3 + ε 3.. y n x n y n = a + b x n + ε n Dabei sind ε 1, ε 2,..., ε n unabhängig N (0, σ 2 ). y 1, y 2,..., y n sind unabhängig y i N (a + b x i, σ 2 ).
28 Lineare Regression: wozu und wie? gegebene Daten: Y X y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3.. Modell: es gibt Zahlen a, b, σ 2, so dass y 1 = a + b x 1 + ε 1 y 2 = a + b x 2 + ε 2 y 3 = a + b x 3 + ε 3.. y n x n y n = a + b x n + ε n Dabei sind ε 1, ε 2,..., ε n unabhängig N (0, σ 2 ). y 1, y 2,..., y n sind unabhängig y i N (a + b x i, σ 2 ). a, b, σ 2 sind unbekannt, aber nicht zufällig.
29 Lineare Regression: wozu und wie? Wir schätzen a und b, indem wir (â, ˆb) := arg min (y i (a + b x i )) 2 berechnen. (a,b) i
30 Lineare Regression: wozu und wie? Wir schätzen a und b, indem wir (â, ˆb) := arg min (y i (a + b x i )) 2 berechnen. (a,b) i Theorem Man â und ˆb berechnen durch i ˆb = (y i ȳ) (x i x) i (x = i x) 2 und â = ȳ ˆb x. i y i (x i x) i (x i x) 2
31 Lineare Regression: wozu und wie? Wir schätzen a und b, indem wir (â, ˆb) := arg min (y i (a + b x i )) 2 berechnen. (a,b) i Theorem Man â und ˆb berechnen durch i ˆb = (y i ȳ) (x i x) i (x = i x) 2 und â = ȳ ˆb x. i y i (x i x) i (x i x) 2 Bitte merken: Die Gerade y = â + ˆb x geht genau durch den Schwerpunkt der Punktwolke (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ).
32 Lineare Regression: wozu und wie? Beweisskizze zum Theorem Sei g(a, b) = i (y i (a + b x i )) 2. Wir optimieren g, indem wir die Ableitungen von g g(a, b) a g(a, b) b = i = i 2 (y i (a + bx i )) ( 1) 2 (y i (a + bx i )) ( x i ) nach beiden Variablen auf 0 setzen, und erhalten: 0 = i 0 = i (y i (â + ˆbx i )) ( 1) (y i (â + ˆbx i )) ( x i )
33 Lineare Regression: wozu und wie? 0 = i (y i (â + ˆbx i )) 0 = i (y i (â + ˆbx i )) x i kann man ausmultiplizieren zu ( ) ( ) 0 = y i n â ˆb x i 0 = i ( ) ( ) ( y i x i â x i ˆb i i i i x 2 i ) und das Theorem folgt durch Auflösen nach â und ˆb.
34 Lineare Regression: wozu und wie? vulture day heartbpm metabol mintemp maxtemp medtemp / / / / / / / / / / / (14 different days)
35 Lineare Regression: wozu und wie? > model <- lm(metabol~heartbpm,data=vulture, subset=day=="17.05.") > summary(model) Call: lm(formula = metabol ~ heartbpm, data = vulture, subset = day == "17.05.") Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-08 *** heartbpm e-14 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 17 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 17 DF, p-value: 2.979e-14
36 Lineare Regression: wozu und wie? Optimierung der Gelegegröße Beispiel: Der Erbsensamenkäfer Callosobruchus maculatus englisch: Cowpea weevil oder auch bruchid beetle
37 Lineare Regression: wozu und wie? Optimierung der Gelegegröße Beispiel: Der Erbsensamenkäfer Callosobruchus maculatus englisch: Cowpea weevil oder auch bruchid beetle Wilson, K. (1994) Evolution of clutch size in insects. II. A test of static optimality models using the beetle Callosobruchus maculatus (Coleoptera: Bruchidae). Journal of Evolutionary Biology 7: Wie hängt die Überlebenswahrscheinlichkeit von der Gelegegröße ab?
38 Lineare Regression: wozu und wie? Optimierung der Gelegegröße Beispiel: Der Erbsensamenkäfer Callosobruchus maculatus englisch: Cowpea weevil oder auch bruchid beetle Wilson, K. (1994) Evolution of clutch size in insects. II. A test of static optimality models using the beetle Callosobruchus maculatus (Coleoptera: Bruchidae). Journal of Evolutionary Biology 7: Wie hängt die Überlebenswahrscheinlichkeit von der Gelegegröße ab? Mit welcher Gelegegröße wird die erwartete Anzahl Nachkommen optimiert?
39 Lineare Regression: wozu und wie? viability clutchsize
40 Lineare Regression: wozu und wie? viability clutchsize
41 Lineare Regression: wozu und wie? clutchsize * viability clutchsize
42 Lineare Regression: wozu und wie? clutchsize * viability clutchsize
43 Übersicht t-test fuer lineare Zusammenhänge 1 Lineare Regression: wozu und wie? 2 t-test fuer lineare Zusammenhänge 3 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl
44 t-test fuer lineare Zusammenhänge Beispiel: Rothirsch (Cervus elaphus) Theorie: Hirschkühe können das Geschlecht ihrer Nachkommen beeinflussen.
45 t-test fuer lineare Zusammenhänge Beispiel: Rothirsch (Cervus elaphus) Theorie: Hirschkühe können das Geschlecht ihrer Nachkommen beeinflussen. Unter dem Gesichtspunkt evolutionär stabiler Strategien ist zu erwarten, dass schwache Tiere eher zu weiblichem und starke Tiere eher zu männlichem Nachwuchs tendieren. Clutton-Brock, T. H., Albon, S. D., Guinness, F. E. (1986) Great expectations: dominance, breeding success and offspring sex ratios in red deer. Anim. Behav. 34,
46 t-test fuer lineare Zusammenhänge > hind rank ratiomales ACHTUNG: Simulierte Daten, die sich an den Daten aus der Originalpublikation lediglich orientieren.
47 t-test fuer lineare Zusammenhänge hind$rank hind$ratiomales
48 t-test fuer lineare Zusammenhänge hind$rank hind$ratiomales
49 t-test fuer lineare Zusammenhänge > mod <- lm(ratiomales~rank,data=hind) > summary(mod) Call: lm(formula = ratiomales ~ rank, data = hind) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-06 *** rank e-09 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 52 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared:
50 t-test fuer lineare Zusammenhänge Modell: Y = a + b X + ε mit ε N (0, σ 2 )
51 t-test fuer lineare Zusammenhänge Modell: Y = a + b X + ε mit ε N (0, σ 2 ) Wie berechnet man die Signifikanz eines Zusammenhangs zwischen dem erklärenden Merkmal X und der Zielgröße Y?
52 t-test fuer lineare Zusammenhänge Modell: Y = a + b X + ε mit ε N (0, σ 2 ) Wie berechnet man die Signifikanz eines Zusammenhangs zwischen dem erklärenden Merkmal X und der Zielgröße Y? Anders formuliert: Mit welchem Test können wir der Nullhypothese b = 0 zu Leibe rücken?
53 t-test fuer lineare Zusammenhänge Modell: Y = a + b X + ε mit ε N (0, σ 2 ) Wie berechnet man die Signifikanz eines Zusammenhangs zwischen dem erklärenden Merkmal X und der Zielgröße Y? Anders formuliert: Mit welchem Test können wir der Nullhypothese b = 0 zu Leibe rücken? Wir haben b durch ˆb geschätzt (und gehen jetzt mal von ˆb 0 aus). Könnte das wahre b auch 0 sein?
54 t-test fuer lineare Zusammenhänge Modell: Y = a + b X + ε mit ε N (0, σ 2 ) Wie berechnet man die Signifikanz eines Zusammenhangs zwischen dem erklärenden Merkmal X und der Zielgröße Y? Anders formuliert: Mit welchem Test können wir der Nullhypothese b = 0 zu Leibe rücken? Wir haben b durch ˆb geschätzt (und gehen jetzt mal von ˆb 0 aus). Könnte das wahre b auch 0 sein? Wie groß ist der Standardfehler unserer Schätzung ˆb?
55 t-test fuer lineare Zusammenhänge y i = a + b x i + ε mit ε N (0, σ 2 ) nicht zufällig: a, b, x i, σ 2 zufällig: ε, y i var(y i ) = var(a + b x i + ε) = var(ε) = σ 2 und y 1, y 2,..., y n sind stochastisch unabhängig.
56 t-test fuer lineare Zusammenhänge nicht zufällig: a, b, x i, σ 2 y i = a + b x i + ε mit ε N (0, σ 2 ) zufällig: ε, y i var(y i ) = var(a + b x i + ε) = var(ε) = σ 2 und y 1, y 2,..., y n sind stochastisch unabhängig. ˆb = i y i(x i x) i (x i x) 2
57 t-test fuer lineare Zusammenhänge nicht zufällig: a, b, x i, σ 2 y i = a + b x i + ε mit ε N (0, σ 2 ) zufällig: ε, y i var(y i ) = var(a + b x i + ε) = var(ε) = σ 2 und y 1, y 2,..., y n sind stochastisch unabhängig. ˆb = i y i(x i x) i (x i x) 2 ( var(ˆb) = var i y ) i(x i x) i (x i x) 2 = var ( i y i(x i x)) ( i (x i x) 2 ) 2
58 t-test fuer lineare Zusammenhänge nicht zufällig: a, b, x i, σ 2 y i = a + b x i + ε mit ε N (0, σ 2 ) zufällig: ε, y i var(y i ) = var(a + b x i + ε) = var(ε) = σ 2 und y 1, y 2,..., y n sind stochastisch unabhängig. ˆb = i y i(x i x) i (x i x) 2 ( var(ˆb) = var i y ) i(x i x) i (x = var ( i y i(x i x)) i x) 2 ( i (x i x) 2 ) 2 i = var (y i) (x i x) 2 i ( i (x = σ 2 (x i x) 2 i x) 2 ) 2 ( i (x i x) 2 ) 2
59 t-test fuer lineare Zusammenhänge nicht zufällig: a, b, x i, σ 2 y i = a + b x i + ε mit ε N (0, σ 2 ) zufällig: ε, y i var(y i ) = var(a + b x i + ε) = var(ε) = σ 2 und y 1, y 2,..., y n sind stochastisch unabhängig. ˆb = i y i(x i x) i (x i x) 2 ( var(ˆb) = var i y ) i(x i x) i (x = var ( i y i(x i x)) i x) 2 ( i (x i x) 2 ) 2 i = var (y i) (x i x) 2 i ( i (x = σ 2 (x i x) 2 i x) 2 ) 2 ( i (x i x) 2 ) 2 = σ 2 / i (x i x) 2
60 t-test fuer lineare Zusammenhänge Tatsächlich ist ˆb Normalverteilt mit Mittelwert b und var(ˆb) = σ 2 / i (x i x) 2
61 t-test fuer lineare Zusammenhänge Tatsächlich ist ˆb Normalverteilt mit Mittelwert b und var(ˆb) = σ 2 / i (x i x) 2 Problem: Wir kennen σ 2 nicht.
62 t-test fuer lineare Zusammenhänge Tatsächlich ist ˆb Normalverteilt mit Mittelwert b und var(ˆb) = σ 2 / i (x i x) 2 Problem: Wir kennen σ 2 nicht. Wir schätzen σ 2 mit Hilfe der beobachten Residuenvarianz durch s 2 i (y i â ˆb ) 2 x i := n 2
63 t-test fuer lineare Zusammenhänge Tatsächlich ist ˆb Normalverteilt mit Mittelwert b und var(ˆb) = σ 2 / i (x i x) 2 Problem: Wir kennen σ 2 nicht. Wir schätzen σ 2 mit Hilfe der beobachten Residuenvarianz durch s 2 i (y i â ˆb ) 2 x i := n 2 Zu beachten ist, dass durch n 2 geteilt wird. Das hat damit zu tun, dass zwei Modellparameter a und b bereit geschätzt wurden, und somit 2 Freiheitsgrade verloren gegangen sind.
64 t-test fuer lineare Zusammenhänge var(ˆb) = σ 2 / i (x i x) 2 Schätze σ 2 durch Dann ist s 2 = i (y i â ˆb ) 2 x i n 2 ˆb b / s i (x i x) 2 Student-t-verteilt mit n 2 Freiheitsgraden und wir können den t-test anwenden, um die Nullhypothese b = 0 zu testen.
65 Übersicht Skalierung der Daten 1 Lineare Regression: wozu und wie? 2 t-test fuer lineare Zusammenhänge 3 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl
66 Übersicht Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht 1 Lineare Regression: wozu und wie? 2 t-test fuer lineare Zusammenhänge 3 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl
67 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Daten: Typisches Körpergewicht [kg] und Gehirngewicht [g] von 62 Säugetierarten (und 3 Dinosaurierarten) > data weight.kg. brain.weight.g species extinct african elephant no no no no asian elephant no no no no cat no chimpanzee no
68 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht typische Werte bei 62 Saeugeierarten Gehirngewicht [g] Koerpergewicht [kg]
69 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht typische Werte bei 65 Saeugeierarten african elephant asian elephant Gehirngewicht [g] 1e 01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03 mouse giraffe horse chimpanzee donkey cow rhesus monkey sheep jaguar pig potar monkey grey goat wolf kangaroo cat rabbit mountain beaver guinea pig mole rat hamster human Triceratops Diplodocus 1e 02 1e+00 1e+02 1e+04 Brachiosa Koerpergewicht [kg]
70 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht 1e 02 1e+00 1e+02 1e+04 1e 01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03 typische Werte bei 65 Saeugeierarten Koerpergewicht [kg] Gehirngewicht [g]
71 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht > modell <- lm(brain.weight.g~weight.kg.,subset=extinct=="no") > summary(modell) Call: lm(formula = brain.weight.g ~ weight.kg., subset = extinct == "no") Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * weight.kg <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 60 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 60 DF, p-value: < 2.2e-16
72 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht qqnorm(modell$residuals) Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles
73 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(modell$fitted.values,modell$residuals) modell$residuals e 02 1e+00 1e+02 1e+04 modell$model$weight.kg.
74 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(modell$fitted.values,modell$residuals,log= x ) modell$residuals modell$fitted.values
75 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(modell$model$weight.kg.,modell$residuals) modell$residuals modell$model$weight.kg.
76 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(modell$model$weight.kg.,modell$residuals,log= x ) modell$residuals e 02 1e+00 1e+02 1e+04 modell$model$weight.kg.
77 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Wir sehen, dass die Varianz der Residuen von den angepassten Werten bzw. dem Körpergewicht abhängt. Man sagt, es liegt Heteroskedastizität vor.
78 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Wir sehen, dass die Varianz der Residuen von den angepassten Werten bzw. dem Körpergewicht abhängt. Man sagt, es liegt Heteroskedastizität vor. Das Modell geht aber von Homoskedastizität aus, d.h. die Residuenvarianz soll von den erklärenden Merkmalen (dem Körpergewicht) und den angepassten Werten (annähernd) unabhängig sein.
79 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Wir sehen, dass die Varianz der Residuen von den angepassten Werten bzw. dem Körpergewicht abhängt. Man sagt, es liegt Heteroskedastizität vor. Das Modell geht aber von Homoskedastizität aus, d.h. die Residuenvarianz soll von den erklärenden Merkmalen (dem Körpergewicht) und den angepassten Werten (annähernd) unabhängig sein. Varianzstabilisierende Transformation: Wie können wir die Körper- und Hirnmasse umskalieren, um Homoskedastizität zu erreichen?
80 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Eigentlich ist es ja offensichtlich: Bei Elefanten kann das typischerweise 5 kg schwere Hirn je nach Individuum auch mal 500 g schwerer oder leichter sein. Wenn bei einer Tierart das Hirn typischerweise 5 g schwer ist, wird es nicht um 500 g variieren können, sondern vielleicht ebenfalls um 10%, also ±0.5 g. Die Varianz ist hier also nicht additiv, sondern multiplikatiiv: Hirnmasse = (erwartete Hirnmasse) Zufall Das können wir aber in etwas mit additivem Zufallterm umwandeln, indem wir auf beiden Seiten den (natürlichen) Logarithmus ziehen: log(hirnmasse) = log(erwartete Hirnmasse) + log(zufall)
81 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht > logmodell <- lm(log(brain.weight.g)~log(weight.kg.),subset=e > summary(logmodell) Call: lm(formula = log(brain.weight.g) ~ log(weight.kg.), subset = e "no") Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 *** log(weight.kg.) <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 60 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared:
82 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht qqnorm(modell$residuals) Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles
83 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(logmodell$fitted.values,logmodell$residuals) logmodell$fitted.values logmodell$residuals
84 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(logmodell$fitted.values,logmodell$residuals,log= x ) 1e 03 1e 02 1e 01 1e+00 1e logmodell$fitted.values logmodell$residuals
85 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(weight.kg.[extinct== no ],logmodell$residuals) weight.kg.[extinct == "no"] logmodell$residuals
86 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht plot(weight.kg.[extinct= no ],logmodell$residuals,log= x ) 1e 02 1e+00 1e+02 1e weight.kg.[extinct == "no"] logmodell$residuals
87 Übersicht Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl 1 Lineare Regression: wozu und wie? 2 t-test fuer lineare Zusammenhänge 3 Skalierung der Daten Beispiel: Körper- und Gehirngewicht Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl
88 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Daten: Für 301 US-amerikanische Landkreise (Counties) die Anzahl weißer Einwohnerinnen von 1960 und die Anzahl der Bruskrebstoten aus dieser Gruppe zwischen 1950 und (Aus Rice (2007) Mathematical Statistics and Data Analysis.) > canc deaths inhabitants
89 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Fragestellung: Ist die durchschnittliche Anzahl an Todesopfer proportional zur Einwohnerzahl, d.h. Edeaths = b inhabitants oder hängt das Krebsrisiko von der Größe des Bezirks ab (evtl. wegen Urbanität), so dass ein anderes Modell besser passt? z.b. Edeaths = a + b inhabitants mit a 0.
90 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl > modell <- lm(deaths~inhabitants,data=canc) > summary(modell) Call: lm(formula = deaths ~ inhabitants, data = canc) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e e inhabitants 3.578e e <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: 13 on 299 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 4315 on 1 and 299 DF, p-value: < 2.2e-16
91 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Die additive Konstante ( Achsenabschnitt ) wir auf geschätzt, ist aber nicht signifikant von 0 verschieden.
92 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Die additive Konstante ( Achsenabschnitt ) wir auf geschätzt, ist aber nicht signifikant von 0 verschieden. Man kann also nicht die Nullhypothese verwerfen, dass das Krebsrisiko von der Größe des Bezirks unabhängig ist.
93 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Die additive Konstante ( Achsenabschnitt ) wir auf geschätzt, ist aber nicht signifikant von 0 verschieden. Man kann also nicht die Nullhypothese verwerfen, dass das Krebsrisiko von der Größe des Bezirks unabhängig ist. Aber passt das Modell eigentlich?
94 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl qqnorm(modell$residuals) Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles
95 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl plot(modell$fitted.values,modell$residuals) modell$residuals modell$fitted.values
96 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl plot(modell$fitted.values,modell$residuals,log= x ) modell$residuals modell$fitted.values
97 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl plot(canc$inhabitants,modell$residuals,log= x ) modell$residuals e+02 2e+03 5e+03 2e+04 5e+04 canc$inhabitants
98 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Wir sehen, dass die Varianz der Residuen von den angepassten Werten bzw. der Einwohnerzahl abhängt. Man sagt, es liegt Heteroskedastizität vor.
99 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Wir sehen, dass die Varianz der Residuen von den angepassten Werten bzw. der Einwohnerzahl abhängt. Man sagt, es liegt Heteroskedastizität vor. Das Modell geht aber von Homoskedastizität aus, d.h. die Residuenvarianz soll von den erklärenden Merkmalen (der Einwohnerzahl) und den angepassten Werten (annähernd) unabhängig sein.
100 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Wir sehen, dass die Varianz der Residuen von den angepassten Werten bzw. der Einwohnerzahl abhängt. Man sagt, es liegt Heteroskedastizität vor. Das Modell geht aber von Homoskedastizität aus, d.h. die Residuenvarianz soll von den erklärenden Merkmalen (der Einwohnerzahl) und den angepassten Werten (annähernd) unabhängig sein. Varianzstabilisierende Transformation: Wie können wir die Einwohnerzahl und die Anzahl der Todesfälle umskalieren, um Homoskedastizität zu erreichen?
101 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Woher kommt die Abhängigkeit der Varianz von der Einwohnerzahl?
102 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Woher kommt die Abhängigkeit der Varianz von der Einwohnerzahl? Ist n die Anzahl der (weißen) Einwohnerinnen und p die Wahrscheinlichkeit, innerhalb von 10 Jahren an Bruskrebs zu sterben, so ist np die erwartete Anzahl solcher Todesfälle, und die Varianz ist n p (1 p) n p (Approximation der Binomial- durch die Poissonverteilung bietet sich an). Die Standardabweichung ist also n p.
103 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Woher kommt die Abhängigkeit der Varianz von der Einwohnerzahl? Ist n die Anzahl der (weißen) Einwohnerinnen und p die Wahrscheinlichkeit, innerhalb von 10 Jahren an Bruskrebs zu sterben, so ist np die erwartete Anzahl solcher Todesfälle, und die Varianz ist n p (1 p) n p (Approximation der Binomial- durch die Poissonverteilung bietet sich an). Die Standardabweichung ist also n p. In einem solchen Fall kann man die Varianz annähernd stabilisieren, indem man sowohl das erklärende Merkmal als auch die Zielgröße durch Wurzelziehen stabilisiert.
104 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Für alle, die es etwas genauer wissen wollen: y = b x + ε y = (b x + ε) 2 = b 2 x + 2 b x ε + ε 2 Die Standardabweichung ist hier nicht genau proportional zu x, aber zumindest hat der Teil 2 b x ε hat eine zu x proportionale Standardabweichung, nämlich 2 b x σ. Der Term ε 2 ist hingegen das σ 2 -fache einer χ 2 1 -verteilten Zufallsvariablen und hat Standardabweichung σ 2 2. Zumindest wenn σ sehr klein ist im Vergleich zu b x, gilt also die Approximation y b 2 x + 2 b x ε und die Standardabweichung von y ist ungefähr proportional zu x.
105 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl > modellsq <- lm(sqrt(deaths~sqrt(inhabitants),data=canc) > summary(modellsq) Call: lm(formula = sqrt(deaths) ~ sqrt(inhabitants), data = canc) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) sqrt(inhabitants) <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 299 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 4051 on 1 and 299 DF, p-value: < 2.2e-16
106 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl qqnorm(modell$residuals) Normal Q Q Plot Sample Quantiles Theoretical Quantiles
107 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl plot(modellsq$fitted.values,modellsq$residuals,log= x ) plot(canc$inhabitants,modellsq$residuals,log= x ) modellsq$fitted.values modellsq$residuals 5e+02 2e+03 5e+03 2e+04 5e canc$inhabitants modellsq$residuals
108 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Der QQ-Plot mit der Normalverteilung sieht nicht perfekt aus, aber immerhin ist die Varianz stabilisiert.
109 Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Der QQ-Plot mit der Normalverteilung sieht nicht perfekt aus, aber immerhin ist die Varianz stabilisiert. Das Ergebnis bleibt aber dasselbe: Der Intercept ist nicht signifikant von 0 verschieden. Also kann der erwartete Wert von y proportional zu x sein, was bedeutet, dass auch der erwartete Wert von y ungefähr (!) proportional zu x ist. Also gibt es nach wie vor keinen deutlichen Hinweis auf eine Abhängigkeit zwischen der Einwohnerzahl und der Todesrate.
110 Schlusswort Skalierung der Daten Beispiel: Mortalität und Einwohnerzahl Manchmal ist die Suche nach einer geeigneten varianzstabilisierenden Transformation mit viel Herumprobieren verbunden. In vielen Fällen passt die log-transformation.
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