Bild 3-1 a) Allgemeiner und b) sinusförmiger periodischer Vorgang /Pregla II/

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1 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-3.) Signale 3.) Einteilung von Signalen 3..) Einteilung nach zeitlichen Abläufen (A) Gleichvorgänge Die jeweilige Größe ändert sich (in einem großen Zeitraum) nicht. (B) Veränderliche Vorgänge (B.) Periodische Vorgänge Bild 3- a) Allgemeiner und b) sinusförmiger periodischer Vorgang /Pregla II/ Merkmal: Nach einer Zeit, genannt die Periodendauer, wiederholt sich der Ablauf ganz genau gleich. Die Wiederholung setzt sich (theoretisch) beliebig lange fort. Es gilt x(t + n) = x(t) mit n Wechselvorgänge sind ein Sonderfall der periodischen Vorgänge, sie haben keinen Gleichanteil, ihr zeitlicher Mittelwert ist also null. Das bekannteste Beispiel ist der sinusförmige Verlauf, siehe Bild 3- b. Die rein periodischen Vorgänge sind immer technisch erzeugt.

2 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3- (B.) Nichtperiodische Vorgänge a) zeitlich begrenzte Vorgänge, Impulse Bild 3- Verzögerter Rechteckimpuls mit der Dauer und der Höhe a Impulse können technisch erzeugt sein - mit einem gewollten Verlauf aus einem Impulsgenerator - mit einem zufälligen Verlauf, wie er bei Störquellen entsteht (z.b. Schaltfunken). Impulse können als natürliches Ereignis entstehen (Blitze). b) zeitlich unbegrenzte Vorgänge mit zufälligem Verlauf Merkmal: Der Verlauf kann nicht vorausgesagt werden, eine Beschreibung durch eine Zeitfunktion gibt es nicht. Zufällige Vorgänge können - einen natürlichen Ursprung haben Bild 3-3 Rauschspannung - technisch erzeugt sein Bild 3-4 Nachrichtensignal

3 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite ) Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale Ein Signal x existiere in einem Zeitintervall t. Ist die Zeitvariable t innerhalb von t beliebig wählbar und das zugehörige x(t) definiert, so spricht man von einem zeitkontinuierlichen Signal, siehe x(t) in Bild 3-5. Ist innerhalb von t nur eine endliche Menge von Zeitpunkten t n, n = n... n, definiert und ein Wert x(t n ) nur für diese Zeitpunkte vorhanden, so spricht man von einem zeitdiskreten Signal und schreibt x[n] oder auch x(n). Meist haben die Zeitpunkte einen konstanten Abstand, wie es bei der Abtastung eines zeitkontinuierlichen Signals der Fall ist. Dann ist x[n] = x(n) Bild 3-5 Zeitkontinuierliches Signal x(t), und zeitdiskretes Signal x[n] 3..3) Wertkontinuierliche und wertdiskrete Signale Bei einem wertkontinuierliches Signal x(t) kann der Zahlenwert (ohne die Einheit) jede beliebige reelle Zahl sein. Praktisch ist der Wertebereich eines technischen Signals immer begrenzt. Wertkontinuierliche Signale entstehen z.b. als Mikrofonspannung oder emperaturanzeige eines Quecksilberthermometers. Beispiel: x(t) in Bild 3-5. Ein wertdiskretes Signal kann nur bestimmte Zahlenwerte innerhalb eines Wertebereichs annehmen. So sind die Ergebnisse nach einer Analog/Digital-Wandlung immer wertdiskret. Ein Grenzfall sind die binären Signale, wie sie häufig in der Digitaltechnik auftreten; sie nehmen nur zwei Werte an.

4 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite ) Analoge und digitale Signale Die Bezeichnung analog hat ihren Ursprung im altgriechischen ανα λογος = verhältnismäßig, entsprechend. Ein analoges Signal ist zunächst ein elektrisches Abbild einer vorgegebenen physikalischen Größe, es ändert sich im gleichen Verhältnis wie diese Größe. Die elektrische Abbildung entsteht bei einem Messvorgang oder allgemein einer Umsetzung wie z.b. in einem Mikrofon Analoge Signale sind damit zunächst grundsätzlich wert- und zeitkontinuierlich Analoge elektrische Signale können auch direkt in einem elektrischen Signalgenerator erzeugt werden ( z.b. ein ongenerator ). Die Abgrenzung für digitale Signale ist in der Literatur nicht eindeutig. Digitale Signale sind wertdiskret, ihr Wertebereich enthält eine begrenzte Menge von Werten. Außerdem ändert sich ihr Wert immer nur in einem festen Zeitraster, sie sind getaktet, siehe Bild 3-7, rechts unten. Bild 3-7 Signaleinteilung nach kontinuierlich und diskret Nach dieser Definition ist von den vier Möglichkeiten in Bild 3-7 nur der Fall unten rechts ein digitales Signal. Manchmal werden aber auch die Fälle unten links und oben rechts als Digitalsignal bezeichnet, weil sie mit dem eigentlichen Digitalsignal unten rechts die rechteckige Form gemeinsam haben. Diese Auffassung ist nicht gerechtfertigt. Wenn man z.b. das Faksimile-Signal als Abbild der Abfolge von scharz und weiß in einer Bildzeile ansieht, so ist es rein analog.

5 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite ) Deterministische und stochastische Signale Die Unterscheidung in deterministisch oder stochastisch ist durch den Entstehungsprozeß gegeben. - Ein deterministisches Signal hat einen festgelegten, durch eine Zeitfunktion beschreibbaren Verlauf. Ihr Ablauf ist vorherbestimmt. Beispiele: mathematisch theoretische Verläufe (wie Sinus-Signale); durch einen Funktionsgenerator erzeugte Signale. - Ein stochastisches Signal hat einen rein zufälligen Verlauf, der nicht vorhergesagt werden kann. Daher gibt es auch keine Zeitfunktion. Durch statistische Mittelwerte wie der lineare Mittelwert oder der Effektivwert können Eigenschaften des stochastischen Signals erfaßt werden. Beispiele: Störspannungen, elektronisches Rauschen, Nachrichtensignale. 3..6) Energie- und Leistungssignale siehe auch 3.4 Energiesignale sind Signale mit einer begrenzten, endlichen Energie. Sie sind häufig zeitlich begrenzt, haben also einen Impulsverlauf, siehe 3.., oder sie sind zeitlich nicht begrenzt, haben aber eine endliche Signal-Zeit-Fläche wie die abfallende e-funktion. + W = x (t) dt ist endlich. Leistungssignale haben eine konstante mittlere Leistung für (beliebig) lange Zeit, ihre Energie ist daher unbegrenzt (unendlich). Beispiele: theoretisches Sinus-Signal, Rauschen / / W ist unendlich, P = lim x (t) dt ist endlich.

6 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite ) Zusammenfassung: Darstellung von sinusförmigen Größen In diesem Abschnitt sind ein paar Grundlagen zusammengestellt, die aus vorangegangenen Vorlesungen ( Elektrotechnik, Mathematik ) bekannt sein sollten. 3.. Reelle Zeitfunktion u(t) u(t) = û sin(ωt + ϕ ) oder u(t) = û cos(ωt + ϕ - π ) = û cos(ωt + ϕ ' ) Wichtige Kenngrößen: û : Amplitude ω : Kreisfrequenz f = π ω : Frequenz ϕ : Nullphase der Sinus-Funktion ϕ ' : Nullphase der Cosinus-Funktion 3.. Drehzeiger und komplexe Schwingung u(t) a) u(t) = û e j(ωt + ϕ ) = û ( cos(ωt + ϕ ) + j sin(ωt + ϕ ) ) u(t=) zu (a) wenn der Drehzeiger der Sinus-Funktion zugeordnet ist, d.h. u(t) = Im( u(t) ) b) u(t) = û e j(ωt + ϕ ') u(t=) zu (b) = û ( cos(ωt + ϕ ') + j sin(ωt + ϕ ') ) wenn der Drehzeiger der Cosinus-Funktion zugeordnet ist, d.h. u(t) = Re( u(t) )

7 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-7 Wichtige Kenngrößen: Zusätzlich zu den Kenngrößen für die reelle Zeitfunktion u(t), siehe 3.., ist die komplexe Amplitude definiert: zu a) û = û e jϕ bzw. zu b) û = û e jϕ ' Damit kann die komplexe Schwingung auch wie folgt angegeben werden: u(t) = û e jωt Die Alternativen a) und b) sind gleichwertig und frei wählbar. Fall b) ist die Empfehlung nach DIN Auf Drehzeiger in der Darstellung mit komplexen Zahlen sind die linearen Rechenoperationen Addition/Subtraktion, Multiplikation mit einer Konstanten, Differenzieren und Integrieren ohne Einschränkung anwendbar. 3.3) Zeitliche Mittelwerte Von den unendlich vielen theoretisch möglichen Mittelwerten sind zwei praktisch besonders interessant: der lineare Mittelwert (Gleichanteil) und der quadratische Mittelwert bzw. der Effektivwert. Der quadratische Mittelwert ist eine Angabe über die mittlere Leistung eines Signals und hat von demher Bedeutung für die Signalerzeugung, Übertragung und Empfang. Der lineare Mittelwert muß für die Übertragung häufig gleich null sein, weil viele Übertragungskanäle keinen Gleichanteil übertragen können Mittelwerte für deterministische Signale Gegeben sei ein Signalverlauf x(t), der sich mit der Periodendauer beliebig oft wiederhole. Linearer Mittelwert : t* + ω t* + π x(t) = x(t) dt = π x(ωt) dωt mit t*: ein beliebiger Zeitpunkt t* ωt*

8 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-8 Quadratischer Mittelwert und Effektivwert : t* + ω t* + π x (t) = x (t) dt = π x (ωt) dωt mit t*: ein beliebiger Zeitpunkt t* ωt* X eff = x(t) Beispiel: Sinusförmige Spannung u(t) = û sin(ωt + ϕ ); gewählt: t* = ω t* + π π Dann wird u(t) = π π u(ωt) dωt = û sin(ωt + ϕ ) dωt ωt* Berechnung: û û u(t) = [ ] π cos( ω t +ϕ) = ( -cos(π + ϕ ) + cos(ϕ )) π π Wegen ( cos(π + ϕ ) = cos(ϕ ) wird also u(t) = ω t* + π π u (t) = π π u (ωt) dωt = û sin π û (ωt + ϕ ) dωt = (-cos(ωt + ϕ )) dωt π ωt* Berechnung: u π û û (t) = ω t sin(ω+ t ϕ) = (π - ) = 4π 4π ω t= û û U eff = = û Beispiel: Periodische Rechteckimpulsfolge mit astverhältnis m =,5 u(t) = t* + t* u(t) dt Mit t* = und u(t) = U für < t < / folgt: u(t) = U dt = U (/) = U/

9 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-9 u (t) = t* + / u (t) = U dt = U (/) = U / t* u (t) dt U eff = U/ 3.3. Mittelwerte für stochastische wertdiskrete Signale Für stochastische Signale gib es keine Zeitfunktion. Die Integralgleichungen in 3.3. können daher nur auf einen Bereich des Signals angewendet werden, der schon bekannt ist, z.b. eine Aufzeichnung. Der Bereich muß groß genug sein, damit er das Signal hinreichend repräsentiert und es muß sich um einen stationären Prozeß handeln, damit die Annahme gilt, daß der nachfolgende Signalverlauf die gleichen Eigenschaften hat wie der schon bekannte. Eine andere Methode zur Berechnung der Mittelwerte verwendet statistische Angaben. Wenn die Auftretenswahrscheinlichkeit der Signalwerte bekannt ist, können die Mittelwerte daraus bestimmt werden. Am einfachsten ist die Methode auf wertdiskrete Signale anzuwenden, die folgende Darstellung beschränkt sich auf diesen Fall. Annahme: Eine Quelle gibt ein digitales Signal x(t) mit n Amplitudenstufen x i, i=...n, ab. Zu jeder Amplitudenstufe sei die Auftretenswahrscheinlichkeit P(x i ) bekannt. Damit erhält man die Mittelwerte wie folgt: Linearer Mittelwert: Quadratischer Mittelwert: n x(t) = x i P(x i ) i= n x (t) = x i P(x i ) i= Beispiel: Bipolare Rechteckimpulsfolge mit drei Spannungswerten Daten: i u i /V P(u i ) -5,,5 3 +5,3 u(t) = -5V, + V,5 + 5V,3 =,5V u (t) = (-5V), + (V),5 + (5V),3 =,5V ; U eff = 3,54V

10 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-3.4) Frequenzspektrum Die Darstellung von Signalen im Frequenzbereich hat viele Anwendungen. Eine der wichtigsten ist wohl die Bestimmung der Bandbreite für die Übertragung über einen Nachrichtenkanal. 3.4.) Periodische Signale Fourier-Reihe Darstellung mit reellen Zeitfunktionen Eine periodische Funktion x(t) mit der Periode kann durch eine trigonometrische Summe x(t) = + a cos(ω t) + a cos(ω t) a n cos(nω t) b sin(ω t) + b sin(ω t) b n sin(nω t) +... dargestellt werden. Hierbei ist ω = π die Kreisfrequenz nach 3... Die Anzahl n der Summen- glieder ist meist unendlich, in Sonderfällen genügt eine endliche Anzahl. Die beste Näherung stellt die Summe dar, wenn die Koeffizienten a n und b n (n =,, 3,...) nach Fourier *) bestimmt werden: t* + t* + / b n = x(t) sin(nω t) dt = [x(t) - x(-t)] sin(nω t) dt ( sin(...) ist eine ungerade Funktion) t* / a n = x(t) cos(nω t) dt = [x(t) + x(-t)] cos(nω t) dt ( cos(...) ist eine gerade Funktion) t* a t* + a Für den Sonderfall k = gilt: a = x(t) dt. ist der Gleichanteil von x(t). t* t* ist ein beliebiger Zeitpunkt. Durch Zusammenfassen von Sinus- und Cosinus-Anteilen gleicher Frequenz ergibt sich auch folgende Schreibweise der Reihe ( Harmonische Reihe ) : a x(t) = + A sin(ω t + ϕ ) + A sin(ω t + ϕ ) A n sin(nω t + ϕ n ) a n Hierbei gilt: Amplitudenwerte A n = a n + b n und tan(ϕ n ) = b n *) Jean Baptiste Joseph Fourier,

11 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3- Beispiele zu Fourier-Reihen sind in mathematischen Lehr- und aschenbüchern sowie in elektrotechnischen Lehrbüchern zu finden, z.b. Papula / Mathematik für Ingenieure, Band ; Bronstein, Semendjajew / aschenbuch der Mathematik. Darstellung reeller Zeitfunktionen mit komplexen Schwingungen x(t) =... + c -3 e -j3ω t + c - e -jω t + c - e -jω t + c + c e jω t + c jω t e + c 3 e j3ω t = c n e jnω t n= Die Koeffizienten c n sind grundsätzlich komplexe Zahlen; auf die besondere Kennzeichnung durch einen Unterstrich wird hier und im folgenden verzichtet! Anmerkung: In der komplexen Form treten für n< negative Frequenzen auf! Dies ergibt sich durch Anwendung der Eulerschen Beziehung auf die Sinus- und Cosinus-Funktionen. Die reelle Funktion x(t) ist damit durch eine Summe von komplexen Funktionen vollständig ersetzt. Bestimmung der komplexen Fourier-Koeffizienten: t* + c n = x(t) e -jnω t dt = t* ½(a n jb n) für n > ½(a n + jb n) für n < Es gilt: c n = c -n = ½ A n, c n = c -n *, a n = Re(c n ) und b n = Im(c n ) Begriffe: Die Darstellung eines periodischen Signals durch eine Summe von sinusförmigen Schwingungen und die Ermittlung des Amplitudenspektrums wird Fourier - Analyse genannt. Die Schwingung mit der Frequenz f bzw. der Kreisfrequenz ω heißt Grundschwingung oder.harmonische. Die folgenden sind die.harmonische oder.oberwelle, dann die 3.Harmonische oder.oberwelle usw.

12 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3- Beispiele:.) Gegeben sei die Periodische Rechteckimpulsfolge mit astverhältnis m =,5 aus 3.3. Gleichanteil: a / = U U dt = [] t / = U/ Bestimmung der reellen Fourier-Koeffizienten a n, b n : / / U a n = U cos(nω t) dt = sin(n ω t) = nω U sin(n /) sin() nω [ ω ] a n = U sin(n ) nπ [ π ] wegen ω = π, also a n = für alle n Es gibt keine cos-anteile, u(t) ist eine ungerade Funktion. / U b n = U sin(nω t) dt = cos(n ω t) = nω / U cos(n / ) cos() nω ω [ ] = U cos(n ) nπ [ π ] n b n /U Bild 3-8 Linienspektrum der Rechteckimpulsfolge, m =,5, normiert auf U

13 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-3 Bestimmung der komplexen Fourier-Koeffizienten c n / U c n = U e -jnωt U / dt = jnωt e U = j jn =, n -jnω e π j für n ungerade nπ nπ für n gerade Wegen c n = ½(a n jb n) für n > ½(a n + jb n) für n < folgt: a n = für alle n, b n = für alle geraden n außer n =, b n = U nπ für alle ungeraden n, siehe abelle oben c ist bei der allgemeinen Berechnung ein Sonderfall, weil der Ausdruck / entsteht. Besser bestimmt man c extra mit der Vereinfachung e -jnω t = für n = : / c = U dt = a / =,5 (siehe oben zu a )

14 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-4 Umkehrung der Fourier-Analyse: Bildet man die Summe der n ersten Schwingungen des Linienspektrums, so ergibt sich mit wachsendem n eine zunehmend bessere Annäherung an den vollständigen originalen Signalverlauf. Beispiel aus /Papula, Band/, S.69 Das Rechtecksignal ist das originale Signal. Die.Näherung erfolgt nur mit Grundwelle. Näherung mit der Grundwelle und der 3. Harmonischen Näherung mit der Grundwelle und der 3. und 5. Harmonischen

15 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite ) Energiesignale ( Impulse ) Fourier-ransformation Impulse sind zeitlich begrenzt und nicht periodisch. Ein Linienspektrum bzw. die Summendarstellung aus frequenzdiskreten sinusförmigen Schwingungen existiert daher nicht. Mit dem theoretischen Ansatz, daß eine Wiederholung (periodische Fortsetzung) erst im Unendlichen ( -> ) existiert, erhält man als Ergebnis - unendlich viele Spektrallinien - mit unendlich kleinem Abstand und - unendlich kleiner Amplitude. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Berechnung der Fourier-Koeffizienten z.b. nach c n = t* + t* x(t) e -jnω t dt, wenn geht und x(t) in Zeit- und Wertebereich begrenzt ist. Übergang zum Amplitudendichtespektrum Wir gehen zunächst davon aus, daß der Impuls x(t) durch periodische Fortsetzungen ergänzt wird. Damit ergeben sich endliche Amplituden (Spektrallinien) bei diskreten Frequenzen im Abstand f = f = /. Jeder Spektrallinie bei der Frequenz f = n f ordnen wir den anschließenden Frequenzabschnitt von f bis f+ f zu. Nun werden alle Amplituden auf den zugeordnenten Frequenzabschnitt bezogen, es entsteht die bezogene Amplitude t* + c n ' = c n / f = f x(t) e -jnωt dt. t* Es folgt der Grenzübergang lim c n ' = lim f t* + t* x(t) e -jnω t dt Da für alle stets gilt f = /, ist immer f =. Die obere Integrationsgrenze wird +, die untere kann für den allgemeinen Fall auf - gesetzt werden; es genügt aber praktisch, wenn das Integrationsintervall vom Anfang des Impulses bei t=t bis zum Ende bei t=t erstreckt wird. Da die Schrittweite f zwischen den Spektrallinien gegen null geht, geht auch die Kreisfrequenz ω =π f gegen null. Die diskrete Belegung der Frequenzachse mit nω geht in eine kontinuierliche Belegung mit kontinuierlichen Werten ω über. Wir erhalten den Ausdruck + c n ' = x(t) e -jωt dt = x(t) e -jωt dt t t mit den Eigenschaften: - endliche Werte von c n ' sind möglich - die Frequenzachse ist lückenlos belegt - c n ' hat die Bedeutung einer Amplitudendichte ; ist z.b. x(t) ein Spannungsverlauf, so hat c n ' die Einheit V/Hz - c n ' ist eine kontinuierliche Funktion der (Kreis-)Frequenz.

16 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-6 Die obige Integralgleichung für c n ' wird gewöhnlich als Fourier-ransformation des Signals x(t) bezeichnet; ihr Resultat ist die Fourier-ransformierte F (x(t)) = X(f) = + x(t) e -jωt dt Beispiel: Einzelner Rechteckimpuls der Höhe U und der Dauer von t = -/ bis t = +/ t u(t) = U rect F (u(t)) = / / U e -jωt dt F (u(t)) = F (u(t)) = U e ω j t ω j / / U e ω j / e +ω j / jω Bild 3- Rechteckiger Impuls U U F (u(t)) = sin( ω / ) = sin( ω / ) = U si(ω/) ω ω/ Symbolische Darstellung der Abbildung vom Zeit- in den Frequenzbereich : t U rect ο U si(ω/) Bild 3- Fourier-ransformierte des t Rechteckimpulses U rect nach /Lük/

17 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-7 Übergang vom Frequenz- in den Zeitbereich / Fourier-Rücktransformation Bei gegebenem Verlauf der Fourier-ransformierten X(f) im Frequenzbereich kann durch die inverse Fourier-ransformation der zugehörige Zeitverlauf x(t) bestimmt werden: x(t) = F - (X(f)) = + X(f) e jπft df Anwendungen: - In Verbindung mit der Fourier-ransformation in der Systemtheorie, um das Ausgangssignal eines Systems zu einem beliebigen Eingangssignal zu bestimmen. - Praktischer Fall: Beim Digitalen Rundfunk wird das Sendesignal für die OFDM-Modulation durch die Fourier-Rücktransformation in Echtzeit laufend berechnet ) Leistungssignale ( Nachrichtensignale, Rauschen ) Zufallssignale wie Nachrichtensignale oder Rauschen fallen weder in die Gruppe der periodischen Signale noch in die der Energiesignale. Sie dauern (beliebig) lange an und da sie sich ständig unregelmäßig ändern, wird ihre Leistung kontinuierlich über den Frequenzbereich verteilt. Die Verteilung ist meist unregelmäßig. Leistungssignale werden im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum charakterisiert. Ein Beispiel für ein digitales Nachrichtensignal zeigt Bild 3-, das zugehörige Leistungsdichtespektrum zeigt Bild 3-3. Bild 3- Digitales Nachrichtensignal Bild 3-3 Leistungsdichtespektrum /Loc/

18 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-8 In der Darstellung des Spektrums in Bild 3-3 ist die Leistungsdichte normiert (Maximalwert ). Im allgemeinen hat die Leistungsdichte die Dimension dim(φ SS ) = Leistung Frequenz(abschnitt) Die Fläche unter der Funktion Φ SS (f) über einen bestimmten Abschnitt von f bis f stellt die Signalleistung dar, die auf diesen Abschnitt entfällt. Das bedeutet z.b. für das digitale Signal nach Bild 3-, daß der wesentliche Anteil der Leistung im Frequenzbereich von bis / liegt. Die Herleitung des Leistungsdichtespektrums Φ SS (f) ist über die Autokorrelationsfunktion des gegebenen Signals möglich. Die gesamte Herleitung ist allerdings mathematisch so aufwendig, daß sie in diesem Rahmen nicht behandelt werden kann. Weiteres Beispiel: Leistungsdichtespektrum des sog. Weißen Rauschens Bild 3-4 Rauschsignal n(t) und zugehöriges Leistungsdichtespektrum Φ SS Das Weiße Rauschen weist eine gleichmäßige Leistungsdichte auf. Damit ist die Rauschleistung innerhalb einer Bandbreite f direkt proportional zu der Bandbreite selbst. Dies hat praktische Bedeutung z.b. für das Eigenrauschen und das mitverstärkte Rauschen eines Verstärkers.

19 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite Sprungfunktion ε(t) und Dirac-Impuls oder Stoßfunktion δ(t) Die Sprungfunktion und der Dirc-Impuls (auch Stoßfunktion oder Delta-Funktion genannt) haben ihre Bedeutung bei der Ermittlung und Beschreibung der Eigenschaften von Übertragungssystemen und für die mathematische Behandlung der Signalabtastung. Sprungfunktion ε(t) = fürt< fürt Bild 3-5 Sprungfunktion Stoßfunktion δ(t) = lim x(t) mit x(t) = fürt< undt> / für t Bild 3-6 a) Näherung der Stoßfunktion b) Symbolische Darstellung Eigenschaften der Stoßfunktion Die Stoßfunktion mit dem Gewicht besitzt eine Fläche der Größe : δ(t) dt = Die Stoßfunktion ist die Ableitung der Sprungfunktion: Umkehrung: t δ(τ) dτ = ε(t) d( ε(t)) dt = δ(t) +

20 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3-3.6) Logarithmische Pegelmaße In der Nachrichtentechnik werden Signalspannungen und Mittelwerte der Signalleistung häufig nicht direkt in linearer Darstellung (z.b. mit der Einheit Volt) angegeben, sondern erst auf einen Bezugswert normiert und dann in eine logarithmische Darstellung umgerechnet. Für die logarithmische Pegelangabe wird die Pseudo-Einheit db = dezi Bel benutzt. Die logarithmische Darstellung wird z.b. in der Nachrichtenübertragung in einem Pegelplan angewendet. Vorteile: - kleine Pegel(unterschiede) können mit der gleichen Auflösung angegeben werden wie große - in einer grafischen Darstellung können auch kleine Pegel sichtbar gemacht werden - bei der Berechnung von Pegeln in einer Kette von Übertragungsblöcken, die durch ihre Übertragungsfaktoren gekennzeichnet sind, wird die Multiplikation durch Addition ersetzt Allgemeine Umrechnung in die logarithmische Darstellung a) Umrechnung von Spannungen Gegeben: Spannung u in V (Volt) logarithmische Pegelangabe für u: L U = lg( u/u ref ) b) Umrechnung von Leistungen Gegeben: Leistung P in W (Watt) logarithmische Pegelangabe für P: L P = lg( P/P ref ) Beziehung zwischen Spannungs- und Leistungspegel Mit Hilfe der Gleichung P = U eff /R können Spannungswerte in Leistungswerte umgerechnet werden, wenn der Widerstand R bekannt ist. Für die Umrechnung in das logarithmische Pegelmaß der Leistung ergibt sich damit: U L P = lg eff /R = lg(u eff /U ref ) = L U U ref /R Die Werte der logarithmischen Pegelmaße für Leistungen und für Spannungen sind also gleich. ( An dem logarithmischen Pegelmaß selbst kann man nicht erkennen, ob es sich um einen Leistungs- oder einen Spannungspegel handelt.)

21 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3- Logarithmische Pegelmaße mit verschiedenen Bezugsspannungen oder -Leistungen In den verschiedenen Anwendungsbereichen der Nachrichtentechnik sind im Laufe der Zeit aus praktischen Gründen eigene Bezugswerte für Spannungen oder Leistungen eingeführt worden. Dadurch haben sich je nach Bezugswert mehrere Angaben für Pegelmaße ergeben. Einige gebräuchliche sind im folgenden aufgeführt. a) Spannungspegel bezogen auf U ref = V: L U = lg( u/v) dbv V Beispiele: u = V ergibt L U = lg(v/v) = 6,dBV (gesprochen db Volt ) u =,V ergibt L U = lg(,v/v) = - dbv b) Spannungspegel bezogen auf U ref =,775V: L U = lg( u/,775v) dbu,775v Beispiele: u = V ergibt L U = lg(v/,775v) = 8,3dBU (gesprochen db U ) u =,V ergibt L U = lg(,v/,775v) = - 7,79dBU Anmerkung: Die Angaben in dbu sind immer um,db höher als in dbv. c) Leistungspegel bezogen auf P ref = mw: L P = lg(p/mw) dbm mw Beispiele: P = mw ergibt L P = lg(mw/mw) = 3,dBm P = mw ergibt L P = lg(mw/mw) = dbm ritt eine Leistung P an einem bekannten Widerstand R auf, so kann die der Leistung entsprechende Spannung U eff bestimmt werden. Beispiele:.) P = mw, R = 5Ω Mit P = U eff /R folgt U eff = P R, also U eff =,4V Der Spannungspegel bei,4v an 5Ω ist also L U = dbm = -3dBV.) P = mw, R = 6Ω U eff = P R, also U eff =,775V Der Spannungspegel bei,775v an 6Ω ist also L U = dbm = -,dbv

22 FH OOW / Fachb. echnik / Studiengänge Informatik und Medientechnik Seite 3- Rechnen mit logarithmischen Pegelmaßen Multiplizieren (bzw. Dividieren) von linearen Maßen entspricht dem Addieren (bzw. Subtrahieren ) von logarithmischen Maßen. Beispiele: Lineares Maß Logarithmisches Maß V = 5V dbv = 3,98dBV + 6,dB,5V = 5V, - 6,dBV = 3,98dBV + (- db),5v = 5V / - 6,dBV = 3,98dBV - db mw = mw mw = mw / dbm = dbm + db dbm = dbm - db Addieren (bzw. Subtrahieren) von linearen Maßen hat keine Entsprechung mit logarithmischen Maßen, d.h. ist mit logarithmischen Maßen nicht nachzuvollziehen.