Elektrische Nachrichtentechnik

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1 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite ) Signale Inhaltsverzeichnis 1.1) Einteilung von Signalen 1.1.1) Einteilung nach zeitlichen AblÄufen 1.1.) Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale 1.1.3) Wertkontinuierliche und wertdiskrete Signale 1.1.4) Analoge und digitale Signale 1.1.5) Deterministische und stochastische Signale 1.1.6) Energie- und Leistungssignale 1.) Zusammenfassung: Darstellung von sinusfårmigen GrÅÇen 1..1) Reelle Zeitfunktion u(t) 1..) Drehzeiger und komplexe Schwingung u(t) 1.3) Frequenzspektrum 1..1) Periodische Signale 1..) Energiesignale (Impulse ) 1.3.3) Leistungssignale ( Nachrichtensignale, Rauschen ) 1.4) Sprungfunktion (t) und StoÇfunktion (t) 1.5) Logarithmische PegelmaÇe.) Grundlagen der Netzwerkberechnung / Gleichstrombetrieb.1).) 3.) Lineare Schaltungen mit passiven Bauelementen bei Betrieb mit Wechselstrom 3.1) Die Schaltelemente Widerstand, KapazitÄt, InduktivitÄt und Ébertrager 3.) Zuammenschaltung von Widerstand R mit Kondensator C 3.3) RLC-Schwingkreise 4.) Nichtlineare Schaltungen mit Halbleitern 4.1) Einleitung 4.) Halbleiterdioden 4.3) Behandlung nichtlinearer Schaltkreise mit Dioden 4.4) ransistoren 4.5) Strom- und SpannungsverstÄrkung in ransistorschaltungen

2 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1- Prof. Dr. Joachim Wiebe HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik 5.) Äbertrager 5.1) Bauweisen von Ébertragern 5.) Der ideale verlustlose Ébertrager 5.3) Der reale Ébertrager 5.4) Ébertrager mit Eisenkern Anh1.) A1.1) Grundbegriffe Historische Entwicklung A1.) Abgrenzung der Nachrichtentechnik durch ihre Aufgabengebiete A1..1) Darstellung von Information A1..) ransport von Information A1..3) Vermittlung A1..4) Verarbeitung Anh.) Beispiele zu nachrichtentechnischen Systemen A.1) Das Fernsprechnetz in Deutschland A.1.1) Strukturen von Netzen A.1.) Hierarchische Struktur des Fernsprechnetzes A.1.3) FunktionsblÅcke eines Ébertragungsweges A.1.4) Vermittlungstechnik A.) Mobilfunknetze

3 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite ) Signale Quellen fñr elektrische Signale liefern viele verschiedene Arten von SignalverlÄufen. Im Folgenden wird eine Ébersicht gegeben, Begriffe werden eingefñhrt und die mathematische Darstellung von Signalen wird besprochen. 1.1) Einteilung von Signalen 1.1.1) Einteilung nach zeitlichen AblÄufen (A) GleichvorgÄnge Die jeweilige GrÅÇe Ändert sich (in einem groçen Zeitraum) nicht. (B) VerÄnderliche VorgÄnge (B.1) Periodische VorgÄnge Bild 1-1 a) Allgemeiner und b) sinusfårmiger periodischer Vorgang /Pregla II/ Merkmal: Nach einer Zeit, genannt die Periodendauer, wiederholt sich der Ablauf ganz genau gleich. Die Wiederholung setzt sich (theoretisch) beliebig lange fort. Es gilt x(t + n) = x(t) mit n Z WechselvorgÄnge sind ein Sonderfall der periodischen VorgÄnge, sie haben keinen Gleichanteil, ihr zeitlicher Mittelwert ist also null. Das bekannteste Beispiel ist der sinusfårmige Verlauf, siehe Bild 1-1 b. Die rein periodischen VorgÄnge sind immer technisch erzeugt.

4 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1-4 (B.) Nichtperiodische VorgÄnge a) zeitlich begrenzte VorgÄnge, Impulse Bild 1- VerzÅgerter Rechteckimpuls mit der Dauer und der HÅhe a Impulse kånnen technisch erzeugt sein - mit einem gewollten Verlauf aus einem Impulsgenerator - mit einem zufälligen Verlauf, wie er bei StÅrquellen entsteht (z.b. Schaltfunken). Impulse kånnen als natñrliches Ereignis entstehen (Blitze). b) zeitlich unbegrenzte VorgÄnge mit zufälligem Verlauf Merkmal: Der Verlauf kann nicht vorausgesagt werden, eine Beschreibung durch eine Zeitfunktion gibt es nicht. ZufÄllige VorgÄnge kånnen - einen natñrlichen Ursprung haben Bild 1-3 Rauschspannung - technisch erzeugt sein Bild 1-4 Nachrichtensignal

5 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite ) Analoge und digitale Signale Die Bezeichnung analog hat ihren Ursprung im altgriechischen = verhältnismäçig, entsprechend. Ein analoges Signal ist zunächst ein elektrisches Abbild einer vorgegebenen physikalischen GrÅÇe, es Ändert sich im gleichen VerhÄltnis wie diese GrÅÇe. Die elektrische Abbildung entsteht bei einem Messvorgang oder allgemein einer Umsetzung wie z.b. in einem Mikrofon Analoge Signale sind damit zunächst grundsätzlich wert- und zeitkontinuierlich Analoge elektrische Signale kånnen auch direkt in einem elektrischen Signalgenerator erzeugt werden ( z.b. ein ongenerator ). Die Abgrenzung fñr digitale Signale ist in der Literatur nicht eindeutig. Digitale Signale sind wertdiskret, ihr Wertebereich enthält eine begrenzte Menge von Werten. AuÇerdem Ändert sich ihr Wert immer nur in einem festen Zeitraster, sie sind getaktet, siehe Bild 1-7, rechts unten. Bild 1-5 Signaleinteilung nach kontinuierlich und diskret Nach dieser Definition ist von den vier MÅglichkeiten in Bild 1-5 nur der Fall unten rechts ein digitales Signal. Manchmal werden aber auch die FÄlle unten links und oben rechts als Digitalsignal bezeichnet, weil sie mit dem eigentlichen Digitalsignal unten rechts die rechteckige Form gemeinsam haben. Diese Auffassung ist nicht gerechtfertigt. Wenn man z.b. das Faksimile-Signal als Abbild der Abfolge von schwarz und weiç in einer Bildzeile ansieht, so ist es rein analog.

6 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite ) Zusammenfassung der Darstellung von sinusfårmigen GrÅÇen 1..1 Die reelle Zeitfunktion u(t) (1) u(t) = á sin(t + ) oder () u(t) = á cos(t + - ) = á cos(t + ' ) (3) u(t) = á 1 cos(t) + á sin(t) Wichtige KenngrÅÇen: á : Amplitude : Kreisfrequenz f = : Frequenz : Nullphase der Sinus-Funktion ' : Nullphase der Cosinus-Funktion U eff : Effektivwert, U eff = á/. An einem Widerstand R umgesetzte Leistung: P=U eff /R. 1.. Drehzeiger oder komplexe Schwingung u(t) a) u(t) = á e j(t + ) = á ( cos(t + ) + j sin(t + ) ) u(t=) zu (a) wenn der Drehzeiger der Sinus-Funktion zugeordnet ist, d.h. u(t) = Im( u(t) ) b) u(t) = á e j(t + ') = á ( cos(t + ') + j sin(t + ') ) wenn der Drehzeiger der Cosinus-Funktion zugeordnet ist, d.h. u(t=) zu (b) u(t) = Re( u(t) ) Die Alternativen a) und b) sind gleichwertig und frei wählbar. Fall b) ist die Empfehlung nach DIN

7 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1-7 Wichtige KenngrÅÇen: ZusÄtzlich zu den KenngrÅÇen fñr die reelle Zeitfunktion u(t), siehe 1..1, ist die komplexe Amplitude É definiert: zu a) á = á e j bzw. zu b) á = á e j ' Damit kann die komplexe Schwingung auch wie folgt angegeben werden: u(t) = á e jt Auf Drehzeiger in der Darstellung mit komplexen Zahlen sind die linearen Rechenoperationen Addition/Subtraktion, Multiplikation mit einer Konstanten, Differenzieren und Integrieren ohne EinschrÄnkung anwendbar Ébergang von der reellen Schwingung u(t) auf die komplexe Schwingung u(t) (1) u(t) = á sin(t + ) oder () u(t) = á cos(t + ' ) u(t) = á e j (t + ) u(t) = á e j (t + ') 1.3) Frequenzspektrum Die Darstellung von Signalen im Frequenzbereich hat viele Anwendungen. Eine der wichtigsten ist wohl die Bestimmung der Bandbreite fñr die Ébertragung Ñber einen Nachrichtenkanal ) Periodische Signale Fourier-Reihe Darstellung mit reellen Zeitfunktionen Eine periodische Funktion x(t) mit der Periode kann durch eine trigonometrische Reihe a x(t) = + a 1 cos( t) + a cos( t) a n cos(n t) b 1 sin( t) + b sin( t) b n sin(n t) +... dargestellt werden. Hierbei ist = die Kreisfrequenz nach Die Anzahl n der Summenglieder ist i.a. unendlich, in SonderfÄllen genñgt eine endliche Anzahl.

8 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1-8 Anschaulich deuten kann man die Reihenschreibweise, wenn man die ursprñngliche Quelle mit dem Signal u(t) ersetzt durch eine Kette von Quellen mit sinusfårmigen Schwingungen plus eine Gleichspannung: t* / a n = x(t) cos(n t) dt = [x(t) + x(-t)] cos(n t) dt ( cos(...) ist eine gerade Funktion) t* t* / b n = x(t) sin(n t) dt = [x(t) - x(-t)] sin(n t) dt ( sin(...) ist eine ungerade Funktion) t* = Die beste NÄherung stellt die Summe dar, wenn die Koeffizienten a n und b n (n = 1,, 3,...) nach Fourier *) bestimmt werden: t* a FÑr den Sonderfall k = gilt: a = x(t) dt. ist der Gleichanteil von x(t). t* ist ein beliebiger Zeitpunkt. t* Durch Zusammenfassen von Sinus- und Cosinus-Anteilen gleicher Frequenz ergibt sich auch folgende Schreibweise der Reihe ( Harmonische Reihe ) : a x(t) = + A 1 sin( t + 1 ) + A sin( t + ) A n sin(n t + n ) Hierbei gilt: Amplitudenwerte A n = a n + b a n n und tan( n ) = b Beispiele zu Fourier-Reihen sind in mathematischen Lehr- und aschenbñchern sowie in elektrotechnischen LehrbÑchern zu finden, z.b. Papula / Mathematik fñr Ingenieure, Band ; Bronstein, Semendjajew / aschenbuch der Mathematik. n Begriffe: Die Darstellung eines periodischen Signals durch eine Summe von sinusfårmigen Schwingungen und die Ermittlung des Amplitudenspektrums wird Fourier - Analyse genannt. Die Schwingung mit der Frequenz f 1 bzw. der Kreisfrequenz 1 heiçt Grundschwingung oder 1.Harmonische. Die folgenden sind die.harmonische oder 1.Oberwelle, dann die 3.Harmonische oder.oberwelle usw. *) Jean Baptiste Joseph Fourier,

9 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1-9 Beispiele: 1.) Gegeben sei die Periodische Rechteckimpulsfolge mit astverhältnis m =,5 aus Gleichanteil: a / 1 = U dt = = U/ U t / Bestimmung der reellen Fourier-Koeffizienten a n, b n : / / a n = U cos(n t) dt = = U 1 sin(n 1 t) n 1 U sin(n 1 / ) sin() n 1 a n = U sin(n ) n wegen =, also a n = fñr alle n Es gibt keine cos-anteile, u(t) ist eine ungerade Funktion. / / b n = U sin(n t) dt = = U 1 cos(n 1 t) n 1 U cos(n 1 / ) cos() n 1 = U 1 cos(n ) n n b n /U Bild 1-6 Linienspektrum der Rechteckimpulsfolge, m =,5, normiert auf U

10 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1-1 Umkehrung der Fourier-Analyse: Bildet man die Summe der n ersten Schwingungen des Linienspektrums, so ergibt sich mit wachsendem n eine zunehmend bessere AnnÄherung an den vollständigen originalen Signalverlauf. Beispiel aus /Papula, Band/, S.169 Das Rechtecksignal ist das originale Signal. Die 1.NÄherung erfolgt nur mit Grundwelle. NÄherung mit der Grundwelle und der 3. Harmonischen NÄherung mit der Grundwelle und der 3. und 5. Harmonischen

11 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite Sprungfunktion (t) und Dirac-Impuls oder StoÇfunktion (t) Die Sprungfunktion und der Dirc-Impuls (auch StoÇfunktion oder Delta-Funktion genannt) haben ihre Bedeutung bei der Ermittlung und Beschreibung der Eigenschaften von Ébertragungssystemen und fñr die mathematische Behandlung der Signalabtastung. Sprungfunktion (t) = fñr t 1 fñr t Bild 1-7 Sprungfunktion StoÇfunktion (t) = lim x(t) mit x(t) = fñr t und t 1/ fñr t Bild 1-8 a) NÄherung der StoÇfunktion b) Symbolische Darstellung Eigenschaften der StoÇfunktion Die StoÇfunktion mit dem Gewicht 1 besitzt eine FlÄche der GrÅÇe 1: (t) dt = 1 Die StoÇfunktion ist die Ableitung der Sprungfunktion: Umkehrung: t () d = (t) d( (t)) dt = (t)

12 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite ) Logarithmische PegelmaÇe In der Nachrichtentechnik werden Signalspannungen und Mittelwerte der Signalleistung häufig nicht direkt in linearer Darstellung (z.b. mit der Einheit Volt) angegeben, sondern erst auf einen Bezugswert normiert und dann in eine logarithmische Darstellung umgerechnet. FÑr die logarithmische Pegelangabe wird die Pseudo-Einheit db = dezi Bel benutzt. Die logarithmische Darstellung wird z.b. in der NachrichtenÑbertragung in einem Pegelplan angewendet. Vorteile: - kleine Pegel(unterschiede) kånnen mit der gleichen AuflÅsung angegeben werden wie groçe - in einer grafischen Darstellung kånnen auch kleine Pegel sichtbar gemacht werden - bei der Berechnung von Pegeln in einer Kette von ÉbertragungsblÅcken, die durch ihre Ébertragungsfaktoren gekennzeichnet sind, wird die Multiplikation durch Addition ersetzt Allgemeine Umrechnung in die logarithmische Darstellung a) Umrechnung von Spannungen Gegeben: Spannung u in V (Volt) logarithmische Pegelangabe fñr u: L U = âlg( u/u ref ) b) Umrechnung von Leistungen Gegeben: Leistung P in W (Watt) logarithmische Pegelangabe fñr P: L P = 1âlg( P/P ref ) Beziehung zwischen Spannungs- und Leistungspegel Mit Hilfe der Gleichung P = U eff /R kånnen Spannungswerte in Leistungswerte umgerechnet werden, wenn der Widerstand R bekannt ist. FÑr die Umrechnung in das logarithmische PegelmaÇ der Leistung ergibt sich damit: U L P = 1âlg U eff ref / R / R = 1ââlg(U eff /U ref ) = L U Die Werte der logarithmischen PegelmaÇe fñr Leistungen und fñr Spannungen sind also gleich. ( An dem logarithmischen PegelmaÇ selbst kann man nicht erkennen, ob es sich um einen Leistungs- oder einen Spannungspegel handelt.)

13 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1-13 Logarithmische PegelmaÇe mit verschiedenen Bezugsspannungen oder -Leistungen In den verschiedenen Anwendungsbereichen der Nachrichtentechnik sind im Laufe der Zeit aus praktischen GrÑnden eigene Bezugswerte fñr Spannungen oder Leistungen eingefñhrt worden. Dadurch haben sich je nach Bezugswert mehrere Angaben fñr PegelmaÇe ergeben. Einige gebräuchliche sind im folgenden aufgefñhrt. a) Spannungspegel bezogen auf U ref = 1V: L U = âlg( u/1v) dbv 1V Beispiele: u = V ergibt L U = âlg(v/1v) = 6,dBV (gesprochen db Volt ) u =,1V ergibt L U = âlg(,1v/1v) = - dbv b) Spannungspegel bezogen auf U ref =,775V: L U = âlg( u/,775v) dbu,775v Beispiele: u = V ergibt L U = âlg(v/,775v) = 8,3dBU (gesprochen db U ) u =,1V ergibt L U = âlg(,1v/,775v) = - 17,79dBU Anmerkung: Die Angaben in dbu sind immer um,1db håher als in dbv. c) Leistungspegel bezogen auf P ref = 1mW: L P = 1âlg(P/1mW) dbm 1mW Beispiele: P = mw ergibt L P = 1âlg(mW/1mW) = 3,1dBm P = 1mW ergibt L P = 1âlg(1mW/1mW) = 1dBm ritt eine Leistung P an einem bekannten Widerstand R auf, so kann die der Leistung entsprechende Spannung U eff bestimmt werden. Beispiele: 1.) P = 1mW, R = 5 Mit P = U eff /R folgt U eff = P R, also U eff =,4V Der Spannungspegel bei,4v an 5 ist also L U = dbm = -13dBV.) P = 1mW, R = 6 U eff = P R, also U eff =,775V Der Spannungspegel bei,775v an 6 ist also L U = dbm = -,dbv

14 HS EL / Fachb. echnik / Studiengang Medientechnik Seite 1-14 Rechnen mit logarithmischen PegelmaÇen Multiplizieren (bzw. Dividieren) von linearen MaÇen entspricht dem Addieren (bzw. Subtrahieren ) von logarithmischen MaÇen. Beispiele: Lineares MaÇ Logarithmisches MaÇ 1V = 5V â dbv = 13,98dBV + 6,dB,5V = 5V â,1-6,dbv = 13,98dBV + (- db),5v = 5V / 1-6,dBV = 13,98dBV - db 1mW = 1mW â 1 1mW = 1mW / 1 dbm = 1dBm + 1dB dbm = 1dBm - 1dB Addieren (bzw. Subtrahieren) von linearen MaÇen hat keine Entsprechung mit logarithmischen MaÇen, d.h. ist mit logarithmischen MaÇen nicht nachzuvollziehen.