Negative Zahlen und Einführung in die Gleichungslehre. 7. Klasse

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1 Negative Zahlen und Einführung in die Gleichungslehre 7. Klasse Literatur: A. Bernhard: Algebra 7. / 8. Klasse E. Bindel: Arithmetik L. Locher-Ernst: Arithmetik u. Algebra E. Schuberth: Wirtschaftskunde und Algebra in der 6. Klasse Wirtschaftskunde und Algebra in der 7. u. 8. Klasse (neu) Jens Möller Owingen Tel Seiten

2 GUTHABEN und SCHULDEN 01 [zwei Wochen] Wer mehr Geld ausgeben will, als er besitzt, muss Schulden machen. Schulden sind von anderer Qualität als Guthaben. Schulden belasten den Menschen, Guthaben beruhigen ihn. So wie mehrere Guthaben zusammen ein noch größeres Guthaben ergeben, so ergeben mehrere Schulden zusammen eine noch größere Schuldenlast. Was geschieht aber, wenn Guthaben und Schulden zusammentreffen? Die Schulden werden so lange an dem Guthaben saugen, bis die Schulden vollständig getilgt sind. Drei verschiedene Fälle sind möglich: 80 Euro Schulden und 60 Euro Guthaben = 20 Euro Schulden [80 S + 60 G = 20 S] 50 Euro Schulden und 90 Euro Guthaben = 40 Euro Guthaben [50 S + 90 G = 40 G] 70 Euro Schulden und 70 Euro Guthaben = 0 Euro Schulden / Guthaben [70 S + 70 G = 0 ] MERKE: SCHULDEN haben negative Qualität. GUTHABEN haben positive Qualität. Gegenseitig haben sie die Neigung sich auszugleichen.

3 02 RECHENBEISPIELE: [S = SCHULDEN G = GUTHABEN] Berechne: S + 30 S = [Die Schulden vergrößern sich.] = 100 S S + 20 G = [Die Schulden verringern sich.] = 30 S S + 90 G = [Die Schulden verringern sich und ergeben Guthaben.] = 40 G G + 20 G = [Die Guthaben vergrößern sich.] = 80 G G + 85 S = [Das Guthaben verringert sich.] = 25 G G + 65 S = [Das Guthaben verringert sich und ergibt Schulden.] = 45 S Ergänze die fehlenden Werte: G = 170 S [Es kommen Schulden dazu. Also rechnet man: 200 S S = 370 S] S = 40 G [Es kommt ein Guthaben dazu. Also rechnet man: 30 G + 40 G = 70 G] G = 250 S [Am Anfang waren noch mehr Schulden. Also rechnet man: 400 S S = 650 S] G = 350 G [Am Anfang war ein geringeres Guthaben. Also rechnet man: 350 G G = 230 G] S = 450 S [Es kommt ein Guthaben dazu. Also rechnet man: 600 G S = 150 G] [Man kann auch den Unterschiede der Schulden berechnen: = 150 G]

4 Übung I Ergänze die fehlenden Werte: 03.1 G = Guthaben S = Schulden G+ 90 G = S+ 35 S = G+ 30 S = G+ 170 S = G+... = 178 S S+... = 172 G S+... = 228 S S+... = 500 G S = 225 G G+... = 730 S G = 200 S S+ 480 G = S = 80 G G+ 132 S = G = = 360 S S+... = 44 G G+... = 93 S S+... = 182 S 26. Ergänze die drei fehlenden Geldbeträge: [rechne rückwärts] Kontostand + 5 Ein- oder Auszahlung Kontostand Einzahlung 1124 Kontostand Auszahlung 182 Kontostand G S = S+... = 540 S S+... = 76 G G+ 126 S = S+ 870 G = G = 810 G

5 03.2 Lösungen I Ergänze die fehlenden Werte: G = Guthaben S = Schulden G S G S S G S G G S S G G S S S S G S S 26. Ergänze die drei fehlenden Geldbeträge: [rechne rückwärts] Kontostand + 5 Ein- oder Auszahlung -852 Kontostand -847 Einzahlung 1124 Kontostand +277 Auszahlung 182 Kontostand G G S G G

6 Übung II [BEACHTE: + steht für Guthaben, steht für Schulden] Berechne den Kontostand am Abend: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend 2. Berechne die Auszahlung: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend Berechne die Einzahlung: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend Berechne den Kontostand am Morgen: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend

7 03.4 Lösungen II 1. Berechne den Kontostand am Abend: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend Berechne die Auszahlung: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend Berechne die Einzahlung: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend Berechne den Kontostand am Morgen: Kontostand am Morgen Einzahlungen Auszahlungen Kontostand am Abend

8 04 ZAHLEN MIT ENTGEGENGESETZTEN QUALITÄTEN POSITIVE ZAHLEN: (+1), (+2), (+3), (+4), usw... GUTHABEN NEGATIVE ZAHLEN: (-1), (-2), (-3), (-4), usw... SCHULDEN + und nennt man VORZEICHEN MERKE: Das VORZEICHEN gibt die Qualität einer Zahl an. Die Zahl Null besitzt kein Vorzeichen. Eine positive Zahl und eine gleich große negative Zahl heben sich auf und ergeben zusammen gleich Null. BEISPIELE: ( + 7) und ( 7) = 0 ( + 12) und ( 12) = 0 ( 0,5) und ( + 0,5) = 0 REGEL: ( + a) und ( a) = 0 oder ( a) und ( + a) = 0 [wobei man für a jede beliebige Zahl einsetzen kann.]

9 05 Die ADDITION von positiven und negativen Zahlen Man kann fünf verschiedene Fälle unterscheiden: 1. Das Guthaben vermehrt sich: ( + 110) und ( + 70) = ( + 180) 2. Die Schulden vermehren sich: ( 90) und ( 80) = ( 170) 3. Die Schulden überwiegen: ( + 14) und ( 27) = ( + 14) und ( 14) und ( 13) = ( 13) Null 4. Das Guthaben überwiegt: ( 7) und ( + 19) = ( 7) und ( + 7) und ( + 12) = ( + 12) Null 5. Guthaben und Schulden sind gleich groß: ( + 23) und ( 23) = ( + 23) und ( 23) = Null

10 Übungen zur Addition III Addiere die beiden Zahlen a) (+7) und (-17) = b) (+9) und (-11) = c) (-13) und (+25) = d) (-15) und (+23) = e) (-19) und (-11) = f) (-14) und (-17) = g) (-21) und (+13) = h) (-32) und (+18) = i) (+32) und (-18) = j) (-32) und (-18) = k) (+12) und (-29) = 2. Ergänze die fehlenden Zahlen a) ( ) und (-6) = (-21) b) (+12) und ( ) = (+4) c) (-7) und ( ) = (+11) d) ( ) und (+9) = (+29) e) ( ) und (+11) = (+5) f) ( ) und (+17) = (-7) g) ( ) und (-7) = 0 h) ( ) und (-8) = (+2) i) ( ) und (-8) = (-2) j) (+22) und ( ) = (+34) k) (+27) und ( ) = 0 l) (+16) und ( ) = (-5) m) (-10) und ( ) = 0 n) (-12) und ( ) = (-22) o) (-32) und ( ) = (-19) p) (-14) und ( ) = (+14) 3. Ergänze die fehlenden Vorzeichen a) ( 29) und ( 18) = (-11) b) ( 14) und ( 6) = (+8) c) ( 17) und ( 13) = (-30) d) ( 27) und ( 15) = (+42) e) (+19) und ( 49) = ( 30) f) ( 42) und ( 22) = (-20) g) ( 20) und (-13) = ( 33) h) ( 19) und ( 30) = (-11) 4. Textaufgabe: Ein Drachenflieger gleitet von einem Berggipfel 470m in die Tiefe. Dann wird er von einem Aufwind 281m in die Höhe getragen und schließlich gleitet er in einem langen Flug 990m in die Tiefe und landet auf einem Berg, der die Höhe 1391m besitzt. Wie hoch ist der Berggipfel, von dem aus er gestartet ist? [Hinweis: Rechne rückwärts!] 5. schwierige Aufgaben a) 3 2 und + = 4 5 b) und = und = 5 c) ( 4,6) d) ( 2,8) 3 + und 1 = = 6 e) 7 und ( 5, 4)

11 06.2 Lösungen III 1. Addiere die beiden Zahlen a) (+7) und (-17) = (-10) b) (+9) und (-11) = (-2) c) (-13) und (+25) = (+12) d) (-15) und (+23) = (+8) e) (-19) und (-11) = (-30) f) (-14) und (-17) = (-31) g) (-21) und (+13) = (-8) h) (-32) und (+18) = (-14) i) (+32) und (-18) = (+14) j) (-32) und (-18) = (-50) k) (+12) und (-29) = (-17) 2. Ergänze die fehlenden Zahlen a) ( -15 ) und (-6) = (-21) b) (+12) und ( -8 ) = (+4) c) (-7) und ( +18 ) = (+11) d) ( +20 ) und (+9) = (+29) e) ( -6 ) und (+11) = (+5) f) ( -24 ) und (+17) = (-7) g) ( +7 ) und (-7) = 0 h) ( +10 ) und (-8) = (+2) i) ( +6 ) und (-8) = (-2) j) (+22) und ( +12 ) = (+34) k) (+27) und ( -27 ) = 0 l) (+16) und ( -21 ) = (-5) m) (-10) und ( +10 ) = 0 n) (-12) und ( -10 ) = (-22) o) (-32) und ( +13 ) = (-19) p) (-14) und ( +28 ) = (+14) 3. Ergänze die fehlenden Vorzeichen a) ( - 29) und ( + 18) = (-11) b) ( + 14) und ( - 6) = (+8) c) ( - 17) und ( - 13) = (-30) d) ( + 27) und ( + 15) = (+42) e) (+19) und ( - 49) = ( - 30) f) ( - 42) und ( + 22) = (-20) g) ( - 20) und (-13) = ( - 33) h) ( + 19) und ( - 30) = (-11) 4. Textaufgabe: Ein Drachenflieger gleitet von einem Berggipfel 470m in die Tiefe. Dann wird er von einem Aufwind 281m in die Höhe getragen und schließlich gleitet er in einem langen Flug 990m in die Tiefe und landet auf einem Berg, der die Höhe 1391m besitzt. Wie hoch ist der Berggipfel, von dem aus er gestartet ist? [Hinweis: Rechne rückwärts!] 2570 m 5. schwierige Aufgaben a) 3 2 und + = 4 5 (-7/20) b) und = 3 4 (-1/12) 3 4 und = (-8,4) 5 c) ( 4,6) d) ( 2,8) 3 + und 1 = (+1,05) und ( + 5, 4) = 6 13 ( ) 2 30

12 07 Wie löst man eine Textaufgabe? BEISPIEL: Ein Drachenflieger gleitet von einem Berggipfel 380m in die Tiefe. Dann wird er von einem Aufwind 190m in die Höhe getragen und schließlich gleitet er in einem langen Flug 1210m in die Tiefe und landet auf einem Berg, der die Höhe 650m besitzt. Wie hoch ist der Berggipfel, von dem aus er gestartet ist? 1. Schritt: Mache eine geeignete SKIZZE. (+2050 m)? 380 m (+1670 m) 190 m (+1860 m) 1210 m (+650 m) 2. Schritt: Berechnet rückwärts gehend die Höhe des Berggipfels. ( m) ( m) ( m) ( m) ( 190 m) ( m) ( m) ( m) ( m)

13 08.1 Textaufgaben 1. Herr Böhm hat als langjähriger treuer Kunde seiner Bank einen so genannten Dispositionskredit von Das bedeutet, er kann auf seinem Konto bis zu 2500 Schulden machen, ohne vorher die Bank um Erlaubnis fragen zu müssen. Er hat auf seinem Konto ein Guthaben von 1543,70. In den nächsten Tagen werden davon per Dauerauftrag noch die Miete (475,10 ), das Zeitungsgeld (16,30 ) und die Krankenversicherung (348,70 ) abgebucht. Kann Herr Böhm im Rahmen des Dispositionskredits jetzt noch eine Stereoanlage zum Preis von 3248,90 bezahlen? 2. Die höchste Stelle der Erde ist mit 8848 m über dem Meeresspiegel der Gipfel des Mount Everest. Die größte bekannte Meerestiefe wurde mit m im Marianengraben des pazifischen Ozeans gemessen. Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen diesen beiden Punkten? 3. Der höchste Punkt des Staates Israel ist mit 1208 m über dem Meeresspiegel der Berg Meron. In Israel liegt auch das Tote Meer. Seine Wasseroberfläche liegt 394 m unter dem Meeresspiegel, seine tiefste Stelle befindet sich 829m unier dem Meeresspiegel. Wie hoch liegt der Gipfel des Meron a) über der Oberfläche des Toten Meeres, b) über der tiefsten Stelle des Toten Meeres? c) Wie tief ist das Tote Meer an seiner tiefsten Stelle? 4. Den Schweizer Physiker Auguste Piccard ( ) zog es sowohl in die höchsten Höhen der Erdatmosphäre als auch in die tiefsten Tiefen des Meeres. Mit einem Ballon stieg er 1932 als erster Mensch bis zu einer Höhe von m über dem Meeresspiegel auf erreichte er mit einem von ihm selbst entwickelten Tiefseetauchgerät (Bathyscaphe) eine Tiefe von 3150m unter dem Meeresspiegel. Welchen Höhenunterschied hat Piccard damit insgesamt überwunden? 5. Ein Segelflieger lässt sich mit einer Seilwinde 320 m hoch schleppen. Nach dem Ausklinken des Seils verliert er zunächst 80 m an Höhe, ehe er einen Aufwind findet, in dem er 640 m Höhe gewinnt. Danach sinkt er um 420 m und erreicht ein weiteres Aufwindgebiet, in dem er 580 m steigt. Schließlich findet er keinen Aufwind mehr und

14 08.2 landet nach einem Sinkflug von 1150 m. Warum kann er nicht auf demselben Platz gelandet sein, von dem aus er gestartet ist? 1. Rom wurde der Sage nach im Jahre 753 v. Chr. gegründet. In welchen Jahren konnten die folgenden Jahrestage der Gründung gefeiert werden? a) der75. b) der 100. c) der 750. Das Jahr 0" gibt es nicht. Auf das Jahr l v. Chr. folgt in der Zeitrechnung unmittelbar das Jahr l n. Chr. Wann konnten die folgenden Jahrestage der Gründung Roms gefeiert werden? d) der e) der f) der Berühmte Römer sind u.a.: der Feldherr und Politiker Gnaeus Pompeius, * v.chr., v.chr. der Feldherr und Politiker Caesar, * v.chr., v.chr. der Dichter Vergil, * v.chr., v. Chr. der Dichter Horaz, * v.chr., v.chr. der Kaiser Claudius Nero Tiberius, * v.chr n. Chr. Wie viel mal konnte jeder von ihnen Geburtstag feiern? 3. Jemand sagt im Scherz: Zwischen 50 haben und 50 nicht haben ist ein Unterschied von 100." Was meinst du dazu? 4. Wie groß ist der Unterschied zwischen 500 Guthaben und 500 Schulden? Ergebnisse: 1. nein, weil 3203,10 für die Stereoanlage nicht ausreichen m 3. a) 1602 m b) 2037 m c) 435 m m 5. (-110 m) liegt tiefer als der Ausgangspunkt 6. a) 678 v.chr. b) 653 v.chr. c) 3 v.chr. 6. d) 248 n.chr. e) 748 n.chr. f) 1248 n.chr. 7. Pompeius 57-mal, Caesar 55-mal, Vergil 50-mal, Horaz 56-mal, Nero 77-mal 8. falsch, weil 50 minus 0 =

15 Übungen zur Addition IV Addiere die beiden Zahlen a) (+7) und (+8) = b) (-7) und (+8) = c) (+7) und (-8) = d) (-7) und (-8) = e) (-17) und (+8) = f) (-2,5) und (-4) = g) (+3 1 ) und (-2 1 ) = 2 2 h) (-5 1 ) und (+7 1 ) = 2 2 i) (- 7 ) und (+ 5 ) = 2 2 j) (-2 1 ) und (-3 2 ) = 3 3 k) (+12) und (-12) = 2. Ergänze die fehlenden Zahlen a) ( ) und (-8) = (+9) b) (-23) und ( ) = (-8) c) (-28) und ( ) = (-40) d) ( ) und (-45) = (-30) e) ( ) und (+53) = (+44) f) ( ) und (-9) = (-44) g) ( ) und (-44) = (-65) h) ( ) und (+44) = (+23) i) ( ) und (-44) = (-23) j) (-34) und ( ) = (+6) k) (+17) und ( ) = 0 l) (+16) und ( ) = (-15) m) (-10) und ( ) = 0 n) (-12) und ( ) = (-22) o) (-11) und ( ) = (-19) p) (-14) und ( ) = (+14) 3. Ergänze die fehlenden Vorzeichen a) ( 15) und ( 6) = (-21) b) ( 12) und ( 8) = (+4) c) ( 28) und ( 17) = (-11) d) ( 49) und ( 53) = (-102) e) (-14) und ( 5) = ( 9) f) ( 14) und ( 6) = (-20) g) ( 14) und (-13) = ( 27) h) ( 42) und (+28) = ( 14) 4. Textaufgabe: Ein Drachenflieger gleitet von einem Berggipfel 387m in die Tiefe. Dann wird er von einem Aufwind 260m in die Höhe getragen und schließlich gleitet er in einem langen Flug 810m in die Tiefe und landet auf einem Berg, der die Höhe 1233m besitzt. Wie hoch ist der Berggipfel, von dem aus er gestartet ist? [Hinweis: Rechne rückwärts!] 5. schwierige Aufgaben a) 3 2 und + = 2 5 b) und = und = 5 c) ( 4,3) 3 + und 1 = 4 d) ( 2,95) 4 5 e) + 7 und ( 5, 4) =

16 09.2 Lösungen IV 1. Addiere die beiden Zahlen a) (+7) und (+8) = (+15) b) (-7) und (+8) = (+1) c) (+7) und (-8) = (-1) d) (-7) und (-8) = (-15) e) (-17) und (+8) = (-9) f) (-2,5) und (-4) = (-6,5) g) (+3 1 ) und (-2 1 ) = 2 2 (+1) h) (-5 1 ) und (+7 1 ) = 2 2 (+2) i) (- 7 ) und (+ 5 ) = 2 2 (-1) j) (-2 1 ) und (-3 2 ) = 3 3 (-6) k) (+12) und (-12) = 0 2. Ergänze die fehlenden Zahlen a) ( +17 ) und (-8) = (+9) b) (-23) und ( +15 ) = (-8) c) (-28) und ( -12 ) = (-40) d) ( +15 ) und (-45) = (-30) e) ( -9 ) und (+53) = (+44) f) ( -35 ) und (-9) = (-44) g) ( -21 ) und (-44) = (-65) h) ( -21 ) und (+44) = (+23) i) ( +21 ) und (-44) = (-23) j) (-34) und ( +40 ) = (+6) k) (+17) und ( -17 ) = 0 l) (+16) und ( -31 ) = (-15) m) (-10) und ( +10 ) = 0 n) (-12) und ( -10 ) = (-22) o) (-11) und ( -8 ) = (-19) p) (-14) und ( +28 ) = (+14) 3. Ergänze die fehlenden Vorzeichen a) ( - 15) und ( - 6) = (-21) b) ( + 12) und ( - 8) = (+4) c) ( - 28) und ( + 17) = (-11) d) ( - 49) und ( - 53) = (-102) e) (-14) und ( + 5) = ( - 9) f) ( - 14) und ( - 6) = (-20) g) ( - 14) und (-13) = ( - 27) h) ( - 42) und (+28) = ( - 14) 4. Textaufgabe: Ein Drachenflieger gleitet von einem Berggipfel 387m in die Tiefe. Dann wird er von einem Aufwind 260m in die Höhe getragen und schließlich gleitet er in einem langen Flug 810m in die Tiefe und landet auf einem Berg, der die Höhe 1233m besitzt. Wie hoch ist der Berggipfel, von dem aus er gestartet ist? 2170 m [Hinweis: Rechne rückwärts!] 5. schwierige Aufgaben a) 3 2 und + = 2 5 (-1,1) b) und = 3 6 (+0,5) 3 2 und = (-7,7) 5 c) ( 4,3) 3 + und 1 = 4 d) ( 2,95) e) 7 und ( 5, 4) (+1,2) 4 + = (2,4) 5

17 10 Die SUBTRAKTION von positiven und negativen Zahlen (+ 400) Lastschrift (+ 360) Eine LASTSCHRIFT kommt hinzu = Das GUTHABEN wird verringert. mehr Lastschrift weniger Guthaben REGEL: und ( a) weniger ( a) (- 30) Gutschrift (- 120) Eine GUTSCHRIFT kommt hinzu = Die SCHULDEN werden verringert. mehr Gutschrift weniger Schulden REGEL: und ( a) weniger ( a)

18 11 RECHENBEISPIELE weniger ( + a) = und ( a) weniger ( a) = und ( + a) MERKE: Jede SUBTRAKTION wird zuerst durch eine ADDITION mit der GEGENZAHL ersetzt. Anschließend berechnet man das Ergebnis. 1. (-7) weniger (-4) = (-7) und (+4) = (-3) 2. (-3) weniger (+9) = (-3) und (-9) = (-12) 3. (+11) weniger (+15) = (+11) und (-15) = (-4) 4. (+6) weniger (-4) = (+6) und (+4) = (+10)

19 12.1 Übungen zur Subtraktion V Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend bestimme das Ergebnis. Regeln: weniger ( + a) = und ( a) weniger ( a) = und ( + a) Beispiele: (-11) weniger (+8) = (-11) und (-8) = (-19) (+4) weniger (-7) = (+4) und (+7) = (+11) (-5) weniger (-6) = (-5) und (+6) = (+1) 1. Subtrahiere die beiden Zahlen a) (-3) weniger (+9) = b) (-17) weniger (-28) = c) (+78) weniger (-22) = d) (-96) weniger (+34) = e) (-63) weniger (-47) = f) (-12) weniger (-21) = g) (+48) weniger (+63) = h) (+23) weniger (-17) = i) (+7,05) weniger (+5,35) = 2. Kettenaufgaben a) (+15) und (-7) und (-3) und (-9) = b) (-17) und (+7) und (-3) und (+2) = c) (+20) und (-21) und (-9) und (+10) = d) (-1) und (-2) und (-3) und (-4) = 3. Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend rechne. a) (-5) weniger (+3) und (-6) weniger (-8) = b) (+12) und (-3) weniger (+17) weniger (-13) = c) (-34) weniger (-17) und (-20) weniger (+41) = d) (-9) weniger (+8) weniger (-7) und (+4) = 4. Ergänze die richtigen Zahlen: a) (-9) weniger ( ) = (-2) b) (+10) weniger ( ) = (-20) c) ( ) weniger (+5) = (+15) d) ( ) weniger (-6) = (+3) 5. Auf einem Konto werden nacheinander folgende Buchungen vorgenommen: Lastschrift: 80 Gutschrift: 130 Lastschrift: 410 Gutschrift: 170 Lastschrift: 30 Danach beträgt der Kontostand 240. Wie hoch war der Kontostand am Anfang? [Hinweis: Setze - für Lastschrift + für Gutschrift.] Rechne: (..) und (-80) und (+130) und (-410) und (+170) und (-30) = (+240)

20 12.2 Lösungen V Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend bestimme das Ergebnis. Regeln: weniger ( + a) = und ( a) weniger ( a) = und ( + a) Beispiele: (-11) weniger (+8) = (-11) und (-8) = (-19) (+4) weniger (-7) = (+4) und (+7) = (+11) (-5) weniger (-6) = (-5) und (+6) = (+1) 1. Subtrahiere die beiden Zahlen a) (-3) weniger (+9) = (-12) b) (-17) weniger (-28) = (+11) c) (+78) weniger (-22) = (+100) d) (-96) weniger (+34) = (-130) e) (-63) weniger (-47) = (-16) f) (-12) weniger (-21) = (+9) g) (+48) weniger (+63) = (-15) h) (+23) weniger (-17) = (+40) i) (+7,05) weniger (+5,35) = (+1,70) 2. Kettenaufgaben a) (+15) und (-7) und (-3) und (-9) = (-4) b) (-17) und (+7) und (-3) und (+2) = (-11) c) (+20) und (-21) und (-9) und (+10) = 0 d) (-1) und (-2) und (-3) und (-4) = (-10) 3. Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend rechne. a) (-5) wenig. (+3) und (-6) wenig. (-8) = (-6) b) (+12) und (-3) wenig. (+17) wenig. (-13) = (+5) c) (-34) wenig. (-17) und (-20) wenig. (+41) = (-78) d) (-9) wenig. (+8) wenig. (-7) und (+4) = (-6) 4. Ergänze die richtigen Zahlen: a) (-9) weniger ( -7 ) = (-2) b) (+10) weniger ( +30 ) = (-20) c) ( +20 ) weniger (+5) = (+15) d) ( -3 ) weniger (-6) = (+3) 5. Auf einem Konto werden nacheinander folgende Buchungen vorgenommen: Lastschrift: 80 Gutschrift: 130 Lastschrift: 410 Gutschrift: 170 Lastschrift: 30 Danach beträgt der Kontostand 240. Wie hoch war der Kontostand am Anfang? [Hinweis: Setze - für Lastschrift + für Gutschrift.] + 460

21 13.1 Übungen zur Subtraktion VI Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend bestimme das Ergebnis. Regeln: weniger ( + a) = und ( a) weniger ( a) = und ( + a) 1. Subtrahiere die beiden Zahlen a) (-7) weniger (+5) = b) (-12) weniger (+18) = c) (+12) weniger (+8) = d) (+6) weniger (+15) = e) (-17) weniger (-7) = f) (-20) weniger (-5) = g) (-9) weniger (-19) = h) (-7) weniger (-12) = i) (+5) weniger (-5) = 2. Kettenaufgaben a) (-5) und (+7) und (-12) und (-4) = b) (+13) und (+7) und (-18) und (-22) = c) (-19) und (+21) und (-4) und (+11) = d) (+14) und (-17) und (+7) und (-13) = 3. Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend rechne. a) (-9) weniger (-7) und (+5) weniger (+2) = b) (-13) weniger (-5) und (-4) und (+5) = c) (+20) weniger (+17) weniger (-7) und (-3) = d) (-45) weniger (-25) und (+20) weniger (-11) = e) (+18) und (-8) weniger (-5) weniger (+13) = f) (-13,2) und (+15,7) weniger (+6,3) und (+11,8) = 4. Ergänze die richtigen Zahlen: a) (-17) weniger ( ) = (-10) b) (+8) weniger ( ) = (-12) c) ( ) weniger (+11) = (+22) d) ( ) weniger (-7) = (+2) e) ( ) weniger (+200) und (-133) = (-28) 5. Auf einem Konto werden nacheinander folgende Buchungen vorgenommen: Lastschrift: 120 Gutschrift: 80 Lastschrift: 427 Gutschrift: 122 Lastschrift: 21 Danach beträgt der Kontostand 500. Wie hoch war der Kontostand am Anfang? [Hinweis: Setze - für Lastschrift + für Gutschrift.] 6. Wie groß ist der Unterschied zwischen 250 Guthaben und 120 Schulden?

22 13.2 Lösungen VI Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend bestimme das Ergebnis. Regeln: weniger ( + a) = und ( a) weniger ( a) = und ( + a) 1. Subtrahiere die beiden Zahlen a) (-7) weniger (+5) = (-12) b) (-12) weniger (+18) = (-30) c) (+12) weniger (+8) = (+4) d) (+6) weniger (+15) = (-9) e) (-17) weniger (-7) = (-10) f) (-20) weniger (-5) = (-15) g) (-9) weniger (-19) = (+10) h) (-7) weniger (-12) = (+5) i) (+5) weniger (-5) = (+10) 2. Kettenaufgaben a) (-5) und (+7) und (-12) und (-4) = (-14) b) (+13) und (+7) und (-18) und (-22) = (-20) c) (-19) und (+21) und (-4) und (+11) = (+9) d) (+14) und (-17) und (+7) und (-13) = (-9) 3. Ersetze jede Subtraktion zuerst durch eine entsprechende Addition, anschließend rechne. a) (-9) weniger (-7) und (+5) weniger (+2) = (-1) b) (-13) weniger (-5) und (-4) und (+5) = (-7) c) (+20) weniger (+17) weniger (-7) und (-3) = (+7) d) (-45) wenig. (-25) und (+20) wenig. (-11) = (+11) e) (+18) und (-8) weniger (-5) weniger (+13) = (+2) f) (-13,2) u. (+15,7) wenig. (+6,3) u. (+11,8) = (+8) 4. Ergänze die richtigen Zahlen: a) (-17) weniger ( -7 ) = (-10) b) (+8) weniger ( +20 ) = (-12) c) ( +33 ) weniger (+11) = (+22) d) ( -5 ) weniger (-7) = (+2) e) ( +305 ) weniger (+200) und (-133) = (-28) 5. Auf einem Konto werden nacheinander folgende Buchungen vorgenommen: Lastschrift: 120 Gutschrift: 80 Lastschrift: 427 Gutschrift: 122 Lastschrift: 21 Danach beträgt der Kontostand 500. Wie hoch war der Kontostand am Anfang? [Hinweis: Setze - für Lastschrift + für Gutschrift.] 6. Wie groß ist der Unterschied zwischen 250 Guthaben und 120 Schulden? 370

23 14 VORZEICHEN und RECHENZEICHEN Jede Zahl außer der Null besitzt ein VORZEICHEN. Das VORZEICHEN gehört zu einer Zahl dazu und wird mit + oder bezeichnet. Sollen zwei Zahlen miteinander verknüpft werden, so kann man das durch ADDIEREN, SUBTRAHIEREN, MULTIPLIZIEREN oder DIVIDIEREN tun. Dafür benutzt man die RECHENZEICHEN +,,, : (und, weniger, mal, durch). Ab jetzt werden wir sowohl für die VORZEICHEN als auch für die RECHENZEICHEN dieselben Symbole benutzen. + + = = = = positives Vorzeichen negatives Vorzeichen und / plus als Rechenzeichen weniger / minus als Rechenzeichen WEITERE VEREINFACHUNGEN: 1. Bei positiven Zahlen kann man das Vorzeichen und die Klammern weglassen. bisher: (+1), (+2), (+7), (+31),..... jetzt: 1, 2, 7, 31,..... bisher: (+7) weniger (+3) = (+4) jetzt: 7 3 = 4 2. Steht eine negative Zahl als erste oder steht sie alleine, so darf die Klammer weglassen werden, ansonsten muss sie weiterhin geschrieben werden. bisher: (-7) und (-3) = (-10) jetzt: (-3) = -7-3 = Vier goldene REGELN zur VEREINFACHUNG + ( + a) =+ a ( + a) = a + ( a) = a ( a) =+ a MERKE: Sind VORZEICHEN und RECHENZEICHEN gleich, so wird die Zahl addiert. Sind VORZEICHEN und RECHENZEICHEN verschieden, so wird die Zahl subtrahiert. [Beispiele auf Übblatt VII]

24 Übungen zur Addition und Subtraktion VII 15.1 Regeln: + ( + a) =+ a ( a) =+ a ( + a) = a + ( a) = a Beispiele: 1. ( 9) + ( + 5) ( + 3) ( 6) = umformen...= = sortieren = = 1 2. ( 10) ( 3) + ( 7) ( + 5) + ( + 6) =. = =.... = = 13 Übungen: 3. Vereinfache und berechne a) ( + 17) + ( 28) ( 13) ( + 5) = b) ( 8) + ( + 17) ( 4) ( + 7) = c) ( 48) ( 23) + ( 50) + ( + 66) = d) ( + 32) + ( 52) ( 70) + ( + 28) ( + 80) = e) ( 28) ( + 85) + ( 46) ( 112) ( + 63) = f) ( + 12) ( + 50) ( 32) + ( 42) + ( + 17) = g) h) = Brüche gleichnamig machen = Brüche gleichnamig machen 4. für Feinschmecker ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) = Was käme heraus, wenn man so weiter rechnen würde ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) +... bis... + ( 19) ( 20) = Was käme heraus, wenn man so weiter rechnen würde ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) +... bis... + ( 35) = Was käme heraus, wenn man so weiter rechnen würde ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) +... bis... ( 100) =

25 15.2 Lösungen VII Beispiele: 1. ( 9) + ( + 5) ( + 3) ( 6) = umformen...= = sortieren = = 1 2. ( 10) ( 3) + ( 7) ( + 5) + ( + 6) =. = =.... = = 13 Übungen: 3. Vereinfache und berechne a) ( + 17) + ( 28) ( 13) ( + 5) = -3 b) ( 8) + ( + 17) ( 4) ( + 7) = +6 c) ( 48) ( 23) + ( 50) + ( + 66) = -9 d) ( + 32) + ( 52) ( 70) + ( + 28) ( + 80) = -2 e) ( 28) ( + 85) + ( 46) ( 112) ( + 63) = -110 f) ( + 12) ( + 50) ( 32) + ( 42) + ( + 17) = -31 g) h) = Brüche gleichnamig machen = Brüche gleichnamig machen = 3 4. für Feinschmecker ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) = 5 Was käme heraus, wenn man so weiter rechnen würde ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) +... bis... + ( 19) ( 20) = 10 Was käme heraus, wenn man so weiter rechnen würde ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) +... bis... + ( 35) = -18 Was käme heraus, wenn man so weiter rechnen würde ( 1) ( 2) + ( 3) ( 4) + ( 5) ( 6) + ( 7) ( 8) + ( 9) ( 10) +... bis... ( 100) = 50

26 Übungen zur Addition und Subtraktion VIII Vereinfache und berechne: a) ( 3) + ( 12) + ( + 7) + ( 33) + ( + 17) = b) ( + 2) + ( 9) + ( 15) + ( + 6) + ( 16) = c) ( + 22) + ( 12) + ( 12) + ( 12) + ( + 14) = d) ( 10) + ( 10) + ( + 3) + ( 10) + ( + 3) = 2. Wende zuerst die Vorzeichen-Regeln an, dann berechne: a) ( 12) ( + 23) ( 48) ( 12) = b) ( + 28) ( + 35) + ( 76) + ( 28) ( 35) = c) ( 14) ( 83) ( + 86) + ( + 17) = d) ( 66) + ( 46) ( 146) + ( 34) = e) ( + 27) + ( 62) + ( + 75) ( 73) ( + 38) = f) ( 18) + ( 86) ( 78) + ( 14) + ( + 18) = g) ( 5) ( + 3) + ( 6) ( 8) + ( + 2) = h) ( + 12) + ( 3) ( + 17) ( 13) + ( + 5) ( 21) + ( 9) = 3. Mache die Brüche zuerst gleichnamig, dann berechne: a) = b) = c) ( + ) = d) = 3 4 e) = 4 5 f) = 5 6 g) 1 1 = 7 6

27 Lösungen VIII Vereinfache und berechne: a) ( 3) + ( 12) + ( + 7) + ( 33) + ( + 17) = -24 b) ( + 2) + ( 9) + ( 15) + ( + 6) + ( 16) = -32 c) ( + 22) + ( 12) + ( 12) + ( 12) + ( + 14) = 0 d) ( 10) + ( 10) + ( + 3) + ( 10) + ( + 3) = Wende zuerst die Vorzeichen-Regeln an, dann berechne: a) ( 12) ( + 23) ( 48) ( 12) = 25 b) ( + 28) ( + 35) + ( 76) + ( 28) ( 35) = -76 c) ( 14) ( 83) ( + 86) + ( + 17) = 0 d) ( 66) + ( 46) ( 146) + ( 34) = 0 e) ( + 27) + ( 62) + ( + 75) ( 73) ( + 38) = 75 f) ( 18) + ( 86) ( 78) + ( 14) + ( + 18) = -22 g) ( 5) ( + 3) + ( 6) ( 8) + ( + 2) = -4 h) ( + 12) + ( 3) ( + 17) ( 13) + ( + 5) ( 21) + ( 9) = Mache die Brüche zuerst gleichnamig, dann berechne: a) = b) = c) ( + ) = d) = 3 4 e) = 4 5 f) = 5 6 g) 1 1 =

28 17 Die MULTIPLIKATION von positiven und negativen Zahlen Eine MULTIPLIKATION ist eine ADDITION mit immer derselben Zahl. Vier Beispiele: + ( + 7) + ( + 7) + ( + 7) + ( + 7) =+ 4 ( + 7) = mal + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) =+ 5 ( 3) = mal ( + 2) ( + 2) ( + 2) ( + 2) ( + 2) ( + 2) = 6 ( + 2) = mal ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) = 8 ( 5) = mal Vier REGELN für die MULTIPLIKATION ( + a) ( + b) =+ a b ( + a) ( b) = a b ( a) ( + b) = a b ( a) ( b) =+ a b KURZFORM + mal += + + mal = mal + = mal = + MERKE: Eine Multiplikation mit gleichen VORZEICHEN ergibt ein positives PRODUKT. Eine Multiplikation mit verschiedenen VORZEICHEN ergibt ein negatives PRODUKT. Die Zahlen, die miteinander multipliziert werden heißen FAKTOREN. Das Ergebnis einer Multiplikation heißt PRODUKT.

29 Übungen zur Multiplikation IX Schreibe als Produkt und bestimme dann das Ergebnis: a) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) = b) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) = c) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) = d) + ( 1,5) ( + 1,5) ( + 1,5) ( + 1,5) = 2. Berechne: a) ( + 3) ( 7) = b) ( 5) ( + 8) = c) ( 4) ( 9) = d) ( 8) ( + 7) = 3. Berechne: a) 0,5 ( 1, 2) = b) 1, 5 ( 0, 2) = c) 4,5 ( 2) = d) 1, 2 0, 7 = 4. Ergänze: a) (...3) ( 7) =... b) ( + 12) (...4) =+... c) (...8) ( 8) =+... d) (...2) + ( 9) =... e) ( 7) ( 11) = f) ( 9) ( + 14) = e) 1 1 = 2 4 e) ( + 5) (...7) =... f) (...12) ( 8) =... g) ( + 12) ( 12) = h) ( 12) ( + 12) = i) ( + 12) ( + 12) = j) ( 12) ( 12) = f) g) h) 3 4 = = = 5 2 g) ( + 2) (...) =...6 h) ( 6) (...) = 36 i) (...15) (...) =+ 60 j) ( +...) (...8) = Rechne möglichst geschickt. Die Reihenfolge des Multiplizierens ist beliebig: a) 5 28 ( 2) = e) 5 6 ( 8) 5= b) 4 ( 16) ( 25) = c) 2 ( 125) 8 = d) 8 ( 5) 25= f) ( 125) = g) 20 ( 5) 4 ( 2) = h) 20 ( 11) ( 1) ( 7) 5= 6. Ergänze: a) 2 8 (...7) =... b) (...25) ( 7) 3 =+... d) + 12 ( 5) ( 4) (...20) =... e) (...8) ( 5) ( 4) ( + 2) ( 7) =... c) + 5 (...3) 20 ( 2) =+...

30 Lösungen IX Schreibe als Produkt und bestimme dann das Ergebnis: a) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) = 6(5) + = 30 b) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) + ( 3) = 5(3) = 15 c) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) = 5 ( 4) = 20 d) + ( 1,5) ( + 1,5) ( + 1,5) ( + 1,5) = 4( + 1,5) = 6 2. Berechne: a) ( + 3) ( 7) = -21 b) ( 5) ( + 8) = -40 c) ( 4) ( 9) = 36 d) ( 8) ( + 7) = Berechne: a) 0,5 ( 1, 2) = -0,6 b) 1, 5 ( 0, 2) = 0,3 c) 4,5 ( 2) = -9 d) 1, 2 0, 7 = -0,84 4. Ergänze: a) ( + 3) ( 7) = 21 b) ( + 12) ( + 4) =+ 48 c) ( 8) ( 8) =+ 64 d) ( 2) + ( 9) = 18 e) ( 7) ( 11) = 77 f) ( 9) ( + 14) = -126 e) 1 1 = e) ( + 5) ( 7) = 35 f) ( + 12) ( 8) = 96 g) ( + 12) ( 12) = -144 h) ( 12) ( + 12) = -144 i) ( + 12) ( + 12) = 144 j) ( 12) ( 12) = 144 f) g) h) 3 4 = = = g) ( + 2) ( 3 ) = 6 h) ( 6) ( + 6 ) = 36 i) ( 15) ( 4 ) =+ 60 j) ( + 7 ) ( 8) = Rechne möglichst geschickt. Die Reihenfolge des Multiplizierens ist beliebig: a) 5 28 ( 2) = 280 e) 5 6 ( 8) 5= 1200 b) 4 ( 16) ( 25) = 1600 c) 2 ( 125) 8 = 2000 d) 8 ( 5) 25= f) ( 125) = g) 20 ( 5) 4 ( 2) = -800 h) 20 ( 11) ( 1) ( 7) 5= Ergänze: a) 2 8 ( + 7) = 112 b) ( 25) ( 7) 3=+ 525 d) + 12 ( 5) ( 4) ( 20) = 4800 e) ( + 8) ( 5) ( 4) ( + 2) ( 7) = 2240 c) + 5 ( 3) 20 ( 2) =+ 600

31 Übungen zur Multiplikation X Schreibe als Produkt und bestimme dann das Ergebnis: a) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) = b) + ( 1,5) + ( 1,5) + ( 1,5) + ( 1,5) = c) ( + 3,2) ( + 3,2) ( + 3,2) ( + 3,2) ( + 3,2) = d) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 2. Berechne: a) 2(7,5) + = b) + 1, 5 ( 4) = c) 7(5 ) = d) + 5(11) + = e) 0,8 ( 0,5) = f) ( 1,6) 5= g) 2,5 ( 4) = h) ( 1,5) 0,6= i) 5 28 ( 2) = j) 16 ( 25) = k) 2 ( 125) = l) 8 ( 5) 25= 3. Berechne: a) 4 5 = 5 4 b) c) d) e) f) g) h) 2 14 = = = = = = 12 2 ( 14) = 7 4. Berechne: a) 35( 8) = b) 5( 9)4 = c) 12 2 ( 15) = d) 25 ( 20) ( 4) = e) 125 ( 8) ( 5) = f) 2 4 ( 20) 5 = g) 2 35 ( 5) ( 2) = h) 7 ( 25) 20 ( 4) = i) 8 ( 125) ( 5) ( 4) = j) 100 ( 8) 25 2 = k) 1 ( + 2) ( 3) 4 ( 5) = 5. Ergänze: a) 7 ( +...) = b) (...) ( + 15) =...15 c) ( 28) (...) =+ 56 d) 1 ( 5)... =... 5 e) + 5 ( 3) 20 (... 2) =+... f) (... 2) ( 3) ( 5) ( 2) =+... g) ( 1) ( + 8) (... 4) (...) = 64 h) 2 8 (...7) =... i) (...25) ( 7) 3 =+... j) + 5 (...3) 20 ( 2) =+... k) + 12 ( 5) ( 4) (...20) =... l) (...8) ( 5) ( 4) ( + 2) ( 7) =... m) ( 2) ( 2) ( 2) (...) =+ 16

32 Lösungen X Schreibe als Produkt und bestimme dann das Ergebnis: a) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) + ( + 10) = +60 b) c) + ( 1,5) + ( 1,5) + ( 1,5) + ( 1,5) = ( + 3,2) ( + 3,2) ( + 3,2) ( + 3,2) ( + 3,2) = d) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = Berechne: a) 2(7,5) + = b) + 1, 5 ( 4) = c) 7(5 ) = d) + 5(11) + = e) 0,8 ( 0,5) = f) ( 1,6) 5= g) 2,5 ( 4) = h) ( 1,5) 0,6= i) 5 28 ( 2) = j) 16 ( 25) = k) 2 ( 125) = l) 8 ( 5) 25= 3. Berechne: a) 4 5 = 5 4 b) c) d) e) f) g) h) 2 14 = = = = = = 12 2 ( 14) = 7 4. Berechne: a) 35( 8) = 120 b) 5( 9)4 = -180 c) 12 2 ( 15) = -360 d) 25 ( 20) ( 4) = e) 125 ( 8) ( 5) = f) 2 4 ( 20) 5 = g) 2 35 ( 5) ( 2) = h) 7 ( 25) 20 ( 4) = i) 8 ( 125) ( 5) ( 4) = j) 100 ( 8) 25 2 = k) 1 ( + 2) ( 3) 4 ( 5) = 5. Ergänze: a) 7 ( +...) = b) (...) ( + 15) =...15 c) ( 28) (...) =+ 56 d) 1 ( 5)... =... 5 e) + 5 ( 3) 20 (... 2) =+... f) (... 2) ( 3) ( 5) ( 2) =+... g) ( 1) ( + 8) (... 4) (...) = 64 h) 2 8 (...7) =... i) (...25) ( 7) 3 =+... j) + 5 (...3) 20 ( 2) =+... k) + 12 ( 5) ( 4) (...20) =... l) (...8) ( 5) ( 4) ( + 2) ( 7) =... m) ( 2) ( 2) ( 2) (...) =+ 16

33 20 Textaufgaben XI 1. Herr Böhm hat als langjähriger treuer Kunde seiner Bank einen so genannten Dispositionskredit von Das bedeutet, er kann auf seinem Konto bis zu 2500 Schulden machen, ohne vorher die Bank um Erlaubnis fragen zu müssen. Er hat auf seinem Konto ein Guthaben von 1543,70. In den nächsten Tagen werden davon per Dauerauftrag noch die Miete (475,10 ), das Zeitungsgeld (16,30 ) und die Krankenversicherung (348,70 ) abgebucht. Kann Herr Böhm im Rahmen des Dispositionskredits jetzt noch eine Stereoanlage zum Preis von 3248,90 bezahlen? 2. Die höchste Stelle der Erde ist mit 8848 m über dem Meeresspiegel der Gipfel des Mount Everest. Die größte bekannte Meerestiefe wurde mit m im Marianengraben des pazifischen Ozeans gemessen. Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen diesen beiden Punkten? 3. Der höchste Punkt des Staates Israel ist mit 1208 m über dem Meeresspiegel der Berg Meron. In Israel liegt auch das Tote Meer. Seine Wasseroberfläche liegt 394 m unter dem Meeresspiegel, seine tiefste Stelle befindet sich 829m unter dem Meeresspiegel. Wie hoch liegt der Gipfel des Meron a) über der Oberfläche des Toten Meeres, b) über der tiefsten Stelle des Toten Meeres? c) Wie tief ist das Tote Meer an seiner tiefsten Stelle? 4. Den Schweizer Physiker Auguste Piccard ( ) zog es sowohl in die höchsten Höhen der Erdatmosphäre als auch in die tiefsten Tiefen des Meeres. Mit einem Ballon stieg er 1932 als erster Mensch bis zu einer Höhe von m über dem Meeresspiegel auf erreichte er mit einem von ihm selbst entwickelten Tiefseetauchgerät (Bathyscaphe) eine Tiefe von 3150m unter dem Meeresspiegel. Welchen Höhenunterschied hat Piccard damit insgesamt überwunden? 5. Ein Segelflieger lässt sich mit einer Seilwinde 320 m hoch schleppen. Nach dem Ausklinken des Seils verliert er zunächst 80 m an Höhe, ehe er einen Aufwind findet, in dem er 640 m Höhe gewinnt. Danach sinkt er um 420 m und erreicht ein weiteres Aufwindgebiet, in dem er 580 m steigt. Schließlich findet er keinen Aufwind mehr und

34 20 landet nach einem Sinkflug von 1150 m. Warum kann er nicht auf demselben Platz gelandet sein, von dem aus er gestartet ist? 6. Rom wurde der Sage nach im Jahre 753 v. Chr. gegründet. In welchen Jahren konnten die folgenden Jahrestage der Gründung gefeiert werden? a) der75. b) der 100. c) der 750. Das Jahr 0" gibt es nicht. Auf das Jahr l v. Chr. folgt in der Zeitrechnung unmittelbar das Jahr l n. Chr. Wann konnten die folgenden Jahrestage der Gründung Roms gefeiert werden? d) der e) der f) der Berühmte Römer sind u.a.: der Feldherr und Politiker Gnaeus Pompeius, * v.chr., v.chr. der Feldherr und Politiker Caesar, * v.chr., v.chr. der Dichter Vergil, * v.chr., v. Chr. der Dichter Horaz, * v.chr., v.chr. der Kaiser Claudius Nero Tiberius, * v.chr n. Chr. Wie viel mal konnte jeder von ihnen Geburtstag feiern? 8. Jemand sagt im Scherz: Zwischen 50 haben und 50 nicht haben ist ein Unterschied von 100." Was meinst du dazu? 9. Wie groß ist der Unterschied zwischen 500 Guthaben und 500 Schulden? Ergebnisse: 1. nein, weil 3203,10 für die Stereoanlage nicht ausreichen m 3. a) 1602 m b) 2037 m c) 435 m m 5. (-110 m) liegt tiefer als der Ausgangspunkt 6. a) 678 v.chr. b) 653 v.chr. c) 3 v.chr. 6. d) 248 n.chr. e) 748 n.chr. f) 1248 n.chr. 7. Pompeius 57-mal, Caesar 55-mal, Vergil 50-mal, Horaz 56-mal, Nero 77-mal 8. falsch, weil 50 minus 0 =

35 21 Die DIVISION von positiven und negativen Zahlen Eine DIVISION ist die Umkehrung einer MULTIPLIKATION. Vier Beispiele: ( + 3) ( + 7) = = ( 3) ( 7) =+ 21 = ( + 3) ( 7) = 21 = ( 3) ( + 7) = 21 =+ 7 3 Vier REGELN für die DIVISION a ( + a):( + b) =+ b a ( + a):( b) = b a ( a):( + b) = b a ( a):( b) =+ b KURZFORM + durch += + + durch = durch + = durch = + MERKE: Eine Division mit gleichen VORZEICHEN ergibt einen positiven QUOTIENTEN. Eine Division mit verschiedenen VORZEICHEN ergibt einen negativen QUOTIENTEN. Das Ergebnis einer Division heißt QUOTIENT.

36 Übungen zur Division XI Dividiere: a) 225:15 = b) 35: ( 7) = c) 15 : ( 3) = d) 5,75 : ( 5) = e) 12,5 : ( 2,5) = f) 1:0,25 = 2. Kürze: a) 12 = 3 b) 4 = 6 c) d) e) f) 14 7 = = 4 = 12 2, 4 0,3 = Multipl. mit dem Kehrwert: 3 9 g) : = 5 20 h) 25 5 : = : 125 = 4 i) ( ) j) ( 26 ): 13 = 2 k) 7 1 : = Ergänze: a) = 2 2 b) = c) = 8 8 d) ( 39) : (...13) =... e) (...) : ( + 7) = 6 f) (...) : (...12) = 1 g) ( +...) : ( 5) =... 5 h) ( + 72) : (...) = 8 i) ( 35) : (...) = GEMISCHTES a) 7 + (...) = 17 b) 9 + (...) =+ 11 c) (...) + 15 = 25 d) (...) + 50 = 20 e) =... f) =... g) = 7 h) = 3 i) 25 (...) = 5 j) 35 (...) = 65 k) (...) ( 7) = 35 l) (...) (...4) = 64 m) 11 (...) = 55 n) 21: (...) = 7 o) (...) : ( 3) = 8 Bitte wenden.

37 5. PUNKTRECHNUNG geht vor STRICHRECHNUNG und heißen Strichrechnung und : heißen Punktrechnung Beisp: 7 + 3{ 5 = = :4 { = 12+ 2= : ( 7) = 24 ( 2) = = zuerst a) : 2 = b) : ( 4) = c) 2 (...) 7 = 13 d) (...) = 9 zuerst zuerst AUFGABEN aus der HS-PRÜFUNG , , , 4 75, ,12 = [addiere die positiven Zahlen, addiere die negativen Zahlen, anschließend subtrahiere.] ,70 : 6,75 = [Verschiebe zuerst das Komma um zwei Stellen nach rechts, dann dividiere handschriftlich.] 3. ( ) 8 + 7,25 :2 = [Zuerst verwandle die Brüche in Dezimalzahlen, dann berechne den Inhalt der Klammer, anschließend dividiere.] 4. 24,5 m 2450 mm= Gib das Ergebnis in Zentimeter (cm) an. 5. Wie viel Prozent der rechteckigen Fläche sind schraffiert? [Verwende die Formel Anteil 100 p = ] Grundwert 6. Im Oktober 1989 kostete 1 Dollar 1,90 DM. Wie viel Dollar bekam man für 950 DM? [Teile 950 DM durch 1,90 DM.] 7. Ein Aquarium ist 60 cm lang und 50 cm breit. Das Wasser steht 40 cm hoch. Wie viel Liter sind in dem Aquarium? [V = a b c, 10 cm = 1 dm, 1 dm³ = 1 Liter]

38 Lösungen XI Dividiere: a) 225:15 = -15 b) 35: ( 7) = -5 c) 15 : ( 3) = +5 d) 5,75 : ( 5) = -1,15 e) 12,5 : ( 2,5) = 5 f) 1:0,25 = Kürze: a) 12 = 3-4 b) c) d) e) f) 4 = = = 4 = 12 2, 4 0,3 = , Multipl. mit dem Kehrwert: g) : = h) 25 5 : = + 2, : 125 = 4 i) ( ) 1 20 j) ( 26 ): 13 = k) 7 1 : = + 3, Ergänze: a) = 2 2 b) = 4 c) 7 7 = 8 8 d) ( 39) : ( + 13) = 3 e) ( 42) :( + 7) = 6 f) ( 12 ):(+ 12) = 1 g) ( + 25):( 5) = 5 h) ( + 72) : ( 9) = 8 i) ( 35):( 5) = GEMISCHTES a) 7 + ( 10) = 17 b) 9 + ( + 20) =+ 11 c) ( + 10)+ 15= 25 d) ( 70) + 50= 20 e) =+ 10 f) = 23 g) = 7 h) = 3 i) 25 ( + 30) = 5 j) 35 ( 30) = 65 k) ( + 5) ( 7) = 35 l) ( 16) ( 4) = 64 m) 11 ( 5) = 55 n) 21: ( 3) = 7 o) ( + 24 ):( 3) = 8 Bitte wenden.:

39 5. BEACHTE die REGEL: Punktrechnung geht vor Strichrechnung und heißen Strichrechnung und : heißen Punktrechnung Beisp: 7 + 3{ 5 = = :4 { = 12+ 2= : ( 7) = 24 ( 2) = = zuerst a) : 2 = = 20 zuerst b) : ( 4) = 12 + ( 3) = 12 3= 9 c) 2(+ 10) 7= 13 d) ( 7) = 9 zuerst Ergebnisse der HS-Aufgaben , , , , , , , , , , : 675 = 40, (8,5 + 7,25) : 2,25 = 15,75: 2,25 = 1525: 225 = zuerst 4. 24,50 m 2450 mm= 2450 cm 245 cm= 2205 cm p = = = 35 % = 9500 :19 = 500 Dollar 1, V = 6 dm 5 dm 4 dm= 120 dm³ = 120Liter

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