Einführung in die Logik. Sommersemester Juli 2011 Institut für Theoretische Informatik

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1 Einführung in die Logik Jiří Adámek Sommersemester Juli 2011 Institut für Theoretische Informatik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Logische Systeme 4 I Aussagenlogik 6 2 Aussagenlogik 7 2.i Syntax der Aussagenlogik ii Semantik der Aussagenlogik iii Abgeleitete Symbole iv Bindungskonventionen v Wahrheitstafel Eigenschaften von Formeln 12 3.i Äquivalenz von Formeln ii Eigenschaften von Konjunktion und Disjunktion iii Adäquate Junktoren iv Tautologien v Erfüllbarkeit Normalformen 18 4.i Negation-Normalform (NNF) ii Baum - Notation von Formeln iii Konjunktive Normalform

3 4.iv Disjunktive Normalform Resolutionsmethode der Aussagenlogik 27 6 Folgerungen 33 7 Natürliche Deduktion 37 7.i Regeln für die Konjunktion ii Regeln der Implikation iii Formale Beweise iv Regeln der Disjunktion v Regeln der Negation und Absurdität vi Zusammenfassung vii Hilberts Axiomatisierung Hornlogik 51 8.i Hornformeln ii SDL-Resolutionsmethode iii Markierungsalgorithmus II Prädikatenlogik 57 9 Syntax der Prädikatenlogik 58 9.i Einleitung ii Alphabet der Prädikatenlogik iii Syntax der Aussagenlogik Semantik der Prädikatenlogik Logische Äquivalenz 71 2

4 12 Normalformen Herbrandsche Modelle und abstrakte Datentypen Resolutionsmethode der Prädikatenlogik 84 3

5 1. Einleitung: Logische Systeme Formale Logik kann man als den Versuch auffassen, das Denken zu technisieren. Als Wahr gilt nicht, was aufgrund einer sprachlichen Beschreibung plausibel gemacht wird, sondern das, was mittels einer systematischen Arbeitstechnik nachgewiesen wird. Ein logisches System überprüft dabei nicht den Wahrheitsgehalt einzelner Aussagen, sondern es ermöglicht festzustellen, was zusätzlich wahr ist, wenn eine Menge von Aussagen als wahr bekannt ist. Dieses Weiterdenken des bereits vorhandenen Wissens ist das Forschungsgebiet der Logik. Es gibt viele unterschiedliche Arten formaler logischer Systeme, die zum Teil unterschiedliche Fragestellungen adressieren. In diesem Skript werden einige von vielen existierenden logischen Systemen eingeführt: Aussagenlogik, Gleichungslogik und Prädikatenlogik. Die große Auswahl an logischen Systemen entspricht ähnlich der Vielfalt an Programmiersprachen den unterschiedlichen Typen von Anwendungen, die Logik in der Informatik und auch in anderen Gebieten hat. Die hier vorgestellten Logiken arbeiten mit streng formulierten Sätzen Formeln, die aus einem klar definierten Vorrat an Zeichen Symbolen zusammengesetzt werden. Allerdings gilt nicht alles was formulierbar ist, als wahr. Deshalb gehört zu jeder Logik immer auch ein Teil, der prüft, welche der korrekt formulierten Sätze auch tatsächlich im System gültig, das meint wahr, sind. Jedes der behandelten logischen Systeme besitzt die folgenden Grundbausteine: (a) Sprache: Dies ist die Liste aller Symbole, die die Logik nutzt, um korrekte Formeln aufzubauen. Dazu zählt etwa die Sprache aller atomaren Aussagen (oder Variablen) A 1, A 2, A 3,... ; die aller Junktoren (und), (oder) und (nicht) sowie die von Hilfssymbolen wie ( und ) und,. (b) Syntax: Dies sind die Regeln, die bestimmen, wie man eine korrekte Formel schreibt und sie aus den Elementen der Sprache zusammensetzt. Oft werden diese Regeln in der folgenden Weise in zwei Schritten angegeben. 4

6 (a) Zuerst sagt man, was die atomaren, von Anfang an gegebenen Formeln sind. (b) Dann wird bestimmt, wie aus diesen atomaren Formeln zusammengesetzte Formeln korrekt aufgebaut werden. In der später besprochenen Aussagenlogik sind die Formeln etwa aus den atomaren Aussagen durch Verknüpfung mit den Junktoren aufgebaut. Dabei ist A 1 A 2 korrekt und A 1 A 2 ist nicht korrekt. (c) Semantik: Diese erklärt, was die Formeln bedeuten. Bedeutung kann dabei verschiedene Formen annehmen. In der Aussagenlogik entspricht das der Frage, welche Formeln wahr sind, und welche falsch. Diese Werte sind binär und werden daher oft mit 1 für wahr und 0 für falsch dargestellt. (d) Logische Kalküle: Diese sind Regeln, um festzustellen, was wahr ist und was nicht, indem Formeln umgeformt werden. Damit stellen Sie eine Alternative zu Semantiken dar, die ebenfalls prüfen, was gilt und was nicht. Zur Erinnerung: Syntax gibt an, wie Formeln aus der Sprache entstehen. Logische Kalküle wirken dagegen auf die Formeln und bestimmen mit ihren Regeln, welche davon wahr sind. Semantiken wiederum bewerten gegebene Formeln und bestimmen derart, welche gültig sind. 5

7 Teil I Aussagenlogik 6

8 2. Aussagenlogik Einige sprachliche Gebilde haben einen Wahrheitswert wahr oder falsch. Z.B. Prag liegt in Europa ist wahr. Jede Zahl ist größer als 3 ist falsch. Solche Gebilde heißen Aussagen. Ziel der Aussagenlogik ist, die Aussagen aus atomaren Aussagen (deren Wahrheitswert wird von außen gegeben) zu untersuchen. Z.B. wenn x = 2 gilt y = 3 ist eine Aussage, die die Form einer Implikation hat: wir wissen nicht, ob die Aussagen und A : x = 2 B : y = 3 wahr oder falsch sind. Aber trotzdem können wir z.b. behaupten, dass die obere Implikation A B in allen Situationen wahr ist, wo x 2. 2.i Syntax der Aussagenlogik Definition 2.1. Die Sprache der Aussagenlogik besteht aus (a) einer abzählbaren Menge von atomaren Aussagen A 1, A 2, A 3,... (b) Junktoren Konjunktion, und Disjunktion, oder Negation, nicht (c) und Hilfssymbolen () Klammern, Komma 7

9 Dabei schreiben wir oft A, B, C,... statt A 1, A 2, A 3,... um atomare Aussagen zu bezeichnen. Definition 2.2. Syntax der Aussagenlogik Wir definieren die Formeln der Aussagenlogik (auch Aussagen genannt) als die kleinste Menge, so dass (a) jede atomare Aussage eine Formel ist (b) falls F und G Formeln sind, dann sind es auch (F G) (F G) ( F ) Beispiel 2.3. Für atomare Aussagen A und B sind etwa ((A B) ( B))) und ( ( (A B))) Formeln. 2.ii Semantik der Aussagenlogik Die Semantik der Aussagenlogik arbeitet mit Belegungen der atomaren Aussagen und berechnet daraus den Wahrheitswert aller Formeln. Statt wahr schreibt man 1, statt falsch 0. Gegeben sei eine Formel, deren atomare Aussagen in einer Menge M (untermenge von {A 1, A 2, A 3...}) liegen. Falls α eine Belegung dieser Aussagen ist, d.h., eine Funktion von M in {0, 1}, können wir den Wahrheitswert der ganzen Formel bestimmen. Definition 2.4. Eine Belegung ist eine Abbildung α von einer Menge M von atomaren Aussagen in die Menge {0, 1}. Kurz: α : M {0, 1} für M {A 1, A 2, A 3,...} Beispiel 2.5. Falls M = {A, B} mit der Belegung α(a) = 1 und α(b) = 0, ist intuitiv klar, dass (A B) wahr ist und ( (A B)) falsch. Definition 2.6. Für jede Formel F, die mit Hilfe der atomaren Aussagen aus M gebildet werden kann, und jede Belegung α : M {0, 1} definieren wir den Wert der Formel α(f ) bei Belegung α α(f ) := 0 oder 1 durch Strukturinduktion, d.h., Induktion über die Länge n der Formel F : 8

10 n = 1 Hier ist F eine atomare Formel aus M und wir setzten α(f ) := α(f ) n > 1 Für kürzere Formeln ist α durch die Induktion bereits definiert, daher bestimmen wir nun den Wert von Zusammensetzungen aus anderen Formeln. Eine Formel F mit Länge n > 1 hat die Form (G H) oder (G H) oder ( G). Wir definieren α(f ) entsprechend bei: { 1 falls α(g) = 1 = α(h) α(g H) := 0 sonst { 1 falls α(g) = 1 oder α(h) = 1 α(g H) := 0 sonst { 1 falls α(g) = 0 α( G) := 0 sonst In der Mathematik und in der theoretischen Informatik meint oder die nicht-exklusive Form. Dh. der Wert von α(f G) ist auch dann 1, wenn α(g) = 1 = α(h). Beispiel 2.7. Die Semantik der Formel A (B C) ist bei jeder Belegung α der Atome A, B, C definiert. Die Formel ist wahr, falls A wahr ist oder B wahr ist, sowie C falsch ist. Definition 2.8. Eine Belegung α : M {0, 1} ist passend für eine Formel F falls alle atomaren Aussagen von F in M liegen. (Jede Formel hat bei jeder passenden Belegung Wert 0 oder 1.) 2.iii Abgeleitete Symbole Andere Literatur zählt (Implikation) und (Äquivalenz) zu den Junktoren der Aussagenlogik. Diese zwei verwenden wir als abgeleitete Symbole und definieren sie per Notation als Abkürzung einer längeren Formel. Wenn wir überlegen, merken wir, dass F G dieselbe Bedeutung wie (G F ) hat. Zu sagen: aus F folgt G, bedeutet dasselbe wie zu sagen: G ist wahr oder F ist falsch. Aus diesem Grund können wir definieren: Definition 2.9. Für zwei Formeln F und G ist (a) (F G) eine Notation für die Formel (G F ) (b) (F G) eine Notation für die Formel ((F G) (G F )) 9

11 Die Semantik der Junktoren und folgt aus der Definition 2.6. Hier noch einmal explizit: { 1 falls α(g) = 0 oder α(h) = 1 α(g H) := 0 sonst { 1 falls α(g) = α(h) α(g H) := 0 sonst In Worten sprechen wir G H als wenn F, dann G und F G als F genau dann, wenn G. Definition Wir bezeichnen durch ( Absurdität ) die Aussage A A, wobei A ein Atom ist (konkret wählen wir das erste Atom). Die Absurdität hat immer Wert 0. Und bezeichnet A A, die Aussage mit Wert 1. 2.iv Bindungskonventionen Um unnötige Klammern zu vermeiden, bestimmen wir die folgende Notationelle Konvention (a) bindet stärker als alle zweistelligen Junktoren (,,, ). (b) und, die alten Junktoren, binden stärker als die abgeleiteten Junktoren und. (Die Junktoren und binden gleich stark.) Beispiel A B C wird dadurch eine korrekte Formel. Es ist die Abkürzung für die offizielle Fassung ( ( A) (B ( C)) ). 2.v Wahrheitstafel Die Semantik jeder Formel F, die atomare Aussagen aus M := {A 1, A 2,..., A n } benutzt, kann man als Wahrheitstafel darstellen: jede Zeile entspricht einer der 2 n Belegungen α : M {0, 1}: A 1 A 2... A n F α(f ) für α(a i ) = 0 für alle i α(f ) für α(a n ) = 1, sonstige α(a i ) = α(f ) für α(a i ) = 1 für alle i Wahrheitstafeln stellen alle möglichen Kombinationen der Belegung der atomaren Aussagen dar. Dazu können wir der Reihenfolge von binären Darstellungen der Zahlen 10

12 0, 1, 2,... 2 n 1 folgen. Dabei stehen in der ersten Zeile nur lauter 0-Werte, in der letzten lauter 1-Werte. In der Spalte rechts von den binären Zahlen steht der Wert der Formel F bei der entsprechenden Belegung von M. Beispiel Man betrachte die Wahrheitstafel von F := A B A B F Beispiel Wahrheitstafeln ermöglichen eine Analyse der jeweils dargestellten Formel, etwa von F := C A (B A): A B C F An der Tafel ist zu sehen: die Formel ist fast immer wahr, außer in zwei Fällen: α(a) = 0, α(b) = 0 und α(c) = 1 α(a) = 0, α(b) = 1 und α(c) = 1 Daraus ist zu erkennen, dass der Wert von F unabhängig von dem Wert von B, also von α(b), ist. Damit ist α(f ) = 1, außer wenn α(a) = 0 und α(c) = 1. Dieselbe Semantik lässt sich kürzer ausdrücken: A C Die kurze Formel ist ebenfalls immer wahr, außer wenn α(a) = 0 und α(c) = 1. 11

13 3. Eigenschaften von Formeln 3.i Äquivalenz von Formeln Definition 3.1. Zwei Formeln F und G der Aussagenlogik heißen äquivalent, falls sie dieselbe Semantik haben. Dh. für jede Belegung α : M {0, 1} die zu F und G passend ist, gilt α(f ) = α(g) Wir schreiben dies auch in der folgenden Notation: F G Beispiel 3.2. C A (B C) ist äquivalent zu (A C). Dies haben wir im letzten Abschnitt in Beispiel 2.14 durch Analyse der Wahrheitstafel festgestellt. Satz 3.3. Für jede Formel F gilt: F F. Beweis. Falls α(f ) = 1 gilt, α( F ) = 0, weshalb α( F ) = 1 = α(f ). Analog für α(f ) = 0. Satz 3.4. De Morgansche Regeln: (F G) F G (F G) F G Beweis. Die erste Regel folgt daraus, dass gegeben eine für F und G passende Belegung α dann α( (F G)) Wert 1 hat, genau wenn α(f G) den Wert 0 hat und dies gilt genau dann wenn α(f ) = 0 oder α(g) = 0. Und für die rechte Seite haben wir Wert von α( F G) gleich 1 genau wenn α( F ) = 1 oder α( G)0 =, d.h. in derselben Situation wie oben. Dies beweist α( (F G)) = α( F G). Analog wird die zweite Regel bewiesen. Bemerkung 3.5. Äquivalente Formeln haben dieselbe Wahrheitstabelle. Deswegen haben wir genau 4 Formeln, die nur ein Atom A benutzen: A, A, A A und A A 12

14 Alle anderen Formeln mit Atom A (z.b. A A, A A A usw) sind zu einer dieser vier Äquivalent. Denn die vier Wahrheitstabellen A A A A erschöpfen alle Möglichkeiten, die wir haben. A A A A A A Analog für 2 Atome A, B: da es 16 mögliche Wahrheitstabellen gibt, gibt es bis auf Äquivalenz höchstens 16 Formeln mit Atomen A und B. paarweise nicht-äquivalente For- Allgemein: mit n Atomen können wir höchstens 2 2n meln aufbauen. 3.ii Eigenschaften von Konjunktion und Disjunktion Satz 3.6. Konjunktion ist kommutativ:f G G F assoziativ:(f G) H F (G H) idempotent:f F F Beweis: F G ist wahr genau wenn F und G wahr sind. Dasselbe gilt für G F. Deswegen sind F G und G F äquivalent. Auf dieselbe Art kann man die anderen Formeln beweisen. Satz 3.7. Disjunktion ist kommutativ, assoziativ und idempotent. Der Beweis erfolgt analog zu Satz 3.6. Notationelle Konvention Die Assoziativität erlaubt es Formeln wie A B C ohne Klammern zu schreiben. Dies gilt für beliebig viele Teilklauseln der Konjunktion, also ebenso für A B C D usw. Entsprechend werden auch Disjunktionen der Form A B C, usw., notiert. 2. Wir schreiben auch n i=1 A i statt A 1... A n und n i=1 A i statt A 1... A n. Genauer: wir definieren das Symbol n i=1 A i per Induktion: n Für n = 1 ist A i = A 1 Analog mit n i=1 A i Für n + 1 ist n+1 i=1 i=1 n A i = ( A i ) A n+1 i=1 13

15 3. Falls wir in 2. auch n = 0 erlauben, ist n i=1 A i immer falsch (denn A i ist nur dann wahr, wenn es ein i gibt mit A i wahr). D.h.: 0 = 1A i =. Analog ist n i=1 A i für n = 0 immer wahr: i 0 A i = i=1 Bemerkung 3.9. Die De Morganschen Regeln kann man wie folgt verallgemeinern: n n F i F i i=1 i=1 sowie Der Beweis ist analog zu 3.4. n n F i F i i=1 i=1 Satz (Distributivgesetz) Konjunktion und Disjunktion distribuieren wie folgt: n n F G i (F G i ) i=1 i=1 sowie n n F G i (F G i ). i=1 i=1 Bemerkung Oft werden die Distributivgesetze nur für n = 2 formuliert: F (G 1 G 2 ) = (F G 1 ) (F G 2 ) und F (G 1 G 2 ) = (F G 1 ) (F G 2 ) Beweis: Der Wert von F n i=1 G i für eine passende Belegung α ist 1, genau dann wenn α(f ) = 1 und α(g i ) = 1 für einen Index i = 1,..., n. Dies ist der Fall genau wenn α(f G i ) = 1 für ein i. Und dies besagt, dass n i=1 (F G i) Wert 1 hat. Der Beweis des zweiten Distributivgesetzes ist analog. 14

16 3.iii Adäquate Junktoren Formeln haben wir mit Hilfe der drei Junktoren, und definiert. Aber die De Morganschen Regeln zeigen, dass weggelassen werden könnte: aus (F G) = F G) folgt durch Negation beider Seiten Folgerung F G ( F G) Definition Eine Menge von Junktoren heißt adäquat, falls jede Formel zu einer Formel, die nur Junktoren aus dieser Menge benutzt, äquivalent ist. Beispiel (a) Wie wir gesehen haben, formen und eine adäquate Menge. Analog sind auch und adäquat. (b) Die Junktoren und sind adäquat. In der Tat: Disjuktion können wir wie folgt ersetzen: F G F ( G) = G F und dann benutzen wir die Tatsache, dass und adäquat sind. (c) Das Symbol für Absurdität kann als ein (nullstelliger) Junktor betrachtet werden. Die Juktoren und sind adäquat: dies folgt aus b, weil für die Negation gilt Satz A ist zu A äquivalent. Beweis. Da A gleich A und der Wer von in jedem Modell 0 ist, sehen wir, dass A und A immer denselben Wert haben. Beispiel Die Junktoren und sind nicht adäquat. In der Tat, für eine atomare Aussage A ist die Formel A zu keiner Formel F, die nur und als Junktoren benutzt, äquivalent. Falls nämlich F das Symbol nicht enthält, hat sie die Form F = B 1... B n, B i atomar. Dann nehmen wir die Funktion α, die jeder atomaren Aussage 1 zuordnet: es gilt α( A) = 0 und α(f ) = 1. Und falls F das Symbol enthält, gilt α(f ) = 0 für jede Belegung α. Hier wählen wir die Belegung, die konstant den Wert 0 hat, dann α( A) = 1 und α(f ) = 0. Beispiel Der NAND-Junktor (auch als Sheffer-Symbol bekannt) ist der Junktor nicht beide, der durch A B = (A B) definiert wird. Die Aussagenlogik kann durch den NAND Junktor allein aufgebaut werden: die Menge { } ist adäquat. In der Tat: deswegen A A A A B (A B) (A B) (A B) und endlich benutzen wir die De Morgansche Regel die A B = A B ergibt für A B = ( A) ( B) = (A A) (B B). 15

17 3.iv Tautologien Manche Formeln sind unabhängig von der Belegung der atomaren Aussagen immer wahr sie heißen Tautologien. Definition Eine Formel heißt Tautologie, falls sie für jede passende Belegung wahr ist. Beispiel Die Formel F F ist eine Tautologie. Auch ( F G) (G F ) ist eine Tautologie. Sie bildet die Grundlage für das Beweisen durch Widerspruch. Satz Zwei Formeln F und G sind äquivalent, genau wenn F G eine Tautologie ist. Beweis. Vergleichen wir die Wahrheitstafeln: Immer wenn F und G den gleichen Wert haben, steht in der Spalte von F G eine 1 für wahr. Falls F und G äquivalent sind, steht in der ganzen Spalte von F G eine 1 und damit ist F G eine Tautologie. Umgekehrt gilt, falls F G eine Tautologie ist, stehen immer bei F und G die gleichen Werte und sie sind daher äquivalent. Beispiel Eine überraschende Tautologie ist die Folgende: (F G) (G F ) In der Tat, bei jeder passenden Belegung α ist entweder α(f ) = 1: dann ist die Formel wahr, weil G F wahr ist. Oder α(f ) = 0, wo die auch wahr ist, weil F G wahr ist. Die Tautologie scheint zu sagen, dass jede Tatsache aus einer beliebigen anderen folgt oder umgekehrt. Dennoch gilt sie. Die Erklärung ist, dass wenn wir A B schreiben, bedeutet dies nicht, dass aus A immer B folgt (denn die Formel A B kann auch falsch sein). 3.v Erfüllbarkeit Definition Eine Formel F heißt erfüllbar, falls sie bei wenigstens einer Belegung wahr ist. Beispiel Die Formel A B ist erfüllbar, da sie etwa dann wahr wird, wenn man B mit 1 belegt. Dagegen ist die Formel A B A B nicht erfüllbar. Satz Eine Formel F ist genau dann erfüllbar, wenn F keine Tautologie ist. 16

18 Beweis. Wenn F erfüllbar ist, gibt es eine passende Belegung α mit α(f ) = 1, dh. mit α( F ) = 0. Daraus folgt, dass F keine Tautologie ist. Umgekehrt bedeutet zu sagen, dass F keine Tautologie ist, dass es eine Belegung α mit α( F ) = 0 gibt. Bei dieser Belegung ist α(f ) = 1 und F erfüllbar. In der Industrie, etwa zur Steuerung von Weichenanlagen, werden Formeln mit bis zu 300 Tausend atomaren Aussagen formuliert und deren Erfüllbarkeit getestet. Dieses Problem wird in der Theoretischen Informatik intensiv erforscht und heißt dort SAT (von englisch satisfiable ). Im nächsten Kapitel entwickeln wir einen Algorithmus dafür. 17

19 4. Normalformen Es ist oft wichtig mit Formeln einer gewissen schönen Gestalt arbeiten zu dürfen. Die wichtigste solcher Formen heißt konjunktive Normalform und wir zeigen hier, wie sie berechnet wird. Zwei andere Normalformen werden ebenfalls eingeführt. Erst brauchen wir eine einfache aber nützliche Aussage: die Relation der Äquivalenz zwischen Formeln ist eine Kongruenz aller Junktoren: Satz 4.1. Gegeben seien die Formeln F F und G G, dann gilt: F G F G und F G F G sowie F F. Beweis. Wir sollen zeigen, dass der Wert von F G in jedem Modell aller Aussagen F, G, F, G gleich zum Wert von F G ist. Der Wert von F G ist 1, genau wenn entweder F oder G Wert 1 haben. Dies ist, aufgrund von F F und G G, genau der Fall, wenn F oder G Wert 1 hat, d.h., genau wenn F G Wert 1 hat. Analog mit F G und F. Folgerung 4.2. Aus F F und G G folgt F G F G Folgerung 4.3. Aus F 1 F 1,..., F n F n folgt n F i i=1 n i=1 F i und n F i i=1 n i=1 F i 4.i Negation-Normalform (NNF) Bemerkung 4.4. Die De Morganschen Regeln und die Äquivalenz von F und F ermöglichen es, Formeln so zu gestalten, dass die Negation nur vor atomaren Aussagen vorkommt. Beispiel 4.5. (A B) (B (A C)) (B (A C)) (A B) (B A C) ( A B) (B A C) ( A B) 18

20 Definition 4.6. Eine Formel G heißt Negation-Normalform (NNF) falls die Negation in G nur direkt vor den atomaren Aussagen steht. Wir können für jede Formel G ihre NNF berechnen indem wir die De Morganschen Regeln rekursiv benutzen: falls G = (H K) gilt: G H K und wir müssen nur die NNF für H sowie K berechnen. Analog für G = (H K). Und falls G = H dann gilt G H. Dies wird durch den folgenden rekursiven Algorithmus formalisiert werden: Algorithmus 4.7 (NNF). Eingabe: Eine Formel A mit Junktoren, und. (Die Junktoren und müssen erst ersetzt werden.) Ausgabe: Eine NNF äquivalent zu A, bezeichnet als NNF(A) Da dieser Algorithmus rekursiv ist, benutzen wir die Strukturinduktion: wir stellen NNF(A) für atomare Aussagen fest. Und für die zusammengesetzten Formeln A berechnen wir NNF(A) aus der vorher berechneten Formeln NNF(B i ), wobei B i kürzere Formeln sind als A. 1. A atomar: wir setzen NNF(A) := A 2. A = B 1 B 2 : wir setzen 3. A = B 1 B 2 : wir setzen NNF(B 1 B 2 ) := NNF(B 1 ) NNF(B 2 ) NNF(B 1 B 2 ) := NNF(B 1 ) NNF(B 2 ) 4. A = B: Hier müssen wir eine neue Rekursion anfangen: wir benutzen Strukturinduktion in B. Falls B nicht atomar ist, nehmen wir an, dass NNF( C i ) berechnet wurden für Formeln C i, die kürzer als B sind. 4.1 B atomar: wir setzen 4.2 B = C 1 C 2 : wir setzen NNF( B) := B NNF( (C 1 C 2 )) := NNF( C 1 ) NNF( C 2 ) 4.3 B = C 1 C 2 : wir setzen NNF( (C 1 C 2 )) := NNF( C 1 ) NNF( C 2 ) 19

21 4.4 B = C: wir setzen NNF( C) := NNF(C) Satz 4.8. Der Algorithmus NNF ist korrekt: für jede Formel A wird NNF(A) in endlich vielen Schritten berechnet, ist zu A äquivalent und ist NNF. Beweis. Die endlich vielen Schritte folgen aus der Tatsache, dass für eine Formel A der Länge n in einem rekursiven Durchgang der Algorithmus NNF ein oder zweimal verwendet wird, jedes Mal an Formeln der Länge höchstens n 1. Da für die Formeln der Länge 1 nur ein Schritt notwendig ist, haben wir insgesamt höchstens n Durchgänge. Die Äquivalenz A NNF(A) und die Tatsache, dass NNF(A) eine NNF ist, müssen wieder per Strukturinduktion bewiesen werden. Falls A atomar ist, gilt A = NNF(A), dies ist eine NNF. Falls A = B 1 B 2 und für B 1 und B 2 die Aussage gilt, berechnen wir NNF(A) NNF(B 1 ) NNF(B 2 ) und benutzen Satz 4.1: aus B 1 NNF(B i ) für i = 1, 2 folgt NNF(A) B 1 B 2 = A Da NNF(B i ) eine NNF ist, folgt unmittelbar, dass NNF(A) eine NNF ist. Die Schritte A = B 1 B 2 und A = B sind analog. Beispiel 4.9. Wir wollen die NNF der Formel (A A B) (A C B C) berechnen. Bevor der rekursive Algorithmus angefangen wird, müssen wir ersetzen. Wir arbeiten mit der Formel G = (( A B) A) (( B C) (A C)) Die rekursive Berechnung wird extra mit der linken und der rechten Seite entwickelt: NNF(G) = NNF(( A B) A) NNF(( B C) (A C)) = NNF( A B) NNF( A) NNF( B C) NNF( (A C)) = NNF( A) NNF(B) NNF( B) NNF( A C) = A B B A C 4.ii Baum - Notation von Formeln Es ist oft vorteilhaft sich die Struktur einer Formel F (wie sie durch ihre Unterformen aufgebaut ist) als einen Baum vorzustellen, dessen Blätter mit den atomaren Aussagen von F markiert werden und andere Knoten werden, falls sie 2 Kinder haben, mit einem 2-stelligen Junktor markiert und für 1 Kind mit markiert. Für Formeln F = G H steht in der Wurzel (analog mit, oder ). Für F = G steht in der Wurzel. 20

22 Beispiel ((A B) C) (A B) ist eine Formel dessen Hauptjunktor ist, der entsprechende Baum hat die Form t s wobei t der Baum für (A B) C und s der für (A B) ist. Wir sehen schnell, dass t und s die Form und C A B A B haben, deswegen wird F durch den Baum C A B A B dargestellt. Bemerkung Der Algorithmus NNF schiebt die -Knoten nach unten bis sie nur vor den Blättern stehen. Dies illustrieren wir auf dem oberen Beispiel: erst müssen wir X Y ersetzen C B B A A 21

23 Jetzt wird im rechten Unterbaum durch die De Morgansche Regel Umgewandelt: C B B endlich wird entfernt: A A c A B B A 4.iii Konjunktive Normalform Definition Ein Literal ist eine atomare Aussage oder ihre Negation. Wir sprechen auch von positiven Literalen A oder negativen Literalen A (A atomar). Definition Eine Disjunktion von Literalen heißt Klausel. Beispiel (a) Die Formel A A B C ist eine Klausel. Sie ist äquivalent zur kürzeren Formel A B C, die auch eine Klausel ist. (2) Für n atomare Aussagen X 1,..., X n ist n i=1 X i eine Klausel. Ihr Wert ist 1 in genau den Modellen wo es einen Index i = 1,..., n mit X i wahr gibt. (3) Der Fall n = 0 in (2) ergibt die leere Klausel. Ihr Wert ist nie 1 weil es keinen Index i mit X i wahr gibt dann sehen wir, dass die Absurdität diese leere Klausel ist. Es wird also auch als eine Klausel genommen werden. 22

24 Bemerkung Die Formeln, die die Form F 1... F n von Konjunktion von Klauseln haben, sind übersichtlicher als die allgemeinen Formeln: der Wert in einem Modell ist wahr genau wenn alle Klauseln F i wahr sind. Und dies bedeutet dass für jedes i = 1,..., n ein positives Literal A in F i steht, wobei α(a) = 1, oder ein negatives, A, wbei α(a) = 0. Beispiel Die Formel (B A C) ( A B) wollen wir als Konjunktion von Klauseln darstellen. Dazu benutzten wir die Distributivgesetze: (B A C) ( A B) ((B A C) A) ((B A C) B) (B A) ( A A) (C A) (B B) (A B) (C B) (B A) A (C A) (A B) (C B) Definition Eine Konjunktive Normalform ( KNF) ist eine Konjunktion von Klauseln. Die letzte Zeile des obigen Beispiels ist also bereits eine KNF. Wir zeigen jetzt einen Algorithmus, der die KNF berechnet. Der Kern liegt in der Benutzung des Distributivgesetzes. Wir formulieren erst diesen Kern und dann wenden wir es in unserem Algorithmus an: Satz Falls F eine KNF mit Klauseln F 1,..., F n ist und G eine KNF mit Klauseln G 1,..., G k, ist F G äquivalent zur KNF mit Klauseln F i G j für i = 1,..., n und j = 1,..., k. Beweis. Es gilt, aufgrund des Distributivgesetzes: Für jedes i berechnen wir analog Daraus folgt: n F G = ( F i ) G i=1 F i G F i ( F G k G j ) j=1 n (F i G) i=1 n n (F i G) i=1 n (F i G) j=1 i=1 j=1 k (F i G j ) Die letzte Formel ist eine KNF und weil die Formeln F i und G j Klauseln sind ist auch F i G j eine Klausel. Algorithmus 4.19 (KNF). Eingabe: Eine Formel A in NNF Ausgabe: Eine KNF, äquivalent zu A, bezeichnet als KNF(A) Wieder ein rekursiver Algorithmus, der per Strukturinduktion beschrieben wird: 23

25 1. A atomar: wir setzen KNF(A) := A 2. A = B 1 B 2 wir setzen KNF(A) := KNF(B 1 ) KNF(B 2 ) 3. A = B 1 B 2 wobei wir schon zwei Ergebnisse unseres Algorithmus berechnet haben: KNF(B 1 ) = C 1... C n und Dann setzen wir KNF(B 2 ) = D 1... D k n k KNF(B 1 B 2 := (C i D j ) i=1 j=1 4. A = B. Hier muss B atomar sein, da A eine NNF ist, und wir setzen KNF( B) := B. Satz Der Algorithmus KNF ist korrekt: für jede Formel A berechnen wir in endlich vielen Schritte eine KNF, die zu A äquivalent ist. Der Beweis hat dieselbe Struktur wie der von Satz 4.8. Der einzige nichttriviale Schritt ist zu beweisen, dass für A = B 1 B 2 die Äquivalenz KNF(A) A gilt. Dies folgt aus Satz Beispiel Die KNF der Formel berechnen wir in 3 Schritten: A (B C A) a) und ersetzt werden: b) Algorithmus NNF ergibt (A (( (C A) B)) ( A ((C A) B)) F (A (( C A) B)) ( A ((C A) B)) c) Algorithmus KNF wird angewendet: hier haben wir eine Disjunktion zweier KNF: F (A ( C A B)) ( A C A B) und wir brauchen nur Satz 4.17 anzuwenden: KNF(F ) = (A A) (A C) (A A) (A B) ( C A B A) ( C A B C) ( C A B A) ( C A B B) 24

26 Beispiel Für G 2 = (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 ) ist KNF(G 2 ) durch Satz 6.6 berechnet (d.h. nur das Distributivgesetz wird benutzt): KNF(G 2 ) = (A 1 A 2 ) (A 1 B 2 ) (B 1 A 2 ) (B 1 B 2 ) Analog: für die Formel G n = (A 1 B 1 ) (A 2 B 2 )... (A n B n ) berechnen wir KNF(G): als Ergebnis bekommen wir die Konjunktion aller Klauseln des Typs A 1 A 2... A n B 1 A 2... A n. B 1 B 2... B n wobei wir immer n Atome mit Indexen 1,..., n und Namen A oder B haben. Bemerkung Die Formel G n hat Länge 6n 1 = O(n). Aber KNF(G n ) hat 2 n Klauseln, da für jeden Index 1,..., n die Wahl zwischen A oder B vorkommt. Deswegen liegt die Länge von KNF(G n ) in O(2 n ). Dies bedeutet, dass der Algorithmus KNF nicht effizient ist: für Formeln der Länge 200 gibt es keine Chance die KNF immer zu berechnen. In der Tat: die Lichtgeschwindigkeit ist / m sec und der Durchschnitt eines Protons ist m dann hätte ein Rechner, der jede Operation in der Zeit erledigt, die das Licht braucht um ein Proton umzuwandeln, Operationen pro Sekunde. Da 10 < 2 4, ist < Deswegen, falls in einem Algorithmus Schritte braucht, müsste auch ein so schneller Rechner wenigstens Sekunden rechnen - dies ist aber mehr, als die Zeit ( Sekunden) seit dem Urknall. 4.iv Disjunktive Normalform Definition Eine disjunktive Normalform (DNF) ist eine Disjunktion von Formeln der Form X 1 X 2... X n wobei X i Literale sind. Beispiel Die Formel C A (B C) bringen wir in disjunktive Normalform: C A (B C) =(B C) (C A) = (B C) C A Algorithmus der Jede Formel G in eine Disjunktive Normalform bringt, ist einfach: 1. Wir berechnen KNF für G 25

27 2. Für jede Klausel A i von KNF( G) ist A i äquivalent zur Konjunktion von Literalen: die Literale von A i werden negiert. 3. Es gilt: G KNF( G) (A 1... A n ) A 1 A 2... A n Die letzte Formel ist schon eine disjunktive Normalform. Bemerkung Für Klauseln X 1... X n benutzt man oft die mengentheoretische Notation {X 1,..., X n } (in der die wiederholten Literale nicht mehr wiederholt werden - dies ändert nicht den Wahrheitswert). Dann ist jede KNF eine Liste endlicher Mengen. Z.B. die KNF für G 2 in Beispiel 6.11 ist die Liste {A 1, A 2 }, {A 1, B 2 }, {B 1, A 2 }, {B 1, B 2 } Die leere Klausel wird dann mit bezeichnet. 26

28 5. Resolutionsmethode der Aussagenlogik Dieses Kapitel stellt einen Algorithmus vor, der für jede Formel ihre Erfüllbarkeit berechnet: die Resolutionsmethode. Die Idee basiert auf den folgenden Beobachtungen: Bemerkung 5.1. Gegeben ist eine KNF, F. (a) Falls F die 1-Literal-Klauseln X und auch X enthält, ist F unerfüllbar. (b) Falls F die Klauseln A X und B X enthält, dürfen wir die Klausel A B hinzufügen ohne dass sich die Erfüllbarkeit ändert. Dies wird später als Resolutionslemma bewiesen. Eine Wiederholung von (a) und (b) ergibt die Entscheidung, ob F erfüllbar ist. Dies ermöglicht einen Algorithmus, der im Folgenden im Detail vorgestellt und überprüft wird. Notationelle Konvention Die Negation eines Literals ist immer ein Literal: hier wird A mit A identifiziert. Wir nehmen an, dass Literale in einer Klausel nicht wiederholt werdenm denn X X A ist zu X A äquivalent. 2. Falls die Klausel K das Literal X enthält, bezeichnet K\X jene Klausel, die durch Entfernung von X entsteht. Beispiel 5.3. Für K = {A, B} gilt K\A = { B} und K\ B = {A}. Für K = {A, B, C} ist beispielsweise K\ B gleich {A, C}; aber K\ A gibt es nicht. Endlich für K = {A} gilt K\A = 27

29 Definition 5.4. Eine Resolvente zweier Klauseln K und K Form (K\X) (K \ X) wobei X in K liegt und X in K. ist eine Klausel der Mehr detailliert: Falls zwei Klauseln gegeben werden K := {K 1,..., K n } und K := {K 1,..., K m} die ein Literal so enthalten, dass K i = X und K j = X, dann ist die Klausel {K 1,..., K i 1, K i+1,..., K n, K 1,..., K j 1, K j+1,..., K m} eine Resolvente. Notationelle Konvention 5.5. Wir benutzen für Resolventen die folgende Baum- Notation K K falls L eine Resolution von K und K ist. L Beispiel 5.6. (a) {A} und { A} haben die Resolvente {A} { A} (b) {A, B} und {C, B} haben die Resolvente {A, C}. {A, B} {C, B} {A, C} (c) {A, B, C} und {A, B, C} haben zwei Resolventen {A, B, B} und {A, C, C}. Aufpassen! Zur Bildung der Resolventen wird immer nur ein Literal benutzt. Daher ist A keine Resolvente von (c). Satz 5.7. Resolutionslemma Eine Formel F in KNF ist äquivalent zu F L für jede Resolvente L zweier Klauseln von F. 28

30 Beweis. Wir müssen zeigen, dass für jede passende Belegung α gilt Seien K mit Literal X und K mit Literal X Klauseln für die L = (K\X) (K \ X). Dann ergeben sich zwei Fälle: α(f ) = α(f L) α(f ) = 1 Dann gilt α(k) = 1 und α(k ) = 1. Wir müssen zeigen, dass α(l) = 1. Falls α(x) = 0, dann folgt aus α(k) = 1, dass α(k\x) = 1, denn K muss ein wahres Literal enthalten und dies ist nicht X. Falls α(x) = 1 gilt α(k \ X) = 1, denn X kann nicht das wahre Literal von K sein. In beiden Fällen gilt: α(f ) = 0 Dann α(f L) = α(f ) α(l) = 0. α(l) = α(k\x) α(k \ X) = 1 Algorithmus 5.8. Die Resolutionsmethode testet Erfüllbarkeit einer Formel F in KNF. Wir berechnen die Resolventen und die Resolventen von Resolventen usw. bis entweder die leere Klausel als Resolvente vorkommt: Die Ausgabe ist F ist unerfüllbar oder keine leere Resolvente vorkommen und keine weiteren Resolventen mehr existieren: Die Ausgabe ist F ist erfüllbar. Beispiel 5.9. (P R) (Q R) Q ( P T ) S (S T ) Wir benutzen die Baumnotation 5.5: {P, R} {Q, R} { P, T } {S, T } {P, Q} { Q} { P, S} { S} {P } { P } 29

31 Am binären Graphen kann die Entwicklung der Resolutionsmethode verfolgt werden: die Blätter sind die Klauseln der gegebenen Formel, die Ebene darunter gibt Resolventen von jeweils zwei Blättern an, usw. Im ganzen Baum gilt, dass jeder innere Knoten die Resolvente seiner zwei Kinder darstellt. Beispiel F := (A B C) ( A B C) (A B D) Die Resolutionsmethode ergibt folgende Resolventen: im 1. Schritt: B C, B C B D, A C D, A C A D im 2. Schritt: keine weiteren Resolventen Damit wurde F auf erfüllbar getestet. Ist die Formel es wirklich? Satz Die Resolutionsmethode ist korrekt: Eine Formel ist genau dann erfüllbar wenn nach endlich vielen Schritten der Algorithmus endet und die Ausgabe erfüllbar erfolgt. Beweis. (a) Wenn die Ausgabe unerfüllbar ist, zeigen wir, dass F nicht erfüllbar ist. Nach dem Resolutionslemma 5.7 ist F äquivalent zu der Konjunktion F := F L von F mit allen Resolventen und Resolventen von Resolventen. Falls dabei F die Klauseln X und X besitzt, ist F unerfüllbar und deswegen ist es dann auch F. (b) Wenn die Ausgabe erfüllbar ist, beweisen wir, die Erfüllbarkeit von F per Induktion über die Anzahl k = 1, 2, 3,... von Literalen, die F enthält: Induktionsanfang k = 1 Dann ist F = X, F = X oder F = X X. Die letzte Variante ist nicht möglich, weil sonst die Ausgabe unerfüllbar gelautet hätte. Die anderen beiden sind eindeutig erfüllbar, indem α(x) je nach Fehlen oder Vorkommen der Negation auf 1 oder 0 gesetzt wird. Induktionsschritt k > 1 Wir nehmen als Induktionsvorraussetzung an, dass alle Formeln mit 1 bis k 1 Literalen die gewünschte Eigenschaft erfüllbar zu sein, wenn sie darauf getestet wurden, haben. Wir wählen ein Literal X in F und sortieren die KNF folgendermaßen: wobei F = F X F X F O F X F X die Konjunktion aller Klauseln ist, die X enthalten die Konjunktion aller Klauseln ist, die X enthalten und F O die Konjunktion aller Klauseln ist, die weder X noch X enthalten 30

32 Wir bezeichnen mit F X die Formel, die aus F X entsteht, indem in allen Klauseln das Literal X gestrichen wird. Wir beweisen, dass entweder F erfüllbar ist, oder die Resolutionsmethode die Resolvente X ergibt. (i) Nehmen wir an die Formel F X F O ist erfüllbar. Dann ist auch F erfüllbar. In der Tat, für jede Belegung α die ein Modell der Formel FX F O die den Wert 1 ergibt, können wir den Wert von X beliebig wählen: Auch so, dass α(x) = 0. Der Wert von F X F O bleibt davon unberührt α( F X F O ) = 1, weil X darin nicht vorkommt. Es gilt dann aber α( X) = 1 weshalb α(f X ) = 1, denn jede Klausel in F X enthält X und hat damit den Wert 1. Es gilt dann auch α(f X ) = 1, denn alle Klauseln in F X enthalten wegen α( F X F O ) = 1 ein Literal Y mit α(y ) = 1, das von X unterschieden ist. Darum hat F = F X F X F 0 den Wert 1. (ii) Nehmen wir dagegen an, dass F X F O unerfüllbar ist. Wir beweisen, dass die Resolutionsmethode die Resolvente X liefert. Da F X F O nur k 1 Literale besitzt, folgt aus der Induktionsvoraussetzung, dass die Anwendung der Resolutionsmethode auf F X F O Resolventen Y und Y liefert, wobei Y ein Literal ist, das offensichtlich von X und X unterschieden ist. Wir wenden nun die Resolutionsmethode auf F an und benutzen dabei dieselbe Reihenfolge der Klauseln wie vorher für F X F O. Die Klauseln sind nun immer - entweder dieselben wie vorher - oder enthalten zusätzlich das Literal X Daher erhalten wir, weil FX F O ja die Resolventen Y oder Y ergeben hatte, am Ende Resolventen Y oder Y X sowie Y oder Y X Der Fall der Resolvente Y sowie Y ist nicht möglich, da F das Ergebnis erfüllbar brachte. Die anderen Fälle X Y und Y oder oder X Y und X Y Y und X Y ergeben im nächsten Schritt die Resolvente X. Daher ist entweder F X F O erfüllbar und damit auch F oder X ist eine der Resolventen, die die Resolutionsmethode für F ergibt. Nun verwenden wir analog die Formel F X anstelle von F X. Wir bekommen nach dem Entfernen von X die Formel F X. Entweder ist nun F X F O erfüllbar und damit auch F. Oder das Literal X ist aus demselben Grund wie oben eine Resolvente von F. 31

33 Da aber X und X nicht zugleich Resolventen sein können, ist F tatsächlich erfüllbar. Zusammenfassung Die Resolutionsmethode ist ein Algorithmus, der entscheidet, ob eine Formel erfüllbar ist. (Er löst das SAT Problem.) Dabei wird die Formel in KNF umgeformt und anschließend rekursiv um Resolventen vervollständigt, bis sie um alle möglichen Resolventen ergänzt wurde. Dann ist dieser Test vollständig: Enthält die Formel am Ende nicht die leere Klausel, ist sie erfüllbar. Die Resolutionsmethode ist allerdings nicht effizient. Bei Formeln der Länge O(n) kann bereits die Erzeugung der KNF Zeit von O(2 n ) dauern. Aber selbst bei Formeln, die bereits als KNF vorliegen, hat die Resolutionsmethode exponentielle Zeitkomplexität. In Kapitel 8 zeigen wir, dass die Resoltionsmethode für Hornformeln effizient ist. 32

34 6. Folgerungen Definition 6.1. (1) Eine Formel F folgt aus der Formel G, in Symbolen G = F, wenn jede zu F und G passende Belegung, die G wahr macht, macht auf F wahr. (2) Allgemein, gegeben eine Menge Γ von Formeln, ist F eine Folgerung aus Γ, Γ = F wenn F unter jeder passenden Belegung wahr ist, unter der alle Formeln aus Γ wahr sind. Beispiel 6.2. (1) A B = A. (2) Wenn die Menge Γ leer ist, ist F eine Folgerung genau wenn sie eine Tautologie ist. Deswegen benutzt man für Tautologien die Notation Notation 6.3. Für endliche Mengen Γ = {G 1,..., G n } lässt man die Mengenklammern weg und schreibt G 1,..., G n = F. Die Ausdrücke Γ = F heißen Sequenzen. Beispiel 6.4. (a) A, B = A B. (b) A B, A = B = F (c) Wenn es regnet, gehe ich ins Kino. Die können wir als Implikation R K darstellen. Gilt auch R K? Nein: Jemand, der den Satz behauptet hat, kann trotzdem bei Regen zu Hause bleiben er hat einfach gelogen. Der nächste Satz bedeutet, dass zwischen den Symbolen und = ist eine ähnliche Beziehung wie zwischen und : Satz 6.5. Es gilt A = F gdw A F eine Tautologie ist. 33

35 Beweis: Die Implikation A F ist eine Tautologie wenn für jede passende Belegung α für A und F ist α(f ) = 1 oder α(a) = 0. Dies sagt genau, dass jede passende Belegung α mit α(a) = 1 erfüllt α(f ) = 1. Satz 6.6. Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent. und (a) A, B = F (b) A B = F (c) A = B F Beweis: (b) besagt, dass jede für A, B, F passende Belegung α mit α(a B) = 1 erfüllt α(f ). Dies ist äquivalent zu (b), denn âlpha(a B) = 1) bedeutet, dass A und B wahr sind. (c) besagt, dass jede für A, B, F passende Belegung α mit α(a) = 1 erfüllt, wenn α(b) = 1, dann α(f ) = 1. Dies ist auch zu (a) äquivalent. Satz 6.7. Es gilt C 1,..., C n = F gdw n i=1 C i = F. Beweis: Durch Induktion in n. Falls n = 0 ist n i=1 C i = und es gilt: F ist eine Tautologie gdw = F. Induktionsschritt: wir setzen Aus Satz 6.6 wissen wir, dass n+1 i=1 A = n C i und B = C n+1 i=1 C i = F gdw n C i = C n+1 F i=1 Nach Induktionsvoraussetzung ist dies äquivalent zu C 1,..., C n = C n+1 F Dies besagt, dass für jede zu C i und F passende Belegung α mit C 1,..., C n wahr gilt: ist C n+1 wahr, so ist auch F wahr. Und das ist genau C 1,..., C n+1 = F. Beispiel 6.8. Formen wir die Menge Γ aller Aussagen, die nur oder als Junktoren enthalten. Ist die Sequenz Γ = F G (F, G Atome) gültig? Ja, denn jede Belegung, die G wahr macht, macht F G wahr. Und falls eine Belegung aller Formeln aus Γ wahr macht, macht sie auch G wahr. 34

36 Für die Menge Γ aller Literale ist die Sequenz Γ = gültig? Ja, weil keine Belegung alle Formeln aus Γ wahr macht: für jedes Atom A enthält Γ die Formeln A sowie A! Im vorigen Beispiel ist Γ eine unendliche Menge. Wir wollen jetzt beweisen, dass die Gültigkeit einer Sequenz Γ = F mit endlichen Untermengen von Γ immer überprüft werden kann. Bemerkung 6.9. Für jede Formel G in Γ ist es klar, dass wenn G = F gültig ist, auch Γ = F gültig ist. Denn eine Belegung, die alle Formeln aus Γ wahr macht, macht G wahr und somit auch F wahr. Allgemeiner, gegeben G 1,..., G n in Γ dann wenn G 1,..., G n = F gültig ist, ist Γ = F gültig. Hier ist eine Umkehrung: Kompaktheitssatz Wenn Γ = F gibt es eine endliche Menge G 1,..., G n von Formeln aus Γ so dass G 1,..., G n = F. Beweis. (a) Nehmen wir erst an, dass alle Formeln aus Γ {F } nur k Atome enthalten. Nach Bemerkung 3.5 gibt es dann eine Menge von n 2 2k Formeln G i in Γ zu denen alle anderen äquivalent sind. Dann ist aber G 1,..., G n = F gültig: jede Belegung, die G 1,..., G n wahr macht, macht auch alle Formeln in Γ wahr und dann ist F wahr. (b) Sei A 1, A 2 A 3... eine unendliche Menge aller Atome in Formeln aus Γ {F }. Wir benutzen Beweis durch Widerspruch: angenommen, dass für jede endliche Menge Γ 0 Γ die Sequenz Γ 0 = F ungültig ist, beweisen wir, dass Γ = F auch ungültig ist. Bezeichnen wir durch Γ k die Menge alle Formeln aus Γ, die nur Atome aus {A 1,..., A k } benutzen. Aus Fall (a) wissen wir, dass die Sequenz Γ k = F nicht gültig ist. Dies bedeutet, dass es eine Belegung α k der Atome A 1,..., A k gibt mit α k (F ) = 0 und α(g) = 1 für alle G Γ k Wir definieren eine Belegung α aller Variablen A 1, A 2, A 3... die beweist, dass Γ = F ungültig ist. Wir haben die obere Liste von Belegungen α 1, α 2, α Wir setzen erst { 1 falls αk (A α(a 1 ) := 1 ) = 1 für unendlich viele Indexe k 0 sonst Jetzt entfernen wir alle Belegungen α k mit α(a 1 ) α k (A 1 ) aus unserer Liste von Belegungen. Es bleiben unendlich viele Belegungen α k und wir setzen { 1 falls αk (A α(a 2 ) := 2 ) = 1 für unendlich viele Indexe k 0 sonst 35

37 usw. Die Belegung α hat die folgende Eigenschaft: für jede Zahl n sind die Werte α(a 1 ),..., α(a n ) gleich denen von α k (A 1 ),..., α k (A n ), für unendlich viele Indexe k. Die Formel F enthält nur endlich viele Atome. Es gibt deswegen n so dass alle diese Atome in {A 1,..., A n } liegen. Wir nehmen ein k n mit α(a i ) = α k (A i ) für i = 1,..., n. Dann gilt α(f ) = α k (F ). Aus der Wahl der Belegung α k wissen wir dann, dass dann α(f ) = 0. Und für jede Formel G in Γ gilt α(g) = 1 denn auch G enthält nur endlich viele Atome und es gibt deswegen einen Index l mit α(g) = α l (G) = 1. Die Belegung α macht alle Formeln in Γ wahr und F falsch. Dies ist der erwünschte Widerspruch zur Gültigkeit von Γ = F. 36

38 7. Natürliche Deduktion Die Natürliche Deduktion ist eine Methode zu testen, ob eine Formel eine Tautologie ist. Und im allgemeinen, ob eine gegebene Sequenz Γ = F gültig ist. In der Natürliche Deduktion benutzt man die Junktoren,,, und. Nur wird durch (A B) (B A) ersetzt, bevor wir mit der Prüfung beginnen. Die Regeln der natürlichen Deduktion haben die Form P 1 Q oder P 1 P 2 Q oder P 1 P 2 P 3 Q wobei P i die Prämissen der Regel sind und Q die Folgerung. Die Regel P 1 Q bedeutet, dass gegeben eine Sequenz Γ = F, falls P 1 in Γ liegt, Γ = Q gültig ist. Analog mit den anderen Formen der Regel: falls alle Prämissen in Γ liegen, ist Γ = Q gültig. 7.i Regeln für die Konjunktion Für die Konjunktion können wir feststellen, dass wenn G und H in Γ liegen, dann ist die Sequenz Γ = G H gültig. Dies schreiben wir als die Regel: G G H H Oberhalb der Linie steht das, was vor der Anwendung der Regel als Formeln bewiesen sein muss, also die Regel-Prämissen. Unterhalb der Linie steht die Regel- Folgerung, also das, was wir nach Anwendung der Regel als bewiesen annehmen dürfen. Diese Regel, nennen wir Introduktion der Konjunktion oder kürzer i. 37

39 Wir benötigen jedoch auch eine Regel, um streichen zu können. Wir nennen sie die Elimination der Konjunktion bzw. e und sie sieht so aus: G H G Die behauptet, dass falls G H in Γ liegt, die Sequenz Γ = G gültig ist. Da aussagt, dass beide Seiten wahr sind, benötigen wir noch die folgende Variante der Regel: Wir bezeichnen beide Varianten mit e. G H H Definition 7.1. Die Regeln der Konjunktion lauten und und i G e e G H H G H G G H H Mit diesen ersten Regeln der Natürlichen Deduktion lässt sich bereits etwas beweisen. Beispiel 7.2. Wir demonstrieren das Verfahren an der Assoziativität der Konjunktion. Wir wollen beweisen, dass die Sequenz gültig ist. Der Beweis sieht so aus: F (G H) = (F G) H 1 F (G H) Prämisse der Sequenz 2 F e, Zeile 1 3 G H e, Zeile 1 4 G e, Zeile 3 5 H e, Zeile 3 6 F G i, Zeilen 2 und 4 7 (F G) H i, Zeilen 6 und 5 Wie in diesem Beispiel, werden zu jeder Regel immer auch die Zeilen angegeben, in denen man die Regel-Prämissen findet. Im Folgenden lassen wir das Wort Zeile jedoch weg. Beispiel 7.3. Als weiteres Beispiel soll die Kommutativität von bewiesen werden: H G = G H 38

40 Beweis. 1 H G Prämisse 2 H e, 1 3 G e, 1 4 G H i, 3, 2 7.ii Regeln der Implikation Auch für die Implikation haben wir zwei Regeln: die Elimination, die uns erlaubt aus Γ und G H etwas abzuleiten, und die Introduktion, die umgekehrt aus Γ die Formel G H ableitet. Die erste Regel ist ziemlich klar: G H H G Diese Regel heißt Elimination der Implikaton, oder modus ponens. Sie besagt, dass falls in einer Menge Γ von Formeln G H sowie G liegen, dann ist die Sequenz Γ = H gültig. Die Introduktion der Implikation wollen wir erst auf einem Beispiel illustrieren: Wir haben einen Beweis dass aus H G die Formel G H folgt in Beispiel 7.3 präsentiert. Dies erlaubt uns zu behaupten, dass die Implikation H G G H eine (bewiesene) Tautologie ist. Hier ist die allgemeine Form der Introduktion: G. H G H i Diese Regel sagt: falls ein Beweis, dass aus der Formel G die Formel H folgt vorliegt, ist dadurch die Implikation G H bewiesen. Der Kasten über der horizontalen Linie steht immer für einen formalen Beweis, wobei die erste Zeile, die sogenannte Kasten-Prämisse, keine Begründung braucht. Aber G darf nicht außerhalb des Kastens benutzt werden. Definition 7.4. Die Regeln der Implikation lauten: e G H H G 39

41 und i G. H G H Beispiel 7.5. Wir beweisen die Gültigkeit der Sequenz Beweis: F G, F H = F G H 1 F G Prämisse 2 F H Prämisse 3 F Kasten-Prämisse 4 G e, 1, 3 5 H e, 2, 3 6 G H i, 4, 5 7 F G H i, 3 6 Beachten sie, dass in der letzten Zeile neben i alle Zeilen angegeben werden, über die sich der Kasten erstreckt. Hinweis: Keine Zeile, die in einem Kasten liegt, darf ausserhalb des Kastens (als begründung) benutzt werden. Kästen dürfen hierarchisch verschachtelt werden. Innerhalb eines Kastens darf ein anderer eröffnet werden, dieser muss allerdings vor dem äußeren wieder geschlossen werden. D.h. die Linien der Kästen dürfen sich nicht kreuzen. Beispiel 7.6. F G H = F (G H) 40

42 Beweis. 1 F G H Prämisse 2 F Kasten-Prämisse 3 G Kasten-Prämisse 4 F G i, 2, 3 5 H e, 1, 4 6 G H i, F (G H) i, 2 6 Beispiel 7.7. Wir wollen die Gültigkeit der Sequenz F G H = (H G) F beweisen: 1 F G H Prämisse 2 H G Kasten-Prämisse 3 4??? 5 6 F Wie kann man von H G zu F gelangen? Das scheint nicht zu funktionieren. In der Tat ist die Sequenz nicht gültig. Dies zeigt die Belegung α(f ) = 0, α(g) = 1 = α(h), für die gilt, dass α(f G H) = 1 aber α(h G) = 0. Daher immer zuerst aufpassen, ob man nicht versucht, eine ungültige Sequenz zu beweisen. 7.iii Formale Beweise Achtung: Wir haben zwei Typen von Beweisen angetroffen: (a) Die üblichen mathematischen Beweise, wie für Satz??, die den Leser überzeugen sollen, dass etwas gilt. (b) Formale Beweise der Natürlichen Deduktion, die die Gültigkeit einer Sequenz nachweisen. Dies passiert dabei so streng, dass ein Rechner dies nachvollziehen kann. Ein formaler Beweis der Sequenz Γ = F ist eine durchnummerierte Liste von Formeln, wobei F in der letzten Zeile steht. Die Liste ist in hierarchische organisierten Kästen dargestellt, so dass die letze Zeile in keinem Kasten steht. In jeder Zeile des Beweises steht eine Formel, die 41

43 in Γ liegt (Prämissen), oder die erste Zeile eines Kastens formt (Kasten-Prämissen), oder eine Begründung trägt, wie diese Zeile aus den davorliegenden durch Anwendung der Regeln folgt. Bezieht sich die Begründung einer Zeile i auf eine Zeile, die in einem Kasten liegt, dann muss auch die Zeile i in diesem Kasten liegen. 7.iv Regeln der Disjunktion Umgekehrt als im Fall der Implikation ist die Introduktion der Disjunktion klar, aber die Elimination etwas schwieriger. Wir wissen, dass Γ = G H gültig ist wenn G oder Hin Γ liegen. Die ergibt die Introduktionsregel G G H oder H G H In der Elimination nehmen wir an, dass Γ die Formel G H enthält. Für welche Formeln K können wir behaupten, dass die Sequenz Γ = K gültig ist? Dazu reicht es, einen Beweis von K aufgrund von G zu besitzen, sowie ein aufgrund von H. Symbolisch: e G H.. G H K K K Definition 7.8. Die Regeln der Disjunktion sind: und und e Beispiel 7.9. Die Implikation i i G G H H G H G H.. G H K K K G H G H 42

44 ist eine Tautologie. In der Tat, hier ist ein Beweis (ohne Prämissen): 1 G H Kasten-Prämisse 2 G e, 1 3 G H i, 2 4 G H G H := i1 3 Beispiel Wir beweisen, dass kommutativ ist: G H = H G 1 G H 2 H Kasten-Prämisse 3 H G i, 2 4 G Kasten-Prämisse 5 H G i, 4 6 H G e, 1, 4 5, 2 3 Beispiel Wir beweisen eines der Distributivgesetze: F (G H) = (F G) (F H) 1 F (G H) Prämisse 2 F Kasten-Prämisse 3 F G i, 2 4 G H Kasten-Prämisse 5 G e, 4 6 F G i, 5 7 F G e, 1, 2 3, F Kasten-Prämisse 9 F H i, 8 10 G H Kasten-Prämisse 11 H e, F H i, F H e, 1, 8 9, (F G) (F H) i, 7, 13 43