Inhalt. Teil I: Formale Grundlagen der Informatik I Endliche Automaten und formale Sprachen. Teil II: Formale Grundlagen der Informatik II

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1 Inalt Teil I: Formale Grundlagen der Informatik I Endlice Automaten und formale Spracen Teil II: Formale Grundlagen der Informatik II Martin Otto Logik in der Informatik Professor für Matematisce Logik und Grundlagen der Informatik TUD, Facbereic Matematik Sommer Einfürung Transitionssysteme Wörter über endlicen Alpabeten informelle Beispiele 1 Mengen, Relationen, Funktionen,... matematisce Grundbegriffe elementare Mengen-Operationen algebraisce Strukturen und Homomorpismen elementare Beweismetoden Beweise mittels Induktion Beispiele FGdI I Sommer 2010 M Otto 2/136 Inalt: FGdI I 2 Endlice Automaten Reguläre Spracen Automaten, Wörter, Spracen reguläre Spracen endlice Automaten als rudimentäres Berecnungsmodell deterministisce und nict-deterministisce Automaten Automatenteorie Satz von Kleene Satz von Myill-Nerode 3 Grammatiken und die Comsky-Hierarcie Grammatiken und Normalformen Stufen der Comsky-Hierarcie kontextfreie/kontextsensitive Spracen 4 Berecnungsmodelle endlice Automaten, Kellerautomaten, Turingmascinen Turingmascinen als universelles Berecnungsmodell Aufzälbarkeit, Entsceidbarkeit, Grenzen der Berecenbarkeit FGdI I Sommer 2010 M Otto 3/136 Literatur J. Hopcroft, R. Motwani, and J. Ullman: Introduction to Automata Teory, Languages, and Computation, Addison-Wesley, 2nd ed., (inzwiscen auc in deutscer Ausgabe) U. Scöning: Teoretisce Informatik kurzgefasst, Spektrum, 4. Aufl., I. Wegener: Teoretisce Informatik eine algoritmenorientierte Einfürung, Teubner, H.R. Lewis and C.H. Papadimitriou: Elements of te Teory of Computation, Prentice Hall, 2nd ed., FGdI I Sommer 2010 M Otto 4/136

2 w Kap. 0: Einfürung Transitionssysteme: Beispiel Beispiel Kapitel 0: Einfürung und Beispiele Weckzeit-Kontrolle eines Weckers H = {0,..., 23} Zustände: (, m, q) m M = {0,..., 59} q {SETH, SETM, NIL, ERROR} Aktionen/Operationen: set, setm, +,, set, reset Typisce Transitionen z.b.: set (, m, NIL) (, m, SETH) (in den H-Setzen Modus) set (, m, SETH) (, m, NIL) (Ende H-Setzen Modus) set (, m, SETH) (, m, ERROR) (bereits in H-Setzen Modus) (, m, NIL) (, m, SETH) (, m, ERROR) + (, m, ERROR) (da nict in Setzen Modus) + (( + 1)mod 24, m, SETH) (H vorstellen) reset (0, 0, NIL) (reset) FGdI I Sommer 2010 M Otto 6/136 Kap. 0: Einfürung Transitionssysteme: Beispiel Beispiel Mann/Wolf/Hase/Kol Zustände: Verteilungen von {m, w,, k} rects/links symbolisiert durc Objekte [m, w,, k ],..., [m, w, k],... erlaubte Zustände: recte und linke Seiten [w, ], [, k], [w,, k] Transitionen: Änderung der Verteilung durc Bootsfarten, z.b. [m, w,, k ] [m, w,, k ] k [w, m, k] m transportiert k [w,, k m] m färt one Passagier FGdI I Sommer 2010 M Otto 7/136 Kap. 0: Einfürung Mann/Wolf/Hase/Kol das vollständige Transitionssystem auf den erlaubten Zuständen [k m, w, ] [m, w,, k ] [w, k m, ] [m, w, k ] w k [m,, k w] k [ m, w, k] [m, w, k] [ m, w,, k] [w m,, k] [m, w, k] FGdI I Sommer 2010 M Otto 8/136

3 [k m, w, ] [m,, k w] [m, w,, k ][m, w,, k ] w k [w, k m, ] [m, w, k ] [ m, w, k] [m, w, k] [ m, w,, k][ m, w,, k] k w [w m,, k] [m, w, k] START Ziel Kap. 0: Einfürung Alpabete/Wörter/Spracen Definition Alpabet: nict-leere, endlice Menge Σ; a Σ: Bucstabe/Zeicen/Symbol Σ-Wort: endlice Sequenz von Bucstaben aus Σ, w = a 1... a n mit a i Σ Menge aller Σ-Wörter: Σ leeres Σ-Wort: ε Σ Σ-Sprace: Teilmenge L Σ, eine Menge von Σ-Wörtern FGdI I Sommer 2010 M Otto 10/136 Kap. 0: Einfürung Beispiel Übung Σ Alpabet, a Σ. Aufgabe: finde ein möglicst einfaces System, das auf einen (online fortlaufenden) Strom von Signalen aus Σ zu jedem Zeitpunkt die Information bereitält, ob die Anzal der biser eingetroffenen a durc 3 teilbar ist. Kapitel 1: Matematisce Grundbegriffe Mengen, Relationen, Funktionen, Strukturen,... elementare Beweistecniken a-zäler mit Teilbarkeitstest? Reicen endlic viele Zustände? Wieviele mindestens? Wie verält sic Rest bzgl. Division durc 3 unter Konkatenation? FGdI I Sommer 2010 M Otto 11/136

4 Georg Cantor ( ) = { } B = {0, 1} Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, woluntersciedenen Objekten unserer Anscauung oder unseres Denkens, welce Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen die leere Menge Beispiele/Standardmengen Menge der Boolescen (Wareits)werte N = {0, 1, 2,...} Menge der natürlicen Zalen (mit 0) Z / Q / R Mengen der ganzen/rationalen/reellen Zalen FGdI I Sommer 2010 M Otto 13/136 Mengenbegriff (Cantor) unstrukturierte Sammlung von Objekten (Elementen); z.b. A = {a, b, c} = {b, a, a, c} die Gesamteit irer Elemente legt die Menge fest (Extensionalität) über naiv aufzälende Spezifikation und die einfacsten Operationen inausgeende Prinzipien (v.a. für die Existenz unendlicer Mengen) axiomatisce Mengenlere (Zermelo, Fraenkel, ZFC) FGdI I Sommer 2010 M Otto 14/136 Mengen/Mengenoperationen Abscnitt Mengen A, B,... Elementbezieung: a A bzw. a A für nict a A Teilmengenbezieung (Inklusion): B A z.b. {0, 1} N Z Potenzmenge: P(A) = {B : B A} die Menge aller Teilmengen von A Mengengleiceit: A = B gdw (A B und B A) [genau dieselben Elemente] Extensionalität Boolesce Mengenoperationen Durcscnitt: A B = {c : c A und c B} A, B disjunkt gdw A B = Vereinigung: A B = {c : c A oder c B} Mengendifferenz: A \ B = {a A: a B} Komplement: für Teilmengen einer festen Menge M, d.. in P(M): B := M \ B [Komplement bzgl. M] Definition von Teilmengen: B := {a A: p(a)} für eine Eigenscaft p FGdI I Sommer 2010 M Otto 15/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 16/136

5 Boolesce Mengenoperationen, Bemerkungen große Vereinigungen/Durcscnitte über beliebige Familien von Mengen (A i ) i I : i I A i = { a: a A i für mindestens ein i I } i I A i = { a: a A i für alle i I } Beispiele: Σ = n N Σn Σ + = Σ \ {ε} = {w Σ : w 1} = n1 Σn Tupel und Mengenprodukte geordnete Paare: (a, b) mit erster Komponente a, zweiter Komponente b n-tupel: (a 1,..., a n ) mit n Komponenten (n N, n 2) Kreuzprodukt (kartesisces Produkt): A B = {(a, b): a A, b B} A 1 A 2 A n = { (a 1,..., a n ): a i A i für 1 i n } A n = A A A }{{} n mal Menge aller n-tupel über A. Bemerkung: wir identifizieren n-tupel über Σ mit Σ-Wörtern der Länge n und Wörter der Länge 1 mit Bucstaben, Σ 1 = Σ. FGdI I Sommer 2010 M Otto 17/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 18/136 Relationen über einer Menge A Abscnitt n-stellige Relation: R A n Menge von n-tupeln über A Beispiele: Kantenrelation eines Grapen, Präfixrelation auf Σ, Ordnungsrelationen, Äquivalenzrelationen,... Kantenrelationen in Grap/Transitionssystem: (u, v) E bescreibt E-Kante u Präfixrelation auf Σ : u v gdw. u Anfangsabscnitt (Präfix) von v = { (u, uw): u, w Σ } Σ Σ oft auc infixe Notation: arb statt (a, b) R E v Äquivalenzrelationen wictige potentielle Eigenscaften für 2-stelliges R A 2 : Reflexivität: Symmetrie: Transitivität: für alle a A gilt: ara. für alle a, b A gilt: arb bra. für alle a, b, c A gilt: (arb und brc) arc. z.b. Präfixrelation: reflexiv und transitiv, nict symmetrisc Äquivalenzrelation auf R A 2 : reflexiv, symmetrisc und transitiv Beispiele: Gleiceit (über A), Längengleiceit über Σ, gleicer Rest bei Division durc n über N oder Z,... Idee: Äquivalenzrelationen als verallgemeinerte Gleiceiten FGdI I Sommer 2010 M Otto 19/136 FGdI I Sommer 2010 M Otto 20/136

6 Äquivalenzklassen: für Äquivalenzrelation R A 2 auf A, a A: [a] R := { b A: arb } die Äquivalenzklasse von a wictig: A wird durc die Äquivalenzklassen in disjunkte Teilmengen zerlegt (Lemma 1.1.8), sodass A A/R arb gdw [a] R = [b] R a a b c [a] [b] [c] FGdI I Sommer 2010 M Otto 21/136 Äquivalenzrelationen: Quotient, natürlice Projektion Quotient A/R : die Menge aller Äquivalenzklassen von R, A/R := { [a] R : a A } die natürlice Projektion π R : A A/R a [a] R = { b A: arb } ordnet jedem Element seine Äquivalenzklasse zu A A/R a a b c [a] [b] [c] FGdI I Sommer 2010 M Otto 22/136 Kap 1: Grundbegriffe Funktionen Funktionen und Operationen Abscnitt Funktion f von A nac B: f : A B a f (a) a B A f (a) f (a) ist das Bild von a unter f ; a ein Urbild von b = f (a). wesentlic: eindeutig definierter Funktionswert f (a) B für jedes a A A: Definitionsbereic B: Zielbereic f (a) Bild von a unter f. f [A] := {f (a): a A} B Bild(menge) von f. FGdI I Sommer 2010 M Otto 23/136 Kap 1: Grundbegriffe Funktionen Funktionen, Operationen, Beispiele n-stellige Funktion auf A: Funktion f : A n B. n-stellige Operation auf A: Funktion f : A n A. Beispiele: Addition, Multiplikation auf N, Z,... Beispiel Konkatenation auf Σ : : Σ Σ Σ (u, v) u v (= uv). Für u = a 1... a n ; v = b 1... b m ist uv := a 1... a }{{ n b } 1... b }{{ m } u v FGdI I Sommer 2010 M Otto 24/136