Hausübung 4 (Musterlösung )

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1 SoSe 2014 Konzepte und Methoden der Systemsoftware Universität Paderborn Fachgebiet Rechnernetze Hausübung 4 (Musterlösung ) bis Hausübungsabgabe: Format: Lösungen in schriftlicher oder gedruckter Form abgeben. Quelltext wird digital abgegeben, siehe separate Beschreibung am Ende es Übungszettels. Ort: Lösung in markiertem Kasten in D3 Flur einwerfen. Uhrzeit: Annahme der Abgaben bis Montag, , 08:00 Uhr (s.t.) Gruppen: Geben Sie Ihre Namen, Matrikelnummern und ggf. IMT- -Addressen auf der Lösung an. Maximal 4 Personen pro Lösung. Eindeutig: Geben Sie höchstens eine Lösung zu einer Aufgabe ab. Aufgabe 1: Bankier-Algorithmus 15 P. Die folgenden Matrizen geben für vier Prozesse (a,b,c,d) und vier Betriebsmitteltypen (W,X,Y,Z) an, welche und wie viele Betriebsmittel die Prozesse maximal anfordern (Gesamtforderungsmatrix G), welche sie gerade belegt haben (aktuelle Belegung B) und wie viele Betriebsmittel insgesamt verfügbar sind (v). G = B = v = a b c d a b c d ( ) (a) Berechnen Sie aus diesen Angaben die Restforderungsmatrix R und den Vektor der momentan freien Betriebsmittel f. R = G B = a b c d f = ( ) (b) Was ist die Bedingung dafür, dass der Bankier-Algorithmus einen Belegungszustand als unsicher bewertet? KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 1/12

2 (c) Der Bankier-Algorithmus findet keine gültige Reihenfolge, in der die Restforderungen abgearbeitet werden können, d.h. egal in welcher Reihenfolge die Anforderungen abgearbeitet werden, gerät der Algorithmus immer in eine Situation in der f keine der Zeilen in R erfüllen kann. Prüfen Sie schrittweise mit Hilfe des Bankier-Algorithmus, ob der aktuelle Zustand sicher ist. Geben Sie entweder eine gültige Abarbeitungsreihenfolge der Prozesse an oder geben Sie an, an welcher Stelle Sie festgestellt haben, dass nicht alle Prozesse beendet werden können. Geben Sie nach jedem Schritt die neuen Werte für R und f an. 1. Ausgangssituation: R = a b c d f = ( ) (4 P.) 2. Wähle Prozess b (frei vs. benötigt: f R[b]): Prozess b bekommt Ressourcen R[b] und gibt seine Ressourcen B[b] wieder frei. R = a b c d f = ( ) 3. Wähle Prozess d (frei vs. benötigt: f R[d]): Prozess d bekommt Ressourcen R[d] und gibt seine Ressourcen B[d] wieder frei. R = a b c d f = ( ) 4. Wähle Prozess c (frei vs. benötigt: f R[c]): Prozess c bekommt Ressourcen R[c] und gibt seine Ressourcen B[c] wieder frei. R = a b c d f = ( ) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 2/12

3 5. Wähle Prozess c (frei vs. benötigt: f R[a]): Prozess a bekommt Ressourcen R[a] und gibt seine Ressourcen B[a] wieder frei. R = a b c d f = ( ) (d) (e) (f) (g) Angenommen, ein Belegungszustand wurde als unsicher bewertet: Könnte es helfen, einen Prozess vorzeitig zu beenden, um ihm die Ressourcen zu entziehen? Erläutern Sie kurz. Im Allgemeinen könnte es helfen, wenn dadurch genug Ressourcen frei würden, dass alle andere Prozess laufen könnten. Angenommen, der Bankier-Algorithmus stellt fest, dass eine Belegungssituation sicher ist. Ist damit sichergestellt, dass im weiteren Programmablauf keine Verklemmung auftritt? Erläutern Sie kurz. Nein, es ist nur sichergestellt, dass eine Ausführungsreihenfolge existiert, die nicht zu einer Verklemmung führt. In realen Systemen wird der Bankier-Algorithmus kaum eingesetzt, obwohl er zuverlässig vor Verklemmungen schützen kann. Welches Problem besteht bei der Umsetzung des Bankier-Algorithmus für z.b. Verwaltung von Arbeitsspeicher im PC? Bei der Ausführung eines Prozesses ist nicht vorhersehbar, welche Ressourcen dieser noch während seiner Laufzeit anfordern wird. Der Bankier-Algorithmus trifft bestimmte Annahmen über das Prozessverhalten. In realen Systemen könnte dies dazu führen, dass ein als unsicher bewerteter Zustand trotzdem nicht zu einem Deadlock führt. Nennen Sie diese Annahmen. Ressourcen werden wieder freigegeben, nachdem der Prozess terminiert. Somit gibt ein Prozess keine Betriebsmittel wieder heraus, wenn er dieses einmal bekommen hat. Es gibt keine Möglichkeit einem Prozess Ressourcen wieder zu entziehen. KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 3/12

4 Aufgabe 2: Würfeln 20 P. Bei einem bekannten Kartenspiel muss ein Helden in einem Labyrinth voller Gefahren überleben. Eine der Gefahren sind aggressive Monster, die den Helden angreifen. Ist das Monster zu stark, bleibt dem Helden nur die Flucht. Erfolgreich geflohen ist der Held, wenn der Spieler mindestens eine 5 auf einem 6-seitigen Würfel erwürfelt hat. Hinweis: Der Würfel ist nicht manipuliert, d.h. alle Zahlen 1 6 sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment). (a) Modellieren Sie das Zufallsexperiment: i. Geben Sie den Ereignisraum des Würfelwurfs an: S = {1,2,3,4,5,6} Geben Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse an: P ( X = i) = P ({i}) = 1 6, i S i iv. Erklären Sie kurz, welches Ereignis mit A = {1,3} gemeint ist. In einem Ereignis (Würfelwurf) ist das Ereignis 1 oder 3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass der Held erfolgreich flieht: P (fliehen) = P ({5,6}) = P (X 5) = P ({5}) + P ({6}) = 1 3 (b) Wenn ein Monster von dem Helden bezwungen wurde, darf der Held das Lager des Monsters durchsuchen, um nützlichen Gegenstände zu finden und zu behalten; der Spieler zieht neue Ausrüstungskarten. Der Spieler zieht vier Karten, muss sich aber für eine der Karten entscheiden (Spielregel). Die Frage ist nun, welche dieser Karten gibt dem Helden den größten Vorteil? i. Die erste Karte erlauben Folgendes: Die Augenzahlen des Würfelwurfs werden erst um +1 erhöht und danach wird überprüft, ob sie mindestens 5 erreicht haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held? P (fliehen α ) = P ({4,5,6}) = P (X 4) = P ({4}) + P ({5}) + P ({6}) = 1 2 i Die zweite Karte erlaubt Folgendes: Eine Augenzahl von 5 6 führt zum Erfolg und bei einer 1 4 darf einmalig noch einmal gewürfelt werden. Die Flucht ist erfolgreich mit einer 5 6 im zweiten Wurf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held? P (fliehen β )? Fallunterscheidung notwendig: 1. Erster Wurf erfolgreich: P ({5,6}) = 2 6 = 3 9 = P (A 1) 2. Erster Wurf nicht erfolgreich, zweiter Wurf erfolgreich: (1 P (A 1 )) P ({5,6}) = = 2 9 = P (A 2) P (fliehen β ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) = 5 9 Zwei unabhängigen Zufallsexperimenten: P (B 1 )P (B 2 ) Die dritte Karte erlaubt Folgendes: Eine Augenzahl von 5 6 führt zum Erfolg. Bei einer 1 4 wird einmalig erneut gewürfelt; Erfolg im zweiten Wurf hat 1. eine ungerade Zahl, wenn im ersten Wurf schon eine ungerade Zahl gewürfelt wurde. 2. eine 6, wenn im ersten Wurf eine gerade Zahl gewürfelt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held? P (fliehen γ )? Fallunterscheidung: 1. Erster Wurf erfolgreich: P ({5,6}) = 2 6 = 3 9 (4 P.) (6 P.) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 4/12

5 (c) iv. 2. Erster Wurf ungerade P ({1,3}), zweiter Wurf erfolgreich mit ungeraden Zahlen P ({1,3,5}) 3. Erster Wurf gerade P ({2,4}), zweiter Wurf erfolgreich mit 6 P ({6}) P (fliehen γ ) = P ({5,6}) + P ({1,3})P ({1,3,5}) + P ({2,4})P ({6}) = = 5 9 Die vierte Karte erlaubt Folgendes: Es muss zweimal gewürfelt werden und beide Mal muss mindestens eine 5 gewürfelt werden. Einmal darf im ersten oder zweiten Wurf (aber nicht in Beiden) auch eine 4 gewürfelt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit flieht ihr Held? P (fliehen δ )? Wahrscheinlichkeit für beide mal 5 6 (zu viel); minus Wahrscheinlichkeit für einmalig 4: P ({4,5,6})P ({4,5,6}) P ({.,4}) = = 2 9 Welche Karte hat nun die größte Erfolgswahrscheinlichkeit zur Flucht? Mit der dritte Karte: P (fliehen β ) = P (fliehen γ ) = 5 9 > 1 2 (3 P.) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 5/12

6 Aufgabe 3: Lehrveranstaltung 25 P. Zur Verbesserung der Lehre hat die Universität eine Untersuchung der Lehrveranstaltungen durchgeführt. Dabei wurde erhoben, ob Studenten Hausübungszettel gemacht hatten, ob sie in der Zentralübung waren und ob sie die Klausur bestanden hatten. Folgende Tabelle beschreibt die Studentenverteilung auf die fünf Gruppen und wie viel der Studenten einer Gruppe bestanden haben. Anteil aller Studenten Hausaufgaben Zentralübung Bestanden 10% persönlich gelöst zugehört 80% 20% abgeschrieben zugehört 50% 20% abgeschrieben nicht zugehört 30% 10% nichts abgegeben zugehört 40% 40% nichts abgegeben nicht zugehört 20% (a) Modellieren Sie das Zufallsexperiment: i. Wie viele Zufallsexperimente enthält die Tabelle? Wie sieht der Ereignisraum aus? (3 P.) 3 Zufallsexperimente: S Hausaufgaben = {persönlich, abgeschrieben, nicht} S Zentralübung = {zugehört, nicht} S Bestanden = {ja, nein} S = S Hausaufgaben S Zentralübung S Bestanden, S = = 12 Beispiel: Student der persönlich Hausaufgaben gelöst hat und in der Zentralübung war, aber dennoch die Klausur nicht bestanden hat: (persönlich, zugehört, nein) S Rahmenbedingung: 1 = e S P (e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Student die Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung zugehört? P ( Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung zugehört ) = P ({persönlich, zugehört, ja),(persönlich, zugehört, nein)}) = die Hausaufgaben abgeschrieben und in der Zentralübung zugehört? A = die Hausaufgaben abgeschrieben und in der Zentralübung zugehört P (A) = 0.2 = P ({(abgeschrieben, zugehört, ja),(abgeschrieben, zugehört, nein)})... die Hausaufgaben nicht abgegeben und in der Zentralübung zugehört? P ({(nicht, nicht, ja),(nicht, nicht, nein)}) = die Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung nicht zugehört? P ({(persönlich, nicht, ja),(persönlich, nicht, nein)}) = 0 i Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine StudentIn die Klausur bestanden, wenn sie vorher die Hausaufgaben persönlich gelöst hatte und in der Zentralübung zugehört hatte? B = Bestanden = {(ja,x,y) x S Hausaufgaben,y S Zentralübung } P (B {(persönlich, zugehört,z) z S Bestanden }) = P ( Bestanden ( Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung zugehört ) = P ({ja} {(persönlich, zugehört, ja),(persönlich, zugehört, nein)}) = 0.8 (4 P.) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 6/12

7 ... die Hausaufgaben abgeschrieben hatte und in der Zentralübung zugehört hatte? A = die Hausaufgaben abgeschrieben und in der Zentralübung zugehört P (B A) = 0.5 = P ({ja} {(abgeschrieben, zugehört, ja),(abgeschrieben, zugehört, nein)}) = P (B {(abgeschrieben, zugehört,z) z S Bestanden })... die Hausaufgaben nicht abgegeben hatte und in der Zentralübung zugehört hatte? P ({ja} {(nicht, nicht, ja),(nicht, nicht, nein)}) = 0.4 = P (B {(nicht, nicht,z) z S Bestanden })... die Hausaufgaben persönlich gelöst und in der Zentralübung nicht zugehört? P ({ja} {(persönlich, nicht, ja),(persönlich, nicht, nein)}) = 0 = P (B {(persönlich, nicht,z) z S Bestanden }) (b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein (beliebiger) Student besteht? (Benutzen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.) (5 P.) B = {ja} (1) A 1 = {(persönlich, zugehört, ja),(persönlich, zugehört, nein)} (2) A 2 = {(abgeschrieben, zugehört, ja),(abgeschrieben, zugehört, nein)} (3) A 3 = {(abgeschrieben, nicht, ja),(abgeschrieben, nicht, nein)} (4) A 4 = {(nicht, zugehört, ja),(nicht, zugehört, nein)} (5) A 5 = {(nicht, nicht, ja),(nicht, nicht, nein)} (6) P (B) = i P (B A i )P (A i ) (7) = P (B A 1 )P (A 1 ) + + P (B A 5 )P (A 5 ) (8) = (9) = 0.36 (10) (c) Satz von Bayes: i. Wie lautet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit? P (A B) = P (A B) P (B) Der Satz von Bayes lautet formal für P (A) > 0,P (B) > 0: P (A B) = P (B A)P (A). P (B) Beschreiben Sie kurz, was Sie durch Anwenden des Satzes berechnen können? Man kommt von P (A B) nach P (B A) (wenn auch P (A),P (B) bekannt sind). Hat man die (bedingte) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignis A wenn ein anderes Ereignis B schon eingetreten ist, dann kann man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, wenn A schon passiert ist, berechnen. KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 7/12

8 i Beweisen Sie den Satz von Bayes aufbauend auf der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. P (B A)P (A) = P (A B) = P (B A) = P (A B)P (B) (11) P (B A)P (A) P (B) = P (A B) P (B) = P (A B) (12) (d) Besteht ein Student, mit welcher Wahrscheinlichkeit war er in welcher Gruppe? Rechnen Sie für jede Gruppe die Wahrscheinlichkeit aus. Gruppe A 1 : persönlich gelöste Hausaufgaben und in Zentralübung zugehört Gruppe A 2 : Hausaufgaben abgeschrieben und in Zentralübung zugehört Gruppe A 3 : Hausaufgaben abgeschrieben und in Zentralübung nicht zugehört Gruppe A 4 : Hausaufgaben nicht abgegeben und in Zentralübung zugehört Gruppe A 5 : Hausaufgaben nicht abgegeben und in Zentralübung nicht zugehört (6 P.) P (A i B) = P (A i)p (B A i ) P (B) (13) P (A 1 B) = = (14) 9 P (A 2 B) = (15) 0.36 P (A 3 B) = = (16) 6 P (A 4 B) = = (17) 9 P (A 5 B) = = (18) 9 KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 8/12

9 Aufgabe 4: Markov-Ketten 43 P. Ein Brettspiele-Entwickler bat Sie um Hilfe, um sein Brettspiel zu verbessern. Spielfiguren bewegen sich abwechselnd über N Felder. Die Felder sind in einem Kreis angeordnet: nach Feld N 1 kommt Feld 0. Spielfiguren fangen in Feld 0 an. Wie weit die Spielfiguren laufen, entscheidet ein Würfelwurf. Die Frage ist, welche Felder werden häufig und welche Felder sehr selten besucht. (a) Modellieren Sie das Spiel als Markov-Kette. Gegen Sie davon aus, 1. dass Sie zunächst allgemein N = 5 Felder haben und 2. dass ein W = 3 seitiger unmanipulierter Würfel geworfen wird. (Zahlen 1..W kommen gleichwahrscheinlich vor; Laplace Experiment) 3. dass vereinfacht nur eine Spielfigur betrachtet wird. i. Die Zustände beschreiben Spielfigur ist auf Feld i. Beschreiben Sie kurz wofür die Übergänge stehen. Die Würfelergebnisse bewegen die Spielfigur und sind die Übergänge zwischen den Zuständen. Zeichnen Sie die entsprechende Markov-Kette auf. (3 P.) i alle Kanten p=1/3 Geben Sie die Zustandsübergangsmatrix vollständig an. M = (19) iv. Geben Sie die Zustandsübergangsmatrix m ij mit beliebige N, W für N > W an. Nutzen Sie ggf. eine Fallunterscheidung. (4 P.) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 9/12

10 1/W if 0 < j i W m ij = 1/W if 0 < j + N i W 0 else { 1/W if j i mod N W = 0 else (20) (21) v. Begründen Sie kurz, ob die Gesamtwahrscheinlichkeit der Übergange aus einem Zustand immer noch 1 sind, 1 = j m ij, i. (Voraussetzung für eine gültige Markov- Kette.) vi. Zeilensumme der Matrix ist immer 1 durch die beiden Bedingungen (und weil N > W gilt) (1 P) Ein Kommilitone behauptet 1 = i m ij, j muss auch gelten! Stimmt dies? Begründen Sie ihre Antwort. Mit i m ij werden die Wahrscheinlichkeiten für eingehende Kanten zusammenaddiert, z.b. in Aufg. (vii) gibt es Zustände in die man häufiger kommt, z.b. Feld 0 = j. Damit ist i m ij > 1. v Würde nach einem Würfelwurf die Spielfigur auf Feld 4 stehen bleiben, wird die Spielfigur stattdessen auf Feld 0 versetzt. Geben Sie die Zustandsübergangsmatrix, wie in (iii) vollständig an: M = (22) vi Wie verändert sich die angegebene Zustandsübergangsmatrix zu dieser Aufgabe in (iv), wenn zusätzlich N W gilt. Beschreiben Sie kurz in Worten. Es besteht die Möglichkeit mit der Spielfigur alle Felder einmal zu überspringen. Für diesen Fall müssen die Wahrscheinlichkeiten der Übergangskanten angepasst werden. (b) Nach wie viel Runden ist die Spielfigur mit welcher Wahrscheinlichkeit auf welchem Feld? Als Startsitutation vor dem ersten Würfelwurf befindet sich die Spielfigur auf Feld 0. i. Beschreiben Sie die Startsituation als Anfangsverteilung π (0) für beliebige Felder. π (0) = (1,0,0,... ) Berechnen Sie den Zeilenvektor nach 3 Runden und nach 9 Runden mit N = 5 Feldern und dreiseitigem Würfel (W = 3). Geben Sie die resultierenden Wahrscheinlichkeiten numerisch an. Wolfram Alpha: π (k) = π (0) M k auszurechnen: π (3) = 1 27 ( )T und π (9) = ( )T (3 P.) (4 P.) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 10/12

11 i (Für M aus (a.iii) Alternative mit M aus (a.vii): π (3) = 1 27 ( )T π (9) = ( )T Beschreiben Sie in eigenen Worten was π (3) 4 = 0,235 ausdrückt. Mit 23,5%-iger Wahrscheinlichkeit befindet sich die Spielfiguren nach drei Runden auf Feld 4. (c) Wie sieht die Verteilung für eine lange Spielpartie aus, lim t inf? i. Beschreiben Sie kurz, was eine stationäre Verteilung einer Markov-Kette ist. π = π M, Eine stationäre Verteilung verändert sich nicht mehr über die Zeit. Geben Sie die stationäre Verteilung π für unser Beispiel an? Erklären Sie, wie Sie darauf gekommen sind. Hinweis: Die Übergangsmatrix ist nicht diagonalisierbar! Mit großer Anzahl Runden wird die Verteilung immer gleichförmiger π i = 1 N = 1 5 (ausprobieren). (3 P.) (d) Nun soll die Modellierung wie folgt geändert werden: Es gibt zwei Würfel mit W Seiten. Die Summe beider Würfel zieht die Spielfigur auf einmal. Wird ein Pasch (= beide Würfelaugenanzahl gleich) zum ersten Mal gewürfelt, wird die Spielfigur noch einmal gezogen. Werden zwei Pasche nacheinander gewürfelt, landet die Spielfigur auf Feld 0. Hinweis: Alle Zustände bekommen eine weitere Dimension, die angibt, ob ein Pasch vorher gewürfelt wurde oder nicht. i. Bonusaufgabe: Beschreiben Sie die Zustandsmenge für N beliebige Felder und W (3 P.) beliebige Würfelseiten als mathematische Formel (Konstruktionsvorschrift): S = S = { (a,b) 0 a N, a N, b = { 0 if ohne vorherigem Pasch 1 if vorher ein Pasch }} (23) Bonusaufgabe: Modellieren Sie zunächst die Wahrscheinlichkeiten für A i = Wert i wird gewürfelt ; P (A i )? z.b. durch Abzählen von W = 6 P (A i ) = H i 36 Wert i Wert i Häufigkeit H i (Beliebiges W kann durch Formel ausgedrückt werden.) B = irgendein Pasch wird gewürfelt ; P (B)? P (B) = 6 /36 B = i wurde als Pasch gewürfelt ; P (B A i )? Wert i 2, 4, 6, 8, 10, 12 3, 5, 7, 9, 11 P (B A i ) 1/36 0 (3 P.) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 11/12

12 Hinweis: Ungewertete Zusatzaufgabe. i Bonusaufgabe: Beschreiben Sie die Zustandsübergangsmatrix für N beliebige Felder und W beliebige Würfelseiten als mathematische Formel (Konstruktionsvorschrift). Hinweis: Benutzen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus (ii). Hinweis: Nehmen Sie vereinfacht an, dass 2W < N ist. Besonderheit hier: (i a,i b ) = i S, (j a,j b ) = j S (8 P.) j a i a if 0 < j a i a W ij = j a + M i a if 0 < j a + N i a W 0 else P (A ij ) P (B A ij ) if ij > 0 b i = 0 b j = 0 P (B A ij ) if ij > 0 b i = 0 b j = 1 m ij = P (A ij ) P (B A ij ) if ij > 0 b i = 1 b j = 0 P (B) if a j = 0 b i = 1 b j = 0 0 else (24) (25) KMS SoSe 2014 Hausübung 4 (Musterlösung ) 12/12