Lagerhaltung. Einführung Lagerhaltungsmodell deterministisch stochastisch Spezielle Verfahren KANBAN Pipeline JIT

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1 Produktionslogistik Absatzplanung (Demand Planning) Planung der Fertigungsanlagen (Fabrik Design) Produktionsplanung Produktionssteuerung (Scheduling) Materialfluss (Supply Chain Management) Lagerhaltung Controlling

2 Lagerhaltung Einführung Lagerhaltungsmodell deterministisch stochastisch Spezielle Verfahren ANBAN Pipeline JIT

3 Lager treten hauptsächlich bei der Zulieferung von omponenten und Rohmaterial zur Produktion und in der Distribution auf. Produktion omponente Zulieferung Produktion Endprodukt Distribution unde, Verbraucher Inventory in transit WIP (Work in Process) Lager Wozu werden Lager benötigt? Ausgleich von Störungen: Transport Produktion omponente Produktion Endprodukt Ausgleich von Störungen: Transport Produktion Endprodukt Schwankungen der Nachfrage Lager (bzw. Puffer) werden oft als notwendiges Übel bezeichnet. Sie werden hauptsächlich deshalb benötigt, weil beim Zulieferer, dem Transport, wie auch beim unden mit Störungen bzw. Nachfrageschwankungen gerechnet werden muß.

4 Das elementare Lagerhaltungsmodell besteht aus dem Zulieferer, dem Lager und dem Verbraucher. Bestellung Zulieferer Zugang Parameter Wiederbeschaffungszeit, osten der Lieferung Die Entscheidungsfreiheit bei dem Lagerhaltungsmodell liegt bei der Bestellung, bzw. Nachbestellung, des Produkts beim Zulieferer. Dies betrifft den Zeitpunkt der Bestellung und die Bestellmenge. Lager Lagerbestand osten des Lagerbestands Abgang Bedarf, osten bei Fehlmengen Verbraucher

5 Die über den Bedarf vorliegenden Informationen können verschiedener Art sein. Deterministischer Bedarf Der Bedarf wird als bekannt angenommen. In vielen Fällen ist dies nur näherungsweise richtig. Diskreter Bedarf Der Bedarf tritt zu bestimmten Zeitpunkten auf. ontinuierlicher Bedarf Es wird eine konstante Bedarfsintensität über den gesamten Zeitraum angenommen. Stochastischer Bedarf Der Bedarf ist lediglich statistisch bekannt. Es wird angenommen, dass Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret oder kontinuierlich) bekannt sind. Fehlmengen Als Fehlmengen wird ein Bedarf bezeichnet, der nicht durch das Lager gedeckt werden kann. Es werden zwei Alternativen unterschieden: Vormerkung Der nicht befriedigte Bedarf wird vorgemerkt und befriedigt, wenn das Lager das nächste mal beliefert wird. Verlust Der nicht befriedigte Bedarf geht verloren. In der Praxis wird versucht den Bedarf aus anderen Lagern oder mit Ersatzprodukten zu befriedigen.

6 Eine Bestellung wird ausgelöst, wenn der Lagerbestand zu niedrig ist. Bestellrhythmus Die Bestellung kann entweder zu beliebigen oder zu festen Zeitpunkten erfolgen. Bei festen Bestellzeitpunkten liegt meist eine periodische Bestellung vor. Lieferrhythmus Die Lieferung ist analog der Bestellung zu beliebigen oder festen Zeitpunkten möglich. Wiederbeschaffungszeit Dies ist die Zeit von der Bestellung bis zur Lieferung. Ihre hauptsächlichen omponenten sind: Bearbeitungszeit Postlaufzeit oder ähnliches Eigentliche Lieferzeit Die Zeit, die der Lieferant für die Ausführung der Bestellung braucht. Transportzeit Überprüfungszeit Eine Bestellung wird erst dann ausgelöst, wenn die Information über einen zu niedrigen Lagerbestand vorliegt und bearbeitet wird. Die Überprüfungszeit ist Null, wenn bei zu niedrigem Lagerbestand die Bestellung sofort ausgelöst wird. Das Lager wird entweder manuell periodisch überprüft oder die Bearbeitung der Lagerbestände erfolgt periodisch (z.b. täglich in der Nacht). Bestellmenge onstante oder variable Menge die beim Lieferanten bestellt wird.

7 Die osten können aufgeteilt werden in konstante und proportionale osten. Beschaffungskosten onstante osten (bzw. fixe osten) Z.B.: Verwaltungskosten und konstante Transportkosten Proportionale osten (bzw. variable osten) Der Preis des zu beschaffenden Artikels und proportionale Transportkosten. Lagerhaltungskosten onstante osten Z.B.: Raumkosten und Verwaltungskosten Proportionale osten Umlaufmittelbindungskosten, Transportkosten innerhalb des Lagers, Versicherungsbeiträge und Verluste durch Wertminderung. Fehlmengenkosten Fehlmengenkosten sind meist schwer abzuschätzen, da die indirekten osten dominieren. (Meist wird versucht die Fehlmenge durch Ersatzprodukte oder kurzfristig zugekaufte Produkte auszugleichen. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, kurzzeitige Fehlmengen durch beschleunigte Nachlieferung (z. B. durch Flugzeug und Eilzustellung) auszugleichen. Die dabei anfallenden osten sind vorab sehr schwer zu schätzen.) Offensichtliche osten bei Fehlmengen sind onventionalstrafen. Meist werden Fehlmengenkosten als proportional zur Fehlmenge angesehen.

8 Die Lagerhaltungsmodelle können, abgeleitet vom Bedarf, in deterministische und stochastische Modelle eingeteilt werden. Lagerhaltungsmodell Deterministisches Lagerhaltungsmodell Stochastisches Lagerhaltungsmodell Alle Parameter sind genau bekannt und konstant: Bedarf Wiederbeschaffungszeit Die Lagerüberprüfungszeit wird zu Null angenommen. Mindestens einer der Parameter wird als stochastisch angenommen (meistens Bedarf).

9 Die osten eines einfachen deterministischen Lagermodells sind geschlossen angebbar. Lagerbestand; s Q Q at Gleichförmiger Bedarf ontinuierliche Lagerprüfung onstante Bestellmenge eine Fehlmengen Q - Bestellmenge a - Nachfrageintensität s - Lagerbestand Q a 2 Q a Zeit; t

10 Die osten eines einfachen deterministischen Lagermodells sind geschlossen angebbar. ( ) Q = + Q* B BF BP () = + s t * L LF LP B (Q) BF BP L LF LP Bestellkosten pro Bestellung Fixe Bestellkosten pro Bestellung Proportionale Bestellkosten Lagerkosten pro Zeiteinheit Fixe Lagerkosten pro Zeiteinheit Proportionale Lagerkosten pro Stück und pro Zeiteinheit Anfallende osten für eine Zeit (0,T) T T T a a ( T ) = B L BF BP LF Q a Q Q 0 0 ( Q) + dt = T + T Q + T + s() t LP dt Für großes T ergibt sich näherungsweise: ( T ) = T a Q BF + a BP + LF Q + 2 LP

11 Die optimale Bestellmenge läßt sich anhand der osten errechnen. osten pro Zeiteinheit; (T)/T Bestellmenge; Q Gesamtkosten Proportionale osten des Lagers Fixkosten des Lagers und Proportionale osten der Bestellung Fixkosten der Bestellung T T a Q a Q ( ) = + ( + ) + 2 BF BP LF LP d( T) dq a T Q 1 = BF LP : = 0 Q opt a = 2 LP BF Die optimale Bestellmenge oft auch Economic Order Quantity (EOQ) genannt.

12 Die deterministischen Lagermodelle lassen sich in viele Richtungen verallgemeinern. Bei der Berücksichtigung von Mengenrabatten müssen die Gültigkeitsbereiche beachtet werden. Der Mengenrabatt bewirkt, dass die urve nach unten geschoben wird Preis 1 Preis 2 Preis 3 Preis 1 > Preis 2 Preis 2 > Preis 3 (T) / T Q Sind mehrere Produkte zu beachten, so kommt es auf die Bestellweise an. Produkte werden einzeln bestellt Für jedes Produkt kann das Problem separat gelöst werden. Produkte werden zusammen bestellt (Fixkosten der Bestellung fallen nur ein mal an) Die Gesamtkosten über alle Produkte sind zu erfassen. Es wird eine optimale Reichweite berechnet, aus der die optimalen Bestellmengen abgeleitet werden können.

13 Fehlmengen Lagerbestand; s S Q at S a Q Gleichförmiger Bedarf ontinuierliche Lagerprüfung onstante Bestellmenge Fehlmengen erlaubt Q - Bestellmenge a - Nachfrageintensität s - Lagerbestand S - Maximaler Lagerbestand Q a Zeit; t ( ) Q = + Q* () () = + s t * = + s t * s s L F B BF BP L LF L LP F FF F FP st t = () () 0 t = 0 () st () ; s(t) > 0 ; (s(t) < 0 ; s(t) > 0 ; (s(t) < 0 B (Q) Bestellkosten pro Bestellung BF Fixe Bestellkosten pro Bestellung BP Proportionale Bestellkosten L Lagerkosten pro Zeiteinheit LF Fixe Lagerkosten pro Zeiteinheit LP Proportionale Lagerkosten pro Stück und pro Zeiteinheit F Fehlkosten pro Zeiteinheit FF Fixe Fehlkosten pro Zeiteinheit Proportionale Fehlkosten pro Stück und pro Zeiteinheit FP

14 Fehlmengen T T T ( ) = ( ) ( ) () Qa Q dt T a B ( L F) BF T abp LF FF sl t LP + + = Q s F(t) FP dt Für großes T ergibt sich näherungsweise: T T a Q a a SS Q a a ( ) = Q 2 ( Q S) ( Q S) BF BP LF FF LP FP a T Durch partielle Ableitung nach Q und S und simultane Lösung der beiden entstehenden Gleichungen erhält man: Q S opt opt = Sopt 1 + = Q opt FP LP FP FP + = LP = 2a 2a LP LP BF BF LP LP + FP FP + FP FP

15 Stochastische Lagermodelle lassen sich nicht geschlossen lösen. Lagerbestand; s B W Q Zeit; t Gleichförmiger Bedarf ontinuierliche Lagerprüfung onstante Bestellmenge Fehlmengen erlaubt Q - Bestellmenge s - Lagerbestand W - Wiederbeschaffungszeit B - Bestellpunkt (Sicherheitsbestand) Die beiden entstehenden Gleichungen für die optimale Bestellmenge und den optimalen Sicherheitsbestand lassen sich nicht geschlossen lösen (siehe z.b. Hanssmann). Beispiel : onstante Wiederbeschaffungszeit und exponentiell verteilte Nachfrage während der Wiederbeschaffungszeit (siehe Hillier). ϕ W Q opt ( n )= aw e 1 naw Anzahl Stück die während der 2a = + LP B aw Q opt LP opt = ln( ) a Bopt aw ( BF awfpe ) FP Wiederbeschaffungszeit W nachgefragt werden. Das Gleichungssystem läßt sich mit üblichen iterativen Methoden numerisch lösen.

16 Oft wird ein stochastisches Lagermodell auch unter dem Gesichtspunkt des Servicegrades gelöst und dafür die Fehlkosten vernachläßigt. Für den Servicegrad gibt es unterschiedliche Definitionen. Eine häufige Definition ist das Verhältnis des befriedigten Bedarfs zum insgesamt aufgetretenen Bedarf. Servicegrad = Befriedigter Bedarf Aufgetretener Bedarf 100% 80% Beispiel Servicegrad 60% 40% 20% 0% Lagerkosten Die Entscheidung hängt von der Abwägung des undenfreudlichkeit des Unternehmens gegenüber den Lagerkosten ab. Diese Abwägung wird nicht weiter quantitativ unterstützt.

17 Lagermodelle mit mehreren Perioden lassen sich flexibel einsetzen. Es wird angenommen, dass eine periodische Lagerprüfung erfolgt und die Nachfrage während einer Periode gleichbleibend ist. Zu Beginn jeder Periode wird das Lager geprüft, ob eine Bestellung erfolgen soll. Vereinfachend ist hier angenommen, dass die Lieferung sofort erfolgt. Die Aufgabe besteht darin, die optimale Bestellstrategie zu finden. Dies beinhaltet die Zeitpunkte der Bestellung zu bestimmen und die jeweiligen Bestellmengen. Lagerbestand; s Deterministische Lagermodelle mit mehreren Perioden lassen sich mit dynamischer Optimierung, dedizierten Algorithmen (siehe z.b. Hillier) und linearer ganzzahliger Optimierung lösen. Periode 1 Periode 2 Periode 3 Periode 4 Periode 5 Zeit; t

18 Für den erfolgreichen Einsatz dieser Methoden ist die enntnis über der lohnenswerten Produkte im Lager wichtig. In der Praxis hat sich als Faustformel eine 80 / 20 - Regel herausgebildet für das Verhältnis Umsatz / Anzahl Produkte. Das bedeuted, daß mit 20% aller Produkte 80% des Umsatzes gemacht wird. Diese Regel scheint sehr robust zu sein und es ist faszinierend deren Gültigkeit immer wieder zu beobachten. 100% 80% Umsatz 60% 40% 20% 0% 80 / 20 - Regel 0% 20% 40% 60% 80% 100% Anzahl Produkte Ebenso eindrucksvoll ist die Aufteilung in 3 Gruppen mit jeweils 1/3 des Umsatzes. Gruppe 1 : 3% der Produkte (Umsatzstärkste Produkte) Gruppe 2 : 11% der Produkte Gruppe 3 : 86% der Produkte

19 Wie kann verhindert werden, daß sich in den Lägern, den Puffern oder in der Produktion ein zu großer Bestand aufbaut? Die Lagerhaltung, wie auch die Produktion, tendieren dazu einen hohen Teilebestand aufzubauen. Der notwendige Teilebestand wird meistens weit überschritten und führt zu indirekten Problemen bei Veränderungen der Nachfrage. Hoher Teilebestand ist oft historisch gewachsen und wird mit übertriebenen Sicherheitsanforderungen begründet. Zulieferer Produktion Vertrieb / unde Eingangspuffer Ausgangspuffer Der Teilebestand kann effektiv durch eine der folgenden Methoden klein gehalten werden: Limitierte Puffer, anban (Japanisch: arte), Pipeline und JIT (Just-in-Time).

20 Das anban-onzept wurde von Toyota in Japan entwickelt. Mit anban kann der Bestand in einem System effektiv begrenzt werden. Ein Teil kann die anban-zelle nur betreten, wenn eine freies anban zur Verfügung steht. Es darf sich in der anban-zelle kein Teil befinden, das nicht mit einem anban verbunden ist. Wenn ein Teil die anban-zelle verlässt, wird das anban von dem Teil getrennt und steht wieder als freies anban für Teile zur Verfügung, die die Zelle betreten wollen. Ist die nachfolgende Zelle ebenfalls eine anban-zelle so muss dort ein anban verfügbar sein, bevor es diese Zelle betritt. anban-zelle + + System (Produktion oder Lager) anban (Als arte oder elektronisch realisiert) anban, das mit einem Teil verbunden ist

21 In dem Pipeline-onzept wird ein ganzheitlicher Ansatz für Fertigungsumgebungen mit langen Durchlaufzeiten durch die Produktion versucht. Es wird die gesamte ette von dem Zulieferer bis zum fertigen Endprodukt betrachtet. Die ette besteht aus: Lager der Endprodukte, Bestand an halbfertigen Teilen in der Produktion, Puffer der zugelieferten omponente in der Produktion, Puffer der omponente beim Zulieferer nach der Produktion und Bestand an halbfertigen omponenten beim Zulieferer in der Produktion. Ausgehend von der Nachfrage an Endprodukten pro Periode wird für jedes Teil in der ette der gewünschte Bestand abgeleitet. Ist der Bestand zu hoch oder niedrig, so wird dementsprechend reagiert. Dieser Ansatz versucht sowohl Über-, wie auch Minderproduktion zu vermeiden, indem die ette automatisch reagiert, falls sich die Nachfrage ändert. Fließfertigung mit entkoppelten Arbeitsstationen Bestand an halbfertigen Teilen Nachfrage Trigger Zulieferer Bestand an halbfertigen omponenten Puffer in der Produktion Puffer nach der Produktion Lager der Endprodukte nach der Produktion

22 Um eine Lagerhaltung zu vermeiden, gehen viele Hersteller mit kontinuierlicher Produktion dazu über, Produkte, die hohe Lagerkosten verursachen verbrauchsgenau anliefern zu lassen. Für die verbrauchsgenaue Anlieferung von Produkten hat sich im Englischen der Begriff JIT (Just-In-Time) herausgebildet. Damit kann eine Lagerhaltung ganz vermieden werden. Lediglich in der Produktion ist ein minimaler Puffer von Teilen zur Verfügung, der geringfügige Störungen im Transport ausgleichen kann. Diese Art der Produktion setzt ein hohes Vertrauen von Zulieferer und Verbraucher voraus. Dieses Vertrauen bezieht sich auf die Qualität der angelieferten Teile, wie auch die Termintreue. In der Automobilindustrie ist dieses Prinzip weit verbreitet. Vor allem sperrige omponenten werden mit JIT angeliefert (z.b. Sitz, Motor). Ein günstiger Nebeneffekt dieser Strategie ist die Möglichkeit, die omponenten zu individualisieren. Fließband mit konstanter Geschwindigkeit Trigger Zulieferer Puffer für wenige Teile an der Arbeitsstation in der Produktion

23 Literatur Hillier, Frederick S.; Liebermann, Gerald J.; 1988; Operations Research; ISBN ; R. Oldenburg Verlag Hanssmann, Fred.; 1962; Operations Research in Production and Inventory Control; John Wiley Hopp, Wallace J.; Spearman, Mark L.; Factory Physics; ISBN ; McGraw-Hill

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