Figurierte Zahlen. Gnomon Figuren, Polygonalzahlen, Fibonacci Zahlen, Differenzenfolgen, Differenzengleichungen, Rekursion und vollständige Induktion

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1 Figurierte Zahlen Gnomon Figuren, Polygonalzahlen, Fibonacci Zahlen, Differenzenfolgen, Differenzengleichungen, Rekursion und vollständige Induktion Materialien für die Sommerschule Lust auf Mathematik Humboldt Universität Berlin, Juni 017 Fragen, Korrekturen, Anregungen und Hinweise aller Art bitte an Jochen Ziegenbalg Verstehbar erklären ist wichtiger als vollständiges Deduzieren. Benno Artmann (deutscher Mathematiker, ) 1 Vorbemerkungen Der einzigartige erkenntnistheoretische Charakter der Mathematik, in dessen Zentrum der mathematische Beweis steht, entwickelte sich, historisch gesehen, im Kulturkreis der griechischen Antike. Dabei spielte die geometrische Veranschaulichung anhand von Zahlenmustern eine zentrale Rolle. Die Methode der figurierten Zahlen setzte, auf der Mathematik der Babylonier basierend, etwa mit Pythagoras von Samos (um ca v.chr.) ein. Die Lehre der Pythagoreer von Gerade und Ungerade lieferte Erkenntnisse bis hin zu den vollkommenen Zahlen (vgl. van der Waerden). Der Neupythagoreer Nikomachos von Gerasa, ca n.chr., beschäftigte sich intensiv mit Dreiecks-, Vierecks- und Fünfeckszahlen. Geschicktes Legen von Punktmustern, oft auf der Basis der Verwendung von Winkelhaken ( Gnomonen ), lieferte in unmittelbarer Weise nichttriviale Erkenntnisse. Auch grosse Mathematiker arbeiteten oft mit der Technik der figurierten Zahlen oder vergleichbarer Methoden. Von Carl Friedrich Gauss ( ), einem der genialsten Mathematiker aller Zeiten, wird berichtet, dass er als junger Schüler die Aufgabe seines Lehrers, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, löste, indem er die Zahlenreihen 1,, 3,..., 100 zweimal untereinander aufschrieb; einmal in der natürlichen und einmal in der umgekehrten Reihenfolge. Er erkannte, dass jede der dadurch gegebenen 100 Spaltensummen gleich 101 war und ermittelte so in kürzester Zeit das Ergebnis. Diese Vorgehensweise lässt sich problemlos verallgemeinern und liefert in paradigmatischer Weise die Formel n = n (n+1)/. Wenn sich heute auch all diese Ergebnisse formal auf der Basis der vollständigen Induktion beweisen lassen, so liefert die Technik der figurierten Zahlen in der Regel den Ausgangspunkt

2 Figurierte Zahlen Gnomon: Einige historische Bemerkungen für den kognitiven Prozess, der zu den entsprechenden Hypothesenbildungen führt. Oft sind auch die Beweise durch die Methode der figurierten Zahlen so unmittelbar klar und einleuchtend, dass sich ein formaler Beweis erübrigt. Darüber hinaus gilt: Lässt sich ein und derselbe Sachverhalt auf verschiedenen Wegen ermitteln, begründen oder beweisen, so schafft dies Vertrauen in die gewählten Methoden und führt oft zu neuen Erkenntnissen. Dies ist der Kern einer in der Mathematik oft angewandten Methode der Plausibilitätsüberprüfung, auch Probe genannt. Wir werden sehen, dass sich bei den im Folgenden behandelten Themenbereichen die auf figurierten Zahlen, Punktmustern, Zahlenmustern, Differenzenfolgen und vollständiger Induktion beruhenden Methoden gegenseitig ergänzen und befruchten. Durch die Betrachtung von Punkt- und Zahlenmustern gelangt man fast automatisch zu charakteristischen Zahlenfolgen. Als wichtige Instrumente zur Analyse von Zahlenfolgen werden wir dabei die Differenzenfolgen, Differenzenschemata und Differenzengleichungen kennenlernen. Gnomon: Einige historische Bemerkungen Die griechischen Mathematiker wandten geometrisches Denken und geometrische Veranschaulichungen oft auch auf arithmetische der algebraische Sachverhalte an. Sie machten dabei sehr oft von der Gnomon Methode Gebrauch. Ein Gnomon war ein Winkelhaken, der auch als Bestandteil von Sonnenuhren bei der Zeitmessung verwendet wurde. Die folgenden Bilder zeigen kunstvoll verzierte Beispiele von Gnomonen aus Danzig und London (Kew Gardens). In der Mathematik wurden Gnomonen im übertragenen Sinne verwendet. In der folgenden Abbildung sieht man links eine Gnomon-Figur zum Nachweis der Flächengleichheit zweier Parallelogramme. Rechts ist eine (im Original) dynamische Visualisierung der Flächengleichheit eines Gnomons mit einem Quadrat dargestellt (vgl. com/kellandsgnomontosquaredissection).

3 Figurierte Zahlen Gnomon: Einige historische Bemerkungen Eines der frühesten dokumentierten Beispiele dieser geometrischen Algebra findet sich in Euklids für jene Zeit monumentalem Werk Die Elemente (ca. 300 v.chr.). Die Elemente wurden 000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur. Ein Zitat aus Buch, Proposition 5: Teilt man eine Strecke sowohl in gleiche als auch in ungleiche Abschnitte, so ist das Rechteck aus den ungleichen Abschnitten der ganzen Strecke zusammen mit dem Quadrat über der Strecke zwischen den Teilpunkten dem Quadrat über der Hälfte gleich. Die Formelsprache der Algebra wurde erst knapp 000 Jahre später eingeführt (ein massgeblicher Protagonist war dabei Francois Viète, lat. Vieta, ). Was Euklid in der obigen Proposition formuliert, lässt sich in der modernen Formelsprache als eine der Formen des binomischen Lehrsatzes deuten (meist als dritter binomischer Lehrsatz bezeichnet). 3

4 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen 3.1 Dreieckszahlen / Triagonalzahlen Die Dreieckszahlen D n, im Folgenden gelegentlich auch bezeichnet durch D(n), T n oder T (n) für Triagonalzahlen, Trigonalzahlen, Triangularzahlen (engl. triangular number), sind die Anzahlen der Punkte in den folgenden Dreiecksmustern: Tetraktys Also: D 1 = 1 D = 3 D 3 = 6 D 4 = Zitat aus Wikipedia (vgl. Als Tetraktys bezeichneten die Pythagoreer die Gesamtheit der Zahlen 1,, 3 und 4, deren Summe 10 ergibt. Da die Zehn (griechisch dekás: Zehnzahl, Zehnergruppe ) die Summe der ersten vier Zahlen ist, nahm man an, dass die Vierheit die Zehn erzeugt. Der Zehn kam schon durch den Umstand, dass sie bei Griechen und Barbaren (Nichtgriechen) gleichermassen als Grundzahl des Dezimalsystems diente, eine herausgehobene Rolle zu. Von den Pythagoreern wurde die Zehn überdies, wie Aristoteles berichtet, wegen ihres Zusammenhangs mit der Tetraktys als etwas Vollkommenes betrachtet, das das ganze Wesen der Zahlen umfasst. Daher wurde die Zehn auch heilige Zahl genannt. Die pythagoreische Kosmologie ging von der Annahme aus, dass der Kosmos nach mathematischen Regeln harmonisch geordnet ist. In dieser Weltdeutung war die Tetraktys ein Schlüsselbegriff, da sie die universelle Harmonie ausdrückte. Manchmal kann es günstig sein, die Einheiten der figurierten Zahlen als Einheitsquadrate statt Punkte zu zeichnen: T(5) T(4) = 5*6 / Die Summe zweier benachbarter Dreieckszahlen ist stets eine Quadratzahl. T(n)+T(n-1) = n² T(n) = n = n*(n+1) / 4

5 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen 3. Viereckszahlen / Quadratzahlen Die Viereckszahlen (bzw. Quadratzahlen) 1, 4, 9, 16, 5, 36,... (allgemein: Q n = Q(n) = n ) sind die Punkte-Zahlen in den folgenden Quadrat-Mustern: Im Folgenden werden wir die Punkte (bzw. Kreisscheiben) oft auch als Quadrate darstellen Quadratzahlen, ungerade Zahlen und die Gnomon Methode Wir betrachten Summen aufeinanderfolgender ungerader Zahlen (beginnend bei 1): Die folgende figurierte Zahl macht deutlich, dass diese Summen stets Quadratzahlen ergeben. Jeder Gnomon um grösser als der vorhergehende Gnomon und jede ungerade Zahl ist um grösser als die vorhergehende. Die gezeichneten Gnomone und die ungeraden Zahlen entsprechen sich also genau und ergeben in der Summendarstellung jeweils ein Quadrat. Gnomon 1 = 1² = ² = 3² = 4² = 5² = 6² = 7² Allgemein ausgedrückt: (k 1) = k ( i 1) = k (3.1) i=1 Aufgabe: Begründen Sie, warum es mit der Anlegetechnik der Gnomone immer so weiter geht. 5

6 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen 3.. Summen von Quadratzahlen Die folgende Abbildung dürfte selbsterklärend sein. Die Abbildung ist eine paradigmatische Begründung für die Gleichung: n = n (n + 1) (n + 1) 6 (3.) oder ausgedrückt in der Standardschreibweise für Polynome: n = n3 3 + n + n 6 (3.3) 6

7 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen 3.3 Kubikzahlen aus Quadratzahlen In der folgenden Abbildung sind die Kubikzahlen als geeignete Vielfache von Quadratzahlen dargestellt ² 3² 3² 1+*²+3*3²+4*4²+5*5² = ( )² = 15² 1³+³+3³+4³+5³ = ( )² Eine leicht modifizierte Darstellung, die auch zur Gleichung n 3 = ( n) (3.4) führt, ist ² ²/ ² 3² 4²/ 5² 3² 3² 4² 4²/ 4² 4² 5² 5² 5² 5² 7

8 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen Aufgabe: Begründen Sie, warum es mit der Anlegetechnik der Gnomone in den letzten beiden Abbildungen immer so weiter geht. Ein Hinweis: Offenbar ist eine Fallunterscheidung gerade / ungerade notwendig oder zumindest hilfreich. Im Anhang findet sich eine ausführliche Analyse der Konfiguration. Der Leser sollte aber zunächst versuchen, die Begründung selbständig zu erarbeiten Eine weitere Veranschaulichungen von Quadrat-Summen * (+3+4+5) ² * (3+4+5) 3² 3 * (4+5) 4² 4 * (5) 5² Die Flächeninhalte der nichtquadratischen Rechtecke sind für k = 1,..., (n 1) von der Form: k ((k + 1) + (k + ) n) (3.5) Somit gilt für das grosse Quadrat: ( n) = n n 1 ( ) k + k ((k + 1) + (k + ) n) (3.6) bzw. ( n) = n n 1 k + k (k + 1) + (k + ) (k + (n k)) }{{} (3.7) (n k) Summanden Daraus folgt ( n) n n 1 = k + (k (k (n k) + ( (n k)) )) (3.8) 8

9 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen = = = = = ( n n 1 k + k n 1 ( n k + n 1 ( k (n k) + ) ) (n k) (n k + 1) k n k 3 + k n k n + k n k n + k 3 k n ( k + k n k 3 + kn k n + kn k n + k 3 k ) n 1 n ( k + k 3 + kn + kn k ) n 1 n n 1 n 1 n 1 k k 3 + kn + kn n 1 n 1 n 1 = n k 3 + n k + n k n 1 = n k 3 + n n 1 = k 3 + n n 1 = = = = n n ( 1 + (n 1) n k (n 1) n + n ) (n 1) n + (n 1) k 3 + n + n n + n 1 k 3 + n 3 + n n + 1 k 3 + n n + n + 1 n k 3 + n Daraus folgt schliesslich (n + 1) ) ( ) n (n + 1) n = k 3 + n (n + 1) n k 3 = n (n + 1) n (n + 1) 4 n ( ) n (n + 1) k 3 = n n k 3 = k (3.9) 9

10 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen 3.3. Zahlenmuster aus ungeraden Zahlen und Quadratzahlen Wir betrachten die folgenden Schemata: A B C D E 1 = 1 1 = 1 1 = = = = = = 3 3 = = = 4 4 = = = 5 5 = = = 6 6 = = = 7 7 = ( k 1) = k... = n n = n 3 Die (zeilenweise) Gleichheit der Zahlen in den Spalten C und D ergibt sich daraus, dass man die Summen in Spalte C als Summen von gleichvielen gleichen Summanden schreiben kann; z.b = = 3 9 = 3 3 = 3 3 bzw = = 4 16 = 4 4 = 4 3 Es gilt offensichtlich (bei spaltenweiser Addition): Summe der Zahlen in Spalte E = Summe der Zahlen in Spalte C Beispiel (bis einschliesslich zur Zeile 7): Summe Spalte E = = 784 Summe Spalte C = = 784 (Quadratzahlzahl) Setzt man das Schema der Spalten A und B bis zur Zahl 55 (d.h. k = 8) fort, so erhält man in der letzten Zeile: = ( 55 1 Dies ist augenscheinlich zugleich die Summe der Zahlen in Spalte C. + 1) = (7 + 1) (= 784) (3.10) Setzt man das Schema in Spalte C bis zur Zeile n fort, so gilt: Die Anzahl der Summanden in Spalte C nimmt von Zeile zu Zeile um jeweils 1 zu; sie ist also gleich der Dreieckszahl: n = n (n + 1) (3.11) Der letzte Summand (in Spalte C) ist also die n (n+1) - te ungerade Zahl, also n (n+1) 1. (Wir legen dabei die folgende Zählung zugrunde: 1 ist die erste, 3 die -te, 5 die 3-te, k 1 die k-te ungerade Zahl; usw.). 10

11 Figurierte Zahlen 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen Für die Summe dieser ungeraden Zahlen gilt (entsprechend Spalte A und B): Insgesamt gilt ( ) n (n + 1) 1 = Summe Spalte E = n 3 = ( n (n + 1) = ( ) = ( n) ( ) n (n + 1) (3.1) n (n + 1) Die letzte Serie von Gleichungen lässt sich wie in den vorigen Beispielen in der folgenden hochgradig symmetrischen Form schreiben: 1) n 3 = ( n) (3.13) 3.4 Formale Beweise Natürlich lassen sich die Gleichungen dieses Abschnitts, wenn man sie denn erst einmal kennt (und wenn es unbedingt sein muss) auch formal mit vollständiger Induktion beweisen. Das Verfahren der vollständigen Induktion wird im Anhang ausführlich erläutert. Die Beweise der obigen Gleichungen mit vollständiger Induktion sind eine gute Übung zu diesem Verfahren und seien dem Leser als eine solche überlassen. 11

12 Figurierte Zahlen 4 Polygonal- und Pyramidalzahlen 4 Polygonal- und Pyramidalzahlen 4.1 Beispiele Mit den Dreieckszahlen und den Quadratzahlen haben wir bereits einige Polygonalzahlen kennengelernt. Im Folgenden soll die Behandlung der Polygonalzahlen stärker systematisiert werden. Zunächst betrachten wir einige Beispiele. Wir werden sehen, dass die Gnomon Methode zur Erzeugung der Polygonalzahlmuster eine wichtige Rolle spielt. Hinweis und Aufgabe: Wir behandeln im Folgenden die nicht-zentrierten Polygonalzahlen. Informieren Sie sich über die zentrierten Polygonalzahlen und führen Sie für diese die entsprechenden Überlegungen durch. Die Dreieckszahlen (Triagonalzahlen) Die Viereckszahlen (Quadratzahlen) Die Fünfeckszahlen (Pentagonalzahlen) Die Sechseckszahlen (Hexagonalzahlen)

13 Figurierte Zahlen 4 Polygonal- und Pyramidalzahlen 4. Das Konstruktionsprinzip der Polygonalzahlen Mit G(E, k) werde im Folgenden die Polygonalzahl eines E-Ecks auf der k-ten Stufe bezeichnet (E 3). Es sind also G(3, 1), G(3, ), G(3, 3), G(3, 4), G(3, 5), G(3, 6),..., G(3, k),... G(4, 1), G(4, ), G(4, 3), G(4, 4), G(4, 5), G(4, 6),..., G(4, k),... G(5, 1), G(5, ), G(5, 3), G(5, 4), G(5, 5), G(5, 6),..., G(5, k),... usw. die Dreieckszahlen die Viereckszahlen die Fünfeckszahlen In der Stufe k = 1 besteht jedes Polygonalzahl Punktmuster aus genau einem Punkt, d.h. für alle E ist G(E, 1) = 1. Es sei nun k. Das Punktmuster zur Polygonalzahl G(E, k) entsteht aus dem Punktmuster zur Polygonalzahl G(E, k 1), indem man an E Seiten einen offenen Kranz neuer Punkte so an das alte Punktmuster anlegt, dass die Randpunkte der neuen Figur ein (regelmässiges) E-Eck bilden, auf dessen Seiten jeweils genau k Punkte liegen. In den obigen Beispielen ist das alte Punktmuster jeweils blau und der offene Kranz von neuen Punkten (Gnomon) jeweils rot dargestellt. Aus diesem Konstruktionsprinzip folgt sofort die (Rekursions ) Gleichung G(E, k) = G(E, k 1) + (E ) k (E 3) (4.1) Erläuterung: Es kommen an jeweils E Seiten k neue Punkte hinzu; aber dabei werden E 3 Eckpunkte doppelt gezählt. Auf der Basis der rekursiven Beschreibung lassen sich die ersten Polygonalzahlen für kleine Stufenzahlen leicht berechnen. k E = Die explizite Darstellung der Polygonalzahlen Im Folgenden betrachten wir Polygonalzahlen zu einer festen Eckenzahl E und schreiben kurz G k an Stelle von G(E, k). Die oben gegebene Konstruktionsvorschrift für die Polygonalzahlen ist rekursiv; d.h. zur Beschreibung des Punktmusters in der Stufe k wird auf das Punktmuster in der Stufe k 1 zurückgegriffen. Diese rekursive Darstellung hat einen deutlichen Aufforderungscharakter, ausgehend von den 13

14 Figurierte Zahlen 4 Polygonal- und Pyramidalzahlen Anfangswerten einfach loszurechnen und sich dabei immer weiter hochzuhangeln. G 1 = 1 G = G 1 + (E ) (E 3) G 3 = G + (E ) 3 (E 3) G 4 = G 3 + (E ) 4 (E 3) G 5 = G 4 + (E ) 5 (E 3)... G k 1 = G k + (E ) (k 1) (E 3) G k = G k 1 + (E ) k (E 3) (4.) Diese Gleichungen lassen eine Regelmässigkeit erkennen, die noch gesteigert wird, wenn man die erste Gleichung folgendermassen schreibt: G 1 = (E ) 1 (E 3) Aufgabe: Leiten Sie durch spaltenweises Aufsummieren der Gleichungen (4.) die folgende explizite (d.h. nicht-rekursive) Darstellung für die Polygonalzahlen her: G k = E k + 4 E k (4.3) Bemerkung: Von Pierre de Fermat ( ) stammt nicht nur die Formulierung des Kleinen und Grossen Fermatschen Satzes sondern auch die des folgenden Fermatschen Polygonalzahlensatzes. Zitat (Fermat) nach Wikipedia (vgl. Ich war der erste, der den sehr schönen und vollkommen allgemeinen Satz entdeckt hat, dass jede Zahl entweder eine Dreieckszahl oder die Summe von zwei oder drei Dreieckszahlen ist; jede Zahl eine Quadratzahl oder die Summe von zwei, drei oder vier Quadratzahlen ist; entweder eine Fünfeckszahl oder die Summe von zwei, drei, vier oder fünf Fünfeckszahlen; und so weiter bis ins Unendliche, egal ob es ein Frage von Sechsecks-, Siebenecks- oder beliebigen Polygonalzahlen ist. Ich kann den Beweis, der von vielen und abstrusen Mysterien der Zahlen abhängt, hier nicht angeben; deswegen beabsichtige ich diesem Subjekt ein ganzes Buch zu widmen und in diesem Teil arithmetisch erstaunliche Fortschritte gegenüber den vorhergehenden bekannten Grenzen zu erbringen. Einen Beweis des Satzes hat Fermat jedoch nie veröffentlicht. Joseph Louis Lagrange ( ) bewies den Spezialfall des Vier-Quadrate-Satzes 1770 und Carl Friedrich Gauß ( ) 1796 den Spezialfall für Dreieckszahlen. Der Beweis des vollständigen Satzes gelang jedoch erst Augustin Louis Cauchy ( ) im Jahr Pyramidalzahlen Ordnet man die Polygonalzahlen räumlich an, so erhält man die Pyramidalzahlen. Mit H(E, k) sei diejenige Pyramidalzahl bestehend aus k Ebenen bezeichnet, welche die Polygonalzahl G(E, k) als Grundfläche hat. 14

15 Figurierte Zahlen 4 Polygonal- und Pyramidalzahlen Die folgende Abbildung zeigt die Stapelung von Dreieckszahlen zu einer Tetraederzahl- Pyramide. Aus der obigen Konstruktionsbeschreibung für die Pyramidalzahlen folgt unmittelbar die folgende rekursive Gleichung H(E, k) = H(E, k 1) + G(E, k) (4.4) bzw. (man beachte, dass auch das Summenzeichen ein rekursives Konstrukt ist): H(E, k) = k G(E, i) (4.5) i=1 Wie bei den Polygonalzahlen lassen sich auch die ersten Pyramidalzahlen leicht rekursiv berechnen. k E = Aufgabe: Entwickeln Sie eine explizite Darstellung für die Pyramidalzahlen auf zwei wesentlich verschiedenen Wegen. 15

16 Figurierte Zahlen 4 Polygonal- und Pyramidalzahlen Zu dem untenstehenden Bild aus einer süddeutschen Wochenzeitung gehörte der Text: Der etwas andere Weihnachtsbaum in Tokio: Aus 3000 Champagnergläsern besteht dieser Weihnachtsbaum, der... in einem Park der japanischen Hauptstadt Tokio leuchtet. Aufgabe: Prüfen Sie, ob die angegebene Zahl der Champagnergläser plausibel ist, d.h. ob sie (näherungsweise) stimmen kann. Überlegen Sie, wie die einzelnen Schichten aussehen könnten. 16

17 Figurierte Zahlen 5 Systematisierung durch Differenzenbildung 5 Systematisierung durch Differenzenbildung 5.1 Differenzenfolgen von Polygonal- und Pyramidalzahlen (Ein Hinweis: Es kann u.u. nützlich sein, sich vorab im Anhang über das Verfahren der vollständigen Induktion zu informieren.) Eine bewährte Strategie zur Erkennung von Gesetzmässigkeiten in Folgen ist die Differenzenbildung. In den folgenden Schemata wird immer wieder Gebrauch davon gemacht. Beispiel: Einfache Differenzenbildung bei den Polygonalzahlen Im folgenden Schema sind hinter jeder Polygonalzahl-Zeile die entsprechenden Differenzen notiert. Bereits an diesem einfachen Beispiel lassen sich in den Zeilen und Spalten viele Muster erkennen. k E = Diff Diff Diff Diff Diff Diff Diff Diff Diff Diff Wenn eine Methode gut funktioniert, dann ist es in der Mathematik im allgemeinen eine bewährte Praxis, sie wiederholt anzuwenden. In diesem Sinne werden wir die Differenzenbildung im Folgenden mehrfach anwenden. Der Übersichtlichkeit halber beschränken wir uns auf die Pentagonalzahlen. G(5, k) Wir halten fest, dass in den beobachteten Fällen bei den Pentagonalzahlen die zweiten Differenzen konstant sind. 17

18 Figurierte Zahlen 5 Systematisierung durch Differenzenbildung Aufgaben: 1. Prüfen Sie nach, ob die zweiten Potenzen auch bei weiteren Polygonalzahlen konstant sind.. Entwickeln Sie eine explizite Formel für G(5, k) bzw. G(E, k) unter der Hypothese, dass die Folge der zweiten Differenzen konstant gleich 3 (bzw. gleich c) ist. Wir wenden nun das entsprechende Differenzenverfahren auf die Pyramidalzahlen (auch im Falle E=5) an. H(5, k) In diesem Fall scheinen die dritten Differenzen konstant zu sein. Aufgaben: 1. Prüfen Sie nach, ob die dritten Potenzen auch bei weiteren pentagonalen Pyramidalzahlen (E = 5) konstant sind.. Entwickeln Sie eine explizite Formel für H(5, k) unter der Hypothese, dass die Folge der dritten Differenzen konstant gleich 3 ist. 3. Untersuchen Sie den Fall der hexagonalen Pyramidalzahlen (E = 6). Entwickeln Sie eine explizite Formel für H(6, k) bzw. allgemein für H(E, k) unter der Hypothese, dass die Folgen der dritten Differenzen konstant sind. 5. Allgemeine Differenzenfolgen Es sei (a n ) n=0... eine beliebige Zahlenfolge. Die Folge ihrer ersten Differenzen ist gegeben durch b n := (a n ) := a n+1 a n (5.1) Im Hinblick auf eine systematische Entwicklung des Differenzenbegriffs schreibt man auch 1 (a n ) an Stelle von (a n ). Weiterhin sei (a n ) := ( a n ) = (a n+1 ) (a n ) = (a n+ a n+1 ) (a n+1 a n ) (5.) und k (a n ) := k 1 ( (a n )) = k 1 (a n+1 ) k 1 (a n ) (5.3) Diese Definitionen lassen sich schematisch folgendermassen darstellen. a n a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7... (a 1 ) (a ) (a 3 ) (a 4 ) (a 5 ) (a 6 )... (a 1 ) (a ) (a 3 ) (a 4 ) (a 5 ) (a 1 ) 3 (a ) 3 (a 3 ) 3 (a 4 )

19 Figurierte Zahlen 5 Systematisierung durch Differenzenbildung Aufgaben: 1. Zeigen Sie: ( k (a n )) = k ( (a n )) (5.4). Zeigen Sie: Sind die k-ten Differenzen einer Folge konstant (und von Null verschieden), so lässt sich die Folge in expliziter Form als Polynom vom Grade k darstellen. Durch das folgende Differenzenschema sollen die Voraussetzungen zu dieser Aufgabe verdeutlicht werden. a n a 1 a a 3 a 4 a 5 a 6 a 7... (a 1 ) (a ) (a 3 ) (a 4 ) (a 5 ) (a 6 )... (a 1 ) (a ) (a 3 ) (a 4 ) (a 5 ) (a 1 ) 3 (a ) 3 (a 3 ) 3 (a 4 ) k c c c Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung dieser Aussage. Beispiel: Potenzsummen Für die natürlichen Zahlen n und k sei S(n, k) := 1 k + k + 3 k n k (= n i k ) (5.5) Formulieren Sie die Gleichung (für festes k) rekursiv in n. Zeigen Sie: S(n, k) ist stets als Polynom in k vom Grade k + 1 darstellbar. Stellen Sie die entsprechenden Polynome für k = 0,..., 6 auf. Einige konkrete Differenzenschemata zu S(n, k) : i=1 k = 1 n S(n, 1) k = n S(n, ) k = 3 n S(n, 3)

20 Figurierte Zahlen 5 Systematisierung durch Differenzenbildung k = 4 n S(n, 4) k = 5 n S(n, 5) Aufgabe: Stellen Sie eine Verbindung her zwischen k und der Konstanten in der jeweils letzten Zeile des zu S(n, k) gehörenden Differenzenschemas. 0

21 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6.1 Historischer Kontext Leonardo von Pisa ( ), genannt Fibonacci (kurz für filius bonacci), einer der grössten europäischen Mathematiker des Mittelalters, stellte in seinem berühmten Buch Liber Abaci im Jahre 10 eine Aufgabe zur Kaninchenvermehrung vor, deren Lösung zu der inzwischen als Fibonacci Zahlen bezeichneten Zahlenfolge 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89,... führte. Die Fibonacci Zahlen gaben über die Jahrhunderte hinweg Anlass zu vielfältigen mathematischen Untersuchungen. Sie standen und stehen im Zentrum eines engen Beziehungsgeflechts mit anderen mathematischen und nichtmathematischen Themen (goldener Schnitt, Euklidischer Algorithmus, Kettenbrüche, exponentielles Wachstum, erzeugende Funktionen, Phyllotaxis, usw.). Die Fibonacci Zahlen erfüllen eine Vielzahl von rekursiven und nichtrekursiven Gleichungen, von denen eine zu interessanten optischen Täuschungen führt (sie wird weiter unten in Abschnitt 6.4. behandelt). Sie geben darüber hinaus Anlass zu vielfältigen geometrischen Veranschaulichungen und sie können als ein Ausgangspunkt für die Behandlung linearer Differenzengleichungen angesehen werden. Zwei historische Darstellungen von Leonardo von Pisa: Leonardo von Pisa war auch einer der massgeblichen Protagonisten bei der Verbreitung des aus Indien stammenden Zehnersystems, das er in Nordafrika kennengelernt hatte. 1

22 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen Die Kaninchenaufgabe Deutsche Übersetzung aus dem 1. Kapitel des Liber abaci nach der lateinischen Edition von B. Boncompagni, Rom 1857, S. 83f. vgl. Wieviele Kaninchenpaare entstehen im Verlauf eines Jahres aus einem Paar? Ein Mann hielt ein Paar Kaninchen an einem Ort, der ringsum von einer Mauer umgeben war, um herauszufinden, wieviele Paare daraus in einem Jahr entstünden. Dabei ist es ihre Natur, jeden Monat ein neues Paar auf die Welt zu bringen, und sie gebären erstmals im zweiten Monat nach ihrer Geburt. Weil das obengenannte Paar schon im ersten Monat gebiert, kannst du es verdoppeln, so dass nach einem Monat zwei Paare da sind. Von diesen gebiert eines, d.h. das erste, im zweiten Monat wieder; und so gibt es im zweiten Monat 3 Paare. Von denen werden in einem Monat wieder trächtig, so dass im dritten Monat zwei Kaninchenpaare geboren werden; und so sind es dann in diesem Monat 5 Paare. Von denen werden im selben Monat 3 trächtig, so dass es im vierten Monat 8 Paare sind. Von diesen gebären 5 Paare wieder 5 Paare; wenn man diese zu den 8 Paaren addiert, ergeben sich im fünften Monat 13 Paare. Von denen paaren sich die 5 Paare, die in diesem Monat geboren wurden, noch nicht im selben Monat, aber die anderen 8 Paare werden trächtig; und so sind es im sechsten Monat 1 Paare. Wenn man zu diesen die 13 Paare addiert, die im siebten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 34 Paare sein. Wenn man zu diesen die 1 Paare addiert, die im achten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 55 Paare sein. Wenn man zu diesen die 34 Paare addiert, die im neunten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 89 Paare sein. Wenn man zu diesen wiederum die 55 Paare addiert, die im zehnten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 144 Paare sein. Wenn man zu diesen wiederum die 89 Paare addiert, die im elften Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 33 Paare sein. Und wenn man schliesslich zu diesen die 144 Paare addiert, die im letzten Monat geboren werden, sind es am Schluss 377 Paare. Und soviele Paare wird das obengenannte Paar an dem beschriebenen Ort am Ende eines Jahres auf die Welt gebracht haben. In der Abbildung hier am Rand kannst du sehen, wie wir das ausgerechnet haben, nämlich dass wir die erste Zahl mit der zweiten zusammengezählt haben, d.h. 1 mit ; dann die zweite mit der dritten, die dritte mit der vierten, die vierte mit der fünften, und so weiter, bis wir die zehnte mit der elften zusammengezählt haben, d.h. 144 mit 33. Und so haben wir die Summe der obengenannten Kaninchenpaare, nämlich 377. Und so kannst du der Reihe nach weiterfahren für eine unbegrenzte Anzahl Monate.

23 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen Kaninchenvermehrung schematische Darstellung: Jeder Buchstabe im folgenden Diagramm steht für ein Kaninchenpaar. Der Stern signalisiert Geschlechtsreife <-- Monate A* A* A* A* A* A* A* B B* B* B* B* B* C C* C* C* C* D D* D* D* E E* E* E* F F* F* G G* G* H H* H* I I* J J* K K* L L* M M* N O P Q R S T U <-- Fibonacci-Zahlen 6. Definition der Fibonacci Zahlen in heutiger Notation Die Fibonacci Zahlen bilden eine Zahlenfolge, die (rekursiv) folgendermassen definiert ist: 0 für n = 0 F n = 1 für n = 1 (6.1) F n 1 + F n für n > 1 Die dritte Zeile in der Definition besagt, dass sich jede Fibonacci Zahl (nach den beiden Anfangswerten) aus der Summe ihrer beiden Vorgänger ergibt. Die folgende Wertetafel vermittelt einen ersten Eindruck vom Wachstumsverhalten der Fibonacci Zahlen. n F n

24 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6.3 Veranschaulichung der definierenden Gleichung 1. Treppensteigen: Eine Treppe, bestehend aus n Stufen, darf so bestiegen werden, dass mit jedem Schritt eine oder zwei Stufen genommen werden können. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Treppe zu besteigen?. Parkettierungen (vgl. nachfolgende Abbildung): Ein rechteckiger Weg der Breite Meter und der Länge n Meter soll mit 1m x m grossen Platten ausgelegt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? 4

25 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6.4 Weitere auf den Fibonacci Zahlen basierende Veranschaulichungen Quadrate und Rechtecke aus Fibonacci Zahlen In der folgenden Figur werden Quadrate über Fibonacci Zahlen zu Rechtecken zusammengesetzt. 1 1 F 3 ² F 5 ² F 4 ² F 6 ² F 6 F 7 = F 5+F 6 Dies führt zu den folgenden algebraischen Formulierungen: F 1 + F + F 3 + F 4 + F 5 + F 6 = F 6 F 7 F 1 + F + F F n = F n F n+1 (6.) Über die obige Visualisierung hinaus gibt es verschiedene Verfahren, um diese Formel zu begründen bzw. zu beweisen. Das folgende Verfahren wird gelegentlich auch als Teleskopverfahren bezeichnet. Auf der rechten Seite heben sich, wie durch Unterstreichung angedeutet, alle bis auf einen Summanden gegenseitig auf. F 1 = F 1 F (Anfangswerte) F = F (F 3 F 1 ) = F F 3 F F 1 F 3 = F 3 (F 4 F ) = F 3 F 4 F 3 F F 4 = F 4 (F 5 F 3 ) = F 4 F 5 F 4 F 3... (6.3) F n 1 = F n 1 (F n F n ) = F n 1 F n F n 1 F n F n = F n (F n+1 F n 1 ) = F n F n+1 F n F n 1 Summierung der linken und der rechten Seiten ergibt F 1 + F + F F n = F n F n+1 (6.4) Ein formaler Beweis, auf den an dieser Stelle verzichtet wird, lässt sich mit vollständiger Induktion durchführen (Übung). 5

26 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6.4. Fibonacci Zahlen und optische Täuschungen Auf dem ersten Blick scheint es so, als sei durch das Zerschneiden und Umlegen aus dem Quadrat mit der Fläche A = 8 8 = 64 Einheiten ein Rechteck der Fläche A = 5 13 = 65 Einheiten entstanden ein Ergebnis, das allein durch das Zerschneiden und Umlegen der einzelnen Flächen jedoch nicht möglich ist. Wir haben es hier mit einer geschickt inszenierten optischen Täuschung zu tun. Der Trick besteht darin, dass sich im Rechteck hinter der diagonalen Geraden ein sehr flaches Parallelogramm vom Flächeninhalt 1 verbirgt. Durch die dick gedruckte Diagonale wird das Parallelogramm jedoch verdeckt. Aufgabe: Zeichnen Sie die obige Konfiguration grossformatig sehr sorgfältig nach. Im obigen Beispiel gilt: F 6 = F 5 F 7 1. Dieses Beispiel ist ein Spezialfall der folgenden allgemeingültigen Formel: F n = F n 1 F n+1 + ( 1) n+1 (6.5) Auf der Basis dieser Formel lassen sich analog zum obigen Zerschneidungs-und-Umlegungs- Beispiel weitere optische Täuschungen konstruieren. Die absolute Differenz der Flächeninhalte des durch (6.5) gegebenen Quadrats und Rechtecks ist immer gleich 1. Dadurch wird die relative Differenz immer kleiner, je grösser die jeweiligen Fibonacci Zahlen werden. Das Täuschungspotential der optischen Täuschung lässt sich also durch Vergrösserung von n beliebig erhöhen. Aufgabe: Beweisen Sie Gleichung (6.5) mit Hilfe von vollständiger Induktion. In der folgenden Graphik wird eine Folge von Quadraten und Rechtecken konstruiert, mit der sich die obige Formel paradigmatisch begründen lässt. 6

27 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen Interpretation der Graphik Behauptung: In jeder Zeile gilt: linke Seite = rechte Seite 1 Denn: Von Zeile zu Zeile kommt links und rechts immer dasselbe hinzu. Leserichtung (Pfeil) von links nach rechts: Leserichtung (Pfeil) von rechts nach links: F k = F k 1 F k+1 1 F k+1 = F k F k+ + 1 Allgemein: F n = F n 1 F n+1 + ( 1) n+1 7

28 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6.5 Die Formel von Binet Einer Jahrhunderte alten Tradition entsprechend, hat man sich in der Mathematik mit der rekursiven Beschreibung der Fibonacci Zahlen nicht zufrieden gegeben. Die Beschreibung einer Folge wurde (ganz allgemein) erst dann als befriedigend angesehen, wenn man sie in expliziter, geschlossener (nicht-rekursiver) Form vorliegen hatte. Die Gründe für diese Einstellung sind nicht zuletzt historisch zu erklären: In der expliziten Form werden die Werte dieser Folge (und anderer rekursiv gegebener Folgen) durch elementare Funktionen (Polynome, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, logarithmische und trigonometrische Funktionen usw.) beschrieben, die man im Laufe der Jahrhunderte immer besser kennen und beherrschen gelernt hatte. So kannte man z.b. die Struktur dieser Funktionen (ihre Symmetrien, ihre Periodizitäten, ihr asymptotisches Verhalten, ihr Wachstums-, ihr Krümmungsverhalten usw.); man hatte Wertetafeln aufgestellt und bewegte sich auf festem Boden, wenn man etwas anhand dieser Funktionen beschreiben konnte. Die mathematische Gemeinschaft als Ganzes entwickelte eine Art Intuition für das Verhalten dieser Funktionen und den Umgang mit ihnen. So ist es nicht verwunderlich, dass man sich auch bei der Folge der Fibonacci Zahlen schon immer um eine explizite Darstellung bemühte. Berühmte Mathematiker, unter ihnen Abraham de Moivre und Leonhard Euler, erarbeiteten Ergebnisse, die letztlich zur expliziten Beschreibung der Fibonacci Zahlen führten. (Von de Moivre wird sogar gesagt, dass er die explizite Darstellung bereits kannte.) Im Jahre 1843 legte der französische Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet eine Formel-Beschreibung vor, die ihm zu Ehren heute als Binetsche Formel bezeichnet wird. Sie lautet ( F n = ) n ( 5 1 ) n 5 (6.6) Vom Zeitpunkt der ersten Beschreibung der Fibonacci-Zahlen bis zur Formulierung der Binetschen Formel waren Jahrhunderte vergangen. Heute stellt die Theorie der Differenzengleichungen Methoden zur Verfügung, um für grosse Klassen rekursiver Gleichungen explizite Darstellungen zu finden. Im Anhang wird exemplarisch eine Möglichkeit zur Herleitung der Binetschen Formel behandelt. 8

29 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6.6 Konkrete Berechnung der Fibonacci Zahlen Zur Berechnung der Fibonacci Zahlen gibt es die folgenden Möglichkeiten: mit einem rekursiven Verfahren mit einem iterativen Verfahren mit der Formel von Binet mit Hilfe der Matrizenrechnung (falls diese zur Verfügung steht) Rekursives Verfahren Bei dem rekursiven Verfahren erfolgt die Berechnung der jeweiligen Fibonacci Zahl strikt im Sinne der (rekursiven) Definition. Die folgende Darstellung soll bereits für den extrem niedrigen Index 6 einen Eindruck davon vermitteln, wie aufwendig die rekursive Berechnung der Fibonacci Zahlen ist. Stellt man einen Rechenbaum auf, der diese Berechnung akribisch abbildet (vgl. Ziegenbalg 016, Kapitel 5), so sieht man, dass jede Erhöhung des Index um weit mehr als eine Verdopplung des Rechenaufwands nach sich zieht. F 6 = F 5 + F 4 = (F 4 + F 3 ) + F 4 = ((F 3 + F ) + F 3 ) + F 4 = (((F + F 1 ) + F ) + F 3 ) + F 4 = ((((F 1 + F 0 ) + F 1 ) + F ) + F 3 ) + F 4 = ((((1 + F 0 ) + F 1 ) + F ) + F 3 ) + F 4 = ((((1 + 0) + F 1 ) + F ) + F 3 ) + F 4 = (((1 + F 1 ) + F ) + F 3 ) + F 4 = (((1 + 1) + F ) + F 3 ) + F 4 = (( + F ) + F 3 ) + F 4 = (( + (F 1 + F 0 )) + F 3 ) + F 4 = (( + (1 + F 0 )) + F 3 ) + F 4 = (( + (1 + 0)) + F 3 ) + F 4 = (( + 1) + F 3 ) + F 4 = (3 + F 3 ) + F 4 = (3 + (F + F 1 )) + F 4 = (3 + ((F 1 + F 0 ) + F 1 )) + F 4 = (3 + ((1 + F 0 ) + F 1 )) + F 4 = (3 + ((1 + 0) + F 1 )) + F 4 = (3 + (1 + F 1 )) + F 4 = (3 + (1 + 1)) + F 4 = (3 + ) + F 4 = 5 + F 4 = 5 + (F 3 + F ) = 5 + ((F + F 1 ) + F ) 9

30 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen = 5 + (((F 1 + F 0 ) + F 1 ) + F ) = 5 + (((1 + F 0 ) + F 1 ) + F ) = 5 + (((1 + 0) + F 1 ) + F ) = 5 + ((1 + F 1 ) + F ) = 5 + ((1 + 1) + F ) = 5 + ( + F ) = 5 + ( + (F 1 + F 0 )) = 5 + ( + (1 + F 0 )) = 5 + ( + (1 + 0)) = 5 + ( + 1) = = 8 Ein rekursiver Algorithmus für die numerische Auswertung sieht strukturell folgendermassen aus (hier in der Syntax des Computeralgebra Systems Maxima): Fib_rek(n) := if n<=1 then n else Fib_rek(n-1) + Fib_rek(n-) Das rekursive Programm ist die direkteste ( kognitiv effizienteste ) Umsetzung der Definition. Rekursive Computerprogramme sind aber meist nur für extrem kleine Argumente lauffähig. Bei grösseren Eingabewerten laufen rekursive Programme wegen der mit der Rekursion verbundenen Notwendigkeit der Speicherung von Zwischenergebnissen meist sehr bald in einen stack-overflow-error, also eine Speicher-Überlauf-Bedingung des sogenannten Rekursionsstacks. Schliesslich sollte an dieser Stelle aber ein Hinweis zur effizienteren Realisierung von rekursiven Programmen nicht fehlen. Die oben gegebene rekursive Version Fib_rek der Fibonacci Funktion stellt ein Beispiel für reine Rekursion dar. Moderne Programmiersprachen verfügen gelegentlich über unterschiedliche Techniken zur Verbesserung der Effizienz rekursiver Algorithmen. In der Programmiersprache Scheme, einer modernen Version aus der Familie der Lisp-artigen Programmiersprachen, werden gewisse einfach strukturierte Rekursionstypen vom Laufzeit- und Übersetzersystem erkannt und intern in iterative Programme umgesetzt, ohne dass der Benutzer dies explizit zu formulieren hat. Es gibt weiterhin Techniken, den bei der Rekursion auftretenden Mehrfachaufruf von Funktionen dadurch zu vermeiden, dass (intern) eine Tabelle mit bereits errechneten Funktionswerten angelegt wird, aus der dann mehrfach benötigte Funktionswerte bei Bedarf entnommen werden können. Diese gelegentlich als dynamisches Programmieren bezeichnete Technik ist z.b. in dem Computeralgebra System Mathematica realisiert. Die Laufzeit-Effizienz der Programme erhöht sich dadurch enorm; allerdings erhöht sich durch den Aufbau der Tabelle auch der computerintern benötigte Speicherbedarf. Man hat also eine Verbesserung der Laufzeit-Effizienz durch eine Verschlechterung der Speicherplatz-Effizienz erkauft. Da die Techniken zur Effizienzverbesserung rekursiver Programme hochgradig systemabhängig sind, soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden. 30

31 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen 6.6. Iteratives Verfahren Bei dem iterativen Verfahren hangelt man sich, wie im folgenden Beispiel, von den Anfangswerten aus hoch. Bereits dieses kleine Beispiel verdeutlicht, dass das iterative Verfahren mit einem sehr viel geringeren Rechenaufwand verbunden ist als das rekursive Verfahren. F 0 = 0 F 1 = 1 F = F 1 + F 0 = = 1 F 3 = F + F 1 = = F 4 = F 3 + F = + 1 = 3 F 5 = F 4 + F 3 = 3 + = 5 F 6 = F 5 + F 4 = = 8 Ein iterativer Algorithmus für die numerische Auswertung (ebenfalls in Maxima) lautet: Fib_it(n) := block([i : 0, f0 : 0, f1 : 1, f : 1], while i < n do (i : i+1, f0 : f1, f1 : f, f : f1 + f0), f0 ); Eine kleine Bemerkung zu den Maxima-Programmen: Das Symbol := dient der Definition von Funktionen; das Symbol : dient der Wertzuweisung. Computeralgebra Systeme unterstützen meist sehr gut das Paradigma des funktionalen Programmierens. Programme sind in diesem Sinne Funktionen. Ziel jedes Programmlaufs ist, einen Funktionswert zu ermitteln. Der ermittelte Funktionswert wird gelegentlich mit einem speziellen Befehl wie return übergeben, meist wird er aber auch einfach kommentarlos als letzte auszuführende Anweisung aufgeschrieben. Im Beispiel FIB_rek(n) wird je nach Fallunterscheidung n oder Fib_rek(n-1) + Fib_rek(n-) als Funktionswert zurückgegeben; beim Programm Fib_it(n) ist dies f0. Bereits erste konkrete Experimente mit den Programmen zeigen: Der iterative Algorithmus ist dem rekursiven in Bezug auf das Kriterium der Laufzeiteffizienz weit überlegen Die Formel von Binet Die Formel von Binet ( F n = ) n ( 5 1 ) n 5 ist historisch und strukturell von Bedeutung. Sie zeigt z.b., dass das Wachstum der Fibonacci Zahlen von exponentiellem Typ ist; sie taugt aber nicht zur numerischen Berechnung 31

32 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen der Fibonacci Zahlen. Denn sie macht von der Wurzel- und der Exponentialfunktion Gebrauch, deren Berechnungsalgorithmen auf im Prinzip nichtabbrechenden Wiederholungsprozessen basieren. Da diese (Iterations-) Rechnungen, seien sie iterativ oder rekursiv implementiert, doch irgendwann einmal mit roher Gewalt abgebrochen werden müssen, liefern sie bestenfalls Näherungswerte. Erschwerend kommt hinzu, dass diese Berechnungen nicht mehr nur (wie bei den rekursiven oder iterativen Basis Algorithmen Fib_rek und Fib_it mit ganzen Zahlen erfolgen können. Man muss bei der Anwendung der Formel von Binet in irgendeiner Weise von reellen (genauer: irrationalen) Zahlen Gebrauch machen. Und diese sind aus Gründen der Korrektheit und der Berechnungseffizienz höchst problematisch; insbesondere dann, wenn sie, wie sehr oft üblich, im Computer mit dem Konstrukt der Gleitkommazahl umgesetzt werden (vgl. Ziegenbalg 016, Kap. 6: Korrektheit von Algorithmen) Berechnung der Fibonacci Zahlen mit Matrizen Falls die Matrizenrechnung kognitiv und auf der Softwareseite zur Verfügung steht, können die Fibonacci Zahlen wie folgt auch damit berechnet werden. ( ) ( ) ( ) F n F = n (6.7) F n 1 0 F n 1 Daraus folgt ( F n+1 F n F n F n 1 ) ( ) n ( 1 1 = mit ) 0 = ( ) 1 0 (6.8) 0 1 Der Algorithmus lässt sich laufzeiteffizient realisieren, besonders, wenn man schnelle Algorithmen für das Potenzieren z.b. durch Halbieren des Exponenten und Quadrieren der Basis verwendet (Stichwort: schnelles Potenzieren ). Er ist allerdings mit dem Nachteil verbunden, dass die Matrizenrechnung kognitiv vergleichsweise aufwendig ist und dass ihre Implementierung einen organisatorischen Zusatzaufwand (overhead) erfordert, der seinerseits die Effizienz des Verfahrens beeinträchtigt. Schliesslich sei noch darauf hingewiesen, dass die Darstellungen (6.8) mit einigen Redundanzen verbunden ist (z.b. doppelte Darstellung von F n ) Teile und Herrsche durch Halbierung des Arguments Man kann die Idee der (näherungsweisen) Argument-Halbierung (zum Thema Teile und Herrsche vgl. Ziegenbalg 016, Kapitel 5) bei den Fibonacci Zahlen allerdings auch vergleichsweise elementar realisieren, indem man die folgenden Gleichungen heranzieht: F n = F n (F n+1 F n ) (6.9) F n+1 = F n+1 + F n (6.10) Hinweis: Die beiden Gleichungen werden im Abschnitt über vollständige Induktion in Beispiel 8.9 bewiesen. 3

33 Figurierte Zahlen 6 Figurierte Fibonacci Zahlen Im folgenden Maxima-Programm ist diese Variante des Prinzips von Teile und Herrsche umgesetzt. Fib_h(n) := if n< then n else if n= then 1 else if mod(n,)=0 then Fib_h(n/) * ( * Fib_h((n/)+1) - Fib_h(n/)) else Fib_h((n-1)/ + 1)^ + Fib_h((n-1)/)^ Allerdings sind die auf dem Argument-Halbierungs-Prinzip beruhenden Algorithmen in der Regel wieder rekursiv und man handelt sich potentiell, wenn auch in abgeschwächter Form, wieder Probleme mit der Rekursion ein. Ein kleiner Echtzeit-Härtetest in Maxima (das Ergebnis ist eine 090-stellige Zahl) führt zu den folgenden approximativen Laufzeit-Werten: Funktion Anzahl der Aufrufe Laufzeit pro Aufruf Laudzeit insgesamt Fib_it(10000) 1 ca. 1.6 sec ca. 1.6 sec Fib_h(10000) 8136 ca sec ca. 870 sec Für den einzelnen Aufruf benötigt die Version Fib_h(n) zwar deutlich weniger Zeit als Fib_it(n), aber die Anzahl der (rekursionsbedingten) Aufrufe steigt mit wachsendem n ganz gewaltig. Auch im Hinblick auf die kognitive Effizienz kann die Version Fib_h(n) nicht mit der iterativen Variante mithalten. Schliesslich muss man ja erst mal die letzten beiden Gleichungen (also die Voraussetzungen dafür, dass das Verfahren funktioniert) beweisen. Dies setzt einen Kenntnisstand voraus, der in der Regel erst im Mathematikstudium vermittelt und voll verstanden wird. Die iterative Version, verbunden mit der Idee des Hochhangelns ist dagegen bereits mit Grundschulkenntnissen verstehbar und realisierbar Abschliessende Bewertung der Verfahren zur Berechnung der Fibonacci Zahlen Unter Laufzeit- und Korrektheits- und Stabilitäts Aspekten spricht viel für den direkten iterativen Algorithmus zur Auswertung der Fibonacci Zahlen. Er ist auch kognitiv effizient, denn das Bild des von bestimmten Anfangswerten aus verlaufenden Hochhangelns zur Ermittlung der weiteren Funktions- bzw. Folgenwerte ist eine durchaus natürliche Vorstellung. Insgesamt gilt: Das iterative Programm zur Berechnung der Fibonacci Zahlen ist ein in jeder Hinsicht effizientes und stabiles Arbeitspferd, das auch dann noch zuverlässig funktioniert, wenn andere Methoden nicht mehr zum Ziel führen. 33

34 Figurierte Zahlen 7 Anhang: Herleitung der Formel von Binet 7 Anhang: Herleitung der Formel von Binet Im Folgenden wird die Formel von Binet hergeleitet. Derartige (nichtrekursive) Formeldarstellungen werden oft auch als explizite oder geschlossene Darstellungen bezeichnet. Die rekursive Darstellung der Fibonacci Zahlen F k = F k 1 + F k (7.1) lässt sich als Spezialfall der folgenden homogenen linearen Differenzengleichung zweiter Ordnung deuten: y k + a 1 y k 1 + a y k = 0 (7.) 7.1 Lineare Differenzengleichung erster Ordnung Um die Differenzengleichung zweiter Ordnung zu lösen, setzt man sich zunächst mit der Lösung von Differenzengleichungen erster Ordnung auseinander. Die ( homogene ) lineare Differenzengleichung erster Ordnung stellt eine geometrische Folge dar. Mit a = A erhalten wir y 1 = A y 0 y k + a y k 1 = 0 (7.3) y = A y 1 = A y 0... y k = A y k 1 = A A k 1 y 0 y k = A k y 0 (y 0 : Anfangswert) (7.4) bzw. y k = A k c (c : Konstante) (7.5) 7. Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung Im Folgenden wird versucht, die Lösungen von linearen Differenzengleichungen zweiter Ordnung auf die Lösungen von linearen Differenzengleichungen erster Ordnung zurückzuführen. Zu diesem Zweck führen wir in die Gleichung (7.) in der folgenden Weise zwei sich gegenseitig aufhebende Terme ein: y k + a 1 y k 1 + m y k 1 m y k 1 + a y k = 0 (7.6) Diese Gleichung wird zunächst in die folgenden zwei linearen Differenzengleichungen erster Ordnung (I) und (II) zerlegt. y k + (a 1 + m) y k 1 }{{} I=0 + ( m y k 1 + a y k ) = 0 }{{} (7.7) II=0 Wenn es gelingt, eine gemeinsame Lösung für die Gleichungen (I) und (II) zu finden, dann ist dies auch eine Lösung für die Gleichung (7.6) und damit auch für die Gleichung (7.). 34

35 Figurierte Zahlen 7 Anhang: Herleitung der Formel von Binet Die Gleichungen (I) und (II) haben aber dann gemeinsame Lösungen, wenn die Gleichungen selbst gleich sind (d.h. wenn ihre Koeffizienten gleich sind). Dies kann durch eine geeignete Wahl des Parameters m erreicht werden. Schreibt man nämlich die Gleichungen (I) und (II) in der Form (I) y k = (a 1 + m) y k 1 (II) y k = a m y k 1 (7.8) so stellen sie dieselbe Gleichung dar, wenn die Koeffizienten (a 1 + m) und a gleich sind. m Die Bedingung (a 1 + m) = a (7.9) m führt zur folgenden charakteristischen Gleichung: m + a 1 m + a = 0 (7.10) Sind m 1 und m die Lösungen der charakteristischen Gleichung, so lauten nach (7.5) die Lösungen der Differenzengleichungen (I) und (II) mit beliebigen Konstanten c 1, c, c 1 und c : y k = ( (a 1 + m 1 )) k c 1 y k = ( a m 1 ) k c (7.11) und y k = ( (a 1 + m )) k c 1 y k = ( a m ) k c (7.1) Von diesen vier Lösungen fallen wegen (7.9) jeweils zwei zusammen. Mit Hilfe der Wurzelsätze von Vieta erhält man die Lösungsfolgen y k = m k c 1 und y k = m k 1 c 1. (7.13) Durch direktes Einsetzen lässt sich zeigen, dass die Summe zweier Lösungsfolgen einer linearen homogenen Differenzengleichung wieder eine Lösungsfolge dieser Differenzengleichung ist (Beweis: Übung). Mit (7.13) ist somit ebenfalls eine Lösung der Gleichung (7.). y k = m k c 1 + m k 1 c 1 (7.14) Im Falle der Fibonacci Gleichung (7.1) gilt für die Koeffizienten: a 1 = 1 und a = 1 Dies führt zu den folgenden Werten für die Lösungen m 1 und m der charakteristischen Gleichung (7.10): m 1 = und m = 1 5 (7.15) Die allgemeine Lösung für die Fibonacci Gleichung (7.1) lautet dann F k = ( 1 + ) k ( 5 1 ) k 5 c 1 + c 1 (7.16) 35

36 Figurierte Zahlen 7 Anhang: Herleitung der Formel von Binet Die Koeffizienten c 1 und c 1 sind nun noch so anzupassen, dass die Anfangswerte stimmen. Dies führt zu den folgenden beiden linearen Gleichungen für c 1 und c 1: y 0 = ( 1 + ) 0 ( 5 1 ) 0 5 c 1 + c 1 = 0 (7.17) und Hieraus folgt y 1 = ( 1 + ) 1 ( 5 1 ) 1 5 c 1 + c 1 = 1 (7.18) c 1 = 1 5, c 1 = 1 5 (7.19) und schliesslich die Formel von Binet ( F k = ) k ( 5 1 ) k 5 (7.0) Die Formel von Binet lässt sich auch in der folgenden hochgradig symmetrischen Form schreiben. In leicht modifizierter Darstellung lautet die Fibonacci Gleichung F k F k 1 F k = 0. Das zugehörige charakteristische Polynom ist x x 1 = 0. Sind a = ( 5 + 1)/ und b = ( 5 1)/ die Wurzeln dieses charakteristischen Polynoms, so gilt F (k) = ak b k a b (7.1) Im Hinblick auf eine ausführlichere, systematische Einführung in die Theorie der Differenzengleichungen sei auf Dürr/Ziegenbalg (1984) verwiesen. 36

37 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Die vollständige Induktion ist heute das Standard Verfahren, um formale mathematische Beweise in allgemein anerkannter Form durchzuführen. Sie steht in engster Verbindung zum Aufbau der natürlichen Zahlen, und da es kaum ein Themengebiet in der Mathematik gibt, das nicht in irgendeiner Form mit den natürlichen Zahlen im Zusammenhang steht, ist die vollständige Induktion fundamental für die gesamte Mathematik. Wenn man heute ernsthaft Mathematik betreiben will, ist es unabdingbar, mit der vollständigen Induktion gut vertraut zu sein. Ein mathematischer Beweis ist die Argumentationskette, durch welche die zu beweisende Aussage (der zu beweisende Satz) in mehr oder weniger formalisierter Form als richtig (bzw. gültig) nachgewiesen werden soll. In Abhängigkeit von der zu beweisenden Aussage kann die jeweilige Beweistechnik, die in irgendeiner Form immer auf der mathematischen Logik beruht, sehr unterschiedlich ausfallen. Die in den mathematischen Sätzen vorkommenden Objekte sind in der Regel in expliziter Weise konstruiert. Man könnte auch sagen: Sie sind durch eine algorithmische Beschreibung (Definition) gegeben. Als Beispiel sei auf den letzten von Null verschiedenen Divisionsrest im Euklidischen Algorithmus verwiesen, von dem zu zeigen ist, dass er der grösste gemeinsame Teiler der Ausgangszahlen ist. Wenn mathematische Objekte auf algorithmische Weise konstruiert worden sind, dann ist es nicht verwunderlich, dass sich auch die Beweise von Aussagen, in denen diese Objekte vorkommen, an der algorithmischen Beschreibung orientieren. 8.1 Die natürlichen Zahlen Eines der fundamentalsten und wichtigsten Objekte der Mathematik sind die natürlichen Zahlen. Sie sind konstruktiv beschrieben durch die Axiome von Giuseppe Peano ( ). Im Folgenden ist der Aufbau der natürlichen Zahlen in Anlehnung an der Formulierung von Edmund Landau ( ) wiedergegeben (vgl. Landau 199; siehe ggf. auch Ziegenbalg 016, Seite 86 ff). Axiom 1: 1 ist eine natürliche Zahl. (Die Menge der natürlichen Zahlen ist also insbesondere nicht leer. Sie enthält z.b. ein Ding, das eins genannt und mit dem Symbol 1 bezeichnet wird.) Axiom : Zu jeder natürlichen Zahl x gibt es genau eine natürliche Zahl, die der Nachfolger von x heissen und mit x bezeichnet werden möge. Axiom 3: Stets ist x von 1 verschieden. (Es gibt also keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.) Axiom 4: Aus x = y folgt x = y. (Sind die Nachfolger zweier natürlicher Zahlen gleich, so sind die Zahlen selber gleich. Oder mit anderen Worten: Unterschiedliche natürliche Zahlen haben unterschiedliche Nachfolger.) 37

38 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen Axiom 5 (Induktionsaxiom): Es sei M eine Menge natürlicher Zahlen mit den Eigenschaften: (I) 1 gehört zu M. (II) Wenn die natürliche Zahl x zu M gehört, so gehört auch x zu M. Dann umfasst M alle natürlichen Zahlen. Bemerkungen 1. Eine recht gute Visualisierung der vollständigen Induktion ist auf der Basis von (numerierten) Domino Steinen möglich: Wenn Stein Nr. n fällt, dann fällt auch Stein Nr. n + 1. Ob überhaupt einer der Steine fällt, ist unbestimmt. Aber wenn Stein Nr. 1 fällt, dann fallen alle Steine Dieselbe Illustration macht deutlich, dass man die vollständige Induktion bei jeder ganzen Zahl z Anf verankern kann. Die entsprechende Aussage gilt dann für alle n mit n z Anf. (Man vergleiche hierzu auch das Beispiel in Abschnitt 8.3. über Nichtstandard- Induktionsverankerung.). Der konstruktive, algorithmische Charakter der Peanoschen Definition ist vor allem durch die Nachfolgerfunktion und durch das Induktionsaxiom gegeben. Die Nachfolgerfunktion garantiert, dass man, ausgehend von der natürlichen Zahl 1 Schritt für Schritt zu jeder beliebigen natürlichen Zahl gelangen kann. Die Zahldarstellung (z.b. im Zehnersystem) ist dabei nur eine Frage der Konvention bzw. der Praktikabilität: := 1, 3 := = 1, 4 := 3 = =1,..., 9 := 8, 10 := 9, 11:= 10 = 1... Die wesentlichen Aussagen über natürliche Zahlen gelten unabhängig von der Darstellung im Zehnersystem. Historisch gesehen, kam die Zahldarstellung im Zehnersystem erst sehr spät lange nachdem die Griechen (trotz ihrer ungünstigen Zahlschreibweise) fundamentale Eigenschaften der natürlichen Zahlen entdeckt und bewiesen hatten. So formulierte Euklid viele Aussagen über natürliche Zahlen, z.b. den Satz über die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen oder den Satz über vollkommene Zahlen, ohne das Zehnersystem zur Verfügung zu haben. Das Zehnersystem stellt aber im Vergleich zu den früher gebräuchlichen Zahldarstellungs Systemen eine enorme Systematisierung und Vereinfachung für das numerische Rechnen dar. (Zitat des Mathematikhistorikers G.B. Halsted zur Erfindung der Null durch die Inder: It is like coining the Nirvana into dynamos.) 3. Es ist durchaus auch in gleichwertiger Weise möglich, die natürlichen Zahlen mit dem Symbol (der Zahl) 0 beginnen zu lassen. Das wird (besonders in der modernen Mathematik) sehr oft getan; symbolisch: N = {1,, 3, 4, 5,...} und N 0 = {0, 1,, 3, 4, 5,...}. 4. Durch die Axiome von Peano werden die natürlichen Zahlen zunächst nur als (relativ strukturlose) Menge eingeführt. Wie man auf dieser Basis die arithmetischen Operationen 38

39 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen der Addition und Multiplikation, die grösser-relation (>) und ähnliche Konzepte einführen kann, ist in (Landau 199) ausführlich beschrieben. Im Folgenden gehen wir davon aus, dass dies geschehen sei und dass aus den natürlichen Zahlen nach dem üblichen Standardverfahren die ganzen Zahlen Z konstruiert worden sind ( siehe Manuskript Zahlbereichserweiterungen) und zur Verfügung stehen. 5. Die zu beweisende Aussage nimmt oft für n = 1 oder gar n = 0 eine besonders einfache Form an. Manchmal ist sie so einfach, dass man kaum erkennt, was überhaupt zu beweisen ist. Im Hinblick auf die Effizienz des Beweises spricht jedoch nichts dagegen, dass man den Induktionsbeweis an einer besonders günstigen Stelle verankert. 8. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion Eine besondere Rolle in der Definition der natürlichen Zahlen spielt Axiom 5, das sogenannte Induktionsaxiom. Diejenige mathematische Beweistechnik, die auf der Verwendung des Induktionsaxioms beruht, nennt man die vollständige Induktion (im Kontrast zu der aus den empirischen Wissenschaften bekannten sogenannten unvollständigen Induktion). Praktisch jeder Beweis über natürliche Zahlen beruht direkt oder indirekt auf dem Prinzip der vollständigen Induktion. Jeder Beweis, der auf dem Induktionsaxiom aufbaut, muss strukturell aus den folgenden Teilen bestehen. Kontext: Eine Aussage A (A = A(n)) über natürliche Zahlen ist zu beweisen. Zunächst sei die Menge M als die Menge derjenigen natürlichen Zahlen definiert, welche die Aussage A erfüllen. Der weitere Verlauf des Induktionsbeweises verläuft in der Regel entlang der folgenden Argumentation. 1. Es ist zu zeigen, dass die Zahl 1 zu M gehört. Dieser Schritt wird im folgenden als Induktionsverankerung bezeichnet.. Es ist zu zeigen: Wenn eine natürliche Zahl x zu M gehört, so gehört auch stets ihr Nachfolger x zu M. Dieser Schritt wird im Folgenden als Induktionsschritt bezeichnet. Im Induktionsschritt ist also (in der Regel unter Verwendung von Axiom 5) zu zeigen, dass für jede beliebige natürliche Zahl x gilt: Aus der Induktionsannahme: x gehört zu M folgt der Induktionsschluss: der Nachfolger x von x gehört ebenfalls zu M. 8.3 Beispiele zur vollständigen Induktion Typische ("klassische") Beispiele Beispiel 8.1: Für jede natürliche Zahl n mit (n 1) gilt n (n + 1) = n n + 1 (8.1) Beweis (exemplarisch; sehr ausführlich): 39

40 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen Induktionsverankerung: Es sei n = 1. Dann ist die linke Seite von Gleichung (8.1) gleich und die rechte Seite. Somit ist die linke gleich der rechten Seite und die Induktionsverankerung ist 1+1 erbracht. Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Gleichung (8.1) für die natürliche Zahl n gilt (Induktionsannahme) und zeigen, dass daraus folgt, dass die Aussage auch für n + 1 gilt (Induktionsschluss). Wir betrachten zunächst den Term n (n + 1) + 1 (n + 1) (n + ) Der Term lässt sich folgendermassen gruppieren ( ) n (n + 1) + 1 (n + 1) (n + ) (8.) (8.3) Der (eingeklammerte) erste Summand ist nach Induktionsannahme gleich Term in (8.3) gleich n (n + 1) + 1 (n + 1) (n + ) und hieraus folgt schliesslich n. Somit ist der n+1 (8.4) n (n + 1) + 1 (n + 1) (n + ) (8.5) n = (n + 1) + 1 (n + 1) (n + ) n (n + ) + 1 = (n + 1) (n + ) = n + n + 1 (n + 1) (n + ) (n + 1) = (n + 1) (n + ) = n + 1 n + Wir haben insgesamt gezeigt: Aus der Induktionsannahme folgt der Induktionsschluss. Damit ist der Induktionsschritt durchgeführt und die Formel (8.1) ist bewiesen. Beispiel 8.: Für jede natürliche Zahl n mit (n 1) gilt 1 1! +! + 3 3! n n! = (n + 1)! 1 (8.6) Beweis Induktionsverankerung: Es sei n = 1. Dann ist die linke Seite von Gleichung (8.6) gleich 1 1! = 1 und die rechte Seite (1 + 1)! 1 =! 1 = 1 = 1. Somit ist die Induktionsverankerung erbracht. 40

41 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Gleichung (8.6) für die natürliche Zahl n gilt (Induktionsannahme) und zeigen, dass daraus folgt, dass die Aussage auch für n + 1 gilt (Induktionsschluss). Wir betrachten zunächst den Term 1 1! +! + 3 3! n n! + (n + 1) (n + 1)! (8.7) Er lässt sich folgendermassen gruppieren (1 1! +! + 3 3! n n!) + (n + 1) (n + 1)! (8.8) Der (eingeklammerte) erste Summand ist nach Induktionsannahme gleich (n + 1)! 1. Somit ist der Term in (8.8) gleich und hieraus folgt schliesslich 1 1! +! + 3 3! n n! + (n + 1) (n + 1)! = ( (n + 1)! 1 ) + (n + 1) (n + 1)! = (n + 1)! (1 + (n + 1)) 1 = (n + 1)! (n + ) 1 = (n + )! 1 Damit ist der Induktionsschritt vollzogen. (n + 1)! 1 + (n + 1) (n + 1)! (8.9) Beispiel 8.3: Für jede natürliche Zahl n mit n 0 und jede reelle Zahl x mit x 1 gilt 1 + x + x + x x n = 1 xn+1 1 x (man beachte: x 1) (8.10) Beweis Induktionsverankerung: Es sei n = 0. Dann ist die linke Seite von Gleichung (8.10) (wegen x 0 = 1) gleich 1, die rechte Seite gleich 1 x1 (= 1) und die Induktionsverankerung ist 1 x erbracht. Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Gleichung (8.10) für die natürliche Zahl n gilt (Induktionsannahme) und zeigen, dass daraus folgt, dass die Aussage auch für n + 1 gilt (Induktionsschluss). Wir betrachten zunächst den Term 1 + x + x + x x n + x n+1 (8.11) Er lässt sich folgendermassen gruppieren ( 1 + x + x + x x n) + x n+1 (8.1) Der (eingeklammerte) erste Summand ist nach Induktionsannahme gleich 1 xn+1. Somit ist 1 x der Term in (8.1) gleich: 1 x n+1 1 x + xn+1 (8.13) 41

42 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen und hieraus folgt schliesslich 1 + x + x + x x n + x n+1 = 1 xn+1 1 x + xn+1 = 1 xn+1 + x n+1 (1 x) 1 x = 1 xn+1 + x n+1 x n+ 1 x = 1 xn+ 1 x und der Induktionsschritt ist vollzogen. Bemerkungen: 1. Im Falle von x = vereinfacht sich (8.10) zu n = n+1 1 (8.14). Im Falle von x < 1 strebt x n gegen 0 und somit strebt 1 xn+1 gegen 1 1 x Worten lim (1 + x + n x + x x n ) = 1 1 x Hieraus folgt insbesondere im Dezimalsystem 0, = = 9 ( ) = x. Mit anderen 1 ( ) = (8.15) 3. Gleichung (8.10) lässt sich (wegen der dadurch entfallenden Ausnahmebedingung x 1) in durchaus vorteilhafter Weise auch folgendermassen schreiben = 1 (1 + x + x + x x n ) (1 x) = 1 x n+1 (8.16) Unter Verwendung der folgenden visuell suggestiven Darstellung lässt sich die Gleichung auch wie folgt begründen: (1 + x + x + x x n ) (1 x) = 1 + x + x + x x n x x x 3... x n x n+1 = 1 x n+1 Beispiel 8.4: Betrachten Sie die folgenden Summen S 1 = 1 S =

43 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen S 3 = S 4 = S 5 = Berechnen Sie konkrete Zahlenwerte, stellen Sie eine allgemeine Formel für S n auf und beweisen Sie diese. Beispiel 8.5: Wir betrachten den Term n (n + 1) (n + ) (8.17) Berechnen Sie den Term für konkrete Zahlenwerte von n, stellen Sie eine explizite Formel (ohne drei Pünktchen ) auf und beweisen Sie diese. Beispiel 8.6: Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer endlichen Menge Definition: Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heisst Potenzmenge von M (in Zeichen: P(M)). Satz: Es sei M eine endliche Menge mit n Elementen. Dann hat die Potenzmenge P(M) von M P(M) = n Elemente. Beweis: Übung (Induktionsverankerung bei n = 0) Hinweis: Die Potenzmenge der leeren Menge ist die ein-elementige Menge { }. Beispiel 8.7: Bernoullische Ungleichung (nach Jakob Bernoulli, ) Es sei x 1 und n N, n 0. Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung (1 + x) n 1 + n x (8.18) 8.3. Einige nicht so ganz typische Beispiele Beispiel 8.8 : Ein Beispiel zur Nicht-Standard-Induktionsverankerung. Wir betrachten für kleine Werte von k die Terme k und k. k k k Ab k = 4 scheint der Wert von k zunehmend sehr viel schneller zu steigen als der von k. Für k > 4 scheint zu gelten: k < k (8.19) Wir vermuten, dass die Ungleichung für alle natürlichen Zahlen k mit k > 4 gilt. In diesem Fall ist die Induktionsverankerung also an der Stelle k = 5 vorzunehmen. Die Gültigkeit der Induktionsverankerung an dieser Stelle ist unmittelbar aus der obigen Tabelle zu entnehmen. 43

44 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Gleichung (8.19) für die natürliche Zahl k gilt und zeigen, dass daraus folgt, dass die Aussage auch für k + 1 gilt. Da für k > 4 stets k + 1 < k ist (Übung!), gilt Folgendes: (k + 1) = k + k + 1 < k + k + 1 < k + k = k = k+1 (8.0) Und der Induktionsschritt ist vollzogen. Beispiel 8.9 : Wir greifen das Beispiel der Argument-Halbierung aus Abschnitt über die Berechnung der Fibonacci-Zahlen auf. Behauptung: Für alle k 0 gilt: F k = F k (F k+1 F k ) und (8.1) F k+1 = F k+1 + F k Induktionsverankerung bei k = 0: (8.) F 0 = F 0 = 0 = F 0 (F 0+1 F 0 ) und F = F 1 = 1 = F F 0 Induktionsschritt: Es ist zu zeigen, dass unter der Annahme der Gültigkeit der Gleichungen (8.1) und (8.) folgt: F (k+1) = F k+1 (F (k+1)+1 F k+1 ) und F (k+1)+1 = F (k+1)+1 + F k+1 Dabei ist zu beachten, dass der Induktionsschritt simultan für die beiden Gleichungen zu erbringen ist. Zunächst zur Gleichung (8.1) mit k + 1 an Stelle von k: F (k+1) = F k+ = F k+1 + F k (nach Def. Fib (6.1)) = (F k+1 + F k ) + F k (nach Ind. Ann. (8.)) = F k+1 + F k + F k (F k+1 F k ) (nach Ind. Ann. (8.1)) = F k+1 + F k + F k F k+1 F k = F k+1 + F k F k+1 = F k+1 (F k+1 + F k ) = F k+1 (F k+ + F k ) (nach Def. Fib (6.1)) = F k+1 (F k+ + (F k+ F k+1 )) (nach Def. Fib (6.1)) = F k+1 (F k+ F k+1 )) Damit ist der erste Teil des Induktionsschritts erbracht. Weiterhin gilt für Gleichung (8.) mit k + 1 an Stelle von k: F (k+1)+1 = F k+3 = F k+ + F k+1 (nach Def. Fib (6.1)) = (F k+1 + F k ) + F k+1 (nach Def. Fib (6.1)) = F k+1 + F k 44

45 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen = (F k+1 + F k ) + F k (F k+1 F k ) (nach Ind. Ann. (8.) und (8.1) = F k+1 + F k + F k F k+1 F k = F k+1 + F k + (F k+ F k+1 )(F k+ F k ) (nach Def. Fib (6.1)) = F k+1 + F k + F k+ F k+ F k F k+1 F k+ + F k+1 F k = F k+1 + (F k+ F k+1 )(F k+ F k+1 ) + F k+ F k+ (F k+ F k+1 ) F k+1 F k+ + F k+1 (F k+ F k+1 ) = F k+1 + F k+ F k+ F k+1 + F k+1 + F k+ F k+ + F k+ F k+1 F k+ F k+1 + F k+ F k+1 F k+1 = F k+ + F k+1 Damit ist der zweite Teil des Indutionsschritts erbracht und der Induktionsbeweis ist abgeschlossen Definition durch vollständige Induktion Das Prinzip der vollständigen Induktion kann auch für mathematische Definitionen genutzt werden. Beispiel 8.10: Die Summenfunktion bzw. Summationsfunktion n i=1 x i Sie wird oft folgendermassen erklärt: n i=1 x i := x 1 + x + x x n Diese Definition ist wegen der drei Pünktchen ( Ellipsis ) aber lückenhaft. Ein mit hinreichender Intuition ausgestatteter Mensch wird sich in der Regel vorstellen können, was damit gemeint ist; ein Computer könnte eine so definierte Summe aber nicht berechnen. Die folgende rekursive Definition lässt sich dagegen leicht in (praktisch) jedes Computerprogramm übersetzen: { n x 1 falls n = 1 x i = ( n 1 i=1 x (8.3) i) + x n falls n > 1 i=1 Im Computeralgebra System Maxima lautet ein entsprechendes Programm zur Berechnung der Summe der ersten n Quadratzahlen z.b. folgendermassen: QUADSUM(n) := if n=1 then 1 else QUADSUM(n-1) + n^ Beispiel 8.11: Formulieren Sie eine Definition für die Fakultätsfunktion ohne drei Pünktchen. Setzen Sie die Definition in einer höheren Programmiersprache um. Beispiel 8.1: Die Binomialkoeffizienten werden oft folgendermassen definiert ( ) n n! := k k! (n k)! 45

46 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen In der deutschen Sprache wird der Ausdruck ( n k) als n über k ausgesprochen. In der englischen Aussprache n choose k kommt sehr schön zu Ausdruck, dass der Binomialkoeffizient ( n k) genau die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, eine k-elementige Menge aus einer n-elementigen Menge auszuwählen. Aufgaben: Beweisen Sie die letzte Aussage. Geben Sie zu den folgenden Gleichungen jeweils ein (nichttriviales) Beispiel an (d.h. n und k jeweils mindestens gleich 3) und zeigen Sie: ( ) ( ) n n = (8.4) k n k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n = n (8.5) 0 1 n 1 n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n + 1 n + n + k n + k = (8.6) 0 ( ) n + k 1 ( n k 1 ) ( ) n + 1 = k Für beliebige Zahlen a und b gilt der Binomische Lehrsatz (a + b) n = ( ) n a n + 0 ( n 1 ) a n 1 b + k ( ) n a n b k ( ) n a n k b k k ( ) n b n n (8.7) (8.8) Beispiel 8.13: Die Siebformel (bzw. Ein- und Ausschalt-Formel): Es sei A eine endliche Menge; die Anzahl ihrer Elemente sei mit A bezeichnet. Ist A die Vereinigungsmenge der n Teilmengen A 1, A, A 3,..., A n, so gilt A = A 1 A A 3... A n (8.9) = n A i A i A j + A i A j A k i<j i=1 i<j<k... + ( 1) n 1 A 1 A... A n Zahlenmuster und vollständige Induktion Beispiel 8.14: Analysieren Sie das folgende Beispiel. Stellen Sie eine Vermutung auf und beweisen Sie diese. 1 + = = = =

47 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen Beispiel 8.15: Das Pascalsche Dreieck, die Binomialkoeffizienten und die Fibonacci Zahlen Das dreieckige Zahlenschema der Pascalschen Zahlen ist Zeile für Zeile folgendermassen aufgebaut: An den Rändern jeder Zeile steht die Zahl 1 und jede weitere Zahl in Zeile n + 1 ist als die Summe der schräg links und schräg rechts darüber stehenden Zahlen in Zeile n definiert. Wenn man etwas mit den Zahlen im Pascalschen Dreieck spielt, so hat man die Chance, eine Reihe interessanter Entdeckungen zu machen; so z.b. auch die Folgende: Legt man, wie in der folgenden Abbildung, schräge Pfeile durch das Pascalsche Dreieck und addiert man die auf einem Pfeil stehenden Zahlen auf, so erhält man als Summen offenbar gerade die Fibonacci Zahlen (zumindest, so weit sich das empirisch überprüfen lässt). Zeile 0... Zeile 1... Zeile... Zeile 3... Zeile Zeile Es drängt sich die Frage auf, ob der beobachtete Zusammenhang auch weiterhin gilt und ob er ggf. durch Rückgriff auf die Bildungsgesetze der Fibonacci Zahlen und der Zahlen im Pascalschen Dreieck einsichtig gemacht werden kann. Im Anhang über die Analyse ausgewählter Konfigurationen wird der Sachverhalt bildlich erläutert und geklärt. Dennoch sollten Sie versuchen, das Beispiel selbst zu analysieren. Untersuchen Sie insbesondere, ob die beobachtete Gesetzmässigkeit auch für weitere derartige schräge Pfeillinien gilt. Formulieren Sie den vermuteten Sachverhalt als Gleichung. 47

48 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen Bemerkungen 1. Die Zahlen im Pascalschen Dreieck lassen sich auch als Binomialkoeffizienten deuten: Die k-te Zahl in Zeile n ist ( n k). ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Numerierung: Der obersten, nur aus einer 1 bestehenden Zeile sei die Nummer 0 gegeben. Die Numerierung innerhalb der n-ten Zeile verläuft von 0 bis n.. Man kann die Zahlen im Pascalschen Dreieck in Zeile n auch als die natürlichzahligen Koeffizienten des Ausdrucks (a+b) n (in ausmultiplizierter Form) deuten (vgl. (8.8)). Dabei ist ( n k) der Koeffizient von a n k b k ; genauer: (a + b) n = ( n 0 ) a n b 0 + ( ) n a n 1 b ( ) n a n b ( ) n a n k b k k ( ) n a 0 b n n (8.30) Vollständige Induktion und andere Beweistechniken Gelegentlich taucht in der Mathematik das eine oder andere Prinzip auf, ohne dass erklärt wird, woher es eigentlich kommt oder welchen Status es hat. Auf der (in der Erkenntnistheorie so bezeichneten) Objektebene gibt es in der Mathematik aber (neben den Definitionen) nur Axiome und Sätze. Was ist also der wissenschaftstheoretische Status derartiger Prinzipen? Beispiel 8.16 : Das Schubfachprinzip: Wenn n + 1 Dinge auf n Schubfächer verteilt sind, dann muss mindestens ein Schubfach mehrfach belegt sein. Dies scheint unmittelbar klar zu sein. Da es aber nicht als Axiom deklariert ist (und eine Definition ist es offenbar auch nicht), muss es ein (im Prinzip beweisbedürftiger und beweisbarer) mathematischer Satz sein. Zur Illustration beweisen wir das Schubfachprinzip mit vollständiger Induktion. Induktionsverankerung: Im Falle n = 1 hat man also ein Schubfach und zwei Dinge sind auf dieses Schubfach verteilt. Also ist dieses Schubfach doppelt belegt. Induktionsschritt: Das Prinzip sei gültig für n Schubfächer und n + 1 Dinge. Es seien nun n + Dinge gegeben, die auf n + 1 Schubfächer verteilt sind. 48

49 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen 1. Fall: Im letzten Schubfach befinden sich zwei oder mehr Dinge. Dann sind wir fertig.. Fall: Im letzten Schubfach befindet sich genau ein Ding. Dann sind n + 1 Dinge auf die ersten n Schubfächer verteilt. Die Induktionsannahme besagt, dass eines dieser Schubfächer mehrfach belegt ist und wir sind fertig. 3. Fall: Im letzten Schubfach befindet sich kein Ding. Dann sind n + Dinge auf die ersten n Schubfächer verteilt und damit ist erst recht eines dieser Schubfächer mehrfach belegt. Da die Fallunterscheidung erschöpfend ist, ist damit das Schubfachprinzip bewiesen. Beispiel 8.17: Das Wohlordnungsprinzip (bzw. der Wohlordnungssatz): Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält ein kleinstes Element. Beweis: Übung (vollständige Induktion nach der Elementezahl der nichtleeren Menge) Das Wohlordnungsprinzip wird aus offensichtlichen Gründen gelegentlich auch als Prinzip (oder Satz) vom kleinsten Element bezeichnet. Da dieses kleinste Element in Widerspruchsbeweisen oft als Beispiel für die Ungültigkeit des zu beweisenden Satzes postuliert wird, nennt man es scherzhaft gelegentlich auch den kleinsten Verbrecher. Im Verlauf des Widerspruchsbeweises ist dann aus der Existenz des kleinsten Verbrechers ein Widerspruch herzuleiten mit der Konsequenz, dass es keinen kleinsten (und somit überhaupt keinen) Verbrecher geben kann; dass der behauptete Satz also allgemeingültig ist. Ein Beispiel für die Wirkungsweise des Prinzips vom kleinsten Element: Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie: Jede natürliche Zahl n (n > 1) ist als Produkt von Primzahlen darstellbar: n = p 1 p p 3... p s. Abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren ist diese Darstellung eindeutig. Bemerkung: Nach dem üblichen mathematischen Sprachgebrauch ist der Index s eine natürliche Zahl, die auch gleich 1 sein darf. In diesem Fall ist n = p 1 selbst eine Primzahl. Auch diese Möglichkeit ist in der obigen Formulierung des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie enthalten. Beweis: Es ist sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zu zeigen. (1.) Zur Existenz der Primfaktorzerlegung: Wir führen einen Widerspruchsbeweis durch. Angenommen, die Aussage sei falsch. Dann gibt es natürliche Zahlen, die keine Primfaktorzerlegung besitzen. Die Menge dieser Verbrecher ist also nichtleer und es gibt darunter einen kleinsten; dies sei die natürliche Zahl m. Die Zahl m kann keine Primzahl sein, denn sonst wäre sie kein Verbrecher (vgl. obige Bemerkung); m besitzt also nichttriviale Teiler. Der kleinste darunter sei p. Er ist eine Primzahl (denn der kleinste nichttriviale Teiler einer zerlegbaren natürlichen Zahl ist stets eine Primzahl). Es sei etwa m = p r. Jeder der Faktoren p und r ist kleiner als m. Da m der kleinste Verbrecher war, ist r kein Verbrecher; d.h. r besitzt eine Primfaktorzerlegung, etwa r = q 1 q... q j. Aber dann ist p q 1 q... q j eine Primfaktorzerlegung von m im Widerspruch zur Annahme, dass m keine Primfaktorzerlegung besitze. Es kann also keinen Verbrecher m geben, der die Gültigkeit der Behauptung über die Existenz von Primfaktorzerlegungen verdirbt. Das heisst, jede natürliche Zahl n (n > 1) besitzt, wie behauptet, eine Primfaktorzerlegung. (.) Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Übung 49

50 Figurierte Zahlen 8 Anhang: Natürliche Zahlen Eine Bemerkung zur Methodologie des Beweisens: Bei Aussagen über natürliche Zahlen sind vollständige Induktion und (auf das Engste damit verbunden) Rekursion stets die Basis, auf die man alles zurückführen kann. Aber das Schubfachprinzip und das Wohlordnungsprinzip zeigen, dass die formale Prozedur des Beweisens mit vollständiger Induktion gelegentlich durch andere, intuitivere Methoden ersetzt werden kann. Weitere Beispiele dafür sind: Die Methode der figurierten Zahlen auf der Basis geeigneter Visualisierungen in Kombination mit dem paradigmatischen Begründen oder Beweisen. Darum geht es ja gerade in diesem Manuskript. Das Denken in Symmetrien: Natürlich ist die Geometrie die eigentliche Domäne des Symmetrie-Konzepts. Aber auch sonst ist in der Mathematik das Denken in Symmetrien von Bedeutung; als (winziges) Beispiel sei der Beweis von ( ) ( n k = n n k) erwähnt. Das Denken in Invarianten: Hierzu gehören nicht zuletzt auch Konzepte wie Summen-, Differenzen-, Produkt- und Quotientengleichheit (man vergleiche hierzu auch die Ausführungen über Differenzenschemata in den Abschnitten 4 und 5 dieses Manuskripts). Gerade in der Informatik macht man vom Denken in Invarianten im Zusammenhang mit dem Konzept der Schleifeninvarianten oft Gebrauch Vollständige Induktion im Zusammenhang mit geometrischen Beispielen Die vollständige Induktion scheint in der Mathematik zunächst einmal nur für den Bereich der Zahlen relevant zu sein. Es gibt aber auch Sätze in der Mathematik, in denen Zahlen (zumindest in vordergründiger Weise) gar nicht vorkommen, die aber trotzdem mit vollständiger Induktion bewiesen werden können. Beispiel 8.18: Schwarz Weiss Färbungen Satz: Eine Landkarte, deren Ländergrenzen aus (endlich vielen) Geraden bestehen, die von Rand zu Rand verlaufen, lässt sich stets mit zwei Farben so färben, dass benachbarte Länder verschieden gefärbt sind. Dabei werden zwei Länder als benachbart angesehen, wenn sie eine gemeinsame Grenzstrecke besitzen. Zwei Länder, die nur einen gemeinsamen Grenzpunkt besitzen, werden dagegen nicht als benachbart angesehen. 50