Arnfried Kemnitz. Mathematik zum Studienbeginn

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1 Arnfried Kemnitz Mathematik zum Studienbeginn

2 Aus dem Programm. Mathematik Angewandte Mathematik, Modellbildung und Informatik von Th. Sonar Schulwissen Mathematik: Ein Uberblick von W. Scharlau Analysis 3 Bande von O. Forster Analytische Geometrie von G. Fischer Lineare Algebra von G. Fischer Lineare Algebra von A. Beutelspacher Lineare Algebra Interaktiv (CD-ROM) von A. Beutelspacher und M.-A. Zschiegner "Das ist o.b.d.a. trivial!" von A. Beutelspacher Stochastik fur Einsteiger vonn. Henze Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler 3 Bande, Ubungsbuch und Formelsammlung von L. Papula Einfuhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik von 1. Tietze vieweg "

3 Arnfried Kemnitz Mathematik zum Studienbeginn Grundlagenwissen fur aile technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengange 5., verbesserte Auflage II vleweg

4 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet tiber < abrufbar. Prof. Dr. Arnfried Kemnitz Abteilung Diskrete Mathematik Technische UniversWit Braunschweig Pockelsstr Braunschweig 1. Auflage September , verbesserte Auflage September , durchgesehene Auflage Oktober , durchgesehene Auflage November , verbesserte Auflage November 2002 AIle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden, 2002 Urspriinglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, BraunschweiglWiesbaden Das Werk einschlieblich alier seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Konzeption und Layout: Ulrike Weigel, Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 v Vorwort zur 1. Auflage Die Mathematik ist ein wichtiges Grundlagenfach fur viele Studiengange an Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universitaten. Studierende vieler Fachrichtungen benotigen zum Beginn ihres Studiums gute mathematische Grundkenntnisse. Dieses Buch wendet sich an Studentinnen und Studenten ingenieurwissenschaftlicher, technischer, wirtschaftswissenschaftlicher und mathematisch-naturwissenschaftlicher Studiengange sowie an Lehramtsstudierende. Eine internationale Studie von TIMSS (Third International Mathematics and Science Study), deren Ergebnisse im Fruhjahr dieses Jahres veroffentlicht wurden, zum Wissensstand in Mathematik von Schiilern der AbschluBklassen in 24 europaischen und aubereuropaischen Uindern hat gezeigt, dass die deutschen Schuler nur einen Platz im unteren Mittelfeld einnehmen. Zum Beispiel hatten 30 % der befragten deutschen Schiller Schwierigkeiten beim Aufiosen von Gleichungen mit einer Unbekannten. Auch eigene Lehrerfahrungen in mathematischen Grundvorlesungen an der Technischen Universitat Braunschweig zeigen, dass viele Studienbeginnerinnen und Studienbeginner Anfangsschwierigkeiten haben, wofur es eine Reihe unterschiedlicher Ursachen gibt. Viele dieser Schwierigkeiten beruhen darauf, dass der Schulstoff, der an den Hochschulen und Universitaten vorausgesetzt wird, nicht sicher beherrscht wird. Nicht selten fuhren solche Probleme in den mathematischen Grundlagen sogar zum Studienabbruch. Das Buch will helfen, solche Anfangsschwierigkeiten zu vermeiden. Es enthiilt als einen Schwerpunkt einen Uberblick des Schulstoffs. Vor ahem die fur die Mathematikausbildung des Studiums wichtigen Gebiete sind ausfuhrlich und mit vielen Beispielen dargestellt. Die Grundlagen der Mathematik werden systematisch und methodisch aufbereitet prasentiert. Das Buch eignet sich deshalb sehr gut zum Selbststudium fur die Vorbereitung auf das Hochschulstudium. An vielen Hochschulen und Universitaten finden vor Beginn eines Wintersemesters Vorkurse oder Bruckenkurse in Mathematik statt. Diese Kurse wenden sich an Studienbeginner aller Mathematik anwendenden Fachrichtungen, vor allem also an die ingenieurwissenschaftlichen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengange. In diesen Kursen sollen die fur das Studium erforderlichen Kenntnisse in Mathematik aufgefrischt bzw. vervollstandigt werden. Dieses Buch eignet sich wegen der grundlegenden Begriffserlauterungen mit vielen Beispielen sehr gut als Begleitbuch fur einen solchen Bruckenkurs oder Vorkurs. Daruber hinaus werden als weiterer Schwerpunkt mathematische Grundlagen fur die Anfangssemester behandelt wie Analytische Geometrie und Differential- und Integralrechnung. Deshalb ist das Buch auch als begleitendes Lehr- und Handbuch fur die Grundvorlesungen von grobem Interesse. Alle behandelten Themen sind durchgangig verstandlich dargestellt. Zahlreiche Beispiele sollen die Kenntnisse vertiefen, viele Abbildungen sollen mathematische Objekte visualisieren und Ergebnisse veranschaulichen. GroBer Wert wurde auf Anschaulichkeit gelegt.

6 vi Die einzelnen Abschnitte konnen weitgehend unabhangig voneinander durchgearbeitet werden, Verweise erleichtern das Auffinden notwendiger Begriffserlauterungen. Das Buch eignet sich auch gut als Nachschlagewerk fur die Grundlagen der Mathematik, eben als das Mathematikbuch zum Studienbeginn. Fur Studierende ingenieurwissenschaftlicher Fachbereiche sind die im gleichen Verlag erschienenen Werke "Das Techniker Handbuch" (Hrsg. A. Boge), "Vieweg Handbuch Elektrotechnik" (Hrsg. W. Boge) sowie "Vieweg Lexikon Technik" (Hrsg. A. Boge) von grobem Interesse, deren Mathematikabschnitte von Dr. F. Kemnitz bzw. vom Autor dieses Buches geschrieben wurden. Der Autor bedankt sich bei Frau U. Schmickler-Hirzebruch vom Verlag Vieweg fur die gute Zusammenarbeit. Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Dr. W. Oelke, C. Thurmann und Dr. H. WeiB fur die Mithilfe bei der Erstellung der reproduktionsfahigen Druckvorlage. Braunschweig, im August 1998 Arnfried Kemnitz Vorwort zur 2. Auflage Nur wenige Monate nach Einfuhrung erscheint eine 2. Auflage dieses Buches. Dies zeigt, dass das Konzept der "Mathematik zum Studienbeginn" von den Lesern angenommen wird. Fur zahlreiche Zuschriften mit konstruktiven Bemerkungen bedanke ich mich. Einige der Hinweise sind in dieser Auflage berucksichtigt. Auf mehrfachen Wunsch ist das Kapitel uber Kombinatorik erweitert worden. Braunschweig, im Mai 1999 Arnfried Kemnitz Der Text fur die 4. AuHage wurde durchgesehen, Druckfehler wurden korrigiert. Braunschweig, im Oktober 2001 Arnfried Kemnitz

7 vii Vorwort zur 5. Auflage Der Text wurde weiter verbessert und an die neue Rechtschreibung angepasst. Dabei wurden an verschiedenen Stellen auch Hinweise und VorschUige von Lesern aufgegriffen und beriicksichtigt. Der Autor bedankt sich fur den sehr guten Zuspruch und die zahlreichen auberst positiven Reaktionen auf das Buch. Die Pisa-Studie hat deutiich aufgezeigt, dass ausreichende mathematische Kenntnisse, die fur zahlreiche Studiengange notwendig sind, zum Studienbeginn nicht unbedingt vorausgesetzt werden k6nnen. Es ist ein Hauptziel der "Mathematik zum Studienbeginn", mathematische Verstandnis- und Wissensliicken zu schiieben, um das Studium gut geriistet beginnen zu k6nnen. Braunschweig, im Oktober 2002 Arnfried Kemnitz

8 ix Inhaltsverzeichnis 1 Arithmetik 1.1 Mengen Aussageformen und logische Zeichen Aussageformen Logische Zeichen Vollstandige Induktion Einteilung der Zahlen Grundrechenarten Grundlegende Rechenregeln Buchstabenrechnen Kehrwert, Quersumme Teilbarkeitsregeln Punktrechnung vor Strichrechnung Potenzrechnung vor Punktrechnung Grundgesetze der Addition und Multiplikation Grundregeln der Klammerrechnung Multiplikation mit Klammern Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen Binomische Formeln Division mit Klammern Bruchrechnung Definitionen Erweitern und Kiirzen Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Briiche Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Briiche Multiplizieren von Briichen Dividieren von Briichen 1. 7 Potenz- und Wurzelrechnung Definition der Potenz Regeln der Potenzrechnung Definition der Wurzel Regeln der Wurzelrechnung 1.8 Dezimalzahlen und Dualzahlen Dezimalsystem Dualsystem Runden Logarithmen Definition des Logarithmus Spezielle Basen Regeln der Logarithmenrechnung Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen Dekadische Logarithmen Mittelwerte

9 x Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Quadratisches Mittel Ungleichungen Definitionen und Rechenregeln Absolutbetrag Intervalle Komplexe Zahlen Algebraische Form Trigonometrische Form Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen Multiplizieren komplexer Zahlen Dividieren komplexer Zahlen Potenzieren komplexer Zahlen Radizieren komplexer Zahlen Eulersche Formel Gleichungen 2.1 Gleichungsarten Aquivalente Umformungen. 2.3 Lineare Gleichungen Proportionen Quadratische Gleichungen Definitionen L6sungsverfahren Satz von Vieta fur quadratische Gleichungen 2.6 Algebraische Gleichungen h6heren Grades Kubische Gleichungen Polynomdivision Gleichungen vierten Grades Gleichungen n-ten Grades Satz von Vieta fur Gleichungen n-ten Grades 2.7 Auf algebraische Gleichungen zuruckfiihrbare Gleichungen Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Trigonometrische Gleichungen. 2.9 Lineare Gleichungssysteme Definitionen Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen Matrizen und Determinanten 2.10 Lineare Ungleichungen Definitionen Lineare Ungleichungen mit einer Variablen

10 xi Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen 3 Planimetrie 3.1 Geraden und Strecken Winkel Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal 3.4 Projektion Geometrische Orter Dreiecke Allgemeine Dreiecke Gleichschenklige Dreiecke Gleichseitige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Besondere Geraden, Strecken und Kreise Flachensatze im rechtwinkligen Dreieck Kongruenz von Dreiecken Grundkonstruktionen des Dreiecks 3.7 Vierecke Allgemeine Vierecke Trapeze Parallelogramme Rhomben Rechtecke Quadrate Drachen Sehnenvierecke Tangentenvierecke 3.8 Regulare n-ecke 3.9 Polygone Kreise Definitionen Kreissektoren Kreissegmente Kreise und Geraden Winkelsatze am Kreis Eigenschaften von Sekanten und Sehnen Tangentenkonstruktionen Satze fiber Sehnen, Sekanten, Tangenten Bogenmaf Symmetrie Punktsymmetrie Achsensymmetrie Ahnlichkeit Zentrische Streckung Strahlensatze Ahnliche Figuren Streckenteilungen

11 xii 4 Stereometrie Prismen Allgemeine Prismen Parallelepiped und Wiirfel Zylinder Allgemeine Zylinder Gerade Kreiszylinder Hohlzylinder Pyramiden Allgemeine Pyramiden Gerade quadratische Pyramiden Kegel Allgemeine Kegel Gerade Kreiskegel Cavalierisches Prinzip Pyramidenstiimpfe und Kegelstiimpfe Pyramidenstumpfe Kegelstiimpfe Platonische Karper Kugeln Definitionen Kugelsegmente Kugelsektoren Kugelschichten Funktionen Definition und Darstellungen von Funktionen Definitionen Funktionsgleichung Graph einer Funktion Wertetabelle einer Funktion Verhalten von Funktionen Monotone Funktionen Symmetrische Funktionen Beschrankte F\mktionen Injektive Funktionen Surjektive Funktionen Bijektive Funktionen Periodische Funktionen U mkehrfunktionen Reelle und komplexe Funktionen Einteilung der elementaren Funktionen Ganze rationale Funktionen Konstante Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Kubische Funktionen Ganze rationale Funktionen n-ten Grades 199

12 xiii Horner-Schema Gebrochene rationale Funktionen Nullstellen, Pole, Asymptoten Partialbruchzerlegung Irrationale Funktionen Transzendente Funktionen ExponentiaIfunktionen Logarithmusfunktionen 6 Trigonometrie 6.1 Definition der trigonometrischen Funktionen Trigonometrische Funktionen fur beliebige Winkel 6.3 Beziehungen fur den gleichen Winkel Graphen der trigonometrischen Funktionen 6.5 Reduktionsformeln Additionstheoreme Sinussatz und Kosinussatz Grundaufgaben der Dreiecksberechnung. 6.9 Arkusfunktionen Analytische Geometrie 7.1 Koordinatensysteme Kartesisches Koordinatensystem der Ebene Polarkoordinatensystem der Ebene Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Kartesisches Koordinatensystem des Raums Kugelkoordinatensystem des Raums Zylinderkoordinatensystem des Raums. 7.2 Geraden Geradengleichungen Abstande Kreise Kreisgleichungen Berechnung von Kreisen Kreis und Gerade. Kugeln.... Kegelschnitte Ellipsen Hyperbeln Parabeln Anwendungen. Graphisches Losen von Gleichungen.... Vektoren Definitionen Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition und Subtraktion zweier Vektoren Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene Komponentendarstellung von Vektoren im Raum Skalarprodukt

13 xiv Vektorprodukt Spatprodukt Differenzial- und Integralrechnung Folgen Grundbegriffe Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Grenzwert einer Folge Tabelle einiger Grenzwerte Divergente Folgen Reihen Definitionen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen Harmonische Reihen Alternierende Reihen Grenzwerte von Funktionen Grenzwert an einer endlichen Stelle Einseitige Grenzwerte Grenzwert im Unendlichen Rechenregeln fiir Grenzwerte Unbestimmte Ausdriicke Stetigkeit einer Funktion Unstetigkeitsstellen Ableitung einer Funktion Definitionen Differenziationsregeln Hahere Ableitungen Ableitungen einiger algebraischer Funktionen Ableitungen einiger transzendenter Funktionen Sekanten und Tangenten Extremwerte von Funktionen Kriimmungsverhalten von Funktionen Wendepunkte von Funktionen Kurvendiskussion Anwendungsbeispiele Naherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung Integralrechnung Unbestimmtes Integral Integrationsregeln Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen Bestimmtes Integral Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Eigenschaften des bestimmten Integrals Einige Anwendungen der Integralrechnung Funktionenreihen

14 xv Definitionen Potenzreihen Fourier-Reihen 9 Kombinatorik 9.1 Kombinatorische Grundprinzipien Fakultaten, Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck Binomischer Lehrsatz Permutationen und Variationen Kombinationen Permutationen mit eingeschrankter Wiederholung. 9.7 Multinomialsatz Prinzip der Inklusion und Exldusion Wahrscheinlichkeitsrechnung 10.1 Zufallige Ereignisse Absolute und relative Haufigkeit von Ereignissen 10.3 Stichproben Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit 10.5 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Zufallsvariable.... A Symbole und Bezeichnungsweisen B Mathematische Konstanten C Das griechische Alphabet Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis