Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A. Langmuir-Sonde. Nils Thielke und Robert Brauer. 8. November 2012

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1 Fortgeschrittenen Praktikum I Teil A Langmuir-Sonde Nils Thielke und Robert Brauer 8. November 2012 Wir erklären, dass wir dieses Protokoll eigenhändig anhand des angehängten Messprotokolls und der angegebenen Literatur erstellt haben. Nils Thielke Robert Brauer

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3 Inhaltsverzeichnis III Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Theorie Maxwell-Boltzmann-Verteilung Langmuir-Sonde Aufbau Messung von Hand Automatisierte Messung Durchführung Messung von Hand Automatisierte Messung Diskussion

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5 1 1 Einleitung In diesem Protokoll sollen Plasmaparameter, wie Elektronentemperatur und Elektronendichte, mit Hilfe einer Langmuir-Sonde bestimmt werden. Zuerst wird mit der Theorie die Gleichungen hergeleitet, mit denen die Plasmaparameter berechnet werden können. Danach wird der Aufbau der Messung dargestellt und erläutert. Nachdem der Aufbau erklärt ist, wird auf die Messungen selbst eingegangen. Dabei wird die Messung einmal von Hand und danach mit dem Computer durchgeführt. Am Ende werden die Plasmaparameter berechnet und die Ergebnisse diskutiert. 2 Theorie 2.1 Maxwell-Boltzmann-Verteilung Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschreibt die Verteilung der Geschwindigkeit von Teilchen in einem idealen Gas. Im 3-Dimensionalem Fall wird sie wie folgt beschrieben: p( v) = ( ) 3 ) m 2 exp ( m v2. (2.1-G1) 2πk B T 2k B T Wobei m die Masse und T die Temperatur der Gasteilchen angibt. Im 1-Dimensionalem Fall sieht die Verteilung dann folgendermaßen aus: p(v) = ( ) 1 ) m 2 exp ( mv2. (2.1-G2) 2πk B T 2k B T Um daraus den Strom in einem Plasma herzuleiten, wird der Erwartungswert der Geschwindigkeit benötigt. v = 0 dv v p(v) (2.1-G3) Mit der Geschwindigkeit kann über I = naev der Strom berechnet werden. Dabei ist n die Teilchendichte und A die Querschnittsfläche durch den der Strom fließt. m ) I = nae dv v exp ( mv2 (2.1-G4) 2πk B T 2k B T Langmuir-Sonde Mit Hilfe der Langmuir-Theorie lassen sich aus der, mit einer Langmuir-Sonde aufgenommenen Strom-Spannungs-Kennlinie (U-I-Kennlinie), verschiedene Plasmaparameter bestimmen. Dazu wird zum Beispiel eine Elektronenröhre benutzt. In ihr kann durch eine hohe Spannung zwischen der Anode und Kathode ein Plasma gezündet werden. Wenn

6 2 2 Theorie an dem Trigger der Elektronenröhre (Sonde) keine Spannung anliegt, dann können die geladenen Teilchen des Plasmas auf die Sonde treffen. Da die Elektronen eine wesentlich geringere Masse als die Ionen haben, werden mehr Elektronen auf die Sonde treffen. An der Sonde bildet sich dann eine gladene Randschicht. Wenn nun in einem bestimmten Bereich die Spannung der Sonde variiert wird, dann ergibt sich eine charakteristische Kennlinie. Aus dieser können die Elektronentemperatur, Teilchendichte und Sättigungsströme vom Plasma ermittelt werden. In Abbildung 2.2-A1 ist eine solche Kennlinie dargestellt. Der Abbildung 2.2-A1 Strom-Spannungskennlinie einer Messung mit Langmuir-Sonde Punkt an dem der Strom auf die Sonde Null ist, nennt man das Floatingpotential φ f. der Punkt ab dem der Strom in die Sättigung geht, nennt man das Plasmapotential φ P. Bei dieser Spannung ist das Sondenpotential φ S gleich dem des Plasmas. Was bedeutet, dass die Randschicht verschwindet und die Elektronen ungehindert auf die Sonde treffen können. Außerdem sind in der Kennlinie sofort die Sättigunsströme zu erkennen. Sie sind jeweils das Minimum bzw. Maximum im Bereich 1 und 3. Um aus den Größen dieser Kennlinie die Plasmaparameter zu bestimmen, wird angenommen, dass das Plasma einem idealen Gas genügt. Daher kann für die Geschwindigkeit der geladenen Teilchen die Maxwell-Boltzmann-Verteilung verwendet werden. Wenn die Elektronen im Plasma eine kinetische Energie von 1 2 m ev 2 min > e (φ p φ s ) besitzen, können sie auf die Sonde treffen. Bei einer kleineren Geschwindigkeit als v min nicht mehr, da die Potentialbarriere nicht überwunden werden kann. Stellt man die Gleichung nach v min um, so ergibt sich: v min = 2eU p m e. (2.2-G5)

7 2.2 Langmuir-Sonde 3 Dabei ist U p = φ p φ s. Passt man nun die Maxwell-Boltzmann-Verteilung an das Plasma an, und ersetzt die untere Grenze zu v min, dann ergibt sich: ( me I e (U p ) = n e Ae dv z v z exp m ) evz 2. (2.2-G6) 2πk B T e v min 2k B T e Das Ausführen der Integration ergibt: Setzt man nun I e (0) = I e,sat ein. I e (U p ) = 1 4 n eae 8kB T e πm e ( ) eup exp. (2.2-G7) k B T e I e,sat = 1 4 n 8kB T e eae πm e Dann wird die Gleichung nach n e umgestellt. (2.2-G8) n e = 4I e,sat Ae πme 8k B T e (2.2-G9) Somit kann durch die Bestimmung von I e,sat und T e die Elektronendichte n e berechnet werden. Es fehlt so nur noch die Bestimmung von T e. Diese kann auf 2 unterschiedliche Arten ermittelt werden. Die erste Art besteht darin die Steigung zu messen, die in Abbildung 2.2-A1 in Bereich 2 vorkommt. Der Ionensättigungsstrom I i,sat wird dazu vom gemessenen Strom I mess abgezogen und danach der resultierende Strom logarithmiert. Um aus der Steigung die Elektronentemperatur T e zu berechnen wird Gleichung 2.2-G7 auf beiden Seiten logarithmiert und die Steigung m dieser Gleichung betrachtet. m = Umgestellt kann dann T e berechnet werden. T e = e k B T e e m k B (2.2-G10) (2.2-G11) Die zweite Möglichkeit T e zu bestimmen geschieht, indem der Gesamtstrom am Floatingpotential φ f betrachtet wird. Dieser ist definiert als Null. I ges (φ f ) := 0 (2.2-G12) Dabei ist der Gesamtstrom I ges als Summe aus Ionensättigungsstrom I i,sat und Elektronenstrom I e (U p ) definiert. Der Ionensättigungsstrom I i,sat wird im gesamten Bereich der U-I-Kennlinie als konstant angenommen. Setzt man I e (U p ) aus Gleichung 2.2-G7 ein. 0 = I i,sat 1 4 n eae 8kB T e πm e ( ) eφf exp k B T e (2.2-G13) Nach dem Einsetzen von Gleichung 2.2-G8 und umstellen nach φ f ergibt sich: φ f = k ( BT e ln I ) e,sat. (2.2-G14) e I i,sat

8 4 3 Aufbau Stellt man diese Gleichung nach T e um, kann aus den Sättigungsströmen und dem Floatingpotential die Elektronentemperatur berechnet werden. T e = eφ f k B Es können noch weitere Plasmaparameter berechnet werden: ( ln I ) 1 e,sat (2.2-G15) I i,sat Die Debyelänge ist die Länge bei der ein Störpotential in einem Plasma auf 1 abgefallen e ist. λ 2 D = n ( ee ). (2.2-G16) ɛ 0 k B T e k B T i Der Plasmaparameter gibt die Anzahl der Teilchen in eine Kugel mit der Debyelänge als Radius an. N D = 4 3 πn eλ 3 D. (2.2-G17) Und der Ionisationsgrad beschreibt die Konzantration geladener Teilchen im Plasma. Dieser bestimmt sich aus der Elektronendichte und der Zustandsgleichung eines idealen Gases (p = nk B T ). n e n = n ek B T e (2.2-G18) p 3 Aufbau Im Folgenden wird als Langmuir-Sonde eine Elektronenröhre verwendet. Die Funktionsweise wird in Abschnitt 2.2 behandelt. Die Bezeichnung der Röhre ist Typ 4. Danach bestimmt sich auch die Fläche der Langmuir-Sonde (A = 8.9±0.9 µm 2 ). Das Gas der Elektronenröhre ist Argon. Für die Messung mit der Langmuir-Sonde werden 2 Versuchsaufbauten verwendet. Das ist zum einen die Messung von Hand (Abb. 3.1-A1). Und zum anderen ist es die automatisierte Messung mit dem SourceMeter (Abb. 3.2-A2). Beide Aufbauten haben gemeinsam, dass an Kathode und Anode ein Vorwiderstand (1 kω) und ein Netzgerät geschaltet sind. Das Netzgerät erzeugt die nötige Spannung U q um das Plasma in der Elektronenröhre zu zünden. Außerdem wird in beiden Fällen zwischen Anode und Sonde eine variierbare Spannung U S angelegt und der Strom I mess gemessen. Variiert wird die Spannung dabei im Bereich von U [ 15 V, 0 V] in 0.25 V Schritten. 3.1 Messung von Hand Bei der Messung von Hand wird zur Strommessung ein in Reihe geschalteter Widerstand verwendet (R = 1 kω). Über diesem Widerstand wird mit einem Messgerät die Spannung U mess gemessen und mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes (I mess = Umess R ) der Strom berechnet. Um die Sondenspannung U S einstellen zu können, wird ein Labornetzgerät verwendet. Die

9 3.1 Messung von Hand 5 Abbildung 3.1-A1 Versuchsaufbau zur Messung der Plasmaparameter von Hand Spannung am Netzgerät U netz entspricht dabei aber nicht der Sondenspannung. Diese wird über folgende Gleichung berechnet: U S = U netz + U mess. (3.1-G1) Je nach Messrichtung kann es erforderlich sein U mess zu addieren. Wenn U netz [ 15 V, 0 V] eingestellt und jeweils U mess bzw. I mess gemessen sind, wird U S berechnet. Danach muss das Floatingpotential ermittelt werden. Es ist der Spannungswert bei dem der gemessene Strom Null ist. Auch soll das Ionensättigungspotential im Datensatz gefunden werden. Es ist der Stromwert 3.5 V unter dem des Floatingpotential. Um die Elektronentemperatur zu bestimmen wird in der ersten Variante die Steigung des logarithmierten Stroms benötigt. Es muss dabei bedacht werden dass voher der Ionensättigungstrom abgezogen wird. Aus Gleichung 2.2-G11 wird dann T e berechnet. Für die 2. Variante wird nach Gleichung 2.2-G15 noch zusätzlich das Plasmapotential und der Elektronensättigungsstrom gebraucht. Der Elektronensättigungsstrom ist der Wert, der sich in Abbildung 2.2-A1 im dritten Abschnitt einstellt. Extrapoliert man diesen als Gerade, kann das Plasmapotential durch den Schnittpunkt mit der Geraden mit Steigung aus Variante 1 bestimmt werden. Aus der Elektronentemperatur, die nach Variante 2 berechnet wurde, soll dann noch die Elektronendichte berechnet werden. Dies geschieht mit Gleichung 2.2-G9. Die benötigte Elektronenmasse ist m e = kg. Um die Ionendichte zu berechnen wird die Ionenmasse m i und Ionentemperatur T i benötigt. Da sich in der Elektronenröhre Argon befindet, ist m i = kg. Die Ionentemperatur wird durch die Temperatur der Röhre (T = 300 K) abgeschätzt.

10 6 3 Aufbau 3.2 Automatisierte Messung Abbildung 3.2-A2 Versuchsaufbau zur Messung der Plasmaparameter mittels Source- Meter Bei der automatisierten Messung wird ein SourceMeter verwendet. Dieses liefert eine regelbare Spannung und misst gleichzeitig den Strom. Um die Messung automatisch durchzuführen wird das SourceMeter an einen Computer angeschlossen. Dieser regelt die Spannung und speichert den Wert der Stromstärke. Am Computer wird dazu ein LabView- Programm benutzt. Für die Messung stehen dabei verschiedene Einstellungsmöglichkeiten, wie zum Beispiel die Anzahl der Messpunkte, zur Verfügung. Des weiteren kann die Anzahl der Messwerte pro Punkt gewählt werden, um ein gemitteltes Ergebnis zu erhalten. Das LabView-Programm kann außerdem die Messwerte visuell darstellen und auch als ASCII- Datei speichern. Zusätzlich zu den Messwerten wird die 1. und 2. Ableitung ermittelt und dargestellt. Dazu stehen 2 Verfahren zur Auswahl. Zum einen die lineare Regression und zum anderen der differenzen Quotient (Second Order Central). Der Umkehrpunkt in der 1. Ableitung und das Maximum in der 2. Ableitung bilden das Plasmapotential φ p. Die Qualität der Ableitungen ist je nach Methode unterschiedlich. Die lineare Regression liefert weniger Rauschen als der differenzen Quotient. Dabei wird die Rauschminderung noch größer, wenn die sogenannte window size erhöht wird. Sie bestimmt die Anzahl an Punkten die links und rechts neben dem Messwert für die Regression berücksichtigt werden. Auch der Digital Count verringert das Rauschen. Er gibt die Anzahl der Messungen pro Spannungswert an, über die der Messwert gemittelt wird. Wenn bei der automatisierten Messung die Messwerte erzeugt sind, bestimmt das LabView-Programm verschiedene Plasmaparameter. Das sind die Sättigungsströme (I e,sat, I i,sat ) und die charakteristischen Potentiale (φ P, φ f ). Mit diesen Parametern und den Messwerten können analog zur Messung von Hand weitere Plasmaparameter berechnet werden. Anders als bei der Messung von Hand, sollen zusätzlich noch drei weitere Parameter bestimmt werden. Das sind die

11 7 Debyelänge λ D, der Plasmaparameter N D und der Ionisationsgrad ne. Sie werden mit den n Gleichungen 2.2-G16, 2.2-G17 und 2.2-G18 berechnet. 4 Durchführung Da nun die theoretische Aufbau der Messung beschrieben ist, wird auf die Ergebnisse der einzelnen Messungen eingegangen. Bei der ersten Messung von Hand ist dabei ein Fehler aufgetreten. Durch eine falsche Verdrahtung innerhalb des Kastens sind nutzlose Messergebnisse entstanden. Nachträglich ist aufgefallen, dass um der Langmuir Sonde ein Leuchten zu erkennen war. Dies hätte vorzeitig auf eine falsche Verdrahtung hinweisen können. 4.1 Messung von Hand Wie im Abschnitt 3 beschrieben, wird mit einem Labornetzgerät (U q = 100 V, I q = 41.2 ma) das Plasma in der Elektronenröhre gezündet. Danach werden die verschiedenen Netzgerätspannungen U netz an der Sonde eigestellt und der jeweilige Strom I mess gemessen. In Tabelle 4.1-T1 und 4.1-T2 sind die Messwerte dargestellt. In der 4. Spalte ist vom gemessenen Strom I mess der Ionensättigungsstrom I i,sat abgezogen. Das Ergebnis ist dann in der 5. Spalte logarithmiert dargestellt. Aus der Tabelle kann direkt das Floatingpotential und der Ionensättigungsstrom abgelesen werden. U netz V U S V U mess mv / Imess µa I mess I i,sat µa ln( Imess I i,sat A ) Tabelle 4.1-T1 Tabelle mit Spannungs- und Stromwerten der Messung von Hand

12 8 4 Durchführung U netz V U S V U mess mv / Imess µa I mess I i,sat µa ln( Imess I i,sat A ) Tabelle 4.1-T2 Tabelle mit Spannungs- und Stromwerten der Messung von Hand (Fortsetzung)

13 4.1 Messung von Hand 9 Aus der Tabelle werden, wie in Abschnitt 3 beschrieben, die Plasmaparameter berechnet. Um die Elektronentemperatur zu bestimmen, ist in Abbildung 4.1-A1 der logarithmierte Strom gegenüber der Sondenspannung aufgetragen. In Tabelle 4.1-T3 sind alle gemessenen und errechneten Werte zusammengefasst. Abbildung 4.1-A1 Dargestellt ist die U-I-Kennlinie der Messung von Hand. Das Plasmapotential φ P wird durch den Schnittpunkte der Regressionsgerade mit dem Elektronensättigungsstrom bestimmt. φ f 9.5 V I i,sat 0.1 µa m 2.57 T e φ P 4514 K 6.37 V ln ( ) Ie,sat A 8.09 I e,sat 307 µa T e 4523 K n e m 3 n i m 3 Tabelle 4.1-T3 Zusammenfassung der gemessenen und errechneten Werte der Messung von Hand. Während die Elektronentemperatur T e durch die Steigung ermittelt wird, wird Te durch die Gleichung 2.2-G15 berechnet. Es fällt auf, dass die Elektronentemperatur je nach Berechnungsmethode einen leicht unterschiedlichen Wert aufweist. Da bei der Messung von Hand wenig Messpunkte genutzt werden können, sollte ein genaueres Ergebnis bei der automatisierten Messung entstehen.

14 10 4 Durchführung 4.2 Automatisierte Messung Wie im Abschnitt 3 beschrieben, wird mit einem Labornetzgerät das Plasma in der Elektronenröhre gezündet. Dabei werden verschiedene Entladeströme I q eingestellt und mit dem LabView-Programm die Messwerte entnommen. Diese sind in Tabelle 4.2-T4 zusammengefasst dargestellt. Der Entladestrom I q wird zwischen [30 ma, 80 ma] in 10 ma Schritten variiert. Der Ionensättigungstrom bei I q = 30 ma ist vom Programm als exakt Null angegeben. Da selbst bei einer weiteren Messung der Ionensättigungsstrom bei exakt Null geblieben ist, wird er bei weiteren Berechnungen nicht berücksichtigt. Digital Count I q ma U q V Dateiname ma ma ma ma ma ma mA dis Tabelle 4.2-T4 Zusammenfassung der Messergebnisse, die vom LabView-Programm aufgenommen wurden. Die letzte Zeile wird für die Diskussion am Ende benötigt. φ p V φ f V I i,sat A I e,sat A Abbildung 4.2-A2 Dargestellt ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung. Der Entladestrom beträgt I q = 30.5 ma.

15 4.2 Automatisierte Messung 11 Abbildung 4.2-A3 Dargestellt ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung. Der Entladestrom beträgt I q = 40.2 ma. Abbildung 4.2-A4 Dargestellt ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung. Der Entladestrom beträgt I q = 50.6 ma.

16 12 4 Durchführung Abbildung 4.2-A5 Dargestellt ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung. Der Entladestrom beträgt I q = 60.4 ma. Abbildung 4.2-A6 Dargestellt ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung. Der Entladestrom beträgt I q = 70.8 ma.

17 4.2 Automatisierte Messung 13 Abbildung 4.2-A7 Dargestellt ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung. Der Entladestrom beträgt I q = 81.1 ma. In den Abbildungen 4.2-A2 bis 4.2-A7 sind die logarithmierten Stromwerte jeder einzelnen Messung gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung dargestellt. Außerdem ist in jeder Abbildung die Steigungsgerade eingetragen und der Steigungswert dargestellt. Aus den Ergebnissen sollen nun, wie im Abschnitt 3, weitere Parameter bestimmt werden. Zusätzlich wird auch noch der Fehler der Dichten, Debyelänge, Plasmaparameter und Ionisationsgrad berechnet. Dazu müssen nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzung die Gleichungen angepasst werden. Gleichung 2.2-G9 hat 2 Parameter, die mit einem Fehler behaftet sind. Die Fläche der Sonde, welche nach Datenblatt einen Fehler von A = 0.9 µm 2 aufweist. Und der Fehler des Ionen- bzw. Elektronensättigungsstroms, welcher mit 1 % vom Sättigungsstrom abgeschätzt wird. n e = (4Ie,sat A A 2 e ) 2 πme + 8k B T e ( 4 Ie,sat A 2 e ) 2 πme (4.2-G1) 8k B T e Der Fehler der Debyelänger hängt nur vom Fehler der Dichte zusammen. Aus Gleichung 2.2-G16 wird dann: λ D = n e ɛ 0k B 1 ( ). (4.2-G2) 2 n 3 ee 2 1 T e + 1 T i Der Fehler des Plasmaparameters hängt vom Fehler der Debyelänge und der Elektronendichte ab. (4 ) 2 N D = 3 π n eλ 3 D + (4π λ D n e λ 2 D )2 (4.2-G3)

18 14 4 Durchführung Dagegen hängt der Ionisationsgrad wieder nur von der Elektronendichte ab. Der Druck p ist mit 100 Pa angegeben. ( ne ) = n ek B T e (4.2-G4) n p In Tabelle 4.2-T5 sind die berechneten Größen und ihre Fehler eingetragen. Dateiname 40 2mA 50 6mA 60 4mA 70 6mA 81 1mA 40 2mA dis m Te K T e K n e m n e m n i m n i m λ Dm λ D m N D N D n e n ne n Tabelle 4.2-T5 Dargestellt sind die aus dem Messergebnissen berechneten Parameter und ihre Fehler. 4.3 Diskussion Nun soll darauf eingegangen werden, dass sich die Elektronentemperaturen Te und T e voneinander unterscheiden. Dazu wird eine weitere Messung gemacht, bei der vor der Ermittlung weiterer Parameter das Plasmapotential vom Nulldurchgang in das Maximum der 1. Ableitung gelegt wird. Die Ergebnisse dazu sind schon in den Tabellen 4.2-T5 und 4.2-T4 eingetragen. In Abbildung 4.3-A8 ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung aufgetragen.

19 4.3 Diskussion 15 Abbildung 4.3-A8 Dargestellt ist der logarithmierte Strom gegenüber der auf das Plasmapotential normierten Spannung. Der Entladestrom beträgt I q = 40.2 ma. Das Plasmapotential ist dabei auf das Maximum der 2. Ableitung verschoben. Um weitere Informationen zu Gewinnen, ist die Verteilungsfunktion von Interesse. Diese gibt an wie die Geschwindigkeit der Elektronen im Plasma verteilt sind. Das LabView- Programm kann aus den Messwerten nach Gleichung 2.2-G5 eine Verteilung erzeugen. Als Vergleich dient folgende Verteilungsfunktion: f(v) = 4πn v 2 ( ) 3 ) m 2 exp ( mv2. (4.3-G5) 2πk B T 2k B T Beim Betrachten von Abbildung 4.3-A9 fällt auf das die Maxima der Verteilungen bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten liegen. Das weist darauf hin, das die Geschwindigkeitsverteilung im Plasma eine andere ist, als die theoretisch ermittelte. Somit ist das Plasma genau genommen keine ideales Gas. Daher existiert auch ein systematischen Fehlers, bei der Temperaturbestimmung durch Gleichung 2.2-G15 und 2.2-G11. Die beiden Maximas der Verteilungen sind nur gering voneinander entfernt, daher sollte der Einfluss auf die Annahme eines idealen Gases nur gering sein.

20 16 4 Durchführung Abbildung 4.3-A9 Dargestellt sind die Verteilungsfunktionen, die durch Gleichung 4.3-A9 und durch das LabView-Programm errechnet wurden. Die Y-Achse ist logarithmiert dargestellt.