Abschlussprüfung Name Klasse MATHEMATIK

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1 Gym Oberwil FMS Abteilung Abschlussprüfung 2012 Name Klasse MATHEMATIK Zeit Hilfsmittel 3 h Taschenrechner (nicht graphikfähig), Formelsammlung Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe ein neues Blatt und beschriften Sie es mit Name, Klasse und Aufgabennummer. Die Reihenfolge der zu lösenden Aufgaben ist frei. Alle Aufgaben werden bewertet. Name Vorname Aufgabe Total mögliche Punkte erreichte Punkte Note Seite 1/5

2 1. Expedition im Himalaya Von einem Haus im Tal (2400 m.ü.m) im Himalaya sieht man die erste Basisstation der Expedition unter einem Höhenwinkel (Winkel zwischen der Horizontalen und dem anvisierten Punkt) von α = 7.5. Die weiter entfernte Bergspitze des Turma Kangas erscheint aus einem Höhenwinkel von β = Die Sichtstrecke vom Haus bis zur ersten Basisstation ist 7.6 km lang. Von der ersten Basisstation sieht man den Turma Kangas unter einem Höhenwinkel von δ = a) Fertigen Sie eine Skizze der Situation an. b) Bestimmen Sie die Winkel im Dreieck Tal Basisstation - Spitze des Turma Kangas. c) Wie viele Höhenmeter liegt die erste Basisstation über dem Haus im Tal? d) Wie weit ist die Sichtdistanz vom Haus im Tal zur Bergspitze des Turma Kangas? e) Wie viele m.ü.meer liegt die Spitze des Turma Kangas? 2. Penaltyschiessen Penaltyschiessen im WM-Final zwischen Deutschland und der Schweiz. Der deutsche Torhüter Karl Fangihndoch steht im Tor und wartet auf die Schüsse der Schweizer Spieler. Torhüter Fangihndoch springt in 50% der Schüsse auf die rechte Seite des Tors, in 45% entscheidet er sich für die linke Seite und in 5% der Schüsse bleibt er einfach in der Mitte stehen. Wenn sich Fangihndoch für die rechte Seite entscheidet, springt er in 70% der Schüsse ins untere Eck und 30% ins obere Eck. Entschliesst sich Fangihndoch jedoch für die linke Seite, springt er in 90% ins obere Ecke und nur 10% ins untere. a) Zeichnen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm auf. b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Torhüter Fangihndoch für die richtige Richtung entscheidet, wenn die Schweizer Spieler i.) in die untere rechte Ecke, ii.) in die Mitte iii.) in eine obere Ecke schiessen? c) Die fünf Schweizer Schützen erzielen mit einer Wahrscheinlichkeit von je 80% ein Tor. Wie wahrscheinlich ist es bei dieser Annahme, dass i.) alle fünf treffen, ii.) vier von fünf treffen? d) Wie viele Möglichkeiten hat der Schweizer Trainer, Herr Kühlstrass, von seinen 10 Feldspielern für das Penaltyschiessen fünf auszuwählen? Herr Kühlstrass trifft dabei keine Entscheidung, in welcher Reihenfolge die Schützen schiessen. Seite 2/5

3 3. Infusionen Bei einer Krankheit ist es wichtig, gewisse Mengen des Medikaments FMerol im Blut zu haben. Die optimale Menge liegt zwischen 5 und 12 mg/l (Milligramm pro Liter). Die Personen A und B leiden unter der Krankheit, sie haben noch kein FMerol genommen. Person A wird durch die Infusion FMerol zugeführt, so dass der Gehalt im Blut um stündlich 2 mg/l steigt. Person B wird durch die Infusion FMerol zugeführt, so dass der Gehalt im Blut um stündlich 1.6 mg/l steigt. Nach 10 Stunden wird bei beiden die Infusion gestoppt. Der Kreislauf von Person A baut stündlich 25% des FMerol ab. Der Kreislauf von Person B baut stündlich 20% des FMerol ab. a) Erstellen Sie eine Graphik für den zeitlichen Verlauf des FMerol-Gehalts im Blut ab Beginn der Infusion. Lesen Sie auf 15 Minuten genau ab, wann der Gehalt im Blut bei beiden Personen gleich ist. b) Berechnen Sie für beide Personen, wann der FMerol Gehalt auf 5 mg/l gefallen ist. c) Die Teilaufgabe a gibt eine gute Näherungslösung, wann die Konzentrationen gleich sind. Finden Sie nun rechnerisch die genaue Lösung auf die Sekunde genau. 4. Schnittpunkte Gegeben sind die beiden Wertetabellen der Funktionen f(x) und g(x): x x f(x) g(x) a) Zeichnen Sie die Punkte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem ein. b) Bestimmen Sie Funktionsgleichungen für die beiden Funktionen. c) Bestimmen Sie rechnerisch aus den Funktionsgleichungen die Schnittpunkte von f(x) mit g(x). d) Eine Gerade h verläuft durch den linken Schnittpunkt der Graphen von f(x) und g(x). Die Gerade h hat die Steigung 0.2. Berechnen Sie die Geradengleichung von h. e) Eine Gerade k verläuft durch den rechten Schnittpunkt der Graphen von f(x) und g(x). Die Gerade ist senkrecht zu h. Berechnen Sie die Geradengleichung von k. f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die Schnittpunkte der Geraden g, h und k bestimmt ist. Sollten Sie die Geradengleichungen in der vorigen Aufgabe nicht rechnerisch bestimmt haben, können Sie hier mit Gleichungen arbeiten, die Sie aus der Zeichnung heraus bestimmen. Seite 3/5

4 5. Skispringen Im April 2007 wurde in Garmisch-Partenkirchen die neue Olympiaschanze gebaut. Im Folgenden finden Sie einen vereinfachten Plan der Schanze: Wie Sie dem Plan entnehmen können, hat der Aufsprunghügel näherungsweise die Form einer nach unten geöffneten Parabel. Der Scheitelpunkt dieser Parabel hat die Koordinaten S = (30 / 65). Die Unterkante des Schanzentisches (A) ist 56m über dem Stadionboden gelegen. a) Bestimmen Sie die quadratische Funktion des Aufsprunghügels. b) Der Skispringer Simon Ammann wagt sich über die Sprungschanze. Seine Flugbahn 2 beschreibt eine Parabel mit der Gleichung y = x x + 64 (gestrichelte Linie). Berechnen Sie die Koordinaten des Landepunktes P von Simon Ammann. Falls Sie bei der Aufgabe a.) keine Lösung erhalten haben, verwenden Sie f (x) = x + x + 50 als Funktion des Aufsprunghügels c) Berechnen Sie die Länge der Strecke BP, also die Sprungweite von Simon Ammann. Seite 4/5

5 6. Ein Kegel und ein Zylinder Ein hohler Kegel hat eine Höhe von 24 cm und einen Grundkreisradius von 5 cm. Ein Zylinder passt so unter den Kegel, dass er in 16 cm Höhe genau überall den Rand des Kegels berührt. a) Berechnen Sie die Mantelfläche des Kreiskegels. b) Berechnen Sie das Luftvolumen, das zwischen Kegel und Zylinder eingeschlossen ist. Die Zeichnung zeigt einen Schnitt durch die Figur. Sie ist nicht massstabsgerecht. Seite 5/5