Auswertung der Vergleichsarbeit. MATHEMATIK Schuljahrgang 3 Schuljahr 2009/10. Sachsen-Anhalt

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1 Auswertung der Vergleichsarbeit MATHEMATIK Schuljahrgang 3 Schuljahr 2009/10 Sachsen-Anhalt

2 Inhalt 1 Anlage der Vergleichsarbeit Beschreibung der Untersuchungsgruppe Darstellung der Ergebnisse Ergebnisse zum Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Daten erfassen, darstellen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen Ergebnisse zum Bereich Zahlen und Operationen Zahlendarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen Rechenoperationen verstehen und beherrschen In Kontexten rechnen Zusammenfassung Hinweise zur Weiterarbeit Anhang

3 1 Anlage der Vergleichsarbeit Die Vergleichsarbeit (VERA) Mathematik im Schuljahrgang 3 wurde im Schuljahr 2009/10 erstmalig unter Leitung des Instituts zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB) entwickelt. Auf der Grundlage der KMK-Bildungsstandards und der Lehrpläne der Bundesländer erarbeiteten Lehrerinnen und Lehrer verschiedener Bundesländer die Testaufgaben. In einem zweiteiligen Testheft wurden die Aufgaben folgenden ausgewählten Bereichen der Bildungsstandards zugeordnet: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, Zahlen und Operationen. Bei der Aufgabenentwicklung fanden verschiedene Aufgabenformate (Multiple-Choice- Verfahren, Kurzantworten, Richtig-Falsch-Antworten, offene Antworten etc.) Berücksichtigung. Die Korrekturanweisungen zu den Aufgaben unterstützten die Lehrerinnen und Lehrer besonders bei der Bewertung halboffener und offener Aufgabenstellungen. Die Aufgaben zu den ausgewählten Testbereichen sind in zwei getrennt zu bearbeitenden Testheftteilen (Teil I: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit; Teil II: Zahlen und Operationen) zusammengestellt. Für die Bearbeitung der Testheftteile standen den Schülerinnen und Schülern jeweils 30 Minuten zur Verfügung. Eine Zensierung dieser Ergebnisse ist nicht vorgesehen, da es vielmehr um eine Rückmeldung geht, inwieweit die Schülerinnen und Schüler die in den Bildungsstandards formulierten Kompetenzen bereits erworben haben. Die Aufgaben der Vergleichsarbeit orientieren sich an den länderübergreifenden Bildungsstandards. Die Zuordnung der Aufgaben erfolgte im Schuljahr 2009/10 erstmals nach einem fünfstufigen Kompetenzstufenmodell (vgl. Anhang). Im vorliegenden Auswertungsbericht sind zusätzlich zu den Kompetenzstufen (KS) die Anforderungsbereiche (AFB) ausgewiesen. Die Ergebnisse der Vergleichsarbeit wurden in einer Erhebung von allen Schulen des Landes Sachsen-Anhalt erfasst. Basierend auf den auswertbaren Daten werden im vorliegenden Bericht die durchschnittlichen Lösungshäufigkeiten der einzelnen Aufgaben veröffentlicht. Um ein pädagogisch nutzbares Informationsangebot zu schaffen, werden im Folgenden die Lösungshäufigkeiten in Verbindung mit den Testaufgaben, den Kompetenzschwerpunkten und Anforderungsbereichen sowie entsprechende Erläuterungen dargestellt. Lehrkräfte haben die Möglichkeit, die Ergebnisse der eigenen Klasse mit denen im Land zu vergleichen. Die Auseinandersetzung mit den Ergebnissen soll die Lehrkräfte beim Erkennen der Stärken und Schwächen ihrer Schülerinnen und Schüler unterstützen und somit zur Schul- und Unterrichtsentwicklung beitragen. 3

4 2 Beschreibung der Teilnehmergruppe Für die Auswertung der Vergleichsarbeit Mathematik des Schuljahres 2009/10 liegen schulbezogene Ergebnisse aus 516 Grundschulen vor, wobei 501 Schulen mit vollständigen Datensätzen in die Auswertung einbezogen werden konnten. Teilnehmergruppe mit auswertbaren Datensätzen Anzahl (Prozent) Grundschulen 501 Schülerinnen und Schüler gesamt Schülerinnen (49 %) Anzahl der Schülerinnen und Schüler mit diagnostizierten Lernstörungen (7,1 %) Anzahl der Schülerinnen und Schüler mit Migrationshintergrund 348 (2,4 %) Tabelle 1: Zusammensetzung der Teilnehmergruppe 3 Darstellung der Ergebnisse 3.1 Ergebnisse zum Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit In der Vergleichsarbeit im Schuljahr 2009/10 wird der Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit mit 16 Aufgaben und insgesamt 23 Teilaufgaben getestet. Die Aufgaben berücksichtigen alle drei Anforderungsbereiche. In der Abbildung 1 werden die Landesergebnisse zu allen getesteten Aufgaben im Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit dargestellt. Jeder Aufgabe wird dabei der entsprechende Anforderungsbereich zugeordnet. Die Lösungshäufigkeit dieser Aufgaben streut von 19 % bis 96 %. 4

5 Vergleichsarbeit Mathematik Schuljahrgang 3 (Testheft1) Schuljahr 2009/10 Lösungshäufigkeit 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 56% 93% 1 2a 2b 2c 96% 67% 64% 58% 3 4a 4b 4c 95% 82% 5 80% 6 32% 7 63% 8 28% Aufgaben 48% 65% % 26% 21% AFB 1 AFB 2 AFB 3 37% 82% 65% 25% 41% 15a 15b 15c 15d 16 19% Abbildung 1: Lösungshäufigkeiten der Aufgaben und Zuordnung der Anforderungsbereiche im Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Im Anforderungsbereich I (KS 1, KS 2) der durch sechs Teilaufgaben repräsentiert wurde, liegt die durchschnittliche Lösungshäufigkeit bei 80 %. Dem Anforderungsbereich II (KS 3) entsprachen acht Aufgaben, die durchschnittlich von 65 % der Schülerinnen und Schüler erfüllt wurden. Der Anforderungsbereich III (KS 4, KS 5) umfasste die meisten Teilaufgaben. Bei diesem Anforderungsniveau wurde eine durchschnittliche Lösungshäufigkeit von 29 % erreicht (vgl. Abbildung 1). Im Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit werden in der Vergleichsarbeit Kompetenzen zu ausgewählten Bildungsstandards getestet. In der folgenden Auswertung werden die Aufgaben den getesteten Standards zugeordnet und näher erläutert. Die Tabellen unter den Aufgaben weisen geordnet nach Lösungshäufigkeit den jeweiligen Anforderungsbereich und die entsprechende Kompetenzstufe der Teilaufgabe aus. 5

6 3.1.1 Daten erfassen, darstellen Bildungsstandard: Aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen Fast alle Schülerinnen und Schüler waren in der Lage, Informationen aus einem Diagramm zu entnehmen und für die Lösung der Teilaufgaben zu nutzen (Aufg. 2 a, b und Aufg. 4 b). Die Lösungshäufigkeit von 93 % bis 96 % zeigt den gewohnten Umgang mit solchen Anforderungen. Die Lösungshäufigkeit ist niedriger, wenn alle Informationen aus dem Diagramm zur Lösung einbezogen und ausgewertet (Aufg. 2 c) bzw. wenn Informationen aus dem Diagramm ausgewählt werden müssen und mit den entnommenen Werten weiter gerechnet werden soll (Aufg. 4 c). Die größten Schwierigkeiten hatten die Kinder, wenn Informationen aus einem Diagramm zu entnehmen waren, neu berechnet und im gleichen Diagramm zeichnerisch dargestellt werden sollten (Aufg. 4 a). Aufg. AFB KS Land Schule 2 b I 1 96 % 4 b II 1 95 % 2 a I 1 93 % 4 c II 1 82 % 2 c I 2 67 % 4 a II 3 64 % 6

7 Die Bearbeitung der Aufgabe 15 stellte auf Grund des breiten Spektrums der notwendigen Kompetenzen zum Lösen der einzelnen Teilaufgaben eine besondere Anforderung für die Schülerinnen und Schüler dar. Damit erklärt sich die breite Streuung der Lösungshäufigkeiten von 25 % bis 82 % innerhalb der Aufgabe. Den geringsten Kompetenzanspruch und damit die höchste Lösungshäufigkeit hat Aufgabe 15 a. Hier sollte ein vorgegebener Wert zeichnerisch in das Diagramm eingetragen werden, wobei dieser direkt an einer vorgegebenen Hilfslinie lag. Im Unterschied zur Teilaufgabe 15 a verlangte die Erfüllung der Teilaufgabe 15 b eine Lösungsstrategie zum Übertragen eines vorgegebenen Wertes innerhalb des gleichen Diagramms. Für die Bearbeitung der Aufgaben 15 c und 15 d bedurfte es der Überprüfung aller im Diagramm vorgegebenen Werte. Die Lösungshäufigkeiten sind hier deutlich geringer als die der Teilaufgaben 15 a und b. Das Lösen der Aufgabe 7 erforderte das Entnehmen und Übertragen von Daten aus einem Schaubild in eine vorgegebene Tabelle. Ursachen für die relativ geringe Lösungshäufigkeit könnten die Art der Kartendarstellung und der Bezeichnung der Streckenabschnitte sein. Aufg. AFB KS Land Schule 15 a I 2 82 % 15 b II 3 65 % 7 II 3 63 % 15 d II 3 41 % 15 c III 5 25 % 7

8 Bildungsstandard: In Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren Die Kontexte der Aufgaben 6, 8, 11 und 12 sind der Erfahrungswelt der Kinder entnommen, weisen jedoch geringe Lösungshäufigkeiten auf. Diese ergeben sich vermutlich durch einschränkende Bedingungen, die ein gewisses Maß an Lesekompetenz und Vorstellungsvermögen erfordern. Das gedankliche Nachvollziehen der sich ergebenden Möglichkeiten stellte dabei eine besondere kombinatorische Herausforderung dar, die jeweils nur jedes dritte bis fünfte Kind bewältigte. Aufg. AFB KS Land Schule 6 III 4 32 % 8 III 5 28 % 11 III 5 28 % 12 III 5 21 % 8

9 3.1.2 Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen Bildungsstandard: Grundbegriffe zur Wahrscheinlichkeit anwenden Von den Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit wurde die Aufgabe 5 mit einem einfachen Kontext am häufigsten richtig gelöst. Das mathematische Verständnis der Begriffe sicher, unmöglich sowie möglich, aber nicht sicher im Zusammenhang mit einfachen Zahlen stand bei der Überprüfung von Aussagen in den Aufgaben 10 und 16 im Mittelpunkt. Im Unterschied zur Aufgabe 10 verlangte die Lösung der Aufgabe 16 neben der Anwendung dieser mathematischen Fachbegriffe zusätzlich kombinatorische Fähigkeiten, die in einem Gedankenexperiment durchzuführen waren. Zwei Drittel der Schülerinnen und Schüler wendeten die Grundbegriffe zur Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 10 richtig an. Die Lösungshäufigkeit ist niedriger, wenn zusätzliche kombinatorische Anforderungen gestellt werden (Aufg. 16). Zur Lösung der Aufgabe 1 bedarf es zunächst kombinatorischer Überlegungen, um dann die Wahrscheinlichkeiten der Aussagen zu bewerten. Etwas mehr als die Hälfte der Schülerinnen und Schüler war dazu in der Lage. Beim Einschätzen der Wahrscheinlichkeit bei einem Zufallsexperiment (Aufg. 14) mussten gedankliche Kombinationen mit den abgebildeten Vierecken hergestellt werden, die auf die beschriebenen Zufallsereignisse übertragen werden mussten. Die geringe Lösungshäufigkeit dieser Aufgabe sollte im Zusammenhang mit dem Anforderungsniveau betrachtet werden. AFB KS Land Schule 5 I 1 80 % 10 I 2 65 % 1 II 3 56 % 14 III 4 37 % 9

10 Die hohen Anforderungen der Aufgabe 13 ergeben sich aus der Komplexität der Aufgabenstellung. Das Lösen erfordert die Überprüfung der vorgegebenen Antwortalternativen mit den Möglichkeiten der Produktbildung aus den Augenzahlen der abgebildeten Würfel. In diesem Zusammenhang sollten die Schülerinnen und Schüler nicht die möglichen Ereignisse erkennen, sondern das unmögliche Ereignis ankreuzen. Diese Anforderung erfüllte ein Viertel der Schülerinnen und Schüler. Bildungsstandard: Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten einschätzen Aufg. AFB KS Land Schule 13 III 5 26 % 16 III 5 19 % Lesekompetenz und ein gutes Verständnis der verwendeten Begriffe waren Voraussetzungen zum Lösen der Aufgabe 3. Um gleich große Wahrscheinlichkeiten herzustellen, musste die Anzahl der vertretenen Farben gleich hoch sein. Diese Schlussfolgerung konnte mehr als die Hälfte der Schülerinnen und Schüler ableiten. Das Ermitteln der Gewinnchancen beim gedanklichen Würfeln und beim Werfen einer Münze setzt ein Verständnis für das Verhältnis der Gewinnchancen zwischen Würfel und Münze voraus (Aufg. 9). Eine besondere Anforderung war in diesem Zusammenhang das schriftliche Darstellen der Überlegungen zur Aufg. AFB KS Land Schule 3 II 3 58 % 9 III 4 48 % größten Gewinnchance. 10

11 3.2 Ergebnisse zum Bereich Zahlen und Operationen In der Vergleichsarbeit 2009/10 wird der Bereich Zahlen und Operationen mit 19 Aufgaben (33 Teilaufgaben) getestet. Die Aufgaben berücksichtigen alle drei Anforderungsbereiche. In der Abbildung 2 werden die Landesergebnisse zu allen getesteten Aufgaben im Bereich Zahlen und Operationen dargestellt und die verschiedenen Anforderungsbereiche zugeordnet. Die Lösungshäufigkeiten streuen von 28 % bis 97 %. Über die Hälfte der Schülerinnen und Schüler konnte 24 von 33 Teilaufgaben richtig lösen. Bei einer Teilaufgabe im Anforderungsbereich III liegt die Erfüllung unter 30 %. Der Anforderungsbereich I, der mit 21 Teilaufgaben repräsentiert war, umfasste den größten Teil aller Aufgaben und wurde durchschnittlich von 82 % der Schülerinnen und Schüler korrekt bearbeitet. Vier Teilaufgaben wurden dem Anforderungsbereich II zugeordnet und weisen eine durchschnittliche Lösungshäufigkeit von 60 % auf. Acht Teilaufgaben entsprachen dem Anforderungsbereich III und wurden durchschnittlich von 37 % der Schülerinnen und Schüler erfüllt. Lösungshäufigkeit 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 83% 94% 1 2a 2b 89% 2c 3a 83% Vergleichsarbeit Mathematik Schuljahrgang 3 (Testheft 2) Schuljahr 2009/10 97% 95% 92% 90% 3b 3c 3d 82% 75% 72% 72% 4 5a 5b 6 46% % 88% 66% 61% Aufgaben 79% 38% % 15 44% 42% 55% 91% 89% 84% 64% 38% 61% 35% 34% 28% 16a 16b 17a 17b 17c 18a 18b 18c 19a 19b 19c 19d Abbildung 2: Lösungshäufigkeiten der Aufgaben und Zuordnung der Anforderungsbereiche im Bereich Zahlen und Operationen Im Bereich Zahlen und Operationen werden in der Vergleichsarbeit Kompetenzen zu ausgewählten Bildungsstandards getestet. Die Aufgaben aus diesem Bereich werden im Folgenden den entsprechenden Standards zugeordnet, erläutert und bezüglich der Lösungshäufigkeiten absteigend sortiert dargestellt. AFB 1 AFB 2 AFB 3 37% 11

12 3.2.1 Zahlendarstellungen und Zahlbeziehungen verstehen Bildungsstandard: Zahlen auf verschiedene Weise darstellen und zueinander in Beziehung setzen Bezogen auf die Anforderung, Zahlen auf verschiedene Weise darzustellen und miteinander in Beziehung zu setzen, weist die Aufgabe 9 die höchste Lösungshäufigkeit auf. Bei dieser Aufgabe wurde gefordert, ein Zahlwort in einem Sachkontext zu erkennen und die entsprechende Zahl aus den vorgegebenen Antwortalternativen auszuwählen. Mit der Veranschaulichung des Zahlenraumes auf dem Zahlenstrahl sind die Schülerinnen und Schülern offensichtlich vertraut. Das zeigt die hohe Lösungshäufigkeit von Aufgabe 4, bei der die fehlende Zahl auf dem Zahlenstrahl durch einfaches Abzählen (vorwärts, rückwärts) ermittelt werden konnte. Das Verständnis für Zahldarstellungen, Zahlbeziehungen und das dezimale Stellenwertsystem Aufg. AFB KS Land Schule 9 I 1 88% 4 I 1 82 % 5 a II 3 72 % 5 b II 3 72 % (Aufg. 5) ist bei etwa drei Viertel der Schülerinnen und Schüler vorhanden, obwohl der für das dritte Schuljahr übliche Zahlenraum bis bei dieser Aufgabe überschritten wurde. Bildungsstandard: Sich im Zahlenraum bis orientieren Die Orientierung im Zahlenraum bis ist Voraussetzung beim Vergleichen und Ordnen der Zahlen in den Aufgaben 1 und 2. Während bei der Aufgabe 2 die Zahlen der Größe nach geordnet werden mussten, war beim Lösen der Aufgabe 1 das Verständnis der Relationszeichen von zusätzlicher Bedeutung. Aufg. AFB KS Land Schule 2 a I 1 94 % 2 b I 1 89 % 2 c I 1 83 % 1 I 1 83 % 12

13 3.2.2 Rechenoperationen verstehen und beherrschen Bildungsstandard: Die vier Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen Das inhaltliche Verständnis der Grundrechenarten und die sichere Ableitung ihrer Umkehroperationen wurden mit den Aufgaben 3 und 17 überprüft. Die Lösungshäufigkeiten der einzelnen Teilaufgaben der Aufgabe 3 zeigen untereinander nur sehr geringe Abweichungen auf. Dabei wird deutlich, dass die Addition von fast allen Schülerinnen und Schülern richtig zugeordnet wurde. Die Lösungshäufigkeit ist niedriger, wenn das Beherrschen der Grundrechenarten als Multiple- Choice-Antwortvorgaben überprüft wird (Aufg. 17). Die Bearbeitung der Aufgabe 15 setzt die sichere Kenntnis des Einmaleins voraus. Zusätzlich zu den geforderten Rechenfertigkeiten mussten die Schülerinnen und Schüler die ungewohnte Darstellung der Aufgabe erfassen und deren Beschreibung verstehen. Vermutlich liegt die Ursache für die geringe Lösungshäufigkeit auch im Verständnis des Aufgabenformats. Die besondere Schwierigkeit beim Lösen der Aufgabe 19 lag im Erkennen der richtigen Rechenzeichen in zwei unvollständigen Termen einer Gleichung. Dies fiel den Schülerinnen und Schülern offensichtlich schwer. Aufg. AFB KS Land Schule 3 a I 1 97 % 3 b I 1 95 % 3 d I 1 92 % 17 a I 1 91 % 3 c I 1 90 % 17 b I 1 89 % 17 c I 1 84 % 15 II 3 42 % 19 d III 5 37 % 19 a III 5 35 % 19 b III 5 34 % 13

14 Bildungsstandard: Die Grundaufgaben des Kopfrechnens gedächtnismäßig beherrschen, deren Umkehrungen sicher ableiten und diese Grundkenntnisse auf analoge Aufgaben in größere Zahlenräume übertragen Eine einfache Grundaufgabe der Multiplikation (Aufg. 8) lösten ca. 90 % der Schülerinnen und Schüler richtig. Wenn sich die sich die Anzahl der Faktoren innerhalb der Aufgabe erhöhte und ein Faktor davon die Zahl 0 war, dann gelang es nur noch halb so vielen Schülerinnen und Schülern das richtige Produkt aus den vorgegebenen Antwortalternativen auszuwählen (Aufg. 7). Vermutlich liegt eine Ursache für die geringe Lösungshäufigkeit im Umgang mit der Besonderheit des Faktors 0. Das Lösen des Zahlenrätsels in der Aufgabe 13 erfordert neben grundlegenden Fertigkeiten beim mündlichen Rechnen den sicheren Umgang mit Fachbegriffen im Zusammenhang mit Aufg. AFB KS Land Schule 8 I 1 89 % 7 III 4 46 % 13 III 4 38% der sprachlichen Darstellung des mathematischen Sachverhalts, der durch die Anzahl der Bedingungen sehr komplex wird. Diese Anforderung bewältigte ungefähr ein Drittel der Schülerinnen und Schüler. 14

15 Bildungsstandard: Mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und anwenden Etwas mehr als drei Viertel der Schülerinnen und Schüler wählten für den Platzhalter in der Ungleichung die richtige Zahl aus den vorgegebenen Antwortalternativen (Aufg. 12). Das einfache Zahlenmaterial in dieser Aufgabe lässt vermuten, dass das Problem beim Lösen der Aufgabe eher darin bestand, den vorgegebenen Text als Ungleichung zu verstehen. In den Gleichungen der Aufgabe 18 wurden statt Variablen Platzhalter verwendet. Ursachen für die unterschiedlichen Lösungshäufigkeiten der Aufgaben 18 a und 18 b könnten verschiedene Lösungsstrategien sein. Das Verständnis mathematischer Fachbegriffe im Zusammenhang mit der Ausführung der entsprechenden Rechenoperationen, war Voraussetzung zum Lösen der Aufgabe 16. Aufg. AFB KS Land Schule 12 I 1 79 % 18 a I 2 64 % 18 c I 2 61 % 16 b II 3 55 % 16 a III 5 44 % 18 b III 4 38 % 15

16 3.2.3 In Kontexten rechnen Bildungsstandard: Sachaufgaben lösen und dabei die Beziehungen zwischen der Sache und den einzelnen Lösungsschritten beschreiben Von den Aufgaben zu dieser Teilkompetenz wurde die Aufgabe 6 am häufigsten richtig gelöst. Hier musste die dargestellte Sachsituation im Zusammenhang mit der Abbildung erfasst und unter den vorgegebenen Termen der richtige erkannt werden. Die Aufgabe 10 erforderte das Erkennen des Zusammenhangs zwischen der Addition und der Multiplikation. Vermutlich lag die Schwierigkeit beim Lösen im Erkennen der Anforderung, die Additionsaufgabe in eine Multiplikationsaufgabe zu übertragen. Die Aufgabe 14 verlangt ähnliche Kompetenzen wie die Aufgabe 6. Die Schülerinnen und Schüler mussten die Sachsituation erfassen, wesentliche Informationen zum Lösen entnehmen und die entsprechende mathematische Aufgabe zuordnen. Ungefähr zwei Drittel der Schülerinnen und Schüler konnten die einfache Sachsituation in Aufgabe 11 modellieren. Voraussetzung zum Lösen der Aufgabe war das Beherrschen des kleinen Einmaleins mit seinen Umkehrungen und die Division mit Rest. Aufg. AFB KS Land Schule 6 I 1 75 % 10 I 2 66 % 14 I 2 64 % 11 I 2 61 % 16

17 4 Zusammenfassung Die durchschnittliche Lösungshäufigkeit aller Aufgaben der Vergleichsarbeit Mathematik im Schuljahrgang 3 im Schuljahr 2009/10 lag bei 63 %. Eine Ursache für die teilweise geringen Lösungshäufigkeiten könnte darin bestehen, dass die Aufgabenformate und notwendigen Bearbeitungsstrategien ungewohnt waren. In der folgenden Tabelle wurden die Teilaufgaben nach Lösungshäufigkeit, Testbereich und Anforderungsniveau sortiert. Dabei wird ersichtlich, dass mit steigenden Kompetenzanforderungen die Lösungshäufigkeit sinkt. Die Aufgaben, die von weniger als 40 % der Kinder gelöst wurden, gehören ausschließlich zum Anforderungsbereich III. Bereiche der Bildungsstandards Anforderungsbereiche über 80 % Lösungshäufigkeit 80 % unter 60 % bis 60 % bis 40 % unter 40% AFB I Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit AFB II AFB III AFB I Zahlen und Operationen AFB II AFB III Gesamt Tabelle 2: Anzahl von Teilaufgaben nach Lösungshäufigkeiten, Bereichen der Bildungsstandards und Anforderungsbereichen Für eine abschließende Betrachtung wurden die Teilaufgaben entsprechend der Teilkompetenzen der KMK-Bildungsstandards zusammengefasst und deren durchschnittliche Lösungshäufigkeit ermittelt. In Abbildung 3 sind diese Teilkompetenzen in den zwei Testbereichen gruppiert dargestellt und nach Lösungshäufigkeit geordnet. 17

18 Vergleichsarbeit Mathematik Schuljahrgang 3 Schuljahr 2009/10 Teilkom petenzen Daten erfassen, darstellen und zum Lösen weiterverarbeiten 59 % Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten einschätzen 53% Grundbegriffe anwenden (sicher, möglich, unmöglich) 47 % sich im Zahlenraum bis 1000 orientieren 88 % Zahlen darstellen und zueinander in Beziehung setzen 78 % Sachaufgaben lösen 67 % Grundaufgaben auf analoge Aufgaben in größere Zahlenräume übertragen 58 % Rechenstrategien verstehen und anwenden 57 % Grundrechenarten und ihre Zusammenhänge verstehen 49 % 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Lösungshäufigkeit Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Zahlen und Operationen Abbildung 3: Durchschnittliche Lösungshäufigkeit je Teilkompetenz in den Testbereichen Im Bereich Zahlen und Operationen wurde eine durchschnittliche Lösungshäufigkeit von etwa 66 % erzielt. Vergleicht man dieses Ergebnis mit der durchschnittlichen prozentualen Erfüllung im Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit (56 %) fällt auf, dass der Bereich Zahlen und Operationen, dessen Inhalte Bestandteil einer längeren Tradition im Mathematikunterricht sind, mit 10 % höherer Erfüllung bearbeitet wurde, als der im Lehrplan für die Grundschule in Sachsen-Anhalt neu ausgewiesene Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Im Bereich Zahlen und Operationen gelang es der Mehrheit der Schülerinnen und Schüler, Aufgaben zur Orientierung im Zahlenraum bis richtig zu lösen. Das zeigt, dass die erforderlichen Kompetenzen zur Bearbeitung solcher Aufgaben bei den Schülerinnen und Schülern in Sachsen-Anhalt bereits gut entwickelt sind. Der Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit war bereits Gegenstand der Vergleichsarbeit im Schuljahr 2008/09. Hier wurde ebenfalls festgestellt, dass die Schülerinnen und Schüler weniger Erfahrungen beim gedanklichen Durchführen von Zufallsexperimenten haben. Der folgende Abschnitt gibt Hinweise zur Förderung mathematischer Kompetenzen der oben beschriebenen Bereiche. 18

19 5 Hinweise zur Weiterarbeit Mit den durch diesen Bericht vorgelegten landesbezogenen Daten den Testaufgaben VERA 3 Mathematik im Schuljahr 2009/10 wird den Lehrkräften ein Material zur Verfügung gestellt, anhand dessen schulinterne Leistungsstände verglichen und Schlussfolgerungen für die weitere Arbeit abgeleitet werden können. Die Gestaltung und Art der Aufgaben für den Unterricht ist maßgebend für den Kompetenzzuwachs der Schülerinnen und Schüler. Deshalb ist es bedeutsam, dass vielfältigere Aufgabenformate im Unterricht angeboten werden, um die Flexibilität und Kreativität beim Lösen der Aufgaben stärker anzuregen. Dazu können die Aufgabenstellungen und -formate der Vergleichsarbeiten genutzt werden. Das breite Spektrum an Aufgaben im Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit bietet vielseitige Anregungen für den Unterricht. Betrachtet man insbesondere die Aufgaben zur Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, fällt in den Aufgabentexten der enge Bezug zu Alltagssituationen der Kinder auf. Im Unterricht empfiehlt es sich, Begriffe zur Wahrscheinlichkeit zunächst im Zusammenhang mit vertrauten Situationen des Alltages der Kinder anzuwenden und diese zunehmend auf mathematische Inhalte (z. B. im Zusammenhang mit der Kombinatorik) zu übertragen. In der Veröffentlichung Vergleichsarbeiten 2010, 3. Jahrgangsstufe (VERA-3) Mathematik DIDAKTISCHE HANDREICHUNG werden Hinweise und vielseitige Anregungen für die Unterrichtspraxis zu allen Aufgaben gegeben. Diese sind auf dem Landesbildungsserver Sachsen-Anhalts unter folgendem Pfad einsehbar: Unterricht zentrale Leistungserhebungen Vergleichsarbeiten 19

20 6 Anhang Die Aufgaben der Vergleichsarbeit orientieren sich an den länderübergreifenden Bildungsstandards und bilden das gesamte Kompetenzspektrum ab. Dafür wurde von Prof. Dr. Kristina Reiss (Mathematisches Institut der Universität München) das fünfstufige Kompetenzstufenmodell entwickelt. Die Festlegung der Kompetenzstufen (KS) erfolgte auf der Basis empirischer Untersuchungen, bei denen ca Kinder aus Klassenstufe 3 und 4 Aufgaben aus verschiedenen mathematischen Bereichen lösten. In den unteren Stufen sind dies Teilaufgaben, für die üblicherweise sehr viel früher als in der 3. Jahrgangsstufe schulische Lerngelegenheiten gegeben sind, für die aber im Sinne kumulativen Lernens gilt, dass sie später in komplexerer Form wieder im Unterricht aufgenommen werden können. Für die Leistungsfeststellung im obersten Leistungsbereich impliziert die Kompetenzorientierung, dass Teilaufgaben bereit gestellt werden, für die es in der Vergangenheit kaum systematische Lerngelegenheiten gab und die für die Spitzengruppen kognitiv herausfordernd sind. 1 Die folgenden Ausführungen zu den fünf Kompetenzstufen basieren auf dem technischen Bericht zur Vergleichsarbeit Mathematik 2010 (3. Jahrgangsstufe). 2 Kompetenzstufe I (KS 1): Technische Grundlagen Zahlen und Operationen Die Grundaufgaben des kleinen Einspluseins und Einmaleins werden beherrscht und genutzt, wenn die Aufgabenstellungen keine besonderen Schwierigkeiten aufweisen. Einfache mathematische Begriffe und Prozeduren sind bekannt und können in einem innermathematischen Kontext bzw. in einem aus dem Alltag vertrauten oder gut geübten Kontext korrekt reproduziert werden. Kleine Zahlen können in Bezug auf ihre Größe verglichen werden, Zahldarstellungen in Stellentafeln werden sicher gelesen. Auch die schwierigeren Einmaleinsaufgaben werden gelöst. Numerisches Wissen wird in einfachen Alltagssituationen angewendet. Einfache Reihungen werden erkannt und fortgesetzt. Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Klar strukturierten Diagrammen, Schaubildern und Tabellen mit Bezug zur Lebenswirklichkeit können relevante Daten entnommen werden. 1 Haag, Nicole/Hannighofer, Jasmin/Winkelmann, Henrik u. a. (2010): Vergleichsarbeiten 2010, 3. Jahrgangsstufe (VERA-3). Mathematik Technischer Bericht. Berlin, S Vgl. ebenda, S. 4 ff.. 20

21 Kompetenzstufe II (KS 2): Einfache Anwendungen von Grundlagenwissen Zahlen und Operationen Hier geht es um Routineprozeduren in einem klar strukturierten Kontext: Die Struktur des Dezimalsystems wird genutzt, Gesetzmäßigkeiten werden erkannt und bei der Fortsetzung einfacher Zahlenfolgen, beim strukturierten Zählen und systematischen Probieren berücksichtigt. Aufgaben zur Addition, Subtraktion und Multiplikation werden halbschriftlich und schriftlich durchgeführt, Überschlagsrechnungen werden durchgeführt. Insbesondere können in diesem Zusammenhang einfache Sachaufgaben gelöst werden. Aus dem Alltag vertraute proportionale Zuordnungen werden erkannt und angewendet. Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Wesentliche Grundbegriffe aus dem Umfeld von Zufall und Wahrscheinlichkeit werden korrekt verwendet ( sicher, unmöglich, wahrscheinlich ). Kompetenzstufe III (KS 3): Erkennen und Nutzen von Zusammenhängen Zahlen und Operationen Potenzielle Zusammenhänge werden erkannt und in einem vertrauten (mathematischen und sachbezogenen) Kontext genutzt. Das erlernte Wissen kann auf dieser Stufe flexibel in unterschiedlichen Problemstellungen genutzt werden, die einem vertrauten Kontext zuzuordnen sind. Insbesondere wird mit Zahlen und Operationen im curricularen Umfang sicher umgegangen. Überschlagsrechnungen werden auch bei großen Zahlen sicher durchgeführt. Strukturelle Aspekte werden bei gut geübten Inhalten gesehen und können kommuniziert werden. Einfache Sachsituationen werden modelliert und die damit verbundenen Problemstellungen gelöst. Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Daten und Informationen können in bekanntem Kontext flexibel dargestellt werden. Bei nicht allzu komplexen Zufallsexperimenten werden Gewinnchancen korrekt eingeschätzt und begründet. 21

22 Kompetenzstufe IV (KS 4): Sicheres und flexibles Anwenden von begrifflichem Wissen und Prozeduren in curricularem Umfang Zahlen und Operationen Auch in einem wenig vertrauten Kontext wird mathematisches Wissen sicher angewendet. Eigene Vorgehensweisen werden korrekt beschrieben, die Lösungswege anderer Kinder werden verstanden und reflektiert. Das Rechnen wird im curricularen Umfang in allen Varianten sicher beherrscht. Zahldarstellungen in Stellenwerttafeln können auch bei sehr großen Zahlen nach Vorschrift selbstständig manipuliert und systematisch verändert werden. Das Rechnen mit Größen ist sicher und flexibel und umfasst insbesondere Näherungsrechnungen und Überschlagsrechnungen. Informationen aus unterschiedlichen Quellen können in einen Zusammenhang gestellt und in Modellierungsaufgaben selbstständig verwendet und manipuliert werden. Kompetenzstufe V (KS 5): Modellierung komplexer Probleme unter selbstständiger Entwicklung geeigneter Strategien Zahlen und Operationen Mathematische Problemstellungen werden auch in einem unbekannten Kontext angemessen, sicher und flexibel bearbeitet. Dabei werden geeignete Strategien, sinnvolle Bewertungen oder Verallgemeinerungen auf hohem Niveau geleistet. Umfangreiches curricular verankertes Wissen wird in ungewohnten Situationen flexibel genutzt. Das Vorgehen kann sicher und nachvollziehbar kommuniziert und begründet werden. Komplexe Sachsituationen werden modelliert und bearbeitet, wobei besondere Schwierigkeiten wie die Verwendung von Tabellen, der Umgang mit zusammengesetzten Größen oder das Rechnen mit Zahlen in Kommaschreibweise auftreten können. Es können auch ungewohnte funktionale Zusammenhänge analysiert und genutzt werden. Die Lösung von Aufgaben kann ein hohes Maß an räumlichem Denken oder entsprechende analytische Fähigkeiten voraussetzen. In Sachsen-Anhalt erfolgt die Zuordnung der Aufgaben auf theoretischer Grundlage zu drei Anforderungsbereichen (AFB) 3. Diese sind mit den Kompetenzstufen nur bedingt vergleichbar. 3 Vgl. Landesinstitut für Lehrerfortbildung, Lehrerweiterbildung und Unterrichtsforschung von Sachsen-Anhalt (LISA) (Hrsg.) (2007): Niveaubestimmende Aufgaben Mathematik. Halle, S