12. Eine Analyse der Betragsfunktion

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1 12. Eine Analyse der Betragsfunktin Mathematisch naturwissenschaftlicher Unterricht 24 (1971), Einleitung Die Betragsfunktin gehört zum klassischen Schulstff, sie führte aber lange ein Schattendasein im Schulunterricht. Erst mit den Bemühungen um ausführliches Behandeln vn Ungleichungen neben Gleichungen in der Mittelstufe (WUNDERLING 1968) und um stärkere begriffliche Durchdringung der Analysis in der Oberstufe (GRIESEL 1968) hat die Betragsfunktin wieder mehr Beachtung im Unterricht gefunden. Die bisherigen methdischen Vrschläge legen Wert auf die Bereitstellung vn Techniken zum Behandeln vn Aufgaben mit Beträgen (KOROWKIN 1962, NOACK, LEMBERG 1951) der benutzen die Betragsfunktin als Hilfsmittel z.b. zur Bestimmung der Länge eines Vektrs der als Beispiel einer überall stetigen, aber nicht überall differenzierbaren Funktin. Die Einführung erflgt gewöhnlich bei der Behandlung der ganzen Zahlen. In den meisten Darstellungen tritt aber die Betragsfunktin ziemlich isliert auf, der Begriff wird verhältnismäßig eng behandelt, tiefergehende Fragestellungen werden selten angesetzt. Als Flge zeigt sich im Unterricht immer wieder, daß die Schüler, gemessen an der für den Mathematiker einfachen Begriffsbildung, dch erhebliche Verständnisschwierigkeiten zeigen. Es scheint daher ntwendig zu sein, tiefer in die Bedeutung dieses Begriffes einzudringen, seine Verwendbarkeit in den verschiedensten Gebieten der Schulmathematik zu zeigen und Ansätze zu weiterführenden Betrachtungen zu suchen. 1. Verständnisschwierigkeiten Wir wllen zunächst einige häufig auftretende Schülerfehler der Schülerungeschicklichkeiten analysieren, um daraus Flgerungen für eine Verbesserung des

2 2 Unterrichts ziehen zu können. Man kann es immer wieder erleben, daß Schüler berechnen (1) x = x. Es handelt sich hier um ein Prblem des Variablenverständnisses. Der Schüler wird zu dieser Fehlleistung verleitet, wenn er aus Beispielen wie 2 = 2, 3 = 3, + 5 = 5 entnimmt, daß man bei der Berechnung des Betrages einer Zahl nur das Vrzeichen wegzulassen brauche. Tatsächlich findet sich eine slche Frmulierung auch in manchem Lehrbuch. Man sllte diese Fixierung auf das Vrzeichen vermeiden. Das kann dadurch geschehen, daß man berechnet und begründet: 2 = ( 2) = 2, denn 2 < 0. Natürlich wird man das nur bei der Einführung tun, drt ist es aber auch nötig, um slchen Fehlleistungen vrzubeugen. Dieser Fehler deutet aber nicht nur auf einen falschen Analgieschluß, sndern zeigt im Kern ein fehlendes Variablenverständnis. Dem kann man mit Hilfe des Funktinsbegriffes beikmmen. Man deutet (1) als Aussage, daß die Funktinen x x x und x x x gleich sind. Das ist aber ffensichtlich falsch. Dagegen sind gleich x x x ö und x x x ö. Schließlich kann man dem Prblem mit Hilfe der Lgik beikmmen. (1) ist eine Aussagefrm. Sie ist nicht allgemeingültig. Whl aber (2) x = x x 0. Man kann diesen Sachverhalt auch ausdrücken, indem man die Äquivalenz behauptet

3 x = x x 0. 3 Dieser Aspekt kann auch bei dem flgenden Prblem zu einer Lösung führen. In einer Überlegung taucht im Unterricht an einer Stelle auf a = a. Später wird dann vielleicht mit a = a gearbeitet. Es gibt immer wieder Schüler, die dann verwirrt fragen, b denn nun a eigentlich a der a sei. Die Betrachtungen stehen natürlich unter der Vraussetzung a 0 bzw. a 0. Aber das sieht der Schüler nicht. Diese Bindung sllte aber vm Schüler erkannt sein. Man wird als bei der Einführung der Betragsfunktin auch hervrheben: (3) 0 a a = a und a 0 a = a. Der Lehrer hat Srge dafür zu tragen, daß in der Überlegung die jeweilige Vraussetzung deutlich hervrtritt. Der Umgang mit Beträgen erfrdert Aufmerksamkeit. Schüler wundern sich, daß man schreiben darf (4) a = a, während dch gerade verbten wrden ist, hne Vraussetzung a = a zu schreiben. Sie erkennen dabei nicht, daß es sich um ganz verschiedene Gleichungen handelt. Nachdem man im Unterricht mühsam mit Fallunterscheidungen (5) a + b a + b bewiesen hat, gibt der Lehrer als Hausaufgabe a b a + b. Auch in diesem Fall arbeiten zahlreiche Schüler mit Fallunterscheidungen. Das ist kein Fehler, aber es ist mathematisch nicht schön. Die Schüler sllten angehalten werden, immer nach einfacheren eleganteren Lösungen zu suchen. Hier ergibt sie sich durch Kmbinatin der Regeln (4) und (5): a b = a + ( b) a + b = a + b.

4 4 Gerade Eigenschaften der Betragsfunktin sind für slche Überlegungen geeignet, weil eine Kmbinatin gefundener Regeln deutlich einfacher ist als die aufwendige Fallunterscheidung. 2 Bei der Frmel für die Länge einer Strecke im ( ) ( ) L = x1 x y1 y 2 2 wird der Snderfall y 1 = y 2 betrachtet. Die Schüler bestimmen ( ) L = x1 x 2 2 = x 1 x 2 Hier wird falsch radiziert. Es gilt eben nicht x 2 x, wie in manchem Lehr- buch zu finden ist, sndern x 2 x. Auch bei der Behandlung quadratischer Gleichungen verzichten viele Schüler auf die Möglichkeit, mit Hilfe des Betrages zu einer einfachen Äquivalenzumfrmung zu kmmen, wie z.b. x 2 2 x 2. Ähnlich ist der Fall gelagert, wenn die Schüler Schwierigkeiten haben bei der Äquivalenz < a n < + a n <, die grundlegend für den Grenzwertbegriff ist. Schließlich besteht die Gefahr, daß vn den Schülern x x x nicht als Funktin erkannt wird, weil x nicht durch eine algebraische Ver-

5 5 knüpfung gewnnen werden kann. Hier liegt ein zu enger Funktinsbegriff vr. Durch das Betnen des mdernen Funktinsbegriffes dürfte diese Schwierigkeit aber bald überwunden sein. Fassen wir als die Schwierigkeiten zusammen, s beruhen sie im wesentlichen auf zu engen Definitinen, Unkenntnis vn lgischen Zusammenhängen und falschem Umgang mit Variablen. 2. Definitinen Die klassische Definitin für den Betrag ist (6) a a für 0 a a für a < 0 a! " Wir haben bereits bei unseren Vrüberlegungen gesehen, daß es für das Verständnis nötig ist, diese Frmulierung zu variieren. Dazu zunächst einige Äquivalenzen: (7) # + a# = a $ a % " & und # a# = a $ a % " &. (8) # a # = a $ a % `& und # a# = a $ a % " & (7) ist eine Vrzeichenregel, die vn unaufmerksamen Schülern leicht zu falschen Schlüssen mißbraucht wird. (8) ist eine andere Frmulierung für (3). Man sllte die Frmulierung (6) aber auch verwenden, um den Funktins- bzw. Abbildungsaspekt zu betnen. Wir betrachten als x ' # x# # x % " Hier wird jeder rellen Zahl eine nicht negative zugerdnet. Zur Vertiefung des Verständnisses sllte die Gleichheit flgender Funktinen hervrgehben werden:

6 6 x ( ) x) ) x * +, und x ( x) x * +, x ( ) x) ) x * +, und x ( x) x * + x ( ) x) ) x * +, und x ( x) x * +, x ( ) x) ) x * +, und x ( x) x * + Ganze Zahlen behandelt man gern mit Hilfe vn Vektren des + 1. Damit bietet sich die Deutung an x ( ) x) ) x * + 1, ) x) * +,. Es werden als Vektren auf Skalare abgebildet. ) x ) wird gedeutet als Länge des Vektrs x. Schließlich kann man ) a b) im + 1 als Abstand der Punkte a und b definieren. Dann ist x ( ) x) ) x * + 1, ) x) * R 0 +. eine Abbildung, die jedem Punkt seinen Abstand vm Punkt 0 zurdnet. Alle diese Betrachtungen schließen an (6) an. Eine zweite Definitin ist mit Hilfe der Vrzeichenfunktin möglich. x ( sign x - 1 für 0 < x 0 für 0. - x) 1 für 0 > x x * + Diese Funktin hat heute Eingang in den Unterricht gefunden (GRIESEL 1968). Damit kann man definieren

7 7 (9) / x/ = x sign x. Die Funktin x 0 x sign x / x 1 2 läßt sich deuten als multiplikative Verknüpfung der Funktinen x 0 x / x 1 2 und x 0 sign x / x 1 2 Eine dritte Definitin ergibt sich schließlich mit Hilfe der Maximum-Verknüpfung: a 3 b = max (a,b). Man definiert (10) 4 x 4 = x 3 x. Rechnet man 3 zu den Grundperatinen, s ist das ein analytischer Ausdruck. Das setzt aber ein Vertrautsein mit 3 vraus. Für die methdische Behandlung dieser Verknüpfung liegen Vrschläge vr (STEINER 1965). Betrachten wir diese Fülle vn Frmulierungen, s erscheinen die Abhandlungen in den Lehrbüchern recht mager. Man wird als zunächst einmal für den Unterricht frdern, daß die wesentlichen Aspekte dieses Begriffes deutlich werden. Man stellt etwa (6) als Definitin an den Anfang. (9) und (10) sind dann zu beweisende Gesetze. Hat man als (6) definiert, s ist zu zeigen 4 x4 = x sign x = x 3 x. Der Beweis ergibt sich durch Fallunterscheidung: 1. Fall: 0 < x : 4 x4 = x sign x = 1, als x sign x = x x < 0, als x < x ergibt x 3 x = x 2. Fall: x = 0: Alle drei Terme sind 0. 3.Fall: x < 0: 4 x4 = x sign x = 1, als x sign x = x

8 8 0 < x, als x < x ergibt x 5 x = x Vm mathematischen Gesichtspunkt her ist (10) allerdings die verallgemeinerungsfähigste Fassung, denn sie kann auch in verbandsgerdneten Ringen verwendet werden (FUCHS 1966). (6) und (9) setzen dagegen eine Anrdnung vraus. 3. Eigenschaften Man sllte sich bemühen, ausreichend viele Eigenschaften der Betragsfunktin im Unterricht zu gewinnen, damit sich der Begriff vertieft und damit die Schüler auch einen Einblick in die lgischen Zusammenhänge gewinnen können. Wir geben hier einen kleinen Katalg vn Gesetzen, die sich auch in Lehrbüchern finden: Diese Gesetze sllten auch mit Hilfe der Funktinsschreibweise frmuliert und mit Hilfe vn Graphen veranschaulicht werden. Die Schüler sllten dazu angehalten werden, bei dem Beweis nach Möglichkeit Fallunterscheidungen zu vermeiden und statt dessen auf bereits bewiesene Regeln zurückzugreifen. 6 xy 6 = 6 x 6 6 y 6 6 x + y x y x y 6 6 = 6 x y 6 6 x y 6 = 6 y x 6 6 x + y x 6 6 y 6 x 5 y = ½ (x + y + 6 x y 6 ) sign 6 x 6 = 6 sign x x 6 6 = 6 x 6 6 x 6 = 6 x 6

9 9 x 9 : 0 9 x 9 = 0 ; x = 0 9 x 2 = a ; 9 x 9 = a 4. Charakterisierung der Betragsfunktin Auf der Oberstufe sllten die Schüler die typische mathematische Arbeitsweise kennenlernen, Gegenstände aus ihren Eigenschaften heraus zu charakterisieren. Das ist auch bei der Betragsfunktin eine sinnvlle Fragestellung, denn es liegen in unserem Katalg eine ganze Reihe wichtiger Aussagen vr. Wir betrachten als eine Funktin f: x < f(x) 9 x = >, f(x) = >? Wir wllen nun versuchen, aus den gegebenen Eigenschaften der Betragsfunktin eine Reihe vn Frderungen an f zu stellen, die f als Betragsfunktin charakterisieren. Wir erhalten flgenden Satz. Satz Sei f: x < f(x) 9 x = >, f(x) = mit `? (1) f( > ) = >?, d.h. f ist surjektiv. (2) f(f(x)) = f(x), d.h. f ist idemptent. (3) f(x) = f( x), d.h.der Graph vn f ist symmetrisch zur y-achse. Dann und nur dann gilt f (x) = 9 x 9 Beweis: Wenn x dann gibt es nach (1) ein y mit x = f(y). Daraus flgt nach (2) x = f(y) = f(f(y)) = f(x).

10 10 Wenn x A 0, dann gilt 0 A x. Nach unserer Überlegung eben gilt dann f( x) = x. Nach (3) flgt daraus x = f( x) = f (x). Umgekehrt erfüllt die Betragsfunktin (1), (2), (3). Damit ist die Behauptung bewiesen. Man sllte es sich zur Gewhnheit machen, bei slchen Sätzen die gefrderten Eigenschaften auf ihre Unabhängigkeit hin zu untersuchen. Der Nachweis geschieht durch flgende Beispiele: : x B 0 C x D E Da 1 nicht als Bild auftritt, aber in E F liegt, ist (1) verletzt. (2) gilt wegen (3) gilt wegen ((x)) = 0 = (x) (x) = 0 = ( x) (1) ist als unabhängig vn (2) und (3). i 2 : x B x 2 C x D E. Es ist ein bekanntes Ergebnis der Analysis, daß (1) erfüllt ist. (2) gilt nicht, denn i 2 (i 2 (2) ) = i 2 (4) = 16 G 4 = i 2 (2). (3) ist erfüllt, denn i 2 (x) = x 2 = ( x) 2 = i 2 ( x). (2) ist als unabhängig vn (1) und (3). x für x j: x H j(x) I J 0 K x x L 1 für x < 0 M N O

11 11 (1) ist ffensichtlich erfüllt, denn jede nicht negative, reelle Zahl taucht als Bild auf. (2) gilt, wie man sich aus der Fallunterscheidung klarmacht: x P 0: j(j(x)) = j(x) x < 0: j(j(x)) = j( x + l) = x + l = j(x). (3) ist verletzt, denn j(2) = 3 Q 2 = f(2). Wie man sieht, sind die Lösungen dieser Fragestellungen überraschend einfach. Sie sind als vrzüglich geeignet, die Schüler zu selbständigen, riginellen Lösungen anzuregen, denn die hier angegebenen Lösungen sind in keiner Weise zwangsläufig. 5. Strukturbetrachtungen Wir wllen ein einfaches Beispiel einer weiterführenden Überlegung zeigen, das über den Rahmen der Schule hinausführt, aber zur Vertiefung der algebraischen Aspekte der Betragsfunktin dienen kann. Sei R ein angerdneter Ring, P die Menge der nicht negativen Elemente vn R. P wird Psitivbereich vn R genannt (FUCHS 1966). 0 ist z. B. Psitivbereich vn, ist Psitivbereich vn. Offensichtlich gilt flgende Äquivalenz: a R b S 0 R b a S b a T P. Durch b a T P ist genau dann eine Anrdnung vn R gegeben, wenn gilt (FUCHS 1966): T T T T (A 1) Wenn a, b P, dann a + b P, (A 2) Wenn a, b P, dann ab P,

12 12 U V U V (A 3) Wenn a P und a P, dann a = 0 (A 4) Wenn a P, dann a P. Wir hatten als Psitivbereich vn erkannt. ist Wertebereich der Betragsfunktin. Wir wllen überlegen, b man in einem Ring R Psitivbereiche als Bildbereiche gewisser Abbildungen definieren kann. Das ist möglich nach flgendem Satz. Satz: P sei Teilmenge eines Ringes R der Charakteristik ungleich 2. P ist genau dann Psitivbereich einer Anrdnung vn R, wenn P Bildbereich einer Abbildung f vn R in sich ist mit (1) f(f(x) + f(y)) = f(x) + f(y) (2) f(xy) = f(x)f(y) (3) f(x) = f( x) (4) Wenn x U f(r), dann x V f(r). Beweis: Wenn P Psitivbereich ist, dann ist ffensichtlich die Betragsfunktin eine Funktin der gewünschten Art. Existiere nun umgekehrt eine slche Abbildung f, dann wllen wir zeigen, daß f (R) Psitivbereich ist, als die Eigenschaften (A l) (A 4) besitzt. Ist a, b V f (R), dann gibt es x und y mit a = f(x) und b = f(y). Daraus flgt nach (1) a + b = f(x) + f(y) = f(f(x) + f(y)) V f(r). Nach (2) ergibt sich ab = f(x)f(y) = f(xy) V f(r). Als sind (A 1) und (A 2) erfüllt. Wir brauchen f(f(x)) = f(y) zum Nachweis vn (A 3). Das flgt aber aus (4)

13 13 und (1), denn wegen (4) ist 0 W f(r), als 0 = f(y). Damit ergibt sich aus (1) f(f(x)) =f (f(x) + 0) = f(f(x) + f(y)) = f(x) + f(y) = f(x) - 0 = f(x) Sei nun a W f(r) und a W f(r), dann flgt a = f (x) und a = f (y). Daraus ergibt sich und f(a) = f(f(x)) = f(x) = a f( a) = f(f(y)) = f(y) = a. Nach (3) gilt f(a) = f( a), als a = a. Daraus flgt 2a = a + a = 0. Da die Charakteristik vn R vn 2 verschieden ist, flgt a = 0. Als haben wir (A 3). (A 4) ergibt sich unmittelbar aus (4). Auch hier wird man sich die Frage stellen, b die Eigenschaften (l) (4) vneinander unabhängig sind; zum Nachweis können flgende Beispiele dienen: X Y W Z X Y Y W Z X W Z X Y W Z (1): f: x x 2 x (2): f: x Y x x (3): f: x xy x (4): f: x 0 x Für weiterführende Betrachtungen mit einem autnmen Aximensystem, das wesentliche Eigenschaften der Betragsfunktin allgemein untersucht, sei auf die Ausführungen über Bewertungstherie in (V.D. WAERDEN 1966) verwiesen. Literatur Fuchs, L. : Teilweise gerdnete algebraische Strukturen. Göttingen Griesel, H.: Analysis 1. Hannver Krwkin, P.P. : Ungleichungen. Berlin Nack, A., R. Lemberg: Das Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen. Schriftenreihe zur Schulmathematik. Hamburg 1951.

14 14 Steiner, H.-G.: Zur Didaktik der elementaren Gruppenthene. MNU 11 (1965), Waerden, B.L. van der: Algebra 1, 7. Auflage, Berlin Wunderling, H.: Gleichungs- und Ungleichungslehre, in G. Wlff (Hrsg.): Handbuch der Schulmathematik 7. Hannver 1968,