Algebraische K-Theorie

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1 Algebraiche K-Theorie Univerität Regenburg Sommeremeter 205 Daniel Heiß: : Projektive Moduln

2 Abtract In dieem Vortrag werden projektive Moduln eingeführt und äquivalente Definitionen gezeigt. Man wird ehen, da projektive Moduln genau die direkten Summanden von freien Moduln ind. Ein weitere Reultat beagt, da ie lokal frei ind. Hauptächlich folgt der Vortrag den Büchern [Ro94] und [Wei3], aber auch partiell den Vorleungnotizen von Prof. Dr. Niko Naumann, Kommutative Algebra (Univerität Regenburg, SS 202). Notation. Wenn nicht ander angegeben, wird im geamten Vortrag ein Ring tet unitär und kommutativ ein. Die Menge aller Primideale p R wird bezeichnet mit Spec(R) und die maximalen Ideale chreibt man MaxSpec(R). I Freie Moduln und Summanden Erinnerung. Ein Modul über einem Ring R it eine abelche Gruppe (M, +, 0) zuammen mit einer Abbildung R M M, (r, m) r m o da für alle r, r, r 2 R und alle m, m, m 2 M gilt, da (i) r (r 2 m) = (r r 2 ) m, (ii) (r + r 2 ) m = r m + r 2 m, (iii) r (m + m 2 ) = r m + r m 2, (iv) m = m. Slogan: Ein Modul it wie ein Vektorraum, nur über einem Ring tatt einem Körper. Definition.2. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Dann heißt M frei, wenn M eine Bai beitzt. Da heißt, wenn eine Teilmenge B M exitiert o da für jede m M genau eine Familie von Elementen (r b ) b B R exitiert o da m = b B r b b. Der Rang rk(m) eine freien Modul it definiert al rk(m) := #B. Bemerkung. Der Rang eine freien Modul über nicht-kommutativen Ringen it i.a. nicht wohldefiniert. E gibt Ringe A 0 mit A 2 = A. Beipiel.3. (i) Für jeden Ring R it R n ein freier R-Modul vom Rang n. (ii) Für jeden Ring R it R[X] ein freier R-Modul vom Rang. (iii) Q it kein freier Z-Modul, denn zwei Elemente q := a b, q 2 := a 2 b 2 Q erfüllen die Relation (b a 2 )q (a b 2 )q 2 = 0, da heißt eine Bai kann au maximal einem Element betehen, aber man rechnet chnell nach, da da für q = a b Q gilt, da a b+ / Zq. (iv) Sei I eine Menge und R ein Ring. Dann it R (I) := i I R ein freier R-Modul mit Bai {e i } i I. Daniel Heiß Seite

3 Definition.4. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Ein R-Untermodul N ι M heißt ein direkter Summand von M, fall eine R-lineare Abbildung f : M N exitiert mit f ι = id N. Lemma.5. In der Situation von Definition.4 gilt M = N ker(f). Pr f: Definiere die beiden Abbildungen ϕ: M N ker(f): ψ m ( f(m), m (ι f)(m) ) ι(n) + k (n, k). Offenbar ind beide Abbildungen linear und wegen it ϕ wohldefiniert. f ( m (ι f)(m) ) = f(m) (f ι f)(m) = f(m) f(m) = 0 Rechne nun, da ϕ ψ und ψ ϕ jeweil die Identität ergibt: ψ(ϕ(m)) = ψ (( f(m), m (ι f)(m) )) = ι(f(m)) + m ι(f(m)) = m. ϕ (ψ ((n, k))) = ϕ (ι(n) + k) = ( f ( ι(n) + k ), ι(n) + k (ι f) ( ι(n) + k )) = ( ) f(ι(n)) + f(k), ι(n) + k ι(f(ι(n)) ) ι(f(k)) }{{}}{{}}{{}}{{} =n =0 =n =ι(0)=0 = (n, k). Bemerkung.6. Sei R ein Ring, M ein R-Modul und N M ein R-Untermodul. Dann it N genau dann ein direkter Summand, wenn ein R-Untermodul Q M exitiert mit N Q = M. Pr f: ( ) E gelte N Q = M. Dann etze f := (M N Q π N). Mit ι := (N ι N Q M) gilt offenbar f ι = id N. ( ) Nach Lemma.5 gilt M = N ker(f). Wähle Q := ker(f). Beipiel.7. (i) It k ein Körper und V ein k-vektorraum, o it jeder k-untervektorraum U V ein direkter Summand. (ii) Der Z-Untermodul 2Z Z it kein direkter Summand, denn / im(ι: 2Z Z). (iii) Sei R ein Ring und n < m N. Dann it R n R m ein direkter Summand de freien Modul R m. Daniel Heiß Seite 2

4 Algebraiche K-Theorie : Projektive Moduln Bemerkung.8. Die Umkehrung in Beipiel.7 (iii) gilt nicht! E gibt i.a. freie R-Moduln M und direkte Summanden N von M, o da N nicht frei it. Al Beipiel betrachte den Ring R[X, Y, Z]/(X 2 + Y 2 + Z 2 ) der rationalen Funktionen ( auf der 2-Sphäre ) S 2 und den freien Modul M = R 3. Betrachte die R-lineare Abbildung σ := X Y Z : R 3 R. Offenbar gilt R 3 = ker(σ) R, damit it ker(σ) R ein direkter Summand de freien Modul R 3, aber ker(σ) it nicht frei (Stichwort: Man kann keinen Igel kämmen!). Weitere Beipiele ind alle projektiven Moduln, die nicht frei ind (vgl. Beipiel 2.7). II Projektive Moduln Definition 2.. Sei R ein Ring. Eine exakte Sequenz 0 A B f C 0 von R-Moduln heißt paltend, wenn eine R-lineare Abbildung g : C B exitiert o da f g = id C. Beipiel 2.2. Die Sequenz 0 2Z Z Z/2Z 0 paltet nicht, da der einzige Homomorphimu von Z/2Z nach Z der Nullmorphimu it. Lemma 2.3. Sei R ein Ring und P ein R-Modul. Dann ind äquivalent: (i) Jede exakte Sequenz 0 N M P 0 von R-Moduln paltet. (ii) Der Funktor Hom R (P, ) it exakt, da heißt: Für jeden Epimorphimu α: M N it die induzierte Abbildung α : Hom R (P, M) Hom R (P, N), f α f urjektiv. (iii) P it ein direkter Summand eine freien R-Modul (aber nicht notwendigerweie frei, vgl. Bemerkung.8). Bemerkung 2.4. Die Bedingung (ii) in Lemma 2.3 bedeutet: Für jede urjektive R-lineare Abbildung α: M N und jede R-linear Abbildung g : P N exitiert eine R-lineare Abbildung f : P M o da α f = g, da heißt o da da folgende Diagramm kommutiert: P f g M α N Pr f (2.3): ((ii) = (i)) Betrachte die Sequenz 0 N M α P 0. Da α urjektiv it, it nach Vorauetzung α : Hom R (P, M) Hom R (P, P ) urjektiv. Da Daniel Heiß Seite 3

5 Algebraiche K-Theorie : Projektive Moduln heißt e exitiert ein Hom R (P, M) o da id P = α () = α. Damit it offenbar der gewünchte Spalt. ((i) = (iii)) Sei F := R (P ) der freie Modul mit Bai induziert von P. Dann exitiert nach univereller Eigenchaft de freien Modul offenbar ein Epimorphimu π : F P (chicke e p auf p P ). Erhalte damit die exakte Sequenz ( ) 0 ker(π) F π P 0. Nach Vorauetzung exitiert ein Spalt : P F mit π = id P direkter Summand vom freien Modul F. ((iii) = (ii)) und damit it P ein Sei α: M N ein Epimorphimu und g : P N eine R-lineare Abbildung. Nach Vorauetzung exitiert ein freier Modul F mit Bai B und R-lineare Abbildungen ι: P F, f : F P mit f ι = id P. Betrachte nun da Diagramm F f P ι β g γ M α N Für jede b B F exitiert wegen der Surjektivität von α ein m b M o da α(m b ) = g(f(b)) N. Damit exitiert nach univereller Eigenchaft eine R-lineare Abbildung β : F M o da α β = g f. Setze nun γ := β ι. Dann it γ der gewünchte R-Homomorphimu (dh. α γ = g), denn α γ = α β ι.o. = g f ι Vor = g id P = g. Definition 2.5. It in Lemma 2.3 eine der äquivalenten Bedingungen erfüllt, o heißt der R- Modul P projektiv. Korollar 2.6. Sei R ein Ring. (i) Jeder freie R-Modul it projektiv. (ii) Für eine Familie (P i ) i I von R-Moduln gilt: Die direkte Summe i I P i it genau dann projektiv, wenn jeder P i projektiv it. (iii) Ein direkter Summand eine projektiven Modul it projektiv. Pr f: (i) it trivial. Betrachte alo eine Familie (P i ) i von projektiven R-Moduln. Nach Definitionen exitieren R-Moduln Q i (i I) o da P i Q i = R n i für geeignete n i. Dann gilt ( ) ( ) P i Q i = i i i Alo it die direkte Summe der P i projektiv. ( ) Pi Q i = R n i = R i n i. Gilt umgekehrt da die direkte Summe projektiv it, o exitiert nach Definitionen ein R- i Daniel Heiß Seite 4

6 Modul Q o da R n = ( i ) P i Q = P i Q P j. j i Alo it P i projektiv. Die gilt für alle i I. Für (iii) ei S ein direkter Summand eine projektiven Modul P, dann exitiert ein Modul T mit S T = P und da P projektiv it, exitiert ein Modul Q o da P Q = R k. Zuammen erhält man S ( T Q) = R k und damit it S projektiv. Beipiel 2.7. (i) Seien R, S 0 zwei Ringe, dann it der R S-Modul R 0 projektiv (denn R 0 0 S = R S) aber nicht frei (klar). (ii) Q it al Z-Modul nicht projektiv. Über Hauptidealringen it nämlich jeder endlich-erzeugte projektive Modul frei (folgt au der Torionfreiheit projektiver Moduln und dem Strukturatz endlich-erzeugter Moduln über Hauptidealringen) und bekanntlich (vgl. Beipiel.3) it Q al Z-Modul nicht frei. (iii) Z/nZ it nicht projektiv, da die Sequenz 0 Z n Z Z/nZ 0 nicht paltet. Bemerkung 2.8. Die Auage (ii) in Korollar 2.6 timmt nicht für Produkte, denn Z N it kein projektiver Z-Modul. Bemerkung 2.9. Sei R ein Ring und e R mit e 2 = e (in dieem Fall heißt e idempotent). Dann gilt er ( e)r = R und damit it er ein projektiver R-Modul. Exitieren umgekehrt zwei R-Moduln P und Q mit P Q = R, o exitieren eindeutige p P, q Q mit p 2 = p, ( q) 2 = q und pq = 0. Da heißt die Idempoteten entprechen genau den Zerlegungen R = P Q. Gilt e 0,, o it er nicht frei. Pr f: (Erte Auage) Definiere ϕ: R er ( e)r, r ( er, ( e)r ). Für die Injektivität ei r ker(ϕ). Dann gilt er = 0 und ( e)r = 0, alo r = 0. Für die Surjektivität ei ( er, ( e) ) er ( e)r beliebig. Dann it ein Urbild gegeben durch er + ( e), denn ( ) ϕ(er + ( e)) = e(er + ( e), ( e)(er + ( e)) ( ) = er + e e, er + e er e + e ( ) = er, ( e). (Zweite Auage) Nach Vorauetzung exitiert genau ein p P und q Q mit = p + q (wegen P Q = R). Aber e gilt auch = 2 = (p + q) 2 = p 2 + 2pq + q 2, wobei au der Daniel Heiß Seite 5

7 Eindeutigkeit der Zerlegung folgt, da p 2 = p und damit folgt der Ret durch Einetzen und Auflöen. (Zweite Auage) Klar, da ( e)p = 0 obwohl ( e)r 0. Satz 2.0. Sei R ein Ring und P ein projektiver R-Modul. Dann it P torionfrei. Pr f: P it ein Untermodul eine freien Modul und damit torionfrei. Korollar 2.. Sei R ein Hauptidealring und P ein endlich-erzeugter projektiver R-Modul, dann it P frei. Pr f: Strukturatz über endlich-erzeugte Moduln über Hauptidealringen zuammen mit dem Satz 2.0 liefern die Behauptung. Die Auage diee Korollar gilt auch über lokalen Ringen tatt Hauptidealringen. Die zu beweien it Ziel de nächten Abchnitt: III Lokaliierung Definition 3.. Sei R ein Ring. Eine Teilmenge S R heißt multiplikativ abgechloen, wenn gilt (i) S, (ii), t S : t S. Kontruktion 3.2. Sei R ein Ring und S R multiplikativ abgechloen. Dann exitiert ein bi auf eindeutige Iomorphie eindeutiger Ring S R genannt die Lokaliierung von R nach S zuammen mit einem Ringhomomorphimu ι: R S R mit folgender univerellen Eigenchaft: Für jeden Ring A und jeden Ringhomomorphimu ϕ: R A mit ϕ(s) A exitiert genau ein Ringhomomorphimu ψ : S R A o da ψ ι = ϕ. Die Eindeutigkeit folgt wie immer bei Objekten mit univereller Eigenchaft. Die Exitenz it durch folgende Kontruktion geichert: Definiere auf R S die Äquivalenzrelation (r, ) (q, t) : u S : u(rt q) = 0. Man rechnet leicht nach, da die eine Äquivalenzrelation liefert. Der Ring S R it dann definiert al R S/ mit den Verknüpfungen [(r, )] + [(q, t)] := [(rt + q, t)], [(r, )] [(q, t)] := [(rq, t)]. Schreibweie: Für die Äquivalenzklae [(r, )] chreibt man kurz r. Daniel Heiß Seite 6

8 Beipiel 3.3. (i) It R ein Integritätring (z.b. R = Z) o it die Menge S := R \ {0} multiplikativ abgechloen. Der Ring S R it ein Körper, der Quotientenkörper von R. (Im Falle R = Z it S Z = Q) (ii) It allgemeiner p R ein Primideal, o it S := R\p multiplikativ abgechloen. Der Ring S R wird oft mit R p bezeichnet. (iii) Z (2) = { a b Q ggt(a, b) =, 2 b }. (iv) Gilt 0 S o it die Lokaliierung S R = 0 der Nullring (betrachte die Äquivalenzrelation in der Kontruktion!). (v) Sei R ein Ring und r R ein Nicht-Nullteiler. Dann it S := { r i i N } multiplikativ abgechloen. Die Lokaliierung bezeichnet man häufig mit R r oder R [ ] r. { (vi) R[X] X = f X i N, f R[X] }. i Kontruktion 3.4. Sei R ein Ring, M ein R-Modul und S R multiplikativ abgechloen. Dann exitiert eine Lokaliierung von M nach S. Die Kontruktion verläuft analog zu der Lokaliierung von Ringen. Alternativ: Die Lokaliierung S M von M nach S it definiert durch: S M := S R R M. Bemerkung 3.5. Sei R ein Ring, S R eine multiplikativ abgechloene Teilmenge und M ein R-Modul. Dann it S M ein S R-Modul. It f : M N ein Homomorphimu von R-Moduln, o induziert f eine S R-lineare Abbildung S f : S M S N, m f(m). Propoition 3.6. Sei R ein Ring, p R ein Primideal und M, N zwei R-Moduln. Dann gilt (M N) p = Mp N p. Pr f: Nutze z.b. kommutative Algebra: M p N p = (M R R p ) (N R R p ) = (M N) R R p = (M N)p. Definition 3.7. Ein Ring R heißt lokal, wenn er genau ein maximale Ideal enthält. Beipiel 3.8. (i) Jeder Körper it lokal mit Maximalideal (0). (ii) Z it nicht lokal, da (p) für p Z prim die maximalen Ideale ind. (iii) Sei R ein Ring und p Spec(R) ein Primideal. Dann it die Lokaliierung R p ein lokaler Ring mit maximalem Ideal pr p. Daniel Heiß Seite 7

9 Definition 3.9. Sei R ein Ring. Dann definiere Jac(R) := m MaxSpec(R) m al den Durchchnitt aller maximalen Ideale in R. Beipiel 3.0. (i) Sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m, dann gilt Jac(R) = m. (ii) E gilt Jac(Z) = (0), denn die einzige ganze Zahl, die durch alle Primzahlen teilbar it, it die Null. Lemma 3.. Sei R ein Ring und x Jac(R), dann gilt für alle r R da xr R. Pr f: Angenommen xr / R, dann gilt ( xr) R, alo exitiert nach Zorn Lemma ein maximale Ideal m R mit ( xr) m und inbeondere xr m, aber da x Jac(R) m folgt xr m und damit m. Satz 3.2 (Nakayama Lemma). Sei R ein Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und I Jac(R) ein Ideal. Gilt nun IM = M, o folgt M = 0. Pr f: Angenommen M 0. Dann exitiert ein minimale Erzeugendenytem x,..., x m M. Wegen IM = M und x m M exitieren alo r,..., r m I Jac(R) o da x m = r x r m x m. Alo folgt ( r m )x m = r x r m x m. Nach Lemma 3. it r m R, alo wird x m durch x,..., x m erzeugt, im Widerpruch zur Minimalität von m. Korollar 3.3. Sei R ein Ring, M ein endlich-erzeugter R-Modul und I Jac(R) ein Ideal. Seien x,..., x m M. Dann erzeugen die x i genau dann den R-Modul M, wenn ihre Reduktionen x,..., x m den R/I-Modul M/IM erzeugen. Pr f: Da die Reduktion eine Erzeugendenytem wieder ein Erzeugendenytem it, it klar. Nehme al umgekehrt an, da die x i den Modul M/IM erzeugen. Setze N := x,..., x m al da R-Erzeugni der x i, damit it die Kompoition N M M/IM urjektiv, da heißt e gilt M = N + IM und e folgt M/N I(M/N). Da mit M auch M/N endlich erzeugt it, liefert da Nakayama-Lemma, da M/N = 0, alo M = N gilt. Beipiel 3.4. Sei p Z prim, dann ieht man leicht, da Q ein Z (p) -Modul it. Der Ring R := Z (p) it lokal und dehalb gilt Jac(R) = (p). Offenbar gilt alo Jac(R)Q = (p)q = Q, aber Q 0, alo ieht man, da Q al R-Modul nicht endlich erzeugt it und da man in Nakayama Lemma auf diee Vorauetzung nicht verzichten kann. Daniel Heiß Seite 8

10 Propoition 3.5. Sei R ein Ring und A M n (Jac(R)) M n (R), dann beitzt A M n (R) ein Invere. Pr f: Siehe [Ro94,.3.7 f.]. Satz 3.6. Sei R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m R und P ein endlich-erzeugter projektiver R-Modul. Dann it P frei. Pr f: Da P projektiv und endlich-erzeugt it, exitiert ein R-Modul Q mit P Q = R k für ein k N. Nun ind P und Q endlich-erzeugt, alo ind die Quotientenmoduln V := P/mP und W := Q/mQ endlich-dimenionale κ := R/m-Vektorräume. Setze m := dim κ (V ) und n := dim κ (W ). Wegen R k /mr k = κ k gilt notwendigerweie n + m = k. Wähle nun Elemente x,..., x m P und x m+,..., x m+n Q o da deren Reduktionen eine κ-bai der Vektorräume V bzw. W bilden. Nach Korollar 3.3 erzeugen ie damit die R-Moduln P bzw. Q und damit R k. Zeigt man nun, da die x i eine Bai de R k bilden, folgt inbeondere die lineare Unabhängigkeit der x,..., x m und damit bilden diee eine Bai von P, da heißt P it frei wie gewüncht mit Rang dim κ (V ). Sei nun e,..., e k die Standard-Bai de R k. Nun bilden die e i und die x i jeweil ein Erzeugendenytem, da heißt e exitieren a ij, b ij R o da e i = Da heißt e gilt k k a ij x j, x i = b ij e j. j= j= k k e i = a ij b jl e l = j= l= k k (a ij b jl δ il )e l = 0. l= j= Da aber die e i linear unabhängig ind, folgt k a ij b jl δ il = 0 ( k ) und damit wegen (a ij ) ij (b ij ) ij = r= a irb rj, da AB = k. ij Führt man obige Subtitution ander herum au, o erhält man k k (b ij a jl δil)x l = 0. j= l= j= Aber im κ-vektorraum P/mP ind die x i linear unabhängig, alo gilt BA = k in M k k (κ), da heißt BA k M k (m) und damit liefert Propoition 3.5, da BA Gl k (R) und damit Daniel Heiß Seite 9

11 it A die Invere von B und e gilt BA = k in M k (R), alo bilden die x i eine Bai vom R k und alle it gezeigt. Bemerkung 3.7. (i) Die Auage in Korollar 3.9 gilt auch für nicht endlich-erzeugte projektive Moduln, it in dieem Fall aber deutlich chwerer zu beweien. Man findet den Bewei z.b. in [Kap58]. (ii) Die Auage au Korollar 3.9 beweit ich (quai) analog für nicht-kommutative Ringe. Korollar 3.8. Sei R ein Ring und P ein endlich-erzeugter projektiver R-Modul. Dann it für jede p Spec(R) der R p -Modul P p frei. Pr f: Nach Vorauetzung exitiert ein R-Modul Q mit P Q = R m für ein m N. Wegen (R p ) m =3.6 (R m ) p = (P Q)p =3.6 P p Q p it P p ebenfall endlich-erzeugt und projektiv al R p -Modul, aber R p it lokal, alo it P p al R p -Modul frei. Korollar 3.9. Sei R ein Ring und P ein endlich-erzeugter projektiver R-Modul. Dann exitiert für alle p Spec(R) ein R \ p o da P [ ] ein freier R [ ] -Modul it. Inbeondere it P q ein freier R q -Modul mit rk(p p ) = rk(p q ) für alle q Spec(R) mit / q. Pr f: E exitiert nach Korollar 3.8 ein n N und ein Iomorphimu g : P p R p -Moduln. (R n ) p von Seien e i R n die Standardbai. Dann exitieren p i P und i R \ p o da g ( e i ) = p i i. Definiere nun einen R-linearen Homomorphimu f : R n P durch f(e i ) := p i (univerelle Eigenchaft de freien Modul!). Der von f induzierte Homomorphimu f p : (R n ) p = R n p P p it bi auf Multiplikation mit Einheiten der Homomorphimu g, alo auch ein Iomorphimu. Betrachte den Kokern coker(f) := P/ im(f). Mit P it auch coker(f) endlich-erzeugt. Weiter gilt nun nach Propoition 3.2 coker(f) p = coker(fp ) aber f p it urjektiv, alo coker(f) p = 0. Schreibe m,..., m k für die Erzeuger von coker(f). Wegen coker(f) p = 0 exitiert für alle m i ein i R \ p o da i m i = 0. Setze := k i= i und erhalte coker(f) = 0. Die induzierte Abbildung f [ ] : (R n ) [ [ ] P ( [ ] it damit urjektiv (denn coker f ]) = coker(f) [ ] (vgl. Propoition 3.2) da den geamten Modul coker(f) annulliert gilt Alo it f [ ] urjektiv. coker(f) [ ] = 0. Daniel Heiß Seite 0

12 Da heißt die Sequenz 0 ker(π) ( R [ ]) n π P [ ] 0 paltet, da heißt ( R [ n [ ]) = M P [ ] für einen endlich erzeugten R ] -Modul M. Nun gilt aber für jeden R-Modul A, da ( A [ ]) p = A p nach Propoition 3.20, alo gilt: [ ] ) n ( [ ] P p = R n p = (R n ) = R p p ( [ ]) [ ] = M P = M p P = M p P p p Alo gilt M p = 0. Analoge Argument wie oben liefert ein t R \ p o da tm = 0 und damit it f [ ] : t ( [ ]) n [ ] R P t t ein Iomorphimu und t R \ p it da gewünchte Element. Für alle Primideale q Spec(R) mit t / q gilt S := { (t) n n N } S 2 := R \ p und damit folgt der ÏnbeondereTeil der Behauptung au Propoition 3.20, denn [ ]) (R n ) q n ) ( [ ]) = ((R = P = P q. t q t q p Propoition Sei R ein Ring und S T R eien multiplikativ abgechloen. Dann exitiert ein Iomorphimu T (S R) = T R. Pr f: Nachrechnen. Der Iomorphimu it gegeben durch r t r t. Propoition 3.2. Sei R ein Ring, S R multiplikativ abgechloen und M, N zwei R- Moduln, owie f : M N R-linear. Dann gilt S coker(f) = coker(s f). Pr f: Betrachte die exakte Sequenz M f N coker(f) 0. Lokaliieren it ein exakter Funktor (iehe Kommutative Algebra), alo it auch die Sequenz S M S f S N π S coker(f) 0 Daniel Heiß Seite

13 exakt. Nach dem Homomorphieatz und der Surjektivität von π folgt S coker(f) = im(π) = S N/ ker(π) = S N/ im(s f) Def = coker(s f). Definition Sei R ein Ring, p Spec(R) und P ein endlich-erzeugter projektiver R- Modul. Dann it der Rang von P bei p definiert alo rk p (P ) := dim Rp/pRp (P R R p /pr p ). Bemerkung Die Teilmengen D() := { q Spec(R) / q } Spec(R) ind die Baioffenen Mengen von Spec(R) in der Zariki-Topologie. Da heißt Korollar 3.9 heißt, da endlicherzeugte projektive R-Moduln lokal frei ind. It umgekehrt ein R-Modul P lokal frei von endlichem Rang (da heißt rk p (P ) < für alle p Spec(R)), o it P endlich-erzeugt und projektiv. Daniel Heiß Seite 2

14 Literatur [Kap58] Irving Kaplanky. Projective module. Ann. of Math (2), 68: , 958. [Ro94] Jonathan Roenberg. Algebraic K-theory and it application, volume 47 of Graduate Text in Mathematic. Springer-Verlag, New York, 994. [Wei3] Charle A. Weibel. The K-book, volume 45 of Graduate Studie in Mathematic. American Mathematical Society, Providence, RI, 203. An introduction to algebraic K-theory. Daniel Heiß Seite ii