Vortrag: Symmetriebrechung & Musterbildung

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1 Seminar: Dynamische Modelle omplexer Systeme Vortrag: Symmetriebrechung & Musterbildung Dienstag, :15 Uhr, SR/GMG Referent: Philippe Bourdin Blattneratur eines tropischen Farns [3]

2 Definition: Symmetriebrechung & Musterbildung Musterbildung ist ein Prozeß, bei dem ein räumlich homogener Zustand instabil wird und einem inhomogenen Zustand, also einem Muster weicht. Meist wird eine solche spontane Symmetriebrechung durch Veränderung eines Parameters in einem nichtlinearen System erzielt. []

5 Inhalt: Symmetriebrechung & Musterbildung Ein bißchen Geschichte Zweidimensionale Muster Das Bénard-Experiment Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Belouso-Zhabotinsy-Reation (BZ) Reations-Diffusions-Gleichungen (RD) Simulation: Der Brüsselator Weitere Muster in der Natur

6 Ein bißchen Geschichte Wie entstehen zweidimensionale Muster?

7 Ein bißchen Geschichte Wie entstehen zweidimensionale Muster? Ab 1965 erforscht u.a. on A. Gierer und H. Meinhardt (MPI) Einfaches Turing-Modell: System aus Atiator und Inhibitor beschreibbar durch zwei nichtlineare, partielle Differentialgleichungen

8 Zweidimensionale Muster Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen

9 Zweidimensionale Muster Beispiel: Astwachstum am Süßwasserpolypen Substrat nötig, Flutuation ( Samen ) startet für Zellwachstum Wachstum geht zur höchsten Substrat-Konzentration Inhibitor zieht weiter mit Atiator Ist Atiator weit genug entfernt, ann ein Abzweig entstehen, da der Inhibitor ebenfalls fehlt Zweig-Wachstumwieder zur höchsten Substrat-Dichte Wachstum geht weiter, bis Substrat aufgebraucht ist Kein zusammenwachsen []

14 Zweidimensionale Muster Simulation ersus Beobachtung: Wachstum on ZnSO 4 Dendritische Ablagerung simulierbar durch Zelluläre Automaten [6]

15 Das Bénard-Experiment Temperaturgradient sorgt für Wärmetransport

16 Das Bénard-Experiment Temperaturgradient sorgt für Wärmetransport Visosität der Flüssigeit bremst Konetion [4]

17 Das Bénard-Experiment Kritischer Temperaturgradient notwendig für ein Umschlagen Temperaturgradient steigt Konetionsrollen

18 Das Bénard-Experiment Aus: Naiér-Stoes-Gleichung, Bewegungsgleichungen, Kontinuitätsgleichung und Wärmeleitungs-Gleichung. Boussinesq-Approximation: α ( ( T )) ρ = ρ0 1 α T 0 (mit als thermischen Ausdehnungsoeffizient) Alle anderen Materialparameter onstant. Man erhält mit weiteren Näherungen und Vereinfachungen die spezielle Naier-Stoes-Gleichung: ρ u 0 i i + ρ0 u j ui = p + q t xi xi xi xi + gi ρ0 ( ρ ) (u: innere Energie q: transportierte Wärmemenge g: Graitation) u

19 Das Bénard-Experiment Damit lassen sich die Konetionsrollen erlären: [4] laminare Konetionsrollen Chaotisch bei höherem T.-Gradienten

20 Das Bénard-Experiment Offene Randbedingungen => Hexagonale Konetionszellen [4] Entspricht rein qualitati den Konetions-Granulen der Sonne =>

21 Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Allgemeine Formulierung des Problems: X r t t = F i ( ) ({ X }, { X },λ ), i j j

22 Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Allgemeine Formulierung des Problems: X r t t = F i ( ) ({ X }, { X },λ ), i j j Vereinfacht: dx ( t) dt = F( X,λ) Störungsrechnung: X ( t) = X S + x( t) mit F( X S, λ) = 0 X : Ruhezustand + x ( t): leine Störung S Taylor-Entwiclung: dx( t) 1. Ordnung = L λ x + h x, λ = L λ dt ( ) ( ) ( ) x Linearteil Nichtlinearität

23 Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Differentialgleichung: Lösungs-Ansatz: => Eigenwertgleichung: dx 1. Ordnung ( t) = L( λ) x dt ω x t = u r e L ( ) t ( λ) u = ω u Stabilitätsbedingung: Wenn ( ) > 0 instabil ( ) < 0 stabil Re ω Re ω => Bifuration ( ω ) ω( λ ) Re Re( ) = 0 C = C ω T C T [1]

24 Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Allgemeine Ausgangs-Gl.: Entwiclung um ritischen Punt: Taylor-Entwiclung für: und: t T x t ( r, t) In Systemen großer räumlicher Ausdehnung: x a Im( ωc ) + ε = L λ λ ( λ, ) x + h( x,,λ) C a εγ ( r t) a εx + ε x..., 1 + τ 1 + ε γ + r... a ε +... ρ man erhält: x t ( r, t) = L ( λ ) x + L ( λ) x + h(, λ) 0 1 x

25 Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Einsetzen und Koeffizientenergleich in Ordnungen on : (analog zur linearen Analyse) In dritter Ordnung erhält man inhomogenes Gleichunssystem Lösbareitsriterium mittels Satz on Friedholm (ompliziert) ( ) ( ) ( ) 0 Im 1 0 = x L T O C C λ ω ε ε ( ) cc e u c x it + = ρ τ, 1 ( ) ( ) ( ) Im x x h x L T O xx C C = λ ω ε 0 p c cc e p c x T i + + =

26 Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Man erhält schließlich (mit ε c a z ): z t = ( λ λ ) z + ( 1+ iα ) z + ( 1+ iβ ) z z C Die Komplexe Ginzburg-Landau-Gleichung (CGLE) Höhere Ordnungen on sind nicht enthalten. ε ε Entwiclung in auch für Bénard-Zelle möglich: => Newell-Whitehead-Segel-Gleichung (NWSE)

27 Die BZ-Reation Oszillierende Reation in einer Petrischale: Bromid und Cer 3+ / 4+

28 Die BZ-Reation Oszillierende Reation in einer Petrischale: Bromid und Cer 3+ / 4+ Inhibitor: Bromid Reation 1: erbraucht Bromid Reation : oxidiert Ce 3+ (Farbwechsel) Reation 3: bildet Ce 4+ und Bromid zurüc

29 Die BZ-Reation Oszillierende Reation in einer Petrischale: Bromid und Cer 3+ / 4+ Inhibitor: Bromid Reation 1: erbraucht Bromid Reation : oxidiert Ce 3+ (Farbwechsel) Reation 3: bildet Ce 4+ und Bromid zurüc

30 Reations-Diffusions-Gleichungen Allgemeine Formulierung für oszillierende Reationen:

31 Reations-Diffusions-Gleichungen Allgemeine Formulierung für oszillierende Reationen: B + X A 1 X Y + C 3 X + Y 3X (autoatalytisch) X 4 Brüsselator -Modell (Prigogine, Lefeer, Nicolis, Brorcmans: ) Quelle der Nicht-Linearität: autoatalytische Reation Reationsgeschwindigeiten D 1 4 => Ratengleichungen

32 Reations-Diffusions-Gleichungen Ratengleichungen: dx dt = 1A BX + 3X Y 4 X dy dt = BX 3 X Y Allgemein, mit Diffusionsterm (D: Diffusionsonstante): dx dt ( X, Y, ) + D X = F λ dy dt =... (analog) Lösung nur numerisch durch Zelluläre Automaten Zum Vergleich: Bénard-Zelle beschreibbar durch Lorenz-Gleichungen: dx dy dz dt = σ ( X Y ) dt = RX Y XZ dt = XY bz

33 Simulation: Der Brüsselator Ratengleichungen: dx dt = 1A BX + 3X Y 4 X dy dt = BX 3 X Y

34 Simulation: Der Brüsselator Ratengleichungen: dx dt = 1A BX + 3X Y 4 X dy dt = BX Numerische Simulation: (A=1, B=3, X 0 =Y 0 =1, 1 = = 4 =1) 3 X Y c X, Y c Y 8] T cx

35 Simulation: Der Brüsselator Die BZ-Reation Simulation ersus Beobachtung: [] Spiralwellen und Chaotische Oszillationen

36 [8] Simulation: Der Brüsselator Stabilitätsbetrachtung des Brüsselators: Stationäre Zustände: X S = 1 4 A ( dx dt = dy dt = 0) Mit A=1 und B=1,5 ergibt die Simulation: Y S = B A

37 Simulation: Der Brüsselator Stabilitätmatrix: Berechne Eigenwerte: Instabil für: S S X B X B A X B S + = + > ( ) + ± ± = Imaginärteil Realteil S S S X B X X B λ

38 Weitere Muster in der Natur

39 Weitere Muster in der Natur Schnecenmuster: Atiator, Inhibitor, Diffusionsterme, Zerfallsraten, Grundprodution x a D a r b b a s t a a a a + + = x b D b r sa t b b b + = [Amoria dampieria] [Natica Stercusmuscarum]

40 Weitere Muster in der Natur Musterbildung: Katalytische CO-Oxidation [5]

41 Zusammenfassung Wir sahen Muster in: der Natur, der Physi und der Chemie Theoretische Modelle bieten eine gute Beschreibung Simulationen zeigen teilweise gute Übereinstimmungen zwischen Theorie und der Beobachtung Trotz allem gibt es bisher eine eindeutigen Beweise, daß die Muster in der Natur tatsächlich durch diejenigen Prozesse entstehen, die in den theoretischen Modellen zugrunde gelegt worden sind. Es gibt noch iel zu tun

42 Literatur [1] G. Nicolis: Introduction to nonlinear science 1995, Cambridge Uniersity Press [] H. Meinhardt: Biological Pattern Formation [3] P. Prusiniewicz: Musterbildung [4] E. Jaobi: Vortrag Selbstorganisation 003, [5] M. Kim, M. Bertram, H. Rotermund: CO Oxidation 001, Science, 9: [6] Simulations-Software: The Virtual Laboratory [7] P. Meain: A new model for biological pattern formation 1986, Journal of Theoretical Biology, 118: [8] J. Krieger: Reations-Diffusions-Systeme