Wirtschafts- und Finanzmathematik

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1 Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2017/ Einführung, R, Grundlagen Grundlagen, Aussagen Aussagen Mengen, Folgen, Reihen Allerheiligen Reelle Funktionen einer Variablen, Stetigkeit Differentialrechnung Differentialrechnung Integration Finanzmathematik Matrizen, Vektoren, Lineare Determinanten, Eigenwerte Weihnachten Weihnachten Puffer, Wiederholung Beginn der Prüfungszeit Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA

2 Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung Aufteilung der Zinsperiode in mehrere gleich lange Rentenperioden, d.h. m Rentenzahlungen pro Zinsperiode (= Jahr). Dazu: Rechnung mit einfacher Verzinsung innerhalb der Zinsperiode Rentenzahlungen nachschüssig (also am Ende jeder unterj. Rentenperiode) oder vorschüssig möglich Lösung: Errechnung von konformen (gleichwertigen) jährlich nachschüssigen Ersatzzahlungen zu den m unterjährigen Zahlungen. Definition r e heißt konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate einer nachschüssigen (oder vorschüssigen) unterjährigen Rentenrate r Zinsen 8.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung 184

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5 Konforme jährliche nachschüssige Ersatzrentenrate Berechnung von r e : falls unterjährige Rente nachschüssig: r e = r + r (1 + 1m ) i + r (1 + 2m ) i = r m + i r 1 m r e = r [ m + i m 1 2 ] falls unterjährige Rente vorschüssig: r e = r (1 + 1m ) i + r (1 + 2m ) i +... ( + r 1 + m 1 ) +... m i + r (1 + m ) m i = r m ( (m 1)) + i r 1 ( m) m r e = r [ m + i m + 1 ] Zinsen 8.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung Aus Ersatzrentenrate r e : Weiterrechnen mit Formeln für jährliche nachschüssige Rente 185

6 Beispiel konforme Ersatzrentenraten Beispiel Ein Sparer legt monatliche nachschüssig auf ein Konto. Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren bei einem Zinssatz von 4%? Lösung: Gesucht ist der Rentenendwert auf Basis der konformen Rentenraten. Mit n = 10, m = 12, q = 1,04 und r = ergibt sich Folgendes: R 10 = [ ] 0, }{{} 12,22 1, ,04 1 = , = , Zinsen 8.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung Beim Zinssatz von i = 4% kann eine monatlich nachschüssige Rente von durch eine jährlich nachschüssige Rentenzahlung von gleichwertig ersetzt werden. Der Kontostand nach 10 Jahren beträgt ,

7 Ewige Renten Eine Rente heißt ewige Rente, wenn Anzahl n der Ratenzahlungen nicht begrenzt, n also beliebig groß wird (n ). Berechnung des Rentenendwertes dann nicht möglich Rentenbarwert R 0 existiert jedoch: R 0 = lim n = r lim n (r NRBF) = r lim ( ) 1 1 q n = r q 1 n 1 q n qn 1 q 1 1 q 1 = r i Damit: Rentenbarwert einer nachschüssigen ewigen Rente: 8.1. Zinsen 8.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung R 0 = r i 187

8 Ewige Renten: Beispiel Beispiel Wie groß ist der Barwert einer ewigen nachschüssigen Rente von pro Jahr, wenn der Zins bei 8% liegt? Lösung: R 0 = = ,08 Anmerkung: Geht man von einer vorschüssigen ewigen Rente aus, so ergibt sich für den Rentenbarwert: R 0 = r + r i 8.1. Zinsen 8.2. Renten Unterjährige Renten Ewige Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung 188

9 Tilgungsrechnung Rückzahlung oder Tilgung größerer Darlehen oft in mehreren Raten Hier betrachtet: Tilgung in mehreren Teilbeträgen, in konstanten Zeitabständen Jede zu bezahlende Rate beinhaltet Zinsen und Tilgung Verwendete Symbole: Symbol Bezeichnung S Darlehenssumme, Anfangsschuld R k Restschuld nach k Jahren n Tilgungsdauer ( N) Z k Zins am Ende des k-ten Jahres T k Tilgungsquote am Ende des k-ten Jahres Annuität am Ende des k-ten Jahres A k 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung Ratentilgung Annuitätentilgung 8.4. Kursrechnung Unterscheidung zwischen Ratentilgung und Annuitätentilgung 189

10 Ratentilgung Während Laufzeit sind Tilgungsquoten konstant. Daraus folgt: T k = T = S n und damit: R k = S k T Z k = R k 1 i A k = Z k + T Restschuld nach k Jahren Zins am Ende des k-ten Jahres Annuität am Ende des k-ten Jahres 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung Ratentilgung Annuitätentilgung 8.4. Kursrechnung 190

11 Annuitätentilgung Problem der Ratentilgung: Belastung anfangs hoch, später geringer Ausweg: Konstanthalten der Annuitäten über Rentenformel A k = A = S qn (q 1) q n 1 Daraus ergibt sich: 8.1. Zinsen R k = S q k A qk 1 q 1 Z k = R k 1 i = A (1 q k n 1) T k = A Z k = A q k n 1 Restschuld nach k Jahren Zinsen im k-ten Jahr Tilgung im k-ten Jahr 8.2. Renten 8.3. Tilgung Ratentilgung Annuitätentilgung 8.4. Kursrechnung 191

12 Kursrechnung Festverzinsliche Wertpapiere Wertpapier: Investor erwirbt für bestimmten Preis ein Recht auf Zahlungen Hier: Gesamtfällige festverzinsliche Wertpapiere Emission (Erstausgabe): Investor zahlt pro 100 Nennwert einen Preis C 0 (Emissionskurs) Emittend: Zahlt während Laufzeit Zinsen (Kuponszahlung) und (meist nach Ablauf ) Tilgung (Rücknahmekurs) Kuponzahlung: mittels nominellen Jahreszinses i (oder Jahreszinsfuß p ) auf den Nennwert an Investor, meist jährlich nachschüssig Falls i = 0: Null-Kupon-Anleihen oder Zerobonds Rücknahmekurs: Tilgung in einem Betrag am Ende der Laufzeit C n als Prozentsatz des Nennwertes Rendite: i eff Jährlicher Effektivzins, der Leistung des Investors und des Emittenden gleichwertig macht 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung 192

13 Kursrechnung Äquivalenzgleichung für Emissionskurs Dabei: C 0 = p qn 1 q 1 q n + C n q n n : Laufzeit in Jahren C 0 : Emissionskurs p : Nominalzinsfuß, jährliche Zinszahlung pro 100 Nennwert C n : Rücknahmekurs am Ende der Laufzeut q = 1 + i eff : Effektiver Jahreszins bzw. Rendite des festverz. Wertpapiers Anmerkungen: 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung Gleichung i.a. nicht elementar nach q auflösbar Deswegen oft: Näherung durch Iteration (z.b. regula falsi) Emissionskurs ^= mit Rendite abgezinster Kapitalwert sämtlicher zukünftiger Leistungen des Wertpapiers 193

14 Kursrechnung Ganzzahlige Restlaufzeiten Festverzinsliche Wertpapiere können meist jederzeit gehandelt werden Annahme zunächst: Handel nur unmittelbar nach Kuponzahlung möglich Gesucht: Kurs C t für eine Restlaufzeit von t Jahren Lösung: Preis eines Wertpapiers ist zu jedem Zeitpunkt der Kapitalwert aller in der Restlaufzeit noch ausstehenden Leistungen Abgezinst wird dabei mit dem Marktzins (auch: Umlaufrendite) 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung C t = p qt 1 q 1 q t + C n q t 194

15 Kursrechnung Risikoanalyse Duration Änderung des Marktzinses: Abhängig von Zeitpunkt Auswirkung auf aktuellen Wert des Papiers Fall 1 (Zins steigt): C 0 ist niedriger, aber Wiederanlage der Kuponzahlungen erbringen mehr Rendite Fall 2 (Zins fällt): C 0 ist höher, aber Wiederanlage der Kuponzahlungen erbringen weniger Rendite Vermutung: An einem (Zeit- )Punkt heben sich diese beiden Effekte auf Dieser Zeitpunkt heißt Duration D. Aktueller Wert D 5 i = 6 % i = 4 % i = 2 % Zeit t 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung 195

16 Kursrechnung Risikoanalyse Duration Der aktuelle Wert eines Papiers C t (q) = q t C 0 (q) ändert sich also nicht bzgl. Änderungen von q, wenn t = D damit gilt für die Duration D C D (q) q = q ( qd C 0 (q) ) = D q D 1 C 0 (q) + q D C 0(q) q = 0 Da q D 1 immer positiv ist muss also für D gelten D C 0 (q) + q C 0(q) q = 0 und damit: 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung D = C 0(q) q q C 0 (q) = q C 0 (q) C 0 (q) Weitere mögliche Interpretation der Duration als Bruttozinselastizität des Barwertes. 196

17 Kursrechnung Partielle Ableitung des Kapitalwertes Für die Berechnung von D ist C 0 (q) zu bestimmen; bei einem festverzinslichen Wertpapier ergibt sich so C 0(q) = n q n+1 ( ) p qn 1 q 1 + C n + p q n qn 1 (q 1) (q n 1) n (q 1) 2 Varianten der Duration Modifizierte Duration: MD = D q = C 0 (q) C 0 (q) Elastizität (von i): ε C0,i = C 0 (i) C 0 (i) i = i q D = MD i 8.1. Zinsen 8.2. Renten 8.3. Tilgung 8.4. Kursrechnung Auswirkungen von Zinsänderungen Bei bekanntem Emissionskurs: Auswirkungen kleiner Zinsänderungen über Duration C 0 (i + i) C 0 (i) (1 MD i) 197

18 Gliederung 1 Grundlegende Bausteine 2 Aussagenlogik 3 Mengen 4 Folgen und Reihen 5 Reelle Funktionen 6 Differentialrechnung 7 Integration 8 Finanzmathematik 9 Lineare Algebra 9 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im R n Lineare Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte Opitz u. a., (2017, Kapitel 14, 15, 17)

19 Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebs- und volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 199

20 Einführung Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3 zwei Produkte P 1, P 2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j (j = 1,2) werden a ij Mengeneinheiten von F i (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch für eine Einheit des Produkts P 1 P 2 von Einheiten F 1 a 11 a 12 der F 2 a 21 a 22 Produktionsfaktoren F 3 a 31 a 32 Grafisch dargestellt: F 1 F 2 F 3 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 P 1 P 2 200

21 Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B 201

22 Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: Fragen: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B Ähnlichkeit von Produkten Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten Marktforschung 201

23 Definitionen Definition Matrix Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n A =.... a i1 a i2... a ij... a in = (a ij ) m,n.... a m1 a m2... a mj... a mn mit m, n N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m n-matrix (Im Folgenden: a ij R). a 11,..., a mn heißen Komponenten der Matrix. Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der a ij steht. i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von a ij. Sind alle Komponenten a ij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix. 202

24 Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix 203

25 Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix ( A T ) T = A 203

26 Beispiel transponierte Matrix a) A = ( ) A T =

27 Beispiel transponierte Matrix a) A = ( ) A T = b) A T = ( A ) T T = A =

28 Vektoren Definition n 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten: a = a 1. a n 1 n-matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten: a T = (a 1,..., a n ) 205

29 Geometrische Veranschaulichung von Vektoren ( 1 ) ( 2 ) ( ) Vektoren im R 1 a 2 ( 2 1) 1 ( ) Vektoren im R 2 a 1 a a 1 2 a Vektoren im R a 2 206

30 Relationen zwischen Matrizen Definition Seien A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n reelle Matrizen mit übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n. Dann wird definiert: A = B a ij = b ij für alle i = 1,..., m, j = 1,..., n A B a ij b ij für mindestens ein Indexpaar (i, j) A B a ij b ij (i, j) A < B a ij < b ij (i, j) Entsprechend A B und A > B. 207

31 Spezielle Matrizen Definition a) A = (a ij ) n,n heißt quadratisch b) A = (a ij ) n,n mit A = A T heißt symmetrisch c) A = (a ij ) n,n heißt Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder a ij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix) d) A = (a ij ) n,n heißt Diagonalmatrix, wenn a ij = 0 für alle i j e) A = (a ij ) n,n heißt Einheitsmatrix, wenn a ii = 1 für alle i und a ij = 0 für alle i j 208

32 Addition und Subtraktion von Matrizen Definition Gegeben: A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n. Dann gilt: Addition: A + B = (a ij ) m,n + (b ij ) m,n = (a ij + b ij ) m,n Subtraktion: A B = (a ij ) m,n (b ij ) m,n = (a ij b ij ) m,n Damit: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) Addition/Subtraktion nicht definiert, wenn Zeilen- bzw. Spaltenzahl nicht übereinstimmen 209

33 Skalare Multiplikation Definition Gegeben: A = (a ij ) m,n und r R (Skalar). Dann gilt: Beispiel: r A = r (a ij ) m,n = (r a ij ) m,n = (a ij r) m,n = A r Außerdem gilt: 5 ( ) = ( 5 ) (rs)a = r(sa) (Assoziativgesetz) (r + s)a = ra + sa (Distributivgesetz) r(a + B) = ra + rb 210

34 Matrixmultiplikation Gegeben: A = (a ik ) m,p und B = ( b kj )p,n. Dann gilt: A B = (a ik ) m,p (b kj ) p,n ( p = k=1 a ik b kj ) Merke: Zeile mal Spalte! m,n a 11 a a 1p a 21 a a 2p.. a m1 a m a 11 b 12 a 12 b a 1p b p2... a mp B: p n-matrix b 11 b b 1n b 21 b b 2n b p1 b p2... b pn c 11 c c 1n c 21 c c 2n.. c m1 c m c mn A: m p-matrix C = A B: m n-matrix Schema zur Matrixmultiplikation 211

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37 Spezialfälle und Rechenregeln Spezialfälle der Matrixmultiplikation A = (m n)-matrix, B = (n m)-matrix es existiert A B und B A A quadratisch A A = A 2 existiert A, B quadratisch A B existiert und B A existiert. Aber: Im Allgemeinen A B B A Ist E Einheitsmatrix, dann gilt: Spezielle Rechenregeln A E = E A = A A = (m p)-matrix, B = (p n)-matrix. Damit gilt: A B und B T A T existieren. B T A T = (A B) T A T A AA T ist symmetrische (p p)-matrix und ist symmetrische (m m)-matrix 212

38 Norm Gegeben Vektor a R n Definition: Absolutbetrag, Norm oder Länge eines Vektors: a = a = a T a = a a n2 = n a 2 i R + i=1 Seien a, b, c Vektoren des R n und r R ein Skalar. Dann gilt: a) a + b = b + a, a b = b a b) ra = r a c) a T b a b für n > 1 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) = a b für n = 1 d) a + b a + b (Dreiecksungleichung) e) a c c b a b a c + c b 213

39 Kosinussatz Gegeben: a, b Vektoren des R n, die den Winkel γ einschließen. Nach dem Kosinussatz gilt im Dreieck mit den Ecken 0, A, B x 2 b a b A a b 2 = a 2 + b 2 2 a b cos γ. b a b x 1 B Damit gilt: a T b = 1 2 = 1 2 ( a + b 2 a 2 b 2) ( a 2 + b 2 a b 2) = a b cos γ 214

40 Hyperebenen und Sphären Definition Hyperebene Gegeben: a R n mit a 0 und b R Dann heißt H(a, b) = { x R n : a T x = b } Hyperebene im R n Anmerkung: H teilt den R n in zwei Halbräume Definition Sphäre Gegeben: a R n, r R + Dann heißt K = {x R n : x a = r} Sphäre (Kugelfläche) im R n und dem Radius r Damit: r-umgebung von a: K < (a, r) = {x R n : x a < r} 215

41 Beispiel Hyperebene/Sphäre Beispiele H = { x R 3 : 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 6 } K = = { x R 3 : { x R 3 : } x 3 2 = 1 0 } (x 1 3) 2 + (x 2 2) 2 + x 32 = 1 216

42 Offenheit, Abgeschlossenheit Gegeben M R n eine Punktmenge des R n und M = R n \ M deren Komplement bzgl. R n. Dann heißt: a R n innerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a, r) von a existiert, die ganz in M liegt, also K < (a, r) M, a R n äußerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a, r) von a existiert, die ganz in M liegt und a R n Randpunkt von M, wenn a weder innerer noch äußerer Punkt von M ist. Eine Punktmenge M R n heißt dann offen wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, abgeschlossen, wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, also das Komplement M offen ist. 217

43 Beschränktheit, Kompaktheit Eine Punktmenge M R n heißt beschränkt nach oben, wenn ein b R n existiert mit b x für alle x M, beschränkt nach unten, wenn ein a R n existiert mit a x für alle x M, beschränkt, wenn M nach oben und unten beschränkt ist, kompakt, wenn M beschränkt und abgeschlossen ist. Beispiele M 1 = {x R 2 + : x 1 + 2x 2 3, x 2} M 2 = {x R 2 + : x 1 N} 218

44 Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 219

45 Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 } } } x 1 = x 2 = 1 L = unendlich viele Lösungen 219

46 Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? } } x 1 = x 2 = 1 L = Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen } unendlich viele Lösungen 219

47 Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? } } x 1 = x 2 = 1 L = Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen Dazu gibt es: } unendlich viele Lösungen Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix) das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatrix) 219

48 Allgemeines lineares Gleichungssystem Ein System von Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. Die a ij und b i heißen Koeffizienten des Gleichungssystems. In Matrixform: Lösungsmenge:. Ax = b L = {x : Ax = b} 220