Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

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1 Ereignisse und ihre Wahrsheinlihkeiten Stihprobenräume Ereignisse Wahrsheinlihkeitsverteilungen dditionstheorem Gleihverteilung edingte Wahrsheinlihkeiten Unabhängigkeit von Ereignissen Gesetz der totalen Wahrsheinlihkeit Satz von ayes Handling von ktienkursen Quiz

2 Die Menge W der möglihen Ergebnisse eines Experiments heißt Stihprobenraum. eispiele: Werfen eines Würfels W{,, 3, 4, 5, } Werfen eines roten und eines grünen Würfels W{,,,,,3,,4,,5,,,,,,,,3,,4,,5,,, 3,, 3,, 3,3, 3,4, 3,5, 3,, 4,, 4,, 4,3, 4.4, 4,5, 4,, 5,, 5,, 5,3, 5,4, 5,5, 5,,,,,,,3,,4,,5,,} eurteilung einer Magisterarbeit W{,, 3, 4, 5} Messung der rbeitslosenrate in %, Nahkommastelle W{0.0, 0., 0.,, 99.8, 99.9, 00.0} sample spae Im Untershied zur Menge {,} kommt es beim geordneten aar, auf die Reihenfolge an. Daher gilt: {,}{,},,,.

3 Ereignisse 3 sind Teilmengen des Stihprobenraums. eispiele: Werfen eines Würfels Möglihe Ergebnisse:,, 3, 4, 5, Stihprobenraum: W{,,3,4,5,} Ereignisse: {,3,5} ungerade Zahl {} Sehser {,,3,4,5} kein Sehser {,3,5} rimzahl f unmöglihes Ereignis W siheres Ereignis {,,4} Zweier-otenz {3,} Vielfahes von 3 3 events Messung der rbeitslosenrate Möglihe Ergebnisse: 0.0, 0., 0.,, 00.0 Stihprobenraum: W{0.0,0.,0.,,00.0} Ereignisse: {0.0,0.,,3.4} Vollbeshäftigung 4 {3.5,,00.0} keinevollbeshäftigung {0.0,,9.9} -stellige rbeitslosenrate {3.5,,5.0} 4 Vollbeshäftigung bedeutet, dass es praktish nur zyklishe rbeitslosigkeit gibt. Die genaue Definition in % hängt von der Region und der Zeitperiode ab.

4 Der Durhshnitt 5 der Ereignisse und enthält genau diejenigen Elemente von W, die sowohl in als auh in enhalten sind. Die Vereinigung È der Ereignisse und enthält genau diejenigen Elemente von W, die in oder in enthalten sind. Das Komplement 7 eines Ereignisses enthält genau diejenigen Elemente des Stihprobenraumes W, die niht in enthalten sind. Die Ereignisse und heißen disjunkt 8, falls ihr Durhshnitt leer ist. 5 intersetion union 7 omplement 8 disjoint eispiel: Werfen eines Würfels W{,,3,4,5,} {,3,5}, {,3,5} {3,5} È{,,3,5} {,4,} {,4,} Die Ereignisse und sind disjunkt, ebenso die Ereignisse und. È {,3,5} È{,3,5} {,4,}È{,3,5} {,3,4,5,} {} 3

5 Eine Wahrsheinlihkeitsverteilung 9 ist eine Funktion, die jedem Ereignis seine Wahrsheinlihkeit zuordnet. Eine Wahrsheinlihkeitsverteilung heißt Gleihverteilung 0, wenn es nur endlih viele möglihe Ergebnisse gibt und alle gleih wahrsheinlih sind. Es gilt dann für jedes Ereignis nzahl der Elemente von. W nzahl der Elemente von W eispiele: Werfen eines Würfels W{,,3,4,5,}, W {,4,} gerade Zahl W Þ {,4,} 3 9 probability distribution 0 uniform distribution Zweimaliges Werfen eines Würfels W{,,,,,3,,4,,5,,,,,,,,3,,4,,5,,, 3,,3,,3,3,3,4,3,5,3,, 4,,4,,4,3,4.4,4,5,4,, 5,,5,,5,3,5,4,5,5,5,,,,,,,3,,4,,5,,}, W 3 Þ 4 3 {,4,,3,3,,4,} Summe ist 5 3-maliges Werfen einer Münze Kopf:0,Zahl: W{0,0,0,0,0,,0,,0,0,,,,0,0,,0,,,,0,,,}, W 8 Þ { 0,,,,0,,,,0,,,} 4 8 höhstens einmal Kopf F Þ G bedeutet, dass die ussage G aus der ussage F folgt. Ebenso wie beim geordneten aar a,b kommt es beim Tripel a,b,, Quadrupel a,b,,d, Quintupel a,b,,d,e usw. auf die Reihenfolge an. 4

6 Die Wahrsheinlihkeit, dass beim Würfeln das Ereignis {} eintritt, ist gegeben durh: {} 0... Würfelt man mehrmals, so kann man erwarten, dass dieses Ereignis in ungefähr einem Sehstel der Versuhe eintritt, also z.. bei 0 Versuhen 0 Mal. nstatt tatsählih zu würfeln, verwenden wir einen Zufallszahlengenerator. Wir erzeugen 0 Zufallszahlen zwishen und mit Hilfe der R 3 -Funktion sample, speihern sie im Vektor z ab und lassen sie uns anzeigen: z <- sample:,0,replaetrue; z Für erste Shritte mit der freien Software R siehe ppendix. Die absoluten Häufigkeiten 4 aller einelementigen Ereignisse Elementarereignisse 5 {},{},,{} können mit Hilfe der Funktion table berehnet werden und ihre relativen Häufigkeiten in weiterer Folge durh Division durh die nzahl der Versuhe. tablez tablez/ Falls die Wahrsheinlihkeit eines Ereignisses unbekannt ist, kann sie durh die relative Häufigkeit ˆ geshätzt werden. 4 absolute frequenies 5 elementary events relative frequenies 5

7 eim Werfen eines Würfels gilt einerseits {,3,5} {,4} {,3,5,,4} + weil {,3,5} und {,4} disjunkt sind, und andererseits {,3,5} + {,4} {,3,5} {,3,5} {,3,5,} + {,3,5} + {,3,5}, weil {,3,5} und {,3,5} niht disjunkt sind. Im letzteren Fall kommt die Ungleihheit dadurh zustande, dass die Elemente des Durhshnitts in {,3,5}{,3,5}{3,5} {,3,5}È{,,3,5}{,,3,5} nur einmal gezählt werden und in doppelt. {,3,5}+{,3,5} Gleihheit wird erreiht, wenn die Wahrsheinlihkeit des Durhshnitts von der Summe abgezogen wird. llgemein gilt das dditionstheorem 7 : È additive rule of probability

8 Das sihere Ereignis W tritt immer ein und das unmöglihe Ereignis f niemals. Es gilt daher und 8 W f 0. Da die Ereignisse und disjunkt sind, gilt auh bzw. + È W -. 8 Es muss immer zumindest ein möglihes Ergebnis geben, W darf also niht leer sein. 7

9 Nehmen wir an, wir wüssten nur, dass eine gerade Zahl gewürfelt wurde, niht aber welhe, dann wären die Ergebnisse, 3 und 5 niht mehr länger möglih und die noh möglihen Ergebnisse, 4 und wären immer noh gleih wahrsheinlih. Es wäre dann sinnvoll, statt der ursprünglihen Wahrsheinlihkeiten { } {} {3} {4} {5} {} die durh das Eintreten des Ereignisses {,4,} bedingten neuen Wahrsheinlihkeiten zu betrahten. {} {3} {5} 0, {} {4} {} 3 Die nah dem Eintreten des Ereignisses {,4,} niht mehr möglihen Ergebnisse, 3 und 5 können aus allen Ereignissen entfernt werden, indem man alle Ereignisse mit dem Ereignis shneidet. Z.. erhält man für die Ereignisse {,,3,4} und W und {,,3,4}{,4,}{,4} W{,,3,4,5,}{,4,}{,4,}. Die bedingte Wahrsheinlihkeit von, gegeben, ist gegeben durh nzahl der noh möglihen Elemente von nzahl der noh möglihen Elemente von W W. 3 8

10 Die bedingte Wahrsheinlihkeit des Ereignisses, gegeben dass das Ereignis eingetreten ist 9, ist im Fall einer Gleihverteilung gegeben durh nzahl der noh möglihen Elemente von nzahl der noh möglihen Elemente von W. W llgemein, also auh wenn keine Gleihverteilung vorliegt, wird die bedingte Wahrsheinlihkeit 0 von, gegeben, definiert durh. Diese bedingte Wahrsheinlihkeit kann man auh shreiben als W W W W. W 9 Die nnahme, dass eingetreten ist, maht nur Sinn, wenn 0. 0 onditional probability 9

11 Zwei Ereignisse und heißen unabhängig, wenn gilt. Sind die Ereignisse und unabhängig und ist 0, dann ist die bedingte Wahrsheinlihkeit gleih der unbedingten Wahrsheinlihkeit : Zwei Ereignisse und heißen abhängig, wenn sie niht unabhängig sind. 3 independent dependent 3 Wenn zwei Ereignisse abhängig sind, muss niht zwangsläufig eine kausale eziehung zwishen ihnen bestehen. eispiele: Werfen eines Würfels {,3,5} und {,3,5} sind niht unabhängig wegen {3,5} Weiters gilt: ¹. ¹ 3 Zweimaliges Werfen eines Würfels Die Ereignisse {,,,,5,,} Sehser beim. Wurf und {,,,5,,,} Sehser beim. Wurf sind unabhängig wegen,

12 eim Würfeln sind die Ereignisse und {,3,5} {,} unabhängig, weil die Wahrsheinlihkeit des Durhshnitts {} gleih dem rodukt der Wahrsheinlihkeiten ist. 3 Verwendet man hingegen die relativen Häufigkeiten der Elementarereignisse,, 0,, , 0 {}, {}, {3}, {4}, {5}, {} aus der obigen R-nwendung anstatt der theoretishen Wahrsheinlihkeiten so ist ungleih,,,,,, ˆ ˆ{} ˆ ˆ. Es ist aber zu erwarten, dass die Übereinstimmung besser wird, wenn die nzahl der Versuhe zur Ermittlung der relativen Häufigkeiten erhöht wird.

13 Downloaden und Importieren von ktienkursen: uf der Website finane.yahoo.om gibt man den Namen eines Unternehmens, z.. roter & Gamble, oder -falls bekannt- gleih das Symbol, G, im Feld Searh ein. Nah dem nkliken von Historial Data und der Wahl von Time eriod und Frequeny klikt man zunähst auf pply und shließlih auf Download Data. Das heruntergeladene File G.sv wird in ein zuvor angelegtes Verzeihnis, z.. C:\R rojets\g, kopiert. Nah dem Starten von R wird das Working Diretory C:\R rojets\g gewählt, die Daten werden mit der Funktion read.sv vom File G.sv eingelesen und im Data Frame Y gespeihert. Fehlt im heruntergeladenen File ein Wert, so sheint dieser als null auf. Zeilen mit fehlenden Werten müssen im Data Frame Y gelösht werden. setwd"c:/r rojets/g" # htung! / statt \ in R. Y <- read.sv"g.sv",headertrue,na.strings"null" # headertrue: Variablennamen in erster Zeile # na.strings"null": Kennzeihnung von fehlenden Werten Y <- na.omity # Löshung von unvollständigen Zeilen heady,3 # zeigt die ersten 3 Zeilen von Y an Date Open High Low Close dj.close Volume taily,3 # zeigt die letzten 3 Zeilen von Y an Date Open High Low Close dj.close Volume

14 Die. Spalte bereinigte Shlusskurse wird gegen die. Spalte Kalendertage geplottet. d <- as.datey[,] # Umwandlung in Datums-Vektor y <- Y[,]; plotd,y,type"l" # type"l": Linienplot Die bbildung shafft es niht, zu vermitteln, dass für einen Investor eine Verdoppelung eines Kurses von auf den gleihen Wert hat wie die Verdoppelung eines Kurses von 50 auf 00. Eine graphishe Darstellung des Kursverlaufs wäre wünshenswert, bei der der nstieg von auf identish ist mit dem von 50 auf 00. Eine solhe Darstellung erhält man, wenn man die logarithmierten Kurse anstelle der ursprünglihen Kurse plottet. Es gilt nämlih: log log log log log00 log 50 3

15 plotd,logy,type"l" Die Log-Returns r t t log yt - log y - entsprehen ungefähr den relativen Änderungen R t yt - y y t - t - der Kurse yt gegenüber den Vortageskursen yt-. eispiel: y t 0, yt- 00 Þ Rt 0.0, rt ~

16 Log-Returns können für die Tage,3,4,,n berehnet werden, niht aber für den ersten Tag, weil es in diesem Fall keinen Vorwert gibt. r <- logy[:n]-logy[:n-] # logy[]-logy[], Eine wihtige Frage in ezug auf Log-Returns ist, ob es eziehungen zwishen aufeinanderfolgenden Log- Returns gibt. Wir untersuhen im Folgenden, ob sih die bedingte Wahrsheinlihkeit r t > 0 r t - > 0 von der unbedingten Wahrsheinlihkeit <- whihr[:n-]>0&r[:n-]>0 # n- Log-Returns, n- aare: r[],r[],r[3],r[], <- whihr[:n-]>0; <- length/length; u <- whihr[:n-]>0; u <- lengthu/n-; u Der Untershied zwishen der geshätzten bedingten und der geshätzten unbedingten Wahrsheinlihkeit ist niht so groß, dass er mit der Unabhängigkeit der beiden Ereignisse r t > 0 und r > 0 t- untersheidet. r t > 0 unvereinbar wäre. 4 4 Das ist nur eine erste, grobe Einshätzung. usführliher wird auf diese Fragestellung in einem späteren Kapitel eingegangen. 5

17 Multiplikationssatz 5 : C C C C C D C D C C D C 5 hain rule Hier und im Folgenden nehmen wir immer an, dass alle auftretenden Nenner ungleih 0 sind. Gesetz der totalen Wahrsheinlihkeit 7 : W È È und sind zwei disjunkte Mengen, deren Vereinigung W ergibt. llgemein gilt für n paarweise disjunkte Mengen,,n, deren Vereinigung W ergibt,... n n n law of total probability 8 Distributivgesetze: ÈCÈC ÈCÈÈC

18 Satz von ayes 9 : Oder allgemeiner: + + Sind,,n paarweise disjunkte Mengen, deren Vereinigung W ergibt, dann gilt für alle iî{,,n} i i 9 ayes theorem i n i i n n Im Fall der Log-Returns von G lassen sih beispielsweise die bedingten Wahrsheinlihkeiten rt³0 rt ³%,rt<0 rt ³%,rt³0 rt <%,rt<0 rt <% genauso einfah shätzen wie rt ³% rt³0, rt <% rt³0, rt ³% rt<0, rt <% rt<0. lengthwhihr>0&absr>0.0 / lengthwhihabsr> lengthwhihabsr>0.0&r>0 / lengthwhihr> Das ist auh in vielen anderen ökonomishen nwendungen so. Die umständlihe erehnung/shätzung von bedingten Wahrsheinlihkeiten mit Hilfe des Satzes von ayes ist nur in seltenen usnahmefällen nötig. 7

19 Quiz W{0,,,5}, {,3,5}, {0,},? {0,,,4} 9 7, {3} 9, {0,4} 9, {,}? 4, È 0,,? Lösungen {,3,5}{,3,4,5}{3,5}, {0,,,4}{3}+{0,4}+{,}Þ {,} È+- Þ 8 C 9,, C 3,? C C Þ 9 3 3, 3, 3, b? 5 3, 7 3, 7,? h <- whih:5+*,,,0,3>4 # R ode # lengthh? + b 3 +-b 3 Þ b hwhih3,,5,4,>4,3,5, lengthh3 8